人教版2020高中数学 第三章 复数代数形式的加减运算及其几何意义检测 新人教A版选修1-2

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

A 级 基础巩固

一、选择题

1．设m ∈R，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( ) A ．12

B ．3

C ．－1

D ．－1或3 解析：z ＝(2m 2＋m －1)＋(3＋2m －m 2)i ，依题意，2m 2＋m －1＝0，且3＋2m －m 2≠0，解得m ＝

12

. 答案：A

2．设a ，b ∈R ，z 1＝2＋b i ， z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )

A ．1＋i

B ．2＋i

C ．3

D ．－2－i

解析：由于z 1＋z 2＝(a ＋2)＋(b ＋1)i ＝0.

所以⎩

⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1故a ＋b i ＝－2－i. 答案：D

3．在复平面内，复数z 1＝15i ，z 2＝45

i －2，z ＝z 1＋z 2，则复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：因为z ＝z 1＋z 2＝15i ＋45

i －2＝－2＋i ， 所以实部小于0，虚部大于0，

故复数z 对应的点位于第二象限．

答案：B

4．若在复平面上的▱ABCD 中，AC →对应复数为6＋8i ，BD →对应复数为－4＋6i ，则DA →对应的复

数是( )

A ．2＋14i

B ．1＋7i

C ．2－14i

D ．－1－7i

解析：设AB →，AD →对应的复数分别为z 1与z 2，

则由复数加减法的几何意义，得

⎩

⎪⎨⎪⎧z 1＋z 2＝6＋8i ，z 2－z 1＝－4＋6i ，所以z 2＝1＋7i ， 因此向量DA →对应的复数为－z 2＝－1－7i.

答案：D

5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →

为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．

答案：B

二、填空题

6．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限． 解析：由z ＝3－4i ，得|z |＝32＋（－4）2

＝5，

所以z －|z |＋(1－i)＝－1－5i 在复平面内对应点(－1，－5)在第三象限．

答案：三

7．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3

＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是________．

解析：因为OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，

所以BA →对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i.

又在平行四边形ABCD 中，CD →＝BA →，

故CD →对应的复数为4－2i.

答案：4－2i

8．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________．

解析：因为z ＋3i 是纯虚数，

所以设z ＋3i ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＝(b －3)i.

又|z |＝3，所以|b －3|＝3，解得b ＝6，

因此z ＝(6－3)i ＝3i.

答案：3i

三、解答题

9．设m ∈R，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)．

(1)若z 为实数，求m 的值；

(2)若z 为纯虚数，求m 的值．

解：z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.

(1)若z 为实数，则m 2－3m ＋2＝0，

所以m ＝1或2.

(2)若z 为纯虚数，

则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2

－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，解得m ＝－12.

故当m ＝－12时，z 为纯虚数．

10．在复平面内， A ，B ，C 三 点对应的复数为1，2＋i ，－1＋2i.

(1)求向量AB →，AC →，BC →对应的复数；

(2)判定△ABC 的形状．

解：(1)OA →＝(1，0)，OB →＝(2，1)，OC →＝(－1，2)，

所以AB →＝OB →－OA →＝(1，1)，对应的复数为1＋i ，

AC →＝OC →－OA →＝(－2，2)，对应的复数为－2＋2i ，

BC →＝OC →－OB →＝(－3，1)，对应的复数为－3＋i.

(2)因为|AB |＝1＋1＝2，|AC |＝（－2）2＋22＝8，

|BC |＝（－3）2＋1＝10，

所以|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.

所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．

B 级 能力提升

1．满足|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上所对应的点的轨迹是( )

A ．一条直线

B ．两条直线

C ．圆

D ．椭圆

解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －i|＝|3＋4i|， 所以x 2＋（y －1）2＝32＋42＝5，则x 2＋(y －1)2＝25，

因此复数z 在复平面上对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，以5为半径的圆．

答案：C

2．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为________．

解析：|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|