一类具有时滞的Chemostat模型的稳定性分析
线性时滞系统的稳定性分析
线性时滞系统的稳定性分析孙凤琪【摘要】利用 Lyapunov 稳定性理论及矩阵分析方法，对线性时滞控制系统进行稳定性分析，通过范数有界不确定参数矩阵的限制，给出了系统稳定的新的充分性判据。
该方法不需要系统分解和降阶技术，所得结果均用线性不等式形式给出，可应用于标准和非标准的时滞奇异摄动系统的稳定性分析中。
%The author considered the stability problem of linear singularly perturbed systems with time-delay.Under the norm bounded uncertain matrix constraints,a new sufficient stability criterion was proposed by Lyapunov stability theory and matrix analysis method.This method is expressed in terms of linear matrix inequalities that does not require the system decomposition and reduction technique.Thus,the method is simple and feasible,which can be applied to both standard and nonstandard singularly perturbed systems with time-delay.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】6页(P709-714)【关键词】奇异摄动系统;时滞系统;不确定系统;稳定性分析;线性矩阵不等式;Lyapunov-Krasovskii泛函【作者】孙凤琪【作者单位】吉林师范大学数学学院，吉林四平 136000【正文语种】中文【中图分类】O232考虑非线性时变时滞不确定控制系统模型：其中f，g∈Rn是满足f（0，t）＝0，g（0，t）＝0的未知时变非线性函数，表示模型中的参数摄动或不确定性，满足如下线性限定条件：其中α，β是已知的正常数界，其他条件与文献［5］中的相应系统相同.引理1［6］假设X，Y为定常实矩阵，则其中Q＞0为对称正定矩阵.引理2［6］设X，Y为向量，则式（3）变为特别地，当Q＝ε时，矩阵不等式2XTY≤ε－1 XTX＋εYTY成立.取f（x（t），t）＝（A＋DFE1）x（t），g（x（t－d（t）），t）＝（Ad＋DFEd）x（t－d（t）），＝0，＝0，则系统（1）变为如下线性系统：其中P＞0，Q＞0，P1＞0，P2＞0是适当维数的正定矩阵.则V（xt）即为正定的Lyapunov－Krasovskii泛函.将V（xt）沿系统（5）的轨迹微分，得“＊”表示对角位置处矩阵的转置，为消除不确定性，将式（9）进行如下变换：其中：Π＝P（A＋Ad）＋（A＋Ad）TP＋Q＋τ（λ1α＋λ2β）I；Σ＝P（DFE1＋DFEd）＋（DFE1＋DFEd）TP.由文献［5］中引理4.1知，存在η＞0，使得矩阵不等式M＜0，等价于式（10）对于变量P，Q，λ1，λ2和是线性的，即为式（7）.证毕.在系统（5）中，令E1＝0，Ed＝0，得：推论1 系统（5）是渐近稳定的当且仅当存在对称正定矩阵Q＞0，P＞0及常数λ1＞0，λ2＞0和~η＞0，使其满足矩阵不等式：此即为正常系统的稳定性条件［8－9］.此外，在条件（8）中，令P1＝0，P2＝0，即得相应的时滞独立稳定性判据：定理2 如果存在对称正定矩阵Q＞0，P＞0及常数λ1＞0，λ2＞0和~η＞0，满足下列矩阵不等式：则系统（5）是渐近稳定的，其中：“＊”表示对角位置处矩阵的转置；综上所述，本文研究了一类带有时变时滞不确定线性系统的鲁棒稳定性问题.采用Newton－Leibniz公式［8］，将离散时滞转变为分布时滞.通过构造一种新的Lyapunov泛函，应用引理2的放大方法，得到一种新的时滞依赖和时滞独立稳定性判据.该方法对系统不确定性的限制结构更具体，对加权矩阵的特殊选取使得鲁棒稳定性判据描述为线性矩阵不等式形式.与文献［6，9］相比，具有一定的优越性和可行性.该方法不需要系统分解和降阶技术，所得结果均用线性矩阵不等式形式给出，可利用现有优化方法对求解相关问题［9－12］提供理论参考，该方法也适用于标准和非标准情形下时滞系统的稳定性研究.【相关文献】［1］ TANG Gongyou.Suboptimal Control for Nonlinear Systems：A Successive Approximation Approach［J］.Systems ＆Control Letters，2005，54（5）：429－434. ［2］ ZHANG Xianfu，CHENG Zhaolin，LIU Qingrong.A Fuzzy Logic Approach to Optimal Control of Nonlinear Time－Delay Systems［C］／／Proceedings of the Fifth World Congress on Intelligent Control and Automation.New York：IEEE Press，2004：902－906. ［3］周朝霞.不确定时滞非线性系统的鲁棒稳定性研究［D］.南昌：南昌大学，2007.（ZHOU Chaoxia.The Robust Stability Study for the Uncertain Nonlinear Systems with Time－Delay ［D］.Nanchang：Nanchang University，2007.）［4］ Tang G Y，Wang H H.Successive Approximation Approach of Optimal Control for Nonlinear Discrete－Time Systems［J］.International Journal of Systems Science，2005，36（3）：153－161.［5］ Fridman E.Efects of Small Delays on Stability of Singularly Perturbed Systems ［J］.Automatica，2002，38（5）：897－902.［6］郑再东，崔宝同.一类广义不确定时滞系统的鲁棒容错控制［J］.计算机应用研究，2012，29（4）：1329－1331.（ZHENG Zaidong，CUI Baotong.Robust Fault－Tolerant Controlfor a Class of Uncertain Singular Systems with Time－Delay［J］.Appl Res Comput，2012，29（4）：1329－1331.）［7］孙凤琪.不确定时滞系统的控制器设计［J］.哈尔滨工业大学学报，2012，44（11）：129－132.（SUN Fengqi.Controller Design for Uncertain Time－Delay Systems［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2012，44（11）：129－132.）［8］俞立.鲁棒控制：线性矩阵不等式处理方法［M］.北京：清华大学出版社，2002：174－176.（YU Li.Robust Control：Linear Matrix Inequality Approach［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2002：174－176.）［9］姜偕富，徐文立.线性不确定时滞系统鲁棒指数镇定［J］.清华大学学报：自然科学版，2004，44（7）：997－1000.（JIANG Xiefu，XU Wenli.Robust Exponential Stabilization for Linearly Uncertain Time－Delay Systems［J］.Tsinghua Univ：Sci ＆Tech，2004，44（7）：997－1000.）［10］ SUN Fengqi，YANG Chunyu，ZHANG Qingling，et al.Stability Bound Analysis of Singularly Perturbed Systems with Time－Delay［J］.Chemical Industry ＆Chemical Engineering Quarterly，2013，19（4）：505－511.［11］孙凤琪.时变不确定时滞系统的稳定性分析［J］.吉林大学学报：信息科学版，2012，30（5）：456－461.（SUN Fengqi.Stability Analysis of Singularly Perturbed Uncertain Systems with Time－Varying Delay［J］.Journal of Jilin University：Information Science Edition，2012，30（5）：456－461.）［12］ Tang G Y，Wang H H.Successive Approximation Approach of Optimal Control for Nonlinear Discrete－Time Systems［J］.International Journal of Systems Science，2005，36（3）：153－161.。
时滞动力学系统的L-K稳定性条件分析
时滞动力学系统的L-K稳定性条件分析张晓艳;孙建桥;丁千【摘要】针对线性时滞动力学系统的稳定性问题,比较了3种Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函.以一个在时滞PD反馈控制下的二阶线性系统作为数值实例,在反馈增益的参数空间中,根据不同的L-K泛函所对应的线性矩阵不等式条件计算线性系统的稳定域,并与由特征方程计算出的结果进行比较.结果表明:L-K泛函的稳定性条件是充分且保守的；Gu的完整L-K泛函的LMI不等式中暗含无穷多的矩阵,因此保守性得到很大改善,但其计算量显著增大；当将Lyapunov稳定性理论用于控制设计时,经常使用保守的稳定性条件,但Gu的L-K泛函更有利于控制器设计.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2013(047)005【总页数】5页(P72-76)【关键词】动力学系统;时滞;稳定性;Lyapunov-Krasovskii理论【作者】张晓艳;孙建桥;丁千【作者单位】天津大学力学系,300073,天津;天津电子信息职业技术学院电子系,300132,天津;加州大学默塞得分校工学院,95343,美国加里福尼亚默塞得;天津大学力学系,300073,天津【正文语种】中文【中图分类】O317时滞现象广泛存在于航天航空、机械设计、车辆制造、建筑结构、金融工程、信息通信、生物技术及脑信息科学等众多领域，时滞动力学系统的稳定性也一直是重要的研究课题。
Lyapunov－Krasovskii（L－K）泛函方法是研究稳定性的常用方法［1－2］，已有很多研究线性时滞系统稳定性的例子［3－5］。
Fan等人使用线性矩阵不等式研究了带离散和分布时滞的一类中性系统的渐近稳定性问题［6］；Ivanescu等人研究了时滞无关和时滞相关的稳定性条件［7－9］；Han选取时滞无关和时滞相关的L－K泛函，分析了线性时滞和中性系统的稳定性［10］；Shao提出了在一定范围内变时滞系统的改进的稳定性条件［11］；He等人研究了L－K泛函在已知时滞上、下限的时变系统中的应用［12］。
一类时滞抛物型偏微分方程的数值稳定性分析
一类时滞抛物型偏微分方程的数值
稳定性分析
一类时滞抛物型偏微分方程的数值稳定性分析是指对一类具有时滞项的抛物型偏微分方程进行数值解法，通过分析由数值方法产生的误差及其影响来实现数值解法的稳定性分析。
一般情况下，所有一类时滞抛物型偏微分方程都具有一些共同的特点，即该方程包含了一个时滞项，该时滞项有助于将动力学系统中的不确定性减少到最小，从而使数值解法更加稳定。
在对一类时滞抛物型偏微分方程的数值稳定性分析中，需要考虑多种因素，例如方程的结构、数值方法的选择以及步长的大小等，以便能够有效地计算出精确的结果。
几类时滞神经网络模型稳定性分析
3
u˙ i(t) = −aiui(t) + ¯bijfij(uj(t − τij(t))) + Ii, i = 1, 2, 3;
(1)
j=1
stochastic delayed Cohen-Grossberg neural networks
n
dxi(t) = −ai(xi(t)) bixi(t) − cijfj(xj(t))
平凡解的p-阶矩指数稳定性. 通过运用半鞅收敛定理, 我们研究了如下随机时滞细 胞神经网络模型
n
dxi(t) = −cixi(t)dt + aijfij(xj(t))dt
j=1
n
n
(3)
+ bijfij(xj(t − τij))dt + σij(xj(t))dwj(t), t ≥ 0
j=1
j=1
平凡解的几乎指数稳定性.
– IV –
湖南大学 学位论文原创性声明
本人郑重声明：此处所呈交的论文《几类时滞神经网络模型的稳定 性分析》，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。除了文 中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经 发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。
本学位论文属于
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硕士学位论文
第 1 章 绪论
1.1 课题研究的背景及意义
人工神经网络研究开始于20世纪40年代, 是人类智能研究的重要组成部分, 它 是模仿人脑神经网络的结构和某些工作机制建立一种计算和信息处理模型. 近年 来, 随着神经网络理论和应用技术研究的扩展和深入, 神经网络愈来愈受到各国学 者的重视, 它与多种学科相交叉, 解决了很多传统科学解决不了的难题, 为人类认 识世界、开拓未知领域、提高现代科学技术研究水平、进而以科技带动生产力对 国民经济的增长起到了促进作用, 是世界上公认的尖端前沿的技术研究领域之一. 它的实践应用范围十分广泛, 主要包括自动控制领域、处理组合优化问题、模式 识别、图象处理、传感器信号处理、机械人控制、信号处理、卫生保健、医疗、 商业预测、化工领域、焊接领域、以及在数据挖掘、电力系统、交通、军事、矿 业、农业和气象等方面的应用.
具有时滞的Lengyel-Epstein扩散系统的稳定性和分支分析
具有时滞的Lengyel-Epstein扩散系统的稳定性和分支分析具有时滞的Lengyel-Epstein扩散系统的稳定性和分支分析摘要：Lengyel-Epstein(L-E)模型是描述化学反应中左右反应扩散耦合的经典模型之一。
在该模型中引入时滞，可以更准确地描述化学反应中时间延迟的影响。
本文将研究具有时滞的L-E扩散系统的稳定性和分支分析，并通过数值模拟验证研究结果。
导言：化学反应扩散系统是一个复杂的多因素耦合系统，研究其稳定性和分支现象对于深入理解化学反应过程和预测实验现象具有重要意义。
Lengyel-Epstein模型是描述化学反应扩散耦合的经典模型，可以较好地描述反应扩散系统的动力学行为。
然而，该模型忽略了化学反应中时间延迟的影响，而时滞是一种在实际化学反应中普遍存在的现象。
因此，引入时滞对于更准确地描述化学反应具有重要意义。
1. Lengyel-Epstein模型的基本方程L-E模型描述了两种物质的浓度动力学变化及其相互作用。
设两种物质的浓度分别为u(x, t)和v(x, t)，具有以下方程：∂u/∂t = Du∇²u + f(u, v)∂v/∂t = Dv∇²v - f(u, v)其中，D是扩散系数，f(u, v)是描述化学反应的函数。
2. 引入时滞的L-E模型在实际化学反应中，由于化学反应的特性或环境因素的影响，存在着时间延迟的现象。
因此，在L-E模型中引入时滞项，可以更准确地描述实际化学反应中的时间延迟效应。
具有时滞的L-E模型可以描述为：∂u/∂t = Du∇²u + g(u(t-τ), v(t-τ))∂v/∂t = Dv∇²v - g(u(t-τ), v(t-τ))其中，τ表示时滞，g(u(t-τ), v(t-τ))表示延迟效应。
3. 稳定性分析L-E模型的稳定性分析是研究系统在不同参数条件下的动力学行为。
通过线性稳定性分析可以确定系统的稳定性区域和不稳定性区域。
具有时滞的比率型Chemostat模型的稳定性分析
ｌ 模 型 的建 立
一 ） Ｃ ｅ ｏｔ 化器） ｈｍ ｓ ｔ ａ 是一个用来连续培养微生物的实验装置ｌ 是简化 一 １ ］ ， 的湖泊模 型 ， 可用于模拟湖泊和海 洋 中单细胞藻类浮游生物 的生长、 Ｃ ｅ ｏｔ 模型的研究对于工业发酵过程和废水处理等有很重要的作用． ｈｍ ｓ ｔ ａ
文献［研究 了如下模型 ： ２ ］
∽
一
其中 ｜ ｔ Ｓ） （ 和 （ 分别表示在 ｔ ｔ ） 时刻培养皿 中营养和微生物的浓度 ，０ ５ 为输人 的初始营养浓度 ， Ｑ表示流出 率 ， 表示营养的消耗率， ， 为正常数． （） ｋ 式 １得到了正平衡点全局渐近稳定的充分条件、 文献讨论 了 ＝ ＡＢ ＋ Ｓ的情形， 详细分析了解的渐近行为 ，证明了系统的持久性 ， 给出了存在极限环和正平衡点全局渐近稳
第 ３期
董庆来 ， 李
丹， 马万彪 ： 有时滞 的比率型 Ｃ ｅ ｏｔｔ 型的稳定性分析 具 ｈｍ ｓ 模 ａ
３ ９
考 虑到生 物意义 ， 初始 条件 为 设
（） （） ０ｙ ￡＝ ２ ｔ １０ ｌ＋ ２ ，∈［ Ｏ． ￡＝ ｌ ｔ １ ，（） （） ， ２ ｔ ＿ 】 ＞ ＞ ≠Ｏ （） ４
维普资讯
第 ９ 第 ３期 卷 ２ｏ ０７年 ５ 月
石家庄学院学报
Ｊｕｎｌ ｆ ｈ ｉｚｕｎ ｎｖｒ ｔ ｏｒａ ｏ ｉａｈ ａ ｇＵ ｉｅｓｙ Ｓｊ ｉ
Ｖｏ ． ， ｏ ３ １ Ｎ ． ９ Ｍａ ．０ ７ ｙ２ ０
具有时滞 的 比率型 Ｃ ｅ ｏｔ 模型 的稳定性分析 ｈｍ ｓ ｔ ａ
董庆来 ， 李 丹， 马万彪
（ 北京科技大学 应用科学学院， １０ ８ ） 北京 ０ ０３
时变时滞t-s模糊模型的稳定性分析
πｔ（ｋ（ｔ））和 ｋ（ｔ）均有
ｒ
πｉ（ｋ（ｔ））≥０，ｉ＝１πｉ（ｋ（ｔ））＝１。
引理 １［５］ 假设存在一个正定矩阵 Ｒ∈Ｒｎ和可
导函数 ｘ（ｔ）∈［ｃ，ｄ］→Ｒｎ，那么下式成立：
ｄｃｘＴ（ｔ）Ｒｘ（ｔ）ｄｔ≥ｄ１－ｃｐＴＲｐ，
（３）
其中 ｐ＝ｘ（ｄ）－ｘ（ｃ）。
[ ] 引理 ２［６］ 假设存在对称矩阵 Ａ＝ Ａ１１
后加入一个积分项并结合文献［５］里的引理 ２去处 理求导所产生的积分部分，最后以数值例子证明了 本文所提方法的可行性。
１ 系统描述
研究具有如下模糊规则的 Ｔ－Ｓ模糊模型：
Ｒｉ：如果 ｋ１（ｔ）为 Ｍｉ１并且…并且 ｋｃ（ｔ）为 Ｍｉｃ，
{那么 ｘ（ｔ）＝Ａｉ＋Ａｄｉｘ（ｔ－ｈ（ｔ））， ｘ（ｔ）＝（ｔ），ｔ∈［－ｈ，０］
Ｖ２（ｔ）＝ｘＴ（ｔ）Ｑｘ（ｔ）－
（１－ｈ（ｔ））ｘＴ（ｔ－ｈ（ｔ））Ｑｘ（１－ｈ（ｔ）） （１２）
Ｖ３（ｔ）＝ｈ２ｘＴ（ｔ）Ｒｘ（ｔ）－
ｈｔｔ－ｈｘＴ（ｓ）Ｒｘ（ｓ）ｄｓ 因为存在 ｈ（ｔ）≤ｄ２，所以
毛晨斐，李江荣，李 琳
（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 ７１６０００）
摘 要：针对带有时变时滞的 Ｔａｋａｇｉ－Ｓｕｇｅｎｏ模糊模型，首先设计了一个适当的 Ｌｙａｐｕｎｏｖ－Ｋｒａ ｓｏｖｓｋｉｉ泛函，然后给出一个积分不等式用于处理李雅普诺夫泛函求导所产生的积分部分，最后以 ＬＭＩ（线性矩阵不等式）的形式提出一个保守性比较小的系统稳定条件，并以数值例子证明了本文 所提方法的优越性与可行性。 关键词：Ｔ－Ｓ模糊系统；Ｌ－Ｋ泛函；稳定性 中图分类号：ＴＰ２７３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４－６０２Ｘ（２０２０）０１－００３３－０３
一类时变时滞系统的稳定性准则
一类时变时滞系统的稳定性准则
李欢欢;姜偕富;唐超超
【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》
【年(卷),期】2016(036)004
【摘要】研究了一类时变时滞系统的稳定性问题。
采用积分不等式法和时滞分解法，充分利用时变时滞的上界和下界等信息，构造一个新的 Lyapunov-Krasovskii 泛函，并使用不同的积分不等式对Lyapunov-Krasovskii 泛函求导过程中所产生的积分项进行处理，得到了一个保守性更小的稳定性准则。
最后通过数值实例验证了该准则的有效性。
【总页数】5页(P52-56)
【作者】李欢欢;姜偕富;唐超超
【作者单位】杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州 310018;杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州 310018;杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州310018
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
1.时变时滞奇异系统的时滞相关型稳定性准则 [J], 邵风;姜偕富;严顺行
2.时变时滞BAM神经网络系统的时滞依赖指数稳定性准则 [J], 陈一鸣;苏卫卫
3.一类区间时变时滞非线性广义系统的稳定性准则 [J], 焦建民
4.一类时变时滞系统改进的稳定性准则 [J], 唐亮; 姜偕富; 尹宗明; 刘丽丽
5.一类多时变时滞中立微分方程的时滞相关稳定性准则(英文) [J], 杨瑞珍;包俊东;田志坤
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具时滞和扩散的几类化学反应模型的动力学性质分析
具时滞和扩散的几类化学反应模型的动力学性质分析化学反应是自然界中非常常见的现象。
研究化学反应模型的动力学性质,有助于了解反应过程的作用机制及演变规律,对参与反应的反应物的发展趋势作出较为准确的预测。
本文主要研究了带有时滞和扩散的几类化学反应模型的动力学性质,包括常值稳态解的稳定性、Turing不稳定性、稳态解分支、Hopf分支的存在性及分支的性质等。
主要工作如下:(一)建立了具时滞反馈和齐次Neumann边界条件的双分子自催化反应模型,并分析了扩散和时滞反馈对系统动力学性质的影响。
通过对特征根的分布情况的分析,给出了由扩散引起的不稳定性存在的充分条件,并论证了时滞引起的Hopf分支的存在性,最后利用中心流形定理和规范型理论分析了分支的性质,并列举了几个数值算例来支撑理论分析的结果。
研究结果表明,当系统中的抑制剂比激活剂扩散得快时,会出现Turing不稳定现象。
在某些特定的条件下,时滞反馈项变化时会破坏系统常值稳态解的稳定性,出现周期振荡;当反馈强度较小时,选取合适的时滞,会导致稳定性开关的出现,此时,时滞反馈项能将不稳定的稳态解调整成稳定的稳态解。
(二)考察了一个带有时滞反馈项的任意阶自催化反应扩散模型。
在系统满足齐次Neumann边界条件的情况下,研究了时滞反馈对系统常值正稳态解的稳定性的影响,推导出了Hopf分支的存在条件,并分析了分支的方向和分支周期解的稳定性。
最后列举了与理论分析相符的数值算例。
理论分析的结果表明,时滞反馈项不仅会影响常值稳态解的稳定性,而且当时滞反馈变化时,系统会出现空间均匀的周期解以及空间非均匀的周期解。
此外,从数值模拟的结果中可以看出,当反馈强度变大时,时滞反馈项的加入会导致空间非均匀的周期解变得不稳定。
(三)考察了具时滞反馈的光敏CDIMA模型。
当边界处满足齐次Neumann边界条件时,分析了扩散对常值正稳态解的稳定性的影响,推导出了扩散驱动的不稳定性的存在条件。
具时滞的单种群模型和sis模型的稳定性和分支分析
STABILITY AND BIFURCATION ANALYSIS OF A POPULATION MODEL
AND SIS MODEL WITH DELAY
Candidate: Supervisor: Academic Degree Applied for: Speciality: Affiliation: Date of Defence: Degree-Conferring-Institution:
Keywords SIS epidemic model; Time-delay; Hopf bifurcation; Periodic solution
– II –
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
目录
摘 要. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II
第1章 绪论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 泛函微分方程 Hopf 分支理论的发展与研究现状 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 传染病模型的研究意义及国内外研究概况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 传染病模型稳定性及分支的研究现状 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 本文的主要工作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
一类带有时滞的SIR模型的稳定性及分支分析
一类带有时滞的SIR模型的稳定性及分支分析作者：孔建云刘茂省王弯弯来源：《河北科技大学学报》2017年第03期摘要：为了研究饱和发生率和时滞对传染病模型动力学性态的影响，建立了一类具有饱和发生率和指数出生且帶有时滞的SIR模型，通过对模型特征方程的分析，判定了系统的地方病平衡点的稳定性，并找到了系统发生分支的临界值，通过数值模拟验证了理论分析结果的正确性。
结果表明：当时滞小于临界值时，地方病平衡点是局部渐近稳定的；当时滞大于临界值时，地方病平衡点不稳定，并产生了Hopf分支。
研究结果对解释传染病的周期性暴发、预防和控制传染病的传播具有借鉴作用。
关键词：稳定性理论；SIR模型；时滞；饱和发生率；Hopf分支中图分类号：O175.13文献标志码：Adoi： 10.7535/hbgykj.2017yx03003Abstract：In order to analyze the effects of saturation incidence and time delay on the dynamics of epidemic model， a delayed SIR model with a saturated incidence rate and exponential birth is constructed. By considering the characteristic equation of the system， the stability of the endemic equilibrium is analyzed， and the critical value of the bifurcation is found. The theoretical analysis results are verified by numerical simulations. The result shows that when the delay is less than the critical value， the endemic equilibrium is locally asymptotically stable； When the delay is larger than the critical value， the endemic equilibrium is unstable and there exists a Hopf bifurcation. The results of this study can be used to explain the periodic outbreaks of infectious diseases， and guide the prevention and control of the spread of the disease.Keywords：stability theory； SIR model； delayed； saturated incidence rate； Hopf bifurcation由于气候的变化和环境的不断遭到破坏，一些新的突发性传染病威胁着人类的生命，影响着人们的日常生活。
一类具有时滞的恒化器模型的定性分析
来考虑此系统在（ ， ’ 处的线性化系统 ： ’Ｙ ） ｆ ￡ ｘ （）＝（ ｄ — 菇 ） ｘ ｔ 一 （ ’ ｙｔ 下 一 ｌ Ｐ（ ‘ ） （） ｐ ｘ ） （ 一 ） 【 Ｉ （）＝Ｐ（ ） ｔ （） ’
段， 对生态系统（ 特别是水生生态系统） 的管理 ， 预
测和 环境 污染 的治 理 ， 业 用 微 生 物 的 生 产 ， 品 商 食
加工 ， 生物制药等方面具有重要的应用．
标准 的微生物连续培养数学模型是在上世纪 ４ 年代发展起来 的． ０ 严格地讲 ， 在微生物的连续培 养过程中 ， 微生物 的增殖与所消耗的营养液并不是 在 瞬 间完成 的 ， 因此用 具有 时 间滞后 的微 分方 程来 描 述微 生物 的连 续 培养 过 程 已成 为 一 个新 的研 究
¨２
Ｗｏ ｏ ｉｚ ］ 在 这 些 模 型 中 ， 生 ｌ ｗｃ ． ｋ 微
为 了判 断 系统 在 （ ， ’ ’Ｙ ）处稳 定 性 ， 们 先 我
物在时刻 ｔ 的增长率是由时刻 ｔ ｒ 一．时刻的营养浓
度决定 ． Ｍ ｃ ｏ ａ 考虑 了在过去一段时间 另 ａＤ ｎｌ ｄ 上的分布时滞情形． 近几十年来 ， 于该模型 的研 关 究 也取 得 了丰 富的研究 成 果 ． 卜 由于微生 物都 具有 成熟 期 ， 且成熟 的微 生物 并 才能产生新的生物群． 本文仅从微生物具有成熟期 的角度引入时滞 ， 考虑如下模型 ｆ ｔ ｘ（）＝ （ 。一 ｔ） １一ｐ （） ， ｔ ｒ ， 、 （） ｄ （ ｔ ）， 一． （ ） ．
Ｍａ． ｒ ２１ Ｏ２
文章编号 ：０ ８—１０ （０ ２ ０ ０ ９ ｏ １０ ， ２ ２ １ ）２— ５一 ２ １ ２
一类具有非线性发生率的时滞SIR模型的稳定性分析
讨 论 了平衡 点 的稳 定 性 ， 通 过 数 值模 拟 给 出 了 系统 存 在 周期解 ＿ ６ Ｊ 。
１ Ｓ Ｉ Ｒ模型
在传 染病 模 型 中 ， 发 生 率起 到 重 要 的作 用 。文 献［ ６ ］ 提 出了一类具 有免疫力 和发 生率 的 Ｓ Ｉ Ｒ模
型：
规律 ， 并希望以此为制定预防疾病传播的策略提供
第ｌ ３卷 第 ４期 ２ ０ １ ４年 １ ０月
北京 工业职 业技 术学院学报
Ｊ ０ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｂ Ｅ Ｉ Ｊ Ｉ Ｎ Ｇ Ｐ Ｏ Ｌ Ｙ Ｔ Ｅ Ｃ Ｈ Ｎ Ｉ Ｃ Ｃ Ｏ Ｌ Ｌ Ｅ Ｇ Ｅ
Ｎ ｏ ． ４ Ｖｏ １ ． １ ３ ０ｃ ｔ ． ２ ０ １ ４
一
类具有 非线性发 生率 的时滞 Ｓ Ｉ Ｒ模 型 的 稳 定 性 分 析
郭艳芬 孙 静
（ 北京工 业 职业技 术学 院 基础 教育 学 院 ， 北京 １ ０ ０ ０ ４ ２ ）
摘
要： 传 染病 是现 实世界 中普 遍存 在 的重要 现 象之一 。 考虑 了一 类具有 时 滞和非 线性 源自 生率 的 Ｓ Ｉ Ｒ模 型 。
第 ４期
郭 艳芬 ， 等： 一 类具有 非 线性发 生 率的 时滞 Ｓ Ｉ Ｒ模 型 的稳 定性分析
点Ｅ ： （ １ ， ０ ） ； 当上
通过 对特征 根 的分 布进行 分析 ， 讨论 了平衡 点的稳 定性 ， 给 出 系统稳 定和 不稳 定 的充要 条件 。 关键 词 ： Ｓ Ｉ Ｒ模型 ； 时滞 ； 非 线性发 生率 ； 稳 定性
中图分类 号 ： ０１ ７ ５ ． １ 文 献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ １— ６ ５ ５ ８ （ ２ ０ １ ４） ０ ４—３ ２— ０ ３ Ｄ ＯＩ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ １— ６ ５ ５ ８ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ４ ． ０ ０ ８
带时滞环节的系统稳定性分析
问题2：带时滞环节的系统稳定性分析线性时滞系统稳定性分析综述从工程实践的角度来看, 时滞的存在往往导致系统的性能指标下降,甚至使系统失去稳定性. 例如系统Ûx(t) = - 0. 5 x ( t) (1)是稳定的,但加入时滞项后,系统Ûx( t) = - 0. 5 x ( t) + 1. 3 x ( t - 1) (2)变得不稳定。
同时,时滞也可以用来控制动力系统的行为,例如时滞反馈控制已成为控制混沌的主要方法之一。
通常用泛函微分方程来描述时滞系统, 以含单时滞的微分方程为例,即Ûx( t) = A x + B x ( t - h)其中 A , B ∈Rn×n ,x ( t) = φ( t) , t ∈[ - h ,0 ] (3)其中: h > 0 为时滞,初始条件由定义在[ - h ,0 ] 的连续可微函数φ(·) 确定,系统t > 0 时的行为不仅依赖于0 时刻的状态,而且与时间段[ - h ,0 ] 内的运动有关,因此解空间是无穷维的. 其特征方程是含有指数函数的超越方程,即det (λI - A - exp ( - λh) B) = 0 (4)讨论特征根需要用到很多复变函数的知识. 早在1942 年, Pont ryagin 就提出了一种原则性方法———Pont ryagin 判据来解决这一问题, 之后很多工作致力于对这一判据具体化,使之更加实用。
总之,时滞系统稳定性分析方法可分成3 类。
2. 1 无限维系统理论方法这种方法是将时滞系统看成无穷维系统, 用无穷维空间的适当算子来描述时滞系统的状态变化,一方面可对时滞系统进行一般建模;另一方面,也可表述系统的可观性和可控性等结构方面的概念。
2. 2 代数系统理论方法代数系统理论对于时滞系统的建模和分析都比较方便,但在控制器的设计方面目前尚处于初期阶段,还缺乏有效方法。
2. 3 泛函微分方程理论方法泛函微分方程理论考虑了系统的过去对系统变化率的影响,利用有限维空间以及泛函空间提供一套适当的数学结构以描述时滞系统的状态变化。
化学分析中的准确度与稳定性问题研究
化学分析中的准确度与稳定性问题研究近年来，化学分析在各个领域得到了广泛的应用，无论是医疗、食品、环保、工业等行业都需要进行化学分析来保证产品或者环境的质量与安全。
然而，对于化学分析这一过程，准确度与稳定性一直是存在的问题，这也是需要研究的问题之一。
准确度问题化学分析中，准确度问题一直是研究的重点。
准确度是指实验测量结果与标准值之间的偏差程度。
在进行化学分析时，测量结果可能存在系统误差和随机误差。
系统误差是由于仪器的固有误差或者人为操作的偏差造成的，而随机误差是由于试剂、材料等随机因素所造成的。
为了提高化学分析的准确度，研究人员需要通过不断地优化实验方法，选择合适的仪器以及准确的检测条件，最大限度地降低误差的出现。
同时，利用校准曲线可以有效地纠正测量误差，提高准确度。
除此之外，研究人员还需要在实验中引入参考物质，使用其作为对照标准，以检测实验过程中的准确度是否存在问题。
参考物质可以是纯净的化合物，也可以是人工合成的标准品。
通过比较实验结果与参考物质的标准值，可以判断出实验中存在的误差，并进行纠正。
稳定性问题除了准确度问题外，稳定性也是化学分析中需要重点关注的问题。
稳定性指实验测量值在一定时间范围内的变化程度。
在进行化学分析时，样品的保存方式、处理方法、温度等因素均可影响实验结果的稳定性。
针对稳定性问题，研究人员需要根据实验的具体情况，选择合适的存储温度和存储方式，最大限度地保证样品的稳定性。
同时，实验过程中需要对每一个步骤进行详细记录，确保实验结果的可靠性和稳定性。
为了提高化学分析的稳定性，需要不断地进行实验验证和质量控制，同时也需要加强对于实验环境的管理和维护，尽可能减少外界因素对于实验结果的影响。
结语化学分析作为一项重要的科研工作，准确度和稳定性问题一直受到研究人员的关注。
准确度问题可以通过多种方法进行纠正，而稳定性问题则需要从样品处理、存储、实验过程等多个方面进行关注和管理，才能得到可靠的实验结果。
一类非均匀Chemostat模型解的性质的开题报告
一类非均匀Chemostat模型解的性质的开题报告
题目：一类非均匀Chemostat模型解的性质
摘要：非均匀Chemostat模型是一类涉及多个物种之间相互作用的微分方程模型，广泛应用于生物学、生态学等领域中。
本文将研究这种模型的解的性质，探讨其中包含的生物学特征、稳定性与可持续性等方面的问题。
介绍：Chemostat模型是一种流培养系统，能够提供稳定的营养物浓度。
生物体在其中不断生长繁殖，同时也消耗营养物以及排放废物。
非均匀Chemostat模型是对多个物种之间相互作用的微分方程模型的一种描述。
本文旨在探究非均匀Chemostat模型的解的性质，重点关注以下问题：生物学特征的表现、稳定性以及可持续性。
针对这些问题，我们将从以下几个方面展开讨论。
第一，我们将对非均匀Chemostat模型中不同生物体的生物学特征进行分析，主要考察它们的生长速率、竞争力等因素对于解的影响。
第二，我们将通过稳定性理论对模型解进行分析。
探讨在不同初始条件下，模型解的长期行为是趋于一个稳定的状态，还是产生周期性振荡，又或者是收敛于某一不稳定的解。
第三，我们将研究模型解的可持续性，即在何种条件下，模型可以保持一定的生物物种多样性，而不产生物种灭绝的情况。
总之，本文将从生物学特征、稳定性以及可持续性等方面，对非均匀Chemostat模型的解进行分析，为生物学、生态学等领域的研究提供新的思路和方法。
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表示 流 出率 ， 表示 营养 的 消耗率 ， ， ｋ 为正 常 ｋ ， 数 ， ≥０为 时 滞 。 对 系 统 （ ） 量 纲 化 ， Ｘ ＝ ｒ １无 令
２１ ０ ０年 ３月 ２ ９日收到 延安大学重点科研基金项 目资助
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在 。容易证 明 当 ｔ ０ ｙ） ， ｔ ≥０和 Ｙ ｔ ≥０ ∈（ ， 时 （） （）
Ｉ（ ≤１ ｙ￡ ｔ ） 一 （ ）
１ ６期
孙明娟 ， ： 等 一类 具有 时滞 的 Ｃ ｅ ｏｔｔ 型的稳定性分析 ｈｍ ｓ 模 ａ
３ １ ８７
由于时滞 线性 系统
ｒ （ ）＝ｍｕ ｔ—ｒ ｔ ｚ ； （ ）一ｕ ｔ （） ｒ、 ５
线性 近似 系统 的零解是 稳定 的 ； （ ） 口 ｍ ＞１ ，ｅ ＜口＋１ ｍｅ １一ｂ ４ 女果 ， 一 ｎ ， 一（ ）＜１ ，
中图法分类号
０ ７ ．１ １５ ２ ；
文献标志码
Ａ
Ｃ ｅ ｏｔ （ 化器 ） 一 个 用 来 连续 培 养 微 生 ｈｍ ｓ ｔ恒 ａ 是 物 的实验 装 置 … ， 简 化 的 湖 泊 模 型 ， 用 于 模 拟 是 可 湖泊 和海 洋 中单 细 胞 藻 类 浮 游 生 物 的生 长 。文 献 ［］ ２ 研究 了增 长 函数 为 Ｔｓｉ 型 的 Ｃ ｅ ｏｔｔ 力 ｉｅ ｓｔ ｈｍ ｓ 动 ａ
摘
要
研 究了一类具有时滞 的、 增长函数 为 Ｔｓｉ 型的微 生物连续培养模 型 ， ｉｅ ｓｔ 讨论 了解 的存在 性、 有界 性和平衡 点的局部
稳定性 ， 利用 Ｌ ａｕｏ—ａａ ｅ不变性原理证 明了边界平衡 点的全局渐近稳定 性． ｙｐｎｖＬＳ Ｕ
关键词 Ｃ ｅ ｏｔｔ ｈｍ ｓ ａ 时滞 稳定性 Ｌ ａｕ ｏ－ａａ ｅ不 变性 原 理 ｙｐｎｖＬ Ｓｌ ｌ
考虑 到生物 意义 ， 系统 的初始 条件为 假设
（）＝ （） ０ Ｙ ｔ ＝ （） ０ ｔ ｌ ｔ ｉ ，（ ） ２ ｔ Ｉ ， ＞ ＞
１ ２≠０ ｔ ＋ ，∈［一 ， ］ ｒ ０
（） ３
式（） ３ 中 ，ｔ和 ：ｔ是 ［一 ，］ 的连续 函数 。 （） （） ｒＯ 上
点 的稳定性 和 系统 的持 久 性却 是 无 害 的 。因此 ， 在 模型 中引入 时 滞 是 有必 要 的． 文 将 在 文献 ［ ］ 本 ２ 的
恒成立 。下面证明 （） Ｙ ｔ 在 ［ ， 上有界 。 和 （） ０ ）
事实上 ， 由系统 （ ） ２ 和 （） Ｙ ｔ 在 ［一． ） 的 非 ｔ ，（） ｒ 上 ，
负性 ， 对任意 的 ｔ ０， ， ∈［ ）有
ｆ ｔ ， （一 （）≤ 础 ｔ ）一 （） ｆ） ４
第一作者简介 ： 明娟 （ ９ １ ） 山东烟 台人， 孙 １ ８一 ， 助教 ， 士研 究生 ， 硕 研究方向 ： 金融数学与生物数学 。
基础 上 ， 一步考虑 具有 时滞 的 Ｃ ｅ ｓ ｔ 进 ｈｍｏｔ 动力 系统 ａ
模型 ：
ｌ 解的存在性 、 非负性和有界性
本 节讨论 系统 （ ） 足初 始 条 件 （ ） ２满 ３ 的解 的存
在性 、 非负性 和有界 性 ， 如下结论 ： 有
《
『 ｔ： ｘ ） （
ｅ
…
一Ｘ ） Ｑ（
ｅ ㈩
（） １
定理 １ 系 统 （ 满 足 初 始 条 件 （ ）的 解 ２） ３ （ ｔ ， （） 在 ［ ， （） Ｙ ｔ ） ｏ ＋∞ ） 存 在 、 负 、 界 ， 上 非 有 且集
＝Ｑ（ 。一ｓ ｔ ）－ Ｓ （）
合 Ｇ＝｛ ＝（ ， ） ２ ∈ＣＩ ＞ ， ≤ ２ ｝ 于 系 １ １０ ０ ≤１ 关
第 １卷 ０
第 １ ６期
２ １ ６月 ００年
科
学
技
术
与
工
程
Ｖ０． ０ Ｎｏ １ Ｊ ｎ Ｏ Ｏ １１ ．６ ｕ ｅ２ １
１７ －８５ ２ １ ）６ ３ １ －４ ６ １１１ （０ ０ １・８ ６０ － ・ －
Ｓ ｉｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｃｅ ｃ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｅ ｇｎ ｅｉ ｇ
统（ ） ２ 是正 向不变 的 。 证明 由泛 函 微 分 方 程 解 的 局 部 存 在性 定 理 知 ＿ ， 某个 常数 ＞ ， ｔ 和 Ｙ ｔ 在 ［ ， 上 存 ５对 ｊ ０ （） （） ０ ）
式 （ ） ｓ ｆ和 （） 别表示 在 ｔ １ 中 （） ｔ分 时刻 培养皿 中营
养和微 生物 的浓 度 ， 。为 输 入 的初 始 营 养 浓 度 ， Ｓ Ｑ
Ｉ（ ｔ ）：ｌ ￡ 一 （）
一 ６ ＋ａｙ ｂ。一口＞０， 系 统 （ ） 在 两 个 正 平 衡 点 即 ２存
＠
２ １ ＳｉＴ ｃ． ｎｎ． ００ ｃ． ｅｈＥ ｇｇ
一
类 具有 时滞 的 Ｃ ｅ ｓ ｔ 型 的稳定 性 分析 ｈ ｍｏｔ 模 ａ
孙 明娟 郝 晓辉 董 庆 来
（ 延安大学数学与计算机科 学学院 ， 延安 ７６ ０ ； １００ 唐山师范学 院数学与信息科学系 唐 山 ０ ３０ ） ， ６ ０ ０
系统模 型 ， 细 分 析 了解 的渐 近行 为 。然 而 ， 微 详 在 生物 连续培 养过程 中 ， 生 物 的增 值 与所 消 耗掉 的 微 营 养 并 不 是 瞬 时 完 成 的 ， 存 在 时 间 滞 后 现 即
象 Ｈ 。大量 的 研 究结 果 表 明 ： 一 些 系统 模 型 在 中， 时滞可 能会破 坏 系统 平衡 点 的稳 定性 产 生周 期 振荡 ； 而在 另 外 一 些 系统 模 型 中， 滞 对 系 统 平 衡 时
８ ｏ Ｓ＝ ０ ，＝ｒ Ｑ， ｇ Ｑ， ／ ０ ｂ＝Ｓ／ ｉ Ｓ ， ＳＹ ｔ ／ ｍ＝ ／ ａ＝ Ｓ ， ０ｋ，
并且仍 用 ｔ 记 ， 则系统 （ ） １ 化为
ｊ） － －＝ ＿ ｃ
）＝１
ｅ｜一 ） 一ｒ （ ２ Ｊ （ 一
ｅｂｔ （） － （Ｘ ｙ）