第二章-4特殊矩阵的特征系统

1.在矩阵的Schur分解中，由于A和R是酉相似的 (A=URU ,U AU=R), 因此具有相同的特征值， 而上三角矩阵的特征值即为其对角元，因此，
H H
Schur定理还可以表示为：
任意n阶方阵酉相似于一个以其特征值为对 角元的上三角矩阵R
2. 通常称R为A的Schur标准型， 在理论上我们得到 了矩阵的特征值。但是，角矩阵。 C 其中D
推论2.3 设 A为n阶方阵，则A为Hermite矩阵 的充分必要条件是存在n阶酉阵U，使得
A UDU
H
nn 为对角矩阵。 R 其中D
推论2.3’ 设 A为n阶方阵，则A为斜Hermite矩阵 的充分必要条件是存在n阶酉阵U，使得
A UDU
2.2 特殊矩阵的特征系统
本节将介绍理论上和特征系统计算上的非常 重要的矩阵分解，即Schur分解。
定理 2.8 (Schur定理) 设 A C 酉阵U C
n n
n n
，则存在
使得
A URU
其中R C
n n
H
为上三角矩阵。
H
A URU 称为矩阵的Schur分解
注
Schur定理的几点注记
迭代法， 通常我们无法在有限步内，准确地得到。
3.由于实矩阵A的特征值可能是一个复数，如 1 i 1 0 1 2 det( I A ) 1 0 A , , 1 i 1 0
2
因此即使矩阵A是实矩阵， 一般地， Schur分解中的 U，R有可能是复的。(因为当 A为实矩阵,U为正交 矩阵时, 那么,U T AU R 也为实矩阵,若R为上三角矩 阵, 则R的对角元素(实的)为A的特征值, 这与 A的特 征值可能是一个复数相矛盾)。 4. U的列向量未必都是A的特征向量, 尽管其第一列
n 2 * r 1i i 1 * RR H * n 2 rin * i 1
*

2
r
i 2
n
2i

*
* * 2 rnn
比较对角元，得
r11 r11 r12 r1n r1 j r1 j 0，j 2, , n
n n
A M ( A)
证明 Schur不等式:
a
i 1 i i 1 j 1
n
n
n
2
ij
其中 i 为A的特征值,并且Schur不等式等号成立的充分必要 条件是A为正规矩阵。
H 证: 根据Schur定理,存在n阶酉阵U使得 A URU
a
i 1 j 1
T T
正规矩阵的Schur分解
设A的Schur分解为 A URU A为正规矩阵
H

AH A AAH
URH U H URU H = URU H URH U H

R H R RR H

R为正规矩阵。
引理
上三角阵R为正规矩阵 R为对角矩阵。
充分性 显然。往证必要性。设
r11 R
H
其中D是对角矩阵，且对角元素为纯虚数。
推论2.4 设 A为n阶方阵， 则A为酉阵 的充分必要条件是存在n阶酉阵U，使得
A UDU
H
n n 为对角矩阵，其对角元的模均为1。 C 其中D
矩阵的Schur分解还有许多应用,在范数的性质的 研究中,用它可以证明如下定理。 中存在一 满足 I n M =1， 种矩阵范数 M（依赖矩阵A和常数 ）， 定理2.9 并且 设A为n阶方阵， 0 ,则在 C
是A的特征向量。
定义2.5
设 AC
n n
，若 A A AA
H
H
则称矩阵A为正规矩阵。 常见的正规矩阵的有：
Hermite阵： A A
H
H
T A 实对称矩阵： A
A A A A 实反对称矩阵： 斜Hermite阵：
T
酉阵: A A AA I
H H
正交矩阵: A A AA I
r12 r1n r22 r2 n , rnn
r11 r12 H R r 1n
r22 r2 n
rnn
则由假设，R 为正规矩阵，所以
r11 2 * 2 2 * r22 r12 R HR * *
r12 r22 r22 r23 r2 n r2 j r2 j 0， j 3, , n
2 2 2 2 2
2
2
2
2
总之有:
rij 0， 1 i j n。 即R为对角矩阵。
推论 2.2 设 A为n阶方阵， 则A为正规矩阵 的充分必要条件是存在n阶酉阵U，使得
n
n
2
ij
A F URU
2
H 2 F
R F rii i
2
2 i 1 i 1
n
n
2

n
i 1 j i 1
r
n
2
ij
要使得等号成立,只需 rij 0, 1 i j n 即D为阶对角阵, 则由推论2.2,可知其充分必要条件是A为正规矩阵。