2018北师大版高中数学必修二学案：第二章 2.3 第1课时 直线与圆的位置关系

2.3直线与圆、圆与圆的位置关系

第1课时直线与圆的位置关系

学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．

知识点直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断

思考如何判断直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系？

梳理直线与圆位置关系的判定

类型一直线与圆的位置关系的判断

例1求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．

反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

跟踪训练1对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离

B．相切

C．相交但直线不过圆心

D．相交且直线过圆心

类型二切线问题

例2过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．

引申探究

若本例的条件不变，求其切线长．

反思与感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－1

，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率

k

不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.

(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：

设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．

跟踪训练2若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________________．

类型三直线与圆相交问题

命题角度1求弦长问题

例3过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．

反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法

(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2求解．

(2)弦长公式：

如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，

－y2|(直线l的斜率k存在)．

则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1

k2|y1

(3) 几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有(|AB|

2＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.

2)

通常采用几何法较为简便．

跟踪训练3已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.

(1)证明：直线l与圆相交；

(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长．