2020学年四川省乐山市高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2020学年四川省乐山市高二下学期期末考试数学试题一、 单选题1．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．250【答案】 A【解析】试题分析：根据已知可得：70100350015003500n n =⇒=+，故选择A【考点】分层抽样2．若复数2()m m mi -+为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】试题分析：若复数2()m m mi -+为纯虚数，则必有20{0m m m -=≠解得：1m =，所以答案为C ．【考点】1．纯虚数的定义；2．解方程．3．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x ，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x 等于（） A ．21 B ．22 C ．23 D ．24【答案】A【解析】这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x 的方程，解方程即可． 【详解】由条件可知数字的个数为偶数，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数， ∴中位数22232x +=， ∴x ＝21 故选：A ． 【点睛】本题考查了中位数的概念及求解方法，属于基础题．4．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6【答案】B【解析】区间[22,30)内的数据共有4个，总的数据共有10个，所以频率为0．4,故选B ．5．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（） A ．118B ．112 C ．16D ．19【答案】D【解析】求出所有的基本事件数N 与所求事件包含的基本事件数n ，再由公式nN求出概率得到答案. 【详解】抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6＝36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种，故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是41369=， 故选：D ． 【点睛】本题考查了古典概率模型问题，考查了列举法计算基本事件的个数，属于基础题．6．曲线()33f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则P 点的坐标为（ ） A ．()1,3 B ．()1,3- C ．()1,3和()1,3- D ．()1,3-【答案】C【解析】求导，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，经检验可得P 点的坐标. 【详解】因()2'31f x x =-，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，所以()1,3P 或()1,3-，经检验，点()1,3，()1,3-均不在直线21y x =-上，故选C ．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．7．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）A.34B.78C.1516D.3132【答案】C【解析】根据程序框图，当输入的数为x ，则输出的数为1615x -，令16150x -=可得输入的数为1516. 【详解】1,21i x x ==-，2,2(21)143i x x x ==⋅--=-，3,2(43)187i x x x ==⋅--=-， 4,2(87)11615i x x x ==⋅--=-，当16150x -=时，解得：1516x =.【点睛】本题考查直到型循环，要注意程序框图中循环体执行的次数，否则易选成错误答案.8．设集合{}1,2,3,4,5,6A B ==，分别从集合A 和B 中随机抽取数x 和y ，确定平面上的一个点(),P x y =，记“点(),P x y =满足条件2216x y +≤”为事件C ，则()P C =（） A ．29B ．112 C ．16D ．12【答案】A【解析】求出从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y 的基本事件总数，和满足点P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 【详解】∵集合A ＝B ＝{1，2，3，4，5，6}，分别从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y ，确定平面上的一个点P （x ，y ）， 共有6×6＝36种不同情况，其中P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的有： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个， ∴C 的概率P （C ）82369==， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，考查了列举法计算基本事件的个数，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．9．在区间[]0,1上任取两个实数a ，b ，则函数()22f x x ax b =++无零点的概率为（ ）A.12B.14C.23D.34【答案】D【解析】在区间[]0,1上任取两个实数a ，b ，其对应的数对(,)a b 构成的区域为正方形ODBC ，所求事件构成的区域为梯形区域，利用面积比求得概率. 【详解】因为函数()22f x x ax b =++无零点，所以2240a b -<，因为01,01a b ≤≤≤≤，所以22402a ab b -<⇔>， 则事件函数()22f x x ax b =++无零点构成的区域为梯形OABC ，在区间[]0,1上任取两个实数a ，b 所对应的点(,)a b 构成的区域为正方形ODBC ，所以函数()22f x x ax b =++无零点的概率OABC ODBC 34S P S ==梯形正方形.【点睛】本题考查几何概型计算概率，考查利用面积比求概率，注意所有基本事件构成的区域和事件所含基本事件构成的区域.10．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则 3456784.0 2.5 0.5- 0.5 2.0- 3.0-A ．0a >，B ．0a >，C ．0a <，D ．0a <，【答案】B【解析】【详解】试题分析：由表格数据,x y 的变化情况可知回归直线斜率为负数0b ∴<，中心点为()5.5,0.25，代入回归方程可知0a > 【考点】回归方程11．若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A.51[,)8+∞ B.(],3-∞C.51,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.[)3,+∞【答案】A【解析】由函数()f x 在区间[]1,4上单调递减，得到不等式'()0f x ≤在[]1,4x ∈恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t 的取值范围. 【详解】因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，所以'2()3230f x x tx =-+≤在[]1,4x ∈恒成立，所以(1)0,(4)0,f f '≤'≤⎧⎨⎩即40,5180,t t -≤⎧⎨-≤⎩解得：518t ≥.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题. 12．已知函数f(x)＝x(lnx －ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．C ．(0,1)D ．(0，＋∞)【答案】B【解析】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1，令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是（0，）． 故选B ．二、填空题13．用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率为_____．【答案】120【解析】总体含100个个体，从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为5100. 【详解】因为总体含100个个体，所以从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为5110020=. 【点睛】本题考查简单随机抽样的概念，即若总体有N 个个体，从中抽取n 个个体做为样本，则每个个体被抽到的概率均为n N. 14．已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =_____． 5【解析】求出复数2z i =-，代入模的计算公式得|z |5=【详解】由()431243212ii z i z i i++=+⇒==-+， 所以22||215z =+=【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题.15．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点，则AE 与1CD 所成角的余弦值为____．【答案】1010； 【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE 与CD 1所成角的余弦值． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （2，0，0），E （2，2，1），C （0，2，0），D 1（0，0，2）， AE =（0，2，1），1CD =（0，﹣2，2）， 设AE 与CD 1所成角为θ， 则cosθ112101055AE CD AE CD ⋅===⋅⋅， ∴AE 与CD 1所成角的余弦值为1010． 故答案为：1010．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =在()0+，∞上存在公共点，则a 的取值范围为【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：根据题意，函数与函数在()0+，∞上有公共点，令2x ax e =得：2xe a x=设()2x e f x x =则()222x xx e xe f x x-'= 由()0f x '=得：2x =当02x <<时，()0f x '<，函数()2xef x x =在区间()0,2上是减函数，当2x >时，()0f x '>，函数()2x ef x x=在区间()2,+∞上是增函数，所以当2x =时，函数()2x e f x x =在()0+，∞上有最小值()224e f = 所以24e a ≥．【考点】求参数的取值范围．三、解答题17．已知函数()()()3212f x x a x a a x b =+--++(),a b R ∈ （1）若函数()f x 的导函数为偶函数，求a 的值；（2）若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围【答案】（1）1a =；（2）11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）求出函数()f x 的导数()()()23212f x x a x a a '=+--+，由于二次函数'()f x 为偶函数，所以一次项系数为0，进而求得a 的值；（2）由题意得()0f x '=存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于0. 【详解】（1）∵()()()23212f x x a x a a '=+--+，由题因为()f x '为偶函数，∴()210a -=，即1a =（2）∵曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程()()()23212f x x a x a a '=+--+有两个不相等的实数根，∴()()2411220a a a ∆=-++>，即24410a a ++>，∴12a ≠-.∴a 的取值范围为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线转化成方程有两根.18．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,A A A A A ，，，，3名女同学123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率.【答案】（1）13；（2）215.【解析】（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015-=人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为151.453P == （2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}{}{}{}414243515253,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个.因此1A 被选中且1B 未被选中的概率为215P =. 【考点】1.古典概型；2.随机事件的概率.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点。