湖北宜昌市第一中学2014-2015学年高二3月月考数学(理)试题 Word版含答案

湖北宜昌市第一中学2014-2015学年高二3月月考数学（理）试题1．把2015化为八进制数为A ．(8)1037B ．(8)3737C ．(8)3037D ．(8)27372．已知函数()y f x =的图象如右图所示，则其导函数()y f x '=的图象可能．．是A B C D3．已知一三角形边长为,,1x y ，其中1为最大边，则该三角形是钝角三角形的概率为A ．4πB ．142π-C ．12π-D ．314π-4．设函数6()()f x x a =+，满足3)0()0(-='f f ，则)(x f 的展开式中4x 的系数为 A ．－360 B ．360 C ．－60 D ．605．以下四个命题中，真命题的个数为①命题“300,R x Q x Q ∃∈∈ð ”的否定是“300,R x Q x Q ∀∈∉ð”；②若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题；③“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的充分不必要条件； ④直线320x +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 3A ．1B ．2C ．3D ．46．已知一个三棱锥的三视图如右图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为A ．π34B ．92π C 162π D ．43π7．设2m ≥，点)(y x P ，为1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内任意一点，)50(-，M ，O 为坐标原点，)(m f 为OM OP ⋅的最小值，则)(m f 的最大值为A ．0B ．2C ．310- D ．1038．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PFPF =，则此双曲线的离心率e 的值不可能．．．为A ．53 B ．2 C ．43 D ．549．正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ， 则,,,αβγθ之间的大小关系是A ．αβθγ＜＜＜B ． αβγθ＜＜＜C ．αγβθ＜＜＜D ．βαγθ＜＜＜10．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是A ．1BC ．e2D ．2e 4二、填空题：本大题共5小题，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某校高一高二田径队有运动员98人，其中高一有56人．按用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取高二运动员人数是 ．12．若)(x f 在R 上可导，3)2('2)(2++=x f x x f ，则(1)f = ．13．如图，,A B 是O 上的两点，且OA OB ⊥，2OA =，C 为OA 中点，连接BC 并延长交O 于点D ，则CD = ．14．三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法种数为 ．15．若抛物线24y x =的内接ABC ∆的重心恰为其焦点F ，则⑵111AB BC CAk k k ++= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足2ln(28)ln(32)x x x +--…．(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示． （Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．18．（本小题满分12分）已知函数1()ln (1)f x x a x=--,a ∈R ． (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若()f x 的最小值为0，求实数a 的值．19．（本小题满分12分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥ 于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （Ⅰ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅱ）在线段AF 上是否存在点M 使得EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由．BF1图 图 220．（本小题满分13分）已知F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，椭圆C 上的任意一点P 到点F 的距离与P 到直线:l x m =的距离之比为12．(Ⅰ)求直线l 的方程；(Ⅱ)设A 为椭圆C 的左顶点，过点F 的直线与椭圆C 交于D E 、两点，直线AD AE 、与l 交于点M N 、．以MN 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．21．（本小题满分14分）牛顿在《流数法》一书中，给出了一种求方程近似解的数值方法——牛顿法．它的具体步骤是： ①对于给定方程()0f x =，考查其对应函数()y f x =（左图中较粗曲线），在曲线上取一个初始点00(,())x f x ；②作出过该点曲线的切线0l ，0l 与x 轴的交点横坐标记为1x ； ③用1x 替代0x 再作出切线1l ，重复以上过程得到2x ．一直继续下去，得到数列01,,,n x x x ，它们越来越接近方程的真实解λ．（其中()0i f x '≠，0,1,2,,i n = ）如果给定一个精确度0μ()0f x =的近似解．其算法程序框图为右图：请回答以下问题：(Ⅰ)写出框图中横线处用0x 表示1x 的关系式；(Ⅱ)若2()1f x x =-，02x =，00.2μ=，则该程序运行的结果为多少？ (Ⅲ)在(Ⅱ)条件下（精确度不计），证明所得12,,,n x x x 满足使数列1lg1n n x x ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列，且1213n x x x n +++-<．根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35＝175．……4分（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人．………………………………………6分由题意知，X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C215C220＝2138，P(X＝1)＝C15C115C220＝1538，P(X＝2)＝C25C220＝238＝119． (10)=2EX……………………12分令()1ln (0)g x x x x =-+>，则11()1xg x x x-'=-+=， 由()0g x '>，解得01x <<；由()0g x '<，解得1x >．所以()g x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞． 故max [()](1)0g x g ==，即当且仅当1x =时，()0g x =.因此，1a =． …………………………………………………………………………………………12分19. 解：（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在ABD ∆中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面BCD . …………………………………………………………………2分 由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴， y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz - 不妨设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==. 由图1条件计算得，AE =BC =，EF =则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),,0,0),E D B A F C -(0,1,DC AD == . 由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA .设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,0.y y +==⎪⎩ ……………………………………………………………4分 令1z =，则1y x ==，所以1)=- n . 平面DCB 的法向量为EA，所以cos ,||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n所以二面角A DC B --…………………………………………………6分 （Ⅱ）设AM AF λ= ，其中[0,1]λ∈.由于AF = ，所以AM AF λλ==，其中[0,1]λ∈所以,0,(1EM EA AM λ=+=- ……………………………………………10分 由0EM ⋅= n0λ=-(1- 解得3=(0,1)4λ∈.所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF =. ………………………12分方法二：（Ⅰ）由题意ABD ∆为正三角形，且E 为BD 的中点，不妨设2AB BD DC AD ====,则1BE ED ==，由AE BCD ⊥面，过E 作CD 的延长线的垂线于H ，连AH ，可知AH CD ⊥，AHE ∴∠为二面角A DC B --的平面角， ……………………………………3分sin 60,EH DE AE AH ==∴=o,cos EH AHE AH ∴∠== 故二面角A DC B --. ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）取AB 中点为G ，BC 中点为N ，连接,,EG GN EN ，GN 交AF 于M ，不难得：//EGN ADC 平面平面，则//EM ADC 平面，M 为所求， (8)分设AM AF λ= ,BA a BC b == ，，F 为BC 上靠近B 点的一个三等分点， 1()23GM AM AG a b λλ=-=-+ ，1122GN BN BG a b =-=-+//GN GM 1113()6224AM AF λλλ∴-=-⇒==所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF = . ………………………12分21. 解：(I)由已知，0l 的方程为000()()()y f x f x x x '-=⋅-，令0y =得0100()()f x x x f x =-'； …2分 (II) 2()1f x x =-，()2f x x '=，故22000100000()11()22f x x x x x x f x x x -+=-=-='， …………3分当02x =时，154x =，此时52340.228μ-==>，进行循环， 当054x =时，14140x =，此时41594040.25504μ-==<，故输出14140x =； ………5分(III)由(II)，数列{}n x 满足154x =且2112n n n x x x ++=，22212221111212(1)1112(1)12n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x ++++++++∴===+-+---， ……………………………… 7分故21211(1)1lg lg 2lg 1(1)1n n n n n n x x x x x x +++++==⋅---，而111lg lg 901x x +=≠-， ∴1lg 1n n x x ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为以lg 9为首项，2为公比的等比数列． ……………………………… 9分11lg2lg 92lg 31n n n n x x -+∴=⋅=⋅-，得223131nnn x +=-， ……………………………… 10分方法一：（与等比数列比较） 考查22131nn x -=-，比较231n-与1810n -⨯的大小，当1n =时，20318810-==⨯，当2n …时，由于221n n --…，23n =或时取等222222212318118080108010nn n n n -----∴-=-⨯⨯厖?（其中等号均在2n =时取得）． 故11222111()81041031nn n n x ---==⋅⨯-… ……………………………… 12分1212111111111441041011(1)11051410 .149183110n n n n x x x n x x x -∴+++-=-+-++-+⨯++⋅-=<⨯=<- … ……………14分 方法二：（裂项求和） 当2n …时，由1222222231(31)(31)31n n n n -----=+⋅->+得111111212222222222(31)(31)1111131(31)(31)31313131n n nn n n n n n n x --------+---===-<--+⋅--+++， ………12分1121112122244224881622211111111111()()()()3131313131313131111111111111()[()()()]248108082313131313131231231.8080331n n n n n n n x x x n x x x -----∴+++-=-+-++-=-+-+-++--+-+-+-+<-+-++-+-+-++-++++++=-<<+………… 14分。