小升初数学培优总复习 07 用图示法解题
【小升初】数学总复习之【图形位置与运动】专项复习课件ppt
3．在方格中画一个图形旋转 90°后的图形 (1)寻找一个关键点。(2)把三角尺的直角顶点放在旋转中心处， 让一条直角边过这个关键点，在另一条直角边找到等距离的点就 是关 键点旋转后到 达的位置。 (3)依次找到 另外的关键点 旋转后的 位置。 (4)顺次连接后即可得到旋转后的图形 。
考点四 图形的放大与缩小
【解】 (1)西 2 北 1 北 西 4 (2)西 50 3 (3)动物园 幸福路
【例 2】 如下图，以小红家为中心，小红家北偏东 30° 方向 6 千米处是光明小学。
(1)在图 中标出光明小学的位置。 (2)百货 大厦在小红家的什么位置？它距小红 家多少千米？
☞思路点拨 本题考查如何根据物体的方向和距离确定物体 的 位置。（ 1）先弄清 东、南、 西、北、 东北、东 南、西北 、西南 这 八个方向 ，知道光 明小学在 小红家的 大体位置 ，再用量 角器以 正北方向为始边顺时针画一个 30°的角，最后根据比例尺图上距离 1 厘米表示实际距离 3 千米，确定光明小学在图上到小红家的距离 应是 6÷3＝2（厘米），在 2 厘米处标上光明小学。（2）以小红家为 中心，百货大厦应在小红家南偏西 45°方向 12 千米处。
【例 1】 下面是 1 路公交车的路线图，每一站是 1 千 米，请根据路线图填空。
(1)1 路公交车从广场出发，向( )行驶( )千米到电影院，
再向( )行驶( )千米到达商场，再向( )偏( )45°的方
向行驶( )千米到达少年宫。
(2)从少年宫路向南偏( )( )°的方向行驶( )千米到
达光明街。
【解】 (1)如图 (2)百货大厦在小红家南偏西平面图。
(1)请用 数对表示孔雀园和鳄鱼馆的位置。 (2)大象 馆所在的位置用数对表示为 (5，3)，在平 面图上标出大 象馆的位置。
小学六年级小升初毕业数学复习培优试题(附答案解析)
小学六年级小升初毕业数学复习培优试题（附答案解析）一、选择题1．一幅地图的线段比例尺是km，这幅地图的数值比例尺是（）。
A．1:25B．1:75C．1:2500000D．1:75000002．把底面周长是18.84厘米、高是1分米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似长方体的长方体。
这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了（）平方厘米。
A．6 B．3 C．30 D．603．一本书看了29，还剩42页，这本书有多少页？正确的算式是( )．A．2429⨯B．242(1)9⨯-C．2429÷D．242(1)9÷-4．三角形的3个顶点A、B、C用数对表示分别是（2，1）、（2，4）、（4，5），那么这个三角形定是（）三角形。
A．锐角B．直角C．钝角D．等腰5．比较下列图形中的阴影部分，下面说法正确的是（）。
A．甲图阴影部分面积大。
B．乙图阴影部分面积大。
C．一样大D．无法比较6．从右面观察，看到的形状是相同图形的是（）A．①和②B．①和③C．②和④7．将一个圆柱体木头削成一个最大的圆锥，下列说法错误的是（）。
A．削去部分的体积占圆柱的13B．圆锥的体积占圆柱的13C．削去部分的体积是圆锥的2倍D．圆锥的体积占削去部分的12 8．下面是关于正比例与反比例的描述，其中正确的是（）。
①正比例图像上的点在同一直线上。
②圆柱的底面积一定，体积和高成反比例关系。
③一个人的年龄和体重既不成正比例关系，也不成反比例关系。
④路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例。
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④9．一种商品先在原价的基础上提价20%，降价20%，现在的价钱（）。
A．等于原价B．高于原价C．低于原价10．一个长方体刚好切成3个相同的正方体，表面积增加了36dm2，原来长方体的体积是（）dm3。
A．108 B．81 C．432 D．648二、填空题11．①6.08立方米＝（________）立方分米②600毫升＝（________）升③4.8米＝（________）米（________）厘米④2小时15分＝（________）时十12．147的分数单位是（______），再添（______）个这样的分数单位就等于最小的质数。
2024年中考数学总复习高频考点培优训练七、圆
以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是AB延长线上的一点，
且∠BDE＝∠A.
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(1)证明：如图，连接OD.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO＋∠BDO＝90°.
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO.
第8题图
七、圆
∵∠BDE＝∠A， ∴∠BDE＝∠ADO， ∴∠BDE＋∠BDO＝90°， 即∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE. ∵OD是⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线；
池塘周围是草地，若AC＝2 m，则小羊在草地上的最大活动区域
面积为(
A. 1 π m2
4
C.19 π m2
4
C)
B. 9 π m2
2
D. 19 π m2
2
第5题图
七、圆
6. (北师九下P103第2题改编)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B ＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长为( D ) A. 2 3 B. 4 C. 6 D. 4 3
在Rt△DBC中，∵∠C＝60°，
∴CD＝
DB tan C
＝
3.
第8题图
七、圆
9. (北师九下P104第8题改编)如图，在△ABC中，以AB为直径作
⊙O，交BC于点D，交AC于点E，且BD＝CD，过点D作⊙O的
切线交AC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G.
(1)求证：DF⊥AC； (1)证明：如图，连接OD.
第3题 图
七、圆
4. (北师九下P96习题3.9第3题改编)如图，PA，PB分别与⊙O相
切于点A，B，C为⊙O上一点，∠ACB＝124°，则∠P的度数为
( D) A. 62°
B. 64°
小学六年级【小升初】数学《图形的变换专题课程》含答案
第七章图形的变换与位置27.图形的变换知识要点梳理一、图形的变换１.轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，并且对称轴两边相对应的点到对称轴的距离相等。
2.平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移平移不改变图形的形状和大小。
图形经过平移，对应线段相等对应角相等，对应点所连的线段相等。
３．旋转：在一个平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
二、图形的缩放图形的缩放，就是把图形按比例放大或缩小，它只改变图形的大小而不改变图形的形状。
把一个图形按指定的比例放大或缩小，首先要看清楚是按什么样的比例进行变换，然后选取图中关键的一些线段，按指定的比例放大或缩小，最后连接起来就可以了考点精讲分析典例精讲考点1 轴对称图形【例1】画下面图形的另一半，使它成为一个轴对称图形【精析】轴对称问题。
要画出四边形关于直线对称的图形，先确定四边形四个顶点关于直线的对应点，再按照左边一半图形各顶点的顺序连接所有对应顶点，得到另一半图形。
【答案】如下图所示：【归纳总结】关键是确定对应点，对应点连线与对称轴垂直，且对应点到对称轴的距离相等考点2 图形的平移【例2】将下面的小帆船先向右平移9格，在向下平移5格【精析】平移问题。
将小帆船向右平移９格，就是将三角形的三个顶点和梯形的四个顶点，都相应的向右数９格点上点，再连成小帆船：然后将新帆船上三角形和梯形的７个顶点，再相应的向下数５格点上点，再连成小帆船。
【答案】如图所示：【归纳总结】图中上排两个小帆船之间的距离的4格，并不代表小帆船向右移动了4格，而是看相对应的点之间的距离是几格，这个图形就平移了几格。
最新优选小升初数学培优专题-----图示法解分数应用题(附答案)
最新优选小升初数学培优专题:图示法解分数应用题姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．一条鱼重的35加上34千克就是这条鱼的重量，这条鱼重多少千克？2．一桶油第一次用去15，第二次比第一次多用去20千克，还剩下22千克。
原来这桶油有多少千克？3．缝纫机厂女职工占全厂职工人数的720，比男职工少144人，缝纫机厂共有职工多少人？4．张亮从甲城到乙城，第一天行了全程的40%，第二天行了全程的920，距乙城还有18千米，甲、乙两城相距多少千米？5．李玲看一本书，第一天看了全书的16，第二天看了18页，这时正好看了全书的一半。
李玲第一天看书多少页？6．某工程队修筑一段公路．第一周修了这段公路的，第二周修了这段公路的．第二周比第一周多修了2千米．这段公路全长多少千米？7．汽车从学校出发到太湖玩，67小时行驶了全程的34，这时距太湖边还有4千米．照这样的速度，行完全程共用多少小时？8．某书店运来一批连环画。
第一天卖出1800本，第二天卖出的本数比第一天多19，余下总数的37正好第三天全部卖完，这批连环画共有多少本？9．一辆汽车从甲地开往乙地，第1小时行了17，第2小时比第1小时多行了16千米，这时汽车距甲地94千米。
甲、乙两地相距多少千米？10．水果店购进一批水果，第一天卖了30%，第二天卖出余下的50%，这两天共卖出195千克。
这批水果共多少千克？11．用绳子测井深，把绳子折成三股来量，井外余43米，把绳子折成四股来量，井外余13米，井深多少米？参考答案1．178千克【分析】从题意可以知道，这条鱼的重量是单位“1”，用线段图帮助我们分析数量关系从图上可以看出千克对应的分率是（1－35）。
【详解】3 4÷（1－35）= 178（千克）。
答：这条鱼重1千克。
2．70千克【分析】这桶油的千克数×（1－15－15）=20+22【详解】（20+22）÷（1－15－15）=70（千克）。
小升初数学培优总复习 07 用图示法解题
用图示法解题一、温故而知新：一、选择题1.如右图。
A 、B 是长方形长和宽的中点，阴影部分的面积是长方形面积的（ ）%。
（1） 25 （2） 37.5 （3） 50 （4） 62.52.“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是（ ）。
（1） 5 （2） 4 （3） 3 （4） 2二、填空题1.七年级某班的所有同学都分别参加了课外体育小组和合唱小组，有的同学还同时参加了两个小组。
如果参加两个小组的人数是参加体育小组人数的51，是参加合唱小组人数的92，这个班只参加体育小组与合唱小组人数的比是（ ）。
2.熊猫妈妈的小宝宝——小熊猫今年2岁了，过了若干年后，当小熊猫和熊猫妈妈当年年龄一样大时，熊猫妈妈已经18岁了。
熊猫妈妈今年（ ）岁。
解析：1、如右图。
A 、B 是长方形长和宽的中点，阴影部分的面积是长方形面积的（ ）%。
（1） 25 （2） 37.5 （3） 50 （4） 62.5教师引导：此题若要直接求阴影部分占长方形的( )%比较困难。
换个角度思考，先求空白部分占长方形的( )%则比较容易。
左上角的三角形占长方形的18，左下角的三角形占长方形的14 ，右上角的三角形占长方形的14 ，所以“形”转化为“数”，空白部分一共占18+14 +14 =58 ，所以阴影部分的面积是长方形面积的38，即（37.5 ）%。
二、学以致用例1：有A、B、C、D、E五个足球队进行足球比赛，到现在为止，A队赛了4场，B队赛了3场，C队赛了2场，D队赛了1场。
那么E队赛了几场？答案：解：根据分析可将各队比赛过的场次画成下图；从图中可知，E队赛了2场。
例2。
一个长方形和正方形重叠部分的面积是9平方厘米，占这两个图形面积总和的10%，它们没重叠部分的面积是（）。
A .80平方厘米 B. 90平方厘米C.72平方厘米D.100平方厘米解析：两个图形面积总和是9÷10%=90（平方厘米）未重叠部分面积=两图形的面积和-重叠部分面积×2。
小升初数学总复习时图形的变换位置与方向｜人教新课标
举一反三 9. 按1∶2的比画出方格图中阴影部分图形的缩小图。
略
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10. 画一画。 (1)小旗子向左平移8格后的图形。 (2)小旗子绕O点按顺时针方向旋转90度后的图形。 (3)小旗子按2∶1扩大后的图形。
略
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题型五
【例5】如果点A的位置是(1,2)，那么B点的位置是 (____，_____)。
错解：√
分析：对称轴是指折痕所在的直线，而直径是圆内的一条线段。在画一幅图 的对称轴时也应该注意：对称轴一定要画成直线，也就是对称轴一定要画出 图形之外。
正解：×
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类型2 对空间立体图形的感知能力较差。
【例2】从上面观察这个图形
，你看到的图形是( )。
A
B
C
错解：C
分析：此题主要考查从不同方向观察几何体。观察图形可知，从正面看到的图 形是C，从侧面看到的图形是B，从上面看到的图形是A。
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东偏北45° 南偏西45° 西偏北45°
2000米 2000米 1500米
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题型七 【例7】下边的三个图形分别是从什么方向看到的？填一填。
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精析：从不同方向观察物体时，因角度不同观察到物体的形状也不同。从正面看时， 是上下两行，下面是相连的三个正方形，上面左上角和右上角各有一个正方形；从 左面看时也是上下两行，下面是相连的四个正方形，上面左上角有一个正方形，从 右边数第二个正方形的上方有一个正方形；从上面看时，是上下四行，从下面数第 一行在最左边有一个正方形，第二行是三个相连的正方形，第三行和第四行在最右 边各有一个正方形。
(
)条
小学数学小升初历年常考作图题
小学数学小升初历年常考作图题一、作图题1．在下面的方格纸上画①画出三角形绕点C顺时针旋转90度后的图形；②画出圆向右平移5格后的图形；③画出长方形按2：1放大后的图形.2．把下面的长方形分割成两个梯形，使两个梯形的面积比是2∶1，请你画一画（要求只画一笔）。
3．画一画。
（1）把小旗A绕O点逆时针旋转90°得到图形B，画出图形B。
（2）把小旗A向右平移4格得到图形C，画出图形C。
4．先按4：1把下面的三角形放大，再把放大后的图形按1：2缩小。
5．按要求画出下面各地方的位置。
（1）小红家在学校东偏北30°1000米处。
（2）小东家在学校南偏西60°1500米处。
6．（1）画出三角形绕点O逆时针旋转90°后的图形。
（2）画出三角形按2：1放大后的图形。
7．动手操作①以直结MN为对称轴，画出图形A的轴对称图形B。
②将图形B绕点O逆时针旋转90º，得到图形C。
③将图形C向右平移6格，得到图形D。
④将图形D放大后的图形与原图形对应线段长的比为2：1。
8．如图是某校附近的平面图，请你按要求画图。
①社区医院在学校北偏东30 º方向3000米处，请在图上标出社区医院的位置。
②太学路经过电影院，与华夏路平行，请在图中用直线标出太学路的位置。
9．按要求，画一画。
①画出长方形绕中心点M顺时针旋转90 º后的图形，再画出旋转后的图形与原图形组成的新图形的所有对称轴。
②将图中正方形按2：1放大，画出放大后的图形。
10．操作题①画出三角形AOB向右平移5格后的图形。
②画出三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转180º后的图形。
11．画一画。
①将小旗子绕点O按顺时针旋转90度后的图形。
②将小旗子按2：1放大，并将放大后的图形，以旗杆为对称轴画出它的另一半。
12．按要求在下图中画一画①画出图形A的另一半，使它成为一个轴对称图形。
②画出把图形B向右平移6格，再向上平移1格后的图形。
小学数学奥数方法讲义之-图解法_通用版
小学数学奥数方法讲义之-图解法_通用版第十八讲图解法图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。
在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。
图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。
有时，作出了图形，答案便在图形中。
（一）示意图示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。
小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。
例1 妈妈给兄弟二人每人10个苹果，哥哥吃了8个，弟弟吃了5个。
谁剩下的苹果多？多几个？（适于四年级程度）解：作图18-1。
哥哥吃了8个后，剩下苹果：10-8=2（个）弟弟吃了5个后，剩下苹果：10-5=5（个）弟弟剩下的苹果比哥哥的多：5-2=3（个）答：弟弟剩下的苹果多，比哥哥的多3个。
例2 一桶煤油，倒出40％，还剩18升。
这桶煤油原来是多少升？（适于六年级程度）解：作图18-2。
从图中可看出，倒出40％后，还剩：1-40％=60％这60％是18升所对应的百分率，所以这桶油原来的升数是：18÷60％=30（升）例2 托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。
他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。
问托尔斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（适于四年级程度）解：作图18-5。
从图18-5可看出，他在20世纪度过的时间是：（82-62）÷2＝20÷2=10（年）由此看出，他死于1910年。
他出生的时间是：1910-82=1828（年）答略。
解：作图18-6。
综合算式：答略。
（三）思路图小学数学中的许多应用题，需要用综合法或分析法分析解答。
如果把思维的过程用文字图形表示出来，就有助于正确选择已知数量，提出中间问题，理清数量关系，从而顺利解题。
这种表示思维过程的图形就是思路图。
例题参见前面的分析法和综合法。
（四）正方形图借助正方形图解应用题，就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量，使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来，从而达到便于解题的目的。
小学六年级小升初毕业数学复习培优试卷测试题(附答案解析)
小学六年级小升初毕业数学复习培优试卷测试题（附答案解析）一、选择题1．一个零件的实际长度是7毫米，但在图上量得长是3.5厘米。
这幅图的比例尺是（）。
A．1∶2 B．1∶5 C．5∶1 D．2∶12．把一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开形成一个平面图（如图），这个平面图是下面正方体（）的表面展开图．A．B．C．D．3．计算下图平行四边形的面积,正确的算式是( )．A．5×10 B．5×4 C．5×84．一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶1，这个三角形是（）。
A．等边三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形5．一块正方形花圃和一块长方形花圃面积都是4公顷，比较它们的周长,结果是（）A．相等B．正方形的周长长C．正方形的周长短6．下图是一个正方体的展开图，在这个正方体中，和“美”相对的面是（）。
A．建B．晋C．丽D．城7．将一个圆柱体木头削成一个最大的圆锥，下列说法错误的是（）。
A．削去部分的体积占圆柱的13B．圆锥的体积占圆柱的13C．削去部分的体积是圆锥的2倍D．圆锥的体积占削去部分的128．如图是甲乙两名同学对同一个圆柱的不同切法。
甲切开后表面积增加了（），乙切开后表面积增加了（）。
A ．2r π；4rhB ．22r π；4rhC ．22r π；2rh πD ．2r π；2rh π9．下列说法中，正确的有（ ）个。
①一个正方体铁块锻造成长方体铁块后，体积不变。
②一个数除以真分数，商一定小于这个数。
③如果大圆与小圆的半径比是2∶1，那么大圆与小圆的面积比是4∶1。
④一件上衣先降价20%再提价20%后，价格不变。
A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，按一定的流量向放在水槽底部的圆柱体玻璃杯注水，注满玻璃杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升的高度与注水时间的关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．35时＝（________）分 318公顷＝（________）公顷（________）平方米十12．（ ）÷25＝0.8＝4∶（ ）＝()16＝（ ）%。
【平面图形的面积问题】2023年小升初数学无忧衔接 (通用版)(解析版)
平面图形的面积问题在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理等等。
难度自不必说，思维的层次也大为不同。
甚至一些证明，必须用演绎推理来完成，比如“两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，这个命题就需要演绎推理思维，学生必须要在自己的心中构建直观图形，难度加大了。
如“三角形的内角和等于180°”这个定理，在小学教材中是由实验得出的，学生较熟悉。
因此，在教学中既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。
求几何图形面积常见方法及运用：【解题技巧】常见模型例1．（2022春·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】8平方厘米【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面积，如下图：阴影部分面积等于长是（2＋2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
【详解】（2＋2）×2＝4×2＝8（平方厘米）【答案】4平方厘米【分析】通过观察图形可知，把阴影部分通过“旋转”或“割补”法，把阴影部分拼成三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出大三角形的面积，再除以2，即可求出阴影部分的面积。
【详解】如图：4×4÷2÷2＝16÷2÷2＝8÷2＝4（平方厘米）变式1．（2023秋·北京西城·五年级统考期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图）。
已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是（）cm2。
A．24 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】如图：观察图形可知，三角形ABC左右两边的涂色小三角形完全一样，把左边的涂色小三角形平移至右边，与右边涂色小三角形组合成一个与①一样大的三角形；这样三角形ABC平均分成4份，涂色部分占其中的一份；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形ABC的面积，再除以4即是涂色部分的面积。
小升初数学总复习计算图形面积分类练习题解析 31张幻灯片
• 三、图形分割 1、已知大正方形ABCD的边长是12厘米，小正方形GCEF的边长是8厘米，求阴影部 分面积。 • 【分析与解答】：阴影部分经过分割后是三个小三角形的面积之和。 • 8×8÷2+8×（12-8）÷2+12×（12-8）÷2
• =32+16+24 • =72平方厘米
• 2、求下图阴影部分的面积。（单位：厘米） • 【分析与解答】：阴影部分是外方内圆面积的八分之一。 • 1.14×82÷8 • =9.12平方厘米
• 2、图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角 形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。
• 【分析与解答】： • 大三角形的面积-6=长方形的面积。 • 6×4=24平方厘米 • 24+6=30平方厘米 • 30×2÷6=10厘米 • 10-4=6厘米 • 答：ED长2厘米。
• 七、图形旋转
：厘米） • 【分析与解答】: 阴影部分的面积就是梯形ABGD的面积。 • （3+8）×4÷2=22平方厘米
• 2、下图是正方形与平行四边形组成的图形，求阴影部分的面积。（单位：分米 ）
• 【分析与解答】阴影部分的面积就是左下梯形的面积。
• （2+6）×6÷2=24平方分米
• 二、面积的转化 • 1、如下左图的长方形是一块草坪，中间有两条宽2米的走道，求植草部分（阴
• 【分析与解答】：三角形BCF比三角形DEF的面积多的就是正方形ABCD比三角形 ABE多的。
• 4×4=16平方厘米 • 16-2=14平方厘米 • 14×2÷4=7厘米 • 7-4=3厘米 • DE的长是3厘米
• 11、求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
• 【分析与解答】： • 阴影部分是环形面积的三分之一。 • 3.14×（32-22）÷3 • ≈5.23平方厘米
2024年中考数学总复习考点培优训练第七章第二节视图与投影
物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是( D )
A. 长方体
B. 正方体
C. 圆柱
D. 三棱锥
第9题图
第二节 视图与投影
10. (2023宜昌)“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气
质和城市的亮丽名片”，如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图
折叠成正方体后，“城”字对面的字是( B ) A. 文
第二节
视图与投影
第二节 视图与投影
基础过关
1. 下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况 的是( D )
A
B
C
D
2. (2023岳阳)下列几何体的主视图是圆的是( A )
A
B
C
D
第二节 视图与投影
3. (2023重庆A卷)四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面
得到的视图是( D )
B. 明
C. 典
D. 范
第10题图
第二节 视图与投影
11.
人教七上P117探究改编 如图是由6个完全相同的小正方体搭成
的几何体，如果将小正方体A去掉，则它的( A )
A. 左视图不会发生改变，主视图会发生改变
B. 俯视图会发生改变，左视图不变
C. 主视图和俯视图都会发生改变
D. 三种视图都会发生改变
A
B
C
D
第3题图
第二节 视图与投影
4. (2023福建)如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图
是( D )
A
B
C
D
第4题图
第二节 视图与投影
5. 数学文化 (2023河南)北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博 物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示， 关于它的三视图，下列说法正确的是( A ) A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同
培优点07数列中的构造问题(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版)
培优点07数列中的构造问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】 数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．【核心题型】题型一 形如a n ＋1＝pa n ＋f (n )型形式构造方法a n ＋1＝pa n ＋q 引入参数c ，构造新的等比数列{a n －c }a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c 引入参数x ，y ，构造新的等比数列{a n ＋xn ＋y }a n ＋1＝pa n ＋q n两边同除以q n ＋1，构造新的数列{a n q n}命题点1 a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)【例题1】（2024·河南·模拟预测）已知数列{}n a 满足1111233n n a a +=×+，且234a =，则1011a =（ ）A ．101113æöç÷èøB ．10111011313+C ．10101010313+D ．101013æöç÷èø【变式1】（2024·天津河西·三模）若数列{}n a 满足121n n a a +=-，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则2024b =（ ）A ．202323´B ．20232C ．20242D ．20252【变式2】（2022·广西柳州·三模）已知数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，若121n n S S +=+，则5a =.【变式3】（23-24高三·山东青岛·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，12n n a S +=+．(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设2221log log n n n b a a +=×，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明34n T <．命题点2 a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c (p ≠0,1，q ≠0)【例题2】（2023·河南郑州·模拟预测）在数列{}n a 中，12211,9,3210n n n a a a a a ++===--，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．64B ．53C ．42D ．25【变式1】（20-21高三上·天津滨海新·期中）已知数列{}n a 满足10a =，121n n a a n +=+-，则数列{}n a 的一个通项公式为（ ）A ．1n a n =-B ．2(1)n a n =-C ．3(1)n a n =-D ．4(1)n a n =-【变式2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111,21,n n a a a n +=+=+则19S =.【变式3】（2024·湖南邵阳·一模）已知数列{}n a 的首项为()*12,21n n a a n n ++=+ÎN ，则10a = .命题点3 a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)【例题3】（2022·河南·模拟预测）在数列{}n a 中，若12a =，1132n n n a a ++=+，则n a =（ ）A ．2nn ×B ．5122n-C ．1232n n +×-D ．11432n n -+×-【变式1】（2024·湖南永州·三模）已知非零数列{}n a 满足21220n n n n a a ++-=，则20242021a a =（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【变式2】（2024·四川南充·二模）已知数列{}n a ，满足11a =，且12nn n a a +=，则78a a +=.【变式3】（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知数列{}n a 满足212,2,nn n a a a +=×=则10a 的值为 .题型二 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1) 可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }【例题4】（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且121a a ==，1223n n n a a a --=+（3n ³），则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}1n n a a +-为等比数列B ．数列{}12n n a a ++为等比数列C ．()20401314S =-D ．()11312n n n a --+-=【变式1】（2024·山西晋中·模拟预测）若数列{}n a 满足11a =，24a =，且对任意的()*N 2n n γ都有1122n n n a a a +--+=，则234202411111111a a a a ++++=----L （ ）A ．31114220232024æö-+ç÷èøB ．10122024C ．31114220242025æö-+ç÷èøD ．10122025【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列{}()*1211,1,2,540,2n n n n a a a a a a n n +-==-+=γN ，则{}n a 的通项公式为.【变式3】（23-24高三上·四川·阶段练习）在数列{}n a 中，11a =，22a =，1132n n n a a a +-=-(2,N )n n *³Î.设1n n n b a a +=-.(1)求证：数列{}n b 是等比数列；(2)设1(1)(21)n n n n a c b +=+×+，记数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：1n T <.题型三 倒数为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ra n ＋s型) 两边同时取倒数转化为1a n ＋1＝s p ·1a n ＋r p 的形式，化归为b n ＋1＝pb n ＋q 型，求出1a n的表达式，再求a n ．【例题5】（2022·浙江·模拟预测）数列{}n a 满足()112nn na a n a *+=Î+N ，11a =，则下列结论错误的是（ ）A ．10317211a a a =+B ．12n a ìüïïíýïïîþ是等比数列C ．()211n n a -=D ．517493a a a =【变式1】（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1112,21n n n a a a a +==+，若2024(1,)S k k Î-，则正整数k 的值为（ ）A ．2024B ．2023C ．2022D ．2021【变式2】（2021·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足132a =，133n n n a a a +=+，若3n n n c a =，则12n c c c ++×××+= .【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的首项143a =，且满足184n n n a a a +=+，212n n b a =-.(1)求证：数列{}n b 是等比数列；(2)记n nnc n b =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2022高三上·河南·专题练习）已知各项均为正数的数列{}n a 满足*12()2n n n a a n n +=+Î-N ，且10a >．若当且仅当3n =时，n a n取得最小值，且1sin()02a p=，则符合条件的实数1a 组成的集合中的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a a +=+，记11n n b a =+，若存在m ，*n ÎN ，使得22log log 6m n b b +=，则86m mn+的最小值为（ ）A ．83B ．103C ．114D ．1453．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =-，121n n a a n ++=+，若12399n n S S ++=，则n =（ ）A ．48B ．49C ．50D ．514．（23-24高三上·河北·阶段练习）在数列{}n a 中，11a =，213n n n a a a t +=-+，且2n a £，则实数t 的最大值为（ ）A ．4B ．5C．D ．6二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,2n n a a a n +==+，则下列判断正确的是（ ）A ．311S =B ．419a =C ．8721S =D ．9758a =6．（2023·辽宁朝阳·一模）已知数列{}n a 满足11a =，且*12,N 1n n naa n a +=Î+，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 为递减数列B ．01n a <£C ．1011,87a æöÎç÷èøD ．50111110a <<三、填空题7．（2022·湖南益阳·一模）已知数列{}n a 中，11a =，1512+=-n na a ，若12n n b a =-，则数列{}n b 的前n 项和n S =.8．（2023·陕西汉中·一模）已知数列{}n a 满足：1133n n n a a ++=+，若13a =，则{}n a 的通项公式为 .9．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知数列{}n a 中，135a =，121n n n a a a +=+，*n ÎN ，则{}1n n a a +的前n 项和n S =．四、解答题10．（2024·陕西西安·二模）已知数列{}n a 的前n 项为n S ，21n a n =+，数列{}n b 为等比数列，且229a b +=，103128S b +=.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =×，求数列{}n c 的前n 项和n M .11．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n +=+．(1)求证{}1n a n ++是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)设1n n c a n=+，求证：121n c c c +++<L ．【综合提升练】一、单选题1．（2023·四川泸州·三模）已知数列{}n a 满足122n n a a +=+，11a =，则此数列的通项公式为（ ）A ．11,132,2n n n a n -=ì=í´³îB ．1,13,2n nn a n =ì=í³îC ．1322n n a -=´-D ．32n n a =-2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列{}n a 各项均为正数，13a =，且有123n na a +=-，则n a =（ ）A ．121n -B ．321n-C ．1421n --D ．1221n+-3．（2023·云南红河·一模）已知数列{}n a 满足：119,2n n a a a n +=-=，则4a =（ ）A ．21B ．23C ．25D ．274．（2021·四川绵阳·模拟预测）设数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-，若21485n n n n n b a a +++=，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =（ ）A ．2169n n æö-ç÷+èøB ．42369n n ++C ．1169n n æö+ç÷+èøD ．2169n n æö+ç÷+èø5．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若数列{}n a 满足123nn n a a a +=+（0n a ¹且1n a ¹-），则202320231a a +与202220221a a +的比值为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．36．（2024·广东茂名·一模）数列{}n a 满足18a =，11nn n a a na +=+（*n ÎN ），112nn n b a l æöæö=+×ç÷ç÷èøèø，若数列{}n b 是递减数列，则实数l 的取值范围是（ ）A ．8,7æö-+¥ç÷èøB ．7,8æö-+¥ç÷èøC ．8,7æö+¥ç÷èøD ．7,8æö+¥ç÷èø7．（2023·四川·模拟预测）在数列{}n a 中，*n "ÎN ，1221n n n a a a ++=+，且123a <<，则下列结论成立的是（ ）A ．20222020a a <B ．2020202220212023a a a a +>+C ．2022202320212a a a +<D ．20232021a a >8．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列{}n a 的首项135a =，且1321n n n a a a +=+，121112025na a a ++×××+<，则满足条件的最大整数n =（ ）A ．2022B ．2023C ．2024D ．2025二、多选题9．（21-22高三上·山东聊城·期末）已知数列{}n a 满足111,23nn na a a a +==+，则下列结论正确的有（ ）A ．13n a ìü+íýîþ为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ìüíýîþ的前n 项和2234n n T n +=--10．（2023·重庆·模拟预测）已知数列{}n a 满足2134n n n a a a +=-+，14a =，n *ÎN ，则下列结论正确的有（ ）．A ．数列{}n a 是递增数列B ．142n n a -³×C ．11111122ni i n a a =++=--åD ．()21log 221nni i a =-£-å11．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=-+，则下列说法正确的是（ ）A ．当112a =时，()5124n a n <£³B ．若数列{}n a 为常数列，则2n a =C ．若数列{}n a 为递增数列，则12a >D ．当13a =时，1221n n a -=+三、填空题12．（2020高三·上海·专题练习）已知数列{}n a 满足+11=34,1n n a a a +=，则n a = .13．（2023·四川乐山·三模）已知数列{}n a 满足122n n a a +=+，11a =，则n a = ．14．（2023·全国·模拟预测）数列{}n a 满足1144(2)n n n a a a n +-+=³，121,3a a ==，则263log a 的值为 ．四、解答题15．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知数列{}n a 满足12a =，1221nn n a a n +=++-.(1)求2a ，3a ；(2)求n a ，并判断{}2(1)n a n --是否为等比数列.16．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)()(1)1nn n b a n =-+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．17．（2024·陕西宝鸡·一模）已知数列{}n a ，若11a =，且121n n a a +=+.(1)求证：{}1n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；(2)若()12n n nn a b +=，且数列21n n b b +ìüíýîþ的前项和为n S ，求证：1334n S £<.18．（2024·山西临汾·一模）已知数列{}n a 的首项11a =，且满足121n n a a n +=+-，等比数列{}n b 的首项112b =，且满足22n n b b =.(1)求证：数列{}n a n +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和nS19．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列{}n a 满足：12a =，1244n n a a n +=+-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}3nn n a +的前n 项和n S ．【拓展冲刺练】一、单选题1．（21-22高三下·青海玉树·阶段练习）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1222,10n n a a S +=-=，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．34n n a =-B ．22n n a =+C ．2n a n n=+D ．231n a n =-2．（20-21高三下·四川成都·期中）已知数列{}n a 满足121nn n a a a +=+，11a =，数列{}n b 满足11b =，()112n n n b b n a --=³，则数列13n b n +ìüíýîþ的最小值为（ ）．A ．294B ．223C．D ．436二、多选题3．（2023·江苏淮安·模拟预测）设a ，R b Î，数列{}n a 满足1a a =，21n n a a b +=+，*n ÎN ，则下列说法不正确的是（ ）A ．当12b =时，1010a >B ．当14b =时，1010a >C ．当2b =-时，1010a >D ．当4b =-时，1010a >4．（2024·安徽安庆·二模）满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+ÎN 的数列{}n a 称为卢卡斯数列，则（ ）A ．存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++ÎN 为等差数列B ．存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++ÎN 为等比数列C ．()*243n n n a a a n ++=+ÎN D ．()20242023113ii i a a =-=-å三、填空题5．（2023·上海·模拟预测）数列{}n a 满足()*120,N n n n a a a n +=¹Î，且2a 与4a 的等差中项是5，则12n a a a ++×××+= ；6．（2023·浙江·二模）已知等比数列{}n a 满足()114n n n a a a +-=-，则公比q = .7．（2023·云南昆明·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，*1()3n n na a n a +=Î-N ，则n a = ．四、解答题8．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列{}n a 满足11262,4n n n a a a +=+×=.(1)证明数列2nn a ìüíýîþ为等差数列，并求n a ；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列{}n a 中，113a =，12n n n a a a +=-*(N )n Î.(1)证明：1{1}na -是等比数列；(2)求数列1{}na 的前n 项和.10．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的首项为147a =，且满足14(*)31n n n a a n a +=Î+N .(1)求证：数列11n a ìü-íýîþ为等比数列；(2)设11n n b n a æö=-ç÷èø，求数列{}n b 的前n 项和n T .。
2024年中考数学总复习考点培优训练第七章专项6与线段有关的最值问题
与线段有关的最值问题
专项6 与线段有关的最值问题
1. (2023通辽)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB 于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为
(A )
A.
2 π 6
2.
B.
2 π 3
C. 2
2 π 6
D. 2
2 π 3
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
(2)如图②，M，N是正方体相邻两个面上的点． ①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图②的展开图， 这个图形是___丙_____；
甲
乙
丙
第7题图②
专项6 与线段有关的最值问题
②在解所题选关正键确点展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到
B观D察，设BC问的：距求离PM分＋别P是N4的和最3，小P值是；AB上一动点，求PM＋PN的最小值．
与AC所成角的大小．
解：(1)如解图①，连接BC′.
由题意易知，A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′＝60°. ∵AC∥A′C′，
第7题图①
∴∠BA′C′是两条直线AC与BA′所成的角，
∴两直线BA′与AC所成角的大小为60°；
第7题解图①
专项6 与线段有关的最值问题
AB＝2，BD是AC边上的高，点E是BC边的中点，F是BD上一点，则AF
＋EF的最小值为_____7_____．
第1题图
第2题图
专项6 与线段有关的最值问题
3. (2023雅安)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上 一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 ____3__2____． 4. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，M，N分别是边AB， AD上的动点，连接CM，CN，MN，∠CMN＋∠CNM＝124°，当 △CMN的周长最小时，则∠BCD的度数为__1_1_8_°__．
小升初数学6类“画图”解题技巧，轻松解题soeasy!
小升初数学6类“画图”解题技巧，轻松解题soeasy!借助画图解题，是孩子打开解决问题大门的一把“金钥匙”，其实很多问题都可以很快速的求解，比如几何问题、路程问题，如果光靠想是很难想出答案的，画图就一目了然，下面整理小学数学6类画图解答题，快为孩子收藏吧。
01平面图对于题目中条件比较抽象、不易直接根据所学知识写出答案的问题，可以借助画平面图帮助思考解题。
例1 有两个自然数A和B，如果把A增加12，B不变，积就增加72；如果A不变，B增加12，积就增加120，求原来两数的积。
根据题目的条件比较抽象的特点，不妨借用长方形图，把条件转化为因数与积的关系。
先画一个长方形，长表示A，宽表示B，这个长方形的面积就是原来两数的积。
如图（1）所示。
根据条件把A增加12，则长延长12，B不变即宽不变，如图（2）；同样A不变即长不变，B增加12，则宽延长12，如图（3）。
从图中不难找出：原长方形的长（A）是120÷12＝10原长方形的宽（B）是72÷12＝6则两数的积为10×6＝60借助长方形图，弄清了题中的条件，找到了解题的关键。
例2 一个梯形下底是上底的1.5倍，上底延长4厘米后，这个梯形就变成一个面积为6O平方厘米的平行四边形。
求原来梯形面积是多少平方厘米？根据题意画平面图：从图中可以看出：上、下底的差是4厘米，而这4厘米对应的正好是1.5－1＝O.5倍。
所以上底是4÷（1.5－1）＝8（厘米），下底是8×1.5＝12（厘米），高是60÷12＝5（厘米），则原梯形的面积是（8＋12）×5÷2＝5O（平方厘米）。
02立体图一些求积题，结合题目的内容画出立体图，这样做，使题目的内容直观、形象，有利于思考解题。
例1 把一个正方体切成两个长方体，表面积就增加了8平方米。
原来正方体的表面积是多少平方米？如果只凭想象，做起来比较困难。
按照题意画图，可以帮助我们思考，找出解决问题的方法来。
用图解法解应用题
用图解法解应用题（一）例1乐乐比丫丫大5岁，洋洋比乐乐小2岁，那么丫丫和洋洋相差多少岁？【分析】根据题意，我们可以画一个线段图：很明显，丫丫和洋洋相差5－2＝3岁。
例2朝阳学校三年级四班开展集邮活动，阿呆有92张邮票，笨笨有54张邮票。
问阿呆给笨笨多少张邮票，才能使两人的邮票数相等？【分析】从下面的线段图可以清楚地看到：阿呆给笨笨的邮票数，是阿呆与笨笨邮票的相差数的一半，因此要求本题的解，只要将他们邮票的相差数平均分成两份，每一份就是阿呆给笨笨的邮票数。
（92－54）÷2＝19（张）即阿呆要给笨笨19张邮票，才能使两人的邮票数相等。
通过例2的分析，可以看出画线段图既能充分一线出题中的已知条件，又能形象地把数量关系展示出来，帮助我们很快地找到解题的捷径。
例3把两块一样长的木板像右图这样钉在一起，成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米。
这两块木板各长多少厘米？【分析】把长度相等的两木板的一端钉起来，钉在一起的长度部分就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16＝136（厘米），每块木板的长度就是136厘米的一半。
【解】（120＋16）÷2＝68（厘米）答：这两块木板各长68厘米。
【诀窍】类似这样的问题，是要把重复的部分再加一次，求出原来没有重复大的总长度。
当你觉得这样的问题不知如何思考的时候，可以先画出图，借助图形进行思考是一种很好的办法。
例4兄弟俩的年龄和是35岁，哥哥比弟弟大5岁，问哥哥和弟弟各多少岁？【分析】还是用线段图来帮助我们分析：从图中观察出，如果从35岁中去掉5岁，就可以得到两个弟弟的年龄，而列式得：（35－5）÷2＝15（岁）（弟弟的岁数）15＋5＝20（岁）（哥哥的岁数）验算：15＋20＝35（岁）20－15＝5（岁）所以哥哥的年龄是20岁，弟弟的年龄是15岁。
还可以这样分析，如果35岁加上5岁，就可以得到两个哥哥的年龄，则：（35＋5）÷2＝20（岁）（哥哥的岁数）20－5＝15（岁）（弟弟的岁数）例5陈红喜爱集邮，她的中国邮票枚数是外国邮票的3倍，中国邮票比外国邮票多86枚。
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用图示法解题
“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是（
教师引导：此题若要直接求阴影部分占长方形的
从图中可知，E队赛了2场。
两个图形面积总和是9÷10%=90（平方厘米）
解析：
从图中可以看出：
14 +18 +116 =12 －116
18 +116 +132 =14 －132
16 +112 +124 =13 －124
答案：
解：由图形可知
12 +14 +18 +116 =12 ×2－116 =1516
14 +18 +116 +132 =14 ×2－132 =1532
13 +16 +112 +124 =13 ×2－124 =58
像上面，把“数”转化为“形”，数与形巧妙结合起来，不难发现其中的规律：如果前一个分数依次是后一个分数的2倍，求这样一组分数的和，只要用第一个分数的2倍减去最后一个分数。
例7
甲乙两人从A 、B 两地同时出发，相向而行。
每人都在A 、B 两地间不停地来回运动。
第一次在距离A 地3千米的C 处迎面相遇，第二次在距离B 地2千米的D 处迎面相遇。
求A 、B 两地间的距离。
答案：
解：由题意可知；
甲乙两人的速度和为：
400÷5=80（米/分钟）
甲乙两人的速度差为：
400÷20=20（米/分钟）
所以甲的速度为：
（80+20）÷2=50（米/分钟）
答：甲每分钟行50米。
三、精选好题：
1. 甲火车长210米，每秒行18米；乙火车长140米，每秒行13米。
乙火车在前，甲火车在后，两火车在双轨车道上行驶。
甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少秒？
解析：
甲火车从追上到超过乙火车，比乙火车多行了甲、乙两火车车身长度的和，而两车速度的差是18－13=5米，因此，甲火车从追上到超过乙火车所用的时间是：（210＋140）÷（18－13）=70秒。
答案：
解；由题意可知；
甲火车从追上到超过乙火车所行驶的路程为：
210+140=350（米）
两车的速度差为：
18-13=5（米/秒）
根据路程÷速度=时间可知：
350÷5=70（秒）
答：甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用70秒。
如图所示，汽车到达甲班学生下车的地方又返回到与乙班学生相遇的地点，汽车所行路程
5.右图是一个不规则的四边形，已知AC=12厘米，
7m。