最新江苏省泰州中学上学期高三数学期中考试试卷参考答案

江苏省泰州中学20xx 届高三期中考试
数学参考答案与评分标准
1．2± 2．35
-
3．,sin x R x x ∃∈≥ 4．12
()f x x = 5．1±
6．1＜a ＜3 7．1
(
,10)10
8．充要； 9．114
(,)
(,0)(,)
3
33-∞-
-+∞
10．2) 11．3个
12．6 13．
2012
2013
14．()(),11,-∞-+∞
15．解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，
∴0＜2a －6＜1，∴3＜a ＜7
2
，
若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝－3a
2
－
a 2＋
－－3a 2>3f ＝9－9a ＋2a 2
＋1>0
，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >5
2
，故a ＞5
2
，
又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．…………………………6分
①若p 真q 假，则⎩⎨⎧
3<a <7
2
a ≤5
2，a 无解．
②若p 假q 真，则⎩⎨⎧
a ≤3或a ≥
72
a >5
2
，
∴52＜a ≤3或a ≥7
2．………………………………………………6分 故a 的取值范围是{a |52＜a ≤3或a ≥7
2}．…………………14分
16．(1
)01
4sin cos ,tan 0,602
bc A bc A A A A π⋅=∴=<<∴=………6分
(2)
原式＝0
00
cos110cos 20(150)cos 20cos 60cos50o
-= 000
2cos 20(sin 20)1sin 40-==-……………14分
17．(1)4分
(2)单调增区间有1
1(,),(,)22
-∞-+∞……………6分 (3)(1,0)-……………4分
18．解：
(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x )； 出厂价为13×(1＋0.7x )；年销售量为5000×(1＋0.4x )， ……2分
因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+
(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+
即：2
1800150015000(01),y x x x =-++<< …………………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得5
06
x << ………8分 (2)本年度的利润为
)55.48.49.0(3240)3
5
2(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f
则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2
'
--=+-⨯=x x x x x f ……10分 由,39
5
,0)('==
=x x x f 或解得 当)(,0)()9
5,0('x f x f x >∈时，是增函数； 当)(,0)()1,9
5('x f x f x <∈时，是减函数． ∴当95=
x 时，20000)9
5
()(=f x f 取极大值万元， ……12分 因为()f x 在(0，1)上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分 所以当9
5
=
x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……16分 19．(1)当2-=a 时，x x x f ln 2)(2
-=，当),1(+∞∈x ，0)
1(2)(2>-='x
x x f ，
故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………4分
(2))0(2)(2>+=
'x x
a
x x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+． 若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负(仅当2-=a ，x ＝1时，0)(='x f )， 故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ．……… 6分 若222-<<-a e ，当2
a
x -=
时，0)(='x f ； 当2
1a
x -<
≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数；
当
e x a
≤<-2
时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数． 故=min )]([x f )2(
a f -2
)2ln(2a a a --=． 若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正(仅当2e 2-=a ，x ＝e 时，0)(='x f )， 故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．………8分 综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1； 当222-<<-a e 时，)(x f 的最小值为
2
)2ln(2a
a a --，相应的x 值为2a -； 当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +，相应的x 值为e ．……… 10分 (3)不等式x a x f )2()(+≤，可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．
∵],1[e x ∈， ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，
因而x
x x
x a ln 22--≥(],1[e x ∈)…………12分
令x x x
x x g ln 2)(2--=(],1[e x ∈)，又2
)
ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，…… 14分 当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，
从而0)(≥'x g (仅当x ＝1时取等号)，所以)(x g 在],1[e 上为增函数， 故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-．………16分
20．(1)
12n n
n a b a ++=
，12n n n n n
a b b a b +=+两式相乘得11n n n n a b a b ++=，
{}n n a b ∴为常数列，114n n a b a b ∴==；(2分)
4n n
b a ∴=
114
()22n n n a a a +∴=+>；
02n b ∴<<； (若2n a =，则12n a +=，从而可得{}n a 为常数列与14a =矛盾)；………4分
(2)
3
2
log 2
n n n a c a +=-， 2
11333311222222log log log 2log 2122222
2n n n
n n n n n n n n n
a a a a a c c a a a a a +++++⎛⎫⎛⎫+++∴===== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+-又因为11c =，{}n c ∴为等比数列，1
2n n c -∴=…………………8分
(3)由1
2
n n c -=可以知道，1
1
11
22
2231242
212313131n n n n n a ----+⎛
⎫==+=+ ⎪---⎝⎭
， 令1
2431
n n d -=
-，数列{}n d 的前n 项和为n D ，很显然只要证明8
3
n D ≤
()2n ≥，
2
2
2314n n -≥∴+≥．
因为1
2431
n n d -=
-()(
)(
)
2
2
2
12
2
2
24
4
1
4
313131n n n n d ----=
=
≤+--， ∴n d ()(
)
2
2
224
3
13
1
n n --=
+-2
2
122111444n n n d d d ---⎛⎫
⎛⎫
≤≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以n D =123()n d d d d +++
+2
2
12111[1]444n d d -⎛⎫
⎛⎫≤++++
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
2211124218218221134334314
n n n ---⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
⎛⎫⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎝
⎭≤+=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-
所以8
23
n S n <+
．……………14分 又4,2n n n a b b =<，故4,2n n P n n =<且T ， 所以888
224333
n n n S T n n n P +<+
+=+=+()2n ≥．…………………16分。