1.5函数y=Asin(wx+q)的图像与性质

函数, y A sin(x )
A称为振幅
1 f T
中
2 T 称为周期 | |
称为频率
x 称为相位

称为初相
A 影响函数的最值；
影响函数的周期；
影响函数的位置.
1 例1：怎样由y sin x的图象得到y 2 sin( x - ) 3 6 的图象?
y=
1 sin 2 x
O -1

4
的图象间的变化关系。
y
2
1 y sin x 与 y sinx 函数 y sin2 x 、 2
y sin 2 x
1
1 y sin x 2

2
o

4
3 2
2
-1
二、函数y=sinx(>0)图象
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看
2
y sin x
y sin( x

3

3
)
y sin( 2 x

3
)
-
-

6
0
12 3
7 12
5 6


3 )
2
x
纵坐标伸 长3 倍
y 3 sin( 2 x

3
y sin( 2 x
)
-3
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
) 函数 y A sin(x 的 x 图象可由 y sin得到
函数y sin x
(1)向右平移

6
y sin( x - )的图象 6 1 y sin( x - )的图象 3 6 1 y 2 sin( x - )的图象 3 6

(2)横坐标伸长到原来的 3倍
纵坐标不变
(3)横坐标不变
纵坐标伸长到原来的 2倍
y
3
2
1
y=sin(x- )① 6
y sin(x )
-A
y A sin(x )
1 y sin(x )
三角函数的综合变换：
三角函数图像变换的两种途径： y sin x y sin( x ) y sin( wx ) y A sin(wx ) y sin x y sin wx y sin(wx ) y A sin(wx ) 一般而言，前者更容易掌握、采用。

y=sinx
1 y 2 sin( x - ) ③ 3 6
1 y sin( x - ) ② 3 6
2
7 2
o

-１
6
2
13 2
x
-2
-3
1 (画法二)利用"五点法"画函数 y 2 sin( x - )在 3 6 2 一个周期 (T 1 6 )内的图象. 3 y (1)列表 :
X x y
0

2
2

7 2
3 2
2
13 2
2
2
5
0
2
0
-2
0
(2)描点 :
O -2

2
2
7 2
5
13 2
x
7 13 ( ,0), (2 ,2), ( ,0), (5 ,-2), ( ,0) 2 2 2
(3)连线 :
例2、某简谐运动图象如图 .试根据图象回 答下列问题:
1.已知函数 y 3 sin( x

5
)的图象为 C.
(1)为了得到函数 y 3 sin( x - )的图象, 只要 5 把C上所有的点 C ( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动


5
个单位长度. 个单位长度.
5 2 (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2 ( D )向左平行移动 个单位长度. 5
-2
三、函数y=Asinx(A>0)图象
函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作
是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1
时 ）或缩短（当0＜A＜1时 ）到原来的A倍（横坐 标不变）而得到的。y=Asinx， x∈R的值域是［-A， A］，最大值是A，最小值是-A。
1.已知函数 y 3 sin( x
缩短为原来的1/2倍 y=sinx 2 3
y=sin2x
x
-1
-2
对于函数y sin 1 x 2
1. 列表：
x
1 x 2 sin 1 x 2
0 0 0


2
2π

3π
3 2
4
2π 0
1
0
-1
2. 描点：
y y=sinx 1
y=sinx
纵坐标不变， 横坐标 变为原来的 2 倍 2 3 y=sin 1 x 2
o /2 -1
.
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都是常数）. 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 4 2 6
4
2
o
-2
-4 -6
2
4
6
8
x
o
-2
-4 -6
1.5函数y=Asin( x+ )的图象
复习回顾
y sin x, x [0,2 ] 的图象
2 2 注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.
3 关键点： (0,0), ( ,1), (,0), ( ,-1), (2,0) .
y
1
. . . 3/2 2 .
x
2
O
-1
2 3 6 4 2 3 4
5 3
x
y sin( x

3
)
y sin( x - ) 4

对于φ取不同的值情况如何呢？
二. 合作探究
(一)探索对y sin （x ), x R的图象的影响.
函数y sin （x )的图象可看作是把函数 y sin x的图象上的所有点向左 当 >0时 或向右 当 0时 平移 个单位得到.
0.01
0.02
0.03
0.04
x
交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?
交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有 何关系?
你认为怎样讨论参数 , , A对y A sin(x )的 图象的影响?
二. 合作探究
(一)探索对y sin （x ), x R的图象的影响.

(四)函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系
函数y=sin(ωx+φ) 的图象可以看作是把 y=sinωx 的 图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平 移|

|个单位而得到的。
2.把y sin( 2 x )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数 为 D A. y sin( 2 x ) 2 B. y sin( 2 x ) 6 3 C. y sin( 2 x ) 2 D. y sin 2 x



x x 3.要得到函数 y sin( - )的图象, 可由y sin 2 6 2 的图象 C A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移

6

6

3

3
例 、如何由
y sinx 变换得 y 3 sin( 2 x )的图象？ 3
画出函数的简图
1.作函数y sin （x )的图象，观察它 3 与函数y sin x图象有怎样的关系？

函数y sin （x )在一个周期内的简图. 3
x


6
-

x

3
3 0
0
2 3

0
sin(x ) 3 描点作图:

2 1 y
7 6 3 2 －1
5 3 2
0
1

-

3
y sin x 0 - 0
y
A
y A sin(x )
A 1
y sin(x )
0<ω<1横坐标伸长 倍 1 ω>1横坐标压缩 倍

1
y sin x
2
- 0
0
x
y sin(x )
0<A<1纵坐标压缩 A倍 A>1 纵坐标伸长A 倍
作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当>1时)或伸长(当0<<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的。

1.已知函数 y 3 sin( x

5
)的图象为 C.
(2)为了得到函数 y 3 sin(2 x )的图象, 只要 5 把C上所有的点 B ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2
(1)这个简谐运动的振幅, 周期与频率各是 多少;
（２）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示 完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函 数表达式.
y/cm
2 A 0.4 0.8 B D E F 1.2
o
x/s
C
y/cm 2A 0 0.4 0.8 B D C
E
1.2 F x/s
解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动 的振幅为2cm;周期0.8s;频率为5/4. (2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表 示完成了一次往复运动;如果从A点算 起,则到曲线上的E点,表示完成了一 次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为 y=Asin(x+),x∈[0,+ ∞] 那么,A=2;由2/=0.8得5/2；由图象 知初相0. 于是所求函数表达式是 y=2sin5/2x,x∈[0,+∞]
y=Sinx
纵坐标缩短到原来的一半 横坐标不变
y 1 sin x 2
y=2Sinx
纵坐标扩大到原来的2倍
横坐标不变
1 函数 y 2 sinx 、y sin x 与 y sinx 的图象间的变化关系。 2
y
3
2
1
y=2sinx
y=sinx
2
o
-１
1 y= 2
3 2
sinx
2
x

5
)的图象为 C.
(3)为了得到函数 y 4 sin( x )的图象, 只要 5 把C上所有的点 C 4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4
2. Y=sinx 与 y=sinx图象的关系
1.列表：
1x y sin 例2.作函数 y sin 2 x 及 2 的图象。
x
2x
0 0 0

4 2
2

3 4
3 2

2 0
sin 2 x
2. 描点： 2 y
y=sin2x
1 O
1
0
-1
y=sinx
2

纵坐标不变 ，横坐标
求y=Asin(x+)的解析式
例3（图象法）
函数y=Asin(x+)的图像如图，求其解析式。
y
2/8
0
3/8
7/8
x
分析：根据图 像写函数解析式， 关键要求出A,,, 要注意图像的走向， 从而准确求出值

1 例3、作函数 y 2 sin x 及 y sin x 的简图. 2
解： 列表
x
sinx 2sinx
1 2
3.y=Asinx与y=sinx图象的关系
描点作图

2
0
0 0 0
π
0 0 0
3 2
2π
y
2 1
2
1 2
1 2
-1 -2
1 2
0 0 0
3 2
0
2π
π
x
sinx
-1
-2
y sin x
y sin x

向左或向右平 移 | | 个单位 纵坐标不变，横坐标 变为原来的
1

倍


y sin( x )
y sin x
向左或向右平 移|

A
纵坐标不变，横坐标 变为原来的
1

倍
|个单位
y sin( x )
横坐标不变，纵坐标 变为原来的A倍
A
y A sin( x )
x
x-


4
3 4
5 4

4
0
0

2

0
7 4 3 2
9 4
2
0
sin( x - ) 4

1
-1
描点作图:
2
Hale Waihona Puke Baidu
y 1
4 2
3 4
7 4

9 4
2
O
-1
5 4
x
y sin( x - ) 4

y
2
y sin x
7 6
1
3
3 2
5 4
7 4
9 4
y 3 sin( 2 x ), x R 3
向左平 移
3
2x 3
0
-
x
3 sin(2 x ) 3
3

6
2
12

3
3 2 7
12
2
5 6
y sin x
y sin( x
0
3
0

3 )
-3
0
y
y 3 sin( 2 x

3
)
横坐标压 1 缩 倍
o
π
6
-1
2 3

7 6
5 3
2
x
二. 合作探究
(一)探索对y sin （x ), x R的图象的影响.
2.作函数y sin （x- )的图象，观察它 4 与函数y sin x图象有怎样的关系？

2.作出函数y sin （x - )在一个周期的闭区间上的简图. 4