2014年高考数学(理)二轮复习三级排查大提分专练：6-2椭圆、双曲线、抛物线
2014年高考数学(理)二轮复习专题能力测评3 Word版含解析]
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专题能力测评(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·厦门调研)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4图象的一条对称轴是( )．A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析 由x －π4＝k π＋π2，k ∈Z .得x ＝k π＋3π4，令k ＝－1，得x ＝－π4为一条对称轴． 答案 C2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34 B.34 C ．－43D.43解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12.∴tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.答案 B3．已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则( )．A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1解析 f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x 2，∴a ＝12＋sin (2lg 5)2，b ＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2lg 152＝12－sin (2lg 5)2，因此a ＋b ＝1. 答案 C4．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝ ( )．A.π3 B.2π3 C.3π4D.5π6解析 由已知条件和正弦定理得3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3. 答案 B5．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析 由正弦定理，得a 2＋b 2＜c 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＜0，则C 为钝角， 故△ABC 为钝角三角形． 答案 C6．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且 f (－x )＝f (x )，则( )．A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ) ＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4.由最小正周期为π得ω＝2，又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，|φ|＜π2可知φ＝π4，所以f (x )＝ 2cos 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减． 答案 A7．(2013·福建高考)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)(－π2<θ<π2)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P (0，32)，则φ的值可以是 ( )．A.53πB.56π C.π2D.π6解析 g (x )＝sin(2x －2φ＋θ)．由f (0)＝32得，sin θ＝32，又－π2<θ<π2，∴θ＝π3.由g (0)＝32得sin(π3－2φ)＝32，将选项代入验证知B 符合． 答案 B8．(2013·济南质检)函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )．A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32解析 ∵f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )，∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案 B9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A.725 B ．－725 C ．±725D.2425解析 由8b ＝5c ，C ＝2B 及正弦定理， 得8sin B ＝5sin C ＝10sin B cos B ， ∴cos B ＝45.则cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.答案 A10．(2013·辽宁高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝ ( )．A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12， 由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12， ∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12， 又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中横线上) 11．(2013·江西高考)设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________． 解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，∴|f (x )|≤2，|f (x )|max ＝2.∴对任意实数x 都有|f (x )|≤a 成立， 等价于a ≥|f (x )|max ，即a ≥2. 答案 [2，＋∞)12．(2013·徐州调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________.解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4， ∴c ＝2，则b ＝c ＝2.则B ＝C ，∴cos B ＝cos C ＝14，故sin B ＝154. 答案15413．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析 由图象可知，此正切函数的半周期等于38π－18π＝28π＝14π，即周期为12π， ∴ω＝2.由2×38π＋φ＝k π，k ∈Z ，|φ|＜π2，知φ＝π4.由f (0)＝1，知A ＝1. 因此f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.答案314．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析 设Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c . 在△ABM 中，由正弦定理BM sin ∠BAM ＝ABsin ∠AMB，∴sin ∠AMB ＝AB BM ·sin ∠BAM ＝2c3a . 又sin ∠AMB ＝sin ∠AMC ＝AC AM ＝b b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝2b 4b 2＋a2， ∴2c 3a ＝2b a 2＋4b2，整理得(3a 2－2c 2)2＝0. 则a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝63. 答案 63三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12.由0＜α＜π2，知－π6＜α－π6＜π3， ∴α－π6＝π6，∴α＝π3.16．(本小题满分12分)(2013·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A ， ∴cos A ＝63.(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63， 则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾． ∴c ＝3舍去． 故c 的值为5.17．(本小题满分13分)(2013·广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3.解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4 ＝cos 2θ－sin 2θ，又cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝－725， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725. 18．(本小题满分13分)(2013·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是 a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以A ＝π3，(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21， 故a ＝21.又由正弦定理得sin B ＝b a sin A ，sin C ＝ca sin A . ∴sin B ·sin C ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.。
2014年高考数学理二轮复习三级排查大提分专练：6-2椭圆、双曲线、抛物线
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．(仿2011·福建，7)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )．A.31414B.324C.32D.43解析 ∵c ＝3，b ＝5， ∴a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4，∴a ＝2. 因此离心率e ＝c a ＝32. 答案 C2．(仿2012·安徽，9)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )． A ．18 B ．24 C ．36D ．48解析 设抛物线方程为y 2＝2px ，当x ＝p2时，y 2＝p 2，∴|y |＝p ， ∴p ＝|AB |2＝122＝6，又点P 到AB 的距离始终为6， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36. 答案 C3．(仿2013·四川，6)设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ( )．A ．2B. 3C.52D. 5解析 依题意，不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，b a ×p 2，则由点A 在抛物线y 2＝2px 上得⎝ ⎛⎭⎪⎫bp 2a 2＝2p ×p2，由此得b 2＝4a 2.该双曲线的离心率等于ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2＝ 5.答案 D4．(仿2013·安徽，8)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则OP →·FP →的最大值 ( )．A ．2B ．3C ．6D ．8解析 由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20. ∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 23＝1.∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2.∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6. 答案 C5．(仿2013·辽宁，15)已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是( )．A ．6x －5y －28＝0B ．6x ＋5y －28＝0C ．5x ＋6y －28＝0D ．5x －6y －28＝0解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2，)又B (0,4)，F (2,0)，由重心坐标得0＋x 1＋x 23＝2，4＋y 1＋y 23＝0⇒⎩⎨⎧x 1＋x 2＝6 ①y 1＋y 2＝－4 ②，所以弦MN 的中点为(3，－2)．因为点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，所以⎩⎨⎧4x 21＋5y 21＝804x 22＋5y 22＝80，作差得 4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋5(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，将①和②代入得k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝65，所以，直线l 为：y ＋2＝65(x －3)即6x －5y －28＝0 答案 A6．(仿2011·四川，10)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程是________．解析 ∵抛物线y 2＝16x 的焦点为(4,0)， ∴双曲线的半焦距c ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝16，b a＝3，解之得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2 3.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 答案 x 24－y 212＝17．(仿2012·重庆，14)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )．A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A 、B 两点在抛物线上，∴⎩⎨⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， 又线段AB 的中点的纵坐标为2，∴y 1＋y 2＝4， 又直线的斜率为1，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2p ＝4，p ＝2， ∴抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1. 答案 B8．(仿2013·江西，9)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________． 解析 设点M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)， 则B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1.k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，即k 1·k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1.所以x 20－x 21a 2－y 20－y 21b 2＝0， 即y 20－y 21x 20－x 21＝b2a 2，所以k 1·k 2＝b 2a 2. 又离心率为e ＝2，所以k 1·k 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3. 答案 39．(仿2012·江苏，19)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值． (1)解 设椭圆的半焦距为c ， 圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3， ∴b ＝5－3＝ 2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1.消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得：(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.10．(仿2013·山东，22)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|＜253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)＞0，得k 2＜12. x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt (1＋2k 2).∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|＜253，∴1＋k 2|x 1－x 2|＜253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜209，∴(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2＜209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＞0， ∴k 2＞14.∴14＜k 2＜12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2，又32＜1＋2k 2＜2，∴83＜t 2＝8－81＋2k 2＜4， ∴－2＜t ＜－263或263＜t ＜2，∴实数t 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2。
新课标普通高中2014届高三数学(理)二轮专题
2
, k Z ，又 x 0,4 ， k 0,1,2,3,4
)．
所以共有 6 个解.选 C. 2 3．函数 f(x)＝log2|x|，g(x)＝－x ＋2，则 f(x)²g(x)的图象只可能是(
【解析】因为函数 f(x)，g(x)都为偶函数，所以 f(x)²g(x)也为偶函数．所以图象关于 y 轴对 称，排除 A，D.f(x)²g(x)＝(－x ＋2)log2|x|，当 0<x<1 时，f(x)²g(x)<0 排除 B 选 C. 4． （2013 浙江）已知 x, y 为正实数,则( A. 2 C. 2
x x
2
a 0, 且a 1 ，若 g 2 a ，则 f 2 (
A.
)．
2
15 B. 4
17 C. 4
2
D. a
2
2
【解析】由条件 f 2 g 2 a a
2 ， f 2 g 2 a 2 a 2 2 ，即
f 2 g 2 a 2 a 2 2 ，由此解得 g 2 2 ， f 2 a 2 a 2 ，
2
)
4 B. 3，
C.
3
D.
4
1 x 2
则 A I CR B= (
)
-3-
新课标普通高中 2014 年高考数学（理）增分直通车
A. x | x 0 C. B. x | 2 x 4 D. x | 0 x 2或x 4
) 当 3 x 1 时 ， 5． （ 2012 山 东 ） 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x 6 ) f ( x .
2014年高三数学二模试卷(理科含答案)
1 / 42014年高考模拟考试试卷高三数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．2、已知集合1|1, A x x R x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭，集合B 是函数lg (1)y x =+的定义域，则A B = ．3、方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．5、在261)x x-（的展开式中，含3x 项的系数等于 ．（结果用数值作答） 6、方程sin cos 1x x +=-的解集是 ． 7、实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为131ix i+=+（其中i 为虚数单位），则 a b += ．8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在 全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层） 在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 ．9、已知()2x f x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f x g x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是．10、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）． 11、在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线 ()6R πθρ=∈的距离等于 ．12、如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥ 对于任意(0, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2 / 413、已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项 和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等 于 ．14、已知圆22: (01)O x y c c +=<≤，点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点，则a b c ++的最小值等于 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
2014高考数学知识点专能提升椭圆、双曲线、抛物线(含解析)
椭圆、双曲线、抛物线(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.(2013·辽宁师大附中模拟,6)若抛物线y2=ax的焦点与双曲线=1的右焦点重合,则a的值为()A.4B.8C.16D.82.已知F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,A是椭圆上一动点,圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切,若M(t,0)为一个切点,则()A.t=2B.t>2C.t<2D.t与2的大小关系不确定3.若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1,F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2.若=0,则=()A.1B.2C.3D.44.若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点有()A.至少1个B.2个C.1个D.0个5.已知点A,B是双曲线x2-=1上的两点,O为坐标原点,且满足=0,则点O到直线AB的距离等于()A. B. C.2 D.26.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于()A. B.2 C. D.4二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m),到其焦点的距离为5,双曲线x2-=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直,则实数a=.8.在△ABC中,AB=BC,cos B=-,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=.9.连接抛物线x2=4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A,设点O为坐标原点,则△OAM的面积为.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为-1.(1)求椭圆C的方程;(2)过点E(2,0)且斜率为k(k>0)的直线l与C交于M,N两点,P是点M关于x轴的对称点,证明:N,F,P三点共线.11.(本小题满分15分)(2013·山东东营模拟,22)已知圆的方程为x2+y2=4,过点M(2,4)作圆的两条切线,切点分别为A1,A2,直线A1A2恰好经过椭圆=1(a>b>0)的右顶点和上顶点.(1)求椭圆的方程;(2)设AB是椭圆=1(a>b>0)垂直于x轴的一条弦,AB所在直线的方程为x=m(|m|<a且m≠0),P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交定直线l:x=于Q,R两点,求证:>4.12.(本小题满分16分)(2013·河南郑州模拟,20)如图,已知定点F(-1,0),N(1,0),以线段FN为对角线作周长是4的平行四边形MNEF.平面上的动点G满足||=2(O为坐标原点).(1)求点E,M所在曲线C1的方程及动点G的轨迹C2的方程;(2)已知过点F的直线l交曲线C1于P,Q两点,交轨迹C2于A,B两点,若|AB|∈(2),求△NPQ的内切圆半径的取值范围.##1.C2.A解析:如图,P,Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点,则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|,即|F1M|+|MF2|=2a,所以t=a=2.选A.3.B解析:设椭圆方程为=1(a>b>0),双曲线方程为=1(m>0,n>0),其中两焦点距离为2c.不妨令P在第一象限,由题意知∴|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,又·=0,∴PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴2(a2+m2)=4c2,∴=2,故选B.4.B解析:∵直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,∴圆心到直线的距离d=>2,解得m2+n2<4,即点P(m,n)在以原点为圆心,半径为2的圆的内部,而此圆在椭圆=1的内部,故点P在椭圆内部,经过此点的任意直线与椭圆有两个交点.故选B.5.A解析:由·=0⇒OA⊥OB,由于双曲线为中心对称图形,因此可考查特殊情况,令点A 为直线y=x与双曲线在第一象限的交点,因此点B为直线y=-x与双曲线在第四象限的一个交点,因此直线AB与x轴垂直,点O到直线AB的距离就为点A或点B的横坐标的值.由⇒x=.故选A.6.C解析:据抛物线定义知,|AB|=x1++x2+=4,∴x1+x2=.故弦AB的中点到x=-的距离为.7.解析:根据抛物线的性质得1+=5,∴p=8.不妨取M(1,4),则AM的斜率为2,由已知得-×2=-1.故a=.8.解析:如图所示,设AB=BC=x,由cos B=-及余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B=x2+x2+2x2×,∴AC2=x2,∴AC=x.∵椭圆以A,B为焦点,∴焦距为2c=AB=x.又椭圆经过点C,∴AC+BC=x+x=2a,∴2a=x,∴e=.9.解析:线段FM所在直线方程x+y=1与抛物线交于A(x0,y0),则⇒y0=3-2或y0=3+2(舍去).∴S△OAM=×1×(3-2)=.10.(1)解:由题可知解得a=,c=1,∴b=1.∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设直线l为y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2),P(x1,-y1),F(1,0),由得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0.∴x1+x2=,x1x2=.而=(x2-1,y2)=(x2-1,kx2-2k),=(x1-1,-y1)=(x1-1,-kx1+2k).∵(x1-1)(kx2-2k)-(x2-1)(-kx1+2k)=k[2x1x2-3(x1+x2)+4]=k=0,∴.∴N,F,P三点共线.11.(1)解:观察知,x=2是圆的一条切线,切点为(2,0).设O为圆心,根据圆的切线性质,MO⊥A1A2,所以=-=-,所以直线A1A2的方程为y=-(x-2).直线A1A2与y轴相交于点(0,1),依题意可知a=2,b=1,故椭圆的方程为+y2=1.(2)证明:椭圆方程为+y2=1,设P(x0,y0),A(m,n),B(m,-n),则有+4-4=0,m2+4n2-4=0.在直线AP的方程y-n=(x-m)中,令x=,整理,得y Q=.①同理,y R=.②①×②,并将=1-,n2=1-m2代入得y Q·y R===.故··+y Q·y R==1+.因为|m|<2且m≠0,所以0<m2<4,>3,所以·>4.12.解:(1)因为四边形MNEF为周长为4的平行四边形,所以点E到点F,N的距离之和是2.又|NF|=2<2,故由椭圆的定义知,曲线C1为椭圆,a=,c=1,b=1.故曲线C1的方程为+y2=1.由||=2知,动点G的轨迹为以坐标原点O为圆心,2为半径的圆,其方程为x2+y2=4.(2)当l⊥x轴时,将x=-1代入x2+y2=4得y=±,所以|AB|=2∉(2),所以直线l不垂直于x轴.设直线l的方程为y=k(x+1).圆C2的圆心O(0,0)到直线l的距离d=,由圆的几何性质,得|AB|=2=2=2.由|AB|∈(2),解得k2>.联立方程消去x得y2-y-1=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),△NPQ内切圆半径为R,则y1+y2=,y1y2=-.因为|NF|·|y1-y2|=·R·(|PN|+|PQ|+|QN|).其中,|NF|=2,|PN|+|PQ|+|QN|=4,所以R=|y1-y2|.而|y1-y2|===.因为k2>,所以1-.另外,显然有1-<1,即<|y1-y2|<,所以<R<.所以,△NPQ的内切圆半径的取值范围为.。
2014年高考数学(理)三轮专项模拟(通用)试卷立体几何(含新题详解)
立体几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·肇庆模拟)在△ABC 中，已知|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝2，则向量AB →·BC→＝( )A ．2B ．－2C ．23D ．－2 3【解析】 向量AB →与BC →的夹角为2π3，则AB →·BC→＝2×2×cos 23π＝－2. 【答案】 B2．(2013·东营模拟)已知等比数列{a n }，若存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝a 23，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B ．53 C.94D.76【解析】 由等比数列的性质知m ＋n ＝6，则1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋4m n ＋n m ≥32，当且仅当4m n ＝n m ，即m ＝2，n ＝4时等号成立． 【答案】 A3．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面P AE ⊥平面ABC【解析】 若平面PDF ⊥平面ABC ，则顶点P 在底面的射影在DF 上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此结论不成立，故选C.【答案】 C4．(2013·济宁模拟)点M 、N 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1、A 1D 1的中点，用过A 、M 、N 和D 、N 、C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图1，则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为( )图1A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．②④③【解析】 根据三视图的定义可知选B. 【答案】 B5．(2013·枣庄模拟)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0【解析】由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，的区域BCO ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线经过C 时，直线的截距最大，此时z ＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，所以k ＝3，解得B (－6,3)，代入z ＝x ＋y 得最小值为z ＝－6＋3＝－3，选A.【答案】 A6．(2013·课标全国卷Ⅰ)如图2，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )图2A.500π3 cm 3 B ．866π3 cm 3 C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)． 【答案】 A7．(2013·临汾模拟)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β【解析】 因为m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，所以m ∥l . 因为AB ∥l ，所以AB ∥m ，故A 一定正确． 因为AC ⊥l ，m ∥l ，所以AC ⊥m ，从而B 一定正确． 因为AB ∥l ，l ⊂β，AB ⊄β. 所以AB ∥β.故C 也正确．因为AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立，故D 不一定成立．【答案】 D8．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AB 1⊥BC 1，则平面DBC 1与平面CBC 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 以A 为坐标原点，AC →，AA 1→的方向分别为y 轴和z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设底面边长为2a ，侧棱长为2b ，则A (0,0,0)，C (0,2a,0)，D (0，a,0)，B (3a ，a,0)，C 1(0,2a,2b )，B 1(3a ，a,2b )． 由AB 1→⊥BC 1→，得AB 1→·BC 1→＝0，即2b 2＝a 2. 设n 1＝(x ，y ，z )为平面DBC 1的一个法向量， 则n 1·DB →＝0，n 1·DC 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3ax ＝0，ay ＋2bz ＝0.又2b 2＝a 2，令z ＝1， 解得n 1＝(0，－2，1)．同理可求得平面CBC 1的一个法向量为n 2＝(1，3，0)． 利用公式cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，得θ＝45°.【答案】 B第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 9．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(A ＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f (0)＝3，则函数f (3)＝________.【解析】 ω＝2π2＝π，由f (0)＝A sin π6＝3得A ＝23， 所以f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，所以f (3)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6＝－ 3.【答案】 － 310．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．【解析】 设球心为O ，正三棱柱上底面为△ABC ，中心为O ′，因为三棱柱所有棱的长都为a ，则可知OO ′＝a 2，O ′A ＝33a ，又由球的相关性质可知，球的半径R ＝OO ′2＋O ′A 2＝216a ，所以球的表面积为4πR 2＝73πa 2. 【答案】 73πa 211．(2013·南通模拟)关于直线m ，n 和平面α，β有以下四个命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ②若m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β，则α⊥β； ③若α∩β＝m ，m ∥n ，则n ∥α且n ∥β； ④若m ⊥n ，α∩β＝m ，则n ⊥α或n ⊥β. 其中假命题的序号是________．【解析】 命题①m 与n 也可相交或异面，所以①是假命题；命题②由条件可得m ⊥β，又m ⊂α，故α⊥β，所以②是真命题；命题③也可得到n ⊂α或n ⊂β，所以③错；命题④由已知只能得到n 垂直α与β内的一条直线，无法判定n ⊥α或n ⊥β，所以命题④错．【答案】 ①③④12．(2013·陕西高考)某几何体的三视图如图3所示，则其体积为________．图3【解析】 原几何体可视为圆锥的一半，其底面半径为1，高为2， ∴其体积为13×π×12×2×12＝π3. 【答案】 π313．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3 23＝3＋5 32＝1＋3＋5 33＝7＋9＋11 42＝1＋3＋5＋7 43＝13＋15＋17＋19 52＝1＋3＋5＋7＋953＝21＋23＋25＋27＋29根据上述分解规律，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，则m 的值为________．【解析】 由所给等式知，m 3分解中第1个数为数列3,5,7，…中第2＋3＋4＋…＋(m －1)＋1项，即m 2－m2项，从而m 3分解中第1个数为m 2－m ＋1，由m 2－m ＋1＝73得m ＝9.【答案】 914．(2013·南昌模拟)三棱锥S —ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：图4①异面直线SB与AC所成的角为90°.②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是1 2a.其中正确结论的序号是________．【解析】由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离12a，④正确．【答案】①②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(2013·深圳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3且△ABC的面积等于3，求cos(A＋B)和a，b的值；(2)若B是钝角，且cos A＝35，sin B＝1213，求sin C的值．【解】(1)∵A＋B＋C＝π，C＝π3，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－cos π3＝－12.由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12ab sin C＝3，得ab＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵B 是钝角，且cos A ＝35，sin B ＝1213， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513，∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋35×1213＝1665.16．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)在如图5所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，且AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1.图5(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一结论；(2)求多面体ABCDE 的体积．【解】 (1)如图所示，由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接BF 、FH 、AH ，则FH 綊12ED ，又AB ＝12ED ，∴FH 綊AB ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴BF ∥AH ，又因为BF ⊄平面ACD ，AH ⊂平面ACD ，∴BF ∥平面ACD . (2)取AD 中点G ，连接CG . 因为AB ⊥平面ACD ，∴CG ⊥AB ， 又CG ⊥AD ，∴CG ⊥平面ABED ，即CG 为四棱锥C —ABED 的高，求得CG ＝3， ∴V C —ABED ＝13·(1＋2)2·2·3＝ 3.17．(本小题满分14分)(2013·黄冈模拟)如图6，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60°，AB ⊥B 1C .(1)求证：平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ； (2)若AB ＝2，求三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积．图6【解】 (1)由侧面AA 1B 1B 为正方形，知AB ⊥BB 1. 又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ， 又AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C .(2)由题意，CB ＝CB 1，设O 是BB 1的中点，连接CO ，则CO ⊥BB 1.由(1)知，CO ⊥平面AA 1B 1B ，且CO ＝32BC ＝32AB ＝ 3. 连结AB 1，则VC —ABB 1＝13S △ABB 1·CO ＝16AB 2·CO ＝233. 因为VB 1—ABC ＝VC —ABB 1＝13VABC —A 1B 1C 1＝233， 故三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积VABC —A 1B 1C 1＝2 3.18．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1－(－1)n 2a n －1＋(－1)n2b n ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .【解】 (1)当n ＝1，a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1.∴{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，∴a n ＝2n . 由b n ＋1＝b n ＋2，得{b n }是等差数列，公差为2. 又首项b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n n 为奇数，－(2n －1) n 为偶数，∴T 2n ＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)] ＝22n ＋1－23－2n 2－n .19．(本小题满分14分)如图7所示，P A⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，P A＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC.图7(1)求证：平面MOE∥平面P AC.(2)求证：平面P AC⊥平面PCB.(3)设二面角M—BP—C的大小为θ，求cos θ的值．【解】(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥P A.因为P A⊂平面P AC，OE⊄平面P AC，所以OE∥平面P AC.因为OM∥AC，因为AC⊂平面P AC，OM⊄平面P AC，所以OM∥平面P AC.因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM＝O，所以平面MOE∥平面P AC.(2)因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.因为P A⊥平面BAC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC.因为AC⊂平面P AC，P A⊂平面P AC，P A∩AC＝A，所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PCB ， 所以平面P AC ⊥平面PCB .(3)如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C —xyz .因为∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2， 所以CB ＝2cos 30°＝3，AC ＝1. 延长MO 交CB 于点D . 因为OM ∥AC ，所以MD ⊥CB ，MD ＝1＋12＝32， CD ＝12CB ＝32.所以P (1,0,2)，C (0,0,0)，B (0，3，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0.所以CP→＝(1,0,2)，CB →＝(0，3，0)．设平面PCB 的法向量m ＝(x ，y ，z )． 因为⎩⎨⎧m ·CP →＝0，m ·CB →＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(1，0，2)＝0，(x ，y ，z )·(0，3，0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2z ＝0，3y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0. 所以m ＝(－2,0,1)．同理可求平面PMB 的一个法向量n ＝(1，3，1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝－15.因为二面角M —BP —C 为锐二面角，所以cos θ＝15.图820．(本小题满分14分)(2013·天津高考)如图8，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1-CE -C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．【解】 如图，以点A 为原点，以AD ，AA 1，AB 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)证明：易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎨⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)． 由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1， 可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m ||B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217.所以二面角B 1—CE —C 1的正弦值为217. (3)AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)． 设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)． 可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →||AB →|＝2λλ2＋(λ＋1)2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1， 于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)，所以AM＝ 2.。
数学_2014年某校高考数学三模试卷(理科)(含答案)
2014年某校高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 已知集合M ={2, log 2a}，N ={a, b}，若M ∩N ={0}，则M ∪N =( ) A {0, 1} B {0, 1, 2} C {1, 2} D {0, 2}2. 等差数列{a n }的前 n 项和为{S n }，若S 8−S 4=36，a 6=2a 4，则a 1=( ) A −2 B 0 C 2 D 43. 设随机变量ξ服从正态分布N(2, σ2)，若P(ξ>c)=a ，则(ξ>4−c)等于（ ） A a B 1−a C 2a D 1−2a4. 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A 30B 50C 75D 1505. 一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是( ) A 等腰三角形 B 等腰梯形 C 五边形 D 正六边形6. 函数f(x)=cos 2x +√3sinxcosx 在区间[π6, π2]的最大值为（ ） A 1 B1+√32C 32D 27. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，其f(x)=f(x −2)，若f(x)在区间[2, 3]单调递减，则（ ）A f(x)在区间[−3, −2]单调递增B f(x)在区间[−2, −1]单调递增C f(x)在区间[3, 4]单调递增D f(x)在区间[1, 2]单调递减8. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30∘的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A √6B √3C √2D √339. 已知△ABC 外接圆O 的半径为1，且OA →⋅OB →=−12．∠C =π3，从圆O 内随机取一个点M ，若点M取自△ABC内的概率恰为3√3，则△ABC的形状为的形状为（）4πA 直角三角形B 等边三角形C 钝角三角形D 等腰直角三角形10. 已知数列{a n}满足a1＝0，a n+1＝a n+2√a n+1+1，则a13＝（）A 143B 156C 168D 19511. 用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A 432B 288C 216D 144|，(a∈R)在区间[0, 1]上单调递增，则实数a的取值范围是12. 已知函数f(x)=|e x+ae x（）A a∈[0, 1]B a∈(−1, 0]C a∈[−1, 1]D a∈(−∞, −1]∪[1, +∞)二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是________．14. 某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10QUOTE，属于第二档电价的家庭约占40QUOTE，属于第三档电价的家庭约占30QUOTE，属于第四档电价的家庭约占20QUOTE．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得如图的直方图，由此直方图可以做出的合理判断是________①年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档②年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档③年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档④该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数．15. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________．16. 在平面直角坐标系中，定义d(P, Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|为两点P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)之间的“折线距离”，在这个定义下给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于2的点的轨迹是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆；③到M(−1, 0)，N(1, 0)两点的“折线距离”之和为4的轨迹是面积为6的六边形；④到M(−1, 0)，N(1, 0)两点的“折线距离”差的绝对值为3的点的轨迹是两条平行直线． 其中正确的命题是________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题过6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设数列{a n }的前n 项和为Sn ，且S n =4a n −p ，其中p 是不为零的常数． （1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）当p =3时，若数列{b n }满足b n+1=b n +a n (n ∈N ∗)，b 1=2，求数列{b n }的通项公式．18. 某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A 、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (II)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关． 总计 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（此公式也可写成x 2=n(n 11n 22−n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2）19.如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90∘，且AB =AA 1，D ，E ，F 分别是B 1A ，CC 1，BC 的中点．（1）求证：B 1F ⊥平面AEF ；（2）求二面角B 1−AE −F 的正切值．20. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短半轴长为1，动点M(2, t)(t >0)在直线x =a 2c（a为长半轴，c 为半焦距）上． (1)求椭圆的标准方程;(2)求以OM 为直径且被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．21. 设函数f(x)=x −a(x +1)ln(x +1)，(x >−1, a ≥0) （1）求f(x)的单调区间；（2）当a =1时，若方程f(x)=t 在[−12，1]上有两个实数解，求实数t 的取值范围；（3）证明：当m >n >0时，(1+m)n <(1+n)m ．四、选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连接BF 、AF 并延长交⊙O 于点M 、N ． （1）求证：B 、E 、F 、N 四点共圆； （2）求证：AC 2+BF ⋅BM =AB 2．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23. 极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C 2的参数方程为{x =m +tcosαy =tsinα (t 为参数，0≤α<π)，射线θ＝φ，θ＝φ+π4，θ＝φ−π4与曲线C 1交于（不包括极点O ）三点A 、B 、C ．(I)求证：|OB|+|OC|=√2|OA|；(Ⅱ)当φ=π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．【选修4-5：不等式选讲】 24. 选修4−5：不等式选讲已知函数f(x)=|x −a|+|x −1|，a ∈R ． （1）当a =3时，解不等式f(x)≤4；（2）当x ∈(−2, 1)）时，f(x)>|2x −a −1|．求a 的取值范围．五、附加思考题：（不用再卷子上作答思考即可）25. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则总有a +b >c ．由正弦定理得sinA +sinB >sinC ．由导数公式：(sinx)′=cosx ，可以得到结论：对任意△ABC 有cosA +cosB >cosC ．上述结论是否正确？如果不正确，请举出反例，并指出推导过程中的错误．2014年某校高考数学三模试卷（理科）答案1. B2. A3. B4. B5. D6. C7. D8. B9. B 10. C 11. B 12. C13. 甲乙丙 14. ①③④ 15. 8+2π 16. ①③④ 17. 证明：（1）证：因为S n =4a n −p(n ∈N ∗)，则S n−1=4a n−1−p(n ∈N ∗, n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n =S n −S n−1=4a n −4a n−1，整理得a n =43a n−1．由S n =4a n −p ，令n =1，得a 1=4a 1−p ，解得a 1=p3．所以a n 是首项为p 3，公比为43的等比数列． （2）解：因为a 1=1，则a n =(43)n−1，由b n+1=a n +b n (n =1, 2,)，得b n+1−b n =(43)n−1，当n ≥2时，由累加得b n =b 1+(b 2−b ′1)+(b 3−b 2)+...+(b n −b n−1)=2+1−(43)n−11−43=3(43)n−1−1，当n =1时，上式也成立．18. 解：(1)根据频率分步直方图可得成绩优秀的人数是4， ξ的可能取值是0，1，2P(ξ=0)=C462C502=207245，P(ξ=1)=C461C41C502=1841225，P(ξ=2)=C42C502=61225∴ ξ的分布列是∴ Eξ=0×207245+1×1841225+2×61225=425(II)由频率分步直方图知，甲班成绩优秀和成绩不优秀的人数是12，38，乙班成绩优秀和成绩不优秀的人数是4，46根据列联表可知K2=100(12×46−4×38)216×84×50×50=4.762，由于4.762>3.841，∴ 有95%的把握说成绩优秀与教学方式有关．19. 证明：（1）等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，∴ AF⊥BC又∵ 直三棱柱ABC−A1B1C1，∴ 面ABC⊥面BB1C1C，∴ AF⊥面C1B，∴ AF⊥B1F设AB=AA1=1，∴ B1F=√62，EF=√32，B1E=32，∴ B1F2+EF2=B1E2，∴ B1F⊥EF又AF∩EF=F，∴ B1F⊥面AEF解：（2）∵ B1F⊥面AEF，作B1M⊥AE于M，连接FM，∴ ∠B1MF为所求又∵ FM=√3√10，所求二面的正切值为√520. 解：(1)又由点M 在准线上，得a 2c =2， 故1+c 2c=2，∴ c =1，从而a =√2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1；(2)以OM 为直径的圆的方程为x(x −2)+y(y −t)=0, 即(x −1)2+(y −t2)2=t 24+1.其圆心为(1,t2)，半径r =√t 24+1,因为以OM 为直径的圆被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2, 所以圆心到直线3x −4y −5=0的距离d =√r 2−1=t2,所以|3−2t−5|5=t2，解得t =4,所求圆的方程为(x −1)2+(y −2)2=5.(3)设N(x 0, y 0)，则FN →=(x 0−1,y 0)，OM →=(2,t)， MN →=(x 0−2,y 0−t)，ON →=(x 0,y 0)，∵ FN →⊥OM →，∴ 2(x 0−1)+ty 0=0，∴ 2x 0+ty 0=2， 又∵ MN →⊥ON →，∴ x 0(x 0−2)+y 0(y 0−t)=0，∴ x 02+y 02=2x 0+ty 0=2， 所以|ON →|=√x 02+y 02=√2为定值．21. 解：（1）f′(x)=1−aln(x +1)−a①a =0时，f′(x)>0∴ f(x)在(−1, +∞)上是增函数 … ②当a >0时，f(x)在(−1,e1−a a−1]上递增，在[e1−a a−1，+∞)单调递减．…（2）由（1）知，f(x)在[−12，0]上单调递增，在[0, 1]上单调递减 又f(0)=0,f(1)=1−ln4,f(−12)=−12+12ln2∴ f(1)−f(−12)<0∴ 当t ∈[−12+12ln2，0)时，方程f(x)=t 有两解 …（3）要证：(1+m)n <(1+n)m 只需证nln(1+m)<mln(1+n)， 只需证：ln(1+m)m<ln(1+n)n设g(x)=ln(1+x)x，(x >0)，则g /(x)=x1+x−ln(1+x)x 2=x−(1+x)ln(1+x)x 2(1+x)…由（1）知x −(1+x)ln(1+x)，在(0, +∞)单调递减 … ∴ x −(1+x)ln(1+x)<0，即g(x)是减函数，而m >n ∴ g(m)<g(n)，故原不等式成立． …22. 证明：（1）连结BN ，则AN ⊥BN ，又CD ⊥AB ，则∠BEF =∠BNF =90∘，即∠BEF +∠BNF =180∘， 则B 、E 、F 、N 四点共圆．…（2）由直角三角形的射影原理可知AC 2=AE ⋅AB ， 由Rt △BEF 与Rt △BMA 相似可知：BF BA=BE BM，∴ BF ⋅BM =BA ⋅BE =BA ⋅(BA −EA)， ∴ BF ⋅BM =AB 2−AB ⋅AE ，∴ BF ⋅BM =AB 2−AC 2，即AC 2+BF ⋅BM =AB 2．…23. （1）依题意，|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos(φ+π4)，|OC|＝4cos(φ−π4)，则|OB|+|OC|＝4cos(φ+π4)+4cos(φ−π4)＝2√2(cosφ−sinφ)+2√2(cosφ+sinφ)＝4√2cosφ， =√2|OA|． （2）当φ=π12时，B ，C 两点的极坐标分别为(2, π3)，(2√3, −π6)．化为直角坐标为B(1, √3)，C(3, −√3)． C 2是经过点(m, 0)，倾斜角为α的直线，又经过点B ，C 的直线方程为y =−√3(x −2)，故直线的斜率为−√3， 所以m ＝2，α=2π3．24. 解：（1）∵ a =3时，f(x)=|x −3|+|x −1|={4−2x,x <12,1≤x ≤32x −4,x >3，∴ 当x <1时，由f(x)≤4得4−2x ≤4，解得x ≥0； ∴ 0≤x <1；当1≤x ≤3时，f(x)≤4恒成立；当x >3时，由f(x)≤4得2x −4≤4，解得x ≤4． ∴ 3<x ≤4…所以不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x ≤4}．…（2）因为f(x)=|x −a|+|x −1|≥|x −a +x −1|=|2x −a −1|， 当(x −1)(x −a)≥0时，f(x)=|2x −a −1|； 当(x −1)(x −a)<0时，f(x)>|2x −a −1|．…记不等式(x−1)(x−a)<0的解集为A，则(−2, 1)⊆A，故a≤−2，所以a的取值范围是(−∞, −2]．…25. 解：上述结论不正确．例如：当A=π2，B=π3，C=π6时，cosA+cosB<cosC错误：求导运算不保证不等式关系不变．。
2014高考数学(理)二轮专题升级训练：专题6 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线(含答案解析)
专题升级训练椭圆、双曲线、抛物线（时间：60分钟满分:100分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分,共36分)1。
（2013·辽宁师大附中模拟，6)若抛物线y2=ax的焦点与双曲线=1的右焦点重合，则a的值为（）A.4 B。
8 C.16 D。
82.已知F1，F2分别是椭圆=1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点,则（)A。
t=2 B。
t〉2C。
t<2 D.t与2的大小关系不确定3.若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1，F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2.若=0,则=（)A。
1 B。
2 C.3 D.44。
若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P（m,n）的直线与椭圆=1的交点有（)A.至少1个B.2个C。
1个D。
0个5。
已知点A，B是双曲线x2-=1上的两点，O为坐标原点,且满足=0，则点O到直线AB的距离等于（）A. B.C。
2 D.26。
直线4kx—4y-k=0与抛物线y2=x交于A，B两点，若｜AB｜=4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于( ）A。
B。
2 C。
D.4二、填空题（本大题共3小题,每小题6分,共18分）7。
已知抛物线y2=2px(p〉0)上一点M（1，m)，到其焦点的距离为5，双曲线x2—=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直,则实数a= .8。
在△ABC中,AB=BC,cos B=—,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e= 。
9.连接抛物线x2=4y的焦点F与点M(1，0)所得的线段与抛物线交于点A,设点O为坐标原点，则△OAM的面积为。
三、解答题（本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）10.(本小题满分15分)已知椭圆C：=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为-1。
上海交大附中高考数学二轮复习 椭圆、双曲线、抛物线训练题 理
上海交通大学附属中学2014届高三数学（理科班）第二次总复习椭圆·双曲线·抛物线本试卷 (选择题)和 (非选择题)两部分．考试时间45分钟．答案详细附试卷后1．与椭圆C ：y 216＋x212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1C.y 22－x 22＝1D.y 23－x 2＝1 2．(2013·北京高考)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m>12 B. m≥1C ．m>1 D. m>23．(2013·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px(p ＞0)的准线分别交于A, B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3， 则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．34．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x5．(2013·荆州质量检查)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝12，右焦点为F(c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P(x 1，x 2)到原点的距离为( )A. 2B.72C ．2 D.746．(2013·海淀模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P(x ，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则|PF||PA|的最小值是( )A.12B.22C.32D.2337．(2013·济南模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则双曲线方程为________．8．(2013·北京顺义一模)在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________．10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．11．(2013·合肥市质量检测)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积．12．(2013·郑州质量预测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆C 上，1AF ·12F F ＝0,3|2AF |·|1F A |＝－52AF ·1F A ，|12F F |＝2，过点F 2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)线段OF 2(O 为坐标原点)上是否存在点M(m,0)，使得QP ·MP ＝PQ ·MQ ？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．1．选C 椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．设双曲线的标准方程为y 2m －x2n ＝1(m>0，n>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2.2．选C 依题意，e ＝c a ，e 2＝c2a2>2，得1＋m>2，所以m>1.3．选C 因为双曲线的离心率e ＝ca＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，所以△AOB的面积为12×p2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.4．选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A(0,2)，抛物线上点M(x 0，y 0)，则AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ·AM ＝0， 即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF|＝5得，⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5， 又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8. 5．选A 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c.由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2b a＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P(x 1，x 2)到原点(0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝1＋x 22－2x 1x 2＝ 2. 6．选 B 依题意知x≥0，焦点F(1,0)，则|PF|＝x ＋1，|PA|＝＋2＋y 2＝＋2＋4x.当x ＝0时，|PA||PF|＝1；当x>0时，1<|PA||PF|＝1＋4x＋2≤1＋4x x2＝2(当且仅当x ＝1时取等号)．因此当x≥0时，1≤|PA||PF|≤2，22≤|PF||PA ≤1，|PF||PA|的最小值是22.7．解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线中a ＝1，由双曲线的渐近线方程为y＝±b a x ＝±3x ，可得b ＝3，故所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝18．解析：抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，又tan 60°＝y A1－－，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P＝y A ＝23，代入y 2＝4x ，得x A ＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.答案：49．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆上，如图，则△ABF 2的周长为|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，解得a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，故c ＝2 2.所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y28＝1.答案：x 216＋y28＝110．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，解得b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，则a ＝5.所以C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋－225＝1，即x 2－3x －8＝0，所以x 1＋x 2＝3. 设AB 的中点坐标为(x －，y －)， 则x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.11．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x. (2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴ x 1x 2＝y 1y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴l 2：x ＝y ＋8，M(8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM|·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.12．解：(1)由题意知，∠AF 1F 2＝90°，cos ∠F 1AF 2＝35，注意到|12F F |＝2，所以|1AF |＝32，|2AF |＝52，2a ＝|1AF |＋|2AF |＝4，所以a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y23＝1.(2)假设存在这样的点M 符合题意．设线段PQ 的中点为N ，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，N(x 0，y 0)，直线PQ 的斜率为k(k≠0)， 注意到F 2(1,0)，则直线PQ 的方程为y ＝k(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，故x 0＝x 1＋x 22＝4k 24k 2＋3，又点N 在直线PQ 上，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 24k 2＋3，－3k 4k 2＋3.由QP ·MP ＝PQ ·MQ 可得PQ ·(MQ ＋MP )＝2PQ ·MN ＝0，即PQ ⊥MN ，所以k MN ＝0＋3k 4k 2＋3m －4k 24k 2＋3＝－1k ，整理得m ＝k 24k 2＋3＝14＋3k2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14， 所以线段OF 2上存在点M(m,0)符合题意，其中m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.。
2014年高三理科数学三模试题及参考答案
高三年级第三次高考模拟测试试题理科数学（2014年5月）满分150分．考试时间120分钟一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．函数)1(log 2x y +=的定义域为（ ）（A ）),1[+∞-； （B ）),1(+∞-； （C ）),0[+∞； （D ）),0(+∞. 2．设)4,22(+=k a ，)1,8(+=k b ，若与共线，则k 的值等于（ ） （A ）3； （B ）0； （C ）5-； （D ）3或5-. 3．已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，则公差d 等于（ ） （A ）2； （B ）2-； （C ）3； （D ）3-. 4．“6πα=”是“1cos 22α=”的（ ） （A ）充分而不必要条件； （B ）必要而不充分条件； （C ）充分必要条件； （D ）既不充分也不必要条件.5．某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）（A ）36； （B ）27； （C ）18； （D ）9. 6．下列曲线中离心率为26的是（ ） （A ）14222=-y x ； （B ）16422=-y x ； （C ）12422=-y x ； （D ）110422=-y x .7．设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为（ ） （A ）14； （B ）1； （C ）2； （D ）4. 8．若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈,则20091222009222a a a +++的值为（ ）（A ）1-； （B ）2-； （C ）0； （D ）2.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，学生解答6小题，共30分．（一）必做题：9．复数)1(2i i +的虚部是 ．10．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．（第10题图）（第11题图）11．某程序框图如上（右）图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ．12．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是 ．13．在钝角ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知1=a ，2=b ，则最大边c 的取值范围是 ． （二）选做题：14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系),(θρ（πθ20<≤）中，曲线:1C θρsin 2= 与1cos -=θρ的交点的极坐标为 ．15．（几何证明选做题）如图，四边形ABCD 是圆O的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ， 若21=PA PB ，31=PD PC ，则ADBC的值为 ． （第15题图） 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）PCEF BA已知62cos()(π-=x x f ，R x ∈．（1）求)8(πf 的值；（2）当654ππ≤≤x 时，求)(x f 的最大值和最小值．17.（本小题满分12分）某连锁超市有A 、B 两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：A 分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；B 分店的统计结果如下表：（1）根据上面统计结果，求出B 分店销售量为200件、300件、400件的频率；（2）已知每件该商品的销售利润为1元，ξ表示超市A 、B 两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且A 、B 两分店的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望.18.（本小题满分14分）如图所示四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,四 边形ABCD 中,AB AD ⊥,//BC AD ,2PA AB BC ===,4AD =,E 为PD 的中点,F 为PC 中点.（1）求证:CD ⊥平面PAC ； （2）求证://BF 平面ACE ；（3）求直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值.19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 中，121=a ，29211+-=+n a a n n （+∈N n ）． （1）求证:数列}132{-+n a n 是等比数列；（2）设n S 是数列}{n a 的前n 项和，证明：38<n S （+∈N n ）．20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：)0( 12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过坐标原点O 且斜率为21的直线 l 与C 相交于A 、B ，102||=AB ．（1）求a 、b 的值；（2）若动圆1)(22=+-y m x 与椭圆C 和直线 l 都没有公共点，试求m 的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数()ln ()1af x x a x =+∈+R ． （1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小； （3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）．理科数学参考答案与评分建议一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B ；2．D ；3．B ；4．A ；5．C ；6．C ；7．D ；8．A ．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，学生解答6小题，共30分．9．1-；10．18；11．4；12．),3()1,3(+∞⋃-；13．35<<c ；14．3)4π；156 三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分12分） （1）6sin 4sin 6cos 4cos )64cos()682cos()8(πππππππππ+=-=-⨯=f42621222322+=⨯+⨯=． …………………………………………………6分 （2）∵654ππ≤≤x ，∴23623πππ≤-≤x ，∴21)62cos(1≤-≤-πx ，∴)(x f 的最大值为21，最小值为1-． (12)分17．（本小题满分12分）（1）B 分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为13，12和16． …………………………3分（2）A 分店销售量为200件、300件的频率均为12，…………………………………………………4分ξ的可能值为400，500，600，700， (5)分且P （ξ=400）=111236⨯=， P （ξ=500）=11115223212⨯+⨯=， P （ξ=600）=1111126223⨯+⨯=， P （ξ=700）=1112612⨯=， ………………………………9分ξ的分布列为0分PCDEFBA OG P CDE FBAOG HE ξ=400⨯16+500⨯512+600⨯13+700⨯112=16003（元）． ……………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）因为PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂面ABCD ,所以PA CD ⊥,又因为直角梯形面ABCD 中,AC CD ==所以222AC CD AD +=,即AC CD ⊥,又PA AC A =,所以CD ⊥平面PAC ． (4)分（2）解法一:如图,连接BD ,交AC 于O ,取PE 中点G , 连接,,BG FG EO ,则在PCE ∆中,//FG CE ,又EC ⊂平面ACE ,FG ⊄平面ACE ,所以//FG 平面ACE , 因为//BC AD ,所以BO GEOD ED=,则//OE BG , 又OE ⊂平面ACE ,BG ⊄平面ACE ,所以//BG 平面ACE , 又BGFG G =,所以平面//BFG 平面ACE ,因为BF ⊂平面BFG ,所以//BF 平面ACE . …………………………………………………10分解法二:如图,连接BD ,交AC 于O ,取PE 中点G , 连接FD 交CE 于H ,连接OH ,则//FG CE ,在DFG ∆中,//HE FG ,则12GE FH ED HD ==, 在底面ABCD 中,//BC AD ,所以12BO BC OD AD ==,所以12FH BO HD OD ==,故//BF OH ,又OH ⊂平面ACE ,BF ⊄平面ACE ,所以//BF 平面ACE . ……………………………………………………………10分（3）由（1）可知,CD ⊥平面PAC ,所以DPC ∠为直线PD 与平面PAC 所成的角, 在RtPCD ∆中,CD PD===所以sin CD DPC PD ∠===, 所以直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值为5.…………………………………………14分19．（本小题满分14分） （1）∵29211+-=+n a a n n （+∈N n ）， ∴)132(212132113)1(21-+=-+=-+++n a n a n a n n n （+∈N n ）， ………………3分 又∵0113121≠=-⨯+a ，∴0132≠-+n a n （+∈N n ）， ……………………4分 ∴2113213)1(21=-+-+++n a n a n n （+∈N n ）， ………………………………………5分∴数列}132{-+n a n 是公比为21的等比数列．………………………………………6分 （2）由（1）可得1)21(132-=-+n n n a （+∈N n ），……………………………7分∴1)21(132-++-=n n n a （+∈N n ）， ………………………………………8分∴12)21(212211)21(1)2(2)1(11--++-=--+-⨯-+=n nn n n n n n S （+∈N n ）， ……11分 ∵0)21(1>-n ，∴3838)6(21222≤+--=++-<n n n S n ，∴38<n S （+∈N n ）． ………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分） （1）依题意，得 l ：2xy =， ……………………………………………………………1分 不妨设设) , 2(t t A 、) , 2(t t B --（0>t ）， ……………………………………2分 由102||=AB 得40202=t ，2=t ，……………………………………………3分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+23 1282222a b a ac b a，………………………………………………………………5分解得4=a ，2=b ． ……………………………………………………………………6分（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1)( 14162222y m x y x 消去y 得01248322=++-m mx x ，…………………………7分 动圆与椭圆没有公共点，当且仅当014416)124(34)8(222<-=+⨯⨯--=∆m m m 或5||>m ，…9分解得3||<m 或5||>m ． …………………………………………………………………10分 动圆1)(22=+-y m x 与直线2xy =没有公共点当且仅当15||>m ，即5||>m ， …12分 解⎩⎨⎧><5||3||m m 或⎩⎨⎧>>5||5||m m ， …………………………………………………………13分 得m 的取值范围为{}553535|-<-<<-><<m m m m m 或或或． …………14分21．（本小题满分14分） （1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞，22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ．………2分 当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减． ……………4分)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ，∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．…………5分（2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ，0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． ………………………………………7分①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分 （3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ，∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ．………………12分∑=+=+nk k k n 11ln)1ln( ，1215131)1ln(++++>+∴n n ．……………………14分 （法二）当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立．…………………………10分设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln35211k k k +>++++++． 根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立． ……………13分 因此，由数学归纳法可知不等式成立．…………………………………………14分。
2014高考数学(理)快速提分专题15椭圆、双曲线、抛物线的基本问题
2014高考数学（理）快速提分直通车：专题15 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1 ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以k ＝－b 2a 2×2－2，所以b 2a 2＝12，③又a 2－b 2＝c 2＝9，④由③④得a 2＝18，b 2＝9.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案 D2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )．A ．5x 2－45y 2＝1B.x 25－y 24＝1 C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－54y 2＝1解析 由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，即c ＝1，又e ＝c a ＝5，可得a ＝55，结合条件有a 2＋b 2＝c 2＝1，可得b 2＝45，又焦点在x 轴上，则所求的双曲线的方程为5x 2－54y2＝1. 答案 D3．已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )．A.5＋12 B.2＋1 C.3＋1 D.2 2＋12解析 依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1.答案 B4．已知双曲线C 与椭圆x 216＋y 212＝1有共同的焦点F 1，F 2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P 到右焦点F 2的距离为4，则PF 2的中点M 到坐标原点O 的距离等于( )．A ．3B ．4C ．2D ．1解析 由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c ＝16－12＝2，故椭圆的离心率e 1＝24＝12，则双曲线的离心率e 2＝1e 1＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c ＝2.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a ＝c e 2＝22＝1，b 2＝c 2－a 2＝22－12＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.因为点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 2|＝4，所以|PF 1|＝6.因为坐标原点O 为F 1F 2的中点，M 为PF 2的中点．所以|MO |＝12|PF 1|＝3.答案 A5．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )．A.316 B.38 C.233 D.433解析 抛物线C 1：y ＝12p x 2的标准方程为x 2＝2py ，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2；双曲线C 2：x 23－y2＝1的右焦点F ′为(2,0)，其渐近线方程为y ＝±33x .由y ′＝1p x ，所以1p x ＝33，得x ＝33p ，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6.由点F ，F ′，M 三点共线可求p ＝433. 答案 D6．双曲线x 216－y 2m ＝1(m >0)的离心率为54，则m 等于________．解析 由题意得c ＝16＋m ，所以16＋m 4＝54，解得m ＝9. 答案 97．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点PA ⊥l ，A 为垂足，如果AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.解析 抛物线的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，因为PA ⊥准线l ，设P (m ，n )，则A (－2，n )，因为AF 的斜率为－3，所以n－2－2＝3，得n ＝－43，点P 在抛物线上，所以8m ＝(－43)2＝48，m ＝6.因此P (6，－43)，|PF |＝|PA |＝|6－(－2)|＝8. 答案 88．椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 解析 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2，在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c2a ＝2cc ＋3c＝3－1.答案 3－19．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0，则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－b 2＋b22－－2b 21＋b2＝8b4＋b22，解得b ＝22. 10．已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝3.又∵b 2＝a 2－c 2，∴b ＝7， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]，由已知OP 2OM 2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋112x 2＋y 2＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]．①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)．轨迹是两条平行于x 轴的线段． ②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆．11．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有－c2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2.。
高考数学(理)二轮复习三级排查大提分课件：6-2椭圆、双曲线、抛物线
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排查考前必记的数学概念、公式、性质、定理
在下面 12 个小题中，有 3 个表述不正确，请在题
1.曲线与方程 后用“√”或“×”判定，并改正过来.
2013 辽宁，20； 1.(1)平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大
2012 大纲全国， 于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．(2)若焦点在 x 轴上，
由题意可知12×2a×2b＝4，即 ab＝2.解方程组aab＝＝2b2， ， 得 a＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x42＋y2＝1.
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(2)由(1)知，点 A 的坐标是(－2,0)，设点 B(x1，y1)，直线 l 的斜率 为 k，则直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)．
又|PF1|＞|PF2|， 所以∠PF2F1＝90°，
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∴sin∠PF1F2＝||PPFF21||＝12， 因此∠PF1F2＝30°.
所以 2c＝|PF1|·cos 30°＝2 315，b2＝a2－c2＝130. 所以当焦点在 x 轴上时，椭圆的方程为x52＋31y02＝1. 当焦点在 y 轴上时，椭圆的方程为31x02＋y52＝1. 故椭圆的方程为x52＋31y02＝1 或31x02＋y52＝1. [易错提醒] 本题的易错点是不能对椭圆焦点位置进行分类讨论．
y＝kx＋1－k，
由x2－y22＝1，
得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2
－k2≠0)．
①
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2014年高考数学(理)重点突破专练6-2椭圆、双曲线、抛物线
2014年高考数学（理）重点突破专练 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．(仿2011·福建，7)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )．A.31414B.324 C.32D.43解析 ∵c ＝3，b ＝5， ∴a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4，∴a ＝2. 因此离心率e ＝c a ＝32. 答案 C2．(仿2012·安徽，9)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )． A ．18 B ．24 C ．36D ．48解析 设抛物线方程为y 2＝2px ， 当x ＝p2时，y 2＝p 2，∴|y |＝p ， ∴p ＝|AB |2＝122＝6，又点P 到AB 的距离始终为6， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36. 答案 C3．(仿2013·四川，6)设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ( )．A ．2 B. 3 C.52D. 5解析 依题意，不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，b a ×p 2，则由点A 在抛物线y 2＝2px 上得⎝ ⎛⎭⎪⎫bp 2a 2＝2p ×p2，由此得b 2＝4a 2.该双曲线的离心率等于ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2＝ 5.答案 D4．(仿2013·安徽，8)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则OP →·FP →的最大值 ( )．A ．2B ．3C ．6D ．8解析 由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20. ∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 23＝1. ∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2.∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6. 答案 C5．(仿2013·辽宁，15)已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是( )．A ．6x －5y －28＝0B ．6x ＋5y －28＝0C ．5x ＋6y －28＝0D ．5x －6y －28＝0解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2，)又B (0,4)，F (2,0)，由重心坐标得0＋x 1＋x 23＝2，4＋y 1＋y 23＝0⇒ ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝6 ①y 1＋y 2＝－4 ②，所以弦MN 的中点为(3，－2)．因为点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，所以⎩⎨⎧4x 21＋5y 21＝804x 22＋5y 22＝80，作差得 4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋5(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，将①和②代入得k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝65，所以，直线l 为：y ＋2＝65(x －3)即6x －5y －28＝0 答案 A6．(仿2011·四川，10)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程是________． 解析 ∵抛物线y 2＝16x 的焦点为(4,0)， ∴双曲线的半焦距c ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝16，b a＝3，解之得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2 3.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案 x 24－y 212＝17．(仿2012·重庆，14)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )．A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A 、B 两点在抛物线上，∴⎩⎨⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得，(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， 又线段AB 的中点的纵坐标为2，∴y 1＋y 2＝4， 又直线的斜率为1，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2p ＝4，p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1. 答案 B8．(仿2013·江西，9)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________． 解析 设点M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)， 则B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1.k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，即k 1·k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1.所以x 20－x 21a 2－y 20－y 21b 2＝0， 即y 20－y 21x 20－x 21＝b2a 2，所以k 1·k 2＝b 2a 2. 又离心率为e ＝2，所以k 1·k 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3. 答案 39．(仿2012·江苏，19)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值． (1)解 设椭圆的半焦距为c ， 圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3， ∴b ＝5－3＝ 2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1.消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得：(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.10．(仿2013·山东，22)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|＜253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)＞0，得k 2＜12. x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt (1＋2k 2).∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|＜253，∴1＋k 2|x 1－x 2|＜253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜209，∴(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2＜209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＞0， ∴k 2＞14.∴14＜k 2＜12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2，又32＜1＋2k 2＜2，∴83＜t 2＝8－81＋2k 2＜4， ∴－2＜t ＜－263或263＜t ＜2，∴实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2.。
2014年高考数学(理)二轮专练：中档小题(7)及答案解析
中档小题(七)1．下列函数中，不满足f (1x)＝－f (x )的是( ) A ．f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1且x ≠0) B ．f (x )＝x ＋1x －1(x ≠1且x ≠0) C ．f (x )＝log 2x (x >0)D ．f (x )＝x 2(x ≠0)2．一个半径为2的球体经切割后，剩余部分的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．8πB ．16πC ．12πD ．18π3．已知a ，b 为两条不同直线，α为一平面，则命题“直线a ⊥平面α，∀b ⊂α，a 与b 垂直”的否定是( )A ．直线a ⊥平面α，∀b ⊂α，a 与b 不垂直B ．直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0不垂直C ．直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0垂直D ．直线a ⊥平面α，a 与b 垂直，b ⊄α4．(2013·江西省高三上学期七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50 5．已知圆C 的圆心是双曲线x 2－y 23＝1的右焦点，且与双曲线的渐近线相切，则该圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝3C ．(x －2)2＋y 2＝3D ．x 2＋(y －3)2＝26．(2013·吉林省长春市高中毕业班第一次调研测试)关于函数f (x )＝sin(2x ＋π4)与函数g (x )＝cos(2x －3π4)，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上B ．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点C ．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0，0)对称7．(2013·湖北省武汉市高中毕业生调研测试)样本(x 1，x 2，…，x m )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y n )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x m ，y 1，y 2，…，y n )的平均数z ＝αx＋(1－α)y ，其中0<α≤12，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m <n B ．m ≤nC ．m >nD ．m ≥n8．(2013·高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( ) A.2－1 B. 2C.2＋1D.2＋29．(2013·洛阳市高三年级统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53B.83C.103D ．10 10．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，…，依次循环的规律分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( )A ．98B ．197C ．390D ．39211．向平面区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}内随机投入一点，则该点落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0内的概率等于________．12．某市为增强市民节约粮食的意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从第3，4，5组中共抽取12名志愿者参加10月16日的“世界粮食日”宣传活动，则从第4组中抽取的人数为________．13．已知一圆柱内接于球O ，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O 的表面积为________．14．(2013·石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二))在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →·AF →的最大值为________．备选题1．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，则AB 的长为( )A ．2 3B ．3 5C ．5 6D ．7 22．(2013·湖北省八校高三第二次联考)定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy 中，若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是斜坐标系x 轴，y 轴正方向上的单位向量，x ，y ∈R ，O 为坐标系原点)，则有序数对(x ，y )称为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系xOy 中，若∠xOy ＝120°，点C 的斜坐标为(2，3)，则以点C 为圆心，2为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＋6y ＋9＝0C ．x 2＋y 2－x －4y －xy ＋3＝0D ．x 2＋y 2＋x ＋4y ＋xy ＋3＝03．已知函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，若向量a ＝(log 12m ，－1)，b ＝(1，－2)，则满足不等式f (a ·b )<f (－1)的实数m 的取值范围是________．4．现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________．答案1．【解析】选D.本题可通过依次检验选项是否满足f (－x )＝1f （x ）得到D 选项不满足；也可赋值令x ＝1得f (1)＝0；令x ＝－1得f (－1)＝0，而对于函数f (x )＝x 2，f (±1)＝1，故选D.2．【解析】选B.该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×4×π×22＋π×22＝16π. 3．【解析】选B.该命题的否定是“直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0不垂直”．4．【解析】选A.依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 40＝10＋20＋40＋80＝150. 5．【解析】选C.由题意可知双曲线的右焦点的坐标为(2，0)，渐近线为3x ±y ＝0，所以r ＝23（3）2＋1＝3，所以圆的方程是(x －2)2＋y 2＝3. 6．【解析】选D.y ＝cos(2x －3π4)＝cos(2x －π4－π2)＝cos[π2－(2x －π4)]＝sin(2x －π4)与y ＝sin(2x ＋π4)的图象关于原点对称． 7．【解析】选B.由题意可得x ＝x 1＋x 2＋…＋x m m， y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n， z ＝x 1＋x 2＋…＋x m ＋y 1＋y 2＋…＋y n m ＋n ＝mx ＋ny m ＋n ＝m m ＋n x ＋n m ＋n y ，则0<α＝m m ＋n ≤12，∴m ≤n .故选B.8．【解析】选C.∵a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴|a ＋b |＝ 2.∴|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1.∴c 2－2c ·(a ＋b )＋1＝0，∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∴c 2＋1＝2|c ||a ＋b |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．∴c 2＋1＝22|c |cos θ≤22|c |.∴c 2－22|c |＋1≤0.∴2－1≤|c |≤2＋1.∴|c |的最大值为2＋1.9．【解析】选B.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0.过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3（x 2＋1）x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83. 10．【解析】选D.将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第16×6＋2＝98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.11．【解析】如图所示落在阴影部分内的概率为14π. 【答案】14π12．【解析】根据图形可知第3，4，5组的频率成等差数列，故各组抽取的人数也成等差数列，所以从第4组抽取了123＝4人． 【答案】413．【解析】该组合体的轴截面如图，可得球的半径为2，其表面积为4π(2)2＝8π.【答案】8π14．【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则E (2，12)，设F (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤1， AE →·AF →＝2x ＋12y ，令z ＝2x ＋12y ，当z ＝2x ＋12y 过点(2，1)时，AE →·AF →取最大值92.【答案】92备选题1．【解析】选C.如图，在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12， 所以∠ADC ＝120°，故∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，所以AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6. 2．【解析】选C.设圆上任一点P (x ，y )，则CP →＝(x －2)e 1＋(y －3)e 2，|CP →|2＝(x －2)2＋2(x－2)(y －3)e 1·e 2＋(y －3)2＝(x －2)2＋2(x －2)(y －3)(－12)＋(y －3)2＝4，故所求方程为x 2＋y 2－x －4y －xy ＋3＝0.3．【解析】因为函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数y ＝f (x )为开口向下、以x ＝1为对称轴的二次函数，所以f (－1)＝f (3)．又因为a ·b ＝log 12m ＋2，所以不等式f (a ·b )<f (－1)即为不等式log 12m ＋2<－1或log 12m ＋2>3，解得m >8或0<m <12. 【答案】(0，12)∪(8，＋∞) 4．【解析】设自上而下各节的长度组成等差数列{a n }，则a 1＝10，a n －2＋a n －1＋a n ＝114，a 1a n ＝a 26.设等差数列的公差为d (d ≠0)，则3a 1＋(3n －6)d ＝114，a 21＋(n －1)a 1d ＝a 21＋10a 1d＋25d 2，即10＋(n －2)d ＝38，(n －11)×10＝25d ，即(n －2)d ＝28，(n －11)×2＝5d ，两式相乘得(n －2)·(n －11)＝70，解得n ＝16.【答案】16。
2014届高考数学二轮专题复习 椭圆提分训练 文 新人教版
椭 圆高考试题考点一 椭圆的定义及应用1.(2009年卷,文13)椭圆29x +22y =1的焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|=,∠F 1PF 2的大小为.解析:由椭圆方程29x +22y =1可知a 2=9,b 2=2,∴c 2,a=3.由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6, 由|PF 1|=4,得|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,由余弦定理的推论有 cos ∠F 1PF 2=2221212122PF PF F F PE PE +-=224228242+-⨯⨯=-12. ∴∠F 1PF 2=120°. 答案:2 120°2.(2009年某某卷,文12)已知F 1、F 2是椭圆C:22x a +22y b=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且1PF ⊥2PF ,若△PF 1F 2的面积为9,则b=. 解析:由题意可知,121PF |2PF |=9,① |1PF |2+|2PF |2=|12F F |2=(2c)2,② 由椭圆定义可知,|PF 1|+|PF 2|=2a,③联立①②③解得a 2-c 2=9,即b 2=9,∴b=3. 答案:3考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013年某某卷,文9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C 的方程是( )(A)23x+24y=1 (B)24x+2=1(C)24x+22y=1 (D)24x+23y=1解析:因椭圆中心在原点,右焦点为(1,0),所以其方程应为22xa+22yb=1,且a2-b2=c2=1.又离心率ca=12,∴a=2,b2=a2-c2=3.故选D.答案:D2.(2013年大纲全国卷,文8)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且AB=3,则C的方程为( )(A)22x+y2=1 (B)23x+22y=1(C)24x+23y=1 (D)25x+24y=1解析:依题意设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0),由条件可得A（1,2ba）,B（1,-2ba）,因|AB|=2ba-（-2ba）=22ba=3,即2b2=3a,所以222223,1,b aa b c⎧=⎪⎨-==⎪⎩解得2,ab=⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C的方程为24x+23y=1.故选C.答案:C3.(2010年某某卷,文11)若点O和点F分别为椭圆24x+23y=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为( ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)8解析:由椭圆方程24x+23y=1可知a2=4,b2=3,∴c2=1,∴F(-1,0). 设P(x0,y0),则204x +203y =1.且OP =(x 0,y 0),FP =(x 0+1,y 0), ∴OP ·FP =x 0(x 0+1)+20y=20x +x 0+3（1-204x ） =2014x +x 0+3 =14(x 0+2)2+2 ∵-2≤x 0≤2,∴当x 0=2时,OP ·FP 取到最大值14×16+2=6. 答案:C考点三 椭圆离心率的求法1.(2013年某某卷,文11)已知椭圆C:22x a +22y b=1(a>b>0)的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=45,则C 的离心率为( ) (A)35 (B)57 (C)45 (D)67解析:|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|·|BF|cos ∠ABF=100+64-2×10×8×45=36,则|AF|=6,∠AFB=90°, 半焦距c=|FO|=12|AB| =5,设椭圆右焦点F 2, 连结AF 2,由对称性知|AF 2|=|FB|=8, 2a=|AF 2|+|AF|=6+8=14, 即a=7, 则e=c a =57.故选B.答案:B2.(2013年新课标全国卷Ⅱ,文5)设椭圆C:22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P是C 上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为( )(A)6(B)13(C)12(D)3 解析:Rt △PF 1F 2中,|F 1F 2|=2c(c 为半焦距), 因为∠PF 1F 2=30°, 所以|PF 21由椭圆的定义知2a=|PF 1|+|PF 2所以e=c a =3. 故选D. 答案:D3.(2013年某某卷,文9)从椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )(A)4(B)12(C)2(D)2解析:由题意点P(-c,y)(y>0)在椭圆上,则22c a +22y b=1, 解得y=2b a,则k OP =2b ac -.又由A(a,0),B(0,b),得k AB =-ba, 所以2b ac -=b a-,即b=c,∴所以e=22.故选C.答案:C4.(2012年新课标全国卷,文4)设F1,F2是椭圆E:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=32a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )(A)12(B)23(C)34(D)45解析:如图所示,设直线x=32a与x轴的交点为Q,由题意可知,∠F2F1P=∠F1PF2=30°,|PF2|=|F1F2|=2c,∴∠PF2Q=60°,∠F2PQ=30°.∴|F2Q|=12|PF2|.即32a-c=12·2c,∴e=ca=34.答案:C5.(2012年某某卷,文8)椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )(A)14(B)55(C)125解析:由题意知,|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c. 由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列可得:(2c)2=(a-c)(a+c).整理得a2=5c2,∴e=ca22ca155答案:B6.(2011年新课标全国卷,文4)椭圆216x+28y=1的离心率为( )(A)13(B)12(C)3(D)2解析:由椭圆方程216x+28y=1可知a2=16,b2=8,∴c2=a2-b2=8,∴e=ca2.答案:D7.(2010年某某卷,文7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )(A)45(B)35(C)25(D)15解析:由题意可知,2a,2b,2c成等差数列, ∴4b=2a+2c,即a+c=2b,又a2-c2=b2,∴22a c+⎛⎫⎪⎝⎭=a2-c2,即5c2+2ac-3a2=0, ∴5e2+2e-3=0,解得e=35或e=-1(舍去).答案:B8.(2013年某某卷,文15)椭圆Γ:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线与椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.解析:直线过点F1(-c,0)且倾斜角为60°,所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°, 所以∠F1MF2=90°,所以F1M⊥F2M,在Rt△F1MF2中,|MF1|=c,|MF2所以e=ca=22ca=122cMF MF+答案:3-1考点四 直线与椭圆的位置关系1.(2013年某某卷,文20)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A,B 两点,若A 是PB 的中点,求直线m 的斜率. 解:(1)设M 到直线l 的距离为d,根据题意,d=2|MN|. 由此得|4-x|=2()221x y -+,化简得24x +23y =1,所以,动点M 的轨迹方程为24x +23y =1.(2)法一 由题意,设直线m 的方程为y=kx+3,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).将y=kx+3代入24x +23y =1中,有(3+4k 2)x 2+24kx+24=0,其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k 2)=96(2k 2-3)>0,由求根公式得,x 1+x 2=-22434kk +,① x 1x 2=22434k +.②又因A 是PB 的中点, 故x 2=2x 1,③将③代入①,②,得 x 1=-2834kk +,21x =21234k+,可得22834k k -⎛⎫⎪+⎝⎭=21234k+, 且k 2>32, 解得k=-32或k=32,所以,直线m 的斜率为-32或32. 法二 由题意,设直线m 的方程为y=kx+3, A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). ∵A 是PB 的中点,∴x 1=22x ,① y 1=232y +.②又214x +213y =1,③224x +223y =1.④ 联立①,②,③,④解得222,0x y =⎧⎨=⎩或222,0x y =-⎧⎨=⎩即点B 的坐标为(2,0)或(-2,0), 所以,直线m 的斜率为-32或32. 2.(2013年某某卷,文20)椭圆C:22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C 的方程;(2)如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点,直线DP 交x 轴于点N,直线AD 交BP 于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m.证明2m-k 为定值. (1)解:因为3c a, 所以33代入a+b=3, 得,a=2,b=1.故椭圆C 的方程为24x +y 2=1.(2)证明:因为B(2,0),P 不为椭圆顶点, 则直线BP 的方程为y=k(x-2)（k ≠0,k ≠±12）,① 把①代入24x +y 2=1,解得P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线AD 的方程为y=12x+1.② ①与②联立解得M 424,2121k k k k +⎛⎫⎪--⎝⎭. 由D(0,1),P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，N(x,0)三点共线知 222414182041kk k k --+--+=010x --, 解得N 42,021k k -⎛⎫⎪+⎝⎭.所以MN 的斜率为m=402142422121kk k k k k --+---+ =()()()22421221221k k k k ++--=214k +, 则2m-k=214k +-k=12(定值).3.(2013年某某卷,文21)已知椭圆C:22x a +22y b=1(a>b>0)的焦距为4,且过点).(1)求椭圆C 的方程;(2)设Q(x 0,y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点.过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E.取点),连接AE,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D.点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 解:(1)因为焦距为4,所以a 2-b 2=4.又因为椭圆C 过点所以22a +23b=1, 故a 2=8,b 2=4,从而椭圆C 的方程为28x +24y =1.(2)一定有唯一的公共点. 由题意,E 点坐标为(x 0,0).设D(x D ,0),则AE =(x 0),AD =(x D). 再由AD ⊥AE 知,AE ·AD =0, 即x D x 0+8=0. 由于x 0y 0≠0,故x D =-8x . 因为点G 是点D 关于y 轴的对称点,所以点G （8x ,0）. 故直线QG 的斜率k QG =0008y x x -=00208x y x -. 又因Q(x 0,y 0)在椭圆C 上, 所以20x +220y =8.① 从而k QG =-02x y . 故直线QG 的方程为 y=-002x y （x-08x ）.② 将②代入椭圆C 方程,得(20x +220y )x 2-16x 0x+64-1620y =0.③再将①代入③,化简得x2-2x0x+2x=0.解得x=x0,y=y0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.4.(2013年某某卷,文18)设椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为3,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若AC·DB+AD·CB=8,求k的值.解:(1)设F(-c,0),由ca=3,知过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有()22ca-+22yb=1,解得y=,于是3=3,解得,又a2-c2=b2,从而所以椭圆的方程为23x+22y=1.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).由方程组()221,132y k xx y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,则x1+x2=-22623kk+,x1x2=223623kk-+.因为,0),所以AC ·DB +AD ·CB =(x 11)·2,-y 2)+(x 22)·-x 1,-y 1)=6-2x 1x 2-2y 1y 2=6-2x 1x 2-2k 2(x 1+1)(x 2+1) =6-(2+2k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)-2k 2=6+2221223k k ++. 由已知得6+2221223k k ++=8,解得k=. 5.(2012高考卷,文19)已知椭圆C:22x a +22y b=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为2.直线y=k(x-1)与椭圆C 交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C 的方程;(2)当△AMN的面积为3时,求k 的值. 解:(1)由题设知,椭圆焦点在x 轴上,∴a=2.由e=c a=2得, ∴b 2=a 2-c 2=2.∴椭圆C 的方程为24x +22y =1. (2)由()221,142y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y, 整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-4=0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).则Δ=(-4k 2)2-4(1+2k 2)(2k 2-4)>0(※) 且x 1+x 2=22412k k +,x 1·x 2=222412k k-+, ∴设点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d,则.∴S△AMN=12|MN|·=3,解得k=±1,代入(※)式成立,∴k=±1.6.(2012年某某卷,文19)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0),点P2a）在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.解:(1)∵点P（5a,2a）在椭圆上,∴225aa+222ab=1整理得22ba=58.∴e=c a=4(2)由题意可知,点A坐标为(-a,0),|AO|=a. 设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,设点Q坐标为(x0,y0).则00220022,1,y kx x y a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 0,整理得2x =22222a b k a b +① 由|AQ|=|AO|得(x 0+a)2+k 220x =a 2. 整理得(1+k 220x 2ax 0=0. 由于x 0≠0,得x 0=-221a k +.② 把②代入①得()22241a k +=22222a b k a b +, 整理得(1+k 2)2=4k 2·22a b +4. 由(1)知22a b =85, 故(1+k 2)2=325k 2+4, 即5k 4-22k 2-15=0,解得k 2=5.∴直线OQ 的斜率k=7.(2011年某某卷,文18)设椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,点P(a,b)满足|PF 2|=|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线PF 2与椭圆相交于A,B 两点.若直线PF 2与圆(x+1)22=16相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程. 解:(1)设F 1(-c,0),F 2(c,0)(c>0),因为|PF 2|=|F 1F 2|,整理得2（c a ）2+c a-1=0,得c a =-1(舍去),或c a =12, 所以e=12. (2)由(1)知可得椭圆方程为3x 2+4y 2=12c 2,直线PF 2的方程为A 、B两点的坐标满足方程组)2223412,,x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理,得5x 2-8cx=0,解得x 1=0,x 2=85c.得方程组的解110,,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩228,5.x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨设A （85c,5c ）c), 所以165c. 于是|MN|=85|AB|=2c. 圆心到直线PF 2的距离因为d 2+22MN ⎛⎫ ⎪⎝⎭=42, 所以34(2+c)2+c 2=16. 整理得7c 2+12c-52=0,解得c=-267(舍去)或c=2. 所以椭圆方程为216x +212y =1.8.(2011年某某卷,文17)设椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35. (1)求C 的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标. 解:(1)将(0,4)代入C 的方程得216b =1, ∴b=4,又由e=c a =35,得222a b a -=925, 即1-216a =925, ∴a=5,∴C 的方程为225x +216y =1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3). 设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线方程y=45(x-3)代入C 的方程, 得225x +()2325x -=1, 即x 2-3x-8=0,∴x 1+x 2=3.设线段AB 的中点坐标为(x ′,y ′), 则x ′=122x x +=32, y ′=122y y +=25(x 1+x 2-6)=-65, 即中点坐标为（32,-65）. 9.(2012年某某卷,文21)如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F 1、F 2,线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2,且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线交椭圆于P 、Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求△PB 2Q 的面积.解:(1)设椭圆的标准方程为22x a +22y b =1(a>b>0),焦距为2c,则A(0,b),|OB 1|=|OB 2|=2c . 由12AB B S =4得12·c ·b=4, 即bc=8.①又△AB 1B 2是直角三角形,且|OB 1|=|OB 2|,∴b=2c .② 由①②可得b=2,c=4.∴a 2=20.∴椭圆的标准方程为220x +24y =1,离心率e=c a =5. (2)由(1)知B 1(-2,0),B 2(2,0).由题意知,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m 2+5)y 2-4my-16=0.(*)设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则y 1,y 2是方程(*)的两根.∴y 1+y 2=245m m +,y 1·y 2=-2165m +. 又2B P =(x 1-2,y 1),2B Q =(x 2-2,y 2).∴2B P ·2B Q =(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2-4m(y 1+y 2)+16=-()221615m m ++-22165m m ++16 =-2216645m m -+. 由PB 2⊥B 2Q 知2PB ·2B Q =0,即-2216645m m -+=0, 16m 2-64=0,解得m=±2.当m=2时,y 1+y 2=89,y 1y 2=-169,|y 1-y 2=9.2PB Q S =12|B 1B 2|·|y 1-y 2.当m=-2时,由椭圆的对称性可得2PB Q S综上所述,△PB 2Q . 模拟试题考点一 应用椭圆的定义解决椭圆上的点到焦点的距离问题1.(2013西城高三上学期期末)已知椭圆24x +22y =1的两个焦点是F 1、F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的面积是.解析:由椭圆方程24x +22y =1可知,a=2, ∴|PF 1|+|PF 2|=4.又|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=3,|PF 2|=1.又|F 1F 2,∴|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,∴PF 2⊥F 1F 2,∴12PF F S =12|PF 2||F 1F 2|=12×1×.答案2.(2013海淀高三上学期期末)已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2+2y 2=2的左、右焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,则21PF PF 的最小值是.解析:设P(x,y),则x 2+2y 2=2,由椭圆方程22x +y 2=1可知,b=1,c=1, ∴F 1(-1,0),F 2(1,0).∴1PF =(-1-x,-y),2PF =(1-x,-y),∴1PF +2PF =(-2x,-2y).∴|1PF +2PF∵y 2≤1,∴|1PF +2PF |的最小值是2.答案:2考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013某某“十校”高三联考)定义:关于x 的不等式|x-A|<B 的解集叫A 的B 邻域. 已知a+b-2的a+b 邻域为区间(-2,8),其中a 、b 分别为椭圆22x a +22y b=1的长半轴长和短半轴长,若此椭圆的一焦点与抛物线y 2x 的焦点重合,则椭圆的方程为( )(A)28x +23y =1 (B)29x +24y =1 (C)29x +28y =1 (D)216x +29y =1 解析:由题意可知|x-(a+b-2)|<a+b 的解集是(-2,8),∴2a+2b-2=8,即a+b=5.①又抛物线y 2的焦点为∴椭圆的焦点在x 轴上,且即a 2-b 2=5.②联立①②可得a=3,b=2, ∴椭圆标准方程为29x +24y =1. 答案:B 2.(2011某某模拟)椭圆236x +29y =1上有两个动点P 、Q,E(3,0),EP ⊥EQ,则EP ·QP 的最小值为( )(A)6 (C)9 解析:设P(x 0,y 0),则2036x +209y =1, EP =(x 0-3,y 0),又QP =EP -EQ ,∴EP ·QP =EP ·(EP -EQ )=2EP -EP ·EQ=2EP =(x 0-3)2+20y =(x 0-3)2+9-2014x =2034x -6x 0+18, 又x 0∈[-6,6],∴当x 0=4时,EP ·QP 取到最小值6.答案:A考点三 求椭圆的离心率1.(2012某某二模)已知A 、B 分别为椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a 与x 轴交于点D,与直线AC 交于点P,若∠DBP=π3,则此椭圆的离心率为( ) (A)12 (B)22 (C)29(D)63 解析:如图所示,由已知得A(-a,0),B(a,0),C(0,b),D(2a,0).设P(2a,y 0),∵A 、C 、P 共线,∴k AC =k AP ,即b a =03y a, ∴y 0=3b,∴P(2a,3b). 又∵∠DBP=π3,且tan ∠DBP=DP BD , ∴3=32b a a -, ∴b a =33, ∴e=c a =221b a -=113-=63. 答案:D2.(2012某某质检)已知F 是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 与圆（x-3c ）2+y 2=29b 相切于点Q,且PQ =2QF ,则椭圆C 的离心率等于( ) (A)53 (B)23 (C)22 (D)12解析:记椭圆的左焦点为F ′,圆(x-3c )2+y 2=29b 的圆心为E, 连接PF ′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-3c =23c ,PQ =2QF , ∴EF F F '=13=QF PF, ∴PF ′∥QE,∴QF PF '=13,且PF ′⊥PF. 又∵|QE|=3b (圆的半径长), ∴|PF ′|=b.据椭圆的定义知:|PF ′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF ′⊥PF,∴|PF ′|2+|PF|2=|F ′F|2,∴b 2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a 2-c 2)+b 2=2ab,∴3b 2=2ab,∴b=23ac a∴椭圆的离心率为3答案:A考点四直线与椭圆的位置关系的解法1.(2013某某树德中学3月阶段性考试)椭圆E:22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2,过F 1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.(1)求椭圆E 的方程;(2)若过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点,判断是否存在直线l 使得∠AF 2B 为钝角,若存在,求出l 的斜率k 的取值X 围.解:(1)依题意23,22 2.b a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a 2=4,b 2=3, ∴椭圆的方程为24x +23y =1. (2)①当过F 1的直线AB 的斜率不存在时,不妨取A （-1,32）,B （-1,-32） 则2F A ·2F B =74,显然∠AF 2B 不为钝角. ②直线l 的斜率为k,l 方程为y=k(x+1),由()221,143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0.∵直线l 与椭圆交于两点,∴Δ=(8k 2)2-4(3+4k 2)(4k 2-12)=4×36(k 2+1)>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-22834k k +,x 1·x 2=2241234k k -+. 2F A =(x 1-1,y 1),2F B =(x 2-1,y 2).∵∠AF 2B 为钝角,∴2F A ·2F B <0.即(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0,整理得(k 2+1)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1<0.即(k 2+1)·2241234k k -+-(k 2-1)·22834k k ++k 2+1<0, 整理得7k 2<9,解得∴存在满足条件的直线l,其斜率k 的取值X 围为-7<k<7.2.(2013某某某某高三一模)已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E （1,3）.过点P(1,1)分别作斜率为k 1,k 2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N 分别为线段AB,CD 的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P 为线段AB 的中点,求k 1;(3)若k 1+k 2=1,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标.解:(1)依题设c=1,且右焦点F ′(1,0).所以2a=|EF|+|EF ′3b 2=a 2-c 2=2, 故所求的椭圆的标准方程为23x +22y =1. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则213x +212y =1,① 223x +222y =1.②②-①,得()()21213x x x x -++()()21212y y y y -+=0. 所以k 1=2121y y x x --=-()()212123x x y y ++=-46p p x y =-23. (3)依题设,k 1≠k 2.设M(x M ,y M ),又直线AB 的方程为y-1=k 1(x-1),即y=k 1x+(1-k 1),亦即y=k 1x+k 2,代入椭圆方程并化简得(2+321k )x 2+6k 1k 2x+322k -6=0. 于是,x M =1221323k k k -+,y M =221223k k +, 同理,x N =1222323k k k -+,y N =122223k k +. 当k 1k 2≠0时,直线MN 的斜率k=M N M N y y x x --=()()2222112121469k k k k k k k k +++-+ =21211069k k k k --. 直线MN 的方程为y-221223k k +=21211069k k k k --(x-1221323k k k -+), 即y=21211069k k k k --x+(21211069k k k k --·1221323k k k ++221223k k +), 亦即y=21211069k k k k --x-23. 此时直线过定点（0,-23）. 当k 1k 2=0时,直线MN 即为y 轴,此时亦过点（0,-23）. 综上,直线MN 恒过定点,且坐标为（0,-23）. 综合检测1.(2012东北三校)设椭圆24x +y 2=1的左焦点为F,P 为椭圆上一点,,则|PF|等于( ) (A)12 (B)32 (C)52 (D)72解析:设由34+y 2=1, 解得y 2=14. 由椭圆方程24x +y 2=1知a=2,b=1.∴∴=72. 答案:D 2.(2012某某某某一模)直线y=x 与椭圆C:22x a +22y b=1的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点,则椭圆C 的离心率为( )(D)12 解析:设直线y=x 与椭圆C:22x a +22y b=1在第一象限的交点为A,依题意得点A 的坐标为(c,c), 又点A 在椭圆C 上,故有22c a +22c b=1, 因为b 2=a 2-c 2, 所以22c a +222c a c -=1,所以c 4-3a 2c 2+a 4=0,即e 4-3e 2+1=0,所以e=512-(e=512+舍去). 故选A.答案:A 3.(2013某某某某高三上质检)如图所示,已知A,B 分别为椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,直线l ∥AB,l 与x 轴、y 轴分别交于C,D 两点,直线CE,DF 为椭圆的切线,则CE 与DF 的斜率之积k CE ·k DF 等于( )(A)±22a b(B)±222a b a - (C)±22b a (D)±222a b b - 解析:由22x a +22y b=1(a>b>0)可知A(a,0),B(0,b), ∴k AB =b a-. 设l 方程为y=-b a x+m, 则C ,0am b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,D(0,m). DF 方程为y=k DF x+m,由2222,1DF y k x m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(b 2+a 22DF k )x 2+2a 2mk DF x+a 2m 2-a 2b 2=0,∵DF 与椭圆相切,∴Δ=(2a 2mk DF )2-4(b 2+a 22DF k )·(a 2m 2-a 2b 2)=0,得2DF k =222m b a -. 直线CE 的方程为y=k CE (x-am b), 由2222,1CE am y k x b x y a b ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩ 得(b 2+a 22CE k )x 2-322CE a k m b x+4222CE a k m b -a 2b 2=0. ∵CE 与椭圆相切,∴Δ=(-322CE a k m b )2-4(b 2+a 22CE k )·(4222CE a k m b -a 2b 2)=0. 化简得2CE k =42222b a m a b -. ∴2DF k ·2CE k =222m b a -·()4222b a m b - =44b a, ∴k DF ·k CE =±22b a. 答案:C4.(2012威海模拟)椭圆mx 2+y 2=1的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的3倍,则m=.解析:椭圆标准方程为21x m+y 2=1, 由题意知∴m=9.答案:95.(2013某某某某十校联考)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0),且点(-3,2)在椭圆C上,则椭圆C的标准方程为. 解析:左焦点为(-3,0),∴,∴,b2=18-9=9.∴椭圆标准方程为218x+229y=1.答案:218x+229y=16.(2013某某某某一中高三调研)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求OA·OB的取值X围;(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.(1)解:由题意知e=ca=12,∴e2=22ca=222a ba-=14,即a2=43b2.又∴b2=3,a2=4,故椭圆的方程为24x+23y=1.(2)解:由题意知直线l 的斜率存在, 设直线l 的方程为y=k(x-4).由()224,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 得(4k 2+3)x 2-32k 2x+64k 2-12=0.由Δ=(-32k 2)2-4(4k 2+3)(64k 2-12)>0,得k 2<14. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则2122212232,436412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(*) ∴y 1y 2=k 2(x 1-4)(x 2-4)=k 2x 1x 2-4k 2(x 1+x 2)+16k 2, ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)·22641243k k -+-4k 2·223243k k ++16k 2 =25-28743k + ∵0≤k 2<14, ∴-873≤-28743k +<-874, ∴OA ·OB ∈134,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. ∴OA ·OB 的取值X 围是134,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. (3)证明:∵B 、E 两点关于x 轴对称, ∴E(x 2,-y 2).直线AE 的方程为y-y 1=1212y y x x +-(x-x 1), 令y=0得x=x 1-()11212y x x y y -+, 又y 1=k(x 1-4),y 2=k(x 2-4),∴x=()121212248x x x x x x -++-. 将(*)式代入得,x=1,∴直线AE 与x 轴交于定点(1,0).7.(2013某某某某高三上学期期末)已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F 1,F 2,上顶点A(0,b),△AF 1F 2为正三角形且周长为6.(1)求椭圆C 的标准方程及离心率;(2)O 为坐标原点,P 是直线F 1A 上的一个动点,求|PF 2|+|PO|的最小值,并求出此时点P 的坐标.解:(1)由题设得2222,26,.a c a a c a b c ⎧=⎪++=⎨⎪=+⎩解得故C 的方程为24x +23y =1,离心率e=12. (2)直线F 1A 的方程为设点O 关于直线F 1A 对称的点为M(x 0,y 0),则00001,122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎫⎪=+⎪⎪⎭⎩⇒003,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以点M 的坐标为(-32∵|PO|=|PM|,|PF 2|+|PO|=|PF 2|+|PM|≥|MF 2|, |PF 2|+|PO|的最小值为|MF 2. 直线MF 2的方程为y=02312---(x-1), 即y=-5(x-1).word31 / 31由))01,1y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩⇒2,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以此时点P 的坐标为(23-,3).。
2014江苏高考椭圆、双曲线、抛物线专辑
圆锥曲线（三）一、填空题1. 已知方程22152||x y k k +=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是 ．2. 已知1F 、2F 是椭圆22121x y k k +=++的左、右焦点，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为．3. 抛物线22y px =的准线经过双曲线2213x y -=的左焦点，则实数p = ． 4. 过双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A ，则双曲线的离心率为 ．5. 已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，顶点(,0)A a ，则双曲线的离心率为 ．6.已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 ． 7. 一座抛物线拱桥，当水面离桥面2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽 m ．8. 已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线l 与直线AM 垂直，则实数a = ． 9. 已知A 、B 是抛物线24y x =上的两点，F 是该抛物线的焦点，线段AB 的中点是(2,2)M ，则ABF ∆的面积是 ．10. 给出下列四个命题：①渐近线方程为(,0)by x a b a=±>的双曲线的标准方程一定是22221x y a b -=；②抛物线2y x =-的准线方程是21=x 22221(,0)x y m n m n+=>的焦点坐标是)0,(221n m F --和)0,(222n m F -． 其中正确命题的序号是 ．二、解答题11. 已知点P 、Q 是椭圆221164x y +=上的两个动点，且满足14OP OQ k k =-．求22OP OQ +的值．12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线l ：20x y -+=相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵已知点(0,1)P 、(0,2)Q ，设M 、N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上．13. 如图，已知1(,0)F c -、2(,0)F c 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，M 、N 是直线l ：2a x c=上的两个动点，且1F M •2F N =．⑴设圆C 是以MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C ⑵设椭圆的离心率为12，MN 的最小值为圆锥曲线（三）（参考答案）一、填空题1. 已知方程22152||x y k k +=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是(2,2)(5,)-⋃+∞．解：由已知得(5)(2||)0k k --<，即502||0k k ì->ïïíï-<ïî或502||0k k ì-<ïïíï->ïî，解得22k -<<或5k >． 故k 的取值范围是(2,2)(5,)-⋃+∞．2. 已知1F 、2F 是椭圆22121x y k k +=++的左、右焦点，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为12．解：由已知得a =b =1c ==，从而1(1,0)F -、2(1,0)F ．根据椭圆定义得12122AF AF BF BF a +=+==∴1212()()AF AF BF BF +++=1122()AF BF AF BF +++=也就是22AB AF BF ++=8=，解得2k =，从而2a =． 故椭圆的离心率12c e a ==． 3. 抛物线22y px =的准线经过双曲线2213x y -=的左焦点，则实数p =4．解：双曲线2213x y -=中，a =1b =，2c =，∴双曲线2213x y -=的左焦点为()2,0-．从而抛物线22y px =的准线方程为2x =-，焦点为(2,0)，∴22p=，故p =4． 4. 过双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A ，则双曲线的离心率为2．解：由题意知线段MN 为双曲线的通径，∴22b MN a=．∵以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A ，∴12FA MN =，从而2b a c a+=，即22a ac b +=．又∵222b c a =-，∴222a ac c a +=-，∴2220a ac c +-=，即220e e +-=，解之得2e =或1e =-（舍去）． 故双曲线的离心率为2．5. 已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，顶点(,0)A a，解：双曲线的渐近线方程为0bx ay ?，=，解得c e a==c e a == ∵0a b >>，∴01ba<<，e =6.已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为∵线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q，∴OQ ⊥2PF 且OQ b =． 又∵点Q 为线段2PF 的中点，点O 为线段1F 2F 的中点， ∴OQ ∥1PF 且122PF OQ b ==，从而1PF ⊥2PF ． 在12Rt PF F ∆中，1F 22F c =，12PF b =，222PF a b =-． 由勾股定理得222(2)(22)(2)b a b c +-=，即222()b a b c +-=．又222c a b =-，∴2222()b a b a b +-=-，解得23b a =，∴e =． 7. 一座抛物线拱桥，当水面离桥面2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽m ． 解：以桥面中心为原点O ，中轴线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，当水面离桥面2m 时，水面宽水面离桥面2m 时，4AB m =；当水面下降1m 时，即水面离桥面3m 时，水面宽为''A B m ．设抛物线拱桥所在抛物线的方程为22(0)x py p =->则由题意得(2,2)B -在抛物线上，∴42(2)p =-⨯-，解得1p =，从而抛物线方程为22x y =-．设'0(,3)B x -，则202(3)6x =-⨯-=，解得0x ∴''A B =答：当水面下降1m 时，则水面宽．8. 已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线l 与直线AM 垂直，则实数a =14． 解：由152p+=得8p =，∴抛物线方程为216y x =，从而(1,4)M ±． 双曲线221y x a-=的左顶点(1,0)A -，渐近线l 方程为y =．2AM k =或2AM k =-；l k =l k =AM ⊥l ，∴AM k 1l k =-．由题意知0a >，∴经演算14a =． 9. 已知A 、B 是抛物线24y x =上的两点，F 是该抛物线的焦点，线段AB 的中点是(2,2)M ，则ABF ∆的面积是2．解：如图，抛物线24y x =上的焦点为(1,0)F ，1OF =．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2114y x =①，2224y x =②． 由①-②得121212()()4()y y y y x x +-=-， ∴1212124y y x x y y -=-+．又1212AB y y k x x -=-，124y y +=， ∴1AB k =，∴直线AB 的方程为21(2)y x -=⨯-即0x y -=，这样(0,0)A ，(4,4)B ． ∴11422ABF OBF S S ∆∆==⨯⨯=． 10. 给出下列四个命题：①渐近线方程为(,0)by x a b a=±>的双曲线的标准方程一定是22221x y a b -=；②抛物线2y x =-的准线方程是21=x22221(,0)x y m n m n+=>的焦点坐标是)0,(221n m F --和)0,(222n m F -． 其中正确命题的序号是③．解：①渐近线方程为(,0)by x a b a =±>的双曲线的标准方程也可能是22221y x b a -=，不一定是12222=-b y a x ，故①不正确．②22122y x x y =-⇔=-，抛物线22x y =-的准线方程是12y =，而不是21=x ，故②不正确．③正确．④椭圆方程22221(0,0)x y m n m n+=>>中并没有指明0m n >>，若0n m >>，则其焦点坐标是1(0,F、2F ．故④不正确．二、解答题11. 已知点P 、Q 是椭圆221164x y +=上的两个动点，且满足14OP OQ k k =-．求22OP OQ +的值．解：⑴设OP k k =，则14OQ k k=-． ∴直线OP 的方程为y kx =，直线OQ 的方程为14y x k=-． 由221164x y y kx =+=⎧⎪⎨⎪⎩消去y 得2221164x k x +=，即221641x k =+，从而2221641k y k =+；M∴22222216161616414141k k k k k OP ++=+=++； 由22141164x y y x k ⎧=-⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩消去y 得2221161164x x k +=，即2226441k x k =+，从而22441y k =+； ∴222222644464414141k k k k k OP ++=+=++． ∴222222221616464208020414141OP OQ k k k k k k +++++==++=+． 另法 设(4cos ,2sin )P αα，(4cos ,2sin )Q ββ， 则由14OP OQ k k =-得2sin 2sin 14cos 4cos 4αβαβ⨯=-， 整理得cos()0αβ-=，∴()2k k Z παβπ-=+∈，即()2k k Z παβπ=++∈．∴22cos sin αβ=．22222216cos 4sin 16cos 4sin OP OQ ααββ+=+++222212(cos cos )812(sin cos )820αβββ=++=++=．12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线l ：20x y -+=相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵已知点(0,1)P 、(0,2)Q ，设M 、N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上． ⑴解：由已知得原点O 到直线l的距离为d =即b d ==．又∵e =，∴a =．故椭圆C 的方程为22182x y +=． ⑵证明：如图，设00(,)M x y 、000(,)(0)N x y x -≠， 则直线PM 的方程为0011y y x x -=+①；直线QN 的方程为0022y y x x -=+-②． 由①②得0023x x y =-，003423y y y -=-，即000034(,)2323x y T y y ---．由2200182x y +=得220084x y =-．∵22222220000000022200000344(34)844(34)32967211()()8232238(23)8(23)8(23)x y x y y y y y y y y y y -+--+--++===-----20208(23)18(23)y y -==-． ∴点T 的坐标满足椭圆C 的方程．故点T 在椭圆C 上．13. 如图，已知1(,0)F c -、2(,0)F c 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，M 、N 是直线l ：2a x c=上的两个动点，且1F M •20F N =．⑴设圆C 是以MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C 的位置关系；⑵设椭圆的离心率为12， MN的最小值为解：⑴设2(,)a M m c ，2(,)a N n c ，则2(,)a OM m c=2(,)a ON n c=；21(,)a F M c m c =+；22(,a F N c n c =-∵1F M •20F N =，∴22()()0a a c c mn c c +-+=，即422a mn c c+=．∴OM •ON =4220a mn c c+=>，∴MON ∠为锐角，故原点O 在圆C 外．⑵∵椭圆的离心率为12，∴2a c =． ∴(4,)M c m ，(4,)N c n ，且4222150a mn c c c=-=-<．不妨设0n m <<，则()MN m n m n =-=+-?（当且仅当m n =-时取等号）． ∴min MN ==1c =．从而2a =，b =故所求椭圆E 的方程为22143x y +=．。
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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．(仿2011·福建，7)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )．A.31414B.324C.32D.43解析 ∵c ＝3，b ＝5， ∴a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4，∴a ＝2. 因此离心率e ＝c a ＝32. 答案 C2．(仿2012·安徽，9)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )． A ．18 B ．24 C ．36D ．48解析 设抛物线方程为y 2＝2px ，当x ＝p2时，y 2＝p 2，∴|y |＝p ， ∴p ＝|AB |2＝122＝6，又点P 到AB 的距离始终为6， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36. 答案 C3．(仿2013·四川，6)设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ( )．A ．2 B. 3 C.52D. 5解析 依题意，不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，b a ×p 2，则由点A 在抛物线y 2＝2px 上得⎝ ⎛⎭⎪⎫bp 2a 2＝2p ×p2，由此得b 2＝4a 2.该双曲线的离心率等于ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2＝ 5.答案 D4．(仿2013·安徽，8)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则OP →·FP →的最大值 ( )．A ．2B ．3C ．6D ．8解析 由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20. ∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 23＝1.∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2.∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6. 答案 C5．(仿2013·辽宁，15)已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M ，N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是( )．A ．6x －5y －28＝0B ．6x ＋5y －28＝0C ．5x ＋6y －28＝0D ．5x －6y －28＝0解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2，)又B (0,4)，F (2,0)，由重心坐标得0＋x 1＋x 23＝2，4＋y 1＋y 23＝0⇒ ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝6 ①y 1＋y 2＝－4 ②，所以弦MN 的中点为(3，－2)．因为点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，所以⎩⎨⎧4x 21＋5y 21＝804x 22＋5y 22＝80，作差得 4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋5(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，将①和②代入得k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝65，所以，直线l 为：y ＋2＝65(x －3)即6x －5y －28＝0 答案 A6．(仿2011·四川，10)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程是________．解析 ∵抛物线y 2＝16x 的焦点为(4,0)， ∴双曲线的半焦距c ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝16，b a＝3，解之得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2 3.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 答案 x 24－y 212＝17．(仿2012·重庆，14)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )．A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A 、B 两点在抛物线上，∴⎩⎨⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， 又线段AB 的中点的纵坐标为2，∴y 1＋y 2＝4， 又直线的斜率为1，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2p ＝4，p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1. 答案 B8．(仿2013·江西，9)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________． 解析 设点M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)， 则B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1.k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，即k 1·k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1.所以x 20－x 21a 2－y 20－y 21b 2＝0， 即y 20－y 21x 20－x 21＝b2a 2，所以k 1·k 2＝b 2a 2. 又离心率为e ＝2，所以k 1·k 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3. 答案 39．(仿2012·江苏，19)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值． (1)解 设椭圆的半焦距为c ， 圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3， ∴b ＝5－3＝ 2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1.消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得：(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.10．(仿2013·山东，22)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|＜253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)＞0，得k 2＜12. x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt (1＋2k 2).∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|＜253，∴1＋k 2|x 1－x 2|＜253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜209，∴(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2＜209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＞0， ∴k 2＞14.∴14＜k 2＜12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2，又32＜1＋2k 2＜2，∴83＜t 2＝8－81＋2k 2＜4， ∴－2＜t ＜－263或263＜t ＜2，∴实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2.。