22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)
22.1.4二次函数的图像与性质
（配方）
y 1 x2 6x 21 2
你知道是怎样配 方的吗？
配
(1)“提”：提出二次项系数；
方
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
y= —1 (x―6)2 +3 2
老师提示:
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
直接画函数 y 1 x2 6x 21 的图象
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴
开口方向 增减性
直线x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
2 将这种商品的售价降低多少时，能使销售利 润最大？最大利润是多少？
2
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
= （12 x2-12x）+ 21
(提取二次项系数)
= （12 x2-12x+36-36） +21
= 12（x – 6）2 -18+21 = 12（x - 6）2 +3
a b c 10， a b c 4， 4a 2b c 7.
解这个方程组，得
a＝2，b＝－3，c＝5．
所求二次函数是y＝2x2－3x＋5．
22.1.4二次函数Y=ax2+bx+C(1)
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(教案)
-当a>0时，函数图象开口向上，如y=x^2，图象在x轴上方；
-当a<0时，函数图象开口向下，如y=-x^2，图象在x轴下方；
- b、c的取值会影响图象的平移，如y=x^2+3，图象沿y轴向上平移3个单位；
-通过具体函数如y=x^2-4x+3，演示如何使用顶点公式(-b/2a, c-b^2/4a)求顶点坐标和判别式Δ=b^2-4ac判断与x轴的交点情况。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，它描述了许多自然现象和工程技术问题中的抛物线变化规律。它是数学中的一个重要部分，因为它可以帮助我们解决最值问题、预测物体运动轨迹等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数在物理学中的应用，比如计算抛物线运动的最高点和落点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数y=ax^2+bx+c的标准形式及其图象特征，特别是a、b、c的符号对图象形状和位置的影响。
-掌握二次函数的对称性、最值性、顶点坐标和与x轴的交点的判定方法。
-学会运用顶点公式和判别式进行二次函数的图象分析和性质判断。
-能够将实际问题抽象为二次函数模型，并运用二次函数的性质解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象特征和性质这两个重点。对于难点部分，如顶点公式的推导和应用，我会通过图象示例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的最大高度计算。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
-5
顶点坐标：（2，1）
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 ，
与x轴的交点坐标是
(。1,0)或（3，0）
抛物线与y轴的交 点有什么特征？
(0,3)
抛物线与x轴的交 点有什么特征？
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
(1) y 3x2 2x (2) y x2 2x
(3) y 2x2 8x 8
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
y
1 2
x2
-
2
x
3
（1） y 2x2 - 12x13
解：a
1 2
0
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通 过上下和左右平移得到.
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k
的图象和性质，能否利用这些知识
来讨论二次函数 y 1 x2 6x 21图象和
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》这一节是人教版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数图象的特点，理解二次函数的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有了初步的认识。
但是，学生对二次函数的图象和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
同时，学生可能对一些概念和性质的理解还不够深入，需要通过教师的引导和学生的自主探索来加深理解。
三. 教学目标1.了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和掌握。
2.运用二次函数的性质解决实际问题的能力的培养。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题引导学生思考和探索。
2.采用案例分析的教学方法，通过具体的例子来讲解和展示二次函数的性质。
3.采用小组合作的学习方式，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例，用于讲解和展示二次函数的性质。
2.准备教学课件和板书，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“二次函数的图象和性质有哪些？”引导学生思考和探索。
2.呈现（10分钟）通过教学课件和板书，呈现二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
同时，通过具体的例子来讲解和展示这些性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析一些具体的二次函数图象，来识别和判断其性质。
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(一) 公开课精品课件
点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,则下
列结论正确的是
( B)
A.y1<y2<y3
B.y2<y1<y3
C.y3<y1<y2
D.y1<y3<y2
〔解析〕因为A(1,2),B(3,2)在抛物线上,所以该抛物线的对称轴为 直线x=2,且C(5,7)在该抛物线上,所以抛物线的开口向上.因为抛物 线上到对称轴的距离越大的点,其纵坐标越大,又因为点M到对称 轴的距离为2-(-2)=4,点N到对称轴的距离为2-(-1)=3,点K到对称轴 的距离为8-2=6,所以y2<y1<y3.
学公式的推导与应用,或提供新闻背景材料等.考查内
容既有考查基础知识的试题,又有考查自学能力和探
索能力等综合素质的试题.解决阅读理解题的关键是
把握实质,并在其基础上作出回答,首先仔细阅读信息, 收集处理信息,以领悟数学知识或感悟数学思想方法, 然后运用新知识解决新问题,或运用范例形成科学的 思维方式和思维策略,或归纳与类比作出合情判断和
∴得到的图象对应函数的特征数为[2,-3]
②∵一个函数的特征数是[2,3],
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∵另一个函数的特征数是[3,4],
∴y=x2+3x+4=
x
3 2
2
+
7 4
=
x
1
1 2
2
+2
1 4
.
1
∴将抛物线y=x2+2x+3先向左平移
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象性质(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数图象相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次函数图象的基本原理。
-对于一些变换后的二次函数，如y=a(x-h)^2+k，学生可能难以将其与原始形式y=ax^2+bx+c联系起来，需要教师指导学生进行图象变换的推导和练习。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=ax^2+bx+c的图象性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常学习中是否遇到过需要分析曲线图象的情况？”比如，在物理学中，抛物线的运动轨迹。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数图象的奥秘。
-对称轴的确定，即x=-b/(2a)的计算，这是分析图象对称性质的核心，要求学生能够准确计算出对称轴的方程。
-顶点坐标的求法，即(-b/(2a)，c-b^2/(4a))，这是二次函数图象的最高点或最低点，对函数的最值有重要意义。
-二次函数与y轴的交点，即当x=0时y=c，这是分析函数与y轴交点性质的要点。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象性质（教案）
一、教学内容
本节课选自教材22.1.4节，主要探讨二次函数y=ax^2+bx+c的图象性质。内容包括：
1.二次函数图象的开口方向与a的正负关系；
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1-������ + ������ = -1, 1 + ������ + ������ = 3,
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
利用待定系数法求二次函数的解析式时,如果已知三个条 件,通常列三元一次方程组求解,如果a,b,c中其中一个已知, 则列二元一次方程组求解.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
分析:(1)将A点坐标代入抛物线解析式,求出a的值,即可确定出解 析式; (2)在抛物线解析式中令x=0求出y的值,即OC的长,根据对称轴求 出CD的长,根据抛物线的对称性确定出OB的长,利用梯形面积公式 即可求出梯形COBD的面积. 解:(1)将A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4中,得0=4a+4,解得a=-1,则抛物 线解析式为y=-(x-1)2+4. (2)对于抛物线解析式,令x=0,得y=3,即OC=3, ∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1,∴CD=1. ∵A(-1,0), ∴B(3,0),即OB=3, 1 则S梯形COBD= (1+3)×3=6.
2
������ ������
������ − 4������+c
即 y=ax2+bx+c(一般式)可以配方成 y=a
������ 2 ������ + 2������ 4������������-������ + 4������
2
(顶点式).
由以上可以得出:确定二次函数的顶点,可以先配方,配成顶点式 后,由顶点式 y=a(x-h)2+k,直接得出顶点为(h,k),也可以直接根据顶 点的公式得出顶点为
知识点一
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章是关于二次函数的学习，而22.1.4《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》是这一章的重要内容。
这部分教材主要通过分析二次函数的图象和性质，使学生能够理解和掌握二次函数的基本特征，以及如何运用这些特征解决实际问题。
教材通过详细的理论推导和丰富的例题，引导学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等关键性质，并能够运用这些性质对二次函数进行分析和判断。
二. 学情分析在九年级的学生已经具备了一定的函数基础，他们已经学习了线性函数和一些非线性函数的知识，对函数的概念和性质有一定的理解。
但是，对于二次函数的图象和性质，他们可能还存在一些困惑和误解。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的认知基础，通过复习和引导，帮助他们巩固已有的知识，并建立起二次函数图象和性质的知识体系。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质，培养他们的抽象思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生通过学习二次函数的图象和性质，增强对数学的兴趣和自信心，培养他们的探索精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.教学难点：学生对于二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，通过引导学生观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质。
同时，我将利用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数和二次函数的知识，引导学生进入对二次函数图象和性质的学习。
2.探究：学生分组讨论，观察和分析二次函数的图象，归纳出二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
22.1.4二次函数的图像和性质 1
课题22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1主备人签字课型新授授课人学案编号授课日期核心素养通过探究活动体验数学活动充满着探索与创新,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性.2.通过学生共同观察和讨论,培养合作交流意识.重点二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质.难点二次函数y=ax2+bx+c的性质.学习过程及内容备注一、复习回顾1.完全平方公式是什么?2.利用完全平方公式将下列代数式配方.(1)x2+2x+=()2;(2)x2-x+=()2;(3)2x2-4x+=()2.二．共同探究1二次函数y=x2-6x+21的图象和性质1.思考回答下列问题(1)你能说出二次函数y=(x-6)2+3的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性吗?(2)二次函数y=(x-6)2+3的图象与二次函数y=x2的图象有什么位置关系?(3)不画图象,你能直接说出二次函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?万全区第三初级中学2018—2019学年第二学期初二数学导学案2.利用描点法画出图像(1)画出二次函数y=x2-6x+21的图象.(2)通过观察函数图象,这个函数具有哪些性质?三、合作交流你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗?(1)如何把一个二次三项式配方?(2)你能将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方吗?y=ax2+bx+c=a +c=a +c=a +c=a.(3)你能说出抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(当a>0时,抛物线的开口 ,当a<0时,抛物线的开口.对称轴是直线x= ,顶点坐标是.（4）你能说二次函数图像的增减性吗？四、拓展延伸已知二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1.如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1的图象的顶点P,求m的值.源:学科五、展示帮扶1.二次函数y=-x2-4x-3图象的顶点坐标是()A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,1)2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象上,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x<1B.x>1C.x<-1D.x>-13.已知抛物线y=-x2+4x-4,则下列说法正确的是()A.当x=-2时,y有最大值B.当x=2时,y有最大值C.当x=-2时,y有最小值D.当x=2时,y有最小值3.将二次函数y=x2+2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,结果为()A.y=(x+1)2+4B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2+4D.y=(x-1)2+24.二次函数y=-x2+2x的图象可能是下列选项中的()5.二次函数y=x2+bx+c的图象上有(3,4)和(-5,4)两点,则此拋物线的对称轴是直。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九上
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(1)》名师课件
∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上 两点， 1＜2＜3， ∴y1＜y2. 【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴， 再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性 质吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质 活动 师生共研，探究性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质： (1)当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸. a＞0 b (2)对称轴是直线 x , 2a b 4ac b 2 顶点坐标为 ( , ). 2a 4a b (3)在对称轴的左侧，即相当于 x＜ 时， 2a y随x的增大而减小； b 在对称轴的右侧，即相当于 x 时， 简记为“左减右增”. 2a y随x的增大而增大；
1 2 解： y x 6 x 21 2 1 2 ( x 12 x 42) 2 1 2 ( x 12 x 36 6) 2 1 ( x 6)2 3 2
所以它的开口向上，对称轴是x=6， 顶点坐标是（6，3）.
对称轴和顶点坐标．
同学们自己画图！ 归纳： 一般式化为顶点式的思路：
b 4ac b 2 则： h , k . 2a 4a
2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a(x－h)2＋k中，
b 4ac b 2 h ,k . 2a 4a
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
九年级数学上册 第章 二次函数 . 二次函数的图象和性质 二次函数y=axbxc的图象和性质
.
第十六页，共二十五页。
6．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并判断抛物线有最大 值还是最小值．
(1)y＝x2－4x＋5； (2)y＝－14x2－32x＋4； (3)y＝－3x2－2x＋1； (4)y＝－12x2＋2x＋1.
第十七页，共二十五页。
解：(1)y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1， ∵a＝1>0， ∴开口向上，对称轴 x＝2，顶点(2,1)，y 有最小值． (2)y＝－14x2－32x＋4＝－14(x＋3)2＋245， ∵a＝－14<0， ∴开口向下，对称轴 x＝－3，顶点－3，245，y 有最大值．
B．4
C．5
D．6
第二十三页，共二十五页。
【解析】 过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，交抛物线 y ＝14x2＋1 于点 P，此时△PMF 周长取得最小值．
∵F(0,2)，M( 3，3)，∴ME＝3， FM＝ 3－02＋3－22＝2， ∴△PMF 周长的最小值＝ME＋FM＝3＋2＝5.
第二十四页，共二十五页。
B．直线 x＝－2
C．直线 x＝－1
D．直线 x＝0
第十五页，共二十五页。
4．[2017·广州]当 x＝ 1 时，二次函数 y＝x2－2x＋6 有最小值 5 .
5．已知点 A(4，y1)，B( 2，y2)，C(－2，y3)都在二次函数 y＝(x－2)2－1
的图象上，则 y1, y2 ，y3 的大小关系是 y2<y1<y3
度，得到的函数解析式是( D )
A．y＝(x＋3)2－2
B．y＝(x＋3)2＋2
C．y＝(x－1)2＋2
D．y＝(x－1)2－2
第十四页，共二十五页。
3．[2016·衢州]二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章 二次函数的图象和性质 (第1课时)教案
22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.【过程与方法】通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.【情感态度与价值观】经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.【教学难点】用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等六、教学过程（一）导入新课教师问：二次函数y=a(x-h)2+k的性质有哪些？（出示课件2）师生共同回忆：教师问：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质?（出示课件3）（二）探索新知探究一 画出二次函数y=ax 2+bx+c 的图象我们已经知道y=a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论216212y x x =-+的图象和性质？（出示课件5） 问题1：怎样将216212y x x =-+化成y=a(x-h)2+k 的形式？学生回忆配方的方法及步骤，并回答.（出示课件6）216212y x x =-+ 21(1242)2x x =-+ 2221(126642)2x x =-+-+ 2221[(126)642]2x x =-+-+ 21[(6)6]2x =-+ 21(6) 3.2x =-+ 学生回答后，教师总结并强调.（出示课件7） 配方的步骤：(1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式.配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 问题2：你能说出21(6)32y x =-+的对称轴及顶点坐标吗？（出示课件8） 生答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 问题3：二次函数21(6)32y x =-+可以看作是由212y x =怎样平移得到的？ 生答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 问题4：如何画二次函数216212y x x =-+的图象？（出示课件:9） 学生自主操作，画图，教师加以巡视.并引导他们进行分析. 方法一：描点法. 1.列表.2.描点，连线：方法二：平移法.（出示课件10）问题5：结合二次函数216212y x x =-+的图象，说出其性质.（出示课件11） 生答：当x<6时，y 随x 的增大而减小；当x>6时，y 随x 的增大而增大. 开口方向：向上.对称轴：x=6. 顶点：(6,3). 例 画出函数21522y x x =-+-的图象，并说明这个函数具有哪些性质.（出示课件12）师生共同解答如下： 解:函数21522y x x =-+-通过配方可得21(1)22y x =---， 先列表：然后描点、连线，得到图象如下图：（出示课件13）生观察图象，并总结性质如下： 开口方向：向下. 顶点坐标：（1，-2）. 对称轴：x=1.最值：x=1时，y 最大值=-2.当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.出示课件14：求二次函数y=2x 2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 生板演解题过程： 解：y=2x 2-8x+722(4)7x x =-+ 22(44)87x x =-+-+ 22(2) 1.x =--因此，二次函数y=2x 2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1). 探究二 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质出示课件15：根据下列关系你能发现二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质吗？师生共同探究强化认知：y=ax 2+bx+c 224()24b ac b a x a a-++=出示课件16：显然，二次函数y 224()24b ac b a x a a-++=的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2bx a =- 因此，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是2bx a=-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭- . 师生共同总结整理如下：（出示课件18）出示课件19：例二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（1，4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4）D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）学生自主思考后，师生共同解答如下：解析∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，∴函数图象开口向上，∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．教师加以强调：把函数的一般式化为顶点式，再由顶点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质.出示课件20：填一填.生自主思考，并填表. 答案：(1,1)；x=1；最大值1； (0,-1)；y 轴；最大值-1；(13-,-6)；x=13-；最小值-6. 出示课件21：一次函数y=kx+b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：生观察图象，并填空.k 1＜0；b 1＞0；k 2＞0；b 2＜0；k 3＞0；b 3＞0.出示课件22，23：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：a1___0，b1___0,c1___0；a20，b2___0,c20；a3___0，b3___0,c3___0；a4___0，b4___0,c4___0.生观察图象后，独立填空，教师加以纠正.a1＞0，b1＞0,c1＞0；a2＞0，b2＜0,c2=0；a3＜0，b3=0,c3＞0；a4＜0，b4＞0,c4＜0.师生共同总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系（出示课件24）出示课件25：例已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4生独立思考后，师生共同分析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．出示课件26：二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（）A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．ac>0生独立思考后，自主解决.解析根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，所以ac<0，D错误．（三）课堂练习（出示课件27-32）1.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤2.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A.y 轴B.直线x=52C.直线x=2D.直线x=323.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a ，b 同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=–2时，x 的值只能取0；其中正确的是 .4.如图是二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a ；④若（-3，y 1）,（32，y 2）是抛物线上两点，则y 1>y 2.其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：()()()22(1) 21213;(2) 580319;1(3) 22;2(4)12.y x x y x x y x x y x x =-+=-+-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=+-6.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 时，y 有最大值 .7.已知二次函数y=x 2-2x+1，那么它的图象大致为（ ）参考答案：1.A2.D3.（2）4.B5.⑴直线x=3，(3，-5)；⑵直线x=8，(8，1)；⑶直线x=1.25，59, 48⎛⎫- ⎪⎝⎭； ⑷直线x=0.5，19, 24⎛⎫ ⎪⎝⎭. 6.14；318- 7.B（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（22.1.4第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时的主要任务是理解和掌握二次函数的一般式.我们研究函数的一般基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征.因此本课时的教学仍可采用这种思维方法来探讨二次函数一般式的性质（如顶点坐标，对称轴以及增减性等），另外还要向学生渗透转化思想，即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式.。
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解析:由题可知该二次函数的图象的对称轴 为直线x=1,a=-1<0,所以在对称轴的左 侧,y随x的增大而增大,所以x<1.故选A.
3.已知抛物线y=-x2+4x-4,下列说法正确的是（B ） A.当x=-2时,y有最大值 B.当x=2时,y有最大值 C.当x=-2时,y有最小值 D.当x=2时,y有最小值 解析:将二次函数y=- x2+4x-4配方,得 y=-(x-2)2,所以其图象顶点坐标为(2,0), 又a=-1<0,所以当x=2时,y有最大值.故选 B.
5
·
5
· (6，3)
10
O
x＝6
x
探究2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方 法推导出它的对称轴和顶点坐标.
y ax bx c b 2 a（x x) c b a b
2
2 2
提取二次项系数
b 2 a[ x x ( ) ( ) ] c 配方:加上再减去一次项 a 2a 2a 系数绝对值一半的平方 2 b 2 b a（x ) c 整理:前三项化为平方形 2a 4a 2 式,后两项合并同类项 b 2 4ac b a（x ) 2a 4a 化简
检测反馈
1.二次函数y=-x2-4x-3图象的顶点坐标是 （B ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)
解析:将二次函数配方,得y=-(x+2)2+1,所以 顶点坐标为(-2,1).故选B.
2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象上,若y随x的
增大而增大,则x的取值范围是（ A ）
O
b x 2a
x
O
x b 2a
x
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
[知识拓展]
1.由于抛物线是轴对称图形,且对称轴经过抛物线的 顶点,所以抛物线上对称点所连线段的垂直平分线是 对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 2.在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴 及顶点坐标时,通常有两种方法:一是先将其配方,化 y=ax2+bx+c为y=a(x-h)2+k的形式;二是直接利用 公式求得答案. 3.若抛物线与x轴有交点,则最好选取交点进行描点, 特别是在画抛物线的草图的时候,应注意以下五点: 开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的 交点.
1 2 6.已知抛物线 y 2 x x 4.
(1)确定该抛物线的开口方向、顶点坐标和 对称轴; (2)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取 何值时, y随x的增大而减小?
1 2 1 9 2 解:(1)y x x 4 ( x 1) 2 2 2
,所以
9 该抛物线的开口向下,顶点坐标为 (1, 2 ) ，
九年级数学上
新课标 [人]
第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质（1）
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
如图所示,在一场足球比赛中,九年级(1)班 的球员李明从球门正前方10 m处起脚射门,球 的运行路线可以近似看成是一条抛物线,当球 飞行的水平距离是6 m时,球到达最高点,此时 球距离地面3 m,已知球门高2.44 m,此球能否 射进球门?
1 2 探究1 二次函数 y 2 x 6 x 21的图象和性质 1 (1) 画出y＝ 2 x2－6x＋21的图象.
1 配方得： y= 2
x2－6x＋21
1 ＝ (x－6)2＋3 2 1 2 由此可知，抛物线 y＝ x －6x＋21 的顶点 2
是点（6，3），对称轴是直线
x＝6.
列表
x
4.若将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k 的形式,则 y=（x-1)2+2 . 解析:将二次函数y=x2-2x+3配方,得y=(x1)2+2.故填(x-1)2+2. 5.二次函数y=x2+bx+3的图象的对称轴是直 线x=-2,则b= 4 . 解析:由题可知该二次函数的图象的对称轴 b x 2， 解得b=4.故填4. 是直线 2
b 2 4ac b ) 抛物线的顶点式 y a（x 2a 4a
2
二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b 它的顶bx c (a 0)
y
y ax 2 bx c (a 0)
对称轴是直线x=1.
(2)当x<1时, y随x的增大而增大,当x>1时,y 随x的增大而减小.
… 3 4 5 6 7 8 9 …
1 2 y x 6 x 21 … 2
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
…
描点
y
1 2 y＝ －6 2
x
x＋21
10
5
（ 6， 3）
5
10
O
x
y
1 y＝2 x2－6x＋21
20
·
15
当_____ x>6 时y随
x的增大而增 大
10
x<6 时y随x 当_____ 的增大而减小