2016届高考数学一轮复习6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习理

第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

基础回顾Ｋ

一、二元一次不等式表示的平面区域

在平面直角坐标系中，设有直线Ax ＋By ＋C ＝0(B 不为0)及点P(x 0，y 0)，则

(1)若B>0，Ax 0＋By 0＋C>0，则点P 在直线的上方，此时不等式Ax ＋By ＋C>0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；

(2)若B>0，Ax 0＋By 0＋C<0，则点P 在直线的下方，此时不等式Ax ＋By ＋C<0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(注：若B 为负，则可先将其变为正)．

由此可知，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．

由于对在直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y)，把它们的坐标(x ，y)代入Ax ＋By ＋C ，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，从Ax 0＋By 0＋C 的正负情况，即可判断Ax ＋By ＋C>0表示直线哪一侧的平面区域．特殊地，当C≠0时，直线不过原点，通常把原点作为特殊点．

二、线性规划问题

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 满足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域)，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．

线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： (1)根据题意，设出变量x ，y ； (2)找出线性约束条件；

(3)确定线性目标函数z ＝f(x ，y)；

(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)；

(5)利用线性目标函数作平行直线系f(x ，y)＝t(t 为参数)；

(6)观察图形，找到直线f(x ，y)＝t 在可行域上使t 取得所求最值的位置，以确定最优解，给出答案．

生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题．

基础自测Ｋ

1．(2013·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，

则目标函数z ＝y －2x 的

最小值为(A )

A ．－7

B ．－4

C ．1

D ．2 解析：可行域如图阴影部分(含边界)，

令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 过A 点时，z 取得最小值．

由⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得A(5，3)． 所以z 最小＝3－2×5＝－7，故选A.

2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y≤12，则2y ＋2x ＋1

的最大值是(D )

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

解析：画出可行域如图，y ＋1

x ＋1的几何意义是点M(－1，－1)与可行域内的点P(x ，y)连线

的斜率，当点P 移动到点N(0，4)时，斜率最大，最大值为4－（－1）

0－（－1）

＝5，

∴

2y ＋2

x ＋1

＝2×5＝10.故选D. 3．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，

则x 2＋y 2

的最小值是5．

解析：令z ＝x 2

＋y 2

，画出可行域，如图所示，令d ＝x 2

＋y 2

，即可行域中的点到原点的

距离，由图得d min ＝1＋4＝5，

∴z min ＝d 2

＝5.

4．已知实数x ，y ，z 满足条件⎩⎪⎨⎪

⎧x －1≥0，x －y －1≤0，z ＝y －ax ，x －3y ＋3≥0，若使z 取得最大值的有序数对

(x ，y)有无数个，则a ＝1

3

．

高考方向

1.以选择题、填空题的形式考查平面区域问题，常常与图形面积、函数图象、曲线与方程、几何概型等问题联系在一起.

2.以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查非线性目标函数的最值或范围问题.

3.主要在选择题、填空题中出现，有时也会解答题中出现，考查线性规划的实际应用，属中低档题.

品味高考

1．(2013·湖南卷)若变量满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧y ≤2x ，x ＋y≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是(C )

A ．－52

B ．0 C.53 D.5

2

解析：区域为三角形，直线u ＝x ＋2y 经过三角形顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，u ＝53最大．故选C.

2．(2014·安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优

解不唯一，则实数a 的值为(D )

A.12或－1 B ．2或1

2

C ．2或1

D ．2或－1 解析：结合图形求解．约束条件对应的平面区域是以直线x ＋y －2＝0，x －2y －2＝0和2x －y ＋2＝0为边界围成的三角形，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2或－1，故选D.

高考测验

1．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，

则y

x

的最大值是6．

解析：先画出可行域(如图)，y

x 是可行域内的点M(x ，y)与原点O(0，0)连线的斜率，当

直线OM 过点(1，6)时，y

x

取得最大值6.

2．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧x －y ＋3≥0，x ＋y －1≥0，x ≤1，

若直线x ＋ky －1＝0将可行域分成面积相等的两