北京海淀区2011届高三数学期末考试题(文)
北京市海淀区2007届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)
北京市海淀区2007年高三年级第一学期期末练习数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1． =︒600tan（ ）A ．3-B ．3C ．33 D ．33-2．椭圆13422=+y x 的准线方程是（ ）A ．x =4B ．41±=x C ．x =±4 D ．41=x 3．已知=-=αα2cos ,53cos 则（ ）A ．257 B ．257-C ．2524 D ．2524-设集合 4．若直线0164202)1(=++=-+++y mx m y m x 与直线平行，则实数m 的值等于（ ）A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－1或－25．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n mB ．ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,,C ．αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,,D ．αα//,//m n n m ⇒⊂6．设a 、b 是两个非零向量，则“222||||)(b a b a +=+”是“b a ⊥”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y 且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐标是（ ）A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π8．设A 、B 、C 、D 是半径为r 的球面上的四点，且满足AB ⊥AC 、AD ⊥AC 、AB ⊥AD ，则ACD ABD ABC S S S ∆∆∆++ 的最大值是（ ）A ．r 2B ．2 r 2C ．3 r 2D ．4 r 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知双曲线1422=-x y ，则其渐近线方程是 ，离心率e= .10．已知向量,//),1,(),2,13(b a k b k a 且=+=则实数k = .11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BD 1与平面ABCD 所成角的正切值是 .12．设实数x 、y 满足y x z y x y x x 2,030223-=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥--≤则的最小值为 .13．三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=2，AB ⊥BC ，AB=1，BC=3，则点P 到平面ABC的距离为 .14．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C 上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且.si n si n si n 2c o s c o s BCA B C -= （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程；（Ⅱ）圆C 上一动点M （),0(),,000y y x =若向量OM +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥A 1C（Ⅰ）求异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：AM ⊥平面A 1BC ；（Ⅲ）求二面角M —AB —C 的正切值.已知向量)sin ,(sin ),cos ,(sin ),sin ,0(),cos ,cos 3x x d x x c x b x x a ====（Ⅰ）当4π=x 时，求向量a 、b 的夹角；（Ⅱ）当]2,0[π∈x 时，求c ²d 的最大值；（Ⅲ）设函数)(),()()(x f d c b a x f 将函数+⋅-=的图象按向量m 平移得到函数g （x ）的图象，且||,12sin 2)(m x x g 求+=的最小值.19．（本小题共14分）已知函数,,,31)(23R c b cx bx x x f ∈++=且函数f （x ）在区间（－1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减. （Ⅰ）若b =－2，求c 的值； （Ⅱ）求证：c ≥3；（Ⅲ）设函数)(]3,1[),()('x g x x f x g 时，当-∈=的最小值是－1，求b 、c 的值.如图，设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 两点坐标为（P y y y x y x ,0,0),,(),,212211<>是此抛物线的准线上的一点，O 是坐标原点.（Ⅰ）求证：221p y y -=；（Ⅱ）直线PA 、PF 、PB 的方向向量为（1，a ）、（1，b ）、（1，c ），求证：实数a 、b 、c成等差数列； （Ⅲ）若||,,,,0βαθθβα-==∠=∠=∠=⋅求证：PFO BPF APF PB PA .参考答案二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分第二空2分，共30分）9．x y 21±=（缺一扣1分）， 25 10．－1 11．2212．－5 13．3 14．122,48-+π 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分）解：（Ⅰ）由已知得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………1分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )……………………………………2分 又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………3分 ∵0＜B ＜π∴3π=B ………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+== =ac c a -+22①………………………8分 ac c a c a 216)(222++==+ ②由①，②可得3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆ 43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分 16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），这两点的距离为32 满足题意……………………………1分②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分1|2|12++-=∴k k ，43=k ，………………………………………………………4分 故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分 （Ⅱ）设Q 点的坐标为（x ，y ），M 点坐标是),(00y x ，),,0(0y =,ON OM OQ +=0002,)2,(),(y y x x y x y x ===∴………………………………………………9分4)4(,4222020=+=+y x y x 即116422=+y x ……………………………………………11分∴Q 点的轨迹方程是116422=+y x ………………………12分轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆. ……………13分 17．（共13分）解法一：（Ⅰ）在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中， AC//A 1C 1 ∴∠BA 1C 1是异面直线A 1B 与AC 所成的角……………………2分 连接BC 1∴CC 1⊥平面A 1B 1C 1 ∴CC 1⊥A 1C 1又∠A 1C 1B 1=∠ACB=90° 即A 1C 1⊥B 1C 1∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ∴BC 1⊂平面BB 1C 1C ∴A 1C 1⊥BC 1在直角三角形BCC 1中，BC=1，CC 1=AA 1=672121=+=∴CC BC BC在直角三角形A 1BC 1中，7,3111==BC C A10212111=+=∴BC C A B A1030cos 11111==∴B A C A C BA ………………………………………………4分 （Ⅱ）由（I ）可知，BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又AM ⊂平面ACC 1A 1，则BC ⊥AM ∵AM ⊥A 1C ，∴AM ⊥平面A 1BC（Ⅲ）在三角形ABC 中，作AB 边上的高CH ，垂足为H ，连接MH ，显然CH 是MH 在平面ABC 上的射影 ∴MH ⊥AB∴∠MHC 是二面角M —AB —C 的平面角 …………………………11分 ∵AM ⊥A 1C∴∠MAC=∠AA 1C ，则 tanMAC=tanAA 1C 即3,6,11===AC AA ACMCAA AC 又 中，，故在直角三角形又MCH CH MC 2326==∴22326tan ===CH MCMHC ………………………………………………13分解法二：（I ）如图，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在 直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 C （0，0，0）)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A),6,1,3(1--=∴A)0,0,3(=……………………2分设异面直线A 1B 与AC 所成的角为1θ，则1030303||||cos 111==⋅=CA B A θ ……………………………………4分（Ⅱ）同解法一…………………………………………………………9分 （Ⅲ）设M （0，0，z 1） ∵AM ⊥A 1C 01=⋅∴A即－3+0)26,0,0(,26,0611M z z 所以故==+………………10分 设向量m=（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m m ⊥⊥,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅030263,00y x z x AB m m 即，令x=1，则平面AMB 的一个法向量为 ),2,3,1(=m显然向量n=（0，0，1）是平面ABC 的一个法向量， 设所求二面角的大小为2θ 则3362||||||cos 2==⋅⋅=n m n m θ 2tan 2=∴θ…………………………………………………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）4π=x)22,0(),22,26(==b a ……………………………………………………………1分 则2122221||||,cos ,21)22,0()22,26(=⋅=⋅>=<=⋅=⋅b a ba b a b a ∴向量a ，b 的夹角为3π………………………………………………………………3分 （Ⅱ）x x x x x x x d c cos sin sin )sin ,(sin )cos ,(sin 2+=⋅=⋅=)42sin(2221)2cos 2(sin 212122sin 22cos 1π-+=-+=+-x x x x x ……5分43424]2,0[ππππ≤-≤-∴∈x x …………………………………………6分 当212·83,242+==-取最大值时，即d c x x πππ…………………………8分 （Ⅲ）)cos sin ,sin 2()sin cos ,cos 3()()()(x x x x x x d c b a x f +⋅-=+⋅-==x x x x x x 2cos 2sin 3sin cos cos sin 3222+=-+=)62sin(2π+x ……………………………………………………10分设m=（s ，t ），则12sin 2)622sin(2]6)(2sin[2)()(+=++-=++-=+-=x t s x t s x t s x f x g ππ)(12,1Z k k s t ∈+==∴ππ易知当k=0时，1144||2min +=πm …………………………………………14分19．（共14分）解：（Ⅰ）由已知可得f ‘（1）=0…………………………………………………………1分又c bx x x f ++=2)(2'f ‘（1）=1+2b+c=0，………………………………………………………………2分将b=－2代入，可得c=3………………………………………………………………3分 （Ⅱ）可知c x c x x f x f c b ++-=+-=)1()()(,212'可得代入‘ 令c x x x f ===21',10)(，则……………………………………………………4分又当－1＜x ＜1时，时，当31,0)('<<≥x x f 0)('≤x f如图所示；易知c ≥3…………………………8分 （Ⅲ）若1≤－b ≤3，则.12)()(22m in -=+-=-=c b b b g x g又1+2b+c=0，得b=－2或b=0（舍），c=3， 若－b ≥3，则)3()(m in g x g = =9+6b+c=－1，又1+2b+c=0 得49-=b （舍） 综上所述，b=－2，c=3…………………………………………14分 20．（共14分）证明：（I ）（1）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为：2px =， 则),,2(),,2(p pB p p A - 221p y y -=∴……………………………………………………1分（2）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 方程为：),2(px k y -=则由 )0(02,2)2(222≠=--⎪⎩⎪⎨⎧=-=k kp py ky px y p x k y 可得 221p y y -=∴……………………………………………………3分（Ⅱ）由已知PB PF PA k c k b k a ===,,， 设)0,2(),,2(p F t p P -p y x p y x p x t y c p tb p x t y a 2,2;2,,22222112211==+-=-=+-=∴且 故222222112222112211)(2)(2222222p y t y p p y t y p p p y t y p p y t y p x t y p x t y c a +-++-=+-++-=+-++-=+ = ))(())(())((222222122122221p y p y p y t y p y t y p +++-++-⋅ b ptp y y p p y y t p p y y p y y tp ty p y y y tp ty p y y y p 22)2()2(2)(22222122222142221222212212221222221221=-=++++-⋅=+++--++--+⋅=∴a 、b 、c 成等差数列……………………………………………………8分 （Ⅲ）解法一：1,0-=⋅⊥∴=⊥c a PB PA PB PA 故由（Ⅱ）可知c b b a b c a -=-=+即,2 ①若AB ⊥x 轴，则︒=︒==0,45θβαβαθ-=∴②若,0>AB k 则c ac b a b a ab ac b a ab b a -==--=+--=+-=1)(1tan α同理可得αβ=tanb ca a c a c -=+-=-+--=⋅+-=-∴2)(1tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα即θβαtan |||)tan(|==-b易知∠PFO ，∠BPF ，∠APF 都是锐角||βαθ-=∴③若,0<AB k 类似的也可证明||βαθ-=总上所述，||βαθ-=……………………………………………………14分 解法二：1,0-=⋅⊥∴=⊥c a PB PA 故①如图，若AB ⊥x 轴，则︒=︒==0,45θβαβαθ-=∴②若,0>AB k ∵A 、B 在抛物线上，||||,|||BD BF AC AF ==∴设AB 中点为M ，则2||||AB PM ==2||||2||||BD AC BF AF +=+ 所以PM 是梯形ABDC 的中位线，故P 是CD 中点2)(),(),2,()0,2(,2),2,2(2122121212212121y y x x p y y x x y y p p F y y t y y p P ---=⋅∴--=+-=+=+-∴又β=∠=∠∴∆≅∆∴⊥∴=---=DPB BPF PBF PDB x x p x x p .02)(2)(1212βαθβαβθ-=∴+=︒=+∴,902③若,0<AB k 类似②可证αβθ-=∴||βαθ-=……………………………………………………14分。
海淀区2011年高三年级第一学期文科数学期末练习及答案
海淀区2011年高三年级第一学期文科数学期末练习第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．sin 240的值为A ．12-B ． 12C ．32-D ．322. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 93. 设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆 5.点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为A ．12B ．6C ． 4D ．27. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈，01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数 C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥车速O40506070800.0100.0350.030a频率组距正视图左视图俯视图222112218. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）开始0;0S n ==n i<21n S S =++是否1n n =+S输出结束i 输入设函数13()sin cos 22f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A = 且32a b =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）围棋社戏剧社书法社学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人. (I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O ，侧棱1AA ⊥BD,点F高中 45 30 a初中151020为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为23，求P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n = *()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.答案及评分参考第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CAACBDBD第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA, ...............................7分 π<<A 0 ,3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分 ,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分 32s i n 32b b B ∴=, ∴1sin =B , ....................................11分 π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且AC BD O = ，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A = 且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，x(1,)a a(,2)a()f x ' － 0 ＋ ()f x极小由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分....................................10分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242(23)t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠= ，所以120DOC ∠= . ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+ 显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠， 所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>= 不具有性质P . ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+， 使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ， 从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分。
2013北京市海淀区高三第一学期期末数学文科试题
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （文科） 2013.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i -- 2. 向量(1,1),(2,)t ==a b , 若⊥a b , 则实数t 的值为A. 2-B. 1-C. 1D. 23. 在等边ABC ∆的边BC 上任取一点P ，则23ABP ABC S S ∆∆≤的概率是 A. 13B. 12C. 23D. 564.点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 A ．2 B. 3 C. 4 D.55.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A. 4,30n S ==B. 4,45n S ==C.5,30n S ==D. 5,45n S ==6.已知点(1,0),(cos ,sin)A B αα-, 且||AB , 则直线AB的方程为A. y=y = B. y x =或y =- C. 1yx =+或1y x =-- D. y =或y =7. 已知函数sin , sin cos ,()cos , sin cos ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩ 则下面结论中正确的是A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的值域是[1,1]-C. ()f x 是偶函数D. ()f x 的值域是[8. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点, E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面,AEF则线段1A P 长度的取值范围是 A ． B. C. D. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. tan 225 的值为________.10. 双曲线22133x y -=的渐近线方程为_____；离心率为______.11. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且268a a a +=，则55_____.S a = 12. 不等式组0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域为Ω，直线1y kx =-与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为_________.13. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为______.14. 任給实数,,a b 定义, 0,, 0.a b a b a b a a b b⨯⨯≥⎧⎪⊕=⎨⨯<⎪⎩ 设函数()ln f x x x =⊕，则1(2)()2f f +=______；若{}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，123781()()()()(=,f a f a f a f a f a a +++++ ）则1___.a =三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数21()sin cos cos 2f x x x x =-+，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()1f A =.（I ） 求角A 的大小；（Ⅱ）若7a =，5b =，求c 的值.DABCB 1C 1D 1A 1F E BC DA16. （本小题满分13分）某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽 车是A 型车的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，且E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ； （Ⅱ）求证：1B C ⊥平面1AEC .18.（本小题满分13分）已知函数211()22f x x =-与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设 ()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.（I ） 求a 的值；（Ⅱ）求()F x 在区间[1,e]上的最小值. .EC 1B 1A 1CBA19. （本小题满分14分）已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B . 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45 时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为 “一阶比增函数”.(Ⅰ) 若2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+； （Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （文）参考答案及评分标准 2013．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为 21()cos cos 2f x x x x =-+12cos22x x =- πsin(2)6x =- ………………6分又π()sin(2)16f A A =-=，(0,)A π∈， ………………7分所以ππ7π2(,)666A -∈-， πππ2,623A A -== ………………9分（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得到2π492525cos3c c =+-⨯，所以25240c c --= ………………11分 解得3c =-（舍）或 8c = ………………13分 所以8c =16. （本小题满分13分） 解：（I ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大………………3分（Ⅱ）这辆汽车是A 类型车的概率约为3A 333A,B 10313==+出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和这辆汽车是A 类型车的概率为313………………7分 （Ⅲ）50辆A 类型车出租的天数的平均数为3343051567754.6250A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ………………9分50辆B 类型车出租的天数的平均数为310410515610754.850B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ………………11分答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大,应该购买B 型车………………13分答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为 4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 ………………13分 17. （本小题满分14分）解：(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO 因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B ………………3分 又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC所以1//A B 平面1AEC ………………6分 (Ⅱ)因为AB AC =，又E 为CB 中点，所以AE BC ⊥ ………………8分 又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ， 又AE ⊂底面ABC , 所以1AE BB ⊥,又因为1BB BC B = ，所以AE ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以AE ⊥1B C ………………10分在矩形11BCC B 中, 111tan tan CB C EC C ∠=∠=,所以111CB C EC C ∠=∠， 所以11190CB C EC B ∠+∠=，即11B C EC ⊥ ………………12分又1AE EC E = ，所以1B C ⊥平面11BCC B ………………14分 18. （本小题满分13分） 解：（I ）因为(1)(1)0,f g ==所以(1,0)在函数(),()f x g x 的图象上又'(),'()af x xg x x==，所以'(1)1,'(1)f g a == 所以1a = ………………3分 （Ⅱ）因为211()ln 22F x x m x =--，其定义域为{|0}x x > 2'()m x mF x x x x-=-= ………………5分当0m <时，2'()0m x mF x x x x-=-=>， 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以()F x 在[1,e]上最小值为(1)0F = ………………7分当0m >时，令2'()0m x mF x x x x-=-==，得到120,0x x =>=< (舍)1≤时，即01m <≤时，'()0F x >对(1,e)恒成立，所以()F x 在[1,e]上单调递增,其最小值为(1)0F = ………………9分e 时，即2e m ≥时, '()0F x <对(1,e)成立，所以()F x 在[1,e]上单调递减， 其最小值为211(e)e 22F m =-- ………………11分当1e <<,即21e m <<时, '()0F x <对成立, '()0F x >对成立所以()F x 在单调递减,在上单调递增其最小值为1111ln 22222mF m m m m =--=--………13分 综上，当1m ≤时， ()F x 在[1,e]上的最小值为(1)0F =当21e m <<时，()F x 在[1,e]上的最小值为11ln 222mF m m =-- 当2e m ≥时, ()F x 在[1,e]上的最小值为211(e)e 22F m =--.19. （本小题满分14分）解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b =所以24,a =所以椭圆方程为22143x y += ………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45 ,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y ,得到27880x x +-= ………………5分 所以121288288,,77x x x x ∆=+=-=所以1224||||7CD x x =-=………………7分 （Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= ………………8分 当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然0∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++ ………………10分 此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k=++=+ ………………12分 因为0k ≠,上式1234||||k k =≤==+（k =所以12||S S -………………14分20. （本小题满分13分）解：（I ）由题2()f x ax axy ax a x x+===+在(0,)+∞是增函数，由一次函数性质知当0a >时，y ax a =+在(0,)+∞上是增函数，所以0a > ………………3分 （Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即()f x x在(0,)+∞上是增函数， 又12,(0,)x x ∀∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+所以112112()()f x f x x x x x +<+， 212212()()f x f x x x x x +<+ ………………5分 所以112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+所以11221212121212()()()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x +++<+=+++所以1212()()()f x f x f x x +<+ ………………8分 （Ⅲ）设0()0f x =，其中00x >.因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，00()()0f x f x x x >= 法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =由（Ⅱ）知(2)2f t m >，同理(4)2(2)4f t f t m >>，(8)2(4)8f t f t m >> 所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013n n f t m >⋅>，所以()2013f x > 一定有解 ………………13分法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t k t= 因为当x t >时，()()f x f t k x t>=，所以()f x kx >对x t >成立 只要 2013x k>，则有()2013f x kx >>， 所以()2013f x > 一定有解 ………………13分。
2013-2014海淀区高三数学期末考试文科试卷
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （文）参考答案及评分标准 2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACACBDB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）πcosππ02()2sin 22ππ4422sin cos 4422f =+=+=++. ------------------------3分 （Ⅱ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k ≠-∈Z . 因为cos2()2sin sin cos xf x x x x =++22cos sin 2sin sin cos x xx x x-=++ ------------------------------------5分 cos sin x x =+π2sin()4x =+， -------------------------------------7分所以()f x 的最小正周期2πT =. -------------------------------------9分 因为函数sin y x =的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z , ------------------------------11分 又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z ,所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .-----------------------------------13分9． 210． 1611. 712． {1,2,4}13． 50，101514． 1-;①②③16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =. ----------------------------------4分（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.所以()0.290.450.010.75P A =++=. ----------------------------------9分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，所以//CD AB . ----------------------------1分 又因为CD ⊄平面PAB ， -------------------3分 所以//CD 平面PAB . --------------------------4分 （Ⅱ）因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点，所以PE AB ⊥. ----------------------------------5分 因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB 平面ABCD AB =,PE ⊂平面PAB ,----------------------------------7分所以PE ⊥平面ABCD , ------------------------------------8分 因为AD ⊂平面ABCD ,所以PE AD ⊥. ------------------------------------9分 （Ⅲ）因为CA CB =，点E 是棱AB 的中点，所以CE AB ⊥. --------------------------------10分 由（Ⅱ）可得PE AB ⊥， ---------------------------------11分 所以AB ⊥平面PEC ， --------------------------------13分 又因为AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PEC . --------------------------------14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分 因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，PAEBCD所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分 因为1y x a =++是增函数，所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. -------------------------------5分 （Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分 (),'()f x f x 的情况如下： x (,1)a -∞--1a --(1,)a --+∞'()f x -0 +()f x↘极小值↗--------------------------------------10分①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ， 若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2e a ≥，所以此时，2e a ≥； --------------------------------------11分②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，所以a 不存在； ------------------------12分③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,所以此时，a 不存在. ------------------------------13分综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞. 19. （本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分 又由题意可得12c a =， 所以2a =， ----------------------------------2分所以2223b a c =-=, ----------------------------------3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ---------------------------------4分所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分 代入圆F 的方程，可得21r =,所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分 （Ⅱ）法1：假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件， -----------------------------7分由22(2),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分设11(,)B x y ，则21216243k x k +=+, ---------------------------------9分可得中点22286(,)4343k kP k k -++， --------------------------------11分由点P 在圆F 上可得2222286(1)()14343k k k k --+=++化简整理得20k = --------------------------------13分 又因为0k ≠，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------------14分 （Ⅱ）法2：假设存在直线l 满足题意.由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径， -----------------------------7分 所以OP AB ⊥. ------------------------------8分 由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==. --------------------------------9分设点11(,)B x y ，则由题意可得2211143x y +=. --------------------------------10分又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分所以22222211111||3(1)3444x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分 20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）只有[]y x =是N 函数. ----------------------------3分 （Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. 证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N . ---------------------------------------4分不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<， 即11e e k k x -≤≤<.因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立， 所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<， 所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. ---------------------------------------8分 （Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ---------------------------9分（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ------------------10分② 若01a <≤，由指数函数性质易得 x b a b a ⋅≤⋅，所以*x ∀∈N ，都有()[][]x f x b a b a =⋅≤⋅所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. -----------------11分③ 若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2log (1)am b a >⋅-，所以一定存在正整数k 使得 12k k b a b a +⋅-⋅>， 所以*12,n n ∃∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅， 所以12()(1)f k n n f k <<≤+.又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅,所以()()f x f k ≤； 当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅,所以()(1)f x f k ≥+， 所以*x ∀∈N ，都有*1{()|}n f x x ∉∈N ，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.------------------13分综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.。
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数i(12i)-=（A ）2i -+ （B ）2i + （C ）2i - （D ）2i --（2）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF（A ）1122AB AD+（B ）1122AB AD -- （C ）1122AB AD -+ （D ）1122AB AD-（3）已知数列{}n a 满足：22111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N ，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）24 （D ）25 （4）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（5）已知直线1l ：110k x y ++=与直线2l ：210k x y +-=，那么“12k k =”是“1l ∥2l ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f =（A ）12-（B ）1- （C ）32- （D ）3-FEDC BA 开始 i =1,s =0 s =s +2 i -1is ≤100i = i +1 输出i 结束 是否（7）已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是（A ）()f x 是偶函数，递增区间是()0,+（B ）()f x 是偶函数，递减区间是(,1)-（C ）()f x 是奇函数，递减区间是()1,1- （D ）()f x 是奇函数，递增区间是(),0-（8）点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离. 已知点(1,0)A ，圆C ：2220x x y ++=，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（A ）双曲线的一支 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）射线二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）双曲线22145x y -=的离心率为 .（10）已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 .（11）若实数,x y 满足40,250,10,x y x y y ì+- ïïï+- íïï- ïïî 则2z x y =+的最大值为 .（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)8x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直线l 的方程为 .（14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应甲城市 乙城市9 08 77 3 1 2 4 72 2 0 4 743的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，3sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若2b =，求边,a c 的长. (16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. （17）（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，AC BD O = . （Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC ^平面ABCD ，求证：PB PD =； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD ，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.（19）（本小题满分13分）BCDO AP已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若PAB ∆的面积为3613，求直线AB 的方程.（20）（本小题满分14分） 若集合A 具有以下性质：①A ∈0，A ∈1；②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1. 则称集合A 是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈； 命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有A xy∈；海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．01一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCACBCD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）32 （10）54（11）7 （12）乙，乙 （13）1y x =+或1y x =-- （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分 因为3sin 3B =， 所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分 （Ⅱ）由题意可知，(0,)2B πÎ.所以26cos 1sin 3B B =-=. ………………………………………5分 所以 22sin sin 22sin cos 3A B B B ===. ………………………………………7分因为sin sin b aB A=，2b =，所以232233a=. 所以463a =. ………………………………………10分 由1cos 3A =可知，(0,)2A πÎ.过点C 作CD AB ^于D . 所以466110cos cos 23333c a Bb A=????. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙， 丙乙甲”. ………………………………………2分 （Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙”，则 ………………………………………4分()2163P A ==. 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13. ………………………………………7分（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则………………………………………10分()4263P B ==. 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 底面ABCD 是菱形所以 AC BD ⊥. ………………………………………1分 因为 AC PD ⊥，PD BD D = ，所以 AC ⊥平面PBD . ………………………………………3分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC BD ⊥.因为 平面PAC ^平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =，BD Ì平面ABCD ，所以 BD ⊥平面PAC . ………………………………………5分 因为 PO Ì平面PAC ，所以 BD PO ⊥. ………………………………………7分 因为 底面ABCD 是菱形， 所以 BO DO =.所以 PB PD =. ………………………………………8分 （Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. ………………………………………9分 假设存在点M （异于点C ）使得BM ∥平面PAD . 在菱形ABCD 中，BC ∥AD ， 因为 AD Ì平面PAD ，BC Ë平面PAD ， 所以 BC ∥平面PAD .………………………………………11分 因为 BM Ì平面PBC ，BC Ì平面PBC ，BC BM B = ，所以 平面PBC ∥平面PAD .………………………………………13分而平面PBC 与平面PAD 相交，矛盾. ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………6分 （Ⅱ）令2'()e [(2)]0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………8分MBCDOAP当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以()f x 的最小值为(0)f ＝a -; ………………………………………10分 当(2)0a -+>，即2a <-时, ()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表x(0,(2))a -+(2)a -+ ((2),)a -++∞'()f x-+()f x(0)f↘((2))f a -+↗由上表可知函数()f x 的最小值为24((2))ea a f a ++-+=. ……………………………………13分 （19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知：1c =，12c a =，所以2a =. 所以 2223b a c =-=.所以 椭圆C 的标准方程为22143x y +=，左顶点P 的坐标是(2,0)-.……………………………………4分（Ⅱ）根据题意可设直线AB 的方程为1x my =+，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(34)690m y my ++-=. 所以 223636(34)0m m ∆=++>，122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. ……………………………………7分所以 PAB ∆的面积21212121113()422S PF y y y y y y =-=创+-……………………………………9分222223636181()2343434m m m m m +=-+=+++.………………………………………10分 因为PAB ∆的面积为3613， 所以22123413m m +=+. 令21t m =+，则22(1)3113t t t = +. 解得116t =（舍），22t =. 所以3m =.所以直线AB 的方程为+310x y -=或310x y --=.……………………………………13分 （20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）集合B 不是“好集”. 理由是：假设集合B 是“好集”. 因为1B - ，B ∈1，所以112B --=- . 这与2B - 矛盾.………………………………………2分有理数集Q 是“好集”. 因为0ÎQ ，1ÎQ , 对任意的,x y ÎQ ，有x y - Q ，且0≠x 时，1xÎQ . 所以有理数集Q 是“好集”. ………………………………………4分 （Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以 A ∈0.若,x y A Î，则A y ∈-0，即A y ∈-.所以A y x ∈--)(，即A y x ∈+. ………………………………………7分 （Ⅲ）命题q p ,均为真命题. 理由如下： ………………………………………9分 对任意一个“好集”A ，任取,x y A Î， 若y x ,中有0或1时，显然A xy ∈. 下设y x ,均不为0，1. 由定义可知：A xx x ∈--1,11,1. 所以111A x x- -，即1(1)A x x Î-.所以 (1)x x A - .由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+ ，即2x A Î. 同理可得2y A Î. 若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A + . 若0x y + 且1x y + ，则2()x y A + . 所以 A y x y x xy ∈--+=222)(2. 所以A xy∈21. 由（Ⅱ）可得：A xyxy xy ∈+=21211. 所以 A xy ∈.综上可知，A xy ∈，即命题p 为真命题. 若,x y A Î，且0x ¹，则1A xÎ. 所以 1y y A x x=孜，即命题q 为真命题. ……………………………………14分。
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则()A. B. C. D.2.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为()A. B. C. D.3.已知直线，直线，且，则()A.1B.C.4D.4.已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，O为坐标原点，则()A. B.4 C.5 D.5.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为()A.4B.2C.D.6.已知圆，直线与圆C交于A，B两点.若为直角三角形，则()A. B. C. D.7.若关于x的方程且有实数解，则a的值可以为()A.10B.eC.2D.8.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知是公比为的等比数列，为其前n项和.若对任意的，恒成立，则()A.是递增数列B.是递减数列C.是递增数列D.是递减数列10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设，，则上顶的面积为()参考数据：，A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，x的系数为__________.12.已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为__________.13.已知点A，B，C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点C到直线AB的距离为__________.14.已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为d，则能使得为某一个等差数列的前n项和的一组，d的值为__________，__________.15.已知函数给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数x，；④当时，存在，，使得对任意，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
海淀区高三年级第二学期期末练习数学(文科)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （文科） 2013.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0Ax x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2. 已知1211ln,sin,222ab c -===，则,,a b c 的大小关系为A.a b c <<B.a c b <<C.b a c<< D.b c a<<3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子， 若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为 A.m a nB.n a mC.2m a nD.2n a m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C. 276 D.3005.下列函数中，为偶函数且有最小值的是 A.2()f x xx=+ B.()|ln |f x x =C.()sin f x x x = D.()e exxf x -=+6.在四边形A B C D 中，“R λ∃∈，,A B D C A D B Cλλ==”是“四边形A B C D 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12A F F ∆是以1A F 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 A.2 B.12+C.13+D.23+666左视图5俯视图主视图8.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A.若45m=，则53a =B.若32a =，则m 可以取3个不同的值C.若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列D.m Q ∃∈且2m≥，使得数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 复数2i ___.1i=-10.甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图， 则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.11.已知数列{}n a 是等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则5a 的值为____. 12.直线1yx =+被圆22230x x y -+-=所截得的弦长为____. 13.已知函数π()sin (2)(01)6f x x ωω=-<<的图象经过点π(,0)6，则ω=_____，()f x 在区间[0,π]上的单调递增区间为_____.14.设变量x ，y 满足约束条件10,40,1(1),y x y y k x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤-⎩其中,0R k k ∈>.（I ）当1k =时，2y x的最大值为______；（II ）若2y x的最大值为1，则实数k 的取值范围是_____.甲乙 9 09 8 5 1 6 76 3 22 3 3 5 7 8 6 31三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S . (I) 若1101,100a S ==，求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若26n S nn=-，解关于n 的不等式2n n S a n +>.16.（本小题满分13分）已知点D 为A B C ∆的边B C上一点，且2B D D C =，75,30A DB ACD ∠=∠=，2A D =.（I ） 求C D 的长； （II ）求A B C ∆的面积.17.（本小题满分14分）如图1，在直角梯形A B C D 中，//A DB C，90A D C∠=︒，B AB C=. 把B A C ∆沿A C折起到P A C ∆的位置，使得P 点在平面A D C 上的正投影O 恰好落在线段A C 上, 如图2所示. 点,E F 分别为棱,P C C D 的中点. （I ） 求证：平面//O E F 平面A P D ； （Ⅱ）求证：C D⊥平面P O F ；(Ⅲ) 在棱P C 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P O C F 四点距离相等？请说明理由.图2F EOADPCCDBA图118.（本小题满分13分）已知函数()ln ,()(0)a f x x g x a x==->.（I ）当1a=时， 若曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线与曲线()y g x =在点00(,())P x g x 处的切线平行，求实数0x 的值；（II ）若(0,e ]x ∀∈，都有3()()2f xg x ≥+，求实数a 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点.（I ）求椭圆C 的方程； （II ）若直线yk x =交椭圆C 于,A B 两点，且在直线:30l x y +-=上存在点P ，使得P A B∆为等边三角形，求k 的值.20.（本小题满分13分） 设A 是由mn⨯个整数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若经过任意．．一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的值；表2(Ⅲ) 对由mn⨯个整数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.12 3 7-2-1122221212a a a a aaa a------海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （文科）参考答案及评分标准 2013．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACBDCBD二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分） 解：（I ）设{}n a 的公差为d因为11a =，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分所以1101,19a a == ……………………4分 所以2d =所以 21n a n =- ……………………6分（II ）因为26nS n n=-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27n a n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-9． 1i -+ 10．乙 11. 16-或 1612．2213．1π2π;(,)233-14．1;02k <≤所以 27n a n =- ……………………10分 所以247n n S a n n +=--所以2472n n n-->，即2670n n -->所以7n >或1n <-，所以7n >，N n ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75A D B∠=，所以45D A C∠=在A C D ∆中，2A D =，根据正弦定理有sin 45sin 30C D A D =……………………4分所以2C D = ……………………6分 （II ）所以4BD = ……………………7分 又在ABD ∆中， 75A D B∠=，62sin 75sin (4530)4+=+=……………………9分所以1sin 75312A D BS A D B D ∆=⋅⋅=+ (12)分所以333322A B CA B D S S ∆∆+==……………………13分同理，根据根据正弦定理有sin 105sin 30A CA D =而 62sin 105sin (4560)4+=+=……………………8分所以31A C =+ ……………………10分又4BD =，6B C = ……………………11分 所以1333sin 3022A B C S A C B C ∆+=⋅⋅=……………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面A D C 上的正投影O 恰好落在线段A C 上所以P O ⊥平面A B C ，所以P O ⊥A C …………………2分因为A B B C =，所以O 是A C 中点， …………………3分所以//O E P A …………………4分同理//O F A D 又,O EO F O P A A D A==所以平面//O E F 平面P D A …………………6分 （II ）因为//O F A D ，A D C D ⊥所以O F C D ⊥ …………………7分 又P O ⊥平面A D C ，C D ⊂平面A D C所以P O ⊥C D …………………8分 又O FP O O=所以C D ⊥平面P O F …………………10分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分 因为C D ⊥平面P O F ，P F ⊂平面P O F所以C D PF ⊥又E 为P C 中点，所以 12E FP C= …………………12分同理，在直角三角形P O C 中，12E P E C O E P C===， …………………13分所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =, 211'(),()f x g x xx==…………………2分若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x处的切线平行， 所以211x x =，解得01x =此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =- ()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x = (4)分（II ）若(0,e ]x ∀∈，都有3()()2f xg x ≥+记33()()()ln 22a F x f x g x x x=--=+-，只要()F x 在(0,e ]上的最小值大于等于0221'()a x a Fx xxx-=-=…………………6分则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：x(0,)aa(,)a +∞ '()F x -0 +()F x极大值…………………8分 当e a≥时，函数()F x 在(0,e )上单调递减，(e )F 为最小值所以3(e )102a F e=+-≥，得e 2a≥所以ea ≥ …………………10分当ea<时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e )a 上单调递增 ，()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得ea≥所以e ea ≤< ………………12分综上，e a≤ ………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点, 所以3,1ab ==,椭圆C 的方程为2213xy+= ………………4分(II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线A B 的斜率为0时，A B 的垂直平分线就是y 轴，y轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为||3,||3A B P O ==，所以60P A O ∠=，所以P A B ∆是等边三角形,所以直线A B 的方程为0y = ………………6分当直线A B 的斜率存在且不为0时，设A B 的方程为yk x=所以2213x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x +=所以 123||31x k=+，则2222333||13131k A O kkk+=+=++ ………………8分设A B 的垂直平分线为1yxk=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则2299||(1)kP Ok +=- ………………10分因为P A B ∆为等边三角形， 所以应有||3||P O A O =代入得到22229933|3(1)31kk k k++=-+，解得0k =（舍），1k =-……………13分此时直线A B 的方程为yx=- 综上，直线A B 的方程为y x=-或0y= ………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237211211211-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：14123712371237211211211----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列（写出一种即可） …………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则22221212a a a a aaaa-----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1,2a a ==. …………………6分② 如果操作第一行22221212a a a a aaa a-----则每一列之和分别为22a -，222a-，22a -，22a解得1a = …………………9分 综上1a = …………………10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得 数阵中m n 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中m n个数之和必然小于等于11||mnij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。
北京市海淀区2013届高三下学期期末练习数学文试题(Word解析版)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文科）2013.5本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B = A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞ 【答案】B【解析】{}|(1)(2)0{21}A x x x x x =-+≤=-≤≤，所以A B = {1}x x ≤，即选B.2 已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则a,b ，c 的大小关系为A. a < b < cB. a <c <bC.b <a<cD. b <c < a【答案】A【解析】1ln 02a =<，110sin sin 262π<<=所以102b <<，1221222c -==>，所以,,a b c 的大小关系为c b a >>。
选A.3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m【答案】C【解析】设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2maS n =,所以选C.4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为666左视图5俯视图主视图A.180B.240C.276D.300Ω【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。
上部分为四棱锥。
四棱锥的底面为正方形，边长为6.侧面三角形的斜高为5.所以该几何体的表面积为21656542402⨯+⨯⨯⨯=，选B.5 下列函数中，为偶函数且有最小值的是A.f(x) =x 2 +xB.f(x) = |lnx|C.f(x) =xsinxD.f(x) =e x +e -x 【答案】D【解析】A ，B 为非奇非偶函数。
北京市海淀区2011届高三年级第一学期期末练习数学(文科)
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 (文科) 2011.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．sin 240的值为A ．12-B ． 12C． D2. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 93. 设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆5.点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为A ．12B ．6C ． 4D ．2 7. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈， 01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是 A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数正视图左视图俯视图C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x >D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥8. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）设函数1()sin cos 22f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A = 且2a =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人. (I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，ACBD O ，侧棱1AA ⊥BD,点F1B 1C 1A 1D为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P .（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA , ...............................7分 π<<A 0 , 3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分 ,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分 π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且ACBD O =，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x-'=-=，0x ≠. .........................................2分 （I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分....................................10分③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=，所以120DOC ∠=. ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分同理，设:(2)2t BP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+ 显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠， 所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P . ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+， 使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ， 从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-，其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
2013-2014年北京市海淀区高三第一学期期末数学(文)
海淀区高三年级第一学期期末练习 文1数 学(文科) 2014.01 本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.复数i(i 1)+等于A. 1i +B.1i -+C. 1i -D.1i --2.已知直线1:210l x y +-=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的取值为 A. 12- B.12C. 2D.2- 3.为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为 40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为A ．10000B ．20000C ．25000D ．300004.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为A.15B.14C. 7D. 65.已知2log 3a =，4log 6b =，4log 9c =，则A ．a b c =<B ．a b c <<C ．a c b =>D ．a c b >> 6.已知函数22,2,()3,2,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩ 若关于x 的方程()f x k =有三个不等的实根，则实数k 的取值范围是A.(3,1)-B. (0,1)C. (2,2)-D. (0,)+∞ 7.在ABC ∆中，若2a b =，面积记作S ，则下列结论中一定．．成立的是 A ．30B > B ．2A B = C ．c b < D ．2S b ≤ 8.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BD AC O = ，M 是线段1D O 上的动N O C 1D D 1B 1A 1CA B M 否是开始 a =1,S =1 a =2a S =S +a结束 S <10输出S点，过点M 做平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ， 则点N 到点A 距离的最小值为A ．2B ．62C ．233D ．1 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2011年高三年级第二学期统一练习(二)(数学文)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （文科） 2011.5选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 在复平面上，复数2i z =-对应的点在A ．第一象限B . 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．已知全集,U =R 集合{1,2,3,4,5}A =,{|2}B x x =∈≥R ，则右图中阴影部分所表示的集合为A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间为 A ．1(0,)2 B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)4．若函数sin()3y x π=+的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为A ．1sin()26y x π=+B. 1sin()23y x π=+ C. 2sin(2)3y x π=+D. s i n (2)3y x π=+ 5.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6. 圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为A. 250x y --=B. 210x y --=C. 20x y --=D. 40x y +-=7. 已知正方体1111ABCD A BC D -中，点M 为线段11D B 上的动点，点N 为线段AC 上的动点，则与线段1DB 相交且互相平分的线段MN 有 A ．0条 B.1条C. 2条D.3条8. 若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点 ② 22212221b b a a -=- ③1122a b a b > ④1212a a b b -<- 其中，所有正确结论的序号是A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．双曲线C ：22122x y -=的渐近线方程为 ；若双曲线C 的右焦点和抛物线22y px =的焦点相同，则抛物线的准线方程为 .10．点(,)P x y 在不等式组22y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 为____________.12. 已知ABC ∆的面积3=S ，3A π∠=，则=⋅_________.13.已知数列}{n a 满足，11=a 且)(1n n n a a n a -=+（*n ∈N ），则2_____a =；n a =________.A 1D 1A 1C 1B DCBNM正视图俯视图左视图14.已知函数'()f x 、'()g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示:①若(1)1f =，则(1)f -= ；② 设函数()()(),h x f x g x =-则(1),(0),(1)h h h -的 大小关系为 .（用“<”连接）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）已知函数x x x x f 2sin cos sin )(+=. （Ⅰ）求()4f π的值；（II ）若[0,]2x π∈，求)(x f 的最大值及相应的x 值.16. （本小题共13分）已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点.(I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ； （II ）求证：⊥1BC 平面EAD .17.（本小题共14分）)x D1C FEBAC1A 1B某学校餐厅新推出A B C D 、、、四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率.18. （本小题共14分） 已知函数321().3f x x ax bx =-+ (,)a b ∈R （I ）若'(0)'(2)1f f ==，求函数()f x 的解析式；（II ）若2b a =+，且()f x 在区间(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围.19．（本小题共14分）已知椭圆C :2222 1 (0)x y a b a b +=>>两个焦点之间的距离为2，且其离心率为2. (Ⅰ) 求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线与椭圆另一个交点为A ，且满 足=2BA BF ⋅，求ABF ∆外接圆的方程.20. （本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -=12k =，，3,.(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2011．5选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. y x =±，2x =- 10. 6 11. 1π+12. 2 13. 2，n 14. 1 ，(0)(1)(1)h h h <<- 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分）解：（Ⅰ） x x x x f 2sin cos sin )(+=，∴4sin 4cos4sin)4(2ππππ+=f …………………1分22=+ …………………4分 1= . …………………6分（Ⅱ）x x x x f 2sin cos sin )(+=22cos 12sin 21x x -+=…………………8分 21)2cos 2(sin 21+-=x x21)42sin(22+-=πx ， …………………9分 由]2,0[π∈x 得]43,4[42πππ-∈-x ， …………………11分所以，当242ππ=-x ，即π83=x 时，)(x f 取到最大值为212+. ……………13分 16. （共13分）证明：（Ⅰ）由已知可得1//AF B E ，1AF B E =，∴四边形E AFB 1是平行四边形，∴1//FB AE ， ……………1分AE ⊄平面FC B 1，1FB ⊂平面FC B 1，//AE ∴平面FC B 1； ……………2分又 E D ,分别是1,BB BC 的中点，∴C B DE 1//， ……………3分ED ⊄平面FC B 1，1B C ⊂平面FC B 1， //ED ∴平面FC B 1； ……………4分,AEDE E AE =⊂平面EAD ，ED ⊂平面EAD ， ……………5分∴平面FC B 1∥平面EAD . ……………6分 (Ⅱ) 三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱， ∴⊥C C 1面ABC ，又⊂AD 面ABC ，∴⊥C C 1AD . ……………7分 又直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是BC 边中点，∴ABC ∆是正三角形，∴BC AD ⊥， ……………8分D1C FEAC1A 1B而1C C BC C =， 1CC ⊂面11B BCC ，BC ⊂面11B BCC ，⊥∴AD 面11B BCC ， ……………9分故 1AD BC ⊥ . ……………10分 四边形11BCC B 是菱形，∴C B BC 11⊥， ……………11分 而C B DE 1//，故 1DE BC ⊥ , ……………12分由D DE AD = AD ⊂，面EAD ，ED ⊂面EAD ，得 ⊥1BC 面EAD . ……………13分17. （共13分）解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A ，B ，C ，D 四款套餐的学生共有200人， ……………1分 其中选A 款套餐的学生为40人， ……………2分 由分层抽样可得从A 款套餐问卷中抽取了 42004020=⨯份. ……………4分 设事件M =“同学甲被选中进行问卷调查”， ……………5分 则.10404)(==M P . ……………6分 答：若甲选择的是A 款套餐，甲被选中调查的概率是0.1.(II) 由图表可知，选A ，B ，C ，D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ……………7分 记对A 款套餐不满意的学生是a ；对B 款套餐不满意的学生是b ；对D 款套餐不满意的学生是c ，d. ……………8分设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D 款套餐” ……………9分 从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，……10分 而事件N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ……………11分 则 65)(=N P . ……………13分 答：这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率是65.18. （共14分）解：（Ⅰ）因为2'()2f x x ax b =-+ ， …………………2分由'(0)'(2)1f f ==即1441b a b =⎧⎨-+=⎩得11a b =⎧⎨=⎩， …………………4分所以()f x 的解析式为321()3f x x x x =-+. …………………5分(Ⅱ)若2b a =+，则2'()22f x x ax a =-++，244(2)a a ∆=-+ ， …………………6分 （1）当0∆≤，即12a -≤≤时，'()0f x ≥恒成立，那么()f x 在R 上单调递增， 所以，当12a -≤≤时，()f x 在区间(0,1)上单调递增； …………………8分 （2）解法1：当0∆>，即2a >或1a <-时，令2'()220f x x ax a =-++=解得1x a =-2x a =+ …………………9分 列表分析函数()f x 的单调性如下：…………………10分要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，只需210'(0)0a a a f ><-⎧⎪<⎨⎪≥⎩或或211'(1)0a a a f ><-⎧⎪>⎨⎪≥⎩或，解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分解法2：当0∆>，即2a >或1a <-时，因为2'()22f x x ax a =-++的对称轴方程为x a = …………………9分 要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，需1'(0)0a f <-⎧⎨≥⎩或2'(1)0a f >⎧⎨≥⎩ 解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分 综上：当[2,3]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1)上单调递增. …………………14分19. （共14分） 解：(Ⅰ)22,22===a c e c ， ……………1分2,1==∴a c ，122=-=∴c a b ， …………4分椭圆C 的标准方程是 1222=+y x . ………………5分 (Ⅱ)由已知可得)0,1(),1,0(F B ， …………………6分 设),(00y x A ，则)1,1(),1,(00-=-=BF y x BA ， 2=⋅ ，2)1(00=--∴y x ，即001y x += ， …………………8分代入122020=+y x ，得：⎩⎨⎧-==1000y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==313400y x ， 即)1,0(-A 或)31,34(A . ………………10分 当A 为)1,0(-时，1===OF OB OA ,ABF ∆的外接圆是以O 为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为122=+y x ； ………………12分 当A 为)31,34(时，1,1=-=AF BF k k ，所以ABF ∆是直角三角形，其外接圆是以线段BA 为直径的圆.由线段BA 的中点)32,32(以及352=BA 可得ABF ∆的外接圆的方程为95)32()32(22=-+-y x . ………………14分 综上所述，ABF ∆的外接圆的方程为122=+y x 或95)32()32(22=-+-y x .20. （共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A ………………2分 0:1,0,1A ………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 ………………5分 证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对. ………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12k k k b l +=+， 所以22k k k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+,4242k k k l l ---=+,2422l l =+.上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==--，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-.若k 为奇数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+312l l =+.上述各式相加可得12322(14)112221(21)143kk kkl---=++++=+=+-，经检验，1k=时，也满足1(21)3kkl=+.所以1(21),31(21),3kkkklk⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数.………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
2011海淀区高三期中练习文科数学试题及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(文科) 2010.11一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,3,5,7A =，{}1,3,5,6,7B =，则集合()U A B ⋂ð是（ ）A ． {2,4,6}B ． {1,3,5,7}C ． {2,4}D ．{2,5,6} 2. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是（ ） A ．12log y x = B ．1y x=C ．3y x =D ．x y tan =3．已知命题:0p x ∃≥，使23x =，则A ．:0p x ⌝∀<，使23x ≠B ．:0p x ⌝∀≥，使23x ≠C ．:0p x ⌝∃≥，使23x ≠D ．:0p x ⌝∃<，使23x ≠ 4．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω ＝（ ）A. 41 B.21 C.4πD.2π5.已知160sin ,3log ,222===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ． b a c <<D ． a b c <<6．已知向量=a （1，0），=b （0，1），b a c λ+=（∈λR ），向量d 如图所示.则（ ） A ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 垂直 B ．存在0λ>，使得向量c 与向量d 夹角为︒60C ．存在0λ<，使得向量c 与向量d 夹角为30︒D ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 共线7. 已知321,,a a a 为一等差数列，321,,b b b 为一等比数列，且这6个数都为实数，则下面四个结论中正确的是（ ）①21a a <与32a a >可能同时成立； ②21b b <与32b b >可能同时成立； ③若021<+a a ，则032<+a a ； ④若021<⋅b b ，则032<⋅b bA ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 8．若存在负实数使得方程 112-=-x a x成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2(+∞ B. ),0(+∞ C. )2,0( D. )1,0(二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．已知角α的终边经过点)1,1(-, 则αsin 的值是____________.10. 在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知,47sin ,6,5===A c b 则==a A ______,cos __________.11．已知直线ex y =与函数xe xf =)(的图象相切，则切点坐标为 .12．在矩形A B C D 中，,12== 且点F E ,分别是边CD BC ,的中点，则=⋅+AC AF AE )(_________.13．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.(1)(2)(3)给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是 ．14．设数列{}n a 的通项公式为*23,(),n a n n N =-∈ 数列}{m b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≤成立的所有n 中的最大值，则2b =____________，数列}{m b 的通项公式m b =________．三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S .16. （本小题共13分）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（I ）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值； （II ）求函数)(x f 的单调增区间.17．（本小题共14分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，xx f )21()(=.（I ）求)1(-f 的值； （II ）求函数)(x f 的值域A ； （III ）设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.18．（本小题共13分）已知定义在区间]6,0[上的二次函数c bx ax x f ++=2)(满足0)6()0(==f f ，且最大值为9.过动点))(,(t f t P 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接O P （其中O 为坐标原点）. （I ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）记OAP ∆的面积为S ，求S 的最大值. 19．（本小题共14分）在数列}{n a 中，123...n n a a a a n a ++++=-（1,2,3...n =）． （I ）求123,,a a a 的值；（II ）设1-=n n a b ，求证：数列}{n b 是等比数列；（III ）设)(2n n b c n n -⋅= （1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有5t c n <，求正整数t 的最小值.20．（本小题共13分）对x R ∈，定义1, 0sgn()0, 01, 0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．（I ）求方程)sgn(132x x x =+-的根；（II ）求函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调区间； （III ）记点集()()(){}sgn 1sgn 1,10,0,0x y S x y xyx y --=⋅=>>，点集()(){}lg ,lg ,T x y x y S =∈，求点集T 围成的区域的面积．海淀区高三第一学期期中练习数 学 (文科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）分） （9）22 （10）3, 44（11） ),1(e （12）215 （13） ②③（14）2， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=是偶数是奇数m m m m b m,22,23也可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-=+=)(2,1)(12,1**N k k m k N k k m k b m 三、解答题(本大题共6小题,共80分) （15）（本小题共13分）解：（I ）设等比数列}{n a 的公比为 q 2a 是1a 和13-a 的等差中项3312)1(2a a a a =-+=∴ ……………………………………….2分 223==∴a a q ………………………………………4分)(2*111N n qa a n n n ∈==∴--………………………………………6分 （II ）n n a nb +-=12)212()25()23()11(12-+-+++++++=∴n n n S . ……….8分)2221()]12(531[12-+++++-+++=n n ………..9分21212)12(1--+⋅-+=nn n ……….11分122-+=n n ....……13分 16．（本小题共13分） 解：（I ）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分）212sin 23+=x ..........5分由1)(=θf ，可得332sin =θ ............7分所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ............8分63= ............9分（II ）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ， ...........11分即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ........... 13分17．（本小题共14分）解：（I ） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数)1()1(f f =-∴ ...........1分又 0≥x 时，xx f )21()(=21)1(=∴f ...........2分 21)1(=-f ...........3分（II ）由函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，可得函数)(x f 的值域A 即为0≥x 时，)(x f 的取值范围. ..........5分当0≥x 时，1)21(0≤<x...........7分故函数)(x f 的值域A =]1,0( ...........8分 （III ）a x a x x g +-+-=)1()(2∴定义域}0)1({2≥+-+-=a x a x x B ...........9分 方法一 ：由0)1(2≥+-+-a x a x 得0)1(2≤---a x a x ，即 0)1)((≤+-x a x ...........11分 B A ⊆],,1[a B -=∴且1≥a ...........13分 ∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分 方法二：设a x a x x h ---=)1()(2B A ⊆当且仅当⎩⎨⎧≤≤0)1(0)0(h h ...........11分 即⎩⎨⎧≤---≤-0)1(10a a a ...........13分∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分18．（本小题共13分）解：（I ）由已知可得函数()f x 的对称轴为3=x ，顶点为)9,3( ..........2分 方法一：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=944320)0(2a b ac a bf 得0,6,1==-=c b a ...........5分 得2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分方法二：设9)3()(2+-=x a x f ...........4分由0)0(=f ，得1-=a ...........5分2()6,[0,6]f x x x x =-∈ ...........6分（II ）)6,0(),6(2121)(2∈-=⋅=t t t t AP OA t S ...........8分)4(23236)('2t t tt t S -=-= ...........9分列表 ...........11分由上表可得4t =时，三角形面积取得最大值. 即2m ax 1()(4)4(644)162S t S ==⨯⨯-=. ...........13分19．（本小题共14分） 解：（I ）由已知可得 111a a -=，得211=a ...........1分2212a a a -=+，得432=a ...........2分33213a a a a -=++，得873=a ...........3分（II ）由已知可得：n n a n S -= 2≥∴n 时，11)1(----=n n a n S2≥∴n 时，111--+-=-=n n n n n a a S S a ……….4分得21211+=-n n a a ..........5分2≥∴n 时，)1(212121111-=-=---n n n a a a ……….6分即2≥n 时，121-=n n b b ，021111≠-=-=a b ...........7分 ∴数列}{n b 是等比数列，且首项为21-，公比为21 ............8分（III ）由（II ）可得，nn b 21-= ...........9分∴nn n n n n n b c 2)(22-=-⋅= ...........10分∴121212)3(22)1()1(+++-=--+-+=-n nn n n n n n n n n c c ...........11分∴ >>=<<54321c c c c c∴n c 有最大值4343==c c ...........12分对任意*n N ∈，都有5t c n <，当且仅当543t <， ...........13分即415>t ，故正整数t 的最小值是4. ...........14分20． （本小题共13分）解：（I ）当0>x 时，1)sgn(=x ，解方程1132=+-x x ，得0=x （舍）或3=x当0=x 时，0)sgn(=x ，0不是方程0132=+-x x 的解 当0<x 时，1)sgn(-=x ，解方程1132-=+-x x ，得1=x （舍）或2=x （舍） 综上所述，3=x 是方程)sgn(132x x x =+-的根. ...........3分 （每一种情况答对即得1分）（II ）函数)(x f 的定义域是}0{>x x ...........4分 当2>x 时，x x x f ln )(-=，011)('>-=xx f 恒成立 ...........5分 当20<<x 时，)ln ()(x x x f --=，11)('-=xx f解0)('>x f 得10<<x ...........6分 解0)('<x f 得21<<x ...........7分 综上所述，函数)ln ()2sgn()(x x x x f -⋅-=的单调增区间是),2(),1,0(+∞，单调减区间是)2,1(. ...........8分（III ）设点(),P x y T ∈，则()10,10x yS ∈．于是有10)10()10()110sgn()110sgn(=⋅--yxy x ，得()()sgn 101sgn 1011xyx y ⋅-+⋅-=当0>x 时，x x xx x =-=->-)110sgn(,1)110sgn(,0110当0<x 时，x x xx x -=--=-<-)110sgn(,1)110sgn(,0110∴x x x=-)110sgn(同理，y y y=-)110sgn(∴}1),{(=+=y x y x T ...........11分点集T 2． ...........13分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京市海淀区2008届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)
北京市海淀区2007-2008学年高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2008.01学校 班级 姓名一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）sin930的值是（ ）11（A ） （B ） （C ） （D ）（4）已知向量1(1s i n ,1),(,1s i n ),2θθ=-=+a b 且//a b ，则锐角θ等于（ ）(A) 30︒ (B) 45︒(C)60︒ (D) 75︒（5）设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中真命题的序号是（ ）(A) ①④ (B) ②③ (C) ②④ (D) ①③（6）在等差数列{}n a 中，若1781212a a a a +++=，则此数列的前13项之和为( )（A ）39 （B ）52 （C ）78（D ） 104（7）已知点()0,A b ，B 为椭圆22x a +22y b=1()0a b >>的左准线与x 轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为( )（A（B ）（C（D（8）已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,(,)a b ∈Z ，值域是[]1,0，那么满足条件的整数数对),(b a 共有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ） 5个 （D ）无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上.（9）双曲线22194x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 . （10）把函数s i n 2y x =的图象按向量(,0)6π-a =平移得到的函数图象的解析式为 .（11）在正方体1111ABCD A BC D -中，若M 为的棱1BB 的中点，则异面直线1B D 与AM 所成角的余弦值是______________.（12）已知函数2|1|(0),()1(0),x x f x x x -+⎧=⎨->⎩≤ 那么不等式()0f x <的解集为 .（13）设不等式组||203022x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≤所表示的平面区域为S ,则S 的面积为 ；若A ，B 为S 内的两个点， 则||AB 的最大值为 .（14）平面α内有四个点，平面β内有五个点.从这九个点中，任取三点最多可确定个平面；任取四点最多可确定 个四面体. (用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. （15）（本小题共13分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+- （I ）求()f x 的最小正周期和值域；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ∆的形状.（16）（本小题共13分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且数列}{n S 是以2为公比的等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求1321n a a a ++++ .（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形， SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点， AN SC ⊥，且交SC 于点N .（I ） 求证： //SB 平面ACM ；（II ）求二面角D AC M --的大小； （III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN .（18）（本小题共12分）某城市有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报，从该城市中任取4个家庭.（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率； （Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率；（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B 报都没有订阅的概率.（19）（本小题共14分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4200.x y +-=（I ）求抛物线S 的方程；SNMDC BA（II ）若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线S 上的两动点，且满足PO OQ ⊥.试说明动直线PQ 是否过定点.（20）（本小题共14分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点(4,0)n -，()f x '是()f x 的导函数，且(0)2,f n '=()n ∈*N .（I ）求a 的值； （II ）若数列{}n a 满足111()n nf a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （III ）对于（II ）中的数列{}n a ，求证：1235k a a a a ++++< (1,2,3)k = .海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准 2008.01二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）(9) 2 (10) sin(2)3y x π=+(11)5(12) (,1)(1,1)-∞-- (13)(14) 72，120三.解答题 （本大题共6小题,共80分） (15) （共13分）解：﹙Ⅰ﹚22()cos cos sin f x x x x x =+- s i n 2c o s 2x x =+4分2s i n (2)6x π=+5分∴,()[2,2]T f x π=∈-7分﹙Ⅱ﹚由()22A f =，有()2s i n ()26A f A π=+=，8分∴sin() 1.6A π+=∵0A π<<，∴62A ππ+=,即3A π=.10分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及2a bc =，∴2()0bc -=.12分∴,b c = ∴3B C π==. ∴ABC∆为等边三角形.13分(16) （共13分）解：（I ）∵111==a S ，且数列}{n S 是以2为公比的等比数列， ∴12n n S -=.2分 又当2n ≥时，2212(21)2.n n n n n a S S ---=-=-=.5分 ∴21 (1),2 (2).n n n a n -=⎧=⎨⎩≥ 7分（II ） 352,,,n a a a + 是以2为首项，以4为公比的等比数列，9分∴35212(14)2(41)(14)3n n n a a a +--+++==- .11分∴2113212(41)211+33n n n a a a ++-++++==13分(17) （共14分）方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E，连结ME.1分ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点.∵M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB.2分 又∵ME ⊂平面A，3分 又SB ⊄平面A C，∴SB //平面A C.4分（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . 5分∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影.∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC . ∴FQM∠为二面角D A C --的平面角.7分设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,2224a MF SA FQ DE ====，∴tan 4aFQM ==.∴二面角D AC M--的大小为.9分（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面S A D ，∴.AM DC ⊥ 10分又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.S D11分∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN又SC ⊂平面,S A C∴平面S A C ⊥平面.A M N14分方法二：解：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 5分由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M .SA ⊥底面ABCD ， ∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=．设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM == , 7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n .8分∴cos ,||||AS AS AS ⋅<>===⋅n n n , ∴二面角D A--的大小为arccos3． 9分 （III）11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,1CS =--，10分11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS∴⊥12分又SC AN ⊥ 且AN AM A =SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC⊥平面A.（18）（共12分） 解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报”的事件为A ， 1分334()(0.3)(0.7)0.0756P A C ==4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率为0.0756. （Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报”的事件为B ， 5分8704.01296.01)6.0(1)(4=-=-=B P8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率为0.8704. （III ） 设“这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅”的事件为C ， 9分因为有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪. 所以()()2224()0.30.70.2646P C C ==12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅的概率为0.2646. 注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪，后面计算有误，给到10分. （19）（共14分）解：(I) 设抛物线S 的方程为22.y px = 显然0,0.k b ≠≠ 1分由24200,2,x y y px +-=⎧⎨=⎩ 可得2220y p y p +-= 3分由0∆>，有0p >，或160.p <-设1122(,),(,),B x y C x y 则12,2py y +=-121212(5)(5)1010.4448y y y y px x +∴+=-+-=-=+设33(,)A x y ，由ABC ∆的重心为(,0),2pF 则123123,0323x x x y y y p ++++==， 331110,.82p p x y ∴=-=∵点A 在抛物线S 上，∴2112(10),28p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴8.p = 6∴抛物线S 的方程为216.y x =7分（II ）当动直线PQ 的斜率存在时，设动直线PQ 方程为y kx b =+，显然0,0.k b ≠≠ 9分设(,)(,)P P Q Q P x y Q x y ，∵PO OQ ⊥，∴ 1.OP OQ k k ⋅=- ∴1,QP P Qy y x x ⋅=- ∴0.P Q P Q x x y y +=10分将y kx b =+代入抛物线方程，得216160,ky y b -+=∴16.P Q by y k=从而22222,16P Q P Q y y b x x k⋅==∴22160.b b k k += ∵0,0k b ≠≠，∴16,b k =-∴动直线方程为16(16)y kx k k x =-=-， 此时动直线PQ过定点(112分当直线PQ 的斜率不存在时，显然PQ x ⊥轴，又PO OQ ⊥， ∴POQ 为等腰直角三角形.由216,,y x y x ⎧=⎨=⎩ 216,,y x y x ⎧=⎨=-⎩得到(16,16),(16,16)P Q -，此时直线PQ 亦过点(16,0). 13分综上所述，动直线PQ过定点(16M .14分(20)(共14分)解：（I ）由已知，可得()2f x ax b '=+， 1分∴ 22,1640.b n n a nb =⎧⎨-=⎩ 解之得12a =.3分（II ）∵1112n n n a a +=+，∴1112n nn a a +-=.由211121a a -=⨯ 321122a a -=⨯ 431123a a -=⨯()11121n n n a a --=- ， 累加得 2114n n n a -=- (2,3)n = .6分∴21(1)44(21)n n n a n -==-+(2,3)n = . 当 12414(21)n a n ===-时,7分∴24(21)n a n =-(1,2,3)n = .8分（III ）当1k =时，由已知145a =<显然成立； 9分当2k …时，11111(1)1(1)4k a k k k kk k =<=----+（2k …）11分则1231111114[(1)()()]552231k a a a a k k k++++<+-+-++-=-<-13分 综上，1235k a a a a ++++< (1,2,3)k = 成立.14分说明：其他正确解法按相应步骤给分.。
北京市高三一模考试数学文试题真题(word版含答案)
北京市海淀区高三一模数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（ ） A ．{}|23x x << B ．{}|1x x > C ．{}|12x x << D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++= 3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABC． D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ．11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是 ． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是 ．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21x g x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题9.2 10.2,15 11.4 12.32 13.2，12π 14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x ，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ； 设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况，所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=，租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =， 所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=， 得2sin cos sin a b B B B =，所以2cos a b B =． （Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-， 所以23cos 4B =， 因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=． 18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高． 因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形， 所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=， 因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=， 所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=． （Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =. 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ， 所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =． 设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==， 所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±， 所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：所以()g x 的最小值为ln 2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-．（Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =， 即00210x e x --=，0021x e x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24x f x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+， 因为(1)30g e =-<，323()402g e =->， 所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。
2011年海淀区高三第一学期(理科)数学期末题word
北京市海淀区2011届高三年级第一学期期末练习数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．sin 600︒的值为 （ ）AB．C ．12-D ．122．若0.32121,0.3,log 2,,,2a b c a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为 （ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．24．如图，半径为2的O 中，90AOB ∠=︒， D 为OB 的中点，AD 的延长线交O 于 点E ，则线段DE 的长为 （ ）ABCD5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是（ ）A ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列6．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（ ） A ．72 B ．60 C ．48 D ．127．已知椭圆22:14x y E m +=，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与:1l y kx =+被椭圆E 截得的弦长不可能．．．相等的是（ ）A ．0kx y k ++=B ．10kx y --=C ．0kx y k +-=D ．20kx y +-=8．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{2}B ．C ．{}2t t ≤≤D ．{|2}t t ≤≤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
北京市海淀区2011届高三模拟数学(文)试题及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学 （文科）2011.4选择题 （共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题 ,每题 5 分 ,共 40 分.在每题列出的四个选项中 ,选出切合题目要求的一项 .1、已知会合 Ax R 0 x 3 ， B xR x 2 4 ，则 A BA. x x2 或 2 x 3B.x 2 x 3C. x 2 x 32. 设 a 30.5, blog 3 2, ccos2，则3A. c b aB. c a bC. a b cD. bx 13．函数 f ( x) 图象的对称中心为xA ． (0,0)B.(0,1)C. (1,0)D.(1,1)4. 履行以下图的程序框图，若输入x 的值为 2，则输出的 x 值为A. 25B ． 24 C. 23 D ． 225.从会合 A { 1,1,2}中随机选用一个数记为k ，从会合 B { 2,1,2} 中随机选用一个数记为b ，则直线 ykx b 不经过第三象限的概率为2 1 C.4 5A ．B.9D.9396. 在 同 一 个 坐 标 系 中 画 出 函 数 y a x, y sin ax 的 部 分 图 象 ， 其 中a 0且a 1 ，则以下所给图象中可能正确的选项是yy11O12xO 1D. Rc a开始 输入 xn 1n ≤3否 输出 x 结束2n n 1x 2x 1是xAByy11O12xO12xC D7. 已知函数f ( x)x2ax1,x1,则“ 2 a 0 ”是“ f (x)在 R 上单一递加”的ax2x1,x1,A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件8.若直线 l 被圆 C : x2y2 2 所截的弦长不小于2，则 l 与以下曲线必定有公共点的是A2y 21B．．x 2y21 C. y x2D．x2y21． ( x 1)2非选择题（共 110 分）二、填空题 :本大题共 6 小题 ,每题 5 分,共 30 分 .把答案填在题中横线上.29. 计算__________________.1i10.为认识本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每个月平时花费额”的检查.他们将检查所获得的数据分别绘制成频次分布直方图（以下图），记甲、乙、丙所检查数据的标准差分别为s1， s2，s3, 则它们的大小关系为. （用“”连结）频次频次频次组距组距组距0.00080.00080.00080.00060.00060.00060.00040.00040.00040.00020.00020.0002O1000 1500 2000 2500 3000 3500 元O1000 1500 2000 2500 3000 3500 元O10001500 2000 2500 3000 3500 元甲乙丙11.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1 D1内一动点，则三棱锥P ABC 的主视图与左视图的面积的比值为_________.D1C1A1PB1[根源 :]DC左视A B主视12. 已知函数f ( x) xe x ，则 f ' (x) =________;函数 f ( x) 图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程为_______13. 已知向量 a ( x,2), b (1,y) ，此中 x, y 0 .若 agb 4 ，则 y x 的取值范围为.14．如图， 线段 AB =8，点 C 在线段 AB 上，且 AC =2， P 为线段 CB 上一动点， 点 A 绕点 C 旋转后与点B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP = x ， △ CPD 的面积为 f (x) .则 f (x) 的定义域为 ________； f ( x) 的最大值为________.D ACP B三、解答题 : 本大题共 6 小题 ,共 80 分 .解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 .15. （本小题共 13 分）在 ABC 中，内角 A 、B 、 C 所对的边分别为1 ， tan C1a 、b 、c ，已知 tan B, 且23c 1 .[ 根源 :Z#xx #](Ⅰ ) 求 tan(B C ) ；(Ⅱ) 求 a 的值 .16. （本小题共 13 分）数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 12 且 S n S n 1 2n （ n 2 ， n N * ） . [根源 :]( I )求 S n ；( II ) 能否存在等比数列{ b n } 知足 b 1 a 1, b 2a 3，b 3 a 9 ？若存在， 则求出数列 { b n } 的通项公式；若不存在，则说明原因.17. （本小题共 13 分）如图：梯形 ABCD 和正△PAB 所在平面相互垂直，此中 AB//DC,ADCD1AB ，且 O 为 AB 中点.P2( I ) 求证： BC // 平面 POD ；OAB(II) 求证：AC PD .18. （本小题共14 分）已知函数 f (x)1a ln x ( a 0, a R) x（Ⅰ）若 a 1，求函数 f ( x) 的极值和单一区间；(II) 若在区间[1,e] 上起码存在一点 x0，使得 f ( x0 )0 建立，务实数 a 的取值范围.19.（本小题共 14 分）已知椭圆 C :x2y2b 0) 经过点 M (1,3), 其离心率为1 . a2b2 1 ( a22（Ⅰ）求椭圆C的方程；( Ⅱ) 设直线l与椭圆C订交于 A、B 两点，以线段OA, OB为邻边作平行四边形OAPB，其中极点 P 在椭圆C上，O为坐标原点 . 求O到直线距离的l 最小值.20.（本小题共 13 分）已知每项均是正整数的数列a1, a2 ,a3 ,L ,a100，此中等于i 的项有k i个(i1,2,3L ) ，设 b j k1 k 2k j( j1,2,3L ) ，g(m) b1b2L b m 100m ( m1,2,3L ).（Ⅰ）设数列 k140, k230, k3 20,k4 10, k5...k1000 ，求 g(1), g(2), g(3), g(4) ；(II)若 a1 ,a2 , a3 ,L , a100中最大的项为50，比较 g(m), g(m1) 的大小；（Ⅲ）若 a1 a2La100200 ，求函数 g( m) 的最小值.[根源:][根源 : ][根源 : ]海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）答案及评分参照2011． 4（共 40 分） [ 根源 :]一、 （本大 共8 小 , 每小 5 分 , 共 40 分） [ 根源 :Z § xx § ]号 12 3 45 6 7 8答案CABC ADBB非（共 110 分）二、填空 （本大 共 6小 , 每小 5分 . 共 30分 . 有两空的 目，第一空3 分，第二空 2分）9.1 i10. s 1 > s 2 > s 3 11. 1 12.xy x13. [ 4,2]14.(1 x e ，，2 2)(2, 4) 三、解答 ( 本大 共 6 小 , 共 80 分)15. （共 13 分）解：（ I ）因 tan B1 ， tanC 1 , tan(B C ) tan B tan C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分231 tan B tan C1 1代入获得， tan(B C) 2 3 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分1 1 12 3（ II ）因 A180o B C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因此 tan A tan[180 o(B C )]tan( B C )1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 又 0oA180o ，因此 A 135o .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因 tan C1 ，且 0oC180o，因此 sin C10⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分0 ，310ac 5 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分 [来由，得 asin Asin C源 :学§科§网 ]16. （共 13 分）解：（ I ）因 S n Sn 12n ，因此有S n S n 1 2n n 2 ， nN *建立 ⋯⋯⋯2 分即 a n 2n n 2建立，又 a 1 S 12 1 , 因此 a n2n nN *建立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 因此 a n 1 a n 2 n N * 建立 ，因此 { a n } 是等差数列，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 因此有 S na 1annn 2 n ， nN *⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分2（ II ）存在 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分[ 来源 :Z|xx|]由（ I ）， a n 2n ， n N * 建立因此有 a 36, a 9 18 ，又 a 12 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此由b 1 a 1, b 2 a 3， b 3 a 9 b 2b 3 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分，b 1b 2因此存在以 b 1 2 首 ，公比 3 的等比数列 {b n } ，其通 公式 b n23n 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分P17. （共 13 分）明 : (I) 因 O AB 中点，因此 BO1AB,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分21又 AB / /CD, CDAB ，AO2B因此有 CD BO,CD / /BO,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分D C因此 ODCB 平行四 形 ,因此 BC / /OD ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又 DO 平面 POD, BC 平面 POD,因此 BC//平面 POD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(II) 接 OC .P因 CD BO AO, CD / / AO, 因此 ADCO平行四 形，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分又 ADCD ,因此 ADCO 菱形，OABDC因此AC DO ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因正三角形PAB , O AB 中点，因此 PO AB ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分又因平面 ABCD平面 PAB ,平面 ABCD I 平面 PAB AB ，因此 PO平面 ABCD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分而 AC平面 ABCD ，因此 PO AC ，[根源:]又POI DO O ，因此 AC平面 POD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分又 PD平面 POD ，因此 AC PD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分 [来源 : ]18. （共 14 分）解：（ I）因 f '( x)1a ax 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分x2x x2当 a 1 ， f '( x)x1，x2令 f'( x)0 ，得x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又 f( x) 的定域(0,) ，f( x) ， f (x) 随x的化状况以下表：x(0,1)1(1,)f '( x)0f ( x)]极小Z所以 x 1 ， f ( x)的极小 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分f ( x) 的增区(1,) ，减区(0,1) ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（ II）解法一：因 f '( x)1a ax10 ，x2x x2，且 a令 f '( x)0 ，获得 x 1，a若在区 (0, e] 上存在一点 x0，使得 f ( x0 )0 建立，其充要条件是 f (x) 在区 (0, e] 上的最小小于0 即可 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（ 1）当 x10 ， f '( x)0 x(0,) 建立，0 ，即 aa因此， f ( x) 在区 (0, e] 上 减，故 f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 f (e)1 a ln e 1 a ，e由111) e a 0，得 a，即 a (, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分e1e e（ 2）当 x 0 ，即 a0 ，a① 若 e1， f '( x)0 x(0, e] 建立，因此f ( x) 在区 (0, e] 上 减，a11因此， f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 f ( e)a ln ea 0 ，e e然， f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 小于0 不建立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分② 若 0 1 e ，即 a1， 有aex(0,11( 1)a, e)a af '( x)f ( x)]极小Z因此 f ( x) 在区 (0, e] 上的最小f ( 1) aa ln 1，aa由 f ( 1)a a ln1a(1 ln a) 0 ，aa得 1ln a，解得ae，即 a(e,) .13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分上，由 (1)（ 2）可知： a(, 1) U (e, ) 切合 意 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分e(0, e] 上存在一点 x 0 ，使得 f ( x 0 )0 1 a ln x 0 0 ，解法二：若在区建立，即x 0因 x 00 , 因此，只需 1 ax 0 ln x 0 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分令 g ( x) 1ax ln x ，只需 g(x) 1 ax ln x 在区 (0, e] 上的最小 小于0 即可因 g '(x)a ln x aa(ln x 1) ，令 g '( x)a(ln x1) 0，得 x 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分e（ 1）当 a 0 ：x1 1 (1, e] [ 来(0, )eee源 :]g '( x) [ 来源:学+科+ 网 ]g(x)Z极大][来源 :Z*xx*]因 x(0, 1) ， g( x)1 ax ln x 0 ，而 g(e) 1 ae ln e 1 ae ，e11只需 1 ae 0 ，得 a(⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分，即 a, )（2 ）当 aee：1x [:(0, ) [根源 :11e根源 学,e]#科#网]学+科+网e(eZ+X+X+K]g '( x)g(x)]极小Z因此，当x (0, e] ， g( x) 极小 即最小g( 1 ) 1 a 1 ln 11a ，e e ee由1a 0 ， 得ae ，即 a(e,).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分e131上，由 (1)（ 2）可知，有 a( ,) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分 [根源 : 学*) U (e,e科 * 网 Z*X*X*K]19. （共 14 分）解：（Ⅰ）由已知， e 2a 2b 2 1 ，因此 3a 2 4b 2，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分a 2431 9 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又点 M (1, ) 在 C 上，因此a 24b 2②2由①②解之，得 a 24, b 23 .故 C 的方程x 2y 2 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分43( Ⅱ ) 当直 l 有斜率 ，y kx m ，y kxm,由y 2x 2 1.43消 去 y 得 ， (34k 2 ) x 2 8kmx 4m 2 12 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 [ 来源 :]64k 2m 24(3 4k 2 )(4m 2 12) 48(3 4k 2m 2 ) 0 ，③ ⋯⋯⋯⋯7分A 、B 、 P 点的坐 分 (x 1, y 1 )、(x 2 , y 2 )、( x 0 , y 0 ) ， ：x 0 x 1x 28km 2 , yy 1 y 2k( x 1x 2 ) 2m6m 2 ⋯⋯⋯⋯8分3 4k3 4k ，因为点 P 在 C 上，因此x 02y 02 1 .⋯⋯⋯9 分43进而16k 2m 212m 21 ，化 得 4m 234k 2 ， 足③式 .(3 4k 2 )2(3 4k 2 )2⋯⋯⋯10 分又点 O 到直 l 的距离 ：| m | 3 k 21 1 34d1 k 212 )121 k 24(1 k 4[根源 :学| 科 | 网]⋯⋯⋯11分当且 当 k 0 等号建立⋯⋯⋯⋯12 分当直 l无斜率 ，由 称性知，点P 必定在 x 上，进而 P 点 (2,0),(2,0) ，直 l x1 ，因此点 O 到直 l 的距离1 ⋯⋯13 分因此点 O 到直 l 的距离最小3 ⋯⋯14 分220. （共 13 分）解:(I)因 数列 k 140, k 2 30, k 3 20, k 4 10 ，因此 b 1 40, b 2 70,b 3 90, b 4 100 ，因此 g (1)60, g(2)90, g(3)100, g(4)100 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(II)一方面， g(m 1) g( m) b m 1 100 ，北京市海淀区2011届高三模拟数学(文)试题及答案依据 b j的含知 b m 1100，故 g(m1)g( m) 0 ，即g( m)g (m1) ，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分当且当 b m 1100 取等号.因 a1, a2 ,a3,L, a100中最大的50，因此当m50必有b m100 ，因此 g (1) g(2)L g(49)g(50)g(51)L L即当 1m49 ，有g( m) g( m1) ；当 m49 ，有g (m)g(m1) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（ III）Ma1 , a2 ,L ,a100中的最大 .由（ II ）能够知道，g( m) 的最小 g (M ) .下边算 g (M ) 的.g(M )b1 b2b3L b M100M( b1100)(b2 100) (b3100)L(b M 1 100)( k2k3 L k M ) ( k3k4 L k M ) ( k4 k5L k M ) L( k M )[ k22k3L( M 1)k M ]( k12k23k3 L Mk M ) ( k1k2L k M )( a1a2a3L a100)b M(a1a2a3L a100)100 ，∵ a1a2a3L a100200，∴ g (M )100 ，∴ g (m)最小100.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分明：其余正确解法按相步分.。
北京市海淀区2011届高三一模考试(数学理)
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2011.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B A A. {}32<<x x B. {}32<≤x x C. {}322<≤-≤x x x 或 D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0B ．1C ．2D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ， 则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；ACP BD A DFE(Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值. 17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围. 19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围. 20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm =+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ； （Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理）答案及评分参考 2011．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . (3)分因为180A B C =-- , …………………4分 所以t A B=-. …………………5分（II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . ............8分 所以sin B =sin C =. (9)分 由sin sin a cA C=得a = …………………11分 所以ABC∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，又,AE EB EBEF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BHDH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,EB =<>==θn …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为 …………………………14分17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. (8)分… ……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，3111()()303810P B =⋅=. (13)分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分 当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-=， ………………………2分 ………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分 （Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分 由（Ⅱ）可知 ①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP =……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++. ……………9分由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP===………………………12分因为12k<≤，得23434k<+≤，有2331443k≤<+，OP<≤. (13)分综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分(Ⅱ)另解：设,,A B P点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y、、，由,A B在椭圆上，可得2211222234123412x yx y⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y-++-+=③………………………7分由已知可得O P=+，所以12120x x xy y y+=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y ykx x-=-,即1212()y y k x x-=-⑥………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky=-………………………10分与22003412x y+=联立消x整理得202943yk=+……………………11分由22003412x y+=得2200443x y=-，所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分 因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+， 故2OP ≤≤. ………………………13分所求OP 的取值范围是. ………………………14分 20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤， 故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =，则当m M ≥时必有m b n =，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值：123()n a a a a n=-+++++…………………12分∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
―2011海淀区高三数学(文)期末考试题(带答案)
―2011海淀区高三数学(文)期末考试题(带答案)有题有答案有题有答案有题有答案有题有答案有题有答案海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）答案及评分参考20XX年．1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.2x y 4 0 10. 19 11.(3,0) y2 12x12. 13. 2 14. 4 3 25三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（共13分）解：（I）f(x) 1sinx cosx sin(x ) ， ............................... 3分322f(x)的周期为2 （或答:2k ,k Z,k 0）. ................................4分因为x R，所以x 3 R,所以f(x)值域为[ 1,1] . ...............................5分（II）由（I）可知，f(A) sin(A3) , ...............................6分( sinA3) 3 , ...............................7分20 A ,332 , 得到A . ...............................9分A 333 A4 , ..................................8分3有题有答案a ab , ....................................10分b,且sinAsinB2b, sinB 1 , ....................................11分sinB 0 B ，BC A B16. （共13分）解：（I）围棋社共有60人， ...................................1分由2 . ....................................12分6 . ....................................13分60 30 150可知三个社团一共有150人. ...................................3分12（II）设初中的两名同学为a1,a2，高中的3名同学为b1,b2,b3, ...................................5分随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},a{,3}b,1{b2,2b. ..................................8分}b1,{b3,b},b{10,个基本事件}2，共设事件A表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分则事件A共有{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3} 6个基本事件....................................11分P(A) 63 . 1053. ................................13分5 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为17. （共13分）解：（I）四边形ABCD为菱形且AC BD O，O是BD的中点 . ...................................2分又点F为DC1的中点,在DBC1中，OF//BC1, ...................................4分OF 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1 ,有题有答案OF//平面BCC1B1 . ...................................6分（II）四边形ABCD为菱形,BD AC, ...................................8分又BD AA1，AA1 AC A,且AA1,AC 平面ACC1A1 ,.................................10分BD 平面ACC1A1, .. (11)分BD 平面DBC1 ,平面DBC1 平面ACC1A1. ................................13分18. （共13分）2a32(x3 a3)解：f (x) 2x 2 ，x0. .........................................2分xx2（I）由题意可得f (1) 2(1 a3) 0，解得a 1， ........................................3分此时f(1) 4，在点(1,f(1))处的切线为y 4，与直线y 1平行.故所求a值为1. ........................................4分（II）由f (x) 0可得x a，a0， ........................................ 5分①当0 a 1时，f (x) 0在(1,2]上恒成立，所以y f(x)在[1,2]上递增， .....................................6分所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(1) 2a3 2 . ........................................7分②当1 a 2时， ....................................10分由上表可得y f(x)在[1,2]上的最小值为f(a) 3a21 . ......................................11分③当a 2时，f (x) 0在[1,2)上恒成立，所以y f(x)在[1,2]上递减 . ......................................12分有题有答案所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(2) a3 5 . .....................................13分综上讨论，可知：当0 a 1时，y f(x)在[1,2]上的最小值为f(1) 2a3 2；当1 a 2时，y f(x)在[1,2]上的最小值为f(a) 3a2 1；当a 2时，y f(x)在[1,2]上的最小值为f(2) a3 5.19. （共14分）解：根据题意，设P(4,t) .(I)设两切点为C,D，则OC PC,OD PD，由题意可知|PO|2 |OC|2|PC|2,即42 t2 22 2 ， ............................................2分解得t 0，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分在Rt POC中，易得POC 60 ，所以DOC 120 . ............................................4分所以两切线所夹劣弧长为2π4π. ...........................................5分2 33（II）设M(x1,y1),N(x2,y2)，Q(1,0)，依题意，直线PA经过点A( 2,0),P(4,t)，t可以设AP:y (x2)， ............................................6分6t y (x 2) 22和圆x y 4联立，得到，622 x y 4代入消元得到，(t2 36)x2 4t2x 4t2 144 0 ， ......................................7分因为直线AP经过点A( 2,0),M(x1,y1)，所以2,x1是方程的两个根，4t2 ***** 2t2所以有2x1 2，x1 2 ， ..................................... 8分t 36t 36tt72 2t224t代入直线方程y (x 2)得，y1 (2. ..................................9分2) 266t 36t 36t y (x 2) t同理，设BP:y (x 2)，联立方程有，2222有题有答案代入消元得到(4 t2)x2 4t2x 4t2 16 0，因为直线BP经过点B(2,0),N(x2,y2)，所以2,x2是方程的两个根，4t2 162t2 8，x2 2 ，2x2 2t 4t 4tt2t2 8 8t代入y (x 2)得到y2 (2 . .....................11分2) 222t 4t 42t2 8若x1 1，则t 12，此时x2 2 1 t 42显然M,Q,N三点在直线x 1上，即直线MN经过定点Q(1,0)............................12分若x1 1，则t 12，x2 1，2所以有kMQ24t 8t2y 08ty2 0 8t................13分，1 k NQx1 172 2t212 t2x2 12t2 8t2 12 1 1t2 36t2 42所以kMQ kNQ，所以M,N,Q三点共线，即直线MN经过定点Q(1,0).综上所述，直线MN经过定点Q(1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当n 10时，集合A 1,2,3, ,19,20 ，B x Ax 9 10,11,12, ,19,20 不具有性质P. ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b1 10与b2 10 m，使得b1 b2 m成立 . ...................................3分集合C x Ax 3k 1,k N*具有性质P. ....................................4分因为可取m 1 10，对于该集合中任意一对元素c1 3k1 1,c2 3k2 1，k1,k2 N* 都有c1 c2 3k1 k2 1 . .. (6)分有题有答案（Ⅱ）若集合S具有性质P，那么集合T (2n 1) xx S 一定具有性质P. ..........7分首先因为T (2n 1) xx S ，任取t (2n 1) x0 T, 其中x0 S，因为S A，所以x0 {1,2,3,...,2n}，从而1 (2n 1) x0 2n，即t A,所以T A ...........................8分由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1,s2，都有s1 s2m， ..................................9分对上述取定的不大于n的正整数m，从集合T (2n 1) xx S 中任取元素t1 2n 1 x1,t2 2n 1 x2，其中x1,x2 S，都有t1 t2 x1 x2 ；因为x1,x2 S，所以有x1 x2 m，即t1 t2 m 所以集合T (2n 1) xx S 具有性质P． .............................14分。
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海淀区高三年级期末练习数学 (文科)
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,
选出符合题目要求的一项.
1．sin 240的值为
A ．12-
B ． 12
C
．2 D
．2
2. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 9
3. 设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽
车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，
[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有
A.75辆
B.120辆
C.180辆
D.270辆 5.点(2,)P t 在不等式组40
30x y x y --≤⎧⎨
+-≤⎩
表示的平面区域内，
则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为
A ．12
B ．6
C ． 4
D ．2 7. 已知函数1
()sin ,[0,π]3
f x x x x =-
∈， 01
cos 3
x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是
A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数
C. [0,π
]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥
正视图
左视图
俯视图
8. 已知椭圆E ：14
2
2=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．
相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.
10如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .
11．椭圆
22
12516
x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .
12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.
13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .
14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过
程.
15．（本小题满分13分）
设函数1()sin cos 22
f x x x =
+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；
（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3
(),2
f A = 且2a b =， 求角C 的值.
16. （本小题满分13分）
某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.
(I) 求这三个社团共有多少人？
(II)书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.
17. （本小题满分13分）
如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O =，侧棱1AA ⊥BD,点F
为1DC 的中点．
（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .
18. （本小题满分13分）
A
B
C
1
B 1
C 1
A D F
1D O
已知函数3
2
2()1,a f x x x
=++其中0a >.
（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）
已知圆2
2
:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.
(I)若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； （II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线
MN 经过定点(1,0).
20. （本小题满分14分）
已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数
m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P .
（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}
*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.
(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}
(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.。