陕西省西安交大阳光中学高中数学 第一章 单位圆与诱导公式(1)学案 新人教版必修4
高一数学新人教版(A版)必修第1册《5.3.1 诱导公式》第1课时 精品课件
如图 5.3-3，作 P1 关于 x 轴的对称点 P3 ，以 OP3 为终边的角 b 都是与角 -a 终边相同的角，即 b = 2kπ +(-a)(k Î Z)．
如图 5.3-4，作 P1 关于 y 轴的对称点 P4 ，以 OP4 为终边的角 b 都是与角 π - a 终边相同的角，即 b = 2kπ +(π - a)(k Î Z)．
3
3
sin 2
3
sin( )
3
sin 3
32
例 1 利用公式求下列三角函数值：
（3）sin(- 8π)； 3
解：sin(16 ) sin 16
3
3
sin(5 ) 3
sin( )
3
（4） tan(-2040o)．
tan(2040 ) tan 2040
tan(120 360 6) tan(120 ) tan120 tan(180 60 )
公式 一
公式 三
公式 二
公式 四
公式一~公式四：分别表示α+2kπ，-α，(π±α)的三角函数值 与α的同名函数值的关系。
记忆方法：“函数名不变，符号看象限.”（看成锐角）
例 1 利用公式求下列三角函数值：Βιβλιοθήκη （1） cos 225 °；
cos 45 2 2
（2）sin 8π ； 3
sin 8 sin(2 2 )
例 2 化简： cos(180o + a)sin(a + 360o ) ． tan(-a -180o)cos(-180o + a)
解：tan( 180 ) tan[( 180 )] - tan（ 180 ) - tan
cos(180 ) cos[(180 )] cos(180 ) cos
《单位圆和诱导公式》教学设计
()v u ,P 。
，____cos ____sin ==αα单位圆和诱导公式教学设计———几何背景的探究性学习一、教学目标1 知识目标1)识记诱导公式.2)理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求正、余弦函数的值. 2 能力目标1) 利用信息技术辅助探究诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维．3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题方式和解决问题的实践能力．3 情感目标1)利用信息技术辅助探究诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．2)通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．二、教材分析1、教材的地位与作用本节课教学内容“单位圆与诱导公式”是北师大必修4的第一章§4.3节内容．它既是学生已学习过的三角函数定义的延续和拓展，又是推导其他诱导公式的理论依据．是本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下作用的重要纽带．求三角函数值是三角函数中的重要内容．本节诱导公式是求正、余弦函数值的基本方法．本节诱导公式的重要作用是把求任意角的正、余函数值问题转化为求0°～90”角的正、余函数值问题.2、教学重点与难点1.1教学重点：诱导公式的推导及应用2.2教学难点：相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识．三、学生分析学生刚学完单位圆正弦、余弦函数定义，学生借助单位圆进行探究性学习正、余弦函数的诱导公式,本节课利用信息技术辅助探究诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式,这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大的意义.四、教学过程1、问题:在直角坐标系中，已知角 α点 则 回顾公式一：απααπ)2cos(,sin )2sin(+=+k k 设计意图:引导学生观察图, 学生温习、重视已有相关知识，为学生学习新知识作铺垫． 师生活动:教师用多媒体演示单位圆图，让学生完成以下两个空,教师提问学生.2、问题：在直角坐标系的单位圆中，如图3π=∠MOP 和32/π=∠AOP ，观察1－15，角的终边有什么对称关系？设计意图：创设问题情境，引导学生观察、联想，导入课题.师生活动：教师提出问题，并用多媒体演示单位圆图，引导学生利用单位圆本身的对称性，强调通过看图这两个角的终边与单位圆交点坐标的对称性，来得到两角的正弦、余弦函数关系的最重要最本质的变化特征,由每组学生一起探究并选出代表回答问题，教师抽查两组同学给出评价.3、问题：若 απα-=∠=∠/MOP AOP ， ，这两个角终边与单位圆交点的坐标还有上述ααπααπcos )cos(sin )sin(-=-=- 设计意图：使学生体验和领会数形结合与归纳转化的数学思想方法．由已有知识导出新的问题，为学习新知识创设问题情境，以引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲，启迪学生思维的火花．师生活动：教师提出问题不给出单位圆，让每组同学动手画图讨论、整理，写出探究过程与结论，巡视学生的探究情况，抽两组同学典型的探究过程用投影机投影, 进行点拨.教师启发同学们用单位圆本身的对称性，角的终边与单位圆交点坐标的对称性来探究学习，最后老师用多媒体演示α终边分别在第二、三、四象限时得到相应的角πα-的终边与单位圆交点坐标的对称性来探究过程，得到公式二.4、问题：若α是第二，三，四象限角是否会有同样的结论？请同学们用同样的方法讨论角。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(1)学案(含解析)新人教A版必修4(202
高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（1）学案（含解析）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（1）学案（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
3 三角函数的诱导公式(一)班级：__________姓名：__________设计人：__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语攻克科学堡垒，就像打仗一样，总会有人牺牲，有人受伤,我要为科学而献身。
——罗蒙诺索夫学习目标1．能借助于单位圆中的三角函数线推导诱导公式.2．能熟练运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
学习重点1．诱导公式一到四的推导2．熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题学习难点诱导公式的灵活运用自主学习诱导公式预习评价1．计算：sin 600°=A。
B。
C。
D.2．计算的值为A. B. C。
D.3．sin 210°＝_________。
4．已知sin=，则sin（π－）=____________.5．若tan（π+)=，则tan＝_______________。
♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究观察，π－,π+，－的终边思考下列问题.s根据上图，完成下面的填空。
①π+与的终边关于_________对称；②π－与的终边关于__________对称；③－与的终边关于____________对称.(2)根据任意角三角函数的定义,并结合探究1的结论,探究下面的问题。
高一数学《单位圆的对称性与诱导公式》教案
高一数学《单位圆的对称性与诱导公式》教案高一数学《单位圆的对称性与诱导公式》教案【学习目标】1、感受数学探索的成功感，提高学习数学的兴趣；2、经历诱导公式的探索过程，感悟由未知到已知、复杂到简单的数学转化思想。
3、能借助单位圆的对称性理解记忆诱导公式，能用诱导公式进行简单应用。
【学习重点】三角函数的诱导公式的理解与应用【学习难点】诱导公式的推导及灵活运用【知识链接】（1）单位圆中任意角α的正弦、余弦的定义（2）对称性：已知点P(x,y)，那么，点P关于x轴、y轴、原点对称的点坐标【学习过程】一、预习自学阅读书第19页——20页内容，通过对－α、π－α、π＋α、2π－α、α的终边与单位圆的交点的对称性规律的探究，结合单位圆中任意角的正弦、余弦的定义，从中自我发现归纳出三角函数的诱导公式，并写出下列关系：(1)- 407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式与 407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系(2)角407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式与角407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系(3)角 407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式与角407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系(4)角 407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式与角407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式的正弦函数、余弦函数关系二、合作探究探究1、求下列函数值，思考你用到了哪些三角函数诱导公式？试总结一下求任意角的三角函数值的过程与方法。
（1） 407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（2） 407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式 (3)sin(－1650°)；探究2: 化简： 407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式（先逐个化简）探究3、利用单位圆求满足 407[导学案] <wbr>4.4单位圆的对称性与诱导公式的角的集合。
高中一年级上学期数学《诱导公式——第一课时》教学设计含作业
教学设计90︒的角的（一）情景引入（引发认知冲突，激发学习兴趣）如图所展示的图片是天津之眼，是一座跨河建设，桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能，是世界上唯一建设在桥上的摩天轮。
在乘坐摩天轮的过程中，随着摩天轮的旋转即角α变化，我们离地面的高度对应变化，其实，在这种一圈一圈转动的运动形式背后，也蕴涵了丰富的数学内涵（如：对称性、周期性），下面我们先看一个具体的数学问题：【教师提问1】：如图，摩天轮轴心为O ，轴心到地面距离为d ，轴半径设为1 ，当我们乘坐摩天轮从点P 逆时针运动到1P 时，旋转角︒=30α，此时距离地面高度h 为多少？摩天轮继续转动，你能用任意时刻的旋转角α表达离地高度h 吗？【教师提问2】：你能用任意时刻的旋转角x 表示离地高度h 吗？设计意图：体会生活中的周期现象，初步学会用三角知识刻画周期变化规律；通过分析，学生发现要求高度h ，只需求出角α（任意角）的正弦即可；初步学会抽象实际问题成数学问题的基本方法；通过从特殊角正弦函数值推广到任意角正弦值引起认知冲突，让学生主动提出问题，激发学生的学习兴趣，为后续小组合作探究推波助澜。
（二）问题探究【教师提问3】：知1sin 302︒=，你还能求哪些角度的正弦值？请给出理由。
（注：教师根据情况启发学生，引导学生回顾三角函数定义，发现sin30︒的值即角30︒的终边与单位圆交点的纵坐标）【学生探究1】：单位圆中数形结合发现角3015021030︒︒︒-︒、、、、 60的终边有对称性，由此猜测还可以求上述角的正弦值。
【教师提问4】：上述结论中的30︒可以换成任意锐角α吗？【学生探究2】：根据任意角三角函数定义，结合对应角的终边的对称性，发现对任意作业练习。
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第一章 正切函数的诱导公式学案 新人教版必修4
公式七： 公式八：
2. 运用上面的诱导公式我们可以归纳出以下公式：
tan(2π＋α)＝tan(－α)＝
tan(2π－α)＝tan(π－α)＝
tan(π＋α)＝
问题生成记录：
精
讲
互
动
例1．若tanα＝ ，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值
例2．化简：
达
标
训
练
1.已知角 的终边在直线3x+4y=0上，求sin ,cos ,tan 的值.
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第一章 正切函数的诱导公式学案 新人教版必修4
目标
1.巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式
能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值
重点
运用诱导公式求出任意角的三角函数值
二次备课
难点
运用诱导公式求出任意角的三角函数值
自主Leabharlann 学习1.复习：
公式一 公式二：
公式三： 公式四：
2．已知tan =2,求下列各式的值：
（1） ;
（2） ;
作业
反思
板书
设计
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第一章 y=Asin(wx+)的图像(第1课时)学案 新人教版必修4
弄清参变数A、ω对图象的影响
自
主
学
习
复习：
①正弦曲线：____________________________________________________；
②余弦曲线:_____ _____________________________________________；
③五点法做图的五点:______________________________________.
阅读课本p42回答下面问题：
(1)如在同一坐标系中作出 及 的简图，并指出它们的图象与 的关系。
①列表
x
②画图
问题生成记录：
精
讲
互
动
(1)解析“自主学习(1)”的性质;
(2)p44“思考交流”
(3)例题解析
例1(教材p44例2)
①列表
x
x
达
标训练P46练来自1，2，3作业反思
板书
设计
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第一章 y=Asin(wx+)的图像(第1课时)学案 新人教版必修4
目标
会用“五点法”作y=Asin(ωx+φ) 的图象；理解振幅变换和周期变换的规律；会由y=sinx的图象变换得到y=Asinx、y=sin(x+φ)的图象。
重点
振幅变换和周期变换规律的理解.
二次备课
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第一章 正切函数的诱
（1） ;
（2） ;
作业
反思
板书
设计
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第一章 正切函数的诱导公式学案 新人教版必修4
目标
1.巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式
能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值
重点
运用诱导公式求出任意角的三角函数值
二次备课
难点
运用诱导公式求出任意角的三角函数值
自
主
学
习
1.复习：
公式一 公式二：
公式三： 公式四：
公式五 公式六：
公式七： 公式八：
2. 运用上面的诱导公式我们可以归纳出以下公式：
tan(2π＋α)＝tan(－α)＝
tan(2π－α)＝tan(π－α)＝
tan(π＋α)＝
问题生成记录：
精Hale Waihona Puke 讲互动例1．若tanα＝ ，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值
例2．化简：
达
标
训
练
1.已知角 的终边在直线3x+4y=0上，求sin ,cos ,tan 的值.
高中数学1.3.4单位圆与诱导公式(1)导学案(无答案)新人教版必修4
1.求下列各式的值（1）sin
16
(
2)sin印
3
4
(1)f (x)
sin x
2•判断下列函数的奇偶性：
⑵f(x)
sin xcosx
【延伸】例3•化简Sin（
n ) sin(
n
-(n Z)
si n(
n )cos(
n
)
说明：关键抓住题中的整数
n是表示 的整数倍与公式一中的整数k有区别，所以
必须把n分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.
(1)sin960o；(2)cos(43)；(3)tan( 1560o).
6
分析：先将不是0o,360o范围内角的三角函数，转化为0o,360o范围内
的角的三角函数(利用导公式一)或先将负角转化为正角然后再用诱导公 式化到0o,90o范围内角的三角函数的值。
【解】
【归纳总结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步
位圆的交点则siny，cosx；
2、诱导公式 由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等.
(1)公式一：
思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、
关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？
当角的终边与角的终边关于x轴对称时，与 的三角函数值之间的关
系为：。
4
授课 时间
第周星期第节
课 型
新授 课
主备课 人
数学教研 组
学习 目标
1.巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式；
2.能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值
重点
难点
运用诱导公式求出任意角的三角函数值
陕西省西安交大阳光中学高中数学 2.2.2 导数的几何意义学案 新人教版选修2-2
提示：曲线上一点处的切线斜率
不妨设P(x1，f(x1))，Q(x0，f(x0))，则割线PQ的斜率为，
抽象概括
曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：
二、知识运用
1、割线斜率的求法
认真阅读课本例4（参考问题1的答案进行解答）
本题考查：在某一区间上的平均变化率与相应的割线的斜率的关系．
陕西省西安交大阳光中学高中数学2.2.2导数的几何意义学案 新人教版选修2-2
目标
1.理解导数的几何意义;
2.会根据导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程;
3.让学生体会“数形结合,逼近”的思想方法
重点
导数的几何意义, 切线方程的求法以及“数形结合,逼近”的思想方法
二次备课
难点
理解导数的几何意义的本质内涵
2、切线方程的求法
认真阅读课本例5(写出具体解题过程)
总结求曲线在某点处的切线方程的一般步骤：
达
标
训
练
1、求 在 处的切线斜率并求出过该点的切线方程．
2、求 在 处的切线方程．
3、求曲线 在ห้องสมุดไป่ตู้ 处的切线．
作业
反思
板书
设计
自
主
学
习
1、导数的定义:
2、求导数 的步骤是怎样的？
新知探究:
请同学们带着以下的问题阅读课本P34第一、二段的内容
问题生成记录：
精
讲
互
动
一、导数的几何意义
问题1：你能借助图像说说平均变化率表示什么吗？请在函数图像中画出来．
问题2：在 的过程中，你能描述一下割线PQ的变化情况吗？请在图像中画出来．
人教版数学高一-人教A版高一数学必修四 单位圆与诱导公式1学案
小结：运用诱导公式的格式；注意符号.
例2化简 .
练1.已知cos(π＋x)＝0.5，求cos(2π－x)的值.
练2.化简： .
三巩固练习
1. （）.
A. B. C. B.
2.下列式子正确的是（）.
A. B.
C. D.
3.化简 =（）.
A. B.
C. D.
4. .
5. cos(π－x)＝ ，则cos(－x)=.
教案、学案：单位圆与诱导公式1
年级高二
学科数学
课题
单位圆与诱导公式1
授课时间
撰写人
时间
学习重点
诱导公式的记忆、理解、运用。
学习难点
诱导公式的推导、记忆及符号的判断
学习目标
1.掌握π＋α、－α、π－α等诱导公式；
2.能熟练运用诱导公式进行化简与求值..
教学过程
一自主学习
1写出2kπ＋α的诱导公式.
sin(2 kπ+ )=；cos(2 kπ+ )=；
四课后反思
五课后巩固练习
1.求证： .
2.已知sin(π+ )= （ 为第四象限角），求cos(π+ )+tan(－ )的值.
2.sin(π＋α)=；cos(π＋α) =；
3.仿上面的步骤推导－α、π－α的诱导公式.
口诀：奇变偶不变，符号看象限.（90度的奇数Байду номын сангаас函数名称改变，90度偶数倍函数名称不变，“符号”是把任意角α看成锐角时， 所在象限的三角函数值的符号.）
二师生互动
例1求值：（1）sin225°；（2）cos ；
（3）sin(－ )；（4）cos（－ ）.
高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.2.4 诱导公式(一)学案 新人教B版必修4-新人教B版高一
1.2.4 诱导公式(一)[学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式一～三的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．[知识链接]1．对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？答所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间有什么对称关系？答相关角终边之间的对称关系π＋α与关于原点对称α－α与α关于x轴对称π－α与关于y轴对称α[预习导引]1．(1)角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系cos(α＋k·2π)＝cos_α，sin(α＋k·2π)＝sin_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α.(一) (2)角α与－α的三角函数间的关系cos(－α)＝cos_α，sin(－α)＝－sin_α，tan(－α)＝－tan_α.(二)(3)角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos_α，sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin_α，tan[α＋(2k＋1)π]＝tan_α.(三)2．2kπ＋α(k∈Z)，α＋(2k＋1)π，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！要点一 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6； (3)tan(－945°)． 解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)方法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋7π6 ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. 方法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.规律方法 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．跟踪演练1 求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋4π3的值(n ∈Z )． 解 ①当n 为奇数时，原式＝sin 2π3·⎝⎛⎭⎪⎫－cos 4π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. ②当n 为偶数时，原式＝sin 2π3·cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝－34. 要点二 给值求值问题 例2 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． 解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－75°＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin []180°＋α－75°＝－sin(α－75°)＝223. 规律方法 解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．跟踪演练2 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝15. 要点三 三角函数式的化简例3 化简下列各式：(1)sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α(k ∈Z )；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin 2n π－αcos[2n －1π－α]sin[2n ＋1π＋α]cos 2n π＋α＝sin －α·cos －π－αsin π＋α·cos α＝－sin α·－cos α－sin α·cos α＝－1； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[2n ＋1π－α]·cos[2n ＋1－1π－α]sin[2n ＋1＋1π＋α]·cos[2n ＋1π＋α]＝sin π－α·cos αsin α·cos π＋α＝sin α·cos αsin α·－cos α＝－1. 综上，原式＝－1.(2)原式＝1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70°sin 180°＋70°＋cos 720°＋70°＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 规律方法 三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2 α＋cos 2α＝tan π4. 跟踪演练3 化简下列各式：(1)cos π＋α·sin 2π＋αsin －α－π·cos －π－α； (2)cos 190°·sin －210°cos －350°·tan －585°. 解 (1)原式＝－cos α·sin α－sin π＋α·cos π＋α＝cos αsin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos 180°＋10°[－sin 180°＋30°]cos －360°＋10°[－tan 360°＋225°] ＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan 180°＋45°]＝－12－tan 45°＝121．求下列三角函数的值：(1)sin 690°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－203π；(3)tan(－1 845°)． 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12. (3)tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.2．化简：cos 180°＋αsin α＋360°sin －α－180°cos －180°－α. 解 原式＝－cos α·sin α[－sin α＋180°]·cos 180°＋α＝sin αcos αsin α＋180°cos 180°＋α＝sin αcos α－sin α－cos α＝1. 3．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan －α＋π－tan －α－πsin －π－α，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 解 f (α)＝sin α·cos α·－tan αtan α·sin α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－cos π3＝－12. 4．证明：2sin α＋n πcos α－n πsin α＋n π＋sin α－n π＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ， 左边＝2sin α＋2k πcos α－2k πsin α＋2k π＋sin α－2k π＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin α＋2k π－πcos α－2k π＋πsin α＋2k π－π＋sin α－2k π＋π＝2sin α－πcos α＋πsin α－π＋sin α＋π＝2[－sin π－α]－cos α－sin α＋－sin α＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin α＋n πcos α－n πsin α＋n π＋sin α－n π＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用 公式一将角转化为0～2π之间的角求值 公式二将负角转化为正角求值 公式三将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 2.这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.一、基础达标1．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32答案 A 2．若n 为整数，则代数式sin n π＋αcos n π＋α的化简结果是( ) A ．±tan α B ．－tan αC ．tan α D.12tan α 答案 C3．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12 B ．±32 C.32 D ．－32答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32(α为第四象限角)． 4．tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1 答案 A解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 5．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k 2kB ．－1－k 2k C.k1－k 2 D ．－k 1－k 2答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ， ∴sin 80°＝1－k 2. ∴tan 80°＝1－k 2k . ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝________. 答案 －33解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－33. 7．化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z . 解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z . 原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π·cos 43π＝(－sin 23π)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π ＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. 当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z . 原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋43π ＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π3 ＝sin π3×cos π3＝32×12＝34. ∴sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .二、能力提升8．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53 B ．－53C ．±53 D ．以上都不对 答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. 9．已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则sin α－2π＋2cos 2π－α2sin －α－cos 2π＋α的值为________． 答案 －m ＋22m ＋110．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 015)＝1，则f (2 016)＝________.答案 3解析 f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.11．若cos(α－π)＝－23，求 sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3πcos π－α－cos －π－αcos α－4π的值． 解 原式＝－sin 2π－α－sin 3π＋αcos 3π－α－cos α－－cos αcos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α1－cos α－cos α1－cos α＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 12．已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，且3π<α<7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．解 因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根， 所以tan α·1tan α＝13×(3k 2－13)＝1， 可得k 2＝163. 因为3π<α<7π2，所以tan α>0，sin α<0，cos α<0， 又tan α＋1tan α＝－－3k 3＝k ， 所以k >0，故k ＝433， 所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433，所以sin αcos α＝34， 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32. 因为cos α＋sin α<0，所以cos α＋sin α＝－3＋12. 所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋12. 三、探究与创新13．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。
高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 诱导公式(一)学案(含解析)新人教A版必修4-新人教A版高一
1.3 三角函数的诱导公式考试标准课标要点学考要求高考要求π±α与α的正弦、余弦、正切值的关系b bπ2±α与α的正弦、余弦值的关系 b b 知识导图学法指导1.熟练掌握相应角的终边上点的坐标的特点，如α与－α的终边关于x轴对称，则两角对应的终边上的点的坐标可分别写为(x，y)和(x，－y)．2．诱导公式的目的在于将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．3．观察公式一至公式四的结构特征，可以将它们统一成一句话“函数名不变，符号看象限”．4．观察公式五和公式六的结构特征，可以将它们统一成一句话“函数名改变，符号看象限”．第1课时诱导公式(一)状元随笔诱导公式一～四的理解(1)公式一～四中角α是任意角．(2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等．(3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．( )(2)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．( )(3)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( )A．α一定是锐角B．0≤α<2πC．α一定是正角D．α是使公式有意义的任意角解析：诱导公式中的角α是使公式有意义的任意角．答案：D3．sin 600°的值是( )A.12B．－12C.32D．－32解析：sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－32.答案：D4．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A．－12B.12C．－32D.32解析：∵sin(π＋α)＝－12，∴sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：A类型一 给角求值问题例1 (1)sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是( ) A.－34 3 B.34 3C ．－34 D.34(2)求下列三角函数式的值： ①sin(－330°)·cos 210°；②3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)． 【解析】 (1)sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋2π3 ＝－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32·(－3)＝－334. (2)①sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°) ＝sin 30°·(－cos30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34.②3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°) ＝－3sin 1 200°·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°) ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×(－1)＝3－22. 答案：(1)A (2)①－34 ②3－22负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值． 方法归纳利用诱导公式解决给角求值问题的方法(1)“负化正”；(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 (1)sin 4π3＋tan 7π6的值为( )A.36 B ．－33 C ．－36 D.33(2)sin 2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos 2(－330°)＋sin(－210°)＝________. 解析：(1)原式＝－sin π3＋tan π6＝－32＋33＝－36.故选C.(2)原式＝sin 260°＋(－1)＋1－cos 230°＋sin 30°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12＝12. 答案：(1)C (2)12首先利用诱导公式把角化为锐角再求值． 类型二 已知三角函数值求相关角的三角函数值例2 若sin(π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(π－α)等于( ) A.－12B ．－32C ．－ 3 D.33【解析】 因为sin(π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以cos α＝ 1－sin 2α＝32.所以tan α＝sin αcos α＝－13＝－33.所以tan(π－α)＝－tan α＝33.故选D. 【答案】 D将已知条件利用诱导公式化简，建立要求的因式与已知条件的联系从而求值． 方法归纳解决条件求值问题的方法(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 跟踪训练2 已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34解析：因为sin α＝35且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tanα＝sin αcos α＝－34.所以tan(π＋α)＝tan α＝－34.故选D.答案：D先由正弦求余弦时，注意α的范围，最后利用诱导公式求值． 类型三 三角函数式的化简与证明 例3 化简与证明：(1)证明：sin π＋αsin 2π－αcos －π－αsin 3π＋αcos π－αsin π－α＝－1；(2)化简：cos 20°＋cos 160°＋sin 1 866°－sin(－606°)． 【解析】 (1)证明左边＝－sin α－sin α－cos αsin π＋α－cos αsin α＝－sin α－sin α－cos α－sin α－cos αsin α＝－1.(2)原式＝cos 20°－cos 20°＋sin(5×360°＋66°)－sin(－2×360°＋114°) ＝sin 66°－sin 114°＝sin 66°－sin(180°－66°) ＝sin 66°－sin 66° ＝0.用诱导公式消,除角的差异→用同角三角函,数关系消除名,称差异→证明两边相等 方法归纳利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．跟踪训练3 证明：sin α－2016πcos α＋2015πsin －αcos α－2πcos α＋2016πsin α＋2016π＝tan α.证明：sin α－2016πcos α＋2015πsin －αcos α－2πcos α＋2016πsin α＋2016π＝sin α－cos α－sin αcos αcos αsin α＝tan α.状元随笔 证明三角恒等式时，要针对恒等式左、右两边的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异. 能用诱导公式的先用诱导公式将不同角化为相同角，再统一函数名称，从而实现左右统一．1.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．sin 480°的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120° ＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. 答案：B2．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限解析：∵sin(π＋θ)＝45＝－sin θ，∴sin θ<0，结合三角函数的定义，可知角θ的终边在第三或四象限，故选D.答案：D3．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：由诱导公式知cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 不正确． 答案：B4．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32 C.32 D ．－32解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)． 答案：D5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)； ④sin 7π10cos πtan17π9.其中符号为负的是( )A ．① B．② C ．③ D．④解析：sin(－1 000°)＝sin 80°>0； cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0； tan(－10)＝tan(3π－10)<0； sin 7π10cosπtan 17π9＝－sin7π10tan17π9， ∵sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．求值：(1)cos 29π6＝________；(2)tan(－225°)＝________.解析：(1)cos 29π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1.答案：(1)－32(2)－1 7．若sin(－α)＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos(π＋α)＝________.解析：∵sin(－α)＝13，∴sin α＝－13.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－223. 答案：－2238．化简：cos －αtan 7π＋αsin π＋α＝________.解析：原式＝cos αtan α－sin α＝－sin αsin α＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列各三角函数值：(1)sin 1 200°；(2)cos 476π；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3；(4)tan(－855°)．解析：(1)sin 1 200°＝sin[120°＋3×360°]＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. (2)cos 476π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋6π＝cos 116π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝cos π6＝32.(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－sin 7π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3＝－sin π3＝－32.(4)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3πcos π－α－cos －π－αcos α－4π的值．解析：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3πcos π－α－cos －π－αcos α－4π＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α1－cos αcos α－1＋cos α＝－sin αcos α＝52. [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，x ∈R ，且f (2 019)＝3，则f (2 020)的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＋4＝3，∴a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－1，∴f (2 020)＝a sin(2 019π＋α＋π)＋b cos(2 019π＋β＋π)＋4＝－a sin(2 019π＋α)－b cos(2 019π＋β)＋4＝1＋4＝5.答案：C12．求值sin α－2 018πcos α＋2 019πsin －αcos α－2πcos α＋2 018πsin α＋2 018π＝________.解析：sin α－2 018πcos α＋2 019πsin －αcos α－2πcos α＋2 018πsin α＋2 018π＝sin α－cos α－sin αcos αcos αsin α＝tan α.答案：tan α13．求下列三角函数值．(1)tan 34π＋cos(－1 650°)＋sin 116π； (2)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°.解析：(1)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＋cos 1 650°＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π6 ＝－tan π4＋cos(4×360°＋210°)－sin π6＝－1＋cos 210°－12＝－1＋cos(180°＋30°)－12＝－32－cos 30°＝－32－32.(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝－2.14．求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋4π3(n ∈Z )的值． 解析：方法一 ①当n 为奇数时，原式＝sin2π3·(－cos 4π3)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. ②当n 为偶数时，原式＝sin2π3·cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34. 综上可知，原式＝(－1)n ＋134. 方法二 原式＝sin 2π3·(－1)n cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·(－1)n cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3·(－1)n ·(－cos π3)＝(－1)n ×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(－1)n ＋134.。
人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：5.3 诱导公式(一)
5.3 诱导公式（一）课前自主学习知识点 诱导公式二～四『微体验』 1．思考辨析(1)诱导公式中的角α只能是锐角．( )(2)任意角α与－α的终边与单位圆的交点关于x 轴对称．( ) (3)任意角α与π－α的终边与单位圆的交点关于y 轴对称．( ) 2．sin 210°＝________； 3．tan(－60°)＝________； 4．cos 150°＝________.课堂互动探究探究一 给角求值问题 例1求下列各三角函数式的值． (1)cos 210°；(2)sin11π4；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－43π6；(4)cos(－1 920°)．『方法总结』利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值．(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6； (3)tan(－945°)．探究二 给值求值问题例2已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值．变式探究 本例中若条件不变，如何求sin 2⎝⎛⎭⎫5π6＋α－cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值？『方法总结』解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． 探究三 利用诱导公式化简 例3化简下列各式．(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.变式探究 若本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．『方法总结』三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练2化简下列各式．(1)cos(π＋α)·sin(2π＋α)sin(－α－π)·cos(－π－α)；(2)cos 190°·sin(－210°)cos(－350°)·tan(－585°).随堂本课小结1．明确各诱导公式的作用2．诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”.——★ 参*考*答*案 ★——课前自主学习知识点 诱导公式二～四 -sin α-cos αtan α-sin αcos α-tan αsin α-cos α-tan α『微体验』 1．(1)× (2)√ (3)√ 2．－12『『解 析』』sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.3．－ 3『『解 析』』tan(－60°)＝－tan 60°＝－ 3. 4．－32『『解 析』』cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 课堂互动探究探究一 给角求值问题例1解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋3π4＝sin 3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π4＝sin π4＝22. (3)sin ⎝⎛⎭⎫－43π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫6π＋7π6＝－sin 7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.跟踪训练1 解 (1)方法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 方法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)方法一：cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 方法二：cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(2×360°＋225°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 探究二 给值求值问题例2解 因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33. 变式探究 解 因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， 所以sin 2⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝1－⎝⎛⎭⎫－332＝23. 又因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33， 所以sin 2⎝⎛⎭⎫5π6＋α－cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝23－33＝2－33. 探究三 利用诱导公式化简例3解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.变式探究 解 当n ＝2k 时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.跟踪训练2 解 (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin 30°－tan 45°＝12.。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 第一课时 诱导公式(一)学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必
第一课时诱导公式(一)预习课本P23～25，思考并完成以下问题(1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？(2)诱导公式的内容是什么？(3)诱导公式1～4有哪些结构特征？[新知初探]1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α. cos(π－α)＝－cos_α. tan(π－α)＝－tan_α.4．α＋k ·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角α是任意角．( )(2)公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( ) (3)公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝π2不成立．( )答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知cos(π＋θ)＝36，则cos θ＝( ) A ．36 B ．－36 C ．336D ．－336答案：B3．若sin(π＋α)＝13，则sin α等于( )A ．13B ．－13C ．3D ．－3答案：B4．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________. 答案：－4给角求值问题[典例] 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6.[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.(3)cos 119π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°； (2)sin 4π3·cos 19π6·tan 21π4.解：(1)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°) ＝cos 60°sin 30°＋tan 135° ＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°) ＝cos 60°sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.(2)原式＝sin 4π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋7π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π4 ＝sin 4π3·cos 7π6·tan 5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·tan π4 ＝⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3-2×⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3-2×1＝34.化简求值问题[典例] 化简：(1)cos －αtan 7π＋αsin π－α；(2)sin 1 440°＋α·cos α－1 080°cos －180°－α·sin －α－180°. [解] (1)cos －αtan 7π＋αsin π－α＝cos αtan π＋αsin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1. (2)原式＝sin 4×360°＋α·cos 3×360°－αcos 180°＋α·[－sin 180°＋α]＝sin α·cos －α－cos α·sin α＝cos α－cos α＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[活学活用] 化简下列各式：(1)cos α＋πsin 2α＋3πtan α＋πcos 3－α－π； (2)sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α(k ∈Z)． 解：(1)原式＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝tan 2αtan α＝tan α . (2)当k ＝2n (n ∈Z)时，原式＝sin 2n π－αcos[2n －1π－α]sin[2n ＋1π＋α]cos 2n π＋α＝sin －α·cos －π－αsin π＋α·cos α＝－sin α·－cos α－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，原式＝sin[2n ＋1π－α]·cos[2n ＋1－1π－α]sin[2n ＋1＋1π＋α]·cos[2n ＋1π＋α]＝sin π－α·cos αsin α·cos π＋α＝sin α·cos αsin α·－cos α＝－1.综上，原式＝－1.给值(或式)求值问题[典例] 已知cos ⎛⎪⎫π－α＝3，求cos ⎛⎪⎫5π＋α的值．[解] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求： (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6的值；(2)sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值． 解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33.(2)sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－233⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝23. 2．[变条件]若将本例中条件“cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝33”改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝33，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，7π6”，则结论如何？解：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，7π6，则α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－13＝63. 3．[变条件，变设问]tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α.解：tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．层级一 学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A ．12 B ．－12C ．－32D ．32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C ．55D ．255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝( ) A ．13 B ．－13C ．233D ．－233解析：选B ∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13.5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin α＋3π＋cos π＋αsin －α－cos π＋α的值等于( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)] ＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin π＋α－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______.解析：(1)cos 29π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋4π3＝sin 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－sin π3＝－32.(2)cos 23π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32.(3)tan 37π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π6＝tan π6＝33. 10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3πcos π－α－cos －π－αcos α－4π的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3πcos π－α－cos －π－αcos α－4π＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二 应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A ．45 B ．－45C ．±45D ．35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. ∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cosβ＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称， ∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr.4．下列三角函数式：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －1π－π3.其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －1π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3.5．化简：cos －585°sin 495°＋sin －570°的值是________． 解析：原式＝cos 360°＋225°sin 360°＋135°－sin 210°＋360° ＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos 180°＋45°sin180°－45°－sin 180°＋30° ＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin πx ， x <0，f x －1－1， x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝－2. 答案：－27．计算与化简(1)tan 2π－θsin 2π－θcos 6π－θ－cos θsin 5π＋θ； (2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan －θsin －θcos －θ－cos θsin π＋θ＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan θ＋720°1－tan θ－360°＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2－θ－2π的值． 解：由1＋tan θ＋720°1－tan θ－360°＝3＋22， 得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝2＋224＋22＝22， 故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2－θ－2π＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2＋22.。
陕西省西安交大阳光中学高中数学 4.2.1 微积分基本定理(一)学案 新人教版选修22
精
讲
互
动
课本83页例1
（1） （2）
（3） （4）
例2
例3
达
标
训
练
课本85页练习
1
2.
3.
作业
反思
板书
设计
陕西省西安交大阳光中学高中数学4.2.1微积分基本定理（一）学案 新人教版选修2-2
目标
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，
会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
重点
直观了解微积分基本定理的含义
二次备课
难点
能正确运用基本定理计算简单的定积分
自
主
学
习
对于一般函数 ，设 ，是否也有
若上式成立，我们就找到了用 的原函数（即满足 ）的数值差 来计算 在 上的定积分的方法．
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达
标
训
练
1.求下列各式的值（1） （2）
2．判断下列函数的奇偶性：
【延伸】例3．化简
说明：关键抓住题中的整数 是表示 的整数倍与公式一中的整数 有区别，所以必须把 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．
作业
习题1-4 7，8反思 Nhomakorabea板书设计
(3)公式三：
（4)公式四：
说明：①公式中的 指使公式两边有 意义的任意一个角；②若 是角度制
，同样成立, 如 ， ；
③公式特点：函数名不变，符号看象限
问题生成记录：
精
讲
互
动
例1例1．求下列三角函数值：
（1） ； （2） ； （3） ．
分析：先将不是 范围内角 的三角函数，转化为 范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到 范围内角的三角函数的值。
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第一章 单位圆与诱导公式(1)学案 新人教版必修4
目标
1.巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式；
能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值
重点
运用诱导公式求出任意角的三角函数值
二次备课
难点
任意角所在象限的判断及三角函数值正负判定
自
主
学
习
1、(1)利用单位圆表示任意角 的正弦值和余弦值： 为角 的终边与单位圆的交点则 ， ；
【解】
【归纳总结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化大于 的正角的三角函数 内的三角函数；③化 内的角的三角函数为锐角的三角函数．
可概括为：“负化正，大化小，小化锐”（有时也直接化到锐角求值）．
例2判断下列函数的奇偶性：
（１） （２）
2、诱导公式由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
(1)公式一:
思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？
当角 的终边与角 的终边关于 轴对称时， 与 的三角函数值之间的关系为：。
(2)公式二：
当角 的终边与角 的终边关于 轴对称，或是关于原点对称时， 与 的三角函数值之间的关系为：