优化方案2017高中数学第三章三角恒等变换3.2简单(精)
高中数学 第三章 三角恒等变换 第二节 简单的三角恒等变换(第二课时)示范教案数学教案
第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时 导入新课思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开．思路 2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能． 推进新课新知探究提出问题①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x )， ∵(aa 2＋b 2)2＋(b a 2＋b 2)2＝1，从而可令a a 2＋b 2＝cos φ，ba 2＋b 2＝sin φ，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果：①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.②～③(略)见活动．应用示例思路1例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α.求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行：(1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，图1在Rt△OAD 中，DA OA ＝tan60°＝3， 所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36＝13(32sin2α＋12cos2α)－36 ＝13sin(2α＋π6)－36. 由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x ＝3sin2x －cos2x＝2sin(2x －π6)． 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π6，π]． 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．活动：学生在解此题时，对f (x )是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f (x )的图象关于M (3π4，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R 上的函数y ＝f (x )对定义域内任意x 满足条件：f (x ＋a )＝2b －f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，所以，得cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝π2. 由f (x )的图象关于点M 对称，得f (3π4－x )＝－f (3π4＋x )． 取x ＝0，得f (3π4)＝－f (3π4)，所以f (3π4)＝0. ∵f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0. 又ω>0，得3ωπ4＝π2＋k π，k ＝0,1,2，….∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，…. 当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数； 当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数； 当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．所以，综合得ω＝23或ω＝2. 点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.∴cos B 2cos C 2＝2sin B sin C ＝8sin B 2·cos B 2cos C 2sin C 2.∴sin B 2sin C 2＝18. 积化和差，得4(cos B ＋C2－cos B －C2)＝－1，若存在θ使等式cos θ－sin θ＝4(cosB ＋C 2－cos B －C 2)成立，则2cos(θ＋π4)＝－1， ∴cos(θ＋π4)＝－22.而π<θ≤2π， ∴5π4<θ＋π4≤9π4.∴这样的θ不存在． 点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例2已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12， ∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43. 从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2α－β＋tan β1－tan2α－βtan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1. 又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13<1.且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2. 又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)，∴π2<β<π，－π<－β<－π2. ∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α；若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．知能训练课本本节练习4.解答：4.(1)y ＝12sin4x .最小正周期为π2，递增区间为[－π8＋k π2，π8＋k π2](k ∈Z )，最大值为12； (2)y ＝cos x ＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )，最大值为3；(3)y ＝2sin(4x ＋π3)．最小正周期为π2，递增区间为[－5π24＋k π2，π24＋k π2](k ∈Z )，最大值为2. 课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题A 组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题1.sin10°＋sin20°cos10°＋cos20°的值是( ) A ．tan10°＋tan20° B.33C ．tan5°D ．2－3 答案：D2．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值是( ) A.2－24 B.2＋24C.34D ．1 答案：B3．若cos αsin x ＝12，则函数y ＝sin αcos x 的值域是( ) A ．[－32，12] B ．[－12，12]C ．[－12，32] D ．[－1,1] 答案：B4．log 2(1＋tan19°)＋log 2(1＋tan26°)＝________. 答案：15．已知函数f (x )＝cos2x cos(π3－2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f (x )＝12[cos π3＋cos(4x －π3)]＝12cos(4x －π3)＋14，由2k π≤4x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )，T ＝π2，最大值是34. 6．已知sin A ＝－35，cos B ＝－941，A ∈(3π2，2π)，B ∈(π，3π2)，求sin(2A －B 2)的值，并判定2A －B 2所在的象限． 答案：解：cos A ＝45，sin2A ＝－2425，cos2A ＝1－2sin 2A ＝725， ∵B ∈(π，3π2)， ∴B 2∈(π2，3π4)． ∴sin B 2＝541，cos B 2＝－441.∴sin(2A －B 2)＝sin2A cos B 2－cos2A sin B 2＝61411 025. 又cos(2A －B 2)＝cos2A cos B 2＋sin2A sin B 2<0， ∴2A －B2是第二象限角． 7．已知f (0)＝a ，f (π2)＝b ，解函数方程：f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·cos y .答案：解：分别取⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝t ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2＋t ，y ＝π2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝π2＋t ，代入方程，得错误! ①＋②－③，得2f (t )＝2f (0)cos t ＋2f (π2)sin t . ∵f (0)＝a ，f (π2)＝b ， ∴f (x )＝a cos x ＋b sin x .。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变
3.2 简单的三角恒等变换1.知识与技能(1)利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.(2)通过三角恒等变形将形如a sin x+b cos x的函数转化为y=A sin(x+φ)的函数.2.过程与方法经历半角公式、积化和差公式、和差化积公式的推导过程,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促进学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.3.情感、态度与价值观引导学生以已有的公式为依据,以推导半角公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.三角函数的和积互化(1)三角函数的积化和差公式及推导sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)],cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].下面对这组公式进行推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β))sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,(S(α-β))cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,(C(α+β))cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))(S(α+β))+(S(α-β)),(S(α+β))-(S(α-β)),(C(α+β))+(C(α-β)),(C(α+β))-(C(α-β)),得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β,cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β,cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β,即sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],①cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)],②cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],③sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)],④公式①、②、③、④叫做积化和差公式.(2)三角函数的和差化积公式sin α+sin β=2sin·cos,sin α-sin β=2cos·sin,cos α+cos β=2cos·cos,cos α-cos β=-2sin·sin.下面给出这组公式的推导:在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.为了用起来方便,在积化和差的公式中,如果令α+β=θ,α-β=φ,则α=,β=.把这些值代入积化和差的公式①中,就有sin·cos==(sin θ+sin φ).∴sin θ+sin φ=2sin·cos.同样可得:sin θ-sin φ=2cos·sin, cos θ+cos φ=2cos·cos,cos θ-cos φ=-2sin·sin.这四个公式叫做和差化积公式.。
高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)
高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。
2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。
3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。
2、三角恒等变换的方法和步骤。
教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。
教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。
2、黑板和粉笔。
教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。
提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。
2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。
3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。
三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。
四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。
鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。
五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。
布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。
教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。
但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。
在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。
同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。
能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换2省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究一：a sin x b cos x的变形及应用
a sin x b cos x能化成一个角的三角函数值吗？
提醒: 令 cos a ,sin b
a2 b2
a2 b2
a sin x b cos x
a2 b2 ( a sin x b cos x)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 cos sin x sin cos x
所以周期T = 2π，最大值为2，最小值为- 2.
9/32
经过三角恒等变换，我们把形如
函
数转化为形如
函数，从而使问题得到简
化.
10/32
【变式练习】
已知函数 f(x)＝2sin2ωx＋2 3sinωxsin(π2－ωx)(ω>0)的 最小正周期为 π. (1)求 ω 的值； (2)求函数 f(x)在区间[0，23π]上的值域．
Q
分析：（1）找出 S与 之间函数关系.
（2）由得出函数关系，求S最大值. D
C
OA
BP
18/32
19/32
20/32
【变式练习】
已知半径为1半圆，PQRM是半圆内接矩形，如 图，P点在什么位置时，矩形面积最大，并求最大 面积值．
分析：连接OP,设POM , Q
用角 表示面积.
R
P
OM
21/32
3cosx＝2
3
23sinx－12cosx
＝2 3sinxcosπ6－cosxsinπ6
＝2 3sinx－π6.
24/32
3、sin2x－sinxcosx＋2cos2x＝( A )
A. 22sin2x＋34π＋32
B. 22sin2x＋34π
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版必修04
，π＜2α＜ ，求 tanα.
13
2
3
3
解： ∵π＜2α＜ ，∴ ＜α＜ .
2
2
4
由 cos 2
1 sin 2
5
1 ( 12 ) 2
5 ，得 tan
1 cos2
1 13
3
13
13
sin 2
12 2
13
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
或 tan 或 tan
或 tan
2 1 cos
2 sin
可避开符号的讨论 .
③若角α的倍角 2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把
的函数值连在一起 .
知识点二 积化和差公式的应用
例 4 求下列各式的值：
5 (1) cos sin ； (2)2cos50° cos70° -cos20° .
12 12
5
15
1
3
.
2
24
(2)原式 =cos(50° +70° )+cos(50°-70° )-cos20°
1
=cos120°+cos20° -cos20° =cos120°=-cos60° = .
2
31
例 5 求证： (1)sin80°cos40° =
sin 40 ；
42
11
(2)sin37.5° sin22.5° = + cos15° .
( 2 3) .
例 2 求 cos , tan 的值 . 8 12
2
解： 由于 cos2
1 cos 1
4
2
1
课件1：3.2 简单的三角恒等变换
S2
知识点1 两角和、差角、二倍角的三角函数公式
1、两角和的正切公式
tan( ) tan tan 1 tan tan
T
2、两角差的正切公式 用 代
tan( ) tan tan 1 tan tan
3、二倍角的正切公式
tan
2
2 tan 1 tan2
用 代
T T2
第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换
高中数学必修4·精品课件
学习目标
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦 和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角 公式，但对这三组公式不要求记忆)．
新课引入 同角三角函数的基本关系式
1、平方关系 sin 2 cos2 1 1 tan 2 sec2 1 cot2 csc2
2
2
∴h＝5.6＋4.8sin＝5.6－4.8cos θ(θ=0)．
典例精讲：
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0rad/s， 故 t 秒转过的弧度数为3π0t， ∴h＝5.6－4.8cos3π0t ，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10.4 m. 由 cos3π0t＝－1，得3π0·T＝π，∴t＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
典型例题
在△ABC中，已知2sin A·cos B＝sin C，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
解析： ∵2sin Acos B＝sin(A＋B)，且A，B∈(0，π)， ∴sin(A－B)＝0，且－π<A－B<π， ∴A＝B为等腰三角形． 答案： B
典型例题
优化方案高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．化简cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y 等于( ) A ．sin(x ＋2y ) B ．－sin(x ＋2y ) C ．sin xD ．－sin x解析：选D.cos(x ＋y )sin y －sin (x ＋y )cos y ＝sin[y －(x ＋y )]＝－sin x . 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－7210B ．7210C ．－210D.210解析：选A.因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 3．在△ABC 中，若sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.因为sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， 即sin B cos C －cos B sin C ＝0，所以sin(B －C )＝0， 所以B ＝C .所以△ABC 是等腰三角形．4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：选B ．因为f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )，所以f (x )的值域为[－3，3]．5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值为( )A ．－235B ．235C ．－45D.45解析：选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435， 所以cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝435，所以32cos α＋32sin α＝435，即12cos α＋32sin α＝45. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.6．sin 105°的值为__________．解析：sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：2＋647．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α＝________． 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32cosα，故tan α＝1.答案：18．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________．解析：sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，即sin β＝－35，又β是第三象限角，所以cos β＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝7210. 答案：72109．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； (2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝sin x cosπ3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3·cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式 ＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α. 10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝32，其中π4＜α＜π2，π4＜β＜π2，求角α＋β的值．解：因为π4＜α＜π2，所以－π4＜π4－α＜0.因为π4＜β＜π2，所以π2＜π4＋β＜3π4.由已知可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝32，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－12，则cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×32＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32.因为π2＜α＋β＜π，所以α＋β＝5π6.[B 能力提升]1．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6，3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( ) A.π6 B ．5π6C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.由已知可得(3sin A ＋4cos B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A ＋B )＝37.所以sin(A ＋B )＝12.所以在△ABC 中sin C ＝12，所以C ＝π6或C ＝5π6.又1－3cos A ＝4sinB ＞0，所以cos A ＜13.又13＜12，所以A ＞π3，所以C ＜2π3， 所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6.2．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝110，则tan αtan β＝________．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝14，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝110，所以sin αcos β＝740，cos αsin β＝340.所以sin αcos βcos αsin β＝tan αtan β＝73.答案：733．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解：(1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝2A 2＝322，可得A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3，则3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3，3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝3，sin θ＝33. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝63，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6. 4．(选做题)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值． 解：(1)因为cos α＝55，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝255，因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2＜α－β＜π2，所以cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝31010，所以cos(2α－β)＝cos[(α－β)＋α] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.。
高中数学优质教案3：3.2 简单的三角恒等变换教学设计
3.2 简单的三角恒等变换一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以表示． cos α222sin,cos ,tan 222ααα解：我们可以通过二倍角和来做此题． 因为，可以得到； 因为，可以得到．又因为． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（1）、； （2）、．证明：（1）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．；． 两式相加得；即； （2）由（1）得①；设， 2cos 2cos 12αα=-2cos 12sin 2αα=-2cos 12sin 2αα=-21cos sin 22αα-=2cos 2cos 12αα=-21cos cos 22αα+=222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=()sin αβ+()sin αβ-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=,αβθαβϕ+=-=那么．把的值代入①式中得．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数的周期，最大值和最小值．解：这种形式我们在前面见过，， 所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：,22θϕθϕαβ+-==,αβsin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=sin y x x =+sin y x x =1sin 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22T ππω==2-()sin y A x ωϕ=+。
优化方案2017高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时两角和与差的正弦、
若把本例中的“0＜β＜π2”改为“π2＜β＜π”，求
角 β 的值．
解：因为
0＜α＜π2，cos
α＝17，所以
sin
α＝4
3 7.
又因为π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜32π.
因为 sin(α＋β)＝5143，所以 cos(α＋β)＝－1114，
所以 sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知 角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知 角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成 “已知角”．
2.已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35， sin β＝－102，求 sin α. 解：因为 α∈0，π2，β∈－π2，0， 所以 α－β∈(0，π)． 因为 cos(α－β)＝35， 所以 sin(α－β)＝45.
[解] 因为π2＜β＜α＜34π， 所以 0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π. (2 分) 所以 sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β） ＝ 1－11232＝153，(4 分) cos(α＋β)＝－ 1－sin2（α＋β） ＝－ 1－－352＝－45.(6 分)
正确判断 α－β，
α＋β 的范围是
角 β 的值．
[解]
因为
0＜α＜π2，cos
α＝17，所以
sin
α＝4
3 7.
又因为 0＜β＜π2，
所以 0＜α＋β＜π.因为 sin(α＋β)＝5143＜sin α，
所以 cos(α＋β)＝－1114， 所以 sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5143×17－－1114×473＝ 23. 又因为 0＜β＜π2，所以 β＝π3.
优化方案2017高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式应用案巩固提升 新人教A版必修4
【优化方案】2017高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．cos 20°＝( )A ．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°B ．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°C ．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°D ．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°解析：选B ．cos 20°＝cos (30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°. 2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C ．6365D ．3365解析：选A.因为α为锐角，且cos α＝1213，所以sin α＝1－cos 2α＝513.因为β为第三象限角，且sin β＝－35，所以cos β＝－1－sin 2β＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－6365.故选A.3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C.因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，所以cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋cos x ·cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1，故选C.4．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )，且a·b ＝1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ．因为a·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，且A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形．5．已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B ．32C.34D ．1 解析：选B ．因为sin α－sin β＝1－32， 所以sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝74－ 3.①又因为cos α－cos β＝12，所以cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝14.②所以①＋②得2cos(α－β)＝3， 所以cos(α－β)＝32，故选B ． 6．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)等于________． 解析：原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.答案：127．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos α＝13，cos β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝________． 解析：由cos α＝13， 0＜α＜π2，所以sin α＝223.由cos β2＝33，－π4＜β2＜0，所以sin β2＝－63，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝cos αcos β2＋sin αsin β2＝13×33＋223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－63＝－33.答案：－338．满足12sin x ＋32cos x ＝12的角x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜0等于________． 解析：12sin x ＋32cos x ＝cos x cos π6＋sin x sin π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝12，因为－π2＜x ＜0，所以x －π6＝－π3，即x ＝－π6.答案：－π69．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π＋2cos x 的值． 解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，sin x ＝45， 所以cos x ＝－35.所以2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π＋2cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos 23π＋sin x sin 23π＋2cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35. 10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4＜α＜3π4，求cos α的值．解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， 且π4＜α＜3π4， 所以π2＜α＋π4＜π.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋45×22＝210.[B 能力提升]1．已知x ∈R ，sin x －cos x ＝m ，则m 的取值范围为( ) A ．－1≤m ≤1 B ．－2≤m ≤ 2 C ．－1≤m ≤ 2D ．－2≤m ≤1解析：选B ．sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4sin x ＋cos 3π4cos x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4， 因为x ∈R ，所以x －3π4∈R ，所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4≤1，所以－2≤m ≤ 2.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos A ＝________．解析：由A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，可知A ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210，cos A ＝cos[⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4·cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－210×22＋7210×22＝35. 答案：353．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值．解：由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1.又因为α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2， 所以2β＝π，则β＝π2.4．(选做题)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α－β)的值．解：(1)由于函数f (x )的最小正周期为10π， 所以10π＝2πω，所以ω＝15.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－65，所以sin α＝35. 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617， 所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6 ＝2cos β＝1617，所以cos β＝817.因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝45，sin β＝1517，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝45×817＋35×1517＝7785.。
优化方案高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．化简cos(x ＋y )sin y －sin(x ＋y )cos y 等于( ) A ．sin(x ＋2y ) B ．－sin(x ＋2y ) C ．sin xD ．－sin x解析：选D.cos(x ＋y )sin y －sin (x ＋y )cos y ＝sin[y －(x ＋y )]＝－sin x . 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－7210B ．7210C ．－210D.210解析：选A.因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 3．在△ABC 中，若sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.因为sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， 即sin B cos C －cos B sin C ＝0，所以sin(B －C )＝0， 所以B ＝C .所以△ABC 是等腰三角形．4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：选B ．因为f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )，所以f (x )的值域为[－3，3]．5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值为( )A ．－235B ．235C ．－45D.45解析：选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435， 所以cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝435，所以32cos α＋32sin α＝435，即12cos α＋32sin α＝45. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.6．sin 105°的值为__________．解析：sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：2＋647．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α＝________． 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32cosα，故tan α＝1.答案：18．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________．解析：sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，即sin β＝－35，又β是第三象限角，所以cos β＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝7210. 答案：72109．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； (2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝sin x cosπ3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3·cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式 ＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α. 10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝32，其中π4＜α＜π2，π4＜β＜π2，求角α＋β的值．解：因为π4＜α＜π2，所以－π4＜π4－α＜0.因为π4＜β＜π2，所以π2＜π4＋β＜3π4.由已知可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝32，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－12，则cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×32＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32.因为π2＜α＋β＜π，所以α＋β＝5π6.[B 能力提升]1．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6，3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( ) A.π6 B ．5π6C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.由已知可得(3sin A ＋4cos B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A ＋B )＝37.所以sin(A ＋B )＝12.所以在△ABC 中sin C ＝12，所以C ＝π6或C ＝5π6.又1－3cos A ＝4sinB ＞0，所以cos A ＜13.又13＜12，所以A ＞π3，所以C ＜2π3， 所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6.2．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝110，则tan αtan β＝________．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝14，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝110，所以sin αcos β＝740，cos αsin β＝340.所以sin αcos βcos αsin β＝tan αtan β＝73.答案：733．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解：(1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝2A 2＝322，可得A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3，则3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3，3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝3，sin θ＝33. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝63，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.4．(选做题)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值． 解：(1)因为cos α＝55，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝255，因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2＜α－β＜π2，所以cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝31010，所以cos(2α－β)＝cos[(α－β)＋α] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换教学案数学教学案
3.2 简单的三角恒等变换[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 139～P 142的内容，回答下列问题． (1)α与α2是什么关系？提示：倍角关系．(2)如何用cos α表示sin 2α2，cos 2α2和tan 2α2？提示：sin α2＝1－cos α2，cos α2＝1＋cos α2，tan α2＝1－cos α1＋cos α.2．归纳总结，核心必记 (1)半角公式(2)三角恒等变换的特点三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．[问题思考](1)能用不含根号的形式用sin α，cos α表示tan α2吗？提示：tan_α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.(2)如何用tanα2表示sin α，cos α及tan α？提示：sin_α＝2sinα2·cosα2＝2sin α2·cosα2sin 2α2＋cos 2α2＝2tanα21＋tan 2α2._cos_α＝cos 2_α2－sin 2_α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2 α2.tan_α＝sin αcos α＝2tanα21－tan 2α2.[课前反思](1)半角公式的有理形式： ；(2)半角公式的无理形式：.讲一讲1．已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[尝试解答] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255，cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sinα2cosα2＝－2.解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 练一练1．已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解：由题意得⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝2.讲一讲2．化简：（1＋sin α＋cos α）⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[尝试解答] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2 α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·（－cos α）－cosα2＝cos α.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．练一练 2．化简：(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π； (2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π，∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0. ∴原式＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2.(2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，∴原式＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α.讲一讲3．(1)若π<α<3π2，证明：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝－2cos α2；(2)已知sin α＝A sin(α＋β)，|A |>1，求证：tan(α＋β)＝sin βcos β－A. [尝试解答] (1)左边＝sin 2α2＋cos 2α2＋2sin α2cosα21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2 α2－1－1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2 α2＋sin 2α2＋cos 2α2－2sin α2cosα21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2 α2－1＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2 α2＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4，所以sin α2>0>cos α2. 所以左边＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎪⎫－cos α2－sin α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫－cos α2＋sin α2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋12⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2＝右边．所以原等式成立． (2)因为sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，所以sin α＝A sin(α＋β)化为sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)·sin β＝A sin(α＋β)，所以sin(α＋β)(cos β－A )＝cos(α＋β)sin β， 所以tan(α＋β)＝sin βcos β－A.三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．练一练3．求证：2sin x cos x（sin x ＋cos x －1）（sin x －cos x ＋1）＝1＋cos xsin x.证明：左边＝2sin x cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x2－sin 2x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cosx2sin x 2＝2cos 2x22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x＝右边．∴原等式成立．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用． 2．要掌握三角恒等变换的三个应用 (1)求值问题，见讲1； (2)化简问题，见讲2；(3)三角恒等式的证明，见讲3. 3．对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2 α2＝1＋cos α2求解．课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 求值问题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝( )A.1＋a2B. 1－a2 C ．－1＋a2D ．－ 1－a2解析：选D ∵θ4∈⎝⎛⎭⎪⎫5π4，6π4， ∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.2．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( )A ．－433 B ．8C ．4 3D ．－43解析：选B f (x )＝2tan x －2sin 2x2－sin 2x2－cos 2x212sin x＝2tan x ＋cos x 12sin x ＝2(tan x ＋1tan x )．又tan π12＝sinπ61＋cosπ6＝13＋2，∴原式＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫13＋2＋3＋2＝8. 3．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0，∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45，∴tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2.题组2 三角函数式的化简4．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1解析：选 C 原式＝2＋1－2sin 21－sin 21＝3－3sin 21＝3（1－sin 21）＝3cos 21＝3cos 1.5．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2得()A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos[2(π4－α2)]＝2＋sin α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.题组3 三角恒等式的证明6．求证：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan x ·tan x 2＝tan x .证明：∵左边＝2sin x ·cos x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x cos x ·1－cos x sin x ＝sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－cos x cos x ＝sin xcos x＝tan x ＝右边，∴原式成立．7．求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －12(cos 4x ＋cos 2x )＝2(1＋cos 2x )．证明：左边＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 22＋34sin 22x ＋ 5⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 22－12(cos 4x ＋cos 2x ) ＝2×1－2cos 2x ＋cos 22x4＋34sin 22x＋5×1＋2cos 2x ＋cos 22x 4－12(2cos 22x －1＋cos 2x )＝(2×14＋54＋12)＋[2×(－2cos 2x 4)＋5×2cos 2x 4－12cos 2x ]＋(2×cos 22x 4＋5×cos 22x 4－12×2cos 22x )＋34sin 22x ＝94＋cos 2x ＋34cos 22x ＋34sin 22x＝94＋cos 2x ＋34＝3＋cos 2x ＝3＋(2cos 2x －1) ＝2(1＋cos 2x )＝右边．∴原式成立．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数解析：选D 由cos 2x ＝2cos 2x －1，得f (x )＝cos 2(x ＋π4)＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝12＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12－sin 2x 2，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：选 C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .3．已知关于x 的方程x 2＋x cos A cos B －2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos A cos B＝12⎝⎛⎭⎪⎫－2sin 2 C2，即cos A cos B ＝sin 2C2＝sin2π－（A ＋B ）2＝cos 2A ＋B 2＝12[1＋cos(A ＋B )]．得cos(A －B )＝1.∴A ＝B .4．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________． 解析：由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0， 所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0； 当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－3.答案：0或±35．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．解析：sin 3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝（1－2sin 2α）sin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135， 所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案：－346．化简：(1)2sin 8＋1＋2cos 8＋2； (2)12＋1212＋12cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫3π2<α<2π. 解：(1)原式＝2sin 24＋cos 24＋2sin 4cos 4＋2（2cos 24－1）＋2 ＝2（sin 4＋cos 4）2＋4cos 24 ＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|， 由于π<4<3π2，∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0，∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.(2)∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π.原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12|cos α|＝ 12＋12cos α ＝1＋cos α2＝ cos 2α2＝－cos α2.7．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ .由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。
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(3)形如 y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数， 可先设 1 2 t＝sin x±cos x， 化为二次函数 y＝± a(t －1)＋bt＋c 在 t∈[－ 2 2， 2]上的最值求解． (4)根据正、余弦函数的有界性，即可用分析法求最值． (5)利用“数形结合”或单调性求最值．
π π 又因为 0＜α＜ ，0＜β＜ ， 2 2 所以 0＜α＋β＜π. π 若 0＜α＋β＜ ， 2 12 4 因为 ＞ ， 13 5
即 sin α＞sin(α＋β)， 所以 α＋β＜α 不可能． π 所以 ＜α＋β＜π. 2 4 又因为 sin(α＋β)＝ ， 5 3 所以 cos(α＋β)＝－ . 5
1 α 2．若 cos α＝ ，且 α∈(0，π)，则 cos 的值为( 3 2 6 A． 3 6 C．± 3
答案：A
)
6 B．－ 3 3 D．± 3
3π 4 α 3．已知 cos α＝ ，α∈ 2 ，2π ，则 sin 等于( 5 2
)
10 A．－ 10 3 C． 10 3
π 1 2 ＝ cos2θ－4 － ． 2 2 (10 分) π π 当 2θ－ ＝0，即 θ＝ 时， 4 8
利用辅助角公式将 S
ABCD
矩形
表
示
为
2 2
2－1 2 (S 矩形 ABCD)max＝ (m )． 类问题的常用方法 2 2－1 2 所以割出的长方形桌面的最大面积为 m. 2 (12 分)
探究点三
三角函数的实际应用(规范解答)
π (本题满分 12 分)某工人要从一块圆心角为 的扇形木 4 板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径 长为 1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．
[解 ]
连接 OC，设∠COB＝θ，
π 则0＜θ＜4 ，OC＝1. 因为 AB＝OB－OA＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ，(3 分)
π 1 cos 2θ－ － 是求解此 4 2
三角函数的实际应用问题多与最值有关，解决这类问题的一般 步骤如下： (1)审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系 式． (2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为 y ＝Asin(ωx＋φ)＋b 的形式． (3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.
π θ∈0， 2，
所以当 sin 2θ＝1， π 即 θ＝ 时，Smax＝400(m2)． 4 此时 AO＝DO＝10 2(m)． 故当 A、D 距离圆心 O 为 10 2 m 时，矩形 ABCD 的面积最 大，其最大面积是 400 m2.
1．常用的三角恒等变换思想方法 (1)常值代换 用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些 常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们 把这种代换称为常值代换．
2
2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公 式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，就是升幂．
(4)角的变换 角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系， 使公式顺利运用， 解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－ 1 1 (β－ α)， α＝ [(α＋ β)＋ (α－ β)]， α＝ [(α＋β)－ (β－ α)]， α＋β 2 2 ＝(2α＋β)－α 等．
(2)切化弦 当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基 sin α 本三角函数关系式 tan α＝ ，将正切化为正弦和余弦，这 cos α 就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函 数名称．
(3)降幂与升幂 1 1 2 由 C2α 变形后得到公式：sin α＝ (1－cos 2α)，cos α＝ (1＋cos 2 2
所以 cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
3 5 4 12 33 － ＝ 5× ＋ × ＝ . 13 5 13 65
π β π 而 0＜β＜ ，0＜ ＜ ， 2 2 4 β 所以 cos ＝ 2 1＋cos β 7 65 ＝ . 2 65
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) α (1)cos ＝ 2 1＋cos α .( 2 ) ) )
α 1 (2)对于任意 α∈R，sin ＝ sin α 都不成立．( 2 2 α (3)若 α 是第一象限角，则 tan ＝ 2 1－cos α .( 1＋cos α
答案：(1)×
(2)×
(3)√
2
56 α－ β sin（α－β） 65 4 所以 tan ＝ ＝ ＝ . 2 33 7 1＋cos（α－β） 1＋ 65
利用恒等变换求值的思路 (1)先化简已知或所求式子． (2)观察已知条件与所求式子之间的联系 (从三角函数名及角入 手 )． (3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
12 4 2.已知 sin α＝ ， sin(α＋β)＝ ， α、 β 均为锐角， 13 5 β 求 cos 的值． 2 π 12 5 2 解：因为 0＜α＜ ，sin α＝ ，所以 cos α＝ 1－sin α＝ . 2 13 13
α 2α α 2α sin sin 2－cos 2 －sin cos α 2 2 ＝ ＝ . α α sin sin 2 2
π α 因为－π＜α＜0，所以－ ＜ ＜0， 2 2 α －sin cos α 2 α 所以 sin ＜0，所以原式＝ α ＝cos α. 2 －sin 2
1.化简： ＜π)．
3π cos 2 －α－tan
α ·（1＋cos α） 2 (0＜α 1－cos α
α sin α α 解：因为 tan ＝ ，所以(1＋cos α)tan ＝sin α，又因 2 1＋cos α 2 为
3π cos 2 －α＝－sin
α α，且 1－cos α＝2sin ， 2
若本例中式子变为 （1＋sin θ＋cos
θ）sin
θ θ －cos 2 2
2＋2cos θ 则化简后的值是什么？
(0＜θ＜π)，
解：原式＝
2sin θ θ θ θ 2 θ cos ＋2cos sin －cos 2 2 2 2 2 2 θ 4cos 2
易忽视此条件
sin θ (6 分) 所以 S 矩形 ABCD＝AB· BC＝（cos θ－sin θ）· ＝－sin2 θ＋sin θcos θ 1 1 ＝－ (1－cos 2θ)＋ sin 2θ 2 2 (8 分) 1 1 ＝ (sin 2θ＋cos 2θ)－ 2 2
用 θ 的三角函数正确 表示 S 矩形 ABCD 是求解 此题的关键
3.如图，有一块以点 O 为圆心的半圆形空地，要 在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 开辟为绿地， 使其一边 AD 落在半圆的直径上，另两点 B，C 落在半圆的圆周上．已 知半圆的半径长为 20 m， 如何选择关于点 O 对称的点 A， D的 位置，可以使矩形 ABCD 的面积最大，最大值是多少？
2α－β
α－ β π α－ β 法一：由 0＜ ＜ ，得 sin ＝ 2 2 2 α－ β α－β sin 2 4 所以 tan ＝ ＝ . 2 α－ β 7 cos 2
4 65 ＝ . 2 65
33 法二：由 0＜α－β＜π，cos(α－β)＝ ，得 65 56 sin(α－β)＝ 1－cos （α－β）＝ . 65
解：连接 OB，设∠AOB＝θ， 则 AB ＝ OBsin θ ＝ 20sin θ ， OA ＝ OBcos θ ＝ 20cos θ ， 且
π θ∈0，2 .
因为 A，D 关于原点对称， 所以 AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S＝AD· AB＝40cos θ·20sin θ ＝400sin 2θ.因为
第三章
三角恒等变换
3．2
简单的三角恒等变换
第三章
三角恒等变换
1.运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正 切公式． 2.利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差 3.灵活运用和差的正余弦公式进行相关
与和差化积公式． 计算及化简、证明．
1．半角公式
2．辅助角公式 使 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)＝ a2＋b2cos(x－θ)成立时， a b a cos φ＝ 2 2 ， sin φ ＝ 2 2 ， sin θ ＝ 2 2 ， cos θ ＝ a ＋b a ＋b a ＋b b ， 其中 φ、 θ 称为辅助角， 它们的终边所在象限由点(a， a2＋b2 b)或(b，a)决定．
α）sin
（1－sin α－cos 化简 2－2cos α
2sin2
α α ＋cos 2 2
(－π＜α＜0)．
[解]原式＝
α α α α α －2sin cos sin ＋cos 2 2 2 2 2 ＝ α 2×2sin2 2
α α α α α 2sin sin 2－cos 2 sin 2＋cos 2 2 α 2sin 2
3 5 4 12 33 β＝ －5 × ＋ × ＝ . 13 5 13 65
π π 因为 ＜α＜π 且 0＜β＜ ，所以 0＜α－β＜π， 2 2 α－ β π 即 0＜ ＜ . 2 2 α－ β 所以 cos ＝ 2 1＋cos（α－β） ＝ 2 33 1＋ 65 7 65 ＝ . 2 65 1－cos
10 B． 10 3 D．－ 5
答案：B
3 θ 4． 已知 cos θ＝－ ， 且 180° ＜θ＜270° ， 则 tan ＝________． 5 2
答案：－2
4 5π θ 5．已知 sin θ＝ ，且 ＜θ＜3π，则 tan ＝________． 5 2 2