2.1.5【同步练习】《平面直角坐标系中的距离公式》(北师大版)
北师大版必修2练习2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 Word版含解析
．平面直角坐标系中的距离公式时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题(每小题分，共×＝分)．点(－)到直线－＝的距离为( )．．答案：解析：直线－＝的方程可化为＝，所以点(－)到该直线的距离为＝＝.．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是()，则的长为( )．．．．答案：解析：设()，(，)，则＝，＝，即()，()，所以＝＝＝.．已知两点()和(－)到直线＋＋＝的距离相等，则实数的值为( )．－或．－或．－或．或答案：解析：＝，即＋＝－，解得＝－或.．到直线－＋＝的距离为，且与此直线平行的直线方程是( )．－＋＝．－＋＝或－－＝．－＋＝．－＋＝或－－＝答案：解析：在直线－＋＝上取点()．设与直线－＋＝平行的直线方程为－＋＝，则＝，解得＝或＝－，即所求直线方程为－＋＝或－－＝.．过点()且和()，(，－)距离相等的直线的方程是( )．＝．＋－＝．＝或＋－＝．＋－＝或＋＋＝答案：解析：∵＝＝－，过与平行的直线方程为－＝－(－)，即：＋－＝：又的中点()，∴的方程为＝.．若实数，满足＋－＝，则＋的最小值是( )．．．．答案：解析：实际上就是求原点到直线＋－＝的距离的平方．二、填空题(每小题分，共×＝分)．已知()，(－)，＝，则实数的值为．答案：或－解析：依题意及两点间的距离公式，得＝，整理得－－＝，解得＝或＝－.．已知点为轴上一点，且点到直线－＋＝的距离为，则点的坐标为．答案：(－)或()解析：设()，则有＝，解得＝－或，∴点的坐标为(－)或()．．与直线＋＝平行且距离等于的直线方程为．答案：＋＋＝或＋－＝解析：由题意设所求直线方程为＋＋＝，则有＝，解得＝或＝－.三、解答题(共分，＋＋)．已知点(－)，(，)，在轴上求一点，使得＝，并求的值．解：设所求点为()，于是有＝＝，＝＝，由＝，得＝，解得＝，所以＝＝.．已知直线：＋＋＝与：＋－＝互相平行，且，之间的距离为，求直线的方程．解：因为∥，所以＝≠，解得(\\(＝≠－))或(\\(＝－≠)).当＝时，直线的方程为＋＋＝，直线的方程为＋－＝，即＋－＝.由已知得＝，解得＝－或.所以，所求直线的方程为＋－＝或＋＋＝.当＝－时，直线的方程为－－＝，为－－＝，即－－＝，由已知得＝，解得＝－或＝，所以所求直线的方程为－＋＝或－－＝.综上可知，直线的方程有四个，分别为＋－＝或＋＋＝或－＋＝或－－＝.．已知△中，(，－)，()，(，－)．()求边上的高所在直线的一般式方程；()求△的面积．解：()由斜率公式，得＝，所以边上的高所在直线方程为＋＝－(－)，即＋＋＝.()由两点间的距离公式，得＝，边所在的直线方程为＋＝(－)，即－－＝，所以点到直线的距离＝＝，故△＝××＝.。
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 课件(北师大必修2)
[研一题] [例2] 求点P(1,2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3； (2)l2：y＝－1； (3)y轴．
[自主解答] (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， |1－2－3| 由点到直线的距离公式得d1＝ 2 2＝2 2. 1 ＋－1
(2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式得 |2＋1| d2＝ 2 2＝3. 0 ＋1 法二：如图，∵y＝－1 平行于 x 轴， ∴d2＝|－1－2|＝3.
[自主解答]
设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，
b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得 b 4 a·－3＝－1， a b 8× ＋6× ＝25， 2 2 ∴A 的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3)， 又由反射光线过 P(－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为 y＝3.
[例1]
[研一题] 在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P
到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
[自主解答] 法一：设P点坐标为(x，y)， 由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组
3x－y＋1＝0， x－12＋y＋12＝ x＝0， 解得 y＝1，
解：设点 P 的坐标为(x0，y0)， 3x0＋y0－5＝0， 由题意得|x0－y0－1| ＝ 2， 2 解得 x0＝2，y0＝－1 或 x0＝1，y0＝2. 所以点 P 的坐标为(2，－1)或(1,2)．
[研一题]
[例 3] 已知△ABC 是直角三角形， 斜边 BC 的中点
1 为 M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝ |BC|. 2
(3)法一：y 轴的方程为 x＝0， 由点到直线的距离公式得 |1＋0＋0| d3 ＝ 2 2 ＝1. 1 ＋0
2.1.5平面直角坐标系中的距离公式(北师大必修2)
2.1.5平面直角坐标系中的距离公式(北师大必修2)阜阳十中校本课程◆高一级部数学学科必修2◆导学案第二章第一节：平面直角坐标系中的距离公式二班准备老师李灿灿复习老师王松§2.1.5两点间的距离公式【例3】给定点a（4,12）和B（2,5），在x轴上找到点P，使PA=Pb，并找到PA的值【学习目标】1。
了解两点间距离公式的推导过程；2、熟练掌握两点间的距离公式、中点公式；3、灵活运用两点间的距离公式和中点公式解题；【要点】两点间距离公式和中点公式的推导。
【学习难点】两点之间的距离公式和中点公式的应用。
【学习方法】自主学习、合作探索、教师及时指导。
[问题情境]思考1:在x轴上，已知点p1(x1，0)和p2(x2，0)，那么点p1和p2的距离为多少？思考2：在y轴上，给定点P1（0，Y1）和P2（0，Y2），点P1和P2之间的距离是多少？思考3:已知x轴上一点p1(x0，0)和y轴上一点p2(0，y0)，那么点p1和p2的距离为多少？设想4：在平面直角坐标系中，你知道原点O和点a与点a（x，y）之间的距离D（O，a）思考5:一般地，已知平面上两点a(x1，y1)和b(x2，y2)，利用上述方法求点a和b的距离。
1.公式：两点a（x1，Y1）和B（X2，Y2）之间的距离表示为abab?(x?x2221)?(y2?y1)【典型例题】【例1】已知点a（1,2）、B（3,4）、C（5,0）证明三角形ABC是等腰三角形。
【例2】已知△abc的顶点坐标是a（2,1），b（-2,3），c（0，-1），求△abc的中线的长度班级名称小组学生评价【目标检测】1.已知：a（1,1）B（5,3）C（0,3）证明：三角形ABC是直角三角形2、已知a（x1，y1）,b（x2，y2），m(x,y)是线段ab的中点，试推导出中点公式。
3.给定点P（a，2），q（-2，-3），m（1，1），和PQ=PM，求a的值。
【总结提升】[家庭作业]教科书77，12，13题[自我评估][我的疑问]教师评价一阜阳十中校本课程◆高一级部数学学科必修2◆导学案第二章第一节：平面直角坐标系中的距离公式二班准备老师李灿灿复习老师王松1.5.2点到直线的距离公式[学习目标：]【例2】已知点a(a，2)到直线x?y?3?0的距离为1，求a的值。
北师大版 数学必修2 2.1.5平面直角坐标系中的距离公式
1.5平面直角坐标系中的距离公式自主备课学习目标 1、能求两点间的距离；2、掌握点到直线的距离公式及其简单应用,理解其推导过程；3、会求两条平行线间的距离；4、综合体会两点间的距离公式、点到直线的距离公式及两条平行 线间的距离公式之间的联系。
自主学习一、两点A,B 间距离1、平面上任意两点A,B ，用两点间的距离________表示。
2、在数轴A,B ，两点间的距离用_________表示。
A 0B x3、平面直角坐标系中，若两点A(-5，-2), B(3，4), 求A,B 之间的距离 （学生试推出）？4、小结：若两点A （11,x y ），B （22,x y ）如图，则有A,B 的距离公式为： 221212()()AB x x y y =-+-试问:当AB 平行x 轴时，公式可以简化吗？当AB 平行y 轴时呢?课本练习题1、求出下列两点间的距离：（1）A （-3，0）, B （2，0）（2）C （2, 1）， D （-5, 1）2、已知A(x, -5)和B(0，10)的距离是17，求x 的值。
yx 0 A(11,x y ) B(22,x y )C(21,x y )二、点到直线的距离0022≠ 点P （x ,y ）到直线L:Ax+by+C=0的距离记为d,则d=_______________,(A +B 0)课本上练习题求下列点到直线的距离；（1）（0,0）3x-2y+4=0（2）（-1,2）330x y --=（3）（2，-3）x=y 三、两条平行线间的距离221122:y 0,:y 0l Ax B C l Ax B C ++=++=≠两条平行线 ，（A +B 0）间的距离d=1222C C A B -+(强调：两条直线x,y 的系数必须化成相同A,B 后，再用此公式)当1122:,:l y kx b l y kx b =+=+ 时，此公式可变为？课本练习题求下列两平行线间的距离：（1）3x-2y-1=0, 3x-2y+6=0 （2）x+2y=0, 2x+4y-7=0四、例题讲解例题1求下列两点的距离：（1）A(-1，0) B(2，3) （2）A （4,3） B （7，-1）y x0 L P(00,x y )例题2、已知三角形ABC 的三个顶点是A （-1,0）；B （1,0）； C （13,22）试判断三角形ABC 的形状。
北师大版数学高一必修2练习 2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式
1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为()A．(8，0) B．(－12，0)C．(8，0)或(－12，0) D．(－8，0)或(12，0)解析：选C.设点P的坐标为(x，0)，则根据点到直线的距离公式可得|3x－4×0＋6|32＋（－4）2＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8，0)或(－12，0)．2．点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围为()A．B．(0，10)C．hslx3y3h 313，1310，＋∞)解析：选A.点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则|16－3a－1|42＋（－3）2≤3.解得0≤a≤10.3．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，因为原点到直线的距离d＝|－10|（1＋3λ）2＋（3－λ）2＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原点相距为1的直线的条数为2.4．直线l过点A(3，4)，且与点B(－3，2)的距离最大，则l的方程为() A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0解析：选D ．当l ⊥AB 时符合要求，因为k AB ＝4－23－（－3）＝13，所以l 的斜率为－3，又过A (3，4)，故l 的方程为3x ＋y －13＝0.5．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1，3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．C ．(0，50，17B 能力提升hslx3y3h1．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l 1：x －2y ＋1＝0和l 2：3x －y －2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2，3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )A ．2x －y ＋7＝0和x －3y －4＝0B ．x －2y ＋7＝0和3x －y －4＝0C ．x －2y ＋7＝0和x －3y －4＝0D ．2x －y ＋7＝0和3x －y －4＝0解析：选B ．法一：因为另两边分别与l 1，l 2平行且到P (2，3)的距离分别相等， 所以设l 3：x －2y ＋c 1＝0，l 4：3x －y ＋c 2＝0，由点到直线的距离公式得出c 1＝7，c 2＝－4.法二：l 1的对边与l 1平行应为x －2y ＋c ＝0形式排除A ，D ；l 2的对边也与l 2平行，应为3x －y ＋c 1＝0形式排除C ，所以选B ．2．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点P (m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：由题设a 2＋b 2＝c 2，m 2＋n 2表示直线l ：ax ＋by ＋2c ＝0上的点P (m ，n )到原点O的距离的平方，故当PO ⊥l 时，m 2＋n 2取最小值d ，所以d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c a 2＋b 22＝4c 2a 2＋b 2＝4. 答案：43．在△ABC 中，A (3，3)，B (2，－2)，C (－7，1)，求∠A 的平分线AD 所在直线的方程．解：设M (x ，y )为∠A 的平分线AD 上任意一点，由已知可求得AC 边所在直线的方程为x －5y ＋12＝0，AB 边所在直线的方程为5x －y －12＝0.由角平分线的性质，得|x －5y ＋12|26＝|5x －y －12|26， 所以x －5y ＋12＝5x －y －12，或x －5y ＋12＝y －5x ＋12，即y ＝－x ＋6或y ＝x .结合图形可知k AC <k AD <k AB ，即15<k AD <5， 所以y ＝－x ＋6不合题意，舍去．故∠A 的平分线AD 所在直线的方程为y ＝x .4．(选做题) 如图所示，已知A (－2，0)，B (2，－2)，C (0，5)，过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 将△ABC 分成两部分，求此两部分面积的比．解：法一：由已知可得k AB ＝－12，过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＝0.直线AC 的方程为5x －2y ＋10＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，5x －2y ＋10＝0，得直线l 与AC 的交点坐标P ⎝⎛⎭⎫－53，56， 所以|CP ||CA |＝|x P ||x A |＝56， 所以两部分的面积之比为5262－52＝2511. 法二：由两点式得直线AB 的方程为y ＋22＝x －2－4，即x ＋2y ＋2＝0.设过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＋m ＝0，将点M (－4，2)的坐标代入得m ＝0，所以过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＝0，此直线将三角形的面积分成两部分，其中△CPQ 的边PQ 上的高d 1＝105＝25，△ABC 的边AB 上的高d 2＝125＝1255，△CPQ 的面积与△ABC 的面积之比为S △CPQS △ABC ＝|PQ |·d 1|AB |·d 2＝d 21d 22＝2536，所以两部分的面积之比为25361－2536＝2511.。
高中数学 2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式基础巩固 北师大版必修2
高中数学 2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式基础巩固 北师大版必修2一、选择题1．已知A (3,7)，B (2,5)，则A ，B 两点间的距离为( ) A ．5 B ． 5 C ．3 D ．29[答案] B[解析] 由平面内两点间的距离公式可知|AB |＝3－22＋7－52＝ 5.2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．12 B ．32 C ．322D ．22[答案] C[解析] 由点到直线的距离公式可得|1－－1＋1|2＝322.3．已知点P (a ，b )是第二象限的点，那么它到直线x －y ＝0的距离是( ) A ．22(a －b ) B ．b －a C ．22(b －a ) D ．a 2＋b 2[答案] C[解析] ∵P (a ，b )是第二象限点， ∴a <0，b >0. ∴a －b <0.∴点P 到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2＝22(b －a )．4．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |＝( ) A ．5 B ．4 2 C ．2 5 D ．210[答案] C[解析] 设A (x,0)，B (0，y )，因P 为AB 的中点，则x ＝4，y ＝－2，∴|AB |＝16＋4＝2 5.5．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值是( ) A ．7 B ． 6 C ．2 2 D ． 5[答案] C[解析] |OP |最小即OP ⊥l 时， ∴|OP |min ＝|0＋0－4|2＝2 2.6．已知两直线2x ＋3y －3＝0与mx ＋6y ＋1＝0平行，则它们间的距离等于( ) A ．21313B ．51326C ．71326D ．4 [答案] C[解析] ∵直线2x ＋3y －3＝0的斜率k 1＝－23，直线mx ＋6y ＋1＝0的斜率k 2＝－m6，∴－23＝－m6，得m ＝4.∴它们间的距离d ＝|－6－1|42＋62＝71326. 二、填空题7．已知A (a,6)，B (3，－2)，且|AB |＝17，则实数a 的值为________． [答案] 18或－12 [解析] |AB |＝a －32＋6＋22＝17，解得a ＝18或a ＝－12.8．直线2x －y －1＝0与直线6x －3y ＋10＝0的距离是________． [答案]13515[解析] 方法一：在方程2x －y －1＝0中令x ＝0，则y ＝－1，即(0，－1)为直线上的一点．由点到直线的距离公式，得所求距离为|6×0－3×－1＋10|62＋32＝13515. 方法二：直线2x －y －1＝0可化为6x －3y －3＝0，则所求距离为|－3－10|62＋32＝1335＝13515. 三、解答题9．过点P (1,2)引一直线，使它与两点A (2,3)、B (4，－5)的距离相等，求这条直线方程．[解析] 方法一：设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，由已知得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|4k ＋5－k ＋2|k 2＋1， 解得k ＝－4或－32，故所求直线为3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0.方法二：因为A (2,3)，B (4，－5)到这条直线的距离相等， 所以这条直线与AB 平行或过AB 的中点． 当与直线AB 平行时，k ＝k AB ＝3－－52－4＝－4，直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0. 当直线过AB 的中点(3，－1)时，由两点式得 方程为y －－12－－1＝x －31－3，即3x ＋2y －7＝0.故所求直线方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.一、选择题1．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝( ) A ．6 B ． 2 C ．2 D ．不能确定[答案] B[解析] 由题意得k AB ＝b －a 5－4＝1，即b －a ＝1，∴|AB |＝5－42＋b －a2＝2，故选B.2．P ，Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( ) A ．95 B ．185C ．3D ．6[答案] C[解析] |PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得PQ 的最小距离为3.二、填空题3．若直线l 经过点A (5,10)，且坐标原点到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是________．[答案] 4x ＋3y －50＝0或y ＝10[解析] ①k 存在时，设直线方程为y －10＝k (x －5)， ∴10＝|10－5k |1＋k 2. ∴k ＝－43或k ＝0.∴y －10＝－43(x －5)或y ＝10.②k 不存在时，x ＝5不符合题意．综上所述，4x ＋3y －50＝0或y ＝10为所求． 4．点P (m ＋n ，－m )到直线x m ＋y n＝1的距离为______． [答案] |m 2－n 2|m 2＋n 2[解析] 将直线x m ＋y n ＝1化为一般式为nx ＋my －mn ＝0，故P (m ＋n ，－m )到直线x m ＋y n＝1的距离d ＝|nm ＋n －m 2－mn |m 2＋n 2＝|m 2－n 2|m 2＋n2. 三、解答题5．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，求△ABC 的面积． [解析] 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离， AB 边所在直线方程为：y －31－3＝x －13－1，即：x ＋y －4＝0. 点C 到x ＋y －4＝0的距离h ＝|－1＋0－4|12＋12＝52. 因此S △ABC ＝12×22×52＝5.6．直线l 经过A (2,4)，且被平行直线x －y ＋1＝0与x －y －1＝0所截得的线段的中点在直线x ＋y －3＝0上，求直线l 的方程．[解析] 解法一：设所求的直线的斜率为k ，则所求直线l 的方程为y －4＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －4＝k x －2，x －y ＋1＝0，可解得P (2k －3k －1，3k －4k －1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k x －2，x －y －1＝0，可解得B (2k －5k －1，k －4k －1)．∴P 、B 的中点D 的坐标为(2k －4k －1，2k －4k －1)． 又∵D 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解之得k ＝5. 所以，所求直线的方程为y －4＝5(x －2)， 即5x －y －6＝0.解法二：与x －y －1＝0及x －y ＋1＝0等距离的直线必定与它们是平行的，所以设x －y ＋c ＝0，从而|c ＋1|1＋1＝|c －1|1＋1，解之得，c ＝0，∴x －y ＝0，又截得的线段的中点在x ＋y －3＝0上，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －3＝0，可解得中点坐标为(32，32)，所以直线l 过点(2,4)和(32，32)， 从而得l 的方程为5x －y －6＝0. 7．已知点P (2，－1)，求：(1)过点P 且与原点的距离为2的直线方程；(2)过点P 且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)当斜率不存在时，方程x ＝2适合题意当直线的斜率存在时，设为k ，则直线方程应为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 根据题意|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴直线方程为3x －4y －10＝0.∴所求直线方程应为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程应为过点P且与OP垂直的直线，易求其方程2x－y－5＝0，且最大距离d＝ 5.(3)由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离5，而6> 5.∴这样的直线不存在．。
高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式练习 北师大版必修2
1.5 平面直角坐标系中的距离公式1.已知点M(-1,3),N(5,1),若点P(x,y)到点M,N的距离相等,则x,y满足的条件是()A.x+3y-8=0B.x-3y+8=0C.x-3y+9=0D.3x-y-4=0解析:由|PM|=|PN|,得,化简得3x-y-4=0.答案:D2.已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于()A. B.2-C.-1D.+1解析:由点到直线的距离公式知,d==1,解得a=-1±.又因为a>0,所以a=-1.答案:C4x-y+1=0和x+y-=0的交点,且与原点间的距离等于1的直线共有()A.0条B.1条C.2条D.3条答案:B5.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3B.2C.3D.4解析:依题意知AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离,故可设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得,即|m+7|=|m+5|,解得m=-6,即直线l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得点M 到原点的距离的最小值为=3.故选A.答案:A6.若在△ABC中,顶点坐标分别为A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于.解析:设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在直线的方程为,即x+y-4=0.点C(-1,0)到x+y-4=0的距离h=.因此,S△ABC=×2=5.答案:57.若直线l经过点A(5,10),且坐标原点到直线l的距离为10,则直线l的方程是.解析:①k存在时,设直线方程为y-10=k(x-5),∴10=.∴k=-或k=0.∴y-10=-(x-5)或y=10.②k不存在时,x=5不符合题意.综上所述,所求直线为4x+3y-50=0或y=10.答案:4x+3y-50=0或y=108.直线l在直线m:x+y+1=0的上方,且l∥m,它们的距离是,则直线l的方程是.解析:根据题意可设直线l的方程是x+y+c=0(c<1),则,所以c=-1或c=3(舍去).所以直线l的方程是x+y-1=0.答案:x+y-1=09.导学号62180114x,y满足x+y+1=0,求x2+y2-2x-2y+2的最小值.解:原式可化为(x-1)2+(y-1)2,其几何意义为点P(x,y)和点Q(1,1)间距离的平方, 而点(x,y)在直线x+y+1=0上.设d为Q点到直线x+y+1=0的距离,由|PQ|≥d得,即x2+y2-2x-2y+2≥.故所求最小值为.10.已知正方形ABCD中,E,F分别是BC,AB的中点,DE,CF交于点G.求证:AG=AD.证明:以点B为坐标原点,以BC为x轴,AB为y轴,建立如图所示的直角坐标系.设正方形边长为2,则B(0,0),C(2,0),A(0,2),E(1,0),F(0,1),D(2,2).直线DE的方程为y=2x-2,直线CF的方程为y=-x+1,由解得即点G.从而|AG|==2=|AD|.11.已知点P(2,-1),求:(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程;(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大值;(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)当斜率不存在时,方程x=2适合题意;当直线的斜率存在时,设为k,则直线方程应为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.根据题意=2,解得k=,∴直线方程为3x-4y-10=0.∴所求直线方程应为x-2=0或3x-4y-10=0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程即为过点P且与OP垂直的直线,易求其方程2x-y-5=0,且最大距离d=.(3)由于原点到过点(2,-1)的直线的最大距离为,而6>,故这样的直线不存在.。
(北师大版)高中数学必修2检测2.1.5平面直角坐标系中的距离公式 Word版含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．已知点(－，－)，()，且＝，则的值为( )．－．．或－．－或解析：由＝＝⇒＝或＝－，故选.答案：．原点到直线＋－＝的距离为( )．．．．解析：由点到直线的距离公式＝＝.答案：．已知三点()、()、()，则△的形状是( )．等边三角形．直角三角形．等腰直角三角形．等腰三角形解析：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝≠，且＋≠，∴△是等腰三角形，故选.答案：．设，分别为直线＋－＝与＋＋＝上任意一点，则的最小值为( )．．．．解析：∵直线＋－＝与＋＋＝平行，∴的最小值就是两条直线之间的距离．在直线＋－＝上任取一点，如点()，则它到直线＋＋＝的距离为＝＝，即这两条平行直线之间的距离为，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．点与轴及点(－)的距离都是，则的坐标为．解析：设(，)．则(\\(＝，,(＋(＋(－(＝.))当＝时，＝或－；当＝－时，无解．则()或(－)．答案：()或(－)．两平行直线：＋－＝，：＋－＝间的距离为．解析：方法一：在直线上取一点()，因为∥，所以点到直线的距离等于与间的距离．于是＝＝＝.方法二：由两条平行直线间的距离公式得＝＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．在直线－＝上求一点，使它到点()的距离为，并求直线的方程．解析：∴点在直线－＝上，∴可设()．根据两点间的距离公式得＝(－)＋(－)＝，即－＋＝，解得＝或＝，∴()或.∴直线的方程为＝或＝，整理得－＋＝或－－＝.．求与直线：－＋＝平行且到的距离为的直线方程．解析：方法一：设所求直线的方程为－＋＝.在直线－＋＝上取一点，则点到直线－＋＝的距离为＝，由题意，得＝，所以＝，或＝－.故所求直线的方程为－＋＝或－－＝.方法二：设所求直线的方程为－＋＝，由两平行直线间的距离公式得＝，解得＝，或＝－.故所求直线的方程为－＋＝或－－＝.☆☆☆．(分)在直线：－－＝上求点和，使得()点到点()和()的距离之差最大；()点到点()和()的距离之和最小．解析：()如图所示，设点关于的对称点′的坐标为(，)，则′·＝－，即×＝－，∴＋－＝.①线段′的中点坐标为，且中点在直线上，∴×－－＝，即－－＝.②解①②得＝，＝，∴′()．于是直线′的方程为＝，即＋－＝.解(\\(－－＝，＋－＝))得(\\(＝，＝，))即与直线′的交点坐标为()，且此时点到点，的距离之差最大．。
高中数学北师大版必修2 2.1 基础练习 《平面直角坐标系中的距离公式》(数学北师大必修二)
《平面直角坐标系中的距离公式》基础练习本课时编写：崇文门中学 高巍巍一、选择题1. 两点A (4,3)与B (8,a )间的距离为5，则a 的值为（ ）A ．06或B ．0C ．3D ．62. 两平行直线3x +2y ―3=0和6x +4y +1=0之间的距离是（ ）A ．4B ．13C ．23D ．263. 若直线(2)50m x y n +-+-=与x 轴平行且与x 轴相距5时，则m n +等于（ ）A ．28-或B ．2-C ．8D ．04. 若(16)P --，，(30)Q ，，延长QP 到A ，使13AP PQ =，那么A 的坐标为（ ） A ．7(8)3--，B ．9(0)2，C ．2(2)3-， D ．2(2)3-，二、填空题5. 两点A(0,1)与B(1,0)67. 经过点(1,3)且与原点距离为1的直线方程____________.8.设直线123:3420,:220,:3420l x y l x y l x y +-=++=-+=，则直线1l 与2l 的交点到3l 的距离为_______.9. 与直线1:3260l x y --=，2:6430l x y --=等距离的直线的方程____________.10. 设点P 在直线30x y +=上，且P 到原点的距离与P 到直线320x y +-=的距离相等，则点P 坐标是 ．三、简答题11．已知(34)A -，，(2B ，在x 轴上找一点P ，使PA PB =，并求PA 的值；12. 已知直线l ：()()()21430k x k y k ++---=，（1）求证：直线l 必过定点；（2）已知点(1,1)-到直线L 的距离为2，求k 的取值.13. 已知直线:220l x y +-=，试求：（1）与直线l（2）点(2,1)P --关于直线l 的对称点的坐标．14. 已知ABC △中，(32)A ，，(15)B -，，C 点在直线330x y -+=上，若ABC △的面。
高中数学北师大版必修2 2.1 提升练习 《平面直角坐标系中的距离公式》(数学北师大必修二)
《平面直角坐标系中的距离公式》提升练习本课时编写：崇文门中学 高巍巍一、选择题1. 在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2. 若点(3)P a ，到直线40x +-=的距离为1，则a 值为（ ）AB ．3-C ．3D 3- 3. 已知点A (－3，－4)，B (6，3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )． A ．79 B ．－13 C ．－79或－13 D ．79或13二、填空题4. 两平行直线分别过点（1，0）与（0，5），且距离为5，它们的方程为 ．5. 若P 是直线3x +2y +2=0上的一点，且到A （0，1），B （2，0）的距离之差的绝对值最大，则点P 的坐标为________．6. 若直线m 被两平行直线l 1：x ―y +1=0与l 2：x ―y +3=0所截得的线段的长为m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．其中正确答案的序号是________（写出所有正确答案的序号）．三、简答题7. 在ABC ∆中，点(1,2)B ，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=，A ∠的平分线所在的直线方程为0y =，求||BC .8．已知函数()a f x x x=+的定义域为（0，+∞），且(2)22f =+．设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y =x 和y 轴的垂线，垂足分别为M 、N （如右图）．（1）求a 的值；（2）问：PM ·PN 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，则说明理由．9．证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．。
北师大版高中数学高一2.1.5平面直角坐标系中的距离公式
【预习评价】
(1)当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐标轴上时，两点 间距离公式还适用吗？ 提示 适用．当两点都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两 点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|.
(2)已知点A(－2，－1)，B(a,3)且|AB|＝5，则a等于 ( )
A．1
B．－5
|222×＋2－－51|2＝
1 5.
答案 A
知识点三 两平行直线间的距离 1．概念：夹在两条平行直线间的 公垂线段 的长度就是两条平
行直线间的距离．
2．公式：两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0
之间的距离 d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
【预习评价】 (1)两条平行直线间的距离公式写成 d＝ |CA1－2＋CB22| 时对两条直线应 有什么要求？ 提示 两条平行直线的方程都是一般式，并且 x，y 的系数分别 对应相等．
＝
|6a＋a23＋＋11|，
解得 a＝－13或－79.
答案 －13或－79
题型三 两平行线间的距离 【例 3】 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为 2 的直
线的方程． 解 方法一 设所求直线的方程为 5x－12y＋m＝0， ∵两直线间的距离为 2，∴ 52|＋6－－m|122＝2， ∴m＝32 或 m＝－20. ∴所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
1.5 平面直角坐标系中的距离公式
学习目标 1.了解坐标法及利用坐标法解决简单的几何问题； 2.理解点到直线的距离公式的推导过程；会用点到直线的距 离公式求距离并推导两平行线距离(难点)；3.掌握两点间距 离公式及点到直线距离公式，能用两点间距离公式及点到直 线距离公式解决实际问题(重点)．
北师大版数学高一-课堂新坐标必修2试题 2.1.5平面直角坐标系中的距离公式
一、选择题1．(2013·厦门高一检测)点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A.12 B.32C.22 D.322【解析】d＝|1＋1＋1|12＋12＝32＝322.【答案】 D2．(2013·阜阳高一检测)若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k 的值是()A．1 B．－3C．1或53D．－3或173【解析】由题意得|10－12k＋6|52＋122＝4，解得k＝－3或173.【答案】 D3．设P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是() A. 5 B．7 C. 6 D．2 2【解析】|OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0上的距离，d＝|0＋0－4|2＝2 2.【答案】 D4．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B 的坐标是()A ．(－12，12) B ．(12，12) C ．(12，－12)D ．(－12，－12)【解析】 当AB 与x ＋y ＝0垂直时，AB 最短， ∴AB 的方程为y ＝x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＋x ＝0，得交点坐标为B (－12，12)． 【答案】 A5．(2013·宁波高一检测)过点P (1,2)引直线，使A (2,3)、B (4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( )A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．2x ＋3y －7＝0或x ＋4y －6＝0D ．3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0【解析】 ∵k AB ＝－4，线段AB 的中点C (3，－1)， ∴过点P (1,2)与AB 平行的直线方程为 y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0，此直线符合题意．过点P (1,2)与线段AB 中点C (3，－1)的直线方程为y －2＝－32(x －1)， 即3x ＋2y －7＝0，此直线符合题意．故所求直线方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.故选D. 【答案】 D 二、填空题6．P 、Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．【解析】 直线6x ＋8y ＋6＝0可变形为3x ＋4y ＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d ＝|－12－3|32＋42＝3，∴|PQ |min ＝3.【答案】 37．(2013·南京高一检测)已知两点A (0，m )，B (8，－5)之间的距离是17，则实数m 的值为________．【解析】 由题意得(8－0)2＋(－5－m )2＝17，解得m ＝10或－20. 【答案】 10或－208．若第二象限内的点P (m,1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2，则m 的值为________．【解析】 由|m ＋1＋1|12＋12＝2，得m ＝－4或m ＝0，又∵m <0，∴m ＝－4. 【答案】 －4 三、解答题9．已知直线l 经过点(－2,3)，且原点到直线l 的距离等于2，求直线l 的方程．【解】 当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝－2，符合原点到直线l 的距离等于2.当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，由d ＝|0－0＋2k ＋3|1＋k 2＝2，得k ＝－512，即l 为5x ＋12y－26＝0.10．已知点A (0,0)，B (1,1)，C (2，－1)，求△ABC 的面积． 【解】 直线AB 的方程为x －y ＝0，点C 到AB 的距离d ＝|2－(－1)|12＋(－1)2＝322，|AB |＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，∴S △ABC ＝12|AB |d ＝12×2×322＝32.11．已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AB 的中点，DE 、CF 交于点G ，求证：AG ＝AD .【证明】 建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B (0,0)，C (2,0)，A (0,2)，E (1,0)，F (0,1)，D (2,2) .直线DE 的方程为y ＝2x －2， 直线CF 的方程为y ＝－12x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝2x －2，y ＝－12x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝25，即点G (65，25)．从而|AG |＝(65－0)2＋(25－2)2＝2＝|AD |，故AG ＝AD .。
北师大版数学高一必修2检测2.1.5平面直角坐标系中的距离公式
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为()A．1B．－5C．1或－5 D．－1或5解析：由|AB|＝(－2－a)2＋(－1－3)2＝5⇒a＝1或a＝－5，故选C.答案： C2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1 B． 3C．2 D． 5|－5|解析：由点到直线的距离公式d＝＝ 5.12＋22答案： D3．已知三点A(3,2)、B(0,5)、C(4,6)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：∵|AB|＝(0－3)2＋(5－2)2＝18，|AC|＝(4－3)2＋(6－2)2＝17，|BC|＝(4－0)2＋(6－5)2＝17，∴|AC|＝|BC|≠|AB|，且|AC|2＋|BC|2≠|AB|2，∴△ABC是等腰三角形，故选C.答案： C4．设P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为() A．3 B．4C．5 D．6解析：∵直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0平行，∴|PQ|的最小值就是两条直线之间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上任取一点，如点A(0,3)，则它到直线6x＋8y＋6＝0的距离为d|6×0＋8×3＋6|＝＝3，即这两条平行直线之间的距离为3，故选A.62＋82答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．点P与x轴及点A(－4,2)的距离都是10，则P的坐标为________．解析： 设P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧|y |＝10，(x ＋4)2＋(y －2)2＝100.当y ＝10时，x ＝2或－10；当y ＝－10时，无解． 则(2,10)或(－10,10)． 答案： P (2,10)或P (－10,10)6．两平行直线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0间的距离为________． 解析： 方法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2， 所以点P 到直线l 2的距离等于l 1与l 2间的距离． 于是d ＝|2×4＋3×0－10|22＋32＝213＝21313.方法二：由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－8－(－10)|22＋32＝21313.答案：21313三、解答题(每小题10分，共20分)7．在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程． 解析： ∴点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )． 根据两点间的距离公式得 |PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325，∴P (2,4)或⎝⎛⎭⎫325，645.∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －8645－8＝x －5325－5，整理得4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0.8．求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． 解析： 方法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝⎛⎭⎫0，12， 则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪－12×12＋C 52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)在直线l ：3x －y －1＝0上求点P 和Q ，使得 (1)点P 到点A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)点Q 到点A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．解析： (1)如图所示，设点B 关于l 的对称点B ′ 的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k 1＝－1，即3×b －4a＝－1， ∴a ＋3b －12＝0.①线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且中点在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)． 于是直线AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与直线AB ′的交点坐标为P (2,5)，且此时点P 到点A ，B 的距离之差最大．(2)如图所示，设点C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝⎛⎭⎫35，245.∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，解得直线AC ′和l 交点坐标为⎝⎛⎭⎫117，267，故Q 点坐标为⎝⎛⎭⎫117，267，且此时点P 到点A ，C 的距离之和最小．。
高中数学第二章解析几何初步2.1.5平面直角坐标系中的距离公式训练案北师大版必修2
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式[A.基础达标]1．若点P (3，a )到直线x ＋3y －4＝0的距离为1，则a 值为( )A. 3 B ．－33C.33或－ 3 D.3或－33 解析：选D.由点到直线的距离公式可得， 1＝|3×1＋a ×3－4|12＋（3）2，解得a ＝3或－33. 2．点P (4，a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则a 的取值范围为( ) A ．[0，10] B ．(0，10)C ．[313，13] D ．(－∞，0)∪[10，＋∞)解析：选A.点P (4，a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则|16－3a －1|42＋（－3）2≤3.解得0≤a ≤10.3．若x 轴上的点P 到原点的距离等于到点M (3，－1)的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(3，0) B ．(－1，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 解析：选C.设P (x ，0)，则|PO |＝|PM |，即 x 2＝（x －3）2＋（0＋1）2，整理得x 2＝x 2－6x ＋9＋1，解得x ＝53，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0. 4．直线l 过点A (3，4)，且与点B (－3，2)的距离最大，则l 的方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0 D ．3x ＋y －13＝0解析：选D.当l ⊥AB 时符合要求，因为k AB ＝4－23－（－3）＝13，所以l 的斜率为－3，又过A (3，4)， 故l 的方程为3x ＋y －13＝0.5．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1，3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，5]C ．(0，5]D ．[0，17]解析：选C.设直线l 1，l 2之间的距离为d ，当两直线重合时，距离最小d ＝0，但两直线平行，故d >0.当l 1和l 2与PQ 垂直时，两直线距离d 最大， d ＝|PQ |＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5，所以0<d ≤5.6．直线3x －4y －6＝0与3x －4y ＋7＝0之间的距离d 为________．解析：d ＝|－6－7|32＋（－4）2＝135. 答案：1357．已知定点A (0，1)，点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为________．解析：设B 点的坐标为(x ，y )，|AB |2＝x 2＋(y －1)2，又y ＝－x, 则|AB |2＝x 2＋(x ＋1)2＝2x 2＋2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12. 当x ＝－12时，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12处|AB |取最小值． 即点B 的坐标为(－12，12)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 8．若在△ABC 中，A (1，3)，B (3，1)，C (－1，0)，则△ABC 的面积等于________．解析：设AB 边上的高为h, 则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝（3－1）2＋（1－3）2＝2 2. AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在直线的方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C (－1，0)到x ＋y －4＝0的距离h ＝|－1＋0－4|12＋12＝52.因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.答案：59．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解：(1)由点斜式方程得，y －5＝－34(x ＋2)，所以l 的方程为3x ＋4y －14＝0.(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 则由平行直线间的距离公式得， |C ＋14|5＝3，得C ＝1或－29. 所以直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．直线l 经过点P (2，－5)，且与点A (3，－2)和点B (－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率存在．设斜率为k ，点A ，B 到直线l 的距离分别为d 1，d 2. 因为直线l 过点P (2，－5)，所以直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)， 即kx －y －2k －5＝0.点A 到直线l 的距离d 1＝|3k －（－2）－2k －5|k 2＋1＝|k －3|1＋k2， 点B 到直线l 的距离d 2＝|k ×（－1）－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|1＋k2， 又d 1∶d 2＝1∶2，所以|k －3||3k ＋11|＝12，化简得k 2＋18k ＋17＝0，解得k ＝－1或k ＝－17. 故所求直线l 的方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.[B.能力提升]1．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l 1：x －2y ＋1＝0和l 2：3x －y －2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2，3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )A ．2x －y ＋7＝0和x －3y －4＝0B ．x －2y ＋7＝0和3x －y －4＝0C ．x －2y ＋7＝0和x －3y －4＝0D ．2x －y ＋7＝0和3x －y －4＝0解析：选B.法一：因为另两边分别与l 1，l 2平行且到P (2，3)的距离分别相等，所以设l 3：x －2y ＋c 1＝0，l 4：3x －y ＋c 2＝0，由点到直线的距离公式得出c 1＝7，c 2＝－4.法二：l 1的对边与l 1平行应为x －2y ＋c ＝0形式排除A ，D ；l 2的对边也与l 2平行，应为3x －y ＋c 1＝0形式排除C ，所以选B.2．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B.直线2x －y ＝0的斜率为2，x ＋ay ＝0的斜率为－1a.因为两直线垂直，所以－1a ＝－12，所以a ＝2.所以直线方程为x ＋2y ＝0，中点P (0，5)，则OP ＝5.在直角三角形中斜边的长度|AB |＝2|OP |＝2×5＝10，所以线段AB 的长为10，故选B.3．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点P (m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：由题设a 2＋b 2＝c 2，m 2＋n 2表示直线l ：ax ＋by ＋2c ＝0上的点P (m ，n )到原点O的距离的平方，故当PO ⊥l 时，m 2＋n 2取最小值d ，所以d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c a 2＋b 22＝4c 2a 2＋b2＝4.答案：44．在△ABC 中，A (3，3)，B (2，－2)，C (－7，1)，则∠A 的平分线AD 所在直线的方程为________．解析：设M (x ，y )为∠A 的平分线AD 上任意一点，由已知可求得AC 边所在直线的方程为x －5y ＋12＝0，AB 边所在直线的方程为5x －y －12＝0.由角平分线的性质，得 |x －5y ＋12|26＝|5x －y －12|26， 所以x －5y ＋12＝5x －y －12，或x －5y ＋12＝y －5x ＋12，即y ＝－x ＋6或y ＝x .结合图形可知k AC <k AD <k AB ，即15<k AD <5，所以y ＝－x ＋6不合题意，舍去．故∠A 的平分线AD 所在直线的方程为y ＝x . 答案：y ＝x5．已知过点A (1，1)且斜率为－m (m >0)的直线l 与x 轴，y 轴分别交于点P ，Q ，过点P ，Q 分别作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R ，S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．解：由已知得直线l 的方程为y －1＝－m (x －1)，则P ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1m，0，Q (0，1＋m )，从而可得直线PR ，QS 的方程分别为x －2y －m ＋1m＝0，x－2y ＋2(m ＋1)＝0.又因为PR ∥QS ，所以|RS |＝|2m ＋2＋1＋1m |5＝3＋2m ＋1m5，又因为|PR |＝2＋2m 5，|QS |＝m ＋15，四边形PRSQ 为直角梯形(或矩形)，所以S 四边形PRSQ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2m5＋m ＋15·3＋2m ＋1m 5＝15(m ＋1m ＋94)2－180. 令f (m )＝m ＋1m，可证f (m )在(0，1]上是递减的，在[1，＋∞)上是递增的．所以f (m )min ＝f (1)＝2.所以S ≥15(2＋94)2－180＝185，即四边形PRSQ 的面积的最小值为185.6．(选做题)如图所示，已知A (－2，0)，B (2，－2)，C (0，5)，过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 将△ABC 分成两部分，求此两部分面积的比．解：法一：由已知可得k AB ＝－12，过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y＝0.直线AC 的方程为5x －2y ＋10＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，5x －2y ＋10＝0，得直线l 与AC 的交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，56，所以|CP ||CA |＝|x P ||x A |＝56， 所以两部分的面积之比为5262－52＝2511.法二：由两点式得直线AB 的方程为y ＋22＝x －2－4，即x ＋2y ＋2＝0.设过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＋m ＝0，将点M (－4，2)的坐标代入得m ＝0，所以过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＝0，此直线将三角形的面积分成两部分，其中△CPQ 的边PQ 上的高d 1＝105＝25，△ABC 的边AB 上的高d 2＝125＝1255，△CPQ 的面积与△ABC 的面积之比为S △CPQ S △ABC ＝|PQ |·d 1|AB |·d 2＝d 21d 22＝2536，所以两部分的面积之比为25361－2536＝2511.。
数学ⅱ北师大版2.1.5平面直角坐标系中的距离公式练习
数学ⅱ北师大版2.1.5平面直角坐标系中的距离公式练习第1.5节平面直角坐标系中的距离公式1、通过点P(x 0,y 0)且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程是〔A 〕B(x –x 0)–A(y –y 0)=0〔B 〕B(x –x 0)–A(y –y 0)+C=0〔C 〕B(x+x 0)–A(y+y 0)=0〔D 〕B(x+x 0)–A(y+y 0)+C=02、直线l 1:x+ay+6=0与直线l 2:(a –2)x+3y+2a=0平行，那么a 的值等于〔A 〕–1或3〔B 〕1或3〔C 〕–3〔D 〕–13、直线l 1:(2a+1)x+(a+5)y –6=0与直线(3–a)x+(2a –1)y+7=0互相垂直，那么a 等于 〔A 〕–31〔B 〕1〔C 〕71〔D 〕214、直线2x –y –4=0绕着它与x 轴的交点，按逆时针方向旋转4后，所得的直线的方程是〔A 〕x –3y –2=0〔B 〕3x+y –6=0〔C 〕3x –y+6=0〔D 〕x –y –2=05、点A(0,–1)，点B 在直线x –y+1=0上，直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，那么点B 的坐标是〔A 〕(–2,–3)〔B 〕(2,3)〔C 〕(2,1)〔D 〕(–2,1)6、两条直线x –2y –2=0与x+y –4=0所成的角的正弦值是.7、过点P(2,3)且与直线2x+3y –6=0的夹角为arctan 32的直线的方程是.8、在△ABC 中，高线AD 与BE 的方程分别是x+5y –3=0和x+y –1=0，AB 边所在直线的方程是x+3y –1=0，那么△ABC 的顶点坐标分别是A ；B ；C 。
参考答案1、A ；2、D ；3、C ；4、B ；5、B ；6.10、107、5x-12y+26=0或x=28、(-2,1)，(1,0)，(2,5)。
部编版2020学年高中数学第二章.1直线与直线的方程2.1.5平面直角坐标系中的距离公式学案北师大版必修
1.5 平面直角坐标系中的距离公式1.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用.(重点)2.能准确求出两平行直线间的距离.3.会用解析法证明几何问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 两点间的距离公式阅读教材P 74“练习”以下至P 75“例15”以上部分，完成下列问题.一般地，若两点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有两点A ，B 间的距离公式，|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.已知A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12C.3D.2【解析】 由两点间的距离公式， 得|AC |＝[3－(－1)]2＋(4－0)2＝42，|CB |＝(5－3)2＋(6－4)2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.【答案】 D教材整理2 点到直线的距离公式阅读教材P 76“练习1”以下至P 77“例18”以上部分，完成下列问题.已知点P (x 0，y 0)，直线l 的方程是Ax ＋By ＋C ＝0，则点P 到直线l 的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.322B.22C.32D.12【解析】 d ＝|1＋1＋1|12＋(－1)2＝322. 【答案】 A[小组合作型]两点间的距离公式(1) (2)已知点A (a ，－5)与B (0,10)间的距离是17，求a 的值；(3)在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2,0)的距离相等. 【精彩点拨】 利用条件确定点的坐标，再代入两点间的距离公式.【自主解答】 (1)直线2x ＋my ＋2＝0与x 轴的交点为(－1,0)，与y 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2m ， ∴两交点之间的距离为d ＝(－1－0)2＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋2m 2＝1＋4m2.(2)由两点间的距离公式可得d 2＝a 2＋152＝172， ∴a ＝±8.(3)法一：设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和P 到A ，B 距离相等建立方程组⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，(x －1)2＋(y ＋1)2＝(x －2)2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴P 点坐标为(0,1).法二：设P (x ，y )，两点A (1，－1)，B (2,0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.① 又3x －y ＋1＝0，②解由①、②组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以所求的点为P (0,1).两点间的距离公式是利用代数法研究几何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何中的距离问题往往最后都要转化为此公式来解决.[再练一题]1.已知点A (－1,2)，B ＝(2，7)，P 为x 轴上一点，若满足|PA |＝|PB |，则P 的坐标为________.【导学号：39292093】【解析】 法一：设所求点为P (x,0)，于是有|PA |＝(x ＋1)2＋(0－2)2＝x 2＋2x ＋5， |PB |＝(x －2)2＋(0－7)2＝x 2－4x ＋11，由|PA |＝|PB |，得x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1，故所求点P 的坐标为(1,0).法二：线段AB 的中垂线方程为3x ＋(7－2)y －3＝0依题意，点P 的坐标为方程组⎩⎨⎧3x ＋(7－2)y －3＝0y ＝0的解.解该方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0故所求点P 的坐标为(1,0). 【答案】 (1,0)点到直线的距离公式求点P (1,2)到下列直线的距离： (1)l 1：y ＝x －3；(2)l 2：y ＝－1；(3)y 轴.【精彩点拨】 解答本题可先将直线方程化为一般式，然后直接用点到直线的距离公式求解.【自主解答】 (1)将直线方程化为一般式为x －y －3＝0. 由点到直线的距离公式，得d ＝|1－2－3|1＋(－1)2＝2 2.(2)法一：直线方程化为一般式为y ＋1＝0，由点到直线的距离公式，得d ＝|2＋1|02＋12＝3.法二：∵y ＝－1平行于x 轴，由图知，d ＝|2－(－1)|＝3.(3)法一：y 轴的方程为x ＝0，由点到直线的距离公式，得d ＝|1＋0＋0|12＋02＝1. 法二：由图可知，d ＝|1－0|＝1.应用点到直线的距离公式应注意以下问题：(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应化成一般式，再用公式； (2)当点P (x 0，y 0)在直线上时，d ＝0；(3)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |； 点P (x 0，y 0)到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |.[再练一题]2.若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________. 【解析】 ∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52， ∴k ＝－3，或k ＝173.【答案】 －3或173[探究共研型]两平行线间的距离公式探究1【提示】 能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可.探究2 已知l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，如何推导出l 1与l 2的距离公式呢？【提示】 由l 1与l 2的方程可知直线l 1∥l 2，设P 0(x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C 2＝0上任一点，则点P 0到直线Ax ＋By ＋C 1＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C 1|A 2＋B 2.又Ax 0＋By 0＋C 2＝0，即Ax 0＋By 0＝－C 2，∴d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(1)两平行直线l 1：3x ＋4y ＝10和l 2：3x ＋4y ＝15间的距离为________. (2)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程.【精彩点拨】 (1)方法一：在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；方法二：利用平行线间的距离公式求解.(2)设出平行直线系，利用两平行线间的距离公式求参数.【自主解答】 (1)法一：若在直线l 1上任取一点A (2,1)，则点A 到直线l 2的距离即是所求的平行线间的距离，∴d ＝|3×2＋4×1－15|32＋42＝1. 法二：利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2， 得d ＝|(－10)－(－15)|32＋42＝1. 【答案】 1(2)设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，在直线l 上取点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 由点到直线的距离公式得2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12×12＋C 52＋122，解得C ＝32或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0.1.针对此类型的题目一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两条平行直线间距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.2.当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决. (1)两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|；(2)两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2， 则d ＝|y 2－y 1|.[再练一题]3.已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1 B.2 C.12D.4【解析】 ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 【答案】 B1.已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A.1 B.－5 C.1或－5D.－1或5【解析】 由|AB |＝(－2－a )2＋(－1－3)2＝5⇒a ＝1或a ＝－5. 【答案】 C2.已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A.1 B. 2 C. 3D.2【解析】 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2. 【答案】 B3.分别过点A (－2,1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________.【解析】 d ＝|3－(－2)|＝5. 【答案】 54.P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________.【解析】 直线6x ＋8y ＋6＝0可变为3x ＋4y ＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d ＝|－12－3|32＋42＝3，|PQ |最小值为d ＝3. 【答案】 35.已知直线l 过点(0，－1)，且点(1，－3)到l 的距离为322，求直线l 的方程，并求出坐标原点到直线l 的距离.【导学号：39292094】【解】 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为x ＝0，点(1，－3)到l 的距离为1，不满足题意，从而可知直线l 的斜率一定存在，设为k ，设其方程为y ＝kx －1.由点到直线的距离公式，得|k ＋3－1|1＋k2＝322，解得k ＝1或k ＝17， 所以直线l 的方程为y ＝x －1或y ＝17x －1，即x －y －1＝0或x －7y －7＝0.根据点到直线的距离公式可得，坐标原点到直线x －y －1＝0的距离为22，到直线x －7y －7＝0的距离为7210.。
【数学】2.1.5 平面直角坐标系中的距离 课件(北师大必修2)
2
2
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、A(0，-4),B(0，-1)
(3)、A(6，0),B(0，-2)
(4)、A(2，1),B(5，-1)
答题 （1） 8
（3）2 10
（2） 3
（4）
13
例1、已知△ABC、D是BC上的任意一点（D与B、 2 2 C不重合）且 AB AD BD DC 求证： y A △ABC为等腰三角形 B 解：如图建立直角坐标系，设 A（0，a），B（b，0） C
平面内任意两点间的距离
例如：已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2),如 何求P1,P2的距离 P1P2 ？ y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P P2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
2
2
特别地，原点O（0，0）与任意一点P(x,y)的距离为
知识探究（二）：两平行直线的距离
思考1:两条平行直线的相对位置关系常 通过距离来反映，两平行直线间的距离 的含义是什么？
A
B
思考2:根据上述思路，你能推导出两平 行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0 （C1≠C2）之间的距离d的计算公式吗？
y l2
l1
d
o
| C1 C2 | A2 B 2
知识探究（一）：点到直线的距离
思考1:你能设计一个方案求点P(x0，y0) 到直线l：Ax+By+C=0的距离吗？
y
B Q
P o
A l
x
思考2:根据上述分析，点P(x0，y0)到直 线l：Ax +By +C=0的距离为：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《平面直角坐标系中的距离公式》
同步练习
1.点P与x轴及点A(－4,2)的距离都是10，则P的坐标为________。
2.两平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0间的距离为________。
3.已知A(a,3)，B(－2,5a)，|AB|＝13，则实数a的值为________。
4.已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为_______。
1.已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5
2.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B．C．2 D．
3.已知三点A(3,2)、B(0,5)、C(4,6)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
4.设P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为
( )
5 D．6
1.在直线2x－y＝0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为5，并求直线PM的方程。
2.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程。