数分第十六章十七章复习题

第16章和第17章的复习自测题

一、了解两点间的距离的含义和点的邻域（包括圆邻域和方邻域）和空心邻域的含义，会用邻域来描述点与点集的两类分类关系（内点，外点和边界点关系；聚点，孤立点和外点关系）；理解点列收敛的含义，熟练掌握点列收敛与坐标数列收敛的等价关系；并用上述内容解决下面的问题：

1、据理说明：设2

E R ⊂， （1）E 的内点

⇒⇐

E 的聚点；聚点包含内点和非孤立点的边界点，从而

int E E E E E ''⊂⋃⊂⋃∂；

（2）E 的孤立点

⇒⇐

E 的边界点；边界点包含孤立点和非内点的聚点，从而

E E E '∂⊂⋃。

2、根据1的结果证明（E 的闭包（记为E ）的两种表示）：设2

E R ⊂，则

E E E E E '=⋃=⋃∂；

3、（聚点的等价关系）设2

P R ∈，2

E R ⊂，则下面的说法等价

（1）P 是E 的聚点（即对P 的任意邻域()U P ，总有0()U P E ⋂≠∅）；

（2）存在E 中的一个点列{}n P E ⊂，n P

P ≠，使得lim n n P P →∞

=； （3）对P 的任意邻域()U P ，总有()U P E ⋂为无限集。

注：今后考虑聚点时，可根据具体问题选择上面三种说法中的任何一种来反映聚点。

二、了解开集（即int E E =），闭集（即E E '⊂），（道路）连通集，凸集，开域，闭域和区域的含义，并用这些集的含义解决下面的问题：

1、（开集和闭集的对偶关系）E 是开集⇒c

E 是闭集；E 是闭集⇒c

E 是开集； 注：此结果表明：开集和闭集的集合的余运算（或称补运算）下，可相互转化。 2、开集和闭集的并交差运算性质：

（1）若1E ，2E 为开集，则12E E ⋃和12E E ⋂仍为开集； （2）若1F ，2F 为闭集，则12F

F ⋃和12F F ⋂仍为闭集； （3）若E 为开集，F 为闭集，则\E F 为开集（即开集减闭集的差集仍为开集），\F E 为闭集（即闭集减开集的差集仍为闭集）。

3、设(,)f x y 为2

R 上的连续函数，R α∈，记

{}2(,)(,)E x y R f x y α=∈>，{}21(,)(,)E x y R f x y α=∈<，

{}2(,)(,)F x y R f x y α=∈≤，{}21(,)(,)F x y R f x y α=∈≥，

证明E 和1E 是开集，F 和1F 是开集。

提示：（1）利用连续函数的局部保号性和开集的定义证明E 和1E 是开集；

（2）注意到c

F E =，11c

F E =，利用开集和闭集的对偶关系证明

F 和1F 是开集。

三、熟悉2

R 上的四个完备性定理（点列收敛的柯西准则，闭集套定理，聚点定理（包括致密性定理），有限覆盖定理）的内容，并会用实数的完备性定理或其证明方法证明着四个定理。

四、仔细体会二元函数的各种重极限的含义，清楚重极限与累次极限的区别和一定条件下的关系，熟练掌握重极限的常用性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，夹逼性），试用上面的内容解决下面的问题：

1、叙述并证明

00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y →的局部保号性和局部有界性；

2、证明（极限的夹逼性）：若(,)f x y ，(,)g x y ，(,)h x y 在点000(,)P x y 的某空心邻域0

0()

U P 满足：

(,)(,)(,)g x y f x y h x y ≤≤，

且

0000(,)(,)

(,)(,)

lim (,)lim (,)x y x y x y x y g x y A h x y →→==

，

则

00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y A →=。

3、证明：若

(,)(,)

lim

(,)x y a b f x y A →=，且对任意固定的y b ≠，有lim (,)()x a

f x y y ϕ→=存在，则

lim ()y b

y A ϕ→=，且lim lim (,)y b x a

f x y A →→=。

4、归纳讨论(,)f x y 的（重）极限不存在的两种方法（特殊路径法和累次极限法），并用适当方法讨论下列函数在原点处的累次极限和重极限：

（1）22

(,)xy f x y x y =+；（2）(,)xy f x y x y =+；（3）23

(,)2x y y f x y x y -+=+。 提示：（2）取y x =可得，2

(,)(0,0)0lim (,)lim

02x y x y x

x f x y x →→===，用待定函数法取()y xC x =，其中()1C x x =-可得

2(,)(0,0)0()

(1)

lim

(,)lim 10(1)x y x y xC x x x f x y x x x →→=-==-≠+-，从而(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →不存在。

5、归纳并熟练掌握求(,)f x y 重极限的常用方法（定义法，四则运算法，夹逼性，选择适当变换转化为一元函数的极限），并用夹逼性求下列极限（包括非正常极限）：

（1）22

lim

x y x y x y →∞→∞

++； （2）22222222ln()

0000lim()lim x y x y x y x x y y x y e

+→→→→+=； （3）2244lim x y x y x y →∞→∞++； （4）22

4400

lim x y x y x y →→++。

五、仔细体会二元函数连续的含义，了解二元初等函数的含义以及二元初等函数的连续性；熟练掌握连续函数的局部性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，复合函数的连续性），有界闭集上连续函数的整体性质（有界性和最值性，一致连续性），连通集上连续函数的介值性。试用上面解决下面的问题：

1、讨论下列函数的连续性：

（1）sin ,0(,)0,0xy y y f x y y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩； （2

）22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩

；

（3）()22222

22

ln ,0

(,)0,

0y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨+=⎪⎩；

（4）0,(,)(),x f x y yD x y x ⎧==⎨

⎩为无理数

为有理数

，其中()D x 为狄利克雷函数。

2、设()22

22

22,0(,)0,

0p x x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪

+=⎩（0p >），试讨论它在点(0,0)的连续性。

3、（复合函数的一致连续性）设(,)u x y ϕ=合(,)v x y ψ=在xy 平面上的点集E 上一致连续，

(,)f u v 在uv 平面上的点集D 上一致连续，且

{}(,)(,),(,),(,)u v u x y v x y x y E D ϕψ==∈⊂，

则复合函数[](,),(,)f

x y x y ϕψ在点集E 上一致连续。

六、掌握二元函数连续与对单变量连续的关系，仔细体会在一定的条件下，由单变量连续导出连续的方法，并用这些方法解决下面的问题：

1、设(,)f x y 在开域G 内对x ，y 都连续，且(,)f x y 对x 连续关于y 是一致的：即对任意0x 以及任意0ε>，存在0(,)x δδε=，当0x x δ-<时，对一切y ，都有