四边形之类比探究(一)(讲义及答案)
平行四边形中的类比探究
得 DH = AD 得 DH = CG
（2）(3分)将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一
定角度，如图（2），求HD∶GC∶EB；
（3）(2分)把图（2）中的正方形都换成矩形，如
图（3），且已知ＤA∶AB＝HA∶AE＝m: n，此时 HD∶GC∶EB的值与（2）小题的结果相比有变化 吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必 写计算过程）．
D C D C
P F G A B 图1 E A
P
G
B
F
图2
E
感谢您的聆听， 欢迎批评指正！Βιβλιοθήκη （2008北京25，8分）
请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及 的值． 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的 思路，探究并解决下列问题： • （1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值； • （2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题 中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以 证明． • （3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值 （用含的式子表示）．
平行四边形中的类比探究
安阳市第63中学
韩尚强
1．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念， 了解它们之间的关系． 2．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质， 四边形是矩形、菱形、正方形的条件． 3.会用四边形的性质进行证明和计算，能解决与 平行四边形相关的如折叠、旋转、相似等探究性 题目.
四边形之类比探究(一)(习题及答案)
四边形之类比探究（一）（习题）例题示范例1：已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 的延长线上，且∠DEC =45°，M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN ，交直线BE 于点F ．当点D 在CB 的延长线上时，如图1所示，易证MF +FN =1BE ．2（1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3所示，请直接写出线段MF ，FN ，BE 之间的数量关系（不需要证明）．1【思路分析】1.里面有多个中点，考虑中位线，先证明易证的思路．连接AD ，由中位线定理可知MN =1AD ，2由题意可证△ACD ≌△BCE ，得到AD =BE ，即MN =1BE ，2所以MF +FN =1BE ．22.照搬易证的思路解决第一问．连接AD ，由中位线定理可知MN =1AD ，2由题意可证△ACD ≌△BCE ，得到AD =BE ，即MN =1BE ，2所以NF -MF =1BE ．23.照搬易证的思路解决第二问．连接AD ，由中位线定理可知MN =1AD ，2由题意可证△ACD ≌△BCE ，得到AD =BE ，即MN =1BE ，2所以MF -NF =1BE ．2【过程书写】证明：（1）不成立，理由如下：连接AD ，在△AED 中，M 是DE 的中点，N 是AE 的中点，∴MN 是中位线∴MN =1AD2在等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°∴AC =CB ，∵∠ACB =90°，∠DEC =45°∴CD =CE∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD =BE∴MN=1BE 2∴FN-MF=1BE 2（2）MF-FN=1BE 2巩固练习1.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在BC边上时，求证：①BD=CF；②AC=CD+CF．（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，其他条件不变，结论AC=CD+CF是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AC，CD，CF之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当点D在CB的延长线上时，其他条件不变，探究AC，CD，CF之间的数量关系．图1图2图32.如图1，C是线段BG上一点，分别以BC，CG为边，向外作正方形BCDA和正方形CGEF，使点D落在线段CF上，M是AE的中点，连接DM，FM．（1）求证：DM=FM，DM⊥FM．（2）如图2，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，其他条件不变，探究线段DM，FM之间的关系，并加以证明．（3）如图3，将正方形CGEF绕点C旋转任意角度，其他条件不变，探究线段DM，FM之间的关系，并加以证明．图1图2图33.（1）如图1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，AB⊥AC，BD⊥DE，点D在AB边上．取CE的中点F，连接AF，DF，猜想AF，DF之间的数量关系和位置关系，并加以证明．（2）将△BDE旋转至如图2所示的位置，使点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，其他条件不变，判断（1）中AF，DF之间的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明．图1图2【参考答案】巩固练习1．（1）证明略．提示：证明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，进而得到AC=CD+CF．（2）AC=CF-CD，理由略．（3）AC=CD-CF．2．（1）证明略．提示：延长DM，交EF于点H．证明△ADM≌△EHM（ASA），得到AD=EH，DM=HM，进而得到△DFH是等腰直角三角形，所以DM=FM，DM⊥FM．（2）DM=FM，DM⊥FM，证明略．提示：延长DM，交CE于点H，连接DF，HF．证明△ADM≌△EHM（ASA），得到AD=EH，DM=HM，再证明△CDF≌△EHF（SAS），得到DF=HF，∠CFD=∠EFH，进而得到△DFH是等腰直角三角形，则可得证．（3）DM=FM，DM⊥FM，证明略．提示：过点E作EH∥AD，交DM的延长线于点H，连接DF，HF．3．（1）AF=DF，AF⊥DF，证明略．提示：延长DF，交AC于点H．证明△DEF≌△HCF，得到DE=HC，DF=HF，进而得到△ADH是等腰直角三角形，所以AF=DF，AF⊥DF．（2）（1）中AF，DF之间的数量关系和位置关系不发生变化，证明略．提示：过点C作CH∥DE，交DF的延长线于点H，连接AD，AH．。
四边形专题课四边形中的类比探究(含答案)
四边形专题课四边形中的类比探究一、证明题(共2道，每道50分)1.(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.求证：BE ＝CF.(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上，EF,GH，交于点O,∠FOH＝90°，EF＝4,求GH的长。
答案：(1)证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∴∠EAB+∠AEB=90°.∵∠EOB=∠AOF＝90°,∴∠FBC+∠AEB=90°,∴∠EAB=∠FBC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF．(2)解：如图：过点A作AM//GH交BC于M，过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形, ∴EF=BN,GH=AM, ∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN, ∴∠NO′A=90°, 故由(1)得, △ABM≌△BCN, ∴AM=BN, ∴GH=EF=4．试题难度：三颗星知识点：正方形的性质2.已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.答案：解：（1）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=a．（2）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=∠OBA=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=a．解题思路：（1）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．试题难度：三颗星知识点：正方形的性质。
八年级数学类比探究(讲义及答案).
类比探究（讲义）➢知识点睛1.类比：就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．探究：是指学生在学习情境中通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验、探究性学习．学习过程的本质 类比与探究．2.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比第一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．3.类比探究问题中的常见特征举例手拉手模型：条件：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE结论：△ABD≌△ACE➢精讲精练1.在△ABC 中，AB=AC，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：BD=CE；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，求证：BD=CE；（3）如图3，当点D 在线段CB 的延长线上时，上述结论还成立吗？请证明你的猜想．2.（1）操作发现：如图1，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图2，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．（3）深入探究：①如图3，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．②如图4，当动点D 在等边△ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与图3相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．33.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB，点D 是直线AB 上的一点，连接CD，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点 D 在线段AB 上时，请你直接写出AB 与BE 的位置关系为；线段BD，AB，EB 的数量关系为．（2）猜想论证当点D 在直线AB 上运动时，如图2，是点D 在射线AB 上，如图3，是点D 在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD，AB，EB 的数量关系，并对图2 的结论进行证明．（3）拓展延伸若AB=5，BD=7，请你直接写出△ADE 的面积．4.（1）如图1，两个等腰三角形△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE，AB=AC，AE=AD，连接BD，CE，则线段BD 和CE 的数量关系是；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC 和△ADE 中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD 和CE 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB，AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE 和CD 的数量关系及∠PBC+∠PCB 的度数．【参考答案】1. （1）证明略；（2）证明略；（3）成立，BD=CE，证明略．2.（1）AF=BD，证明略；（2）成立，AF=BD，证明略；（3）①AB=AF+BF′，证明略；②不成立，AB=AF-BF′，证明略．3.（1）AB⊥BE，AB=BE+BD；（2）AB=BE-BD，证明略；（3）△ADE 的面积为72 或2．4. （1）BD=CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，证明略；（3）BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．类比探究（习题）➢已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B，C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF，AD=AF，∠DAF=90°，连接CF．•如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：CF+CD=BC；•如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；•如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变，求CF，BC，CD 三条线段之间的关系．➢如图1，点C 在线段AB 上（点C 不与A，B 重合），分别以AC，BC 为边在AB 同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接AE，BD 交于点P．4.观察猜想：①AE 与BD 的数量关系为；②∠APD 的度数为．5.数学思考：如图2，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．6.拓展应用：如图3，点E 为四边形ABCD 内一点，且满足∠AED=∠BEC=90°，AE=DE，BE=CE，对角线AC，BD 交于点P，AC=10，则四边形ABCD 的面积为．【参考答案】1. （1）证明略；5.CF-CD=BC；6.CD-CF=BC，证明略．2. （1）①AE=BD；②60°；（2）成立，AE=BD，∠APD=60°，证明略；（3）50．。
四边形之类比探究(讲义及答案)
四边形之类比探究（讲义）➢ 知识点睛1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．2. 解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问； （2）用解决第一问的方法类比解决下一问．对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题． 3. 类比探究问题中常见结构举例①旋转结构AB=AC DCD'A②中点结构MFE CBAA NMBA（类）倍长中线 平行夹中点 中位线➢精讲精练1.（2017河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是___________，位置关系是_________；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值．AB D ENPM图1图22. 如图，四边形ABCD 和四边形CGEF 均为正方形，M 是线段AE 的中点．（1）如图1所示，点B ，C ，G 在同一条直线上，DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM ，则DM 与FM 的数量关系为____________，位置关系为___________（直接写出答案，无需写证明过程）．（2）如图2，当点B ，C ，F 在同一条直线上，DM 的延长线交EG 于点N ，其余条件不变，试探究线段DM 与FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，当点E ，B ，C 在同一条直线上，DM 的延长线交CE 的延长线于点N ，若此时点A 恰好为CG 的中点，AB =1，其余条件不变，请直接写出FM 的长度．图1NMG FED CBA 图2N MG FEDCB A图3NMGFEDCBA3. （2016·新乡一模）在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点E 在直线CD上（与点C ，D 不重合），连接AE ，平移△ADE ，使点D 移动到点C ，得到△BCF ，过点F 作FG ⊥BD 于点G ，连接AG ，EG ．（1）问题猜想：如图1，若点E 在线段CD 上，试猜想AG 与EG 的数量关系是__________，位置关系是____________；（2）类比探究：如图2，若点E 在线段CD 的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；（3）解决问题：若点E 在线段DC 的延长线上，且∠AGF =120°，正方形ABCD 的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE 的长度．GFED C BA图1GF E DCBA图2DCBA 备用图【参考答案】1.（1）PM=PN；PM⊥PN；（2）△PMN为等腰直角三角形；（3）△PMN面积的最大值为492．2.（1）DM=FM；DM⊥FM；（2）DM=FM；DM⊥FM，证明略；（3）FM的长度为2．3.（1）AG=EG；AG⊥EG；（2）仍然成立，证明略；（3）DE的长度为。
类比探究(讲义)
图1AB CDGEF M图2A BCDG EFM图3AB CDG EFM类比探究（讲义）➢ 课前预习1.小明同学碰到如下问题：如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG > BC ）中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD ，MF 的位置关系及数量关系，并证明． （2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ， C ，G 三点在同一直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．（3）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明． 小明同学分析第一问发现，问题关键在于中点的应用． 经过尝试，小明成功解决了第（1）问，并将思路记录如下：MD ⊥MF MD =MF等腰Rt △M 为DH 中点FD =FH DFH =90°DM =AD =EH △ADM ≌△EHM 延长DM ，交EF H （平行夹中点）仿照小明的证明方法，你能解决（2）（3）问吗？2. ①如图，在△ABC 中，AF :FB =2:3，延长BC 至点D ，使得BC =2CD ，则AEEC=_________．提示：求比例，找相似．利用平行线构造“A 型”或“X 型”相似是我们常用的一种做法．A BEF②如图，AB =4，射线BM 和AB 相互垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，2BE =DB ，作EF ⊥DE 并截取EF =DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE =x ，BC =y ，则y 关于x 的函数解析式是（ ）A ．124xy x =--B ．21xy x =--C ．31xy x =-- D ．84x y x =-- 提示：结合直角特征考虑分析，可构造一线三等角，利用相似整合信息．➢ 知识点睛类比探究问题的处理思路1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行 结构．2. 若不属于常见结构类型：①根据题干条件，结合_______________先解决第一问．M FE DC B A②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢ 精讲精练1. 已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1，AB =2，BC =3．（1）如图1，P 为AB 边上的一点，以PD ，PC 为边作□PCQD ，则当点P 与点A 重合时，PQ 的长为__________．（2）如图2，若P 为AB 边上任意一点，以PD ，PC 为边作□PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE =PD ，再以PE ，PC 为边作□PCQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P 为直线DC 上任意一点，延长PA 到E ，使AE =nPA （n 为常数），以PE ，PB 为边作□PBQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．DQCBA (P )图1AP BCQD图2AC D EPQ图3A B CDA B CD2. 已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，点P 是射线CB 上一点（点P 不与点B ，C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M ．（1）如图1，当AC =BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是__________．（2）如图2，当AC =BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若52AC BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，CM =2，AP =13，求△ABP 的面积．图1M QPABC图2M QPAB CMC BAPQ图33. （1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空：①∠AEB 的度数为___________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为___________．图1CDABE（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．图2MEDCBA（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD．若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．A BCD图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现①当α=0°时，=BD AE ______；②当α=180°时，=BDAE______． （2）拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．图3图2图1ABCAEBDCDECB A【参考答案】 ➢ 课前预习1. 能，证明略2. ①2②A➢ 知识点睛2. ①分支条件 ②不变特征 ③不变特征➢ 精讲精练1. （1）（2）存在，最小值为4． （3）存在，最小值为5．（44)n +． 2. （1）PB =2CM ．（2）成立，证明略． （3）△ABP 的面积为25． 3. （1）①60°；②AD =BE ．（2）AE =2CM +BE ．（3）点A 到BP ．4. （1 （2）0360α︒<︒≤时，AEBD的大小没有变化，证明略．（3）线段BD 的长为5． 类比探究（随堂测试）1. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．E (A )BC D FGG FDC BAEEACDFG (B )图1图2图3【参考答案】1. （1）证明略．（2）成立，证明略． （3）EF bEG a．。
类比探究(讲义及答案)
类比探究（讲义）➢知识点睛1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比第一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．3.类比探究问题中的常见特征举例手拉手模型：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．EDAB C条件：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE结论：△ABD≌△ACE➢精讲精练1.如图，在△ABC，△CDE中，∠ACB=∠ECD=90°，CA=CB，CD=CE，点D在AB边上．若AD=5，BD=12，则AE=______，DE=_______．ADEB2. 如图，点D 为等边三角形ABC 内一点，AD =4，BD =3，CD =5．以BD 为一边作等边三角形BDE ，连接CE ． （1）判断△DEC 的形状，并说明理由； （2）求∠ADB 的度数．EDCBA3. 如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下五个结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE +∠DBC =45°；④BE 2=ED 2+EC 2；⑤BE 2=2(AD 2+AB 2)，其中正确结论的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5ABC DE4. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 上一动点，连接AD ，过点A 作AE ⊥AD ，并且始终保持AE =AD ，连接CE ，AF 平分∠DAE 交BC 于F ． （1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若BD =3，CF =4，则DF =_________．ECFDBA5. 已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点D 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 所在直线上一点（不与点B 重合）．（1）如图1，当点D在线段AB上时，直接写出DA2，DB2，DE2三者之间的数量关系：_______________．（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，（1）中的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若点D满足14ADAB，直接写出DEDB的值：_________．图1ECBA图2ECAA BC备用图6. 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，在BC 的同侧作任意Rt △DBC ，∠BDC =90°．（1）若CD =2BD ，M 是CD 中点（如图1）， 求证：△ADB ≌△AMC ．（2）若CD ＜BD （如图2），在BD 边上是否存在一点N ，使得△ADN 是以DN 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．（提示：在BD 上截取BN =CD ，连接AN ） （3）当CD =1，BD =4时，则AD 的长为__________．MOD CBA图1OD BA图27.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF．（2）如图2，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+ANAM．（提示：过点M作AM的垂线，交AB的延长线于点P）AEB D FC图1ADNMB C图2【参考答案】➢精讲精练1.12，132.（1）△DEC是直角三角形，理由略；（2）∠ADB=150°3. C4.（1）略；（2）55.（1）222DA DB DE；（2）略；（3+=6.（1）略；（2）存在，证明略；（3）27.（1）略；（2）略。
几何难点突破之类比探究讲义及答案
几何难点突破之类比探究（讲义）一、知识点睛识别类比探究题型特征：1.题目中一般有三问或者更多，每小问的条件和图形相似度很高，因此可以“照搬”第一问的方法；2.每一问的图形或点的位置会有所变化（通常条件从特殊走向一般），但可以在这些变化过程中按照第一问的思路和对应关系找角、找边、找全等．二、精讲精练1. 如图1所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B 、A 、D 在一条直线上，连接BE 、CD ，M 、N 分别为BE 、CD 的中点．（1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图2ME CBNDA图1CBMN ED A2. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作菱形ADEF （A 、D 、E 、F 按逆时针排列），使∠DAF ＝60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD ＝CF ；②AC ＝CF ＋CD ；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC ＝CF ＋CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，探究AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．图1AFECDB图2ABC DFEABCD F3. 如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．且90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ．（1）求证：AE =EF ；（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”是否成立？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．图1GFE DC B A图2A B CDE FG图3GFE DCBA4.如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边的中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM 、PN ；（1）求证：PM =PN ；（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变．此时PM =PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请判断四边形MBCN 的形状及此时PM =PN 还成立吗？图1ABCP aMN图2ABCP aM N图3NMaP CBA5.如图1所示,已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC 、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1.(1)如图2，当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合)，试说明DD1=AB；(2)在图1中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点E在直线l的下方时，请探究三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.DA BGEFCl D1E1图1GEBACFD1DE1()l图2图3lFGEBACD1DE16. 如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PE ＝PB ，连接PD ，O 为AC 中点． （1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．图1BB图2三、课后作业1．已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）如图3所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请写出它们之间的数量关系．【几何难点突破之类比探究参考答案】二、精讲精练图1A lCEBDNM图2M NDBElACMNDBEClA图3(1)lCENM1.提示：（1）①证△CAD≌△BAE（SAS）；②证△ACN≌△ABM（SAS）；或证△MEA≌△NDA（SAS）；（2）成立，同（1）可证．2.证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠BAD+∠DAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAC+∠CAF=60°∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BC=BD+DC∴ BC=CF+CD即AC= CF+CD（2）此时AC=CF+CD不成立，CF = AC +CD.理由如下：如图2，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BD=BC+CD∴ CF= BC+CD即CF = AC +CD（3）CF = CD-AC.理由如下：如图3，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠CAF+∠BAF=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAB+∠BAF=60°∴ ∠DAB+∠BAF =∠CAF+∠BAF∴ ∠DAB=∠F AC∴△ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF图1AFECDB图2AB C DFE图3AB CDEF∵ BD=CD-CB∴ CF= CD-CB即CF = CD-AC3.提示：（1）在AB上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）；（2）成立，同（1）可证；（3）成立，在BA的延长线上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）．4.提示：（1）延长MP交CN于点E，证△BPM≌△CPE（ASA），直角三角形斜边中线等于斜边一半；（2）延长MP交NC的延长线于点E，同（1）可证；（3）四边形MBCN为矩形；成立，同（1）可证．5.提示：（1）△ADD1≌△CAB；（2）AB＝DD1＋EE1，过点C作CM⊥AB于点M，证△ADD1≌△CAM，△EBE1≌△BCM；（3）DD1=AB＋EE1，同（2）可证．6.提示：（1）过P作PM⊥BC于点M，PN⊥DC于点N．证△APB≌△APD（SAS），△PME≌△PND（HL）即可；（2）成立，同（1）可证；（3）作图略；成立，过P分别作BC，DC的垂线，交BE于点M，DC的延长线于点N，同（1）可证．四、课后作业1．解：（1）AD+BE＝AB（2）成立．证明：（方法一）：在AB上截取AG=AD，连接CG．∵ ∠1＝∠2，AC＝AC∴△ADC≌△AGC（SAS）∴∠5＝∠6∵ AM∥BN∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=180°图1A lCEBDNM876541C lEDNM∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ ∠2+∠3=90°∴ ∠ACB＝90°即∠6＋∠7＝90°∵ ∠5+∠6+∠7+∠8=180°∴ ∠5＋∠8＝90°∴∠7＝∠8∵∠3＝∠4，BC＝BC∴△BGC≌△BEC（ASA）∴BG＝BE∴AG+BG＝AD+BE∴AD+BE＝AB（方法二）：过点C作直线FG⊥AM，垂足为点F，交BN于点G．作CH⊥AB，垂足为点H．由（1）得AF+BG=AB∵AM∥BN，∠AFG＝90°∴ ∠BGF＝∠FGE＝90°∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ CF＝CH，CH＝CG∴ CF＝CG∵ ∠FCD＝∠GCE∴△CFD≌△CGE（ASA）∴DF＝EG∴ AD+BE=AF-DF+GE+BG=AF+BG=AH+BH=AB （方法三）：延长BC，交AM于点F．∵AM∥BN∴∠5＝∠4∵ ∠3＝∠4∴∠5＝∠3HFG1234CAlEBDNM图2方法二51234FCAlEBDNM∴ AF =AB∵ ∠1＝∠2，∴ CF ＝CB∵∠FCD ＝∠BCE∴ △FCD ≌△BCE （ASA ）∴ DF ＝BE∴ AD +BE =AD +DF =AF =AB（3）不成立．存在．当点D 在射线AM 上，点E 在射线BN 的反向延长线上时（如图3（1）），AD -BE =AB当点D 在射线AM 的反向延长线上，点E 在射线BN 上时（如图3（2）），BE -AD =AB图3(2)图3(1)A l C E B D N M MN DBEClA。
类比探究 (讲义及答案)
类比探究（讲义）➢精讲精练1.【问题提出】如图1，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于E，连接CD，F，G，H分别是线段CD，DE，BC的中点，则线段FG，FH的数量关系是_____________（直接写出结论）．【类比探究】将图1中的△ADE绕点A旋转到如图2位置，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点E在BC上，且BE，过点E作ED⊥AB，垂足为D，将△BDE绕点B顺时针旋转，连接AE，取AE的中点F，连接DF．当AE与AC垂直时，线段DF的长度为___________（直接写出结果）．AB D EFGH图1ABDEFGH图2图32. （1）【操作发现】如图1，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°，得到△ADE ，连接BD ，则∠ABD =________度．图1ABCDE图2ABCP（2）【类比探究】如图2，在等边三角形ABC 内任取一点P ，连接P A ，PB ，PC ，求证：以P A ，PB ，PC 的长为三边必能组成三角形． （3）【解决问题】如图3的等边三角形ABC 内有一点P ，∠APC =90°，∠BPC =120°，求△APC 的面积．图3ABP图4APBC（4）【拓展应用】如图4是A ，B ，C 三个村子位置的平面图，经测量AC =4，BC =5，∠ACB =30°，P 为△ABC 内的一个动点，连接P A ，PB ，PC ．求P A +PB +PC 的最小值．3. 【问题】如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，过点C 作直线l 平行于AB ．∠EDF =90°，点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B ，另一边DF 与AC 交于点P ，研究DP 和DB 的数量关系． 【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP =DB ，请写出证明过程；（2）如图3，点P 是AC 上的任意一点（不含端点A ，C ），受（1）的启发，这个小组过点D 作DG ⊥CD 交BC 于点G ，就可以证明DP =DB ，请完成证明过程． 【拓展延伸】（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点A ，B ），N 是射线BD 上一点，且AM =BN ，连接MN 与BC 交于点Q ．这个数学兴趣小组经过多次取点M 反复进行实验，发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若AC =BC =4，请你直接写出BQ 的最大值．图1PFEDC B AlGlAB CD EFP图3图2(P )AB C DEFN MQFEDC BA(P )图44. 如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k =MN :EF ．（1）若a :b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值．（2）若a :b 的值为12，求k 的最大值和最小值．（3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°，MP =EF =3PE 时，求a :b 的值．F ED CBA P M N5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC 上，则DEDF__________．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC 上，则DEDF_______（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．ABCDEF图1DAEF图2BCBCFEAD图3ABCD备用图6. 已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM ．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线上，若AB =13，CE =5，请画出图形，并直接写出MF 的长．MG F ECB图1DAEFGM 图2C BDA7. 如图1，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且AB =2BC ，取EF 的中点M ，连接MD ，MG ，MB ．（1）试证明DM ⊥MG ，并求MBMG的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB =2α（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．图1GFEDC B AM图2MABCDEF G。
四边形类比探究问题(可编辑修改word版)
四边形类比探究问题一．解答题（共11 小题）1.已知，如图1，正方形ABCD 和正方形BEFG，三点A、B、E 在同一直线上，连接AG和CE（1）线段AG 和线段CE 的数量关系为；（2）将正方形BEFG，绕点B 顺时针旋转到图2 的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）若在图2 中连接AE 和CG，且AE＝5，CG＝2，求AC2+GE2＝．（直接写出结果）2.问题探究：（1）已知：如图1，在正方形ABCD 中，点E，H 分别在BC，AB 上，若AE⊥DH于点O．求证：AE＝DH；类比探究：（2）已知：如图2，在正方形ABCD 中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA 上，若EF⊥HG 于点O，则线段EF 与HG 有什么数量关系，并说明理由；拓展应用：（3）已知：如图3，在（2）问条件下，若HF∥EG，BE＝EC＝3，EO＝3FO，求HG 的长．（写出求解过程）3．（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A、D、E 在同一条直线上，连接BE．填空：①∠AEB 的度数为；②线段AD、BE 之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同一条直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE，请判断∠AEB 的度数及线段CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD＝2，若点P 满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．4.如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN，连结AM、BD．（1）AM 与BD 的关系是：．（2）如果将正方形BCMN 绕点C 顺时针旋转锐角α，其它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求AB2+DM2的值．5.如图①，在▱ABCD 中，点E、F 分别在AD、BC 上，且AE＝CF，连接AF、BE 交于点G，连接CE、DF 交于点H．（1）求证四边形EGFH 为平行四边形．（2）提出问题：在AD、BC 边上是否存在点E、F，使得四边形EGFH 为矩形？小明从特殊到一般探究了问题．【特殊化】如图②，若∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝6．在AD、BC 边上是否存在点E、F，使得四边形EGFH 为矩形？若存在，求出此时AE 的长度；若不存在，说明理由．【一般化】如图③，若∠ABC＝60°，AB＝m，BC＝n．在AD、BC 边上是否存在点E、F 使得四边形EGFH 为矩形？根据点E、F 存在（或不存在）的可能情况，写出对应的m、n 满足的条件，存在时直接写出AE 的长度．（用含m、n 的代数式表示）6.问题探究：（1）已知：如图1，在正方形ABCD 中，点E，H 分别在BC，AB 上，若AE⊥DH 于点O，求证：AE＝DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD 中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA 上，若EF⊥HG 于点O，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由．拓展应用：（3）已知，如图3，在（2）的条件下，若BC＝4，点E 为BC 的中点，DF＝3AF，连结FH，HE，EG，GF．求四边形HEGF 的面积．7.已知AC，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，直线AE 与直线BF 交于点H（1）观察猜想如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，线段AE 和BF 的数量关系是；∠AHB＝．（2）探究证明如图2，当四边形ABCD 和FFCG 均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BC＝9，FC＝6，将矩形EFCG 绕点C 旋转，在整个旋转过程中，当A、E、F 三点共线时，请直接写出点B 到直线AE 的距离．8.数学学习小组“文化年”最近正在进行几何图形组合问题的研究，认真研读以下三个片段，并回答问题．【片断一】小文说：将一块足够大的等腰直角三角板置于一个正方形中，直角顶点与对角线交点重合，在转动三角板的过程中我发现某些线段之间存在确定的数量关系．如图（1），若三角板两条直角边的外沿分别交正方形的边AB，BC 于点M，N，则①OM+ON ＝MB+NB；②AM+CN＝OD．请你判断他的猜想是否正确？若正确请说明理由；若不正确请说明你认为正确的猜想并证明．【片断】小化说：将角板中个45°角的顶点和正方形的一个顶点重合放置，使得这个角的两条边与正方形的一组邻边有交点．如图（2），若以A 为顶点的45°角的两边分别交正方形的边BC、CD 于点M，N．交对角线BD 于点E、F，我发现：BE2+DE2＝2AE2，只要准确旋转图（2）中的一个三角形就能证明这个结论．请你在图2 中画出图形并写出小化所说的具体的旋转方式：．【片断三】小年说：将三角板的一个45°角放置在正方形的外部，同时角的两边恰好经过正方形两个相邻的顶点．如图（3），设顶点为E 的45°角位于正方形的边AD 上方，这个角的两边分别经过点B、C，连接EA，ED，那么线段EB，EC，ED 也存在确定的数量关系：（EB+ED）2＝2EC2，请你证明这个结论．9．（1）[方法回顾]证明：三角形中位线定理．已知：如图1，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．证明：如图1，延长DE 到点F，使得EF＝DE，连接CF；请继续完成证明过程：（2）[问题解决]如图2，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，G、F 分别为AB、CD 边上的点，若AG＝3，DF＝7，∠GEF＝90°，求GF 的长．（3）[思维拓展]如图3，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，∠D＝120°，E 为AD 的中点，G、F 分别为AB、CD 边上的点，若AG＝2，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF 的长．10.如图1，图2，△ABC 中，BF，CE 分别为AC，AB 边上的中线，BF⊥CE 于点P．（1）如图1，当BC＝6，∠PCB＝45°时，PE＝，AB＝；（2）如图2，猜想AB2、AC2、BC2 三者之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，▱ABCD 中，点M，N 分别在AD，BC 上，AD＝3AM，BC＝3BN，连接AN，BM，CM，AN 与BM 交于点G，若BM⊥CM 于点M，AB＝4，AD＝3，求AN 的长．11.【探索发现】如图1，△ABC 是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将△ACD 绕点A 逆时针旋转60°得到△AEF，连接CE．小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形．小明是这样想的：（1）请参考小明的思路写出证明过程；（2）直接写出线段CD，CF，AC 之间的数量关系：；【理解运用】如图2，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D．将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△AEF，延长FE 与BC 交于点G．（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由；【拓展迁移】（4）在（3）的前提下，如图3，将△AFE 沿AE 折叠得到△AME，连接MB，若AD＝6，BD＝2，求MB 的长．四边形类比探究问题参考答案与试题解析一．解答题（共11 小题）1.【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等AG＝CE；（2）由正方形的性质得出AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，证出∠ABG＝∠CBE，由SAS 证明△ABG≌△CBE，得出AG＝CE；（3）连接AC、EG，设AG、CE 交点为H，由由角的互余关系得出∠2+∠BCE＝90°，得出∠ AHC＝90°，得出AG⊥CE；再由勾股定理求出AC2+EG2＝C G2+AE2，求出AC2+EG2，然后由正方形的面积等于对角线平方的一半求解即可．【解答】解：（1）如图1 所示：延长AG 交CE 于H，∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形，∴AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，在△ABG 和△CBE 中，∵，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE，故答案为：AG＝CE；（2）AG＝CE，且AG⊥CE 仍然成立．理由如下：如图2 所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形，∴AB＝CB，BG＝BE，∠ABC＝∠EBG＝90°，∵∠ABG＝∠ABC+∠CBG，∠CBE＝∠EBG+∠CBG，∴∠ABG＝∠CBE，在△ABG 和△CBE 中，∵，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE；（3）如图2 所示：连接AC、EG，∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG＝∠BCE，∵∠1+∠BAG＝90°，∴∠1+∠BCE＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BCE＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AG⊥CE；在Rt△CGH 中，CG2＝CH2+GH2，在Rt△AEH 中，AE2＝AH2+EH2，∴CG2+AE2＝CH2+GH2+AH2+EH2＝（CH2+AH2）+（GH2+EH2）＝AC2+EG2，∵AE＝5，CG＝2，∴AC2+EG2＝22+52＝29．故答案为：29．【点评】本题是四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．2.【分析】（1）由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DH；（2）EF＝GH．将FE 平移到AM 处，则AM∥EF，AM＝EF，将GH 平移到DN 处，则DN∥ GH，DN＝GH．根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH；（3）易得△AHF∽△CGE，所以，由EC＝3 得AF＝1，过F 作FP⊥BC 于P，根据勾股定理得EF，因为FH∥EG，所以，【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．∴∠HAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠HAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AE＝DH．（2）EF＝GH．将FE 平移到AM 处，则AM∥EF，AM＝EF．将GH 平移到DN 处，则DN∥GH，DN＝GH．∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH；（3）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥CD∴∠AHO＝∠CGO∵FH∥EG∴∠FHO＝∠EGO∴∠AHF＝∠CGE∴△AHF∽△CGE∴，∵EC＝3∴AF＝1过 F 作FP⊥BC 于P，根据勾股定理得EF＝，∵根据（2）知EF＝GH，∴GH＝2 ．【点评】本题考查了四边形的综合知识．用到正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．3.【分析】问题发现：（1）①由等边三角形的性质可得AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°＝∠CED，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠CEB＝120°即可求∠AEB 的度数；（2）由全等三角形的性质可得AD＝BE；拓展研究：（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB 的度数，证出AD＝BE；由△DCE 为等腰直角三角形及CM 为△DCE 中DE 边上的高可得CM＝DM＝ME，可得AE＝2CH+BE；解决问题：（3）由题意可得点P 在以D 为圆心，2 为半径的圆上，同时点P 也在以BD 为直径的圆上，即点P 是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH 的长，即可求点A 到BP 的距离．【解答】解：问题发现（1）①∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°＝∠CED∵点A、D、E 在同一条直线上，∴∠ADC＝120°∵∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，DC＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC＝∠CEB＝120°∴∠ABE＝∠CEB﹣∠CED＝60°②∵△ACD≌△BCE∴AD＝BE故答案为：60°，AD＝BE（2）拓展研究：猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E 在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．解决问题：（3）∵点P 满足PD＝2，∴点P 在以D 为圆心，2 为半径的圆上，∵∠BPD＝90°，∴点P 在以BD 为直径的圆上，∴如图，点P 是两圆的交点，若点P 在AD 上方，连接AP，过点A 作AH⊥BP，∵CD＝2＝BC，∠BCD＝90°∴BD＝4，∵∠BPD＝90°∴BP＝＝2∵∠BPD＝90°＝∠BAD∴点A，点B，点D，点P 四点共圆∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP∴∠HAP＝∠APH＝45°∴AH＝HP在Rt△AHB 中，AB2＝AH2+BH2，∴8＝AH2+（2 ﹣AH）2，∴AH＝+1（不合题意），或AH＝﹣1若点P 在CD 的右侧，同理可得AH＝+1综上所述：点A 到BP 的距离为：+1 或﹣1【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．4.【分析】（1）利用正方形的性质和已知条件证明△AMC≌△DBC，从而求出AM 与BD相等且垂直；（2）如果将正方形BCMN 绕点C 逆时针旋转锐角α，其它不变（1）中所得的结论任然成立，先求出∠ACM＝∠DCB，然后利用“边角边”证明△AMC 和△DBC 全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；（3）根据AM⊥BD，得相交的角为直角，由勾股定理计算可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ACDE 和四边形BCMN 都为正方形，∴AC＝DC，∠ACD＝∠BCD＝90°，BC＝CM，在△AMC 和△DBC 中，，∴△AMC≌△DBC（SAS）．∴AM＝BD，∠CAM＝∠CDB，延长AM 交BD 于F，∵∠AMC＝∠DMF，∴∠ACM＝∠DFM＝90°，∴AM⊥BD；故答案为：AM＝BD 且AM⊥BD；（2）如果将正方形BCMN 绕点C 逆时针旋转锐角α，其它不变，（1）中所得的结论仍然成立，理由如下：在正方形ABCE 和正方形BCMN 中，AC＝CD，CM＝BC，∠ACD＝∠MCB＝90°，∵∠ACM＝90°+∠MCD，∠DCB＝90°+∠MCD，∴∠ACM＝∠DCB，在△ACM 和△DCB 中，，∴△AMC≌△DBC（SAS）．∴AM＝BD，∠CAM＝∠CDB，∵∠AFC＝∠DFG，∴∠ACF＝∠DGF＝90°，∴AM⊥BD．（3）如图2，连接AD、BM，∵AC＝4，BC＝2，由勾股定理得：AD2＝42+42＝32，BM2＝22+22＝8，∵AM⊥BD，∴∠AGB＝∠DGM＝∠AGD＝∠BGM＝90°，∴AB2+DM2＝AG2+BG2+DG2+GM2，∵AD2+BM2＝AG2+DG2+BG2+MG2＝32+8＝40，∴AB2+DM2＝40．【点评】本题考查了四边形的综合题、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．5.【分析】（1）由条件可证明四边形AECF 和四边形EDFB 为平行四边形，可得到EH∥GF，GE∥FH，可证明四边形EGFH 为平行四边形；（2）由矩形的性质得出AB＝CD＝2，∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，证出∠ABE＝∠DEC，得出△ABE∽△DEC，得出＝，即可求出AE 的长；（3）作AP⊥AD 于P，CQ⊥AD 于Q，则BP＝CQ，PQ＝BC＝AD，由直角三角形的性质得出AP＝AB＝m，BP＝CQ＝AP＝m，设AE＝x，则PE＝x+m，AQ＝n﹣x﹣m，同（2）得：△BPE∽△EQC，得出＝，得出方程整理得：x2+（m﹣n）x+m2﹣＝0，由判别式△＝n2﹣3m2，当△≥0，即n2﹣3m2≥0 时，方程有解，得出m、n 满足的条件和AE 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝BF，∴四边形AECF、四边形EDFB 为平行四边形，∴EH∥GF，GE∥FH，∴四边形EGFH 为平行四边形；（2）解：存在，如图②所示，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD＝2，∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，四边形EGFH 为矩形时，∠BEC＝90°，则∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴＝，即＝，解得：AE＝3±；即在AD、BC 边上存在点E、F，使得四边形EGFH 为矩形，此时AE 的长度为3±；（3）解：存在，如图③所示，理由如下：作AP⊥AD 于P，CQ⊥AD 于Q，则BP＝CQ，PQ＝BC＝AD，∴AP＝DQ，∵AD∥BC，∴∠PAB＝∠ABC＝60°，∴∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝m，∴BP＝CQ＝AP＝m，设AE＝x，则PE＝x+m，AQ＝n﹣x﹣m，同（2）得：△BPE∽△EQC，∴＝，即＝，整理得：x2+（m﹣n）x+m2﹣＝0，∵△＝（m﹣n）2﹣4（m2﹣）＝n2﹣3m2，当△≥0，即n2﹣3m2≥0 时，方程有解，即m、n 满足n≥m 时，在AD、BC 边上存在点E、F 使得四边形EGFH 为矩形，此时AE＝．【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法以及判别式的运用等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．6.【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝DA，∠ABE＝∠DAH＝90°，利用ASA 定理证明△ABE≌△DAH，根据全等三角形的性质得到AE＝DH；（2）过得A 作AM∥EF 交BC 于M，过点D 作DN∥GH 交AB 于N，由（1）的结论证明即可；（3）过点F 作FP⊥BC 于点P，根据勾股定理求出EF，由（2）的结论求出HG，根据四边形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝∠DAH＝90°，∴∠HAO+∠OAD＝90°，∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°，∴∠HAO＝∠ADO，在△ABE 和△DAH 中，，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AE＝DH；（2）解：EF＝GH．理由：如图2，过得A 作AM∥EF 交BC 于M，则四边形AMEF 为平行四边形，∴AM＝EF，过点D 作DN∥GH 交AB 于N，同理，DN＝GH，∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM＝DN，所以EF＝GH；（3）解：如图3，过点F 作FP⊥BC 于点P，∵四边形ABCD 是正方形，BC＝4，∴AD＝BC＝AB＝FP＝4，∵E 为BC 的中点，DF＝3AF，∴BE＝2，AF＝1，∴PE＝2﹣1＝1，在Rt△FPE 中，EF＝＝，由（2）得：HG＝EF，∴HG＝，∵EF⊥HG，∴四边形HEGF 的面积＝×EF×GH＝．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7.【分析】（1）由正方形的性质得出＝＝，∠ACB＝∠ECF＝45°，得出∠ACE＝∠BCF，证出△CAE∽△CBF，得出∠CAE＝∠CBF，＝＝，因此＝，求出∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝45°，再由三角形内角和定理求出∠AHB 的度数即可；（2）不成立；由矩形的性质和已知条件得出＝＝，∠ACE＝∠BCF，得出△CAE ∽△CBF，因此∠CAE＝∠CBF，求出＝＝，∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+ ∠EAB＝60°，再由三角形内角和定理即可得出∠AHB 的度数；（3）分两种情况：①如图2 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，由（2）得：∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，在Rt△ABC 和Rt△CEF 中，由三角函数求出AC＝6 ，EF＝2，在Rt△ACF 中，由勾股定理求出AF＝6，得出AE＝AF﹣EF＝6﹣2 ，再由（2）的结论＝，求出BF＝3 ﹣3，在Rt△BFM 中，由直角三角形的性质求出BM 即可；②如图2 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，同②得：AE＝6+2，BF＝3+3，由直角三角形的性质求出BM 即可．【解答】解：（1）如图1 所示：∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形，∴＝＝，∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，∴＝，∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝45°，∵∠CBA＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：＝，45°；（2）不成立；理由如下：∵四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°，∴＝＝，∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝60°，∵∠CBA＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°﹣60°＝30°；（3）分两种情况：①如图2 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，由（2）得：∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，在Rt△ABC 和Rt△CEF 中，∵∠ACB＝∠ECF＝30°，∴AC＝＝＝6 ，EF＝CF×tan30°＝6×＝2 ，在Rt△ACF 中，AF＝＝＝6 ，∴AE＝AF﹣EF＝6 ﹣2，由（2）得：＝，∴BF＝（6﹣2）＝3﹣3，在△BFM 中，∵∠AFB＝30°，∴BM＝BF＝；②如图3 所示：作BM⊥AE 于M，当A、E、F 三点共线时，同②得：AE＝6+2，BF＝3 +3，则BM＝BF＝；综上所述，当A、E、F 三点共线时，点B 到直线AE 的距离为．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．8.【分析】【片断一】如图1 中，①错误．结论：OM2+ON2＝BM2+BN2．②正确．只要证明△MOB≌△NOC 即可解决问题；【片断二】如图2 中，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADG．连接GF．理由勾股定理即可证明；【片断三】如图3 中，过点C 作EC 的垂线交EB 延长线于F，构造全等三角形即可解决问题；【解答】解：【片断一】：如图1 中，①错误，②正确；理由：如图1 中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA，∠ABO＝∠OCN＝45°，∵∠MON＝∠BOC，∴∠MOB＝∠NOC，∴△MOB≌△NOC，∴BN＝CN，∴AM+CN＝AM+BM＝AB＝OA＝OD，①正确的结论：OM2+ON2＝BM2+BN2．理由：∵OM2+ON2＝MN2，BM2+BN2＝MN2，∴OM2+ON2＝BM2+BN2．【片断二】：如图 2 中，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADG．连接GF．理由：∵AF＝AF，∠GAF＝∠EAF＝45°，AG＝AE，∴△AFG≌△AFE，∴EF＝GF，∵∠ADG＝∠ABE＝∠ADF＝45°，∴∠FDG＝90°，∴GF2＝DF2+DG2，∴EF2＝BE2+DF2．故答案为：将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADG．连接GF．【片断三】：如图 3 中，过点C 作EC 的垂线交EB 延长线于F，∵∠ECF＝∠DCB＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵CD＝CB，CE＝CF，∴△CDE≌△CBF，∴ED＝FB，∴EB+ED＝EB+FB＝EF，又因为EC2+FC2＝EF2，∴（EB+ED）2＝2EC2．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9.【分析】（1）用“倍长法”将DE 延长一倍：延长DE 到F，使得EF＝DE，利用“边角边”证明△ADE 和△CEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，然后判断出四边形BCFD 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；（2）先判断出△AEG≌△DEH（ASA），进而判断出EF 垂直平分GH，即可得出结论；（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，先求出AG＝HD＝2，进而判断出△PDH 为30 度的直角三角形，再用勾股定理求出HF 即可得出结论．【解答】（1）证明：（1）如图1，延长DE 到点F，使得EF＝DE，连接CF，在△ADE 和△CFE 中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，∴CF∥AB，又∵AD＝BD，∴CF＝BD，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC．（2）解：如图2，延长GE、FD 交于点H，∵E 为AD 中点，∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，在△AEG 和△DEH 中，，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG＝HD＝3，EG＝EH，∵∠GEF＝90°，∴EF 垂直平分GH，∴GF＝HF＝DH+DF＝3+7＝10；（3）解：如图3，过点D 作AB 的平行线交GE 的延长线于点H，过H 作CD 的垂线，垂足为P，连接HF，同（1）可知△AEG≌△DEH，GF＝HF，∴∠A＝∠HDE＝90°，AG＝HD＝2 ，∵∠ADC＝120°，∴∠HDF＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠HDP＝30°，∴PH＝DH＝，PD＝3，∴PF＝PD+DF＝3+4＝7，在Rt△HFP 中，∠HPF＝90°，HP＝，PF＝7，∴HF＝＝＝2，∴GF＝2 ．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形和直角梯形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解（1）的关键是判断出△ADE ≌△CFE，解（2）的关键是判断出EF 垂直平分GH，解（3）的关键是作出辅助线，是一道比较典型的中考题．10.【分析】（1）证明△BPC 是等腰直角三角形，计算BP＝PC＝6，先根据三角形中线可知：EF是△ABC 的中位线，得EF∥BC，EF＝BC，证明△EPF∽△CPB，列比例式可得PE和AB 的长；（2）设PF＝m，PE＝n，则PB＝2m，PC＝2n，在Rt△PBC，Rt△PBE 和Rt△PCF 中，根据勾股定理列方程后，相加可得结论；（3）本题介绍两种解法：法一：证明△AGM≌△NGB（AAS），得BG 是△ABN 的中线，作辅助线，构建全等三角形和中线，得NF，BG 都为△ABN 的中线，由（2）知，AB2+AN2＝5BN2，代入可得结论；法二：如图4，作BP⊥DA 延长线于点P，CQ⊥AD 于点Q，易知四边形PBCQ 为矩形，设PA＝QD＝x，PB＝CQ＝y，表示PM＝x+，MQ＝2﹣x，证明△PBM∽△QMC，列比例式得方程：y2＝﹣x2+ x+12 ①，根据勾股定理得：AH2＝AB2﹣BH2，y2＝42﹣x2＝16﹣x2②，根据①②得：﹣x2+ x+12＝16﹣x2，解出可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵BF⊥CE，∴∠BPC＝90°，∵∠PCB＝45°，∴△BPC 是等腰直角三角形，∵BC＝6 ，∴PC＝BP＝6，∵BF，CE 分别为AC，AB 边上的中线，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△EPF∽△CPB，∴＝，∴，∴EP＝3，由勾股定理得：BE＝＝＝3，∴AB＝2BE＝6 ，故答案为：3，6；（2）猜想：AB2+AC2＝5BC2；证明：∵BF，CE 是△ABC 的中线，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，＝＝，设PF＝m，PE＝n，则PB＝2m，PC＝2n，在Rt△PBC 中，（2m）2+（2n）2＝BC2①在Rt△PBE 中，②在Rt△PCF 中，③由①，②，③得：AB2+AC2＝5BC2；（3）法一：在△AGM 与△NGB 中，，∴△AGM≌△NGB（AAS），∴BG＝MG，AG＝NG，∴BG 是△ABN 的中线，如图3，取AB 的中点F，连接NF，并延长交DA 的延长线于E，同理，△AEF≌△BNF，∴AE＝BN，EM＝2BN＝NC，∵EM∥NC，∴四边ENCM 是平行四边形，∴EN∥CM，∵BM⊥CM，∴EN⊥BM，即BG⊥FN，∵NF，BG 都为△ABN 的中线，由（2）知，AB2+AN2＝5BN2，∵AB＝4，BN＝AD＝，∴42+AN2＝5×，∴AN＝．法二：如图4，作BP⊥DA 延长线于点P，CQ⊥AD 于点Q，在▱ABCD 中，AD＝BC，易知四边形PBCQ 为矩形，∴PQ＝BC，∴PA＝QD，依题意：AM＝BN＝，MD＝2，设PA＝QD＝x，PB＝CQ＝y，∴PM＝x+ ，MQ＝2﹣x，∵BM⊥CM 于点M，∠BMC＝90°，∴∠BMP+∠CMQ＝90°，又∠BMP+∠PBM＝90°，∴∠PBM＝∠CMQ，又∵∠BPM＝∠MQC＝90°，∴△PBM∽△QMC，∴，即，化简得：y2＝﹣x2+ x+12 ①，作AH⊥BC 于点H，则BH＝PA＝x，AH＝y，在Rt△ABH 中，AH2＝AB2﹣BH2，∴y2＝42﹣x2＝16﹣x2②，由①②得：﹣x2+ x+12＝16﹣x2，∴x＝，y2＝，在Rt△AHN 中，AN＝＝＝＝．【点评】本题是四边形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、矩形和平行四边形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、三角形中线，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，并运用类比的方法解决问题，属于中考常考题型．1.【分析】（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB＝BC＝CE＝AE，则四边形ABCE是菱形；（2）先证明C、F、E 在同一直线上，再证明△BAD≌△CAF（SAS），则∠ADB＝∠AFC，BD ＝CF，可得AC＝CF+CD；（3）先根据∠ADC＝∠DAF＝∠F＝90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；（4）证明△BAM≌△EAD（SAS），根据BM＝DE 及勾股定理可得结论．【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵△ACD 绕点A 逆时针旋转60°得到△AEF，∴∠CAE＝60°，AC＝AE，∴△ACE 是等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∴AB＝BC＝CE＝AE，∴四边形ABCE 是菱形；（2）线段CD，CF，AC 之间的数量关系：CD+CF＝AC，理由是：由旋转得：∠DAF＝60°＝∠BAC，AD＝AF，∴∠BAD＝∠CAF，∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ADB＝∠AFC，BD＝CF，∵∠ADC+∠ADB＝∠AFC+∠AFE＝180°，∴C、F、E 在同一直线上，∴AC＝BC＝BD+CD＝CF+CD，故答案为：CD+CF＝AC；（3）四边形ADGF 是正方形，理由如下：∵Rt△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△AEF，∴AF＝AD，∠DAF＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠DAF＝∠F＝90°，∴四边形ADGF 是矩形，∵AF＝AD，∴四边形ADGF 是正方形；（4）如图3，连接DE，∵四边形ADGF 是正方形，∴DG＝FG＝AD＝AF＝6，∵△ABD 绕点A 逆时针旋转90°，得到△AEF，∴∠BAD＝∠EAF，BD＝EF＝2，∴EG＝FG﹣EF＝6﹣2＝4，∵将△AFE 沿AE 折叠得到△AME，∴∠MAE＝∠FAE，AF＝AM，∴∠BAD＝∠EAM，∴∠BAD+∠DAM＝∠EAM+∠DAM，即∠BAM＝∠DAE，∵AF＝AD，∴AM＝AD，在△BAM 和△EAD 中，∵，∴△BAM≌△EAD（SAS），∴BM＝DE＝＝＝2．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．。
四边形之类比探究(一)(习题)
图2ADBCN M EF四边形之类比探究（一）（习题）➢ 例题示范例1：已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 的延长线上，且∠DEC =45°，M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN ，交直线BE 于点F ．当点D 在CB 的延长线上时，如图1所示，易证12MF FN BE +=．（1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3所示，请直接写出线段MF ，FN ，BE之间的数量关系（不需要证明）．【思路分析】1. 里面有多个中点，考虑中位线，先证明易证的思路．图3ADBC NME F图1AD BC NMEF连接AD，由中位线定理可知12MN AD=，由题意可证△ACD≌△BCE，得到AD=BE，即12MN BE=，所以12MF FN BE+=．2.照搬易证的思路解决第一问．连接AD，由中位线定理可知12MN AD=，由题意可证△ACD≌△BCE，得到AD=BE，即12MN BE=，所以12NF MF BE-=．3.照搬易证的思路解决第二问．连接AD，由中位线定理可知12MN AD=，由题意可证△ACD≌△BCE，得到AD=BE，即12MN BE=，所以12MF NF BE-=．【过程书写】证明：（1）不成立，理由如下：连接AD，在△AED中，M是DE的中点，N是AE的中点，∴MN是中位线∴12 MN AD=在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°∴AC=CB，∵∠ACB=90°，∠DEC=45°∴CD=CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE∴12 MN BE=∴12FN MF BE-=MN=2ADM是DE的中点，N是AE的中点MF+FN=12BEMN=12AD=12BEAD=BE△ACD≌△BCE（SAS）（2）12 MF FN BE -=➢巩固练习1.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在BC边上时，求证：①BD=CF；②AC CD CF=+．（2）如图2，当点D 在BC 的延长线上时，其他条件不变，结论AC CD CF =+是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AC ，CD ，CF 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当点D 在CB 的延长线上时，其他条件不变，探究AC ，CD ，CF 之间的数量关系．FEDCBA图1FED C B A图2图32. 如图1，C 是线段BG 上一点，分别以BC ，CG 为边，向外作正方形BCDA和正方形CGEF ，使点D 落在线段CF 上，M 是AE 的中点，连接DM ，FM ． （1）求证：DM =FM ，DM ⊥FM ．（2）如图2，将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转45°，其他条件不变，探究线段DM ，FM 之间的关系，并加以证明．（3）如图3，将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度，其他条件不变，探究线段DM ，FM 之间的关系，并加以证明．FED C B AMFEGD CBA图1MFEG DCBA图2MFEGDCB A图33. （1）如图1，△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形，AB ⊥AC ，BD ⊥DE ，点D 在AB 边上．取CE 的中点F ，连接AF ，DF ，猜想AF ，DF 之间的数量关系和位置关系，并加以证明．（2）将△BDE 旋转至如图2所示的位置，使点E 在AB 的延长线上，点D 在CB 的延长线上，其他条件不变，判断（1）中AF ，DF 之间的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明．FED CBA图1FEDCBA图2【参考答案】➢ 巩固练习 1．（1）证明略．提示：证明△ABD ≌△ACF ，得到BD =CF ， 进而得到AC CD CF =+． （2）AC CF CD =-，理由略． （3）AC CD CF =-． 2．（1）证明略．提示：延长DM ，交EF 于点H ．证明△ADM≌△EHM（ASA），得到AD=EH，DM=HM，进而得到△DFH是等腰直角三角形，所以DM=FM，DM⊥FM．（2）DM=FM，DM⊥FM，证明略．提示：延长DM，交CE于点H，连接DF，HF．证明△ADM≌△EHM（ASA），得到AD=EH，DM=HM，再证明△CDF≌△EHF（SAS），得到DF=HF，∠CFD=∠EFH，进而得到△DFH是等腰直角三角形，则可得证．（3）DM=FM，DM⊥FM，证明略．提示：过点E作EH∥AD，交DM的延长线于点H，连接DF，HF．3．（1）AF=DF，AF⊥DF，证明略．提示：延长DF，交AC于点H．证明△DEF≌△HCF，得到DE=HC，DF=HF，进而得到△ADH是等腰直角三角形，所以AF=DF，AF⊥DF．（2）（1）中AF，DF之间的数量关系和位置关系不发生变化，证明略．提示：过点C作CH∥DE，交DF的延长线于点H，连接AD，AH．。
中考数学专题训练：类比探究类问题解析版
类比探究类问题解析版1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F．(1) 如图1，求证：AE=DF；(2) 如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；2，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．(3) 如图3，若AB=3①直接写出线段AE长度的取值范围；②判断△GEF的形状，并说明理由．【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。
∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。
∴AE=DF。
（2）△GEF是等腰直角三角形。
理由如下：过点G作GH⊥AD于H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。
∴GH=AB=2。
∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。
∴∠AME＋∠GMH=90°。
∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。
又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。
∴AN=HG。
∴△AEM≌△HMG（AAS）。
∴ME=MG。
∴∠EGM=45°。
由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。
又∵MG⊥EF，∴GE=GF。
∴∠EGF=2∠EGM =90°。
∴△GEF是等腰直角三角形。
（3）①233＜AE≤23。
②△GEF是等边三角形。
理由如下：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。
∴GH=AB=23。
∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。
∴∠AME＋∠GMH=90°。
∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。
又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。
∴MG GH EM AM=。
在Rt△GME中，∴tan∠MEG=MG GH233EM AM2===。
四边形之类比探究(一)(讲义及答案)
变，请直接写出 BC，CD，CF 三条线段之间的数量关系．
（3）如图 3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A，F 分别在直线 BC 的
两侧，其他条件不变．
①请直接写出 BC，CD，CF 三条线段之间的数量关系；
②若正方形 ADEF 的边长为 2 2 ，对角线 AE，DF 相交于点 O，连接 OC，求 OC
的长．
F
A
E
B
DC
图1
F
E A
B
CD
图2
A
B
D
C
O
F
E 图3
2. 如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E，F 分别为 BC，AD 的中点，连接 EF 并
2
延长，与 BA，CD 的延长线分别交于点 M，N，则∠BME=∠CNE． （1）如图 2，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 相交于点 O， AB=CD，E，F 分别为 BC，AD 的中点，连接 EF，与 CD，AB 分别交于点 M， N，判断 OM，ON 之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图 3，在△ABC 中， AC AB ，点 D 在 AC 边上，且 AB=CD．E，F 分别为 BC，AD 的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，连接 DG，若∠ EFC=60°，判断△ADG 的形状，并证明你的结论．
（2）△ADG 是含 30°角的直角三角形，证明略．
提示：连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 EH，FH．
3．（1） EG CG ，EG⊥CG，证明略．
提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
（2）（1）中的结论仍成立，证明略．
提示：延长 EG，交 CD 于点 H．
类比探究之作图、应用(讲义及答案)
C
B
备用图
2
2. 在△ABC 中，CA=CB，∠ACB=α．点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点，连 接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 α 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图 1，当 α=60°时， BD 的值是__________，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小 CP 角的度数是__________． （2）类比探究 如图 2，当 α=90°时，请写出 BD 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度 CP 数，并就图 2 的情形说明理由． （3）解决问题 当 α=90°时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C，P，D 在同一直线上时 AD 的值． CP C
AFΒιβλιοθήκη G ENBD
C
图1
F A
M
E N
1
精讲精练
1. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，
AD=DE= 1 AB，连接 DE．将△ADE 绕点 A 沿逆时针方向旋转，记旋转角为 θ． 2
（1）问题发现 ①当 θ=0°时， BE _______；②当 θ=180°， BE _______．
（3）已知 BC=10，CE= 2 5 ，正方形 CEFG 绕点 C 旋转的过程中，当 A，F，E 共 线时，直接写出△DMG 的面积．
A
D
M
F
G
B
CE
图1
A
D
MF E
G
B
C
图2
A
D
B
C
备用图
4
4. 已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形（ 2 OA＜OM=ON），∠AOB=∠MON= 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四边形之类比探究（一）（讲义）
知识点睛
解决类比探究问题的一般方法：
1.若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．
类比探究结构举例：旋转结构、中点结构．
2.若不属于常见结构类型
①根据题干条件，结合先解决第一问．
②类比解决下一问．
如果不能，分析条件变化，寻找．
结合所求目标，依据，大胆猜测、尝试、验证． F 精讲精练
1.已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D 为直线BC 上
一动点（不与点B，C 重合），以AD为边作正方形AD EF，连接CF
．
（1）如图1，当点D在线段B C 上时，求证：BC=CF+CD． B D C （2）如图2，当点D在线段B C 的延长线上时，其他条件不图1
变，请直接写出BC，CD，CF 三条线段之间的数量关系．
（3）如图 3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A，F
分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．
①请直接写出BC，CD，CF 三条线段之间的数量关系；
，对角线AE，DF 相交于点
②若正方形ADEF 的边长为2
O，求OC 的长．
B C D
图2
A
E
图3
2.如图 1，在四边形ABCD 中，AB=CD，E，F 分别为BC，AD 的
中点，连接EF 并延长，与BA，CD 的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE．
（1）如图 2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O，
AB=CD，E，F 分别为BC，AD 的中点，连接EF，与CD，
AB 分别交于点M，N，判断OM，ON 之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图 3，在△ABC 中，AC AB ，点D 在AC 边上，且
AB=CD．E，F 分别为BC，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G，连接DG，若∠EFC=60°，判断△ADG 的形状，并证明你的结论．
M
B E C
图1
A
D B
图2
G
B E C
图3
3.已知，在正方形ABCD 中，△BEF 是以BF 为斜边的等腰直角三
角形，取DF 的中点G，连接EG，CG．
（1）如图 1，若△BEF 的斜边BF 在BC 上，猜想EG 和CG
之间的数量关系，并证明．
（2）将图 1 中的△BEF 绕点B 顺时针旋转 45°，如图 2 所
示，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图 1 中的△BEF 绕点B 顺时针旋转任意角度，如图 3 所示，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
A D
B F C
图 1
A D
B C
F
图 2
A D
B C
F
图 3
4.在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，∠ABC=60°，P 是DF 的中点
，连接PG，PC．如图 1，当点G 在BC 边上时，易证：
PG 3PC （不必证明）．
（1）如图 2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC，PG 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（2）如图 3，当点F 在CB 的延长线上时，线段PC，PG 又有
怎样的数量关系？请写出你的猜想（不必证明）．
D E C
F
A B
图 1
D C
A B F
图 2
D C
G
F
图 3
【参考答案】
知识点睛
2．①分支条件
②不变特征，不变特征
精讲精练
1．（1）证明略．
提示：题目中有旋转结构，证明△ABD≌△ACF（SAS），得到BD=CF，进而得证．
（2）B C =CF -CD ．
（3）①B C =CD -CF ；②O C = 2 ．
2．（1）O M =ON ，证明略．
提示：取BD 的中点H，连接EH，FH．
则FH∥AB，FH =1
AB ，EH∥CD，EH =
1
CD ，2 2
由AB =CD 得EH =FH ，进而可得OM =ON ．
（2）△ADG 是含 30°角的直角三角形，证明略．提
示：连接BD，取BD 的中点H，连接EH，FH．
3．（1）E G =CG ，证明略．
提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
（2）（1）中的结论仍成立，证明略．提
示：延长EG，交CD 于点H．
证明△EFG≌△HDG（ASA），得到EF =HD ，E G =HG ，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得证．
（3）（1）中的结论仍成立，证明略．
提示：过点D 作DH∥EF，交EG 的延长线于点H，连接CE，CH ．
4．（1）P G = 3PC ，证明略．
提示：延长GP，交AD 于点E．
证明△DEP≌△FGP（ASA），得到PG =PE ，D E =FG ，证
明△CED≌△CGB（SAS），得到CE =CG ，
由三线合一得，PG⊥PC，进而可得PG = 3PC ．
（2）P G = 3PC。