高中数学必修四1.1.1任意角学案新人教A版必修4

S.( 用符号：∈或 ?填空 ) ．
问题 2 集合 S＝ { α| α ＝ k·360°－ 30°， k∈Z} 表示与角
终边相同的角，其中最小的
正角是 .
问 题 3 已 知 集 合 S ＝ { α | α ＝ 45° ＋ k·180° ， k∈Z} ， 则 角 α 的 终 边 落 在
上．
探究点三 象限角与终边落在坐标轴上的角
问题 1 终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在
x 轴、 y 轴各半轴上的角，请完成
下表 .
终边所在的位置
角的集合
x 轴正半轴
x 轴负半轴
y 轴正半轴
y 轴负半轴
问题 2 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整
.
α 终边所在的象限 角 α 的集合
第一象限 第二象限 第三象限
第四象限
问题 3 写出终边落在 x 轴上的角的集合 S. 答 S＝ { α | α ＝k·360°， k∈Z} ∪｛ α | α ＝k·360°＋ 180°， k∈Z} ＝ { α | α＝2k·180°， k∈Z} ∪｛ α | α ＝ (2k ＋1) ·180°， k∈Z} ＝ { α | α＝n·180°， n∈Z} ． 问题 4 写出终边落在 y 轴上的角的集合 T. 答 T＝ { β | β ＝90°＋ 2k·180°， k∈Z} ∪｛ β | β ＝90°＋ 180°＋ 2k·180°， k∈Z} ＝ { β | β ＝90°＋ 2k·180°， k∈Z} ∪｛ β| β ＝90°＋ (2k ＋1) ·180°， k∈Z} ＝ { β | β ＝90° ＋n·180°， n∈Z} ． 【典型例题】 例 1 在 0°～ 360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1) －150°； (2)650 °； (3) －950°15′． 解 (1) 因为－ 150°＝－ 360°＋ 210°，所以在 0°～ 360°范围内，与－ 150°角终边相同的 角是 210°角，它是第三象限角． (2) 因为 650°＝ 360°＋ 290°，所以在 0°～ 360°范围内， 与 650°角终边相同的角是 290° 角，它是第四象限角． (3) 因为－ 950°15′＝－ 3×360°＋ 129°45′， 所以在 0°～ 360°范围内， 与－ 950°15′角 终边相同的角是 129°45′角，它是第二象限角． 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系： β ＝ α ＋k·360°， k∈Z，把所给的角化归到 0°～ 360°范围内，然后利用 0°～ 360°范围内的角分析该角是第几象限角． 跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400 °； (2) －2 010 °． 解 (1)1 400 °＝ 3×360°＋ 320°，∵ 320°是第四象限角， ∴1 400 °也是第四象限角． 例 2 写出终边落在直线 y＝ x 上的角的集合 S，并把 S 中适合不等式－ 360°≤ β <720°的元 素 β 写出来． 解 直线 y＝ x 与 x 轴的夹角是 45°，在 0°～ 360°范围内， 终边在直线 y＝ x 上的角有两个： 45°， 225°. 因此，终边在直线 y＝ x 上的角的集合： S＝ { β | β＝45°＋ k·360°， k∈Z} ∪｛β | β ＝225°＋ k·360°， k∈ Z} ＝ { β | β＝45°＋ 2k·180°，k∈ Z} ∪｛β | β ＝45°＋ (2 k＋1) ·180°， k∈Z} ＝ { β | β ＝45° ＋ k·180°， k∈Z} ． ∴ S 中适合－ 360°≤ β <720°的元素是： 45°＋ 0×180°＝ 45°； 45°＋ 1×180°＝ 225°；
绕着
图形．
(2) 角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
从一个位置
到另一个位置所成的
类型
定义
图示
正角
按
形成的角
按 负角
形成的角
零角
一条射线
，
称它形成了一个零角
2．象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边 ( 除端点外 ) 在第
几象限，就说这个角是
．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一
线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
问题 2 根据角的定义，图中角 α ＝120°； β ＝
；
－α＝
；－ β ＝
；γ＝ .
问题 3 经过 10 小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成
的角．
答 经过 10 小时，时针旋转形成的角是－ 300°，分针旋转形成的角是－ 3 600 °．
问题 4 如果你的手表快了 1.25 小时，只需将分针旋转多少度就可以将它校准？
答 将分针旋转 450°或－ 3 870 °即可校准．
探究点二 终边相同的角
今后我们常在直角坐标系内讨论角．为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的
始边与 x 轴的非负半轴重合．角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角
的终边在坐标轴上， 就认为这个角不属于任何一个象限． 按照上述方法， 在平面直角坐标系中，
1.1.1 任意角
【学法指导】
1．解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”：顶点、始边、终边和旋转方
向．
2．确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量．
3．学习象限角时，注意角在直角坐标系中的放法，在这个统一前提下，才能对终边落在坐标
轴上的角、象限角进行定义 .
1．角的概念
(1) 角的概念： 角可以看成平面内
这种
定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量．因此，从“旋转”的角度，对角作
பைடு நூலகம்
重新定义如下：一条射线 OA绕着端点 O旋转到 OB的位置所形成的图形叫作角，射线 OA叫角
的始边， OB叫角的终边， O叫角的顶点．
问题 1 正角、负角、零角是怎样规定的？
答 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射
角的终边绕原点旋转 360°后回到原来的位置．终边相同的角相差
360°的整数倍．因此，所
有与角 α 终边相同的角 ( 连同角 α 在内 ) 的集合 S＝ { β | β ＝ α ＋k·360°， k∈Z} ．
根据终边相同的角的概念，回答下列问题：
问题 1 已知集合 S＝ { θ | θ＝ k·360°＋ 60°， k∈Z} ，则－ 240° S, 300° S，－ 1 020°
个象限．
3．终边相同的角
所 有 与 角 α 终 边 相 同 的 角 ， 连 同 角 α 在 内 ， 可 构 成 一 个 集 合 S＝ { β| β ＝
} ，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与
的和 .
探究点一 角的概念的推广
我们在初中已经学习过角的概念， 角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形．