均匀无损单导线上的波过程概要
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均匀无损单导线上的波过程
2U ( x, S ) R 2 ( S )U ( x, S ) 0 x 2
（7-5） （7-6）
2 I ( x, S ) R 2 ( S ) I ( x, S ) 0 x 2
其中
S R( S ) v
令v
1 L0 C0
，则有
S x v
U ( x, S ) U f (S )e
返回
U b (S )e
I b (S )e
S x v
（7-7） （7-8） （7-9） （7-10）
返回
I ( x, S ) I f (S )e
S x v
S x v
将以上频域形式解变换到时域形式为
x x i ( x, t ) i f (t ) ib (t ) v v
x x u ( x, t ) u f (t ) u b (t ) v v
图7-3 行波运动
即
x2 x1 v(t 2 t1 )
的电压波，称为反行波。(7-9)和 (7-10)可写成
x 表示前行波； u b (t x ) 表示沿x反方向行进 u f (t ) v v
v 恒大于0，且由于(t2＞t1)，则 ( x2 x1 ) 0 ，可见
i i f ib
即
uf if
Z
ub Z ib
分布参数线路的波阻抗与集中参数电路的电 阻有相同的量纲，但物理意义上有着以下几点本 质的不同： 波阻抗表示向同一方向传播的电压波和电流波之间 比值的大小；电磁被通过波阻抗为Z的无损线路时， 其能量以电磁能的形式储存于周围介质中，而不像 通过电阻那样被消耗掉。 为了区别不同方向的行波，Z的前面应有正负号。
随着线路的充放电将有电流流过导线的电 感，即在导线周围空间建立起磁场，因此和电 压波相对应，还有电流波以同样的速度沿，方 向流动。综上所述，电压波和电流波沿线路的 传播过程实质上就是电磁波沿线路传播的过程， 电压波和电流波是在线路中传播的伴随而行的 统一体。
（7-5） （7-6）
2 I ( x, S ) R 2 ( S ) I ( x, S ) 0 x 2
其中
S R( S ) v
令v
1 L0 C0
，则有
S x v
U ( x, S ) U f (S )e
返回
U b (S )e
I b (S )e
S x v
（7-7） （7-8） （7-9） （7-10）
返回
I ( x, S ) I f (S )e
S x v
S x v
将以上频域形式解变换到时域形式为
x x i ( x, t ) i f (t ) ib (t ) v v
x x u ( x, t ) u f (t ) u b (t ) v v
图7-3 行波运动
即
x2 x1 v(t 2 t1 )
的电压波，称为反行波。(7-9)和 (7-10)可写成
x 表示前行波； u b (t x ) 表示沿x反方向行进 u f (t ) v v
v 恒大于0，且由于(t2＞t1)，则 ( x2 x1 ) 0 ，可见
i i f ib
即
uf if
Z
ub Z ib
分布参数线路的波阻抗与集中参数电路的电 阻有相同的量纲，但物理意义上有着以下几点本 质的不同： 波阻抗表示向同一方向传播的电压波和电流波之间 比值的大小；电磁被通过波阻抗为Z的无损线路时， 其能量以电磁能的形式储存于周围介质中，而不像 通过电阻那样被消耗掉。 为了区别不同方向的行波，Z的前面应有正负号。
随着线路的充放电将有电流流过导线的电 感，即在导线周围空间建立起磁场，因此和电 压波相对应，还有电流波以同样的速度沿，方 向流动。综上所述，电压波和电流波沿线路的 传播过程实质上就是电磁波沿线路传播的过程， 电压波和电流波是在线路中传播的伴随而行的 统一体。
线路和绕组中的波过程ppt课件
51波在单根均匀无损导线上的传播52行波的折射与反射53行波通过串联电感与旁过并联电容54行波的多次折反射55行波在无损平行多导体中的传播56冲击电晕对线路上波过程的影响57变压器绕组中的波过程58旋转电机绕组中的波过程图51均匀无损的单导线a单根无损线首端合闸b等效电路511波传播的物理概念假设有一无限长的均匀无损的单导线见图51at0时刻合闸直流电源形成无限长直角波单位长度线路的电容电感分别为c线路参数看成是由无数很小的长度单元x构成如图51b所示51波在单根均匀无损导线上的传播合闸后在导线周围空间建立起电场形成电压
i x
C0
u t
(4)
L
Байду номын сангаас
u x
sL0 L[i]
(5)
L
i x
sC0 L[u ]
(6)
两边对dx求导：
L
d 2u dx2
sL0 L
i x
-s 2 L0C0 L[u ]
(7)
L0，R0，C0，G0 ：表示导线单位长度上的电感、电阻、对地电 容和电导。
5
高电压技术
波动方程解的推导
u
(u
u x
dx)
u x
dx
r0dxi
L0dx
i t
i
(i
i ) x
i x
g0dx(u
u x
dx)
C0dx
(u
u x t
27
i x
C0
u t
(4)
L
Байду номын сангаас
u x
sL0 L[i]
(5)
L
i x
sC0 L[u ]
(6)
两边对dx求导：
L
d 2u dx2
sL0 L
i x
-s 2 L0C0 L[u ]
(7)
L0，R0，C0，G0 ：表示导线单位长度上的电感、电阻、对地电 容和电导。
5
高电压技术
波动方程解的推导
u
(u
u x
dx)
u x
dx
r0dxi
L0dx
i t
i
(i
i ) x
i x
g0dx(u
u x
dx)
C0dx
(u
u x t
27
波过程(最终)
'
Z1
u '1
u '2
A
Z2
2u '1 u ' 2 Z1i ' 2
Z1
u '2
2u '1
i '2
Z2
u u u 2
' 1 '' 1 '
i '1
i '2
i1 i ''1 i ' 2
i '1 u '1 / Z1 , i ''1 u ''1 / Z1
'
Z1
A
Z2
2i '1 i ' 2 u ' 2 / Z1
电流波和电压波沿导线的传播过程实际上就
是电磁能量传播的过程 1 1 2 vL0 i vC 0 u 2 2 2
二 波动方程
u L0 x i C 0 x i t u t
u u f ( x t ) ub ( x t ) i [u f ( x t ) ub ( x t )] / z
u2
t 0
0
u2
'
t
u
' 1
Z1
L
i '2
u '2
u '1
L
2u '1
Z2
Z1
A
Z2
电压折射波的陡度:
du' 2 2Z 2 1 L 2 Z 2u '1 L ' a u1 e e dt Z1 Z 2 L L
t t
t 0时
Z1
u '1
u '2
A
Z2
2u '1 u ' 2 Z1i ' 2
Z1
u '2
2u '1
i '2
Z2
u u u 2
' 1 '' 1 '
i '1
i '2
i1 i ''1 i ' 2
i '1 u '1 / Z1 , i ''1 u ''1 / Z1
'
Z1
A
Z2
2i '1 i ' 2 u ' 2 / Z1
电流波和电压波沿导线的传播过程实际上就
是电磁能量传播的过程 1 1 2 vL0 i vC 0 u 2 2 2
二 波动方程
u L0 x i C 0 x i t u t
u u f ( x t ) ub ( x t ) i [u f ( x t ) ub ( x t )] / z
u2
t 0
0
u2
'
t
u
' 1
Z1
L
i '2
u '2
u '1
L
2u '1
Z2
Z1
A
Z2
电压折射波的陡度:
du' 2 2Z 2 1 L 2 Z 2u '1 L ' a u1 e e dt Z1 Z 2 L L
t t
t 0时
电路原理6无损均匀传输线的波过程.ppt
R2 R2 Zc
2us (t
l vw
) us (t
l vw
)
R2 R2
Zc Zc
us (t
l vw
)
i2 (t) i2 (t) i2(t)
1 Zc
us (t
l vw
)
R2
1
Zc
2us (t
l vw
)
R2 Zc us (t l )
u(x, t) f (t x ) vw
i(x, t) 1 f (t x )
L0 / C0
vw
分别为沿x减小的方向以 速度vw传播的反向电压 行波和反向电流行波 。
u (x, t) i(x, t)
u(x, t) i(x, t)
L0 C0
Zc
与无损耗线在正弦稳态下的特性阻抗完全相同， 是 一个正实常数 ，称为无损耗线的暂态波阻抗。
U ( x, s) F (s)e (s) x F (s)e (s) x
F (s)e sx / w F (s)e sx / vw
I( x, s) F (s) e (s)x F (s) e (s)x
Zc (s)
Zc (s)
F (s) esx / w F (s) e sx / vw
例1
高度为us的矩形发出波于t = 0时从无损耗线始端发出。 无损耗线的长度为l，波阻抗为Zc，终端接有阻值为R2的 电阻负载，求入射波投射到终端后产生的反射波以及沿 线电压、电流的分布函数，并绘出在以下几种情况下当
l t 2l 时电压、电流的沿线分布图：
13 第七章 波过程
u u1 ( x vt ) u 2 ( x vt ) u u
1 i [u1 ( x vt ) u2 ( x vt )] i i Z
u u1 ( x vt ) —前行电压波（入射波）
u u 2 ( x vt ) —反行电压波（反射波）
2u1
u 2
电压折射波的波前陡度：
∵
i1 i2 i1
t / L du 2 Z 2u1 2 e dt L 2 Z 2u1 ( kV / s ) t 0 : max L
∴
2u1 t / L i2 i1 i1 (1 e ) i1 Z1 Z 2
波沿均匀无损单导线传播示意图
u, i
t=0
E
x
t=0
L0 dx
C0 dx
E
C0 dx
L0dx
C0 dx
L0 dx
C0 dx
§7.1波沿均匀无损单导线的传播 一、均匀无损单导线系统的波阻抗：
线路各点电气参数完全一样； 线路无能量损耗（R0=0，G0=0）
单元等值电路：
L0 dx C0 dx L0 dx C0 dx L0 dx
∵ 节点A上电压、电流 的连续性
i1
u1 u u1 2
i1 i2 i1
又∵
u1 i1 Z1 u 2 i2 Z2
u1 i1 Z1
∴
2Z 2 u1 u u1 2 Z1 Z 2
Z 2 Z1 u1 u1 u1 Z1 Z 2
du2 dt
max
du2 dl
max
dl du2 dt dl
波沿均匀无损单导线的传播
波沿均匀无损单导线的传播在电力系统中，对高压和超高压输电，一般都采用多根平行导线和分裂导线，但为研究问题方便，我们先考虑单导线线路的波过程，而多导线线路的波过程可由单导线线路波过程加以推广。
同时又为了方便起见，我们假设导线的电阻和对地电导为零，也就是无损耗的。
2.1.1 波过程的一些物理概念1．波过程电力系统是各种电气设备，诸如发电机、变压器、互感器、避雷器、断路器、电抗器和电容器等经线路连接成的一个保证安全发供电的整体。
从电路的观点看，除电源外，可以用一个由R、L、C三个典型元件的不同组合来表示。
对这样一个电路，我们把回路的电流看作是相同的，所考虑的电压只是代表具有集中参数元件的端电压，因此，将电压和电流看作是函数。
但是这种电路只适合在电源频率较低，线路实际长度小于电源长条件之下。
例如，在工频电压作用下，它的波长83106000000600050vm km fλ⨯====，因此在线路不长时，电路中的元件可作为集中参数处理。
但是，如果线路或者设备的绕组在雷电波作用下，由于雷电波头时间为1.2us，则雷电压（或雷电流）由零上升到最大幅值时，雷电波仅在线路上传播360m，也就是说，对长达几十乃至几百公里的输电线路，在同一时间，线路上的雷电压（或雷电流）的幅值是不一样的。
这样，当在线路的某一点出现电压、电流的突然变化时，这一变化并不能立即在其他各点出现，而要以一定的形式，按照一定的速度从该点向其他各点传播。
这时，该线路中电压和电流不仅与时间有关，而且还与离该点的距离有关。
同时，由于线路、绕组有电感、对地电容、绕组匝间存在电容，因此输电线路和绕组就不能用一个集中参数元件来代替，而要考虑沿线上参数的分布性，即用分布参数来表示这些元件的特征。
而分布参数的过渡实际上就是电磁波的传播过程，我们简称为波过程。
2．波沿着线路传播以单导线为例，如图2-1所示，将传输线设想为许多无穷小的长度元为dx 串联而成，忽略线路损耗，用0L 、0C 来表示每一个单位长导线的电感和对地电容。
讲座-6、线路和绕组中的波过程学习文档
电子设备内部 传输线间的耦合，特别是电路板上的耦合，能引
起EMC问题
4
3 波传播的基本过程
电源向电容充电，在导线周围建立起电场，靠近电源的电容 立即充电，并向相邻的电容放电
由于电感作用，较远处电容要间隔一段时间才能充上一定的 电荷，电压波以某速度沿线路传播
随着线路电容的充放电，将有电流流过导线的电感，在导线
末端后无反射 两种情况的物理意义相同吗？
u1q=E
A
Z1
R=Z1
i1q=E/Z1 A
Z1 R=Z1
17
集中参数等值电路（彼德逊法则）
u1q (t) u1 f t u2 (t)
i1q (t) i1 f (t) i2 (t)
i1q (t) u1q (t) / Z1, i1 f (t) u1 f (t) / Z1
v 1 L0C0
9
5 前行波与返行波
电压波的分量 uq (x vt以) 速度v向x方向运动
x vt [x1 v(t t1)] vt x1 vt1
另一分量 uf (x vt)不变，以速度v向x反方向运动
u uq u f i iq i f
10
电压波和电流波的关系
LA 2 Z2
u1f u 1q=E Z1
u2q LA
Z2
Z1
pL
U 2(p )
A
i2q
2u1q z1 z2
1
e
t T
2E /p
I 2( p )
Z2
u2q
i2q z2
2z2 z1 z2
u1q
1
起EMC问题
4
3 波传播的基本过程
电源向电容充电，在导线周围建立起电场，靠近电源的电容 立即充电，并向相邻的电容放电
由于电感作用，较远处电容要间隔一段时间才能充上一定的 电荷，电压波以某速度沿线路传播
随着线路电容的充放电，将有电流流过导线的电感，在导线
末端后无反射 两种情况的物理意义相同吗？
u1q=E
A
Z1
R=Z1
i1q=E/Z1 A
Z1 R=Z1
17
集中参数等值电路（彼德逊法则）
u1q (t) u1 f t u2 (t)
i1q (t) i1 f (t) i2 (t)
i1q (t) u1q (t) / Z1, i1 f (t) u1 f (t) / Z1
v 1 L0C0
9
5 前行波与返行波
电压波的分量 uq (x vt以) 速度v向x方向运动
x vt [x1 v(t t1)] vt x1 vt1
另一分量 uf (x vt)不变，以速度v向x反方向运动
u uq u f i iq i f
10
电压波和电流波的关系
LA 2 Z2
u1f u 1q=E Z1
u2q LA
Z2
Z1
pL
U 2(p )
A
i2q
2u1q z1 z2
1
e
t T
2E /p
I 2( p )
Z2
u2q
i2q z2
2z2 z1 z2
u1q
1
行波基础知识(2)
行波基础（1）前面分布参数电路模型的建立，以及分析，并具体推导，求解波动方程部分，以荆智毕设为基础稍事修改即可，得到波动方程后对公式分析部分如下：2.1.2 无损均匀单导线中的波过程 r r+v Δt U a U a t = t 1t = t 2 = t 1+Δtu q (t-x /v )x v图2-2 前行电压波流动的示意图Fig.2-2 Diagram of the mobile forward voltage wave先分析电压方程，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t u v x t u u f q ，显然方程右边由两部分组成：⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t u q 和⎪⎭⎫ ⎝⎛+v x t u f 。
两部分形式类似，不妨就以⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t u q 为例来进行理解。
首先，vx 是距离对波速度的比值，可以时间的概念来理解，那它就表示电压波u q 以速度v 到达x 点所需的时间。
当vx t <时，0<-v x t ，则表示波头经过时间t 的传播，尚未到达x 点，于是有x 点电压波幅值为零；当v x t =时，0=-v x t ，则表示波头经过时间t 的传播，刚好到达x 点，于是有x 点电压波幅值有值，且此时对应于计时起点时刻的波值；当vx t >时，0>-v x t ，则表示波头经过时间t 的传播，已经超过了x 点，并且沿x 正方向继续传播，于是有x 点电压波幅值有值。
从另一个角度来讲，⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t u q 可以表示u q 随时间t 和距离x 正方向的波传播过程，即，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--∆+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⋅+-∆+v x t u t v x t t u v t v x t t u q q q （2-1） 上式（2-1）的物理意义是：u q 在t 时刻x 距离处有一值，经过延时Δt 后，u q 值发生了变化，而如果我们对距离x 也做出调整，随时间Δt 同步做出距离的变化量t v ∆⋅，那么我们选择t v x ∆⋅+处，进行计算得到此时此地的u q 值与当初t时刻x 位置的u q 值一致。
无损单导线中的波过程
内部过电压
1
0 , 2,
§ 1-1 集中参数回路中的暂态计算
总结： 在单频回路中，初始条件为零时： 0 , 2,合闸发生在接近电源电动势幅值 时，产生过电压在幅值最大；这是由于电容初 始值为零与合闸瞬时稳态不同而引起。 0 , 2或 2 ，在电源电动势接近零时合闸 含有最大的过电压，这是由于电感初始电流为 零与合闸瞬时的稳态值的不同而引起的。 所以：不论为何值，由于合闸瞬间都不能满足 两个条件（L中的电流初始值与稳态值相同，C 两端电压的初始值与稳态值亦相同），故暂态 过程总会发生。
不同方向的行波，Z前面有正负号；
Z只与单位长度的电感和电容有关，与线路长度 无关； uq u f u uq u f Z Z 既有前行波，又有反行波时： i iq i f uq u f
思考：波阻抗Z与电阻的物理意义不同，表现在哪些方面？
10
2
§ 2-1 无损耗单导线线路中的波过程
为什么要研究波过程？
3
电源向电容充电，在导线周围建立起电场，靠近 电源பைடு நூலகம்电容立即充电，并向相邻的电容放电；
由于电感作用，较远处电容要间隔一段时间才能 充上一定的电荷，电压波以某速度沿线路传播； 随着线路电容的充放电，将有电流流过导线的电 感，在导线周围建立起磁场。电流波以同样速度 沿x方向流动。
8
对于架空线：
0 2h L0 ln 2 r 2 0 C0 2h ln r
式中h为导线离地面的平均高度（m）,
r为导线的半径（m），μ0、ε0分别为空气的磁
导率和介电常数。 因此：架空线中：v＝
1
0 0
＝300000km/S
第8章 线路和绕组中的波过程
u1b
Z2 Z1 Z1 Z2
u1f
2Z1 Z1 Z2
u1f et /T
i1b
Z2 Z1 Z1 Z2
u1f Z1
2u1f Z1 Z2
et /T
T L Z1 Z2
前行波电压、电流都由强制分量、自由分量组成。无穷长直角波 通过集中电感时，波头被拉长。当波到达电感瞬间，电感相当于 开路，使电压升高一倍，然后按指数规律变化。当 t →∞ 时，电 感相当于短路，折、反射系数 α，β 的与无电感时一样。
两波叠加范围内，导线对地电压、电流为：
U Uf Ub 700 500 1200kV I If Ib 1.56 1.11 0.45kA
8.2 行波的折射与反射
8.2.1 折射系数和反射系数 u1f
Z1到Z2折射系数:
2Z2 Z1 Z2
u2f
折射系数:
Z2 Z1 Z1 Z2
u1 u1f u1b
在 Z2 线路中折射电压的最大陡度：
du2f t0 2u1f dt max Z1C
最大空间陡度：
du2f t0 2u1f dl max Z1Cv
无穷长直角波旁过电容时，前行波电压、电流变为指数波。 最大空间陡度与 Z2 无关，仅与 Z1 有关。为了限制波的陡度， 采用并联电容或采用串联电感需要进行经济上的核算。
例8-5 有一两导线系统，其中 1 为避雷线，2 为对地绝缘的
导线。假定雷击塔顶，避雷线上有电压波 u1 传播，求避雷线 与导线之间绝缘上所承受的电压。
解：列方程：
u1 z11i1 z12i2 u2 z21i1 z22i2
边界条件：
i2 0
导线2电压：
u2
z21 z11
u1
14 线路的波过程
例如，正的电压前行波相当于一批正电荷向x正方向运动， 使导线各点的对地电容依次充上正电荷，而向x正方向流动 的正电荷将形成正电流波，可见电流前行波iq与电压前行波 uq具有相同的符号； 但对反行波来说，正的电压反行波表示一批正电荷向x负方 向运动，按照相反的顺序给线路各点对地电容也充上正电荷， 此时电压虽然是正的，但因正电荷的运动方向已变为x的负 方向，所以形成了负的电流，可见电流反行波if与电压反行 波uf一定具有相反的符号。 所以有
2 2 2 2 vC0uq vL0iq uq Z iq Z
可见，从功率观点来看，波阻抗与一数值相等的集中参数 电阻R相当。
3、Z与R的异同点：
Z与R的相同点： （1）均与电源频率ω或波形无关，是阻性的； Z决定的uq、 iq或uf、if永远是同相的，无相位差，也是阻性的表现。 （2）波阻抗为Z的线路从电源吸收的功率与阻值R＝Z的电 阻吸收的功率相同。若计算线路上电压波与电流波间的关系、 行波的输出功率、线路从电源吸收的能量等数值时，可用一 阻值R＝Z的集中参数电阻替换一条波阻抗为Z的分布参数长 线。 二者的物理本质不同： （1）波阻抗从电源吸收的能量和功率是以电磁波的形式储 存在导线周围的媒质中，并未消耗掉，而电阻要消耗能量和 功率。
（2）波阻抗只是个比例常数，与线路长度无关，而电阻是 与长度成正比例的。
（3）波阻抗表示同一方向电压波和电流波的比值，当导线上 同时有前行波和反行波时，总电压与总电流的比值不再等于波 阻抗，而电阻始终等于其两端电压和流过它的电流的比值。
三、均匀无损单导线波过程的基本概念
设一条单位长度电感和对地电 容分别为L0和C0的均匀无损单 导线在t＝0时合闸到一个直流 电压源U，电源开始向线路单 元电容ΔC充电，使它对地电 压变为U，在导线周围建立电 场。
哈工大高电压技术 1 单导线波过程-14
x u f1 (t ) 代表一个任意形状并以速度 v 朝着 x 的正 v x " 方向运动的前行电压波； u f 2 (t ) 是一个以速度v朝着 v x的负方向运动的反行电压波。
'
电压波的符号只取决于导线对地电容所充电荷的极性 , 而与电荷的运动方向无关；
电流波不但与相应的电荷符号有关，而且也与电荷的 运动方向有关。一般取正电荷沿着 x 正方向运动所形成的 波为正电流波 前行电压波与前行电流波的符号相同；
(3)如果导线上有前行波、又有反行波，两波相遇时，总电压和总电流 的比值不再等于波阻抗。
(4) 波阻抗的数值 Z 只于导线单位长度的电感 L0 和电容 C0 有关，而与 线路长度无关。
小 结
(1) 电压波和电流波沿线路的传播过程实质上就是电磁波沿 线路传播的过程，电压波和电流波是在线路中传播的伴随而 行的统一体。 (2) 电压 u 由朝着 x的正方向运动的电压波 u’和朝着x 的负方向 运动的电压波u’’叠加而成；电压波的符号只取决于它的极性， 而与电荷的运动方向无关；电流波不但与相应的电荷符号有 关，而且也与电荷的运动方向有关。 (3) 波速与导线周围媒质的性质有关，而与导线半径、对地 高度、铅包半径等几何尺寸无关。
第一节
线路方程及解 波速和波阻抗
单导线的波过程
均匀无损单导线波过程的基本概念
实际输电线路往往采用三相交流或双极直流输电，均属 多导线系统。为了清晰地揭示线路波过程的物理本质和基本 规律，先从理想的均匀无损单导线入手，是比较合适的。 波传播的物理概念 电压波和电流波沿线路的传播过程实质上就是电磁波沿线路 传播的过程，电压波和电流波是在线路中传播的伴随而行的 统一体。
一、线路方程及解
高电压技术——3电力系统波过程
(R Z )
1, 0
u
1
u
1
0
RZ
4. 末端接有电阻
R Z,
(R Z )
u u 2u
1 2
1
R Z,
0 u 2 u1
由几条线路同时来波时的节点电压计算
i
x
2
m
x
(t )
z
1
u
2
mx
z
2u z
1x
A
z
1
1
2u Z
(b )
nx n
i
u
u
u dx x
i
i dx x
i dx x
i
i
x
L0dx
dx
i
i
u u dx x
i dx x i dx x
C0dx
u
i
i
均匀无损线的方程组
u i L0 x t u i C0 x t
u f 1 ( x vt ) f 2 ( x vt ) u ' u "
z z u u 1 z z
2 1 1 2
(16 13)
1
1 1
典型折返射情况
下面对几种典型情况进行计算分析，进一步搞清楚折反射的 物理意义。 1. 末端开路
u u u u
1 1 0
( z 2 )
2
1
0
x
u 2u
1
0
2
u1 u 2 u 1
波穿过电感
Z1 A u’1 u’2 Z1 （a） Z2 （b） L A 2u’1
1, 0
u
1
u
1
0
RZ
4. 末端接有电阻
R Z,
(R Z )
u u 2u
1 2
1
R Z,
0 u 2 u1
由几条线路同时来波时的节点电压计算
i
x
2
m
x
(t )
z
1
u
2
mx
z
2u z
1x
A
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1
1
2u Z
(b )
nx n
i
u
u
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i
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i dx x
i
i
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L0dx
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i
i
u u dx x
i dx x i dx x
C0dx
u
i
i
均匀无损线的方程组
u i L0 x t u i C0 x t
u f 1 ( x vt ) f 2 ( x vt ) u ' u "
z z u u 1 z z
2 1 1 2
(16 13)
1
1 1
典型折返射情况
下面对几种典型情况进行计算分析，进一步搞清楚折反射的 物理意义。 1. 末端开路
u u u u
1 1 0
( z 2 )
2
1
0
x
u 2u
1
0
2
u1 u 2 u 1
波穿过电感
Z1 A u’1 u’2 Z1 （a） Z2 （b） L A 2u’1
第12章-线路和绕组中的波过程
x1 x2 t1 t2 v v
即必须使 t
x 常数 v
t t1
a
t t2
u1 ( x vt1 )
a
u1 ( x vt2 )
x1
x2
x
x t 常数 v实际上是一个速度， 对固定的某一个电压值而言，它在导线上 v x x 的坐标是以速度v向x正方向移动的，因此 代表一个以速度 V u ( x, t ) u q (t ) u ( t ) f v v 向X正方向行进的电压波。 x x x x i ( x, v t )向 x iq负方向行进的波。通常称 (t ) i f (t ) u( x , t ) u q (t ) u f (t )代表一个以速度 同样可以说明 v v v v u q 为前行电压波， u f 为反行电压波。 x x i( x, t ) iq (t ) i f (t ) v v 对于架空线路，单位长度的电感L0和电容C0为
这就是单根均匀无损长线的波动方程。从上式可以看出，线路上 的电压和电流不仅是时间t的函数，也是距离x的函数。两个方程具有 完全相同的形式，可以预见u和i的解的形式也完全相同。
应用拉普拉斯变换和延迟定律，求得波动方程的通解 x x u ( x, t ) u q (t ) u f (t ) v v x x i( x, t ) iq (t ) i f (t ) v v
u i L0 x t i u C0 x t
将式中的方程式分别对x和t进行二阶求导，经联立变换后， 可以得到如下二阶偏微分方程：
2u 2 L0 C 0 x 2i 2 L0 C 0 x 2u t 2 2 i t 2
高压教材第三篇课件第六章输电线路和绕组中的波过程第一节波沿均匀无损单导线的传播PPT优秀资料
L 1 2 h –波阻抗是一个比例常数，与线路的的电阻与线路长度成正比；
0r
c
Z l –波阻抗从电源吸收的功率和能量是以电磁能的 形式储存在线路周围的媒质中，而电阻从电源 吸收的功率和能量均转化为热能而散失掉了。
L0
C 2 n r u Z ， u
1
Zi
i
00 r
2hc
0r
• 波阻抗与电阻的相似之处：
但队列成员行进的 速度显然会远远小于口令的传播速度，它们是两种性质完全不 同的速度。
三、均匀无损单导线波过架程的空基本概线念 路的波阻抗约在300～500Ω 之间
电缆线路的波阻抗约在10～50Ω 之间。
• 波阻抗与电阻的相似之处：
–量纲相同、呈阻性、大小与电源频率或波形无
图6-3 开始行进的一支长队伍
波阻抗Z是电压u波 与 电Z流，波u之间的一Z个比例常数
i
i
–从功率的角度，一条波阻抗为Z的线路从电源 吸收的功率与一阻值为Z的电阻从电源吸收的
• 波阻抗与电阻的相似之处：
波速指的是电压波和电 流波使导线周围空间建立起相应的电场和磁场这样一种状态 的传播速度，而不是在导线中形成电流的自由电子沿线运动 的速度。
◆ 两种不同的速度：
正如电流波的传播方向与电流的流动方向不是同一事物 一 样，行波沿导线的传播速度亦应与带电粒子（主要为电子） 在导线中的运动速度严格区别开来。波速指的是电压波和电 流波使导线周围空间建立起相应的电场和磁场这样一种状态 的传播速度，而不是在导线中形成电流的自由电子沿线运动 的速度。在架空线路的情况下，波速v = 光速c，而电子的运 动速度远小于c。
关；
架空线路的波阻抗约在300～500Ω 之间 电缆线路的波阻抗约在10～50Ω 之间。 ”的 口令时，这一口令将以声速（在通常条件下为340m/s左右）从 队首向队尾传播，先听到口令的队首成员将先向前迈步，暂时 还没有听到口令的队尾成员
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U b (S )e
I b (S )e
S x v
（7-7） （7-8） （7-9） （7-10）
返回
I ( x, S ) I f (S )e
S x v
S x v
将以上频域形式解变换到时域形式为
x x i ( x, t ) i f (t ) ib (t ) v v
x x u ( x, t ) u f (t ) u b (t ) v v
Z uf if ub ib L0 C0
波阻抗Z表示了线路中同方向传播的电流波与电压波的 数值关系，但不同极性的行波向不同的方向传播，需要规定 一定的正方向。根据习惯规定：沿x正方向运动的正电荷相 应的电流波为正方向。在规定行波电流正方向的前提下，前
行波与反行波总是同号，而反行电压波与电流波总是异号，
随着线路的充放电将有电流流过导线的电 感，即在导线周围空间建立起磁场，因此和电 压波相对应，还有电流波以同样的速度沿，方 向流动。综上所述，电压波和电流波沿线路的 传播过程实质上就是电磁波沿线路传播的过程， 电压波和电流波是在线路中传播的伴随而行的 统一体。
返回
7.1.2 波动方程解
x为线路首端到线路上任—点的距离。线路每一单元 长度dx具有电感L0dx和电容C0dx，如图7-2所示，线路上 的电压和电流都是距离和时间的函数。 根据 可知
。
图7-1 均匀无损的单导线 (a)单根无损线首端合闸 （b）等效电路
合闸后，在导线周围空间建立起电场，形 成电压。靠近电源的电容立即充电，并向相邻 的电容放电，由于线路电感的作用，较远处的 电容要间隔一段时间才能充上一定数量的电荷， 并向更远处的电容放电。这样沿线路逐渐建立 起电场，将电场能储存于线路对地电容中，也 就是说电压波以一定的速度沿线路x方向传播。
图7-3 行波运动
即
x2 x1 v(t 2 t1 )
的电压波，称为反行波。(7-9)和 (7-10)可写成
x x u ( t ) 表示沿x反方向行进 表示前行波； u f (t ) b v v
v 恒大于0，且由于(t2＞t1)，则 ( x2 x1 ) 0 ，可见
i i f ib
返回
，
i 0
u 0
u i i dx t x
i u u dx t x
i C 0 dx
图7-2 均匀无损的单导线
u L0 dx
整理得
i u C0 0 x t
（7-1） （7-2）
u i L0 0 x t
由式(7-1)对x再求导数，由式(7-2)对t再求导数，然 后消去i，并用类似的方法消去u得。
7.1 均匀无损本质和基本规律，可 暂时忽略线路的电阻和电导损耗，首先研究均匀无 损单导线中的波过程。
7.1.1 波传播的物理概念
7.1.2 波动方程解 7.1.3 波速和波阻抗
7.1.4 前行波和反行波
返回
7.1.1 波传播的物理概念
假设有一无限长的均匀无损的单导线，见图7-1(a)， t=0时刻合闸直流电源，形成无限长直角波，单位长度 线路的电容、电感分别为C0、L0，线路参数看成是由 无数很小的长度单元 x 构成，如图7-1(b)所示
2u 2u L0 C0 2 2 x t
2i 2i L0 C 0 2 2 x t
（7-3）
（7-4）
L0、C0 ——单位长度电感和电容。
通过拉普拉斯变换将u(x,t)变换成U(X,S)，i (x,t) 变换成I (X,S)，并假定线路电压和电流初始条件为 零，拉氏变换的时域导数性质，将式(7-3)、式(7-4) 变换成
2U ( x, S ) 2 R ( S )U ( x, S ) 0 2 x
（7-5） （7-6）
2 I ( x, S ) 2 R ( S ) I ( x, S ) 0 2 x
其中
S R( S ) v
令v
1 L0 C0
，则有
S x v
U ( x, S ) U f (S )e
(7-9)、 (7-10)就是均匀无损单导线波动方程的解。
7.1.3 波速和波阻抗
在波动方程中定义v为波传播的速度 对于架空线路
v 1
v 1 L0 C0
0 0
沿架空线传播的电磁波波速等于空气中的光速v为 8 8 v 1 . 5 10 m/ s ， 3×10 m/s ,而一般对于电缆，波速 低于架空线，因此减小电缆介质的介电常数可提高 电磁波在电缆中传播速度。 定义波阻抗
u u f ub
（7-11） （7-12）
线路中传播的任意波形的电压和电流传播的前行波 和反方向传播的反行波，两个方向传播的波在线路中相 遇时电压波与电流波的值符合算术叠加定理。
小 结
波传播的物理概念：电压波和电流波沿线路
的传播过程实质上就是电磁波沿线路传播的
过程。
波动方程解，波速和波阻抗计算 线路中传播的任意波形的电压和电流传播的 前行波和反方向传播的反行波，满足算术叠 加定理。 （本节完）
如果导线上有前行波，又有反行波，两波相遇时， 总电压和总电流的比值不再等于波阻抗， 即是：
u f ub u u f ub Z Z i i f ib u f ub
波阻抗的数值Z只与导线单位长度的电感L0和电容 C0有关，与线路长度无关。
返回
7.1.4 前行波和反行波
即
uf if
Z
ub Z ib
分布参数线路的波阻抗与集中参数电路的电 阻有相同的量纲，但物理意义上有着以下几点本 质的不同： 波阻抗表示向同一方向传播的电压波和电流波之间 比值的大小；电磁被通过波阻抗为Z的无损线路时， 其能量以电磁能的形式储存于周围介质中，而不像 通过电阻那样被消耗掉。 为了区别不同方向的行波，Z的前面应有正负号。
波动方程解的物理意义：对式(7-10)，电压u的第一个分 x 量 u f (t v ) ，设任意电压波沿着线路x传播，图7-3示， 假定t＝t1时线路上任意位置x1点的电压值为ua，当时间 t=t2时刻时(t2＞t1)，电压值为ua的点到达x2．则应满足
x1 x2 t1 t 2 v v