3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大小值与导数课件新人教A版选修1108031113
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人教版高中数学选修1-1-3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3ppt课件
所以函数g12 (x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b.
(2)若 1 <a< e ,则1<2a<e, 22
于是当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex-2a<0, 当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex-2a>0,
所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]
当0<x<2时,f′(x)<0,当2<x<3时
f′(x)>0,故当x=2时,函数取极小值,也是最小值,
f(x)min=f(2)= -8+4=- .
8
4
3
3
3.函数f(x)=x-lnx的最小值为
.
【解析】f′(x)=1- 1 ,当x 01<x<1时,f′(x)<0,当x>1 时,f′(x)>0,故当x=1时x ,函x数取极小值,也是最小值,故
所以函数g1 (x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1,不符合题意; 2
(2)若 1 <a< e ,则1<2a<e, 22
于是当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex-2a<0,
当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex-2a>0,
所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调
所以a=1.
3
3
(2)由(1)知:f(x)=-x3+x2+1,f′(x)=-3x2+2x,
令f′(x)=0⇒x1=0,x2= .
因为f(0)=1,f = ,f(22 )=-3, 3
(2)若 1 <a< e ,则1<2a<e, 22
于是当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex-2a<0, 当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex-2a>0,
所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]
当0<x<2时,f′(x)<0,当2<x<3时
f′(x)>0,故当x=2时,函数取极小值,也是最小值,
f(x)min=f(2)= -8+4=- .
8
4
3
3
3.函数f(x)=x-lnx的最小值为
.
【解析】f′(x)=1- 1 ,当x 01<x<1时,f′(x)<0,当x>1 时,f′(x)>0,故当x=1时x ,函x数取极小值,也是最小值,故
所以函数g1 (x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1,不符合题意; 2
(2)若 1 <a< e ,则1<2a<e, 22
于是当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex-2a<0,
当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex-2a>0,
所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调
所以a=1.
3
3
(2)由(1)知:f(x)=-x3+x2+1,f′(x)=-3x2+2x,
令f′(x)=0⇒x1=0,x2= .
因为f(0)=1,f = ,f(22 )=-3, 3
高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大(小)值与导数a11a高二11数学
12/12/2021
第二十七页，共三十五页。
从而 f′(x)＝48x3ln x(x>0)． 令 f′(x)＝0，解得 x＝1.(6 分) 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数．(7 分) 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝3－c， 并且此极小值也是最小值．(8 分) 第二步：求函数的最值
第十七页，共三十五页。
题型三 与函数最值有关的不等式恒成立问题
例3 已知函数f(x)＝ekx－2x(k为非零常数)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的最小值； (2)若f(x)≥1恒成立，求k的值． 【解析】 (1)因为f(x)＝ex－2x，所以f′(x)＝ex－2，令f′(x) ＝0，得x＝ln 2， 所以当x<ln 2时，f′(x)<0，可得f(x)在(－∞，ln 2)上单调 (dāndiào)递减，当x>ln 2时，f′(x)>0，可得f(x)在(ln 2，＋∞)上 单调递增，所以f(x)的最小值为f(ln 2)＝2－2ln 2.
所以2k－2kln 2k≥1，
构造函数 g(x)＝x－xln x(x>0)，则有 g2k≥1.
因为 g′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，
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所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调 递减，所以 g(x)≤g(1)＝1，当且仅当 x＝1 时取得最大 值，
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像(tú xiànɡ)是一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 则 该 函 数 在 [a ， b] 上最大一值定 有 _最_小__值___ 和 _______ ， 函 数极的值(j最ízhí)值点 必区间在端__点____ 或 __________处取得．
第二十七页，共三十五页。
从而 f′(x)＝48x3ln x(x>0)． 令 f′(x)＝0，解得 x＝1.(6 分) 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数．(7 分) 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝3－c， 并且此极小值也是最小值．(8 分) 第二步：求函数的最值
第十七页，共三十五页。
题型三 与函数最值有关的不等式恒成立问题
例3 已知函数f(x)＝ekx－2x(k为非零常数)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的最小值； (2)若f(x)≥1恒成立，求k的值． 【解析】 (1)因为f(x)＝ex－2x，所以f′(x)＝ex－2，令f′(x) ＝0，得x＝ln 2， 所以当x<ln 2时，f′(x)<0，可得f(x)在(－∞，ln 2)上单调 (dāndiào)递减，当x>ln 2时，f′(x)>0，可得f(x)在(ln 2，＋∞)上 单调递增，所以f(x)的最小值为f(ln 2)＝2－2ln 2.
所以2k－2kln 2k≥1，
构造函数 g(x)＝x－xln x(x>0)，则有 g2k≥1.
因为 g′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，
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所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调 递减，所以 g(x)≤g(1)＝1，当且仅当 x＝1 时取得最大 值，
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像(tú xiànɡ)是一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 则 该 函 数 在 [a ， b] 上最大一值定 有 _最_小__值___ 和 _______ ， 函 数极的值(j最ízhí)值点 必区间在端__点____ 或 __________处取得．
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应
(2)当不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可解时, ①确定函数y=f(x)的定义域; ②求导数y′=f′(x); ③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (3)当不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)及方程f′(x)=0均不可解时, ①确定函数y=f(x)的定义域; ②求导数并化简,根据f′(x)的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其 图象与性质确定f′(x)的符号; ③得单调区间.
即
1 3a 3b 11, 3 6a 3b 12,
解得 a=1,b=-3.
(2)讨论函数f(x)的单调性.
解:(2)由(1)得 f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3). 令f′(x)>0,解得x<-1或x>3; 又令f′(x)<0,解得-1<x<3. 故当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数; 当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数; 当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.
梳理 一般地,函数的单调性与其导函数正负有如下关系: 若函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,则 (1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内 单调递增 ; (2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内 单调递减 ; (3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是 常数函数 .
知识点二 函数的变化快慢与导数值的关系
3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数
课标要求
素养达成
1.理解在某区间上函数的单调性与 导数的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的 方法. 3.能够利用导数求函数的单调区间. 4.能够根据函数的单调性求参数.
高中数学 3.3 第3课时 函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修11
(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不 能保证有最大值或最小值．如 f(x)＝1x，x∈(0,1)，f(x)在区间(0,1) 连续，但没有最大值和最小值(如图)．
第二十页，共42页。
(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断 点 ， 也 不 能 保 证 f(x) 有 最 大 值 和 最 小 值 ， 如 函 数 f(x) ＝
成才之路 ·数学 (shùxué)
人教A版 ·选修(xuǎnxiū)1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一页，共42页。
圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)与方程
第三章
第二页，共42页。
3.3 导数(dǎo shù)在研究函数中的 应用
第3课时 函数的最大(小)值与导数 (dǎo shù)
第十八页，共42页。
[方法规律总结] 1.求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小) 值步骤如下：
(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值(jízhí)点； (2)计算函数f(x)在极值(jízhí)点和端点的函数值，其中最大 的一个为最大值，最小的一个为最小值．
第十九页，共42页。
2．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)必有最 值．”
[解析] f ′(x)＝3x2－4x.
令 f ′(x)＝0，有 3x2－4x＝0.解得 x＝0，43.
当 x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1 (－1,0) 0 (0，43)
4 3
(43，2) 2
f ′(x)
＋ 0－
0
＋
f(x) －2
1
－257
1
故 f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
第二十页，共42页。
(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断 点 ， 也 不 能 保 证 f(x) 有 最 大 值 和 最 小 值 ， 如 函 数 f(x) ＝
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)与方程
第三章
第二页，共42页。
3.3 导数(dǎo shù)在研究函数中的 应用
第3课时 函数的最大(小)值与导数 (dǎo shù)
第十八页，共42页。
[方法规律总结] 1.求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小) 值步骤如下：
(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值(jízhí)点； (2)计算函数f(x)在极值(jízhí)点和端点的函数值，其中最大 的一个为最大值，最小的一个为最小值．
第十九页，共42页。
2．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)必有最 值．”
[解析] f ′(x)＝3x2－4x.
令 f ′(x)＝0，有 3x2－4x＝0.解得 x＝0，43.
当 x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1 (－1,0) 0 (0，43)
4 3
(43，2) 2
f ′(x)
＋ 0－
0
＋
f(x) －2
1
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1
故 f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大小值与导数课件新人教A版选修1_1
当 0<x<1 时,f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-1 , 2
则 x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故 f(x0)>ax0+1.
当 a≤0 时,取 x0= 5 1 ,则 x0∈(0,1), 2
x
由 f′(x)>0 得 0<x< 2 或 x>2. 5
故函数 f(x)的单调递增区间为(0, 2 )和(2,+∞). 5
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
解:(2)f′(x)= (10x a)(2x a) ,a<0,由 f′(x)=0 得 x=- a 或 x=- a .
43
7
7
因此△AMN 的面积 S△AMN=2× 1 × 12 × 12 = 144 . 2 7 7 49
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
解:(2)由题意 t>3,k>0,A(- t ,0).将直线 AM 的方程 y=k(x+ t )代入 x2 + y 2 =1 得 t3
(3+tk2)x2+2 t ·tk2x+t2k2-3t=0.
≤0 有解,则实数 a 的取值范围是( ) (A)a>1 (B)a<3 (C)a≤1 (D)a≥3
错解:选A. 纠错:f(x0)≤0有解等价于a小于等于h(x)=x-xln x的最大值,而不是a大于等于 h(x)=x-xln x的最大值.
正解:函数 f(x)的定义域是(0,+∞),不等式 a -1+ln x≤0 有解,即 a≤x-xln x 在(0,+ x
则 x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故 f(x0)>ax0+1.
当 a≤0 时,取 x0= 5 1 ,则 x0∈(0,1), 2
x
由 f′(x)>0 得 0<x< 2 或 x>2. 5
故函数 f(x)的单调递增区间为(0, 2 )和(2,+∞). 5
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
解:(2)f′(x)= (10x a)(2x a) ,a<0,由 f′(x)=0 得 x=- a 或 x=- a .
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因此△AMN 的面积 S△AMN=2× 1 × 12 × 12 = 144 . 2 7 7 49
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
解:(2)由题意 t>3,k>0,A(- t ,0).将直线 AM 的方程 y=k(x+ t )代入 x2 + y 2 =1 得 t3
(3+tk2)x2+2 t ·tk2x+t2k2-3t=0.
≤0 有解,则实数 a 的取值范围是( ) (A)a>1 (B)a<3 (C)a≤1 (D)a≥3
错解:选A. 纠错:f(x0)≤0有解等价于a小于等于h(x)=x-xln x的最大值,而不是a大于等于 h(x)=x-xln x的最大值.
正解:函数 f(x)的定义域是(0,+∞),不等式 a -1+ln x≤0 有解,即 a≤x-xln x 在(0,+ x
高中数学第3章3.3.3函数的最大小值与导数课件新人教A选修11.ppt
即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2.
互动探究1 若把本例(1)中条件改为[－2，＋∞), 求函数的最值． 解：f′(x)＝12x2＋6x－36， 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝32.列表
x －2 (－2，32)
3 2
(32，＋∞)
f′(x) 0
－
0
＋
f(x) 57
－1145
由于当 x>32时，f′(x)>0，
不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常 见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用 的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值 问题，在求函数最值时，可以借助导数求解．
例3 已知 f(x)＝x3－12x2－2x＋5，当 x∈[－1,2] 时，f(x)<m 恒成立，求实数 m 的取值范围． 【思路点拨】 把m>f(x)恒成立，转化为求f(x)在 [－1,2]上的最大值，只要m大于此最大值即可. 【解】 ∵f(x)＝x3－12x2－2x＋5， ∴f′(x)＝3x2－x－2.
又 f(－2)＝57，f32＝－1145，f(2)＝－23，
所以函数 f(x)的最大值为 57，最小值为－1145. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2 ＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于 0， ∴f(x)在[－1,1]上为增函数． 故 x＝－1 时，f(x)最小值＝－12； x＝1 时，f(x)最大值＝2.
考点一
课堂互动讲练
考点突破 求ห้องสมุดไป่ตู้知函数的最值
求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步 骤如下：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一 个是最小值．
互动探究1 若把本例(1)中条件改为[－2，＋∞), 求函数的最值． 解：f′(x)＝12x2＋6x－36， 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝32.列表
x －2 (－2，32)
3 2
(32，＋∞)
f′(x) 0
－
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＋
f(x) 57
－1145
由于当 x>32时，f′(x)>0，
不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常 见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用 的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值 问题，在求函数最值时，可以借助导数求解．
例3 已知 f(x)＝x3－12x2－2x＋5，当 x∈[－1,2] 时，f(x)<m 恒成立，求实数 m 的取值范围． 【思路点拨】 把m>f(x)恒成立，转化为求f(x)在 [－1,2]上的最大值，只要m大于此最大值即可. 【解】 ∵f(x)＝x3－12x2－2x＋5， ∴f′(x)＝3x2－x－2.
又 f(－2)＝57，f32＝－1145，f(2)＝－23，
所以函数 f(x)的最大值为 57，最小值为－1145. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2 ＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于 0， ∴f(x)在[－1,1]上为增函数． 故 x＝－1 时，f(x)最小值＝－12； x＝1 时，f(x)最大值＝2.
考点一
课堂互动讲练
考点突破 求ห้องสมุดไป่ตู้知函数的最值
求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步 骤如下：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一 个是最小值．
高中数学人教A版选修1-1课件3-3-3函数的最大(小)值与导数3
三.综合应用问题
例题3 函数f(x)＝ax3－6ax2＋3bx＋b，其图 象在x＝2处的切线方程为3x＋y－11＝0. (2)(若1)函求数函y＝数f(xf)(x的)的图象解与析y式＝13；f ′(x)＋5x＋m 的图象有
三个不同的交点，求实数 m 的取值范围．
[解析] (1)由题意得 f ′(x)＝3ax2－12ax＋3b，f ′(2)＝－ 3 且 f(2)＝5，
数，进而使问题得以解决．
跟踪训练
若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是3， 最小值是－29，求a、b的值． [解析] f ′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令f ′(x)＝0，得x＝0，x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知a≠0.
(1)若 a>0，则 f ′(x)，f(x)随 x 变化的情况如下表：
规范答题
已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c －16. (1)求a、b的值； (2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小 值．
[解题思路探究] 第一步，审题．审结论，确 定解题目标，求a、b的值需建立a、b的方程组
审条件，挖掘解题信息，“f(x)在x＝2处取得极值c－16”，应从 以下三方面把握： (一)f(2)＝c－16，(二)f ′(2)＝0，(三)c－16可能是极大值，也可 能是极小值，需依据解题过程和条件判断． 第二步，建联系，确定解题步骤． 先求f ′(x)，利用极值条件建立a、b的方程组，解方程组求a、b； 从而得到f(x)解析式；再解不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)确定f(x)的单 调性；最后由极大值求c，再求f(x)在[－3,3]上的最小值． 第三步，规范解答．
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应
解析：y′＝9x2－9.令 y′＝0，得 x＝±1.
当 x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
y′
＋
0
(－1,1) －
1
(1，＋∞)
0
＋
y
极小值
极小值
从上表可以看出，当 x＝－1 时，函数 y 有极大值 3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11. 答案：11
探究一 函数极值的求法 [典例 1] 求下列函数的极值： (1)f(x)＝12x＋cos x(－π＜x＜π)； (2)f(x)＝2x＋8x. [解析] (1)函数 f(x)的定义域为(－π，π)， f′(x)＝12－sin x. 令 f′(x)＝12－sin x＝0，得 x1＝π6，x2＝56π.
1．下列四个函数中，能在 x＝0 处取得极值的是( ) ①y＝x3 ②y＝x2＋1 ③y＝cos x－1 ④y＝2x
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
解析：①④为单调函数，不存在极值． Nhomakorabea答案：B
2．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
探究二 已知极值求参数值或范围 [典例 2] 已知函数 f(x)＝1＋xln x，若函数在区间a，a＋12(其中 a>0)上存在极值， 求实数 a 的取值范围．
[解析] 因为 f(x)＝1＋xln x，x>0，则 f ′(x)＝－lnx2x，
当 0<x<1 时，f ′(x)>0，当 x>1 时，f ′(x)<0.
高中数学 3.3.3 函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修11
x2
3
f
(x)
1 x
1 x2
(x
1)
2(x
1)2
x 1 x2
(x
1)
2( x
1)2
(x
1)[
1 x2
1
2(x
1)]
第二十三页，共25页。
(x
1)[1
x
x
2
2
2( x
1)]
(
x
1)2
(2
1 x x2
)
(
x
1)3
1x22来自x令 f (x) =0,解得x=1,
在x=1附近 f (x) 由负到正
当x=1时，f(x)有极小值，这里(zhèlǐ)也是最小 值所以(suǒyǐ)当x>0时，f(x) ≥f(1)=0
第二十五页，共25页。
(极大值与极小值);
②将函数y=f(x)的各极值(jízhí)与f(a)、f(b) （即端点的函数值）作比较,其中最大的 一个为最大值,最小的一个为最小值.
第十三页，共25页。
练习(liànxí)1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间 [-2,2]上的最大值与最小值。
解： f (x) =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6) 令 f (x) =0,解得x1=-2 , x2=1.5
∴f(2)>f(-2) 于是(yúshì)有22+a=20,解得a=-2 ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2 ∴在(-1,3)上 f (x) >0,
∴f(x)在[-1,2]上单调(dāndiào)递增
第十八页，共25页。
又由于(yóuyú)f(x)在[-2,-1]上单调递减， ∴ f(2)和f(-1)分别(fēnbié)是f(x)在区间[-2,2]上的
高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大小值与导数课件新人教A版选修11
)
A．π－1
B.π2－1
C．π
D．π＋1
第十一页，共35页。
【解析】 y′＝1－cos x＞0， ∴y＝x－sin x 在 x∈π2，π上单调递增， ∴ymax＝π－sin π＝π. 【答案】 C
第十二页，共35页。
(2)求下列各函数的最值．
①f(x)＝－x3＋3x，x∈[－ 3，3]；
②f(x)＝x2－5x4(x＜0).
令 f′(x)＝0，得 x＝－3.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
f′(x)
－
0
f(x)
极小值
所以 x＝－3 时，f(x)取得极小值，也就是最小值， 故 f(x)的最小值为 f(－3)＝27，无最大值．
(－3,0) ＋
第十五页，共35页。
含参数的函数的最值问题
第八页，共35页。
(2)∵f(x)＝3ex－exx2， ∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx) ＝－ex(x2＋2x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)． ∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0， 即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减， ∴x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2； x＝5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5.
第四页，共35页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( ) (3)函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( ) (4)函数 f(x)＝1x在区间[－1,1]上有最值．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
高中数学 3.3.3 函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修11
三、函数最值的应用
活动与探究 3 设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的 切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2.
思路分析:(1)利用 f(1)=0 和 f'(1)=2 建立方程组求 a,b;(2)构造 函数 g(x)=f(x)-2x+2,求 g(x)的最大值小于等于零.
解:(1)f'(x)=(x-k+1)ex. 令 f'(x)=0,得 x=k-1. f(x)与 f'(x)的情况如下: x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞) f'(x) 0 + f(x) 单调递减↘ 极小值-ek-1 单调递增↗ 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是 (k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, 由(1)知 f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek-1; 当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.
预习导引
1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值 如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值和最小值,并且函数的 最值必在极值或端点值取得.
预习交流 1
怎样理解函数的最值? 提示:(1)函数的极值是函数在某一点附近的情况,是局部函 数值的比较;函数的最值是表示函数在定义域上的情况,是对函 数在整个定义域上函数值的比较.另外极值不一定是最值,需要 将极值和区间端点的函数值进行比较,或者考查函数在区间上的 单调性再下结论. (2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而 函数的极值可能不止一个,也可能一个也没有,函数的最大值一 定不小于它的最小值.
人教A版选修1-1第三章3.3.3函数的最大(小)值与导数复习课件
∴a≤－x，∴a≤－1. 答案：(－∞，－1]
知识点三 与函数最值有关的综合问题
5.(2019·福建罗源月考)若函数 f(x)＝xln 数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，1)
B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.(－∞，0)
解析：若 f(x)＝xln x＋1 的图象总在直线 y＝ax 的上方，
又 f(0)＝1，所以此时 f(x)在(0，＋∞)内无零点，不符合题意.当
a>0 时，由 f′(x)>0 得 x>a3；由 f′(x)<0 得 0<x<a3，则 f(x)在0，a3
上单调递减，在a3，＋∞上单调递增，又 f(x)在(0，＋∞)内有且 只有一个零点，所以 fa3＝－2a73＋1＝0，得 a＝3，所以 f(x)＝2x3 －3x2＋1，则 f′(x)＝6x(x－1)，当 x∈(－1,0)时，f′(x)>0，f(x) 单调递增，当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则 f(x)max＝ f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，则 f(x)min＝－4，所以 f(x)在[－ 1,1]上的最大值与最小值的和为－3.
∴当 x＝0 时，f(x)有最大值，∴f(0)＝m＝2，故选 C.
答案：C
4.函数 f(x)＝x2＋2ax＋1 在[0,1]上的最小值为 f(1)，则 a 的
取值范围是
.
解析：f′(x)＝2x＋2a，f(x)在[0,1]上的最小值为 f(1)，说明 f(x)在[0,1]上单调递减，∴x∈(0,1)时，f′(x)≤0 恒成立，即 2x ＋2a≤0，
2.(2018·江苏卷)若函数 f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)
知识点三 与函数最值有关的综合问题
5.(2019·福建罗源月考)若函数 f(x)＝xln 数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，1)
B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.(－∞，0)
解析：若 f(x)＝xln x＋1 的图象总在直线 y＝ax 的上方，
又 f(0)＝1，所以此时 f(x)在(0，＋∞)内无零点，不符合题意.当
a>0 时，由 f′(x)>0 得 x>a3；由 f′(x)<0 得 0<x<a3，则 f(x)在0，a3
上单调递减，在a3，＋∞上单调递增，又 f(x)在(0，＋∞)内有且 只有一个零点，所以 fa3＝－2a73＋1＝0，得 a＝3，所以 f(x)＝2x3 －3x2＋1，则 f′(x)＝6x(x－1)，当 x∈(－1,0)时，f′(x)>0，f(x) 单调递增，当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则 f(x)max＝ f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，则 f(x)min＝－4，所以 f(x)在[－ 1,1]上的最大值与最小值的和为－3.
∴当 x＝0 时，f(x)有最大值，∴f(0)＝m＝2，故选 C.
答案：C
4.函数 f(x)＝x2＋2ax＋1 在[0,1]上的最小值为 f(1)，则 a 的
取值范围是
.
解析：f′(x)＝2x＋2a，f(x)在[0,1]上的最小值为 f(1)，说明 f(x)在[0,1]上单调递减，∴x∈(0,1)时，f′(x)≤0 恒成立，即 2x ＋2a≤0，
2.(2018·江苏卷)若函数 f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大小值与导数课件新人教A版选
nxí
ng)讨论,确定函数的极
值以及最大(小)值在哪一点处取得.而且当x0为闭区间上的唯一极值点时,则
由极大(小)值点可进一步断定x0为该区间上函数的最大(小)值点.
第十九页，共26页。
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们(tā men)的交点(1,c)处具有公共切
小值的充分条件而非必要条件.
第十页，共26页。
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能
不止一个,也可能没有.
(5)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有
最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值.
2.求最值的方法
2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”
的情况,以此(yǐ cǐ)来确定参数的范围能否取得“=”.
第二十四页，共26页。
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 已知函数(hánshù)f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函数(hánshù)f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值;
也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立,
只需g(t)max=1-m<0,即m>1.
故实数m的取值范围是(1,+∞).
反思 1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,一般地,可采
用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.
ng)讨论,确定函数的极
值以及最大(小)值在哪一点处取得.而且当x0为闭区间上的唯一极值点时,则
由极大(小)值点可进一步断定x0为该区间上函数的最大(小)值点.
第十九页，共26页。
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们(tā men)的交点(1,c)处具有公共切
小值的充分条件而非必要条件.
第十页，共26页。
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能
不止一个,也可能没有.
(5)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有
最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值.
2.求最值的方法
2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”
的情况,以此(yǐ cǐ)来确定参数的范围能否取得“=”.
第二十四页，共26页。
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 已知函数(hánshù)f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函数(hánshù)f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值;
也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立,
只需g(t)max=1-m<0,即m>1.
故实数m的取值范围是(1,+∞).
反思 1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,一般地,可采
用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.
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x 4．函数 y＝ex在[0,2]上的最大值为________． ex· x′－ex′x 1－x 解析：y′＝ ＝ ex ， x 2 e
令 y′＝0，得 x＝1∈[0,2]． 1 2 f(1)＝ e，f(0)＝0，f(2)＝e2， 1 ∴f(x)max＝f(1)＝ e. 1 答案： e
探究一 [典例 1] A．1－e C．－e
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理] 一、函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上，函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b] 上一定有最大值 和最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 二、求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值 ； (2)将函数 y＝f(x)的各极值 与 端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值．
第三步：列出关于 x，f(x)，f
第四步：求极值、端点值，确定最值．
1．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点 x＝1 处的切线为 l：3x－y＋1 2 ＝0，若 x＝3时，y＝f(x)有极值． (1)求 a，b，c 的值； (2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
求函数的最值 )
(1)函数 f(x)＝ln x－x 在区间(0，e]上的最大值为( B．－1 D． 0
(2)求 f(x)＝x3－3x2－9x＋5 在[－4,4]上的最大值和最小值． 1－x 1 [解析] (1)∵f ′(x)＝x－1＝ x .
由f
′(x)＝0，∴x＝1.
故 f(x)在(0,1)上单调递增， (1，e]上单调递减． ∴x＝1 是 f(x)的极大值点，且 f(x)极大值＝－1. 又 f(e)＝1－e<－1， ∴f(x)大＝－1，选 B. (2)f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令 f ′(x)＝0 得 x1＝－1，x2＝3，所以
f(x)在 x＝－1 处有极大值 f(－1)＝10， f(x)在 x＝3 处有极小值 f(3)＝－22，在区间端点处 f(－4)＝－71，f(4)＝－15， 比较上述结果得，f(x)在[－4,4]上的最大值为 f(－1)＝10，最小值为 f(－4)＝－71.
[答案]
(1)B
求函数最值的方法 第一步：求函数的定义域． 第二步：求 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝0. ′(x)的变化表．
[解析]
(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
aln x 由于 f(x)＝ x ， 1－ln x 由 f′(x)＝a· x2 >0，a>0，
得 0<x<e， 解不等式 f′(x)<0 得 x>e. 故 f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减． e (2)当 0<2a≤e，即 0<a≤2时， 由(1)知 f(x)在(0，e)上单调递增． 因此 f(x)在[a,2a]上单调递增， ln 2a 故 f(x)的最小值为 f(a)＝ln a，最大值为 f(2a)＝ 2 .
2 3 0 95 27
2 ，1 3
1 ＋ 4
－
＋
95 所以 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为 13，最小值为27.
探究二 [典例 2]
含参数的最值问题
aln x 已知 0<a≤2，函数 f(x)＝ x .
(1)讨论 f(x)的单调性； (2)求 f(x)在[a,2a]上的最值．
3.3.3
函数的最大(小)值与导数
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.能够区分极值与最值两个不同的概 重点：利用导数求给定区间上函数的最大值 念． 与最小值． 2.会求闭区间上函数的最大值、 最小值 难点：常与函数的单调性、参数的讨论等知 (其中多项式函数一般不超过三次). 识结合命题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究
(2)由(1)，可得 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f 2 得 x1＝－2，x2＝3. 当 x 变化时，f x f ′(x) f(x)
′(x)＝3x2＋4x－4.令 f
′(x)＝0，解之，
′(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示： －3 ＋ 8 (－3，－2) ＋ －2 0 13
2 －2， 3
解析：(1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f 斜率为 3，可得 2a＋b＝0，① 2 当 x＝3时，y＝f(x)有极值，则 f
′(x)＝3x2＋2ax＋b.当 x＝1 时，切线 l 的
2 ′3＝0，可得
4a＋3b＋4＝0，②
由①②，解得 a＝2，b＝－4，由于切点的横坐标为 1， 所以 f(1)＝4. 所以 1＋a＋b＋c＝4.所以 c＝5.
答案：A
2．函数 y＝x－sin A． π － 1 C． π
π 解析：在2，π上
ห้องสมุดไป่ตู้
π x，x∈2，π的最大值是(
)
π B.2－1 D． π ＋ 1
y′＝1－cos x≥0，所以 y＝x－sin x 为增函数，∴当 x＝π 时，ymax
＝π.
答案：C
15 3．已知函数 y＝－x －2x＋3 在区间[a,2]上的最大值为 4 ，则 a＝________.
2
解析：y′＝－2x－2，令 y′＝0，得 x＝－1， ∴函数在(－∞，－1)上单调递增， 在(－1，＋∞)上单调递减．
若 a>－1， 15 则最大为 f(a)＝－a －2a＋3＝ 4 ，
2
1 3 解之得 a＝－2(a＝－2舍去)． 若 a≤－1， 15 则最大为 f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠ 4 . 1 答案：－2
[双基自测] 1．函数 y＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
2 A.9 3
2 B.9 2
4 C.9 2
3 D.8
3 3 3 解析：y′＝1－3x2＝0，∴x＝± 3 .当 0<x< 3 时，y′>0；当 3 <x<1 时，y′<0.所以 3 当 x＝ 3 时，y 2 ymax＝9 3. 2 3 ＝ 3 ；当 x ＝ 0 时， y ＝ 0 ；当 x ＝ 1 时， y ＝ 0. 所以当 x ＝ 极大值 9 3 时，