兰州市一诊数学试卷及标准答案(理科)

兰州市2017年高考诊断考试

数学参考答案（理科）

12．解析: 令2

1()()2

g x f x x =-

，所以2()()()()0g x g x f x f x x

+-=+--=，则()g x 为奇函数 .

(0,)x ∈+∞Q 时，()()0g x f x x ''=-<，由导函数存在及对称性知：()g x 在

R 上单减 .

2211

(4)()[(4)(4)][()]

22f m f m g m m g m m --=-+--+Q

(4)()8484g m g m m m =--+-≥-

(4)(),4g m g m m m ∴-≥∴-≤ ，解得：2m ≥

二、填空题 13.

2 14. 20- 15. 323

π

16. 11009 16．当2n ≥时，由

2

21n n n n

a a S S =-，得2

112(

)n n n n n

n n S S a S S S S ---=-=-， 所以

1221n n S S --=，又1

22S =，所以2{}n S 是以2为首项，1 为公差的等差数列，所以

21n n S =+，故 2

1

n S n =+，则201711009S = 三、解答题

17. 解：（Ⅰ）∵sin cos 0a B b A +=

∴sin sin sin cos 0A B B A += 即 sin (sin cos )0B A A += 由于B 为三角形内角， 所以sin cos 0A A += )04

A π

+

=而A 为三角形内角

∴3=

4

A π

……………………6分 （Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理得2

2

2

2cos a c b cb A =+- 即2

2

2044()2

c c =+--

，解得42c =-（舍）或22c = ∴112sin 2222222

S bc A =

=⨯⨯⨯= ……………………12分 18. 解： (Ⅰ) 设“年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A ，

所以23253()10

C P A C == …………… 4分

(Ⅱ)X 的可能取值为0，1，2，3

所以223222531(0)10C C P X C C ===， 11221123232122

532

(1)5C C C C C C P X C C +=== 221111223221225313(2)30C C C C C C P X C C +===，21122122

531

(3)15

C C C P X C C === X

1 2 3

1

10 25 1330

115

所以1213122()0123105301515

E X =⨯

+⨯+⨯+⨯= …………………… 12分 19. 解：（Ⅰ）证明，连接1A C 交1AC 于F ，则F 为1AC 的中点 连接DF ，则1//A B DF ，而DF ⊂平面1AC D

所以1//A B 平面1AC D ； …………………… 6分 （Ⅱ）方法一：过E 作EM ⊥AC 于M ，则EM ⊥平面ABC ，过M 作MN ⊥AD ，垂

足为N ，连EN ，则EN ⊥AD ，所以ENM ∠为二面角E AD C --的一个平面角.

设EM h =，则

32

h CM

=

，所以23h CM =，所以223h AM =- 因为

MN AM CD AC =， 所以13

AM h

MN AC ==- A

B

C

A 1

B 1

D

E

M N C 1

故2222

2

(1)3

h EN EM MN h =+=+-

因cos ENM ∠=故22

2(1)1310(1)

3

h h h -=+-，解得32h = 此时， 点E 为1A C 的中点，所以1m = …………………… 12分 方法二：建立如图所示空间直角坐标系，过E 作EM AC ⊥于M ，则EM ⊥平面ABC ，

设EM h =，则(2,0,0)A

，1(2D ，2(,0,)3h E h ，

所以2(2,0,)3h EA h =--u u u r

，3(,22

AD =-u u u r

依题意1(0,0,3)CC =u u u u r

为平面ADC 的一个法向量，

设(,,)n x y z =r

为平面ADE 一个法向量，

则由0

n EA n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r

r

可得22)3n h =-r

6

2-32h =，所以1m = 20.

解：(Ⅰ)∵e =

∴2212b a = 又∵椭圆C

经过点 ∴2221

1a b +=

解得：2

4a =， 2

2b =

所以椭圆C 的方程为22

142

x y +=． ……………………5分 (Ⅱ)设(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则由2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r

得

即12122,2x x x y y y =+=+，

因为点M ，N 在椭圆22

142

x y +=上， 所以2

2

1124x y +=，2

2

2224x y +=，

1

z