有限群的超可解和可解性
医学免疫学期末复习资料(名解 简答)
名词解释1、半抗原：仅具备抗原性而不具备免疫原性的物质，称为不完全抗原，又称半抗原。
半抗原与载体结合后，可成为完全抗原。
2、细粘附分子：是众多介导细胞间或细胞与细胞外基质间相互接触和结合分子的总称。
根据其结构特点可分为整合素家族、选择素家族等。
3、补体：存在于血清、组织液和细胞膜表面的一组不耐热经活化后具有酶活性的蛋白质。
4、免疫球蛋白：具有抗体活性或化学结构与抗体相似的球蛋白。
5、细胞因子：是由机体多种细胞分泌的小分子蛋白质，通过结合细胞表面的相应受体发挥生物学作用。
6、抗体亲和力成熟：随着抗体应答的不断进行，B细胞产生的抗体亲和力不断提高的现象。
与体细胞高频突变有关。
7、ADCC：即抗体依赖的细胞介导的细胞毒作用，指具有杀伤活性的细胞可通过其表面表达的Fc受体识别结合于靶抗原上的抗体Fc段，直接杀伤靶抗原。
8、PRR：模式识别受体。
主要是指存在于固有免疫细胞表面的一类能够直接识别结合病原微生物或宿主凋亡细胞表面某些共有特定分子结构的受体。
主要包括MR,SR, TLR。
9、超敏反应：机体受到某些抗原刺激时，出现生理功能紊乱或组织细胞损伤的异常适应性免疫应答所致。
10、中枢免疫器官：是免疫细胞发生、分化、发育和成熟的场所，包括骨髓和胸腺。
11、单克隆抗体：是由单一B细胞克隆产生的、只作用于单一抗原表位的高度均一的特异性抗体。
12、MHC：即主要组织相容性复合体。
是动物（尤其是哺乳动物）染色体上存在的一组紧密连锁的基因群，其编码产物能够提呈抗原启动免疫应答，也可引起移植排斥反应。
13、免疫耐受：对抗原特异应答的T与B细胞，在抗原刺激下，不能被激活产生特异免疫效应细胞，从而不能执行正免疫应答的现象。
或者：免疫系统在某种抗原刺激下，表现出的特异性无应答状态。
14、抗体亲和力成熟现象：随着抗体应答的不断进行，B细胞产生的抗体亲和力不断提高的现象。
与体细胞高频突变有关。
15、PRR：模式识别受体。
主要是指存在于固有免疫细胞表面的一类能够直接识别结合病原微生物或宿主凋亡细胞表面某些共有特定分子结构的受体。
【精品】有限群的几乎次正规子群及可解性
【关键字】精品有限群的几乎次正规子群与可解性摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。
关键词：几乎次正规子群可解群有限群在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。
1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。
2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。
2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。
本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。
文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g表示h是g 的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集；(g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。
所用的概念和符号参照文献[4]。
1 基本概念定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh 和n∩h都是g的次正规子群。
注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。
但反之不真。
事实上，设g=s4为四次对称群，h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g 的s-正规子群，也不是g的次正规子群。
h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。
为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。
遗传育种学名词解释简答题
遗传育种学名词解释简答题填空题基因频率：群体中某一基因对其等位基因的相对比例称为基因频率。
2.基因型频率：一个群体中某一性状的各种基因型间的比率称为基因型频率。
3.随机交配：在一个有性繁殖的生物群体中，任何一个雄性或雌性的个体与任何一个相反性别的个体交配的概率都相同。
4.选型交配：指配偶的表现型非随机的交配，分为正的选型交配和负的选型交配两种。
5.在一个二倍体的群体中，杂合子的比例为H=2pq。
6.适合度：不同基因型的个体对下一代子女的供给比率称为适合度。
7.迁移：一个群体的个体迁移至另一个群体并与另一个群体的个体随机交配，于是导致基因流动，这种现象称为迁移。
8.遗传漂变：指在一个有限群体中，特别是在一个小群体中，等位基因频率由于抽样误差引起的随机波动，或称为随即遗传漂变。
9.动物育种所研究的性状有两大类，质量性状和数量性状。
10.倍加作用：每个基因的效应成倍数值增加。
11.三大遗传参数，遗传力、遗传相关、重复力。
12.遗传力：亲代传递其遗传特性的能力称为遗传力。
13.重复力：就是总的表型值方差中遗传方差和一般环境方差所占的比例。
14.主要近交类型所生子女的近交系数：亲子，25%；全同胞，25%；半同胞，12.5%；祖孙，12.5%；叔侄，12.5%。
15.近交衰退：对于数量性状来说，因近交而导致群体均值下降。
16.动物祖先：狗――狼，家鸽――原鸽，猪――野猪，家兔――野兔，鸡――原鸡，家鸭――野鸭，驯化的牛――黄牛、水牛和牦牛，鹅――野雁。
17.原始品种：在农业生产水平较低，饲养管理粗放的情况下经过长期的自然选择与人工选择形成的。
18.单系：以一头杰出系组发展起来的品系称为单系。
19.群系：是优秀个体组成的群体进行闭锁繁育所形成的具有突出优点的品系。
20.专门化品系：利用单系、近交系或群系等建系方法育成的品系，专门用于与另一特定品系杂交获取杂种优势，该品系称为专门化品系。
21.太湖猪是世界上产仔数最多的猪种。
有限群的超可解性
（ 山东 工 程 学 院 信 科 系 ， 博 ２ ５ １ ） 淄 ５ ０ ２
［ 摘
要：本文利用子 群格 的模 的性质对有限群进行研究 ， 得到 了有 限超可解 群的若 干充分 条件 ｔ 推广了
许 多 已有 结 果 ．
［ 关键词］超可解群 次） （ 模子群 ｝ 有限群 中围分类 号］Ｏ１ ２ ５ ［ 文献标识码］Ａ ［ 文章编 号］ １０ １０ ２ ０ ）２０ ３—３ ０ ７４ ２ （０ ２ ０ —０ ９０
Ｔ ＝ Ｔ ＜ ＜ … ＜ ＜ ７ ． Ｇ， ’ － ＿
．
（＊）
其 中 ． Ｇ 的子 群 ， 为 ７． 的模 子 群 ，＝１ ２ … 显 然 ， ＊） 丁 可 选 为 以 丁 为 极 大 模 子 群 ， 为 丁． ’ 一 ｉ ，， （ 中
ｉ 义 ｌ 称 群 Ｇ 的子 群 为模 子 群 ， 如果下 列 等式 成立 ： （Ｔ ｆ ＵＭ ） ＮＶ—ＵＵ（ ） ＾ Ｎ ，其 中 ｕ≤ ， （ ＵＭ ） ＝Ｍ Ｕ（Ｔ Ｎ ｆＮＶ） ，其 中 ｌ Ⅵ≤Ｖ， 这里 ｕ， 均为 Ｇ的子 群 ， Ｕｙ一｛ ｙ） 由 ｘ， Ｘ， 表 ｙ生 成 的 Ｇ 的子 群 ． 定 义 ２ 称 子群 ７ 为 Ｇ 的次模 子群 ， ’ 如果 存 在群 列 ：
Ｈａ 子 群 Ｈ ． ｛ “， ． ｌ ｌ 一 Ｐ ． Ｐ） 由性 质 ２ 知 Ｈ 为 Ｇ 的次 模 子群 ， Ｈ —Ｔ． ’ …＜７ ＝Ｇ， ， 且 ＜７ ＜ 由性 质
３ Ｔ． 可 解 Ｇ 可 解 ． ， 均 故
设 为 ［ 的极 大 子群 ，Ｇ ： ］ 下 证 『 ， 实上 ： 否 ， Ｇ ∈Ｓ ｌ （ ． ∈Ｓ ｌ（ ）存 ， ［ 吖 一Ｐ． ＝１ 事 若 设 ｙｐ Ｇ） Ｍ ｙｐ Ｍ ， 在Ｇ 的极 大子 群 丁， ７ 使 ’ ， ７ 为 Ｇ的模 子群 ， （ ＵＴ） ｌ 但 是 （ ｒＧ ） —Ｔ， 与 又 ’ 故 Ｍ ’ ｒＧ 一Ｇ ． ｌ Ｕ 这 了 为模 子群 矛 盾． ｔ ， Ｍ 的任 意性 知 Ｇ超 可解 ． １ 故 一１ 由 定理 ２ 设 Ｇ可解 ， Ｇ） Ｓ ｌ 子群 的极 大子 群为 Ｇ 的模 子群 ， Ｇ超可 解． Ｆ（ 的 ｙｏ ｗ 则 证 设 Ｍ 为 Ｇ 的极 大子群 ， 不妨 设 Ｆ（ ≤Ｍ ． Ｇ） 有 —Ｆ（ ） ， （ 故 ［ （）： Ｇ） Ｆ（ Ｆ（ ｎ＂］ Ｆ（ Ｍ ： ］ Ｇ ： ： 一［ Ｇ） Ｍ 一［ 一Ｐ．
关于有限群的可解性
ｎ Ｈ＜Ｇ， 称 Ｍ 在 Ｇ 内是几 乎正规 的， 则 亦称 Ｍ 是 Ｇ的几 乎正规子群． Ｈ 称 为 Ｍ 在 Ｇ 将 内的一个几 乎正规补 ． 在 Ｇ 内的几 乎正规补 的全 体所 成集合记 作 Ａ （ ． Ｍ Ｎｙ Ｍ） 显然， 正规子群 一定是 几乎 正规 的 ， 反之未必 ， ３ 对称群 ＆ 的子群 《１ ） 就是 但 如 次 （２ ＞ Ｓ 的 几 乎 正 规 子 群 ， 却 不 是 正 规 的 ． 但
（３ 当 ＭＧ １ Ｍ 必为 Ｇ的 Ｈ ｌ子群 ．事实上， ２ ＝ 时， ａ ｌ 任取素数 ＰｌＭ ＩＭ ｌｐ ， ， Ｅｓ Ｍ ｌ ｙ
则 Ｍ Ｇ中不 正规 ．因Ｍ 幂 零 ， Ｍ — 在 故
一
（ ３ Ｎｃ Ｍｐ ， Ｍ 为极太 子群 ， 以 Ｍ Ｍ ≤ （ ）而 所 Ｅｓ￣． ｙＧ ｌ
Ⅳ （ ） 必有 Ｍｐ ｓ — ． Ｇ珥 ， ∈ Ｉ Ｇ 若不然， ｙ 存在 Ｇ ∈ ｓ Ｇ 使得 Ｍｐ Ｐ ， ＜ ， 而 Ｍｐ 从 ＜
ＮＧ（ ） ｐ ≤ （ ）又 Ｎ￣ ， ／Ｍｐ 一 ） ｎＮｃＭｐ ＝ ｆ Ｍ ＝ ， （ ） ｌ 矛盾 ． 故
ｉ ｉ．设对任 取 Ｌ∈ Ｒ ， ： １Ｐ为 Ｉ ： 的公共素 因子 ．因而 Ｎ Ｌ 则 Ｇ ＝ ｉ ） ） ｋ ， Ｇ ＬＩ ，
收精 日期 ： ０ １１ －８ ２ ０ —０ ０ 基 金项 目： 烟台 师 范学 院中青 年 自然科 学基 金资 助谭 题． 作 者 简介 ： 晓静 （ ９ ２ ） 女 ， 师． 王 １７ － ， 讲 硕士 ， 主要 从事 有限 群 论方 面的研 究．
令Ｆ Ｇ＝ ｛ Ｉ 为 Ｇ的包 含某 Ｓ ｉ Ｍ Ｍ ｙｏ ｗ子群 正规化子 的极 大子群 ｝ ． 定义 ２ 一 若 Ｒ ≠ ， 令 －Ｇ） Ｎ ｛ Ｉ ∈ Ｒ ）否则令 （ （ 一 Ｍ Ｍ ， Ｇ）＝ Ｇ ． 由定 义 容 易得 到 （） 。Ｇ） １ （ Ｇ， Ｇ） （ ≤ （ ，２ Ｇ为 幂 零 群 的 充 要 条 件 是 Ｇ Ｇ） （ ）
半CAP-子群与有限群的p-超可解性
半CAP-子群与有限群的p-超可解性戴乔;韦华全;李雪;袁卫峰【摘要】设G为有限群,H为G的子群.称H为G的半CAP-子群,如果存在G的一个主群列1=G0<G1<?<G n=G,使得对每一个i=1,2,?,n,H或者覆盖Gi/Gi-1,或者远离Gi/Gi-1.该文主要利用Sylow p-子群的极大及极小子群的半覆盖-远离性来刻画有限群的结构,得到群为p-超可解或者p-幂零的几个充分或必要条件.【期刊名称】《广西师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】4页(P1-4)【关键词】有限群;CAP-子群;半CAP-子群;p-超可解;p-幂零【作者】戴乔;韦华全;李雪;袁卫峰【作者单位】广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁 530004;广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁 530004;广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁530004;广西大学数学与信息科学学院 ,广西南宁 530004【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所有的群都是有限群，π(G)表示群G的阶G的所有素因子的集合.1962年，Gaschüt z W.在[1]中提出覆盖-远离子群(CAP-子群)的定义,后来有许多学者用子群的覆盖-远离性研究群的结构, 给出了一个群是可解群、p-幂零群、超可解群和局部定义群系的一些充分或必要条件, 如[2～5]. 2006年,樊恽、郭秀云和岑嘉评在[6] 中引入了半覆盖-远离性的定义,利用极大子群和Sylow子群的这个性质,给出了有限群为可解群的一些特征.2008年,杨元韡和黎先华在[7]中用极小子群和4阶循环群的半覆盖远离性刻画了有限群的结构.除此之外也有其他关于子群半覆盖-远离性的论文, 如[8,9,10]. 周知，覆盖-远离性质是商群封闭的,但不是子群封闭的，而比覆盖-远离性质更弱的半覆盖-远离性质是子群封闭的, 这为研究群的结构提供了便利.本文主要利用Sylow p-子群的极大及极小子群的半覆盖-远离性来研究群的p-超可解性和p-幂零性，得到有限群是p-超可解的或者p-幂零的几个充分或必要条件.1 预备知识引理1([8，引理2.5]) 设G是群，H和K都是G的子群.若H是群G的半 CAP-子群且H≤K，则H是群K的半CAP-子群.引理2([8，引理2.6]) 设H是群G的半CAP-子群，N是G的正规子群.若下列条件之一成立，则HN/N是G/N的半CAP-子群：(1) N≤H；(2) gcd(H,N)=1,这里gcd(-,-)=1表示最大公因子.引理 3([5，引理2.7]) 设G是一个群，p∈π(G)且(G,p-1)=1，则(1) 若N是G的正规子群且阶为p，则N≤Z(G)；(2) 若G有循环的Sylow p-子群，则G是p-幂零的；(3) 若M是G的指数为p的子群，则M正规于G.引理4([11]) 设A是G的次正规子群且A是π-群，则A≤Oπ(G).引理5([5，引理2.9]) 设G是群且N是G的子群，则有：(1) 若N≤G，则F*(N)≤F*(G).(2) 若G≠1，则F*(G)≠1.从而有，F*(G)/F(G)=Soc(F(G)CG(F(G))/F(G)).(3) F*(F*(G))=F*(G)≥F(G).从而，若F*(G)是可解的，则F*(G)=F(G).(4) CG(F*(G))≤F(G).引理6([12，引理2.10]) 设G是一个群，则有：(1)(2) 从而有(3) 若是p-可解的，则(4) 若C=CG(Fp(G)/Op′(G))，则引理7 设G是p-超可解群，其中p∈π(G),则G的任意p-子群都是G的CAP-子群.证明设A/B为G的任意主因子，H为G的任意p-子群.因G是p-超可解群，故A/B为p阶群或为p′-群.若A/B为p阶群，则(A/B)∩(HB/B)=1或者(A/B)∩(HB/B)=A/B.于是A∩HB=B或者A≤HB，即A∩H=B∩H或者AH=BH.若A/B为p′-群，则A/B∩HB/B=1，即A∩HB=B.进一步，A∩H=B∩H.综合之，H为G的CAP-子群.2 主要结果定理1 设G是群，P是G的Sylow p-子群，其中p∈π(G).若P的极大子群都是G的半CAP-子群，则G是超可解群或者P=p.证明假设定理不成立，G是极小阶反例.以下分几步证极小阶反例不存在.(1) Op′(G)=1.若T=Op′(G)>1，则虑商群显然PT/T是H/T的Sylow p-群.设P1是P的极大子群，则根据引理2(2)，P1T/T是G/T的半CAP-子群，故G/T满足题设条件.于是，G/T是p-超可解群或者PT/T=p.由此可推出G是p-超可解群或者P=p，矛盾. (2) 设N是G的极小正规子群，则N≤Op(G).设P1是P的极大子群，则存在G的一个主群列1=G0<G1<…<Gn=G使得对任意的i=1,2,…,n-1，P1或者覆盖Gi+1/Gi，或者远离Gi+1/Gi.显然，存在j使得N∩Gj=1但N∩Gj+1≠1.由N的极小正规性，N∩Gj+1=N,从而Gj+1=NGj.若P1覆盖Gj+1/Gj，即P1Gj+1=P1Gj，则(P1Gj/Gj)·(Gj+1/Gj)=P1Gj/Gj,于是N≅Gj+1/Gj≤P1Gj/Gj为p-群.若P1远离Gj+1/Gj,即P1∩Gj+1=P1∩Gj，则P1∩N=P1∩Gj∩N=1.于是可得到P∩N≤p，再由(1)得P∩N≤p.进而，P∩N<P.现取R为P的包含P∩N的极大子群，则R∩N=P∩N.重复上面的讨论，有R∩N=1，这与R∩N=P∩N为p阶群矛盾.(3) 设N是G的极小正规子群，则G/N是p-超可解群或者P/N=p.这由(2)及引理2(1)即得.(4) G有唯一的极小正规子群，记为N.若否，则令N和M是G的两个极小正规子群，我们将利用(3)导出矛盾.若G/N和G/M都是p-超可解群，则G同构于G/N×G/M的子群，所以G是p-超可解群，矛盾.若G/N是p-超可解群且P/M=p，则N≅NM/M≤P/M,从而有N=p.由G/N为p-超可解群即得G为p-超可解群，矛盾.同理，若G/M是p-超可解群且P/N=p,则我们也得到矛盾.故P/N=p且P/M=p，于是P=P∶M∩N≤P∶MP∶N=p2.但P≠p,故P=p2，P=M×N，其中M=N=p.再由G/P是p′群知G为p-超可解群，矛盾.所以，N是G唯一的极小正规子群.(5) 最后的矛盾.设P1是P的极大子群.由于N是唯一的，N必定包含在G的任意主群列里.根据题设，P1或者覆盖N/1，或者远离N/1.若P1覆盖N/1,则P1N=P1,即N≤P1.由P1的任意性得N≤Φ(P),从而N≤Φ(G).若G/N为p-超可解群，则G是p-超可解群，矛盾.若P/N=p,则N=Φ(P),N为循环群.进一步有，N=p，而P=p2,这与[13，定理7]矛盾.若P1远离N/1，则P1∩N=1,于是我们有N=p.此时，若G/N为p-超可解群，则G是p-超可解群，矛盾.若P/N=p ，则P=p2，这仍与[13，定理7]矛盾.定理2 设H是群G的包含的次正规子群，P∈Sylp(H),其中(G,p-1)=1，则G是p-幂零群当且仅当P的极大子群都是群G的半CAP-子群.证明若G是p-幂零的，则于是H=G.根据引理7，P的极大子群都是群G的CAP-子群，自然P的极大子群都是群G的半CAP-子群.反之，设P的极大子群都是群G的半GAP-子群，则我们要证G是p-幂零的.假设G是极小阶反例.以下分步证明极小阶反例不存在.(1) Op′(G)=1.对于T=Op′(G)>1,考虑商群因故显然PT/T是H/T的Sylow p-子群.设P1是P的极大子群，则根据引理2(2)，P1T/T是G/T的半CAP-子群，故G/T满足题设条件.于是，G/T是p-幂零的，这导致G为p-幂零群，矛盾.(2) P=Op(G)=F*(G).根据引理1,P的极大子群都是群H的半CAP-子群,于是由定理1，H是p-超可解群，再由引理3知H为p-幂零群.设Hp′为H的正规p-补，则Hp′是G的次正规子群.由引理4，Hp′≤Op′(G)，再由(1)得H=P.这样，P≤Op(G).根据引理5(3)及引理6(2)得，由此即得P=Op(G)=F*(G).(3) 最后的矛盾.考虑PQ,其中Q∈Sylq(G)且p≠q.由引理1，定理1及引理3，PQ是p-幂零群.于是根据引理5(4)有，Q≤CG(P)=CG(F*(G))≤F(G)=P,矛盾.定理3 群G是超可解群当且仅当对任意p∈π(G)，存在G的包含的次正规子群H 使得H的Sylow p-子群的极大子群都是G的半CAP-子群.证明若G是超可解群，则G的任意子群L都是CAP-子群，自然L是G的半CAP-子群.反之，设对任意p∈π(G)，存在G的包含的次正规子群H使得H的Sylow p-子群的极大子群都是G的半CAP-子群，则我们要证G是超可解的.令p是G的最小素因子.根据定理2，G是p-幂零的，即G存在一个正规 p-补K.特别地，G可解.假设q是K的最小素因子，则因为 K而K char G，所以Fq(K)正规于G，从而Fq(K)≤Fq(G).根据题设，存在◁◁G，且Q∈Sylq(H)，使得Q的每个极大子群是G的半CAP-子群.显然Fq(G)≤H∩K◁◁K，又Q≤K，于是Q∈Sylq(H∩K).根据引理1，Q的每个极大子群都是K的半CAP-子群.由定理2知K是q-幂零的.这表明G是超可解型Sylow塔.令r为G的极大素因子且R∈Sylr(G)，则R正规于G.对任意的r≠s∈π(G)，因故G/R满足定理的条件.由归纳法知G/R是超可解的，从而，G是s-超可解的，其中r≠s∈π(G).若R=r，则G是超可解群.下设R>r.因故R是G的任意包含的子群的Sylow r-子群.由定理1，G为r-超可解群，这样G为超可解群.群G的子群H称为在G中s-拟正规，若对G的任意Sylow子群S，有HS=SH.定理4 设A是群G的s-拟正规子群，B是G的子群且G=AB,则G是p-幂零群当且仅当A和B的Sylow p-子群的极大子群都是G的半CAP-子群，其中p∈π(G)且(G,p-1)=1.证明若G是p-幂零群，则由引理7，G的p-子群都是G的半CAP-子群.现设A和B的Sylow p-子群的极大子群都是群G的半CAP-子群，则我们要证G是p-幂零群.假设定理不成立，G是极小阶反例.以下分步证明极小阶反例不存在.(1) Op′(G)=1.令T=Op′(G)>1.考虑商群显然满足题设条件，于是是p-幂零群，这样G是p-幂零群，矛盾.(2) A是p-群.根据定理2，A是p-幂零的.设Ap′为A的正规p-补,则Ap′ char A.又A在G中s-拟正规，故A在G中次正规，从而Ap′在G中次正规.由引理4，Ap′≤Op′(G)，再由(1)即得A是p-群.(3) 最后的矛盾.由定理2，B是p-幂零的，即B存在一个正规p-补Bp′.因为A是p-群且G=AB，所以Bp′是G的Hall p′-子群.又因为A在G中s-拟正规，故ABp′ 是G的子群.由定理2知ABp′是p-幂零的，故A正规化Bp′.由这就得到Bp′≤AB=G.由(1)得Bp′=1，故B也是p-群，这样G是p-群.当然，G是p-幂零的，矛盾.定理5 设A是群G的s-拟正规子群，B是G的子群且G=AB，则G是p-幂零群当且仅当A和B的p阶及4阶循环子群都是G的半CAP-子群，其中p∈π(G)且(G,p-1)=1.证明由引理7，只需证充分性.事实上，由[7，定理2.1]，A和B都是p-幂零的.用类似于定理4的证明方法，即可得到本定理.参考文献：[1] GASCHÜTZ W.Praefrattini gruppen [J]. 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超拟中心与有限群的超可解性
Ｏ 引言
心， 记为 Ｑ （ ） Ｇ。 定义 ２２ 设 Ｇ 为 有 限 群 ， 的 拟 超 中 心 － Ｇ
Ａｂｓｒ ｃ ： ｏｓｕ ｙｔｅｈ ｐ ｒｕ ｓｃ ｎｅ ｎ ｒｅ ｙ ｌ ｕ ｇｏ ｐｏ ｙｉ ｏ ｌｔｌ ｏ ｄｔ ｎ ｌ ｅｍｕａ ｌ ｒｐ ｒ ｔａ ｔ Ｔ ｔｄ ｈ ｙ ｅｑ ａ ｉｅ ｔｒａ ｄ４ ｏｄ ｒ ｃｉ ｓ ｂ ｒｕ ｆＧ ｂ ｔ ｃｍｐｅｅｙｃ ｎ ｉ ｏ ａｌ ｐ ｒ ｔｂｅｐｏ ｅ－ ｃ ｃ ｓ ｉ ｙ
ｔｅ ｉｓ，ａ ｄ ｂｙ ｔｅ ｍｅ ｈ ｄ ｆｍｉ ｉ ｌｏ ｄ ｒｃ ｕ ｔｒ ｘ ｍｐ ｅｐｒｖ ｓ：Ｓｕ ｏ ｅｔ ａ ｈ ｎｉ ｌｓ ｂ ｒ ｕ ｆＧ ｓｃ ｎｔ ｅ ｎ ｔｅ ｈ ｐ ｒ ｎ ｈ ｔ ｏ ｏ ｎ ｍａ ｒ ｅ ｏ ｎ ｅｅ ａ ｌ ｏ ｅ ｐｐ ｓ ｈ ｔｔ ｅ ｍｉ ｍａ ｕ ｇ ｏ ｐ ｏ ｉ ｏ ￣ｎ ｄ ｉ ｈ ｙ ｅ －
２０ ０５年 ， 郭文 彬在文 献 ［ ］中引入 了完全 条件 Ｑ Ｇ） 下述子 群链 的最 大项 １ （ 是 置换 子群 的概念 ： 限群 Ｇ的子群 日 和 称为 在 Ｇ 有 １＝ Ｑ （ ）≤ Ｑ。 Ｇ 。Ｇ （ ）≤ Ｑ （ ）≤ … ， ：Ｇ
中完全条件置换的， 如果存在元素 ∈ （ Ｋ ， Ｈ， ） 使 其 中
中图分类号 ： １２ １ Ｏ ５ ．
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ：０４ １６ （ ０ ０ ０ －０ ５０ １０ —０ ９ ２ １ ）４０ ２ － ２
超可解群的几个充分条件
超可解群的几个充分条件韩章家;张志让;李艳【摘要】研究有限群的具有某些特性的子群与有限群的结构之间的关系一直是有限群论重要课题之一.其中,由于正规性质在有限群论中的重要性,通过子群的某些广义正规性质来研究有限群的结构,几十年来都是人们非常感兴趣的课题.定义了一种既具有数量关系同时又具有广义正规性质的子群--拟c-正规子群:群G的子群H称为在G中拟c-正规,如果存在G的一正规子群K,满足|G:KH|为素数幂且H∩K≤HG.利用拟c-正规的概念我们给出了超可解群的几个充分条件,推广了一些已知的结论.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(033)004【总页数】4页(P458-461)【关键词】Sylow子群;极大子群;极小子群;拟c-正规子群;超可解群【作者】韩章家;张志让;李艳【作者单位】成都信息工程学院,数学学院,四川,成都,610225;成都信息工程学院,数学学院,四川,成都,610225;成都信息工程学院,数学学院,四川,成都,610225【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所指的群都是有限群,所用的符号都是标准的,可参见文献[1] .对子群的某些特性进行研究从而得到群的结构是一种很普遍的方法,并且已经取得了极为丰富的成果.定理1.1[2]群G为超可解群的充要条件是G的每一极大子群在G中具有素数指数. 定义1.1[3]群G的子群H称为是c-正规的,若存在G的一正规子群N,使得HN=G 且H∩N≤HG=CoreG(H).定理1.2[3]若群G的每个Sylow子群的极大子群在G中是c-正规的,则G为超可解群.定理1.3[3]若群G的每个极小子群和4阶循环群在G中是c-正规的,则G为超可解群.现在来考察一下前面列举的定理1.1～1.3.不难看出定理1.1是利用了特殊子群的指数性质来得到群的结构,而定理1.2和定理1.3则是利用了特殊子群的c-正规性从而得到了群的结构,并且它们还具有某些共性.因此可以考虑这样的问题:能否把指数性质和c-正规性结合起来,产生一种新的性质,把它赋予一些特殊子群来研究它们对群结构的影响?正是基于这样的考虑,我们提出了下面的拟c-正规的概念:定理1.2H≤G称为在G中拟c-正规,如果∃KG,满足|G∶KH|为素数幂且H∩K≤HG.本文就是利用拟c-正规的概念给出了超可解群的几个充分条件.根据定义,c-正规子群一定是拟c-正规子群,例1.1说明拟c-正规子群却不一定是c-正规子群.例1.1 设G是4个文字上的对称群S4,B4是的G正规极大子群A4的正规子群,显然B4在G中拟c-正规但不c-正规.定义1.3[4]H≤G称为在G中c-可补,如果∃K≤G,使得G=KH且H∩K≤HG.容易知道c-可补是c-正规的真正的推广.虽然拟c-正规和c-可补都是c-正规的真正的推广,但它们之间没有必然的蕴含关系.例1.2 拟c-正规不一定意味着c-可补.例如,取G=Z3w r〈a〉,o(a)=4.则〈a2〉在G中拟c-正规,但不是c-可补.例1.3c-可补不一定意味着拟c-正规.例如,取G=A5,H=Z5∈Syl5(A5).则H是G的c-可补子群,但不是拟c-正规子群.下面给出一些基本的引理.引理1.1 (1)如果H在G中具有性质拟c-正规,H≤M≤G,则H在M中拟c-正规.(2)设NG且N≤H,则H在G中拟c-正规当且仅当H/N在G/N中拟c-正规.(3)设NG且(|N|,|H|)=1,如果H在G中拟c-正规,那么HN/N在G/N中拟c-正规. 证明 (1)因H在G中拟c-正规,所以存在G的正规子群K使得|G∶HK|为素数幂且H∩K≤HG.令L=M∩K.则LM,M∩HK=H(M∩K)=HL,H∩L=H∩M∩K≤HG∩M=HM,且|M∶HL|=为素数幂.因此H在M中拟c-正规.(2)假设H/N在G/N中拟c-正规,则由定义,存在G的正规子群K使得|G/N∶(H/N)(K/N)|为素数幂且H/N∩K/N≤(H/N)G/N.此时必有|G∶HK|为素数幂且H∩K≤HG.反之,如果H在G中拟c-正规,则存在G的正规子群K使得|G∶HK|为素数幂且H∩K≤HG.不难得到H/N在G/N中拟c-正规.(3)如果H在G中拟c-正规,则存在G的正规子群K使得|G∶HK|为素数幂且H∩K≤HG.于是|G/N∶(HN/N)(KN/N)|=|G∶HKN|||G∶HK|为素数幂.另一方面,(HN∩K)H=HN∩HK≤HN,(HN∩K)N≤HN且(|N|,|H|)=1.由文献[5] 便得HN∩K=(H∩K)(N∩K).于是HN/N∩KN/N=(HN∩KN)/N=(HN∩K)N/N=(H∩K)(N∩K)N/N=(H∩K)N/N≤(HN /N)G/N.即HN/N在G/N中拟c-正规.引理1.2 设P是群G的Sylow 2-子群.如果P的每个极大子群在G中拟c-正规,则G为可解群.证明假设结论不真,令G为极小阶反例.则有:(1)O2(G)=1,并且O2′(G)=1.假设O2(G)≠1,则G/O2(G)或者为奇阶群,或者满足定理假设.无论哪种情形都可得G/O2(G)是可解群,从而G就为可解群,矛盾.如果O2′(G)≠1,那么G/O2′(G)显然满足定理假设,即G/O2′(G)为可解群,当然G也就可解,矛盾.(2)G有唯一的极小正规子群N,并且G=PN.设N为G的极小正规子群,则我们断言:G=PN.否则,若G<PN,则PN满足定理假设,从而PN可解.特别地,N是可解群.于是O2(N)≠1或者(N)≠1.这说明或者O2(G)≠1或者(G)≠1,与(1)矛盾.因此G=PN.现在G/N≅P/P∩N是可解群.由于可解群类是饱和群类,所以N是G的唯一的极小正规子群,它是一些同构的非交换单群的直积. (3)最后的矛盾.令P1为P的极大子群,由假设,存在G的正规子群K,使得|G∶P1K|为素数幂且P1∩K≤(P1)G.这样|K|2≤2,从而K有正规2-补T,显然T≤O2′(G).于是|K|≤2.而这又意味着是G可解群,矛盾.引理得证.引理1.3[6]设F是包含超可解群系U的饱和群系,E是群G的正规子群满足G/E∈F.如果E循环,那么G∈F.定理2.1 设N为群G的正规子群满足G/N为超可解群.如果N的每一Sylow子群的极大子群在G中拟c-正规,则G为超可解群.证明选取G为极小阶反例.由引理1.1,N的每一Sylow子群的极大子群在N中拟c-正规,再由引理1.2知N为可解群,从而G为可解群.设N1为含于N的G的极小正规子群,则N1为初等交换p-群(∃p∈π(G)).进一步还有:(1)G/N1为超可解群,N1为含于N的G的唯一极小正规子群,并且存在M<·G,使得G=N×|M,M为超可解群,CG(N1)=N=F(N).首先证G/N1和N/N1满足定理假设.一方面(G/N1)/(N/N1)≅G/N为超可解群.另一方面,设=QN/N为N/N1的Sylowq-子群,则Q为N的Sylowq-子群.如果q=p,则有N1≤Q=P,的极大子群=Q1/N1,这里Q1为Q的极大子群.由假设和引理1.1,Q1/N1在G/N1中拟c-正规.如果q≠p,则有=Q1N1/N1,因为Q1在G中拟c-正规,由引理1.1知Q1N1/N1在G/N1中拟c-正规,因此G/N1和N/N1满足定理假设.由G的选取,G/N1为超可解群.由于超可解群类为饱和类,所以N1是含于N的G的唯一极小正规子群且N(G),于是存在M<·G,使得G=N×|M,M≅G/N1为超可解群.因N(F(N))≤Φ(G),故Φ(F(N))=1,从而F(N)是交换子群.又F(N)=F(N)∩G=N1(F(N)∩M),F(N)的交换性就蕴含了F(N)∩MG,于是F(N)∩M=1,因此N1=F(N).再利用N的可解性便可得F(N)≤CN(N1)=CN(F(N))≤F(N)=N1.(2)p为|N|的最大素因子且|N1|=p.设q≠p为|N|的最大素因子,Q∈Sylq(N),因N/N1为超可解群,所以=QN1P是N的子群.如果PQ<G,则PQ/PQ≅1超可解,由引理1.1,PQ满足定理假设,从而PQ超可解而且矛盾.因此可假设PQ=G=N.如果N1≤Φ(P),则P=P∩(N1M)=N1(P∩M)=P∩M,从而N1≤P≤M,与(1)矛盾.于是存在P1<·P满足N1P1.由题设存在G的正规子群K使得|G∶P1K|为素数r的幂,P1∩K=(P1)G=1.如果N1∩K≠1,则N1≤K,P1∩N1≤P1∩K=1,这意味着|N1|=1.再由G/N1为超可解群便可得G为超可解群,矛盾.如果N1∩K=1,则由N1的极小唯一性知K=1.这时G为p-群,同样矛盾.因此p=q为|N|的最大素因子.由于N/N1为超可解群,故P/N1N/N1,从而PN.由(1)可知N1=P∈Sylp(N).如果r=p且|G∶P1K|≠1,则|G/K|=pb,于是G/K为p-群,当然为超可解群,从而G≅G/K∩N1为超可解群,矛盾.如果r≠p,则N1=N1∩P1K=P1(N1∩K)=P1,矛盾.这一矛盾说明P1=1,于是|N1|=p.现在G/N1为超可解群,|N1|=p,因此G为超可解群,矛盾于G的选取.定理得证. 推论2.1 如果群G的每一Sylow子群的极大子群在G中拟c-正规,则G为超可解群.推论2.2 设F是包含超可解群类U的饱和群系,H是群G的正规子群满足G/H∈F.如果H的每一子群的极大子群在G中拟c-正规,则G∈F.证明设G为极小阶反例.由引理1.1,H的每一Sylow子群的极大子群在N中拟c-正规,再由推论2.1知H为超可解群.设p为|H|的最大素因子,P∈Sylp(H),则PH.由引理1.1,H/P的每个子群的极大子群在G/P中拟c-正规,且(G/P)/(H/P)≅G/H∈F,因此G/P满足定理假设,从而G/P∈F.令N为G的含于P的极小正规子群.如果N=P,则G/N=G/P∈F.如果N<P,则G/N 满足定理假设,同样也有G/N∈F.由于F为饱和群系,故N为含于P的G的唯一极小正规子群且Φ(P)=1.从而又有P为初等交换p-群.如果|N|≥p2,则存在P的极大子群P1使得N∩P1≠1.由假设,存在G的正规子群K≠1使得|G∶P1K|=,P1∩K=(P1)G=1.如果r=p,则G/K为p-群,此时如果P∩K=1,则G≅G/(K∩P)∈F,矛盾.如果P∩K≠1,则N≤K,1=P1∩K≤P1∩N≠1,同样矛盾.另一方面,如果r≠p,则P=P∩P1K=P1(P∩K).由N的极小唯一性,N≤P∩K,从而也有1=P1∩K≤P1∩N≠1,这一矛盾说明|N|=p.再由引理1.3知G∈F,矛盾.定理2.2 设H是群G的正规子群且G/H为超可解群.如果H的每一素数阶子群和4阶循环子群在G中拟c-正规,则G为超可解群.证明假设G是极小反例.令M是G的任一极大子群,则M/(M∩H)≅MH/H≤G/H为超可解群,由引理1.1,M 和M∩H满足定理假设,因此M为超可解群.由M的任意性可知为G极小非超可解群.由文献[7] 可得:(1)存在p∈π(G),G的Sylowp-子群正规,P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群;(2)如果p>2,则exp(P)=p.如果p=2,则exp(P)|4,p2||G|.(3)P/Φ(P)非循环.现在可以证明:P实际上就是G的超可解剩余GU.因为G/P为超可解群,所以GU≤P,从而GUΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的正规子群.由(1)就可得GUΦ(P)=P或者GU≤Φ(P).如果GU≤Φ(P),则GU≤Φ(G),于是G/Φ(G)为超可解群,即G为超可解群,矛盾.因此GU=P.于是P的每一素数阶子群和4阶循环子群在G中拟c-正规.取1≠x∈P,由(2),x的阶为p或4.依假设x在G中拟c-正规,于是存在G的正规子群K使得|G∶〈x〉K|=qa,〈x〉∩K≤〈x〉G.令P1=P∩K,则P1K.若P1≤Φ(P)且q≠p,则P=P∩〈x〉K=〈x〉P1=〈x〉.如果|〈x〉|=p,则与(2)矛盾.如果|〈x〉|=4,则Φ(P)≠1,于是对任意x∈PΦ(P),〈x〉G.与(3)矛盾.若q=p,由P1≤Φ(P)可得K为p-幂零群,从而K=L×P1,G=KP=L×P,G/Φ(G)=LΦ(P)/Φ(G)×P/Φ(P),即P/Φ(P)≤Z(G/Φ(G)).于是对任意x∈PΦ(P),〈x〉Φ(P)G.由(1),〈x〉Φ(P)=P,从而〈x〉=P,与前面一样可得矛盾.因此可假设P1(P),于是P1Φ(P)/Φ(P)=P/Φ(P),即P=P1,P≤K.进一步地就有〈x〉=〈x〉∩KG,矛盾于(3).定理得证.致谢本文还得到成都信息工程学院科研基金(KYTZ201003)的资助.2000 MSC:20D10;20D20【相关文献】[1] Gorenstein D.Finite Groups[M] .New York:Harper&Row,1968.[2] Robinson D J S.A Course in the Theory of Groups[M] .New York:Springer-Verlag,1993.[3] Wang YM.c-normality of groups and its properties[J] .J Algebra,1996,180:954-965.[4] Ballester-BolinchesA,Wang YM,Guo X Y.C-supplemented subgroups of finitegroups[J] .GlasgowMath J,2000,42:383-389.[5] Doerk K,Hawkes T.Finite Soluble Groups[M] .Berlin,New York:Walter de Gruyter,1992.[6] Skiba A N,TitovO V.Finite groupswithc-quasinormal subgroups[J] .SiberMathJ,2007,48(3):544-554.[7] Doerk K.Minimal nichtüber auflosbbare endliche gruppen[J] .Math Z,1966:198-205.[8] AsaadM.Onp-nilpotence and supersolvability of finite groups[J] .CommunAlgebra,2006,34:189-195.[9] Han Z,Chen G,Guo X.A Characterization for sporadic simple groups[J] .SiberMathJ,2008,49(6):1138-1146.[10] Han Z.Ons-semipermutable subgroups of finite groups andp-nilpotency[J] .Proc Indian Academ Sci:Math Sci,2010,120(2):141-148.[11] 韩章家.p-幂零群的几个充要条件[J] .西南师范大学学报:自然科学版,2009,34(5):7-13.[12] 韩章家.A11的特征性质[J] .西南师范大学学报:自然科学版,2005,30(4):638-641.[13] LiD,Guo X Y.The influence ofc-nor mality of subgroups on the structure of finite groups[J] .J Pure Appl Algebra,2000,150:53-60.[14] LiD,Guo X Y.The influence ofc-nor mality of subgroups on the structure of finite groups II[J] .Commun Algebra,1998,26(6):1913-1922.[15] ZhangQin-hai,WangLi-fang.The influence ofs-semipermutable subgroup on the supersolv ability of finite groups[J] .Acta Math Sinica,2005,48(1):81-85.[16] Skiba A N.On weaklys-permutable subgroups of finite groups[J] .JAlgebra,2007,315:192-209.[17] Guo X Y,Shum K P.Cover-avoidance properties and the structure of finite groups[J] .J Pure ApplAlgebra,2003,181:297-308.[18] Guo X Y,Shum K P.Onc-normal maximal and minimal subgroups of Sylowp-subgroups of finite groups[J] .Archivder Mathematik,2003,80:561-569.。
有限幂零群的几个充分条件
Ｇ＝Ｇ ＞Ｇ ＞… ＞Ｇ—＞Ｇ ＝ｌ ｏ Ｉ ｒ ｌ ，
（） ３
其中多商群Ｇ一Ｇ 为循环的 （ １ ， ｒ ｊ／ ， 。 ｉ ， …， ＝ ２ ）．
对 Ｇ 的子群 ，作 的递 降子 群链
Ｈ ＝Ｃｏ ＣＩ … Ｃ，１
一
Ｃ ｒ＝１
定理 ２ １ 明 因 为 Ｎ ，由引理 ２３ Ｏ（ Ｏ（ ，所 以Ｇ／ （ ） ．证 ｑＧ ． 得 Ｎ） Ｇ） ｃ Ｇ ≤Ｇ／ Ｎ） Ｄ Ｏ（ ，由引理 ２１ ． 超可 解 群 的子群是 超可解 的 ，所 以由 Ｇ／ Ｎ） ￣（ 是超可解 的 ，从 而 Ｇ／ Ｇ） Ｏ（ 是超 可解 的 ，又 由引理 ２ ． Ｇ 是超 ２得
（ ４）
式中 ＝ ｎ ， 一 方 面 有 ＝ ｎ 司Ｈ ， 另 一 方 面 ， 根 据 群 同 构 定 理 有 ｃ／， ＝ ， ＋ ｃ
ｎ ／ ４ 日ｎ ４。 （ ＾ ） ４ ＾ ） ＋ ４ ４， ４， 故ｃ ｃ 单位元 ４ ｎ ＋ ＝ ＋、 、 兰 ＋ ｒ ／ ， ／＋、 ＋ 厂 ｒ ４ （ 、 ４ ４ ｒ ， ， ，或为 ／＋ 群， 或
２ １ 年 ３月 ０ １ 第 ｌ 期
伊犁 师范 学院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕｒ ｏ ｎ
． ． ． ． ．
Ｍ ａ． ｒ ２０１ １
ＮＯ １ ．
ａ１ ｆ ｉ ｏ ｍａ ｏ Ｙ ｌ Ｎ ｒ ｉ ｌ ｉｅｓ ｙ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｔ
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． — —
中心 群列 的 （ 限 ）群 称为幂 零群 ． 有
引理 １ １（ ｒｔ 论 断 ）ｌ 设 Ｎ ， Ｐ∈Ｓ ｆ Ⅳ） ． Ｆ ａ ｔ ｉ ｉ ｎ ２ ｊ ｑＧ ｙ （ ，则 Ｇ＝ （ ） ． ＰＮ 引理 １ ２ 】 设 日 是有 限群 ，则下述 事项等价 ： ．【 （ ） Ｇ 是幂 零的 ；（ ）若 Ⅳ ＜Ｇ ，则 ＜Ⅳ ；（ ） Ｇ的每 个极人 子群 １ ２ ｒ ） ３ （ （ 时Ｉ Ｍ ｌ 这 Ｇ： 为素
NE-子群与有限群的结构
（ ）当 Ｐ为交换 群 时 ， 为初等 交换 群 ； ３ Ｐ
收稿 日期 ：０ ６１－５ ２ ０—０１
基金 项 目 ： 西 省 教 育 厅 自然 科 学 专 项 基 金 项 目（ ５Ｋ ０ ）西 安工 程 大 学 校 管 基 金 资 助项 目（０ ６ Ｇ ６ 陕 ０Ｊ ２７ ； ２０Ｘ ３） 通讯 作 者 ： 颖 吾 （ ９ ５） 男 ， 徐 １６ － ， 陕西 省 西 安 市 人 ， 安 工 程 大 学讲 师． － ｉ ｙ ｕ ５ ＠ ｓ ａｃｒ 西 Ｅ ｍａ ；ｗｘ ２ ６ ｉ ．ｏ ｌ ｎ ｎ
（ （ ／ Ｐ） Ｇ （ ， Ｐ／ Ｐ） 小性 得 Ｐ一 （ ． ＞ Ｐ） （ ／ Ｐ） 由 （ 极 ＞ （ ）Ｇ — Ｐ ｉ Ｐ 为 Ｇ 的正 规 Ｓ ｌｗｐ １ ｈ， ｙｏ －子群 Ｐ， 超 可解 ， ／ Ｐ Ｍ Ｐ （ ）是 Ｇ （ ）极 小正规子 群 ， Ｐ非 ／ Ｐ 且 循环； （ ）若 Ｐ＞ ２ 则 ｅ ｐ Ｐ）一 Ｐ； Ｐ一 ２ 则 ｅ ｐ Ｐ ≤ ４ 此 时 Ｇ 为 内幂 零群 ； ２ ， ｘ（ 若 ， ｘ（ ） ，
关 已知 的 著 名 结 果 ．
关键 词 ： 幂零群 ； 可解 ； 小子群 ； －子群 超 极 ＮＥ 中图分类 号 ： ５ ． Ｏ １２１ 文 献标 识码 ： Ａ
１ 定 义和 引理
“ － ＮＥ 子群 ”这一概 念 经文 ［ ］中提 出后 ， 到人们 的普遍 关 注． １ 受 利用 此术 语 ， 已经获 得 了一些有 意义 的结果［３ 本 文 以群 Ｇ（ ｉ］ －． Ｇ的极 大子群 甚 至Ｇ 的 Ｆ ｔ ｎ ｉ ｉｇ子群 ） ｔ 的极小 子群 是 ＮＥ 子群 为条 件 ， － 进一 步刻画
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西 安 工 程 科 技 学 院 学 报
条件置换对有限群结构的影响
摘
要： 利用 子群 之间条件置换 的性质 ， 我们将 给出两个群 的乘积 为超 可解群 的若 干充分 条件 ， 并推广部分已
知结 果 ．
பைடு நூலகம்
关键词 ： 条件置换 ； 有限群 ； 超可解群
中 图分 类 号 ： １２ １ Ｏ ５ ． 文献 标 识 码 ： Ａ
０ 引言
在群论 中 ， 们 常 常利 用 子群 的性 质 来研 究群 的结 构． 于有 限群 的 超可 解 性 研 究 ， 人 关 目前 已有 大 量结 果． 最近郭 文 彬 等… 提 出 了一 些新 概 念 ： 件 置换 和完 全条 件 置 换子 群 ， 给 出了 有 限群 构造 的一 些 新 刻 条 并 画． 我们 在文 ［ ］的基础 上 ， 用子群 之 间条件 置换 的性 质 ，给 出了两个 群 的乘 积 为超 可解 群 的若 干充 分 条 １ 利 件， 推广 了文 ［ ］中 的部分 结 果． ２ 我们所 指 的群 皆为有 限群 ， 用 的符号 和概 念都是 标 准 的 ． 所
Ｎ（ Ｐ） ＝Ｎ （ Ｐ）ｎ Ｇ ＝ Ｎ （ ）ｎ （ Ｋ） ＝Ｈ（ （ ）ｎ Ｋ） 若 Ｐ不正 规于 Ｇ 则有 ＧＰ Ｈ ＮＧ Ｐ ， ， （ ）ｎ Ｋ ≤ ｇ ＜Ｋ， 里 为 Ｋ 的极大 子群． Ｐ 这
由于
Ｋ， Ｈ和 都条件 置换 ， 由引理 ２ ， Ｍ成 群． 知 Ｈ 因为 Ｋ为幂 零群 ， Ｉ Ｍ ＝ｑ 素数 ） 由 Ｓ ｌ 故 Ｋ： ｌ （ ． ｙｏ ｗ
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２０ ０ ７年第 ２期 商丘职业 技术学院学报 第 ６卷（ 总第 ２ ） Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｈ Ｎ Ｑ Ｕ Ｖ Ｃ ＴＯ Ａ Ｎ Ｅ Ｈ Ｉ Ａ Ｏ Ｌ Ｇ ９期 Ｏ Ｒ Ａ ＦＳ Ａ Ｇ Ｉ Ｏ Ａ ＩＮ ＬＡ ＤＴ Ｃ Ｎ Ｃ ＬＣ Ｌ Ｅ Ｅ
关于有限群超可解性的一种新判定方法
关于有限群超可解性的一种新判定方法刘阿明;李保军;黄程【摘要】利用子群的弱s-置换性质研究超可解子群的积的问题,并给出群的超可解性的一些判别方法.设群G可以表示为2个子群A和B的积,A在G中拟正规且B为超可解,如果A的Sylow子群的所有极大子群在G中弱s-置换,则G为超可解群.从而得到1个群为超可解群的这样的一种新判别法.【期刊名称】《成都信息工程学院学报》【年(卷),期】2014(029)006【总页数】4页(P665-668)【关键词】基础数学;代数学;有限群;超可解群;Sylow子群;拟正规子群;弱s-可置换【作者】刘阿明;李保军;黄程【作者单位】成都信息工程学院应用数学学院,四川成都,610225;成都信息工程学院应用数学学院,四川成都,610225;成都信息工程学院应用数学学院,四川成都,610225【正文语种】中文【中图分类】O152.10 引言讨论的群皆为有限群文中未交代的符号和定义都是标准的[1－2]。
群的超可解性的描述和判定是有限群研究的重要课题之一。
不同于幂零群或可解群，2个正规子群之积不一定为超可解子群。
因此2个超可解子群乘积的结构以及超可解子群的积仍为超可解群的条件成为广受关注的研究内容。
譬如，Baer[3]证明了，如果G为2个正规超可解子群之积，且G'(群G的换位子群)幂零，则G为超可解群;Friesen[4]证明2个指数互质的正规的超可解子群之积仍为超可解群;文献[5－6]等讨论了非正规超可解子群的积为超可解的一些条件。
近年来，群论专家们在对群的超可解性的研究中，引入许多新的研究工具和子群性质，其中被广泛关注的内容是A Skiba[7]提出的子群弱s-置换性质。
定义1[7]:G是有限群，H≤G，称H在G中是弱s-可置换的，如果存在H的1个次正规子群T使HT=G，并且H∩T≤HsG，其中HsG是由H的所有在G中s-可置换的子群生成的子群。
借助子群的弱s-置换性质，研究超可解子群的积的问题，并给出群的超可解性的一些判别方法证明以下定理:定理1 设G=AB，其中A在G中是拟正规的且B为超可解的。
数学中的群论与抽象代数
数学中的群论与抽象代数数学中的群论与抽象代数是数学领域中重要而广泛研究的分支。
通过群论和抽象代数的概念和方法，我们可以研究各种代数结构，并深入理解数学的抽象本质。
本文将介绍群论和抽象代数的基本概念、应用领域以及相关的重要定理。
一、群论的基本概念群是数学中最基本的代数结构之一。
群由一个非空集合G和一个二元运算*组成，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
1.封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b∈G。
2.结合律：对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)。
3.单位元存在性：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a。
4.逆元存在性：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。
在群中，我们可以进行乘法运算，通过乘法运算可以定义群元素的多次运算，例如a^n = a*a*...*a (n个a)。
群论的研究主要关注于群的性质及其在代数、几何和物理等领域的应用。
二、抽象代数的基本概念抽象代数是研究代数结构及其性质的数学分支。
在群论的基础上，抽象代数发展了更为广泛的代数结构，如环、域和向量空间等。
1.环：环是一个包含两个二元运算（加法和乘法）的集合R，满足以下条件：R关于加法构成一个阿贝尔群，乘法满足封闭性、结合律和分配律。
2.域：域是一个包含两个二元运算（加法和乘法）的集合F，满足以下条件：F关于加法构成一个阿贝尔群，乘法满足封闭性、结合律、分配律和乘法逆元存在性。
3.向量空间：向量空间是一个包含两个二元运算（加法和数量乘法）的集合V，满足以下条件：V关于加法构成一个阿贝尔群，数量乘法满足封闭性、结合律、单位元存在性和分配律。
通过抽象代数的研究，我们可以将代数结构抽象为符合特定条件的集合和运算规则，从而更好地研究代数结构的普遍性质和规律。
三、群论与抽象代数的应用领域群论和抽象代数在数学领域的应用非常广泛，它们不仅是研究其他学科的基础，而且在密码学、代数几何、物理学等领域也有着重要的应用。
关于有限群的超可解性
关于有限群的超可解性
涂道兴
【期刊名称】《西南石油大学学报》
【年(卷),期】1992(000)004
【摘要】本文证明了定理1 设G为群,则W<sub>∞</sub>（G）=SI（G）定理2 设G为群,N■G,若G/N超可解且N的素数阶元均属于W<sub>∞</sub>（G）,则G超还解的充要条件是G与T<sub>2q</sub>无关。
【总页数】8页(P148-154,147)
【作者】涂道兴
【作者单位】西南石油学院基础学科部
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.关于有限可解群的p超可解性的一个注记 [J], 顾江永
2.超拟中心与有限群的超可解性 [J], 胡玉生;张利英;杨鹏辉
3.极大超可解子群与有限群的超可解性 [J], 钟祥贵;廖枢华;李明华;谭春归;陈小祥
4.子群的S-半置换性与有限群的p-超可解性 [J], 邱正添;乔守红
5.有限群的超可解和可解性 [J], 余小龙;黄建红
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有限可解群的一些充分条件
Some Sufficient Conditions of Finite Solvable Groups 作者： 刘熠[1];秦亚[2];李长会[3]
作者机构： [1]内江师范学院数学系,四川内江641110;[2]四川师范大学数学与软件科学学
院,四川成都610066;[3]四川内江第六中学校,四川内江641000
出版物刊名： 内江师范学院学报
页码： 14-16页
主题词： 弱c-正规子群;可解群;Sylow子群;极大子群
摘要：利用子群的弱c-正规性得到了有限可解群的一些条件．首先，得到了有限可解群的一个充要条件，即有限群G是可解群当且仅当G的任二相邻子群A，B有A在B中弱c-正规．其次，得到了有限可解群的一些充分条件，若有限群G满足下列条件之一，则G是可解群：G的任一极大子群M的Sylow子群均在G中弱c-正规；G的任一极大子群M的极大子群均在G中弱c-正规；
假设H是G的Hallπ-子群且2∈π，如果NG（H）是可解群且在G中弱c-正规．。
弱S-嵌入子群与有限群的超可解
弱S-嵌入子群与有限群的超可解郭桂容;赵涛【摘要】A subgroup H of G is said to be weakly S-embedded in G,if for some normal subgroup T of G,HT is S-permutable in G and H ∩ T ≤ Hse,where Hse is an S-permutably embedded subgroup of G contained in H.The influence of some weakly S-embedded subgroups on the supersolublity of a finite group G is investigated.And some results about formations are obtained.%群G的子群H被称为G的弱S-嵌入子群,是指存在G 的正规子群T使得HT为G的S-可换子群且H∩T≤Hse,其中Hse是群G含于H 的一个S-可换嵌入子群.研究了群G的某些素数幂阶弱S-嵌入子群对其超可解性的影响,同时也得到了关于饱和群系的几个新的刻画.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(052)004【总页数】4页(P25-28)【关键词】S-可换子群;弱S-嵌入子群;超可解群;饱和群系【作者】郭桂容;赵涛【作者单位】六盘水师范学院数学系,贵州六盘水553004;山东理工大学理学院,山东淄博255049【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所讨论的群均为有限群，使用的符号及术语是标准的 (见文［1］)。
设F为饱和群系，群G的子群H被称为是F－可补的是指存在L∈F使得G=HL成立。
此时，我们称L是H在G中的一个F－补。
群G的子群H被称为是S－可换的［2］(或S－拟正规的［3］)，若H与G的每个Sylow子群P都可换。
在文［4］中，作者将其推广为:群G的一个子群H称为是G的S－可换嵌入子群，如果H的每个Sylow子群同时也是群G的某个S－可换子群的Sylow子群。
有限群的πFΦ-超中心和πFΦ-可补子群
有限群的πFΦ-超中心和πFΦ-可补子群张丽【摘要】A normal subgroup N of G is called πFΦ-hypercentral in G if N=1 or N≠1 and every non-Frattini G-chief factor below N with order divided by at least one prime inπ, is F-central. The product of all the normal subgroups which areπFΦ-hypercentral in G, is called theπFΦ-hypercentre of G and de-noted by Z( G) . Using theπFΦ-hypercentre of G, theπFΦ-supplemented subgroup was defined:a sub-group H of G was calledπFΦ-supplemented in G if there existed a subgroup T of G such that G=HT and (H∩T)HG/HG≤ZπFΦ(G/HG), where HG was the largest normal subgroup of G contained in H. The propertie of πFΦ-hypercentre were studied. And obtain some new criterion for p-nilpotency and super-solvability of finite groups were obtained.%群G的正规子群N称为πFΦ-超中心的(πFΦ-hypercentral),如果N=1或者N≠1且N的每个阶数可被π中某些素数整除的非-Frattini G-主因子是F-中心的。
判定有限群可解性的一种方法
科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界可解群是一类常见的群,在Galois 方程论等方面有重要的应用.判定有限群的可解性是一个常见的问题.以下给出一种方法,把判定有限群G 的可解性的问题转化成寻找G 的三个指数互素的可解子群的问题.如果能够找到三个子群,指数互素,且可解,那么G 是可解的.这样就把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.而阶数较低的群相对容易研究.首先看定义和几个引理.定义1设G 为任意群.a,b ∈G ,令[a,b ]=a -1b -1ab ,称为元素a ,b 的换位子.令G ′=〈[a ,b ]|a,b ∈G 〉,称为G 的换位子群.归纳定义G 的n 阶换位子群:G (0)=G ,G (n )=(G (n -1))′,n ≥1.称群G 为可解群,如果存在正整数k 使G (k )=1.下面的引理1给出了几个关于换位子群的结论.引理1(1)设G=M 1×M 2,则G ′=M 1′×M 2′.(2)设H ≤G ,g ∈G ,则(H g )(n )=(H (n ))g ,n ≥1.(3)设H ≤G ,,则(HN /N )(n )=H (n )N /N ,n ≥1.证明(1)∀(a 1,b 1),(a 2,b 2)∈G ,其中a 1,a 2∈M 1,b 1,b 2∈M 2,[(a 1,b 1),(a 2,b 2)]=(a 1,b 1)-1(a 2,b 2)-1(a 1,b 1)(a 2,b 2)=(a 1-1a 2-1a 1a 2,b 1-1b 2-1b 1b 2)=([a 1,a 2],[b 1,b 2])故G ′=M 1′×M 2′.(2)对n 用归纳法.当n =1时,∀h 1,h 2∈H ,[h 1g,h 2g]=(h 1g )-1(h 2g )-1h 1gh 2g=(h 1-1h 2-1h 1h 2)g=[h 1,h 2]g,于是(H g )′=(H ′)g .假设(H g )(n -1)=(H (n -1))g ,于是(H g )(n )=((H g )(n -1))′=((H (n -1))g )′=((H (n -1))′)g =(H (n ))g (3)对n 用归纳法.当n =1时,∀h 1,h 2∈H ,[h 1N ,h 2N ]=(h 1N )-1(h 2N )-1h 1Nh 2N =h 1-1h 2-1h 1h 2N =[h 1,h 2]N ,于是(HN /N )′=H ′N /N .假设(HN /N )(n -1)=H (n -1)N /N ,于是(HN /N )(n )=((HN /N )(n -1))′=(H (n -1)N /N )′=(H (n -1))′N /N=H (n )N /N .引理2设有限群G ≠1为可解群,则存在p -群M ≠1且M .证明取G 的极小正规子群M (即:1≠M ,∀N ,N ⊆M ,则N =1或M ).∀HcharM ,由M 知,H .由M 的极小性知,H =1或M .故M 为特征单群.有限特征单群是同构单群的直积.[1]设M=M 1×…×M s ,其中M i (i =1,...,s )是同构的单群.因为M ≤G ,所以M (n )≤G (n ),n ≥1,由G (k )=1可得M (k )=1.由引理1(1),M (k )=(M 1×…×M s )(k )=M 1(k )×…×M s (k )=1.于是M i (k )=1(i =1,...,s ).又由M i′M i 及M i 是单群知,M i ′=1.故M i 交换.交换单群是素数阶循环群.故M i 是素数阶循环群.又M i (i =1,...,s )是同构的.故M 是p -群.下面的引理3研究了有限群子群指数互素的情形.引理3设G 是有限群,H ≤G ,K ≤G ,若G ∶H 与G ∶K 互素,则G=HK .证明首先,子集HK 中包含H 的右陪集个数(姑且记作HK ∶H )等于K 中包含H ∩K 的陪集个数K ∶H ∩K .[2]这是因为Hk 1=Hk 2⇔k 1k 2-1∈H ⇔k 1k 2-1∈H ∩K ⇔(H ∩K )k 1=(H ∩K )k 2.于是,G ∶H ≥HK ∶H =K ∶H ∩K .从而,G ∶H ∩K =G ∶K K ∶H ∩K ≤G ∶K G ∶H .又G ∶H 与G ∶K 都是G ∶H ∩K 的因子,且G ∶H 与G ∶K 互素,有G ∶H G ∶K G ∶H ∩K .故G ∶H ∩K =G ∶H G ∶K .而G ∶H ∩K =G ∶K K ∶H ∩K =G ∶K HK ∶H ,于是G ∶H =HK ∶H .故G=HK .引理4若K G ,且K 和G /K 都是可解的,则G 是可解的.[3]证明令ν是G 到G /K 上的自然同态,则ν(G ′)=(ν(G ))′.假设ν(G (i ))=(ν(G ))(i ),则ν(G (i +1))=ν((G (i ))′)=(ν(G (i )))′=((ν(G ))(i ))′=(ν(G ))(i +1).于是ν(G (i ))=(ν(G ))(i ),i ≥1.又ν是满同态,从而ν(G(i ))=(G /K )(i ),i ≥1.因此,由G /K 可解知,存在k ≥1使ν(G (k ))=1.于是G (k )⊆K .由K 可解知,存在l ≥1使K (l )=1.于是G (k+l )⊆K (l )=1,从而G 是可解的.定理1设有限群G 有三个可解子群H 1,H 2,H 3,且指数G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3两两互素,则G 是可解的.证明对G 用归纳法.G =1显然成立.假设对小于G 成立.下证对G 成立.断言H 1≠1,否则(G ∶H 1,G ∶H 2)=(G ,G ∶H 2)=G ∶H 2≠1(假如G ∶H 2=1,则G =H 2可解),与互素矛盾.断言成立.又H 1可解,由引理2,存在p -群M ≠1且M H 1.因为(G ∶H 2,G ∶H 3)=1,所以p 至多整除G ∶H 2,G ∶H 3中的一个.不妨设G ∶H 2.但由于p H 1,于是p G ,又G =H 2G ∶H 2,故p H 2.设P 是H 2的Sylow p -子群.由于G ∶H 2,H 2∶P ,G ∶P =G ∶H 2H 2∶P ,于是G ∶P ,故P 是G 的Sylow p -子群.由Sylow 定理,任二Sylow p -子群共轭,任一p -子群含于一Sylow p -子群.存在g ∈G ,使M ≤P g ≤H 2g.由G ∶H 2g=G ∶H 2知,G ∶H 1与G ∶H 2g互素,由引理3,G=H 1H 2g.∀x ∈G ,x=x 1x 2,x 1∈H 1,x 2∈H 2g.由M H 1,M ≤H 2g 知,M x=Mx x =M x ≤H 2g.令N =〈M x |x ∈G 〉,于是N ≤H 2g,1≠N G .H 2可解,对某正整数k ,H 2(k )=1,由引理1(2),(H 2g )(k )=(H 2(k ))g=1,故H 2g可解.从而N 可解.由引理1(3),(H 2N /N )(k )=H 2(k )N /N=1,故H 2N /N 可解.同理H 1N /N ,H 3N /N 可解.又G /N ∶H 1N /N =G /N ·(H 1∩N N )/(H 1N )G ∶H 1.同理G /N ∶H 2N /NG ∶H 2,G /N ∶H 3N /NG ∶H 3.故G /N ∶H 1N /N ,G /N ∶H 2N /N ,G /N ∶H 3N /N 两两互素,又G /N <G ,由归纳假设,G /N 可解,由引理4,G 可解.以上给出了一种判定有限群可解性的方法,把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.参考文献[1]崔雪晴,何建营.有限特征单群结构[J].科教导刊,2014,11(1):198-199.[2]徐明曜.有限群导引上册[M].2版.北京:科学出版社,1999:6-7.[3]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].San Francisco:W.H.Freeman and Company,1974:239.[责任编辑:汤静]判定有限群可解性的一种方法崔雪晴陈仁霞(中原工学院理学院,河南郑州450000)【摘要】本文研究了换位子群的性质,得出了几个关于换位子群的结论.研究了有限群子群指数互素的情形.在此基础上,给出了一种判定有限群可解性的方法,即,若有限群G 有三个可解子群H 1,H 2,H 3,且指数G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3两两互素,则G 是可解的.【关键词】有限群;可解性;可解子群An Decision Method of the Solvability of Finite GroupsCUI Xue-qing CHEN Ren-xia(College of Science,Zhongyuan University of Technology,Zhengzhou Henan 450000,China)【Abstract 】It studies the properties of commutator groups,and gets some conclusions about commutator groups.It studies the case that the indexes of subgroups of finite groups are relatively prime.On the basis,it gives an decision method of the solvability of finite groups,that is,if a finite group G has three solvable subgroups H 1,H 2,H 3,and the indexes G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3are relatively prime,G is solvable.【Key words 】Finite group;Solvability;Solvable subgroups 作者简介:崔雪晴(1984—),女,硕士研究生,助教,研究方向为代数。
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扬州大学学报 （ 显然 Ｚ 在 Ｇ中不是 正规 和 ｃ正 规 的 ， 而不是 ｕ 一 补充 的［ 实上 ， 。 一 从 可 事 Ｇ是 Ｇ 的唯一 正规子 群使 得 Ｚ Ｇ—Ｇ且 （ ） 一１ 但 是 ｚ ｎＧ—Ｚ ｚ Ｇ） ． ３ Ｇ ， 。 ３ Ｚ（ ］
在 群论研 究 中 ，人们通 常利 用群 的子 群 的性 质 来刻 画 有 限群 的结 构 ．王 燕 鸣教 授 曾引进 ｃ正 一 规 的概念 ： Ｇ是 一个 群 ， 果存 在 Ｇ 的一个 正规 子群 Ｋ 使得 Ｇ—ＨＫ， 如 并且 Ｈ ｎＫ≤ Ｈｃ 其 中 Ｈ。是 ，
包含 在 Ｈ 中 Ｇ 的最大正 规子 群 ， 则称 子群 Ｈ 在 Ｇ 中 ｃ正规 ．最 近 ， 一 杨南 迎 等［ 引入 Ｆ 一 补充 的概 ２ 可 念： 如果存 在 Ｇ的一 个正 规子 群 Ｔ 使 得 Ｇ—ＨＴ，并且 （ Ｎ Ｔ） ／ Ｈ Ｈ Ｈ 包 含 在 Ｇ／ Ｈｃ的 Ｆ 超 中心 － Ｚ Ｇ Ｈ 中 ， （ ／ ） 则称 子群 Ｈ 在 Ｇ 中 Ｆ 一 可补 充．显然 ，一 Ｃ 正规 子群都 是 Ｆ 一 可补 充子群 ． 用上述 这些 利 子群 ， 们 获得 了一 系列重 要结果 ．ｌ 本文 中 ， 们给 出下 面新 的概念 ． 人 【 刮 我 定义 １ 设 Ｆ是一 个群类 ， Ｇ是 一个 有限群 ．如果 存在 Ｇ的一 个正规 子 群 Ｔ 使得 ＨＴ是 Ｇ 的正 规子 群 ，并且 （ ｎ丁 Ｈ Ｈ。包含 在 Ｇ／ Ｈ ） ／ Ｈ。的 超 中心 Ｚ Ｇ Ｈ 中 ， 称 子 群 Ｈ 在 Ｇ 中 Ｆ 一 三（ ／ ） 则 正
Ｆ一 正规 的．例如 ， 子群 Ｈ 在 Ｇ 中 ｃ 正规 ， 存在 正 规 子 群 Ｋ 使得 Ｇ＝ＨＫ 且 （ ｎ Ｔ） ／ 一 若 一 则 Ｈ Ｈ Ｈｃ
１ Ｚ Ｇ Ｈ ．然 而 ， 面 的例 子说 明反 之不 成立． ≤ 曼（ ／ ） 下
例
设 Ｓ 一［ ３Ｚ 是 三次对 称 群 ， 中 Ｚ 的 阶为 Ｐ（ ≠２ ３ ．设 Ｇ—Ｚ 。 ［ Ｓ 是 一 个 圈 。 Ｚ］ ２ 其 ｐ ，） Ｓ 一 Ｋ］ ｓ
积， 则 Ｋ 是 Ｇ 的正规 子群 ， Ｚ － １ 因此 对于任 意 非空饱 和群 系 Ｆ， 在 Ｇ 中 Ｆ 一 且 ３ Ｋ－ ， Ｎ 正规 ； 但
收 稿 日期 ： ０ ０一 １ ９ ２ １ Ｏ —２
基 金 项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 资 助项 目（０ ７ １０ １７ １８ ）
有 限 群 的 超 可 解 和 可 解 性
余 小 龙 ，黄 建 红
（ 州 师范 大学 数 学 科 学 学 院 ， 苏 徐 州 ２ １ １ ） 徐 江 ２ １ ６
摘 要 ： Ｇ 是 一 个 有 限 群 ， 设 Ｆ是 一 个 群 类 ．如果 存 在 Ｇ 的 一个 正 规 子 群 Ｔ 使 得 ＨＴ 是 Ｇ 的 正 规 子 群 ， 并 且 （ ｎ Ｔ） ／ Ｈ ＨＧ ＨＧ包 含 在 Ｇ／ ＨＧ的 Ｆ 超 中心 ｚ （ ／ ） ， 称 Ｇ 的 子 群 Ｈ 在 Ｇ 中 Ｆ 一 规 ．利 用 ＿ Ｇ Ｈ。 中 则 正
规．
本文 中所有 群均 指有 限群 ， 交待 的概念 和符 号参 见 文献 ［ — ］ 未 ７８ ．
１ 一 些 基 本 性质
设 Ｆ是 一个 群类 ， 如果 Ｅ Ｋ］Ｇ／ 。 Ｈ／ ］ Ｈ／ Ｅ Ｃ （ Ｋ） ∈Ｆ， 称 群 Ｇ 的主 因子 Ｈ／ 是 Ｆ 中心 的．群 Ｇ 则 Ｋ ＿
的所有 那些 Ｇ一 因子 是 中 心 的 正 规 子 群 的 乘 积 称 为 Ｇ 的 Ｆ 超 中 心 ， Ｚ Ｇ） 示．如 果 Ｈ≤ 主 ＿ 用 （ 表 Ｚ 。Ｇ） 则 称子 群 Ｈ 是 Ｆ 中心 的． Ｆ（ ， 。 ＿ 如果群 类 Ｆ是 同态 像 闭和次 直积 闭 的 ， 则称 Ｆ是 群 系． 如果 由 Ｇ Ｏ（ ∈Ｆ有 Ｇ∈Ｆ， 称 群 系 ／ Ｇ） 则 Ｆ是 饱和 的． 相应 地 ， 分别 用 Ｎ， Ｓ表示所 有 幂零 群 的群 系 、 Ｕ， 超可 解群 的群 系 以及可解 群 的群 系． 显 然 ， 于任 意一 个非 空饱 和群 系 Ｆ， 的所 有 正 规 子 群 、一 规 子 群 以及 Ｆ 一 补 充 子 群 都是 对 Ｇ ｃ正 可
Ｆ 一 规 子 群 的性 质 给 出超 可 解 群 和 可 解 群 的一 些 新 的判 别 准 则 ， 对 以 前 的结 果 进 行 推 广 ． 要 定 理 有 ： 正 并 主 ① 设 Ｇ 是 一个 可解 群 ， Ｇ超 可解 当且 仅 当 Ｇ 的 每 个 次 正 规 子 群 在 Ｇ 中 一 规 ．② 设 Ｇ 是 一 个 有 限 群 ， 正 Ｎ 是 Ｇ 的一 个 非 平 凡 正规 子群 ， Ⅳ 可 解 当且 仅 当 Ｇ 的每 个 不 包 含 Ｎ 的极 大 子 群 在 Ｇ 中 ｓ 一 规．③ 群 则 正 Ｇ是 可解 的 当且 仅 当 下列 两 个 条 件之 一满 足 ：（）存 在 Ｇ 的 Ｓ ｌｗ ２ 子群 Ｐ 使 得 Ｐ 的 每 个 极 大 子 群 在 Ｇ ａ ｙ 一 ｏ
中 Ｓ一 正规 ；（ ） Ｇ的 某 个 Ｓ ｌ ２ 子 群 ，Ｐ在 Ｇ 中 Ｓ 一 规 ． ｂ对 ｙｏ 一 ｗ 正 关 键 词 ：有 限 群 ； 一 规 子 群 ； 可解 群 ；可 解 群 正 超 中 图分 类 号 ：０ １ ２ １ ５ ． 文献 标 志码 ：Ａ 文 章 编 号 ： ０ ７ ８ ４ ２ １ ） ４— ０ ５ Ｏ １ ０ — ２ Ｘ（ ０ ０ ０ ０ ０ ～ ４
第 １ ３卷 第 ４期
２１ ０ ０年 １ １月
扬州大学学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｒ ｌｏ ｎ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅＥｄ ｔ ｎ） ｏ ｎａ ｆＹａ ｇ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉ ｏ
Ｖｏ． ｏ ４ １ １３ Ｎ ． Ｎ ＯＶ Ｏ１ ．２ Ｏ