北京市西城区初三2010——2011学年度第一学期期末试卷.doc
2010-2011学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷
2010-2011学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）已知两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，则这两个圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离2．（4分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1 3．（4分）抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x=1B．x=﹣1C．x=﹣3D．x=34．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，5）D．（5，4）5．（4分）某汽车销售公司2007年盈利1500万元，2009年盈利2160万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．1500（1+x）2=2160B．1500x+1500x2=2160C．1500x2=2160D．1500（1+x）+1500（1+x）2=21606．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB边的中点，将Rt△ABC 绕点M旋转，使点A与点C重合得到△CED，连接MD．若∠B=25°，则∠BMD等于（）A．50°B．80°C．90°D．100°7．（4分）AB是⊙O的直径，以AB为一边作等边△ABC，交⊙O于点E、F，连接AF，若AB=2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．8．（4分）已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）9．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，若DE=1，BC=3，那么△ADE与△ABC面积的比为．10．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AD上一点，若∠BOC=70°，则∠BED的度数为°．11．（4分）如图，平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，点A的坐标为，直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则m的值为．三、解答题（共13小题，满分102分）13．（5分）计算：2sin45°+sin60°﹣cos30°+tan260°．14．（5分）已知关于x的方程．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．15．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x为何值时，y＞0．16．（5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且，连接DE．若AC=3，AB=5，猜想DE与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．17．（5分）已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半径．18．（5分）为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a度仍按每度电0.40元交费，超出a度部分则按每度电元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a度用电量为多少？月份用电量所交电费总数（元）10月803211月1004219．（6分）已知：抛物线C1：y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式；（3）把抛物线C1绕点A（﹣1，O）旋转180°，写出所得抛物线C3顶点D的坐标．20．（4分）已知：如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三点A（A为楼底）、D、E，她在D处测得广告牌顶端C的仰角为60°，在E两处测得商场大楼楼顶B的仰角为45°，DE=5米．已知，广告牌的高度BC=2.35米，求这座商场大楼的高度AB（取1.73，取1.41，小红的身高不计，结果保留整数）．21．（4分）阅读下列材料：李老师提出一个问题：“已知：如图1，AB=m（m＞0），∠BAC=α（α为锐角），在射线AC上取一点D，使构成的△ABD唯一确定，试确定线段BD的取值范围．”小明同学说出了自己的解题思路：以点B为圆心，以m为半径画圆（如图2所示），D为⊙B与射线AC的交点（不与点A重合），连结BD，所以，当BD=m 时，构成的△ABD是唯一确定的．李老师说：“小明同学画出的三角形是正确的，但是他的解答不够全面．”对于李老师所提出的问题，请给出你认为正确的解答（写出BD的取值范围，并在备用图中画出对应的图形，不写作法，保留作图痕迹）．22．（6分）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．23．（7分）已知关于x的一元二次方程ax2+2bx+c=0（a＞0）①．（1）若方程①有一个正实根c，且2ac+b＜0．求b的取值范围；（2）当a=1时，方程①与关于x的方程4x2+4bx+c=0②有一个相同的非零实根，求的值．24．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E，连接AC、BC、AE．（1）求证：①∠DCB=∠CAB；②CD•CE=CB•CA；（2）作CG⊥AB于点G．若（k＞1），求的值（用含k的式子表示）．25．（7分）已知：抛物线y=x2﹣（m+1）x+m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）若m＞1，△ABC的面积为6，求抛物线的解析式；（2）点D在x轴下方，是（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE∥x轴与抛物线交于另一点E，作DF⊥x轴于F，作EG⊥x轴于点G，求矩形DEGF周长的最大值；（3）若m＜0，以AB为一边在x轴上方做菱形ABMN（∠NAB为锐角），P是AB 边的中点，Q是对角线AM上一点，若，QB+PQ=6，当菱形ABMN 的面积最大时，求点A的坐标．2010-2011学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）已知两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，则这两个圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【分析】根据圆心距与半径之间的数量关系可知两圆的位置关系是内切．【解答】解：∵两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，5﹣3=2，∴两圆的位置关系是内切．故选：A．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P，则外离：P＞R+r；外切：P=R+r；相交：R﹣r＜P＜R+r；内切：P=R﹣r；内含：P＜R﹣r．2．（4分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．【解答】解：把x=0代入方程得：|a|﹣1=0，∴a=±1，∵a﹣1≠0，∴a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．3．（4分）抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x=1B．x=﹣1C．x=﹣3D．x=3【分析】已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴．【解答】解：∵﹣1，3是方程a（x+1）（x﹣3）=0的两根，∴抛物线y=a（x+1）（x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是x==1．故选：A．【点评】此题考查对称轴的性质：抛物线上的两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标的平均数．4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，5）D．（5，4）【分析】根据两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点，即可得出F点的坐标．【解答】解：∵△DEF∽△ABC，且F点在CP的连线上，∴可得F点位置如图所示：故P点坐标为（4，4）．故选：B．【点评】本题考查位似的定义，难度不大，注意掌握两位似图形的对应点的连线都经过同一点，这一点即是位似中心．5．（4分）某汽车销售公司2007年盈利1500万元，2009年盈利2160万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．1500（1+x）2=2160B．1500x+1500x2=2160C．1500x2=2160D．1500（1+x）+1500（1+x）2=2160【分析】设每年盈利的年增长率为x，第一年的增长率为（1+x），第二年增长率为（1+x）2，据此列出等量关系．【解答】解：设每年盈利的年增长率为x，第一年的增长率为（1+x），第二年增长率为（1+x）2，又知2007年盈利1500万元，2009年盈利2160万元，故可得1500（1+x）2=2160，故选：A．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识点，读懂题意，找到等量关系是解答本题的关键．6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB边的中点，将Rt△ABC 绕点M旋转，使点A与点C重合得到△CED，连接MD．若∠B=25°，则∠BMD 等于（）A．50°B．80°C．90°D．100°【分析】由∠B=25°，则∠A=65°，根据旋转的性质得MA=MC，则∠AMC=50°，从而得出∠BMD的度数．【解答】解：∵∠B=25°，∴∠A=65°，∵∠ACB=90°，M 为AB 边的中点，∴MA=MC ，∴∠ACM=65°，∴∠AMC=50°，∴∠AMD=100°，∴∠BMD=80°，故选：B ．【点评】本题考查了旋转的性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．7．（4分）AB 是⊙O 的直径，以AB 为一边作等边△ABC ，交⊙O 于点E 、F ，连接AF ，若AB=2，则图中阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据等腰三角形的性质和等弧对等弦得弧AE=弧BF ，从而得出阴影部分的面积即为弓形AEF 的面积．【解答】解：连接OF ，∵等边△ABC ，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴，∴=，AE=BF ，∠AOF=120°，∵AB 是直径，AB=2，∴AF=，点O 到AF 的距离，∴S 阴影=S 扇形AOF ﹣S △AOF =﹣×=﹣，故选：D ．【点评】本题考查了扇形面积的计算和等边三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．8．（4分）已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【分析】由a＞b＞c，且a+b+c=0，确定a＞0，c＜0，与x轴交点一个是（1，0），采取排除法即可选出所选答案．【解答】解：A、由图知a＞0，﹣=1，c＞0，即b＜0，∵已知a＞b＞c，故本选项错误；B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c=0，必须a＞0，故本选项错误；C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c=0，故本选项正确；D、∵a+b+c=0，即当x=1时a+b+c=0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，点的坐标特点等知识点，灵活运用性质进行说理是解此题的关键．题型较好．二、填空题（共4小题，每小题4分，满16分）9．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，若DE=1，BC=3，那么△ADE与△ABC面积的比为1：9．【分析】由DE∥BC判定两三角形相似，而面积的比等于对应线段DE与BC的比的平方．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴相似比等于DE与BC的比，即：=，△ADE与△ABC面积的比为1：9．故答案为：1：9．【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形面积的比等于相似比的平方的相关知识，次知识点也是中考的高频考点之一．10．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AD上一点，若∠BOC=70°，则∠BED的度数为35°．【分析】由于直径AB⊥CD，由垂径定理知B是的中点，进而可根据等弧所对的圆心角和圆周角的数量关系求得∠BED的度数．【解答】解：∵直径AB⊥CD，∴B是的中点；∴∠BED=∠BOC=35°；故答案为35°．【点评】此题主要考查的是垂径定理和圆周角定理的综合应用，理解等弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决问题的关键．11．（4分）如图，平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，点A 的坐标为，直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为（2，0）、（﹣1，）．【分析】由直线AB为⊙O的切线，根据从圆外一点可以作圆的两条切线，所以我们可以画出大致图形，结合图形，作出辅助线，利用三角形相似可以得出．【解答】解：过点A作圆的两条切线，AB，AC，切点分别为点B，C，连接OC，作CD⊥AB于点D，∴AB⊥OB，CD⊥AB，OC⊥AC∵圆半径为2，点A的坐标为（2，2），∴B点坐标为（2，0）又∵∠ACD+∠DCO=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠DCO=∠A，∠ADC=∠CEO∴△OEC∽△CDA∴假设CE=x，OE=y，∵AD=AB﹣BD=2﹣y，CD=2+x，CO=2，AC=2解以上方程可以求出：x=1，y=所以C点的坐标为（﹣1，），故答案为：（2，0），（﹣1，）【点评】此题主要考查了切线长定理，相似三角形的判定，以及利用相似求对应线段的长度，题目综合性较强，质量挺高．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则m的值为﹣1．【分析】先根据二次函数的解析式求出点A的坐标，再用m表示出点C的坐标，代入二次函数的解析式即可求出m的值．【解答】解：∵抛物线的解析式为（a≠0），∴点A的坐标为（0，），∴OA=，连接BC与AO交于点M，∵四边形ABOC是正方形，∴，∴点C的坐标为（，），把点C的坐标为（，）代入二次函数得，，m=m2+2m，m2+m=0，m1=0，m2=﹣1，∵m1=0时，点A与点O重合，∴m1=0舍去，∴m的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了学生如何根据函数的解析式求点的坐标，需要综合运用二次函数和正方形的性质解出此题．三、解答题（共13小题，满分102分）13．（5分）计算：2sin45°+sin60°﹣cos30°+tan260°．【分析】先把各角的三角函数值代入，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：2sin45°+sin60°﹣cos30°+tan260°．=，=．故答案为：+3．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．14．（5分）已知关于x的方程．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．【分析】（1）先根据方程有两个不相等的实数根可知△＞0，由△＞0可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可；（2）由（1）中m的取值范围得出符合条件的m的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x的值．【解答】解：（1）∵该方程有两个不相等的实数根，∴△=32﹣4×1×=9﹣3m＞0．解得m＜3．∴m的取值范围是m＜3；（2）∵m＜3，∴符合条件的最大整数是m=2．此时方程为x2+3x+=0，解得x==．∴方程的根为x1=，x2=．故答案为：m＜3，x1=，x2=．【点评】本题考查的是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系及求根公式，是一个综合性的题目，难度适中．15．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x为何值时，y＞0．【分析】（1）根据配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）画图象的步骤：列表、描点、连线；（3）当y＞0时，即图象在x轴上方的部分，再写出x的取值范围．【解答】解：（1）y=x2+4x+3，y=x2+4x+4﹣4+3，y=x2+4x+4﹣1，y=（x+2）2﹣1；（2）列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…30﹣103…图象见图．（3）由图象可知，当x＜﹣3或x＞﹣1时，y＞0．【点评】本题考查了二次函数的解析式的形式及抛物线的画法，注意：二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．16．（5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且，连接DE．若AC=3，AB=5，猜想DE与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．【分析】根据△ADE与△ACB两边对应成比例及一夹角相等，证明两三角形相似，然后利用相似三角形的性质即可得到∠ADE=∠C=90°，从而得到DE与AB的位置关系是互相垂直．【解答】猜想：DE与AB的位置关系是互相垂直．证明：∵AC=3，AB=5，，∴．∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C=90°．∴DE⊥AB．【点评】此题考查了垂直定义及相似三角形的性质，根据图形的特点找到公共角，并根据各边的比得到相似比是解题的关键．17．（5分）已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，如图．根据题意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．则∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．从而得出CD是⊙O的切线．（2）作OE⊥AC于点E．由OE⊥AC，AC=，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．【解答】（1）证明：连接OB，如图．∵OA=OB，∠OAB=45°，∴∠1=∠OAB=45°．∵AO∥DB，∴∠2=∠OAB=45°．∴∠1+∠2=90°．∴BD⊥OB于B．又∵点B在⊙O上．∴BD是⊙O的切线．（2）解：作OE⊥AC于点E．∵OE⊥AC，AC=，∴AE==．∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，∴∠3=∠BAC﹣∠OAB=30°．∴在Rt△OAE中，解法二：如图延长AO与⊙O交于点F，连接FC．∴∠ACF=90°．在Rt△ACF中，．∴AO==4．【点评】本以考查了切线的判定和性质，以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．18．（5分）为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a度仍按每度电0.40元交费，超出a度部分则按每度电元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a度用电量为多少？月份用电量所交电费总数（元）10月803211月10042【分析】不超过a度，无论用电多少，都是0.4a元；超出部分的用电量为（100﹣a）度，超出部分缴电费是（100﹣a）•（0.4+）元，合计起来，就是这个月这户居民要缴用电费．【解答】解：因为80×0.4=32，100×0.4=40＜42，所以80≤a＜100．由题意得．去分母，得60a+（100﹣a）a=42×150．整理，得a2﹣160a+6300=0．解得a1=90，a2=70．因为a≥80，所以a2=70不合题意，舍去．所以a=90．答：在该地区规定的电费计费方式中，a度用电量为90度．【点评】考查了一元二次方程的应用，本题要采用分段收费的方式，根据题意找到数量关系，列出代数式．19．（6分）已知：抛物线C1：y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式；（3）把抛物线C1绕点A（﹣1，O）旋转180°，写出所得抛物线C3顶点D的坐标．【分析】（1）根据y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）列出三元一次方程，解得a、b、c；（2）求出原函数的图象对称轴，然后运用平移知识解答；（3）根据旋转的知识点，求出D点坐标．【解答】解：（1）∵y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．∴解得∴所求抛物线C1的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线C1向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线C2经过坐标原点所求抛物线C2的解析式为：y=x（x+4）=x2+4x；（3）D点的坐标为（﹣3，4）．【点评】本题主要考查待定系数求二次函数的解析式的知识点，根据题干条件解出函数解析式是解答本题的关键，此题难度不是很大．20．（4分）已知：如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三点A（A为楼底）、D、E，她在D处测得广告牌顶端C的仰角为60°，在E两处测得商场大楼楼顶B的仰角为45°，DE=5米．已知，广告牌的高度BC=2.35米，求这座商场大楼的高度AB（取1.73，取1.41，小红的身高不计，结果保留整数）．【分析】由于在E出的仰角是45°，所以可得AE=AB，可设其值为x，再结合D 出的仰角60°以及题中的条件，进而求解直角三角形即可．【解答】解：设AB为x米．依题意，在Rt△ABE中，∠BEA=45°，∴AE=AB=x．∴AD=AE﹣DE=x﹣5，AC=BC+AB=2.35+x．在Rt△ADC中，∠CDA=60°，∴AC=AD•tan∠CDA=AD．∴x+2.35=（x﹣5）．∴（﹣1）x=2.35+5．解得．∴x≈15．答：商场大楼的高度AB约为15米．【点评】本题主要考查了生活中仰角俯角的问题，其中解题关键还是解直角三角形的问题，应熟练掌握．21．（4分）阅读下列材料：李老师提出一个问题：“已知：如图1，AB=m（m＞0），∠BAC=α（α为锐角），在射线AC上取一点D，使构成的△ABD唯一确定，试确定线段BD的取值范围．”小明同学说出了自己的解题思路：以点B为圆心，以m为半径画圆（如图2所示），D为⊙B与射线AC的交点（不与点A重合），连结BD，所以，当BD=m 时，构成的△ABD是唯一确定的．李老师说：“小明同学画出的三角形是正确的，但是他的解答不够全面．”对于李老师所提出的问题，请给出你认为正确的解答（写出BD的取值范围，并在备用图中画出对应的图形，不写作法，保留作图痕迹）．【分析】使△ABD唯一确定，就是使满足条件的三角形全等，根据三角形全等的判定定理，若两个三角形有一个角和夹这个角的一边对应相等，只要再加上另外的一个边对应相等，即可利用SAS证明两个三角形全等，或令HL定理，作∠α所对的直角边即可．【解答】解：BD=msinα或BD≥m．见图1、图2；【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，理解使△ABD唯一确定，就是使满足条件的三角形全等是关键．22．（6分）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．【分析】（1）由旋转的性质，可得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质，易得DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，AD=DF，可得△ADE≌△DFC；（2）由△ADE≌△DFC，易得ED∥BC，EH∥DC，即可得四边形EHCD是平行四边形，易得△AEH是等边三角形，即可求得∠AHE的度数；（3）由平行四边形的性质，易得△BGH∽△BDC，又由相似三角形的对应边成比例，易得BC的长．【解答】（1）证明：如图，∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE，∴∠EDB=60°，DE=DB．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°．∴∠EDB=∠B．∴EF∥BC．∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形．∴AD=DF．∴△ADE≌△DFC．（2）解：由△ADE≌△DFC，得AE=DC，∠1=∠2．∵ED∥BC，EH∥DC，∴四边形EHCD是平行四边形．∴EH=DC，∠3=∠4．∴AE=EH．∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．∴△AEH是等边三角形．∴∠AHE=60°．（3）解：设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，由（2）四边形EHCD是平行四边形，∴ED=HC．∴DE=DB=HC=FC=2．∵EH∥DC，∴△BGH∽△BDC．∴．即．解得x=1．∴BC=3．【点评】此题考查了全等三角形的性质与判定，以及相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质与判定．此题属于综合性题目，比较难，解题时要注意仔细识图．23．（7分）已知关于x的一元二次方程ax2+2bx+c=0（a＞0）①．（1）若方程①有一个正实根c，且2ac+b＜0．求b的取值范围；（2）当a=1时，方程①与关于x的方程4x2+4bx+c=0②有一个相同的非零实根，求的值．【分析】（1）先根据c是一元二次方程ax2+2bx+c=0的实数根，把c代入此方程可得到关于a、b、c的方程，根据c＞0可得到ac+2b+1=0，再由不等式的基本性质即可求出b的取值范围；（2）把a=1代入方程4x2+4bx+c=0中，设方程①与方程②的相同实根为m，把m 分别代入两方程得到关于m的方程组，求出m的值，把此值代入一个方程便可得到b、c的关系式，代入即可求出其答案．【解答】解：（1）∵c为方程的一个正实根（c＞0），∴ac2+2bc+c=0．∵c＞0，∴ac+2b+1=0，即ac=﹣2b﹣1．∵2ac+b＜0，∴2（﹣2b﹣1）+b＜0．解得．又∵ac＞0（由a＞0，c＞0）．∴﹣2b﹣1＞0．解得．∴；（2）当a=1时，此时方程①为x2+2bx+c=0．设方程①与方程②的相同实根为m，∴m2+2bm+c=0③∴4m2+4bm+c=0④④﹣③得3m2+2bm=0．整理，得m（3m+2b）=0．∵m≠0，∴3m+2b=0．解得．把代入方程③得．∴，即8b2=9c．当8b2=9c时，．故答案为：，．【点评】本题考查的是一元二次方程的解及根的判别式，解答此题的关键是熟知根的判别式与方程的根之间的关系．24．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E，连接AC、BC、AE．（1）求证：①∠DCB=∠CAB；②CD•CE=CB•CA；（2）作CG⊥AB于点G．若（k＞1），求的值（用含k的式子表示）．【分析】（1）①过点C作直径CF，连接BF，即可得∠A=∠F，又由直径所对的圆周角等于直角，可得∠CBF是直角，又由切线的性质，可得∠FCD是直角，即可证得∠BCD=∠CAB；②由CE∥AB，易证得∠ECA=∠DCB，有圆的内接四边形的对角互补，可得∠E=∠CBD，即可证得△ACE∽△DCB，则得到CD•CE=CB•CA；（2）在Rt△HGB与Rt△BCG中，利用三角函数的性质，即可求得的值．【解答】（1）证明：①如图1解法一：作直径CF，连接BF．∴∠CBF=90°，则∠CAB=∠F=90°﹣∠1．∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，则∠BCD=90°﹣∠1．∴∠BCD=∠CAB．解法二：如图2连接OC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．则∠2=90°﹣∠OCB．∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD．则∠BCD=90°﹣∠OCB．∴∠BCD=∠2．∵OA=OC，∴∠2=∠CAB．∴∠BCD=∠CAB．②∵EC∥AB，∠BCD=∠3，∴∠4=∠3=∠BCD．∵∠CBD+∠ABC=180°，∵∠AEC+∠ABC=180°，∴∠CBD=∠AEC．∴△ACE∽△DCB．∴．∴CD•CE=CB•CA．（2）解：如图3，连接EB，交OC于点H，∵CG⊥AB于点G，∠ACB=90°．∴∠3=∠BCG．∴AE=BC，∵∠3=∠4．∴∠3=∠EBG．∴∠BCG=∠EBG．∵（k＞1），∴在Rt△HGB中，．在Rt△BCG中，．设HG=a，则BG=ka，CG=k2a．CH=CG﹣HG=（k2﹣1）a．∵EC∥AB，∴△ECH∽△BGH．∴．解法二：如图4，作直径FC，连接FB、EF，则∠CEF=90°．∵CG⊥AB于点G，在Rt△ACG中，设CG=a，则AG=ka，，CF=AB=AG+BF=（k）a．∵EC∥AB，∠CEF=90°，∴直径AB⊥EF．∴EF=2CG=2a．EC=）=（k）a．∴=k2﹣1．解法三：如图5，作EP⊥AB于点P在Rt△ACG中，，设CG=a，则AG=ka，，可证△AEP≌△BCG，则有AP=．EC=AG﹣AP=（k）a．∴==k2﹣1．【点评】此题考查了圆的切线的性质与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等．此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用．25．（7分）已知：抛物线y=x2﹣（m+1）x+m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）若m＞1，△ABC的面积为6，求抛物线的解析式；（2）点D在x轴下方，是（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE∥x轴与抛物线交于另一点E，作DF⊥x轴于F，作EG⊥x轴于点G，求矩形DEGF周长的最大值；（3）若m＜0，以AB为一边在x轴上方做菱形ABMN（∠NAB为锐角），P是AB 边的中点，Q是对角线AM上一点，若，QB+PQ=6，当菱形ABMN 的面积最大时，求点A的坐标．【分析】（1）由抛物线y=x2﹣（m+1）x+m与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），得出x2﹣（m+1）x+m=0的解，再利用m＞1，△ABC的面积为6，即△ABC的面积S==，求出m，从而得出解析式；（2）作出矩形，用t表示出矩形的周长，利用二次函数的最值求出即可；（3）首先表示出AB的长度，再利用=，QB+PQ=6，得出S菱形=AB•NH=15k2≤48，当菱形面积取得最大值48时，k=，由AB=5k=1 ABMN﹣m=．解出m的值，得出A点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），∴x1、x2是关于x的方程x2﹣（m+1）x+m=0的解．解方程，得x=1或x=m．（1）∵A在B的左侧，m＞1，∴x1=1，x2=m．∴AB=m﹣1．抛物线与y轴交于C（0，m）点．∴OC=m．△ABC的面积S==．解得m1=4，m2=﹣3（不合题意，舍去）．∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+4；（2）∵点D在（1）中的抛物线上，∴设D（t，t2﹣5t+4）（）．∴F（t，0），DF=﹣t2+5t﹣4．又抛物线对称轴是直线，DE与抛物线对称轴交点记为R（如图），∴DR=，DE=5﹣2t．设矩形DEGF的周长为L，则L=2（DF+DE）．∴L=2（﹣t2+5t﹣4+5﹣2t）=﹣2t2+6t+2=．∵，∴当且仅当时，L有最大值．=．当时，L最大∴矩形周长的最大值为．（3）∵A在B的左侧，m＜0，∴x1=m，x2=1．∴AB=1﹣m．如图，作NH⊥AB于H，连接QN．在Rt△AHN中，=．设AH=4k（k＞0），则AN=5k，NH=3k．∴AP===，PH=AH﹣AP==，PN==．∵菱形ABMN是轴对称图形，∴QN=QB．∴PQ+QN=PQ+QB=6．∵PQ+QN≥PN（当且仅当P、Q、N三点共线时，等号成立）．∴6≥，解得k≤．=AB•NH=15k2≤48．∵S菱形ABMN∴当菱形面积取得最大值48时，k=．此时AB=5k=1﹣m=．解得m=1﹣．∴A点的坐标为（1﹣，0）．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，以及二次函数的最值问题，锐角三角函数问题和矩形菱形等知识，题目综合性较强．。
西城区2010 2011度第一学期初三期末数学试题及答案北区
北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学2011.11．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
考生2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
知一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．．．2??.1. 抛物线）的对称轴为（2x?1y??2??2x??1x??1xx B．直线 D CA．直线．直线．直线，上，若∠C=15°AB为⊙O的直径，点C在⊙O2. 如图，.）则∠BOC =（D．15°C．30°．A60°B．45°×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都3. 如图，在8是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则）.∠ACB的值为（tan112．CB．A． 1 D．22322ky?x??6x?11ya(x?h)?.化成）4．用配方法将的形式为（222x?3)?x?3)y?2?(y?( A ．B．222?3)??2y?(x(y?x?6) ．C．DCAB的三边分别扩大一倍得到△5．如图，将△ABC 111 P点为位似中心的（顶点均在格点上），若它们是以）.点的坐标是（位似图形，则P3)?(4,?3)?3,(?．A． B4)(4)?3,?(?4,?．D C．. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这6x x100?2P?. （元）满足关系：P（件）与每件的销售价种商品每天的销售量200元的利润，根据题意，下面所列方程若商店在试销期间每天销售这种商品获得）.正确的是（2002x)?x(10030)(100(x??2x)?200? A． B ．200?100)?30)(2(x???(30?x)(1002x)200x C．D．12 （共页西城区九年级数学第一学期期末试卷第1 页）AB相切，=30°，⊙O与如图，△OAB中，OA=OB，∠A7. . 两点，连接CD于C，D切点为E，并分别交OA，OB32 ）.的面积等于（若CD 等于，则扇形OCED16248 ．πDC．πππB．． A 3333 O为圆心，，点P在以如图，OA=4，线段OA的中点为B8.也落在.当点QOB为半径的圆上运动，PA的中点为Q .）上时，cos∠OQB的值等于（⊙O1121 B．A．C．D．2433二、填空题（本题共16分，每小题分）4 E，D分别交AC，BC于点，DE9. 如图，在△ABC 中，∥AB . CDE，=2CD=3，则△与△CAB的周长比为若AD3cm. 两圆的半径分别为和4cm，若圆心距为5cm，则这两圆的位置关系为.10(2,0) ，以OA，为半径作⊙A11. 如图，平面直角坐标系xOy中，点O P的坐标为菱形，则点若点P，B都在⊙O上，且四边形AOPB.为00???a?bca4?b2；（2（a ≠012．抛物线）满足条件：1））；（cy?ax?bx?0a?）与（3x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；cc0c????c0ab?a?，其中所有正确结论的序号是；④．②；③34题分，第题每小题～175186分）分，第三、解答题（本题共31132??3sin606tan30???cos45 ．13．计算：20?3axx?4??x有实数根．的方程．若关于14的取值范围；）求（1a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．）若2（aABC°，∠=中，∠△Rt．已知：如图，在15ABCC9060°，=3 AB2=延长线上一点，且CB为，AC=DBD．的长．AD求页第西城区九年级数学第一学期期末试卷2 页）12 （共21,0)(? A．右图为抛物线，的一部分，它经过16cy??x??bx(0,3) 两点．B 1）求抛物线的解析式；（个单位，（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1 求平移后的抛物线的解析式．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B17.的俯角为60°，热气球与高的仰角为45°，看这栋高楼底部C 2 AD楼的水平距离为50m，求这栋楼的高度.1.414（，取 3 1.732）取2.18．对于抛物线3?4x?y?x；，顶点坐标为（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x ……y ……的一元二次方程（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x72的范围内有x＜（t为实数）在＜0??tx?4x?31?2．解，则t的取值范围是5分）四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题，．已知：如图，在△19ABC中，AB=AC= 5，BC= 8E分别为．=∠CBC，AB边上一点，∠ADED，∽△CAD；BDE （1）求证：△BE的长．2）若CD=2，求（，DE所示摆放在直线l上，=2ABCD20．两个长为2，宽为1的矩形和矩形EFGH如图1???90?0??逆时针绕点E）ABCD将矩形绕点D顺时针旋转角（，将矩形EFGH 旋转相同的角度．的DCEC，点到直线=°2C （1）当两个矩形旋转到顶点，F重合时（如图），∠?；°距离等于，=重合部分为正方形时，EFGH3（2）利用图思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形?°．=西城区九年级数学第一学期期末试卷第页）12 （共页321．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于. D=∠BFCF，连接BF，CF，∠点E，交⊙O于点O的切线；）求证：AD是⊙（11.，求AD 的长tan2）若AC=8，B =（ 2．请阅读下面材料：222c??bxy?ax),yA(x),yB(x）上不同的两点，证明直线0，若是抛物线（a ≠0102x?x21?x. 为此抛物线的对称轴 2 有一种方法证明如下：2c??y?axbx)xA(,y)B(x,y ，证明：∵（a 是抛物线≠0）上不同的两点，01022?,?c?ax?bx y ①?110xx ≠. 且∴?12②2,?c?ax?bx y??202220)?x?x?x)?bxa(( .①-②得2211??0?b?(x?x)(x?x)a .∴2211b?x?x?. ∴21ab2c?bx??yax?x?，（a 又∵抛物线≠0）的对称轴为a2xx?21?x. ∴直线为此抛物线的对称轴22c?bxy?ax?)yNM(x,y)(x,，是抛物线a （1）反之，如果≠ 0）上不同的（2121x?x21xx?x时函数值相等为该抛物线的对称轴，那么自变量取两点，直线，122吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；．．2）利用以上结论解答下面问题：（21??bxy?x 求时的函数值相等，已知二次函数时的函数值与= 4x = 2007当x.= 2012时的函数值x12 （共页西城区九年级数学第一学期期末试卷第4 页）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）2?(m?1)x?2)x?m?0(m.（其中m为实数）已知关于23. x的一元二次方程（1）若此方程的一个非零实数根为k，①当k = m时，求m的值；15??2kkm(?) 的关系式；②若记y与m为y，求k1＜m＜2）当2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.（42（其中a ≠c且a ≠0）. 24已知抛物线.c)x??(a?cy?ax（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）a?c，2）若经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为（k?x?y?)?(c,B a 求此抛物线的解析式；（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与y轴的交点为C，若k?y??x1，求点P的坐标；POCtantan?POB??4（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，1n?记它的整数函数值的个数为N，则N关于n的函数关系式为. ?角C顺时针旋转=30°.将其绕直角顶点含30°角的直角三角板ABC中，∠A25. ??，??1200??边与AB所在直线交于点（D，过点90°），得到Rt△且≠C'B'AC'AD作DE∥交边于点E，连接BE. ''BA'CB?= °B（1）如图1，当边经过点时，；'BA'（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；1S S=EB为半径作⊙E，当以点=，ADx，△BDE的面积为S，E为圆心，BC）（3 设=1ABC?3C'A E 时，求AD的长，并判断此时直线的位置关系.与⊙西城区九年级数学第一学期期末试卷第 5 页（共12 页）北京市西城区2010 —2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）1 2 3 4 5 6 7 8 题号CAACBBDA答案二、填空题（本题共16分，每小题4分）3(?1,3)(?1,?3).（每个，相交.10. . 11.2分）9.512.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）230??3sin60?6tan?cos45?13．解：332 2……………………………………………………………3 分?3?)?6?(?32232?2??2212. ……………………………………………………………………………5分??222?4(3?a??4)?4?4a.……………………………………………………1．解：14（1）分∵该方程有实数根，4?4a≥0．…………………………………………………………………2∴分?1．……………………………………………………………………≥3分解得a?1．…………………………………4分2）当a为符合条件的最小整数时，a =（2?4x?4?x0x?x??2．…………………，方程的根为此时方程化为5分213 AC=，90°，∠ABC=60°，Rt15．解：在△ABC中，∠C=AC，BC=1．……………………∴2分2?AB?sin60?1图∵D为CB延长线上一点，BD=2AB ，∴BD=4，CD=5．…………………………………………………………………4分22?27?ACAD?CD．……………………………………………………5分∴(?1,0)(0,3)两点，）∵抛物线经过A，B16．解：（1?1?b?c?0,?……………………………………………………………1分∴?c?3.?b?2,?…………………………………………………………………2分解得?3.c??2．……………………………………3 抛物线的解析式为分∴3?y?x?2x?西城区九年级数学第一学期期末试卷第6 页（共12 页）2(1,4) 的顶点坐标为2）∵抛物线，（3??2y??xx2,3)(?∴平移后的抛物线的顶点坐标为．221x?x????(x?2)4?3?y 5分．…………∴平移后的抛物线的解析式为，BDA=90°，∠BAD=45°17．解：在Rt△ABD中，∠…………………………………………2分∴BD=AD=50(m)．=60°，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD3?50CD?3AD 4分∴(m) ．………………………………35050?136.6?3?50(?1)分(m)=．……5 ∴BC= BD+CD2图．答：这栋楼约高136.6 m(0,3),0),(3,0)(1，顶点坐标为，与y）它与x轴交点的坐标为轴交点的坐标为18．解：（11)(2,?；………………………………………3分）列表：（24 2 3 x 0 1 ……3 0 3 0 -1 y ……分……………………………4 分……………………………5 图象如图3所示．3图8t??1? 6分（3）t的取值范围是．……………………分）4分，其余每小题519四、解答题（本题共分，第20题，AB=AC19．（1）证明：∵分C．……………………………1 ∠B=∠∴，∠CADADB =∠C+∠∵∠ADE+BDE=∠ 4 图，∠C ∠ADE= 分………………………………………………………2∠CAD．∴∠BDE =3分CAD．………………………………………………………∴△BDE∽△ACDB 4分．…………………………………………………………2 （）解：由（1）得?CDBE ，，CD=2= 5AB=AC，BC= 8 ∵6?BC?CDDB?．∴2?CD6DB?．5 ∴分……………………………………………… 2.4?BE??5AC?3 3分；到直线l的距离等于，…………………= 30 °DCE20．解：（1）∠= 60 °，点C?分………………………………………………………………………4（2）= 45 °．，于点EAC1）证明：∵OD⊥21．（90°．=1+∠2∠∴OEA=90°，∠1，，∠BFC=∠D=∵∠∠BFC ．OAD =90°，∠90°2∴∠D +∠=西城区九年级数学第一学期期末试卷第7 页（共12 页）5图∴OA⊥AD于点A．………………………1分∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线．……………………2分解：∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O （2）的弦，AC=8，AC∴．………………………………………………………3分4?AE?EC?21∵，B =，tan∠B=∠C21∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．2∴EF?EC?tanC?2．OE?r?2．的半径为r，则设⊙O222222AE??OAOE42)??(rr?．，即OAE中，由勾股定理得在Rt△解得r =5．……………………………………………………………………4分AE4∴在Rt△OAE中，．??tan?2OE3420∴分………………………5OAD中，．在Rt△2?OA?tan?5??AD?33xx时函数值相等．……………………………………1分22．解：（1）结论：自变量取，122?bx??axcy)y(x,)M(x,yN上不同的两点，，证明：∵为抛物线21122?,c??bx y?ax ①?111xx．且≠由题意得?122 y?ax?bx?c,②??222??22b?x)a(xx)?(x?x)?y?y?a(x??x)b(x?.①-②，得2112112212……………………………………………………………2分x?x2?bx??axcy（a ≠0）的对称轴，∵直线是抛物线21?x2x?xb. ∴21???x22ab ∴.?x??x???b0?x)?(xx)?a(x?yy?y?y.………………∴3分，即21212121（阅卷说明：其他代21a数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而没有用代数方法进行证明的不给分）2?bxx?1y?当x = 4 （2）∵二次函数时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，201121bxxy???.的对称轴为直线由阅读材料可知二次函数∴?x22011b2011?b?，∴ .??222?2011x?x?1y. …………………………………4二次函数的解析式为∴分西城区九年级数学第一学期期末试卷第8 页（共12 页）20112012?(?1)，∵?22x??1时的函数值相等x = 2012的函数值与. 由（1）知，当2?2011?(?1)?1(?1)?20111?，当∵x =时的函数值为∴当x = 2012时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）2?(m?1)x?(m?2)xm?0的实数根，为1）∵k23.解：（2?(m?1)k?m?2)km?0(.※…………………………………………1∴分①当k = m时，∵k为非零实数根，(m?2)m?(m?1)?1?0.，得0，方程※两边都除以m∴m ≠2?3m?2m?0.整理，得解得，. ………………………………………………………2分2m?m?1212?(m?1)x?m?0x(m?2)是关于∵x的一元二次方程，∴m ≠2.∴m= 1.……………………………………………………………………3分（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分）②∵k为原方程的非零实数根，m.…………………4分将方程※两边都除以k，得∴01)??(m?2)k?(m?k1 . 整理，得1??2k?mm(k?)k1 5分.∴……………………………………………4?)y?m(k??2k?5?mk22.………6分（2）解法一：1m(m?2)?2)??3m?6m?1??3(??[?m?1)](?4mm?1当＜m＜2时，m＞0，＜0. 2m?4∴＞0，＞1＞0，Δ＞0.1?3m(m?2)?2)?m(m?31∴当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.……………7分412?(m?1)x(m?2)x?my?的图象，时，函数m＜2 解法二：直接分析＜4∵该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，∴该抛物线必与x轴有两个不同交点. …………………………6分1∴当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.……………7分4222.…………6分解法三：4m16m???3(?1)?m?2)mm1)]m???[(??4(??3?西城区九年级数学第一学期期末试卷第9 页（共12 页）2关于m的图象可知，（如图结合6）4???3(m?1)?137当＜m≤1时，＜≤4；?4164.时，1＜＜m当1＜＜2?1.＞0m＜2时，∴当＜?41.2时，此方程有两个不相等的实数根当＜m＜∴4 …………………………………………7分6图2的方程轴交点的横坐标是关于x）抛物线与x24.解：（1c(a?c)x?y?ax?2）的解.a ≠c（其中a ≠0，0axa?(?c)x?c?c. …………………………………………………………1分解得，1x??x12ac(1,0)，.………………………………2 抛物线与x轴交点的坐标为分∴,0)(a2)c(a?a?c2.的顶点A的坐标为（2）抛物线c?c)xy?ax?(a?),?(a42aa?c ，经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为∵k?x?y?)c(,?B a①2?cac)?a(?,????k ?a24a?c?a?②,???k ?c?? a ?ca?a?c?③2.?cc)?(a?)?a ?c?(?aa?由③得c=0.……………………………………………………………………3分a1?,??k???将其代入①、②得24??.? 0?1?k?解得.2?a?2.……………………………………4所求抛物线的解析式为分∴x?y??2x2（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F.（如图7）112的顶点A的坐标抛物线，)(,xx?2y??222(1,0)(0,1). C的坐标为点B的坐标为，点(m,n).设点P的坐标为2上，轴上方的抛物线点P在x∵xx2?y??2图712＜1，.＜，且∴0m m22n??m??n0?2西城区九年级数学第一学期期末试卷第10 页（共12 页）PEnPFm，∴.?POC?tan?POB??tan?nOEmOF1 ∵，POC?tan?tan?POB422n?m4.∴n2??m分………………………………………………或5（舍去）.解得m=2n，22. ，得将m=2n代入02mn8n??n??2m3?3.（舍去）解得，0?n?n2183?m?2n. ∴433)(, . 的坐标为…………………………………………………………6分∴点P84 分………………………………………………7 （4）N关于n的函数关系式为N=4n .2为正整数）的范围内取n＜（说明：二次函数在的自变量xn≤x1n?x2x2?y??的增大而减小，随x 值，此时y22≤∴，＜y n?2nn?2n?2?2222.，…其中的整数有，n?2n??2n??2n2?2n?1?2n222.n4n)2(?n??N?(?2n2?2n)??60 °；…………………………………………分边经过点25.（1）当B时，1= 'BA'=2；m，点D在AB边上时，（2）猜想：①如图8.=4AB，点D在的延长线上时，m ②如图9（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）??0??90?.）在AB边上（如图8时，点D证明：①当?、的取值范围不扣分）②两种情况没写（阅卷说明：①DE∥，∵''BACECD .∴???CBCA.ACD=，∠∠BCE，由旋转性质可知，CA =CB= ''CBCACECD ∴.?CBCA CBE.……………2分△∴CAD∽△.∠A =∠30°CBE=∴8图CBD=60°，D∵点在AB边上，∠CBE2??CBD?分，即m∴=2. ………………………………………3???12090??.的延长线上（如图在AB9）时，点D当②.∠CBE=30°A =与①同理可得∠??180??CBA?120?CBD?的延长线上，，ABD∵点在CBE?4?CBD? 4m，即=4. ∴……………………………………分.）问用四点共圆方法证明的扣1分）2（阅卷说明：第（BC=1，，A90°中，∠△）解：在（3RtABCACB=，∠=30°（共西城区九年级数学第一学期期末试卷12 页）11 第页9图33?AC. ，，∴AB = 2 ?S ABC 2BEAD. CBE 得由△CAD∽△?BCAC ，=x ∵AD3BEx，. ∴?BEx?313x?AD?2?BD?AB ，，∠DBE=90°.①当点D在AB边上时，AD=x2x3??3x2113x.此时，??S?Sx)?BD??BE?(2BDE 62321.23x2?3x3?时，S = 当?S ABC?66320?x?x1?2 .整理，得10图1?x?x分，即AD 解得=1.…………………521）.CBE（如图1060°，∠BCE=30°=∠此时D为AB中点，∠DCB=.EC = EB∴边上，，点E在∵'CB?'?90?A'CB.EB等于⊙E的半径圆心E到的距离EC ∴CA'C'A 分…………………………………………………6E相切∴直线.与⊙2??xBD .9=x，）DBE=90°.（如图，∠②当点D在AB的延长线上时，AD.??S?S2)?x?BD?BE?(BDE 62322x23x3?113x1. =时，当S ?S ABC?66320??1x?2x 整理，得.23233xx?2???12x?x1.解得，（负值，舍去）212?1+AD7分即.………………………………………………………………??????12090=30°，，而，∠CBE此时∠BCE=.BCE ∠CBE＜∠∴.的半径EBEC小于⊙E的距离＜∴ECEB，即圆心E到CA'C'A分8.∴直线……………………………………………………相交与⊙E西城区九年级数学第一学期期末试卷第12 页（共12 页）。
2011届西城区九年级第一学期期末化学卷
北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 S 32 K 39 Mn 55 Cu 64一、选择题（每小题只有一个选项符合题意。
共25个小题，每小题1分，共25分。
） 1．空气成分中，体积分数约占78%的是A ．氧气B ．氮气C ．二氧化碳D ．稀有气体 2．下列物质中，属于纯净物的是A ．矿泉水B ．氢气C ．食醋D ．牛奶 3．生活中的下列变化，属于化学变化的是A ．冰块受热变为液体B ．熨斗通电后变热C ．吃进的食物被消化D ．樟脑球在衣柜中消失 4．地壳中含量最多的元素是A ．铝B ．硅C ．铁D ．氧 5．碳元素与氧元素的本质区别是 A ．电子数不同 B ．质子数不同 C ．中子数不同 D ．最外层电子数不同 6．下列金属中，金属活动性最强的是A ．ZnB ．CuC ．FeD ．Mg 7．铝能制成铝箔是因为铝具有A ．延展性B ．导电性C ．导热性D ．抗腐蚀性8．北京市已于2006年完成了“管道煤气置换为天然气”的工程。
天然气的主要成分是 A ．甲烷 B ．氮气 C ．一氧化碳 D ．氧气 9．二氧化钛（TiO 2）中钛元素的化合价是A ．-4B ．-2C ．+4D ．+2 10．元素周期表中镁元素的信息如右图所示，对图中信息理解不正确．．．的是 A ．元素名称为镁 B ．质子数为12C ．元素符号为MgD ．核外电子数为24.31 11．下列物质的用途是利用其化学性质的是A ．铜线可用于制电缆B ．干冰可用于人工降雨C ．稀有气体可制成电光源D ．氧气可用于炼钢、气焊 12．下列实验操作正确的是13．物质都是由微观粒子构成的，下列物质由分子构成的是A ．水B ．氯化钠C ．金刚石D ．汞 14．下列化学名称与符号相符合的是A ．氧元素O 2B ．氯离子C1-C ．碳酸钠NaCO 3D ．金AU 15．实验室制取二氧化碳，下列做法可行的是A ．用镊子夹取块状石灰石固体B ．将鼻子凑到瓶口闻酸液的气味C ．将用剩的酸液倒回原瓶D ．用稀硫酸与块状石灰石反应制取二氧化碳 16．下列粒子结构示意图中，表示阳离子的是17．下列自救措施中不合理．．．的是 A ． B ． C ． D ．A ．读取数值B ．倾倒液体C ．检查装置气密性D ．加热液体A ．室内起火，不要急于打开所有门窗B ．厨房燃气泄漏，不要立即打开抽油烟机C ．在山林中遇到火灾时，向顺风方向奔跑，脱离火灾区D ．火灾发生且烟雾较浓时，应用湿毛巾捂住口鼻，迅速逃离 18．下列实验现象描述与事实不符合．．．的是 A ．木炭在氧气中燃烧，发出白光 B ．红磷在空气中燃烧，产生大量白色烟雾C ．镁与稀盐酸反应产生气体，放出热量D ．铁丝在氧气中燃烧，火星四射，生成一种黑色固体 19．在SO 3 + H 2O == H 2SO 4 反应中，反应前后发生改变的是A ．分子总数B ．元素种类C ．各元素化合价D ．原子种类 20．关于“3CO 2”的含义叙述正确的是①表示二氧化碳这种物质 ②表示三个碳原子和六个氧原子③表示三个二氧化碳分子 ④表示二氧化碳分子由一个碳原子和两个氧分子构成 ⑤相对分子质量为132 ⑥碳原子与氧原子的质量比为3∶8A ．①③④B ．②⑤⑥C ．③⑥D ．②⑥ 21．下列事实与相应的解释不一致的是 22．北京市的机动车保有量已超过476万辆，汽车尾气的排放对环境的污染日益严重。
北京西城区2010-2011学年度九年级化学上册期末试题及答案
北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷九年级化学 2011.1考生须知1．本试卷共8页，共四道大题，35道小题，满分80分。
考试时间100分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．考试结束，将试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 S 32 K 39 Mn 55 Cu 64 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意。
共25个小题，每小题1分，共25分。
） 1．空气成分中，体积分数约占78%的是 A ．氧气 B ．氮气 C ．二氧化碳 D ．稀有气体2．下列物质中，属于纯净物的是A ．矿泉水B ．氢气C ．食醋D ．牛奶 3．生活中的下列变化，属于化学变化的是A ．冰块受热变为液体B ．熨斗通电后变热C ．吃进的食物被消化D ．樟脑球在衣柜中消失 4．地壳中含量最多的元素是A ．铝B ．硅C ．铁D ．氧5．碳元素与氧元素的本质区别是 A ．电子数不同B ．质子数不同C ．中子数不同D ．最外层电子数不同6．下列金属中，金属活动性最强的是A ．ZnB ．CuC ．FeD ．Mg 7．铝能制成铝箔是因为铝具有A ．延展性B ．导电性C ．导热性D ．抗腐蚀性 8．北京市已于2006年完成了“管道煤气置换为天然气”的工程。
天然气的主要成分是 A ．甲烷 B ．氮气C ．一氧化碳D ．氧气9．二氧化钛（TiO 2）中钛元素的化合价是A ．-4B ．-2C ．+4D ．+2 10．元素周期表中镁元素的信息如右图所示，对图中信息理解不正确．．．的是 A ．元素名称为镁 B ．质子数为12 C ．元素符号为Mg D ．核外电子数为24.3111．下列物质的用途是利用其化学性质的是A ．铜线可用于制电缆B ．干冰可用于人工降雨C ．稀有气体可制成电光源D ．氧气可用于炼钢、气焊 12．下列实验操作正确的是13．物质都是由微观粒子构成的，下列物质由分子构成的是A ．水B ．氯化钠C ．金刚石D ．汞 14．下列化学名称与符号相符合的是A ．氧元素O 2B ．氯离子C1-C ．碳酸钠NaCO 3D ．金AU15．实验室制取二氧化碳，下列做法可行的是A ．用镊子夹取块状石灰石固体B ．将鼻子凑到瓶口闻酸液的气味C ．将用剩的酸液倒回原瓶D ．用稀硫酸与块状石灰石反应制取二氧化碳 16．下列粒子结构示意图中，表示阳离子的是17．下列自救措施中不合理．．．的是 A ．室内起火，不要急于打开所有门窗 B ．厨房燃气泄漏，不要立即打开抽油烟机C ．在山林中遇到火灾时，向顺风方向奔跑，脱离火灾区D ．火灾发生且烟雾较浓时，应用湿毛巾捂住口鼻，迅速逃离 18．下列实验现象描述与事实不符合．．．的是 A ．木炭在氧气中燃烧，发出白光 B ．红磷在空气中燃烧，产生大量白色烟雾 C ．镁与稀盐酸反应产生气体，放出热量D ．铁丝在氧气中燃烧，火星四射，生成一种黑色固体19．在SO 3 + H 2O == H 2SO 4 反应中，反应前后发生改变的是A ．分子总数B ．元素种类C ．各元素化合价D ．原子种类 20．关于“3CO 2”的含义叙述正确的是①表示二氧化碳这种物质 ②表示三个碳原子和六个氧原子③表示三个二氧化碳分子 ④表示二氧化碳分子由一个碳原子和两个氧分子构成 ⑤相对分子质量为132 ⑥碳原子与氧原子的质量比为3∶8A ．①③④B ．②⑤⑥C ．③⑥D ．②⑥ 21．下列事实与相应的解释不一致．．．的是 选项 事实解释 A 50 mL 水和50 mL 酒精混合后的体积小于100 mL分子间有间隔 B 氧气和臭氧（O 3）性质不完全相同 构成物质的分子不同 C稀有气体的化学性质稳定原子的最外层电子达到稳定结构A ．B ．C ．D ．A ．读取数值B ．倾倒液体C ．检查装置气密性D ．加热液体D铜块在空气中不燃烧，纳米铜在空气中可以燃烧物质的种类决定反应能否进行22．北京市的机动车保有量已超过476万辆，汽车尾气的排放对环境的污染日益严重。
2010-2011学年北京市西城区九年级(上)期末数学练习试卷
2010-2011学年北京市西城区九年级（上）期末数学练习试卷一、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a＜2，则=．2．（5分）计算：=．3．（5分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根是．4．（5分）方程x2=2x的解是．5．（5分）在掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为．如果掷一枚硬币150次，则着地时正面向上约次．6．（5分）五张标有1，2，3，4，5的卡片，除数字外其它没有任何区别．现将它们背面朝上，从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是．7．（5分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC=度．8．（5分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为cm．9．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB=1：4，CD=8，则AB=．10．（5分）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于．二、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）11．（4分）已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（）A．B．C．﹣D．﹣12．（4分）代数式的值（）A．当x=0时最大B．当x=0时最小C．当x=﹣4时最大D．当x=﹣4时最小13．（4分）若关于x的方程x2+2（k﹣1）x+k2=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k≤C．k＞D．k≥14．（4分）用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为（）A．B．C．D．15．（4分）在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放回搅匀，再从袋中任意摸一个球，那么两次都摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．16．（4分）从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃，梅花，黑桃3种牌都抽到，这件事情（）A．可能发生B．不可能发生C．很可能发生D．必然发生17．（4分）李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，如图，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）A．①，②，④B．②，③，④C．①，③，④D．①，②，③18．（4分）一个圆锥的底面半径为，母线长为6，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．180°B．150°C．120°D．90°19．（4分）在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等腰三角形B．圆C．梯形D．平行四边形20．（4分）如图，ABCD是一张矩形纸片，点O为矩形对角线的交点，直线MN 经过点O交AD于M，交BC于N．操作：先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕O点旋转180°后，恰好与直角梯形NMAB完全重合，再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得的图形可能是（）A．B．C．D．三、解答题（共7小题，满分0分）21．不使用计算器，计算：22．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣6x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求常数m的值．23．已知：如图，CA=CB=CD，过三点A，C，D的⊙O交AB于点F．求证：CF平分∠BCD．24．某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．25．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的，求新品种花生亩产量的增长率．26．如图，点P是圆上的一个动点，弦AB=．PC是∠APB的平分线，∠BAC=30°．（1）当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积，最大面积是多少？（2）当∠PAC等于多少度时，四边形PACB是梯形，说明你的理由．27．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上．2010-2011学年北京市西城区九年级（上）期末数学练习试卷参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a＜2，则=2﹣a．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：因为a＜2，所以a﹣2＜0，故=|a﹣2|=2﹣a．【点评】开方时应当先判断a﹣2的符号，然后再进行开方运算．解答此题，要弄清性质：=|a|．2．（5分）计算：=5．【分析】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式=6﹣=5．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．3．（5分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根是1±．【分析】先将方程两边加2，再根据完全平方公式，将方程左边转化为完全平方的形式，再利用数的开方直接求解．【解答】解：两边同时加1，得，x2﹣2x+1=2，整理得，（x﹣1）2=2，开方得x﹣1=±，即x1=1﹣，x2=1+．【点评】本题先将方程转化为完全平方的形式，再开方．要注意（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b 同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．4．（5分）方程x2=2x的解是x1=0，x2=2．【分析】先移项得到x2﹣2x=0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x﹣2=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=2．【解答】解：∵x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴x1=0，x2=2．故答案为x1=0，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．5．（5分）在掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为．如果掷一枚硬币150次，则着地时正面向上约75次．【分析】掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为，则正面向上的概率也为．【解答】解：如果掷一枚硬币150次，则着地时正面向上约150×=75．答：着地时正面向上约75次．【点评】部分数目=总体数目乘以相应概率．6．（5分）五张标有1，2，3，4，5的卡片，除数字外其它没有任何区别．现将它们背面朝上，从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是．【分析】让偶数的个数除以卡片的总数即为所求的概率．【解答】解：因为五张标有1，2，3，4，5的卡片，其中有2张为偶数，所以从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．7．（5分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC=45度．【分析】连接OB、OC，根据正方形的性质，易得出∠BOC=90°，根据圆周角定理，可求出∠BEC=45°．【解答】解：连接OB、OC，则∠E=∠BOC，∵O是正方形外接圆的圆心，∴∠BOC=90°，∴∠BEC=∠BOC=45°．【点评】正确理解圆心角与圆周角的关系是解决本题的关键．8．（5分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为15cm．【分析】运用弧长计算公式，将其变形即可求出扇形的半径．【解答】解：扇形的弧长公式是L==，解得：r=15．故答案为：15．【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式的变形，难度不大，计算应认真．9．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB=1：4，CD=8，则AB=10．【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”的应用．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，∴CP=4，根据相交弦定理得，16=AP×4AP，解得AP=2，∴AB=10．【点评】本题主要考查了垂径定理及相交弦定理．10．（5分）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于．【分析】根据旋转的性质，知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP=AP′=3，即△PAP′是等腰直角三角形，腰长AP=3，则可用勾股定理求出斜边PP′的长．【解答】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，∴△ABP≌△ACP′，即线段AB旋转后到AC，∴旋转了90°，∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，∴PP′=3．【点评】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．二、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）11．（4分）已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】二次根式有意义，y＜0，结合已知条件得y＜0，化简即可得出最简形式．【解答】解：∵xy＞0，∴x和y同号，∵x的中，≥0，∴y＜0，∴x＜0，y＜0，∴x=﹣=﹣，故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．12．（4分）代数式的值（）A．当x=0时最大B．当x=0时最小C．当x=﹣4时最大D．当x=﹣4时最小【分析】被减数是常数，当减数最小时，结果最大．【解答】解：∵被减数是6，减数是被开方数含有字母的二次根式，二次根式的最小值为0，∴x+4=0时，代数式的值最大，解得x=﹣4时，代数式是值最大，故选：C．【点评】考查关于二次根式的最值的计算；用到的知识点为：二次根式的结果的最小值为0．13．（4分）若关于x的方程x2+2（k﹣1）x+k2=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k≤C．k＞D．k≥【分析】根据一元二次方程的根的判别式与根的关系，建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：∵a=1，b=2（k﹣1），c=k2，而方程有实数根，∴△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2=4﹣8k≥0，∴k≤．故选：B．【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．（4分）用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为（）A．B．C．D．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，要注意解题步骤，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：∵x2+px+q=0∴x2+px=﹣q∴x2+px+=﹣q+∴（x+）2=故选：B．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．15．（4分）在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放回搅匀，再从袋中任意摸一个球，那么两次都摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．【分析】列举出所有情况，看两次都摸到黄球的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共有16种情况，两次都摸到黄球的情况数是4种，所以概率为，故选B．【点评】考查列树状图解决概率问题；找到两次都摸到黄球的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．16．（4分）从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃，梅花，黑桃3种牌都抽到，这件事情（）A．可能发生B．不可能发生C．很可能发生D．必然发生【分析】因为一副牌中共有5张红桃、4张梅花、3张黑桃，从中一次随机抽出10张，恰好红桃，梅花，黑桃3种牌都抽到，这个事件一定发生，是必然事件．【解答】解：∵若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张，一定还有1张黑桃；若抽出了全部的梅花与黑桃共7张，则还会有3张红桃；若抽出了全部的红桃与黑桃共8张，则还会有2张梅花；∴这个事件一定发生，是必然事件．故选：D．【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．17．（4分）李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，如图，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）A．①，②，④B．②，③，④C．①，③，④D．①，②，③【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；②正四边形的每个内角是90°，4个能密铺；③正五边形的每个内角是108°，不能整除360°，不能密铺；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．故用一种瓷砖可以密铺平面的是：①，②，④．故选：A．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．18．（4分）一个圆锥的底面半径为，母线长为6，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．180°B．150°C．120°D．90°【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得．【解答】解：2π×=，解得n=150°．故选：B．【点评】解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．19．（4分）在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等腰三角形B．圆C．梯形D．平行四边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选：B．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．20．（4分）如图，ABCD是一张矩形纸片，点O为矩形对角线的交点，直线MN 经过点O交AD于M，交BC于N．操作：先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕O点旋转180°后，恰好与直角梯形NMAB完全重合，再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得的图形可能是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质得到AM，CN都不与MN垂直，BN，DM也不与MN垂直，由此判断D满足条件．【解答】解：直角梯形MNCD绕O点旋转180°后，恰好与直角梯形NMAB完全重合，再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得的图形中AM，CN都不与MN垂直，BN，DM也不与MN垂直，所以D满足条件．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．三、解答题（共7小题，满分0分）21．不使用计算器，计算：【分析】本题涉及负整数指数幂、二次根式化简两个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=3×2+﹣+1=3﹣1．【点评】（1）化简二次根式要注意观察被开方数，若被开方数是整式或整数形式，要用分解因式或因数．然后把能开的尽方的因数或因式开出来．（2）注意负整数指数幂的运算，2﹣1=．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣6x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求常数m的值．【分析】（1）根据题意知△=b2﹣4ac≥0，从而求出k的取值；（2）根据题意和（1）知当k=9时，方程有相同的根，然后求出两根，再求m的值即可．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×k=36﹣4k≥0∴k≤9（2）∵k是符合条件的最大整数且k≤9∴k=9当k=9时，方程x2﹣6x+9=0的根为x1=x2=3；把x=3代入方程x2+mx﹣1=0得9+3m﹣1=0∴m=【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．23．已知：如图，CA=CB=CD，过三点A，C，D的⊙O交AB于点F．求证：CF平分∠BCD．【分析】连接AD，先由CA=CD可求出∠D=∠CAD，再由圆周角定理可求出∠D=∠CFA，由三角形内角与外角的性质可知∠CFA=∠B+∠FCB，进而可求出∠FCB=∠FAD，再由圆周角定理即可求解．【解答】证明：连接AD，∵CA=CD，∴∠D=∠CAD．∵∠D=∠CFA，∴∠CAD=∠CFA．∵∠CFA=∠B+∠FCB，∴∠CAF+∠FAD=∠B+∠FCB．∵CA=CB，∴∠CAF=∠B，∴∠FAD=∠FCB，∵∠FAD=∠FCD，∴∠FCB=∠FCD，∴CF平分∠BCD．【点评】本题考查的是圆周角定理及等腰三角形的性质，三角形内角与外角的性质，比较简单．24．某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A 型号电脑，求购买的A 型号电脑有几台．【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法，列出所有可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；（2）（3）根据题意列出方程求解则可．【解答】解：（1）列表如图：甲乙A B CD（D ，A ）（D ，B ）（D ，C ）E （E ，A ）（E ，B ）（E ，C ）有6种可能结果：（A ，D ），（A ，E），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ）；（2）因为选中A 型号电脑有2种方案，即（A ，D ）（A ，E ），所以A 型号电脑被选中的概率是；（3）由（2）可知，当选用方案（A ，D ）时，设购买A 型号、D 型号电脑分别为x ，y 台，根据题意，得解得，经检验不符合实际，舍去；当选用方案（A，E）时，设购买A型号、E型号电脑分别为a，b台，根据题意，得解得．所以希望中学购买了7台A型号电脑．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，同时考查了二元一次方程组的应用，综合性比较强．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的，求新品种花生亩产量的增长率．【分析】本题为增长率问题，增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．则每亩收获的花生可加工成花生油的质量是200（1+x）•50%（1+x），即可列方程求解．【解答】解：设新品种花生亩产量的增长率为x，根据题意得200（1+x）•50%（1+x）=132，解得x1=0.2=20%，x2=﹣3.2（不合题意，舍去），答：新品种花生亩产量的增长率为20%．【点评】本题为一般的增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．26．如图，点P是圆上的一个动点，弦AB=．PC是∠APB的平分线，∠BAC=30°．（1）当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积，最大面积是多少？（2）当∠PAC 等于多少度时，四边形PACB 是梯形，说明你的理由．【分析】（1）由PC 是∠APB 的平分线，可知=，根据直径所对的圆周角是直角，根据特殊角的三角函数值求出PC 的值，即可求出四边形PACB 的面积．（2）当∠PAC=120°时，根据PC 是∠APB 的平分线，求出∠PAC 与∠APB 互补，即AC ∥PB 且AP 与BC 不平行，四边形PACB 是梯形；当∠PAC=60°时，由=可知，AC=BC ，又因为∠BAC=30°，所以∠ACB=120°，∠PAC 与∠ACB 互补，故BC ∥AP 且AC 与PB 不平行，四边形PACB 是梯形．【解答】解：（1）∵PC 是∠APB 的平分线，∴=．（1分）当PC 是圆的直径，即∠PAC=90°时，四边形PACB 面积最大．（3分）在Rt △PAC 中，∠APC=30°，AP=PB=AB=，∴PC==•=2．（4分）∴S 四边形PACB =2S △ACP （5分）=PC•AB=×2×=．（6分）（2）当∠PAC=120°时，四边形PACB 是梯形．（7分）∵PC 是∠APB 的平分线，∴∠APC=∠BPC=∠CAB=30°．∴∠APB=60°．∴∠PAC +∠APB=180°．∴AC ∥PB 且AP 与BC 不平行．∴四边形PACB是梯形．（8分）当∠PAC=60°时，四边形PACB是梯形．（9分）∵=，∴AC=BC．又∵∠BAC=30°，∴∠ACB=120°．∴∠PAC+∠ACB=180°．∴BC∥AP且AC与PB不平行．∴四边形PACB是梯形．（10分）【点评】本题属动态性题目，考查的是角平分线的性质，梯形，圆心角、弧、弦的关系及解直角三角形的关系，是一道综合性较好的题目的题目．27．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上．【分析】（1）△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形BAC与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度；（2）连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；（3）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P ′CP=90°，再证∠BPC +∠APB=180°，即点P 在对角线AC 上．【解答】解：（1）①S 阴影=S 扇形ABC +S △BP ′C ﹣S 扇形PBP ′﹣S △ABP=S 扇形ABC ﹣S 扇形PBP ′=，=（a 2﹣b 2）；②连接PP ′，根据旋转的性质可知：BP=BP ′，∠PBP ′=90°；即：△PBP ′为等腰直角三角形，∴∠BPP ′=45°，∵∠BPA=∠BP ′C=135°，∠BP ′P=45°，∴∠BPA +∠BPP ′=180°，即A 、P 、P ′共线，∴∠PP ′C=135°﹣45°=90°；在Rt △PP ′C 中，PP ′=4，P ′C=PA=2，根据勾股定理可得PC=6．（2）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置，连接PP ′．同（1）①可知：△BPP ′是等腰直角三角形，即PP ′2=2PB 2；∵PA 2+PC 2=2PB 2=PP ′2，∴PC 2+P ′C 2=PP ′2，∴∠P ′CP=90°；∵∠PBP ′=∠PCP ′=90°，在四边形BPCP ′中，∠BP ′C +∠BPC=180°；∵∠BPA=∠BP ′C ，∴∠BPC +∠APB=180°，即点P 在对角线AC 上．【点评】本题是一道综合性很强的题，不但考查了扇形的面积公式，还综合了旋转及三角形、正方形等相关知识，难度较大．。
西城区2010-2011学年九年级第一学期期末考试物理试题 精品
北京市西城区2010～2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级物理 2011.1一、单项选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意。
共24分，每小题2分） 1．在国际单位制中，电压的单位是 A.安培(A) B.伏特(V) C ．欧姆(Ω) D.瓦特(W) 2．下列物品中，在通常情况下属于绝缘体的是 A ．橡皮 B.铅笔芯 C ．食盐水 D.钢勺 3．图1所示的家用电器中，利用电流热效应工作的是4．下列关于电流和电压的说法中，正确的是 A ．正、负电荷定向移动都会形成电流 B ．电路中的电流是形成电压的原因 C ．自由电荷定向移动的方向为电流方向 D ．电路两端有电压，电路中就一定有电流5．由同种材料制成的AB 和BC 两段导体，它们的长度相同，AB 的横截面积比BC 的小，将它们按照图2所示的方式串联在电路中，不计温度的影响，下列判断正确的是 A.两段导体的电阻值：AB BC R R = B.两段导体的电阻值：AB BC R R ＞ C ．两段导体两端的电压：AB BC U U ＞ D.通过两段导体的电流：AB BC I I ＜6．下列有关温度、内能和热量的说法中，正确的是 A.物体吸收了热量，温度一定升高 B.物体的温度升高，一定吸收了热量 C ．物体的内能增加，温度一定升高 D.内能是物体内所有分子动能和势能的总和 7．下列事例中，利用做功的方式使物体（加“．”的字）内能增加的是 A.捂热水袋的手．变暖 B.用锯子锯木头，锯条．．的温度升高 C.放进热汤中的金属汤勺．．．．变得烫手D.炽热的金属片插入水中后，水．温升高 8．图3为四冲程汽油机工作过程中各冲程的示意图，其中表示做功冲程的是9．下列有关家庭电路和安全用电的说法中，正确的是 A.家庭电路中的空气开关与插座是并联的B.使用试电笔测火线时，手指千万不能碰到笔尖C.经验证明，只有36V的电压对人体才是安全的D.家庭电路中只有发生短路，才会使电路中的电流过大10.有一种带开关指示灯的插座，当开关断开时，指示灯不亮，插座不带电；当开关闭合时，指示灯亮，插座有电。
西城区初三数学年月试题北区.doc
北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（ ）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°， 则∠BOC =（ ）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15° 3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都 是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan ∠ACB 的值为（）.A ．1B ．13C ．12 D ． 2 4．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．2(3)2y x =++B ．2(3)2y x =--C ．2(6)2y x =--D ．2(3)2y x =-+ 5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的 位似图形，则P 点的坐标是（ ）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-. 若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程 正确的是（ ）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切， 切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于，则扇形OCED 的面积等于（ ）.A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π 8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，P A 的中点为Q .当点Q 也落在 ⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（ ）.A ．12B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ， 若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 .11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA 为半径作⊙O 若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P 的坐标为 .12．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>； （3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．计算：26tan 3060cos45︒︒-︒． 14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60AC D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ． 求AD 的长．16．右图为抛物线c bx x y ++-=2的一部分，它经过A (1,0)-，B (0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 求平移后的抛物线的解析式．17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B 的仰角为45°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球与高 楼的水平距离AD 为50m ，求这栋楼的高度.2取1.414，3 1.732）18．对于抛物线 243y x x =-+.（1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=（t 为实数）在1-＜x ＜72的范围内有 解，则t 的取值范围是 ．四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8，D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ． （1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD 和矩形EFGH 如图1所示摆放在直线l 上，DE =2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转α角（090α︒<<︒） ，将矩形EFGH 绕点E 逆时针旋转相同的角度．（1）当两个矩形旋转到顶点C ，F 重合时（如图2），∠DCE = °，点C 到直线l 的距离等于 ，α= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD 和矩形EFGH 重合部分为正方形时，α= °．x … …y … …21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若AC=8，tan B =12，求AD 的长.22．请阅读下面材料：若10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下： 证明：∵ 10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点， 20112022 ,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩ 且 1x ≠2x . ∴221212()()0a x x b x x -+-=.①-②得∴ []1212()()0x x a x x b -++=. ∴ 12bx x a+=-. 又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a=-， ∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程； （2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ，① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.24. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）. （1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-， 求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标； （4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ， 则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3） 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.35. 10. 相交. 11.(-，(1,-.（每个2分） 12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分） 三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．解：26tan 3060cos45︒︒-︒ 26=⨯……………………………………………………………3分 322=- 12=……………………………………………………………………………5分14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分 解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分 （2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC ，∴ 2sin 60ACAB ==︒，BC =1．……………………2分 ∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分∴ AD =．……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴ 10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩……………………………………………………………1分解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………2分 ∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分 （2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)，∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分17．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°，∴ BD =AD =50(m)． …………………………………………2分 在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°， ∴ 3503CD AD ==(m) ． ………………………………4分 ∴ BC= BD+CD =50503+50(31)136.6=+≈(m)．……5分 答：这栋楼约高136.6 m ．18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)-； ………………………………………3分（2）列表：……………………………4分 图象如图3所示． ……………………………5分 （3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．……………………………1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ，∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ． ………………………………………………………2分 ∴ △BDE ∽△CAD ． ………………………………………………………3分 （2）解：由（1）得DB ACBE CD=．…………………………………………………………4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===．………………………………………………5分 20．解：（1）∠DCE = 60 °，点C 到直线l 的距离等于3，α= 30 °； …………………3分 （2）α= 45 °． ………………………………………………………………………4分21．（1）证明：∵ OD ⊥AC 于点E ， ∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°． ∵ ∠D=∠BFC ，∠BFC=∠1， ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．∴ OA ⊥AD 于点A ．………………………1分 ∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2分 x … 0 1 2 3 4 …y … 3 0 -1 0 3 …图4 图3图2图5（2）解：∵ OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC=8，∴ 42ACAE EC ===．………………………………………………………3分 ∵ ∠B =∠C ，tan B =12，∴ 在Rt △CEF 中，∠CEF =90°，tan C =12．∴ tan 2EF EC C =⋅=．设⊙O 的半径为r ，则2OE r =-．在Rt △OAE 中，由勾股定理得 222OA OE AE =+，即 222(2)4r r =-+． 解得 r =5．……………………………………………………………………4分∴ 在Rt △OAE 中，4tan 23AE OE ∠==．∴ 在Rt △OAD 中，420tan 2533AD OA =⋅∠=⨯=． ………………………5分22．解：（1）结论：自变量取1x ，2x 时函数值相等． ……………………………………1分 证明：∵ 11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线2y ax bx c =++上不同的两点，由题意得 21112222, ,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩且1x ≠2x ． ①-②，得 []221212121212()()()()y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++. ……………………………………………………………2分∵ 直线122x x x +=是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴， ∴ 1222x x bx a+==-. ∴ 12bx x a+=-.∴ []121212()()0y y x x a x x b -=-++=，即12y y =.………………3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而 没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵ 二次函数21y x bx =+-当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数21y x bx =+-的对称轴为直线20112x =. ∴ 201122b -=，2011b =-. ∴ 二次函数的解析式为220111y x x =--. …………………………………4分 ∵20112012(1)22+-=， 由（1）知，当x = 2012的函数值与1x =-时的函数值相等.∵ 当x =1-时的函数值为2(1)2011(1)12011--⨯--=，∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解：（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※ …………………………………………1分 ① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =. ………………………………………………………2分∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2.∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分 （阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分） ② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=.…………………4分 整理，得 1()21m k k m k+-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.……………………………………………5分（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .………6分当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………………6分 ∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.…………6分结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图6） 当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4. ∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根…………………………………………7分24.解：（1）抛物线2()y ax a c x c =-++与x 轴交点的横坐标是关于x 的方程ax （其中a ≠ 0，a ≠c ）的解.解得 11x =，2cx a=. ………………………………………………………… 1分 ∴ 抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)，(,0)ca .……………………………… 2分（2）抛物线2()y ax a c x c =-++的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c a a+--.∵ 经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-，22() ,42 , ()().a c a ck a a a c c k a a c a c c a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪∴-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分将其代入①、② 得 1 ,4201.ak k ⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 2a =-.∴ 所求抛物线的解析式为 222y x x =-+.…………………………………… 4分 （3）作PE ⊥x 轴于点E ， PF ⊥y 轴于点F .（如图7）抛物线222y x x =-+的顶点A 的坐标11(,)22， 点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,1).设点P 的坐标为(,)m n .∵ 点P 在x 轴上方的抛物线222y x x =-+上， ∴ 222n m m =-+，且0＜m ＜1，102n <<. ∴ tan PE n POB OE m ∠==，tan PF mPOC OF n∠==. ∵ 1tan tan 4POB POC ∠=∠， ∴ 224m n =.解得 m =2n ，或2m n =-（舍去）. ………………………………………………5分 将m =2n 代入222n m m =-+，得2830n n -=. 解得138n =，20n =（舍去）. ∴ 324m n ==. ∴ 点P 的坐标为33(,)48. …………………………………………………………6分 （4）N 关于n 的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分说明：二次函数222y x x =-+的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值，此时y 随x 的增大而减小，∴ 222n n --＜y ≤222n n -+，其中的整数有2221n n --+，2222n n --+，…222n n -+.22(22)(22)4N n n n n n =-+---=.25.（1）当''A B 边经过点B 时，α= 60 °； ………………………………………… 1分（2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4.（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）证明：① 当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）.（阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分）∵ DE ∥''A B ，∴ CD CE CA CB =''. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ，∠ACD=∠BCE . ∴CD CE CA CB =. ∴ △CAD ∽△CBE . ……………2分∴ ∠A =∠CBE=30°. ∵ 点D 在AB 边上，∠CBD=60°，∴ 2CBD CBE ∠=∠，即 m =2. ………………………………………3分② 当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）.与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 的延长线上，180120CBD CBA ∠=︒-∠=︒，∴ 4CBD CBE ∠=∠，即 m =4. ……………………………………4分（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣（3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A =30°，BC =1， ∴ AB = 2 ，AC=ABC S V . 由 △CAD ∽△CBE 得AD BE AC BC =. ∵ AD =x ，∴ 13BE =，3BE x =. ①当点D 在AB 边上时，AD =x ，2BD AB AD x =-=-，∠DBE=90°. 此时，2113323(2)22BDE x x x S S BD BE x -+==⨯=-⨯=V . 当S =13ABC S ∆时，23233x x -+=. 整理，得 2210x x -+=.解得 121x x ==，即AD =1.…………………5分此时D 为AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE .（如图10）∴ EC = EB .∵ ''90A CB ∠=︒，点E 在'CB 边上，∴ 圆心E 到'A C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6分②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，2BD x =-，∠DBE=90°.（如图9）.2113323(2)22BDE x x x S S BD BE x -==⨯=-⨯=V .当S =13ABC S ∆时，23233x x -=.整理，得 2210x x --=. 解得 112x =+，212x =-（负值，舍去）.即1+2AD =.……………………………………………………………… 7分此时∠BCE=α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°，∴ ∠CBE ＜∠BCE .∴ EC ＜EB ，即圆心E 到'A C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相交. ……………………………………………………8分图10。
(完整版)北京西城区2010-2011学年度期末试题九年级英语
北京市西城区2010—2011 学年度第一学期期末试卷九年级英语听力理解（共 24 分）一、听对话，从下边各题所给的A、 B、C 三幅图片中选择与对话内容符合的图片。
每段对话读两遍。
（共 4 分，每题 1 分）1.A. B. C.2.A. B. C.3.A. B. C.4.A. B. C.二、听对话或独白，依据对话或独白内容，从下边各题所给的选项中选择最正确选项。
每段对话或独白读两遍。
（共请听一段对话，达成第5至第 6小题。
A、 B、C 三个12 分，每题 1 分）5.What room does the woman want?A. A single room.B. A double room.C. A family room.6.How long will the woman stay there?A. Two days.B. Three days.C. Four days.请听一段对话，达成第7至第 8小题。
7.How will Peter go to Beijing?A. By car.B. By train.C. By plane.8.What does the woman think of travelling by train?A. Cheap and safe.B. A waste of time.C. Tiring.请听一段对话，达成第9 至第11 小题。
9.What’ s the man asking about?A.How to join the library.B.How to fill in a form.C.How to borrow records.10. What can’tbe taken out of the library?A. Magazines.B. Books.C. Newspapers.11. What can the man do if he wants to keep the books longer?A. Come to the library.B. Make a phone call.C. Send an email.请听一段对话，达成第12 至第 13 小题。
北京市西城区10—11上学期初三数学期末考试试卷答案
北京市西城区2010—2011学年度第一学期期末试卷(北区)九年级数学参考答案及评分标准 2011.1二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．3510．相交 11．(-，(1,-（每个2分） 12．②，④（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．解：26tan 3060cos 45︒︒-︒26322=⨯-- …………………… 3分3222=--122=-.…………………… 5分14．解：（1）Δ=42―4(3―a)=4+4a . …………………… 1分∵该方程有实数根， ∴4+4a ≥0. …………………… 2分 解得a ≥―1. …………………… 3分 （2）当a 为符合条件的最小整数时，a =―1. …………………… 4分此时方程化为x 2+4x +4=0，方程的根为x 1=x 2=―2. ………… 5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC =∴2sin 60ACAB ==︒，BC =1.………… 2分∵D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴BD =4，CD =5. …………………… 4分∴AD =…………………… 5分16．解：（1）∵抛物线经过A （－1，0），B （0，3）两点，∴103b c c --+=⎧⎨=⎩，…………………… 1分解得 23b c =⎧⎨=⎩.…………………… 2分∴抛物线的解析式为y =－x 2+2x +3. …………………… 3分 （2）∵抛物线y =－x 2+2x +3的顶点坐标为（1，4），∴平移后的抛物线的顶点坐标为（－2，3）.∴平移后的抛物线的解析式为y =―(x +2)2+3=―x 2―4x ―1. …… 5分17．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°，∴BD =AD =50（m ）. ……………… 2分 在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°，∴CD ==m ）.……………… 4分∴501)136.6(m)BC BD CD =+=+=≈.……………… 5分答：这栋楼高约136.6 m .18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为（1，0），（3，0），与y 轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，－1）； ……………… 3分（2……………… 4分图象如图3所示. ……………… 5分（3）t 的取值范围是－1≤t ＜8.四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．（1）证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C . ………… 1分∵∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ， ∠ADE =∠C ， ∴∠BDE =∠CAD . ………… 2分 ∴△BDE ∽△CAD . ………… 3分（2）解：由（1）得DB ACBE CD=. …………………… 4分∵AB =AC =5，BC =8，CD =2，D 为BC 上一点， ∴DB =BC －CD =6. ∴622.45DB CD BE AC ⨯⨯===.…………………… 5分20．解：（1）∠DCE =60°，点C 到直线l ，α=30°； …… 3分 （2）α=45°. …………………… 4分21．（1）证明：∵OD ⊥AC 于点E ，∴∠OEA =90°，∠1+∠2=90°. ∵∠D =∠BFC ，∠BFC =∠1， ∴∠D+∠2=90°，∠OAD =90°. ∴OA ⊥AD 于点A . ………… 1分 ∵OA 是⊙O 的半径， ∴AD 是⊙O 的切线. ………… 2分（2）解：∵OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC =8，∴42ACAE EC ===.…………………… 3分∵∠B =∠C ，1tan 2B =，∴1tan 2C =.∴在Rt △CEF 中，EF =EC ·tan C =2.设⊙O 的半径为r ，则OE =r －2.在Rt △OAE 中，由勾股定理得OA 2=OE 2+AE 2，即r 2=(r －2)2+42. 解得r =5. …………………… 4分 ∴在Rt △OAE 中，4tan 23AE OE ∠==. ∴在Rt △OAD 中，420tan 2533AD OA =⋅∠=⨯=. ………… 5分22．解：（1）猜想：y 1=y 2. …………………… 1分 证明：∵M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是抛物线y =ax 2+bx +c 上不同的两点，∴21112222,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩①②且x 1≠x 2. ①－②，得221212121212()()()[()]y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++.…………………… 2分∵直线122x x x +=为抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴， ∴1222x x b x a+==-. ∴12bx x a+=-.∴y 1―y 2=(x 1―x 2)[a (x 1+x 2)+b ]=0，即y 1=y 2.……………… 3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵二次函数y =x 2+bx －1当x =4时的函数值与x =2007时的函数值相等，∴由阅读材料可知二次函数y =x 2+bx －1图象的对称轴为直线20112x =. ∴201122b -=，b =－2011. ∴二次函数的解析式为y =x 2―2011x ―1. …………………… 4分∵20112012(1)22+-=， 由（1）知，当x =2012的函数值与x =－1时的函数值相等. ∵当x =―1时的函数值为(―1)2―2011×(―1)―1=2011， ∴当x =2012时的函数值为2011. …………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵k 为(m ―2)x 2―(m ―1)x +m =0的实数根，∴(m ―2)k 2―(m ―1)k +m =0. ※ …………………… 1分 ①当k=m 时，∵k 为非零实数根，∴m ≠0，方程※两边都除以m ，得(m ―2)m ―(m ―1)+1=0. 整理，得m 2―3m +2=0. 解得m 1=1，m 2=2. …………………… 2分 ∵(m ―2)x 2―(m ―1)x +m =0是关于x 的一元二次方程， ∴m ≠2.∴m =1. …………………… 3分（阅卷说明：写对m =1，但多出其他错误答案扣1分） ②∵k 为原方程的非零实数根，∴将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. …… 4分 整理，得1()21m k k m k+-=-. ∴1()254y m k k m k=+-+=+.…………………… 5分（2）解法一：Δ=[―(m ―1)]2―4m (m ―2)=―3m 2+6m +1=―3m (m ―2)+1.…… 6分当124m <<时，m ＞0，m －2＜0. ∴―3m (m ―2)＞0，―3m (m ―2)+1＞1＞0，Δ＞0.∴当124m <<时，此方程有两个不相等的实数根.………… 7分 解法二：直接分析124m <<时，函数y =(m ―2)x 2―(m ―1)x +m 的图象，∵该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交， ∴该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………… 6分 ∴当124m <<时，此方程有两个不相等的实数根. ………… 7分解法三：Δ=[―(m ―1)]2―4m (m ―2)=―3m 2+6m +1=―3(m ―1)2+4. …… 6分结合Δ=―3(m ―1)2+4关于m 的图象可知（如图6）， 当114m <≤时，37416<∆≤； 当1＜m ＜2时，1＜Δ＜4.∴当124m <<时，Δ＞0. ∴当124m <<时，此方程有两个不相等的实数根. …… 7分24．解：（1）抛物线y =ax 2―(a +c )x +c 与x 轴交点的横坐标是关于x 的方程ax 2―(a +c )x +c =0（其中a ≠0，a ≠c ）的解.解得x 1=1，2c x a=. …………………… 1分∴此抛物线与x 轴交点的坐标为（1，0），(,0)c a. ………… 2分（2）抛物线y =ax 2－(a +c )x +c 的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c a a+--. ∵经过此抛物线顶点A 的直线y =－x +k 与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-， ∴22()42()()a c a c k a a a c c k a a c a c c a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩①②③ 由③得c =0.…………………… 3分将其代入①、②得14201ak k⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得a =－2.∴所求抛物线的解析式为y =－2x 2+2x . …………………… 4分 （3）作PE ⊥x 轴于点E ，PF ⊥y 轴于点F （如图7）.抛物线y =－2x 2+2x 的顶点A 的坐标11(,)22， 点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，1）. 设点P 的坐标为（m ，n ）.∵点P 在x 轴上方的抛物线y =－2x 2+2x 上，∴n =－2m 2+2m ，且0＜m ＜1，102n <<. ∴tan PE n POB OE m ∠==，tan PF mPOC OF n ∠==. ∵1tan tan 4POB POC ∠=∠，∴m 2=4n 2.解得m =2n ，或m =―2n （舍去）. …………………… 5分将m =2n 代入n =―2m 2+2m ，得8n 2―3n =0. 解得138n =，n 2=0（舍去）.∴324m n ==. ∴点P 的坐标为33(,)48.…………………… 6分 （4）N 关于n 的函数关系式为N =4n .…………………… 7分说明：二次函数y =－2x 2+2x 的自变量x 在n ≤x ＜n +1（n 为正整数）的范围内取值，此时y 随x 的增大而减小， ∴―2n 2―2n ＜y ≤―2n 2+2n ，其中的整数有―2n 2―2n +1，―2n 2―2n+2，…，―2n 2+2n . N =(―2n 2+2n )―(―2n 2―2n )=4n .25．（1）当A 'B '边经过点B 时，α=60°； …………………… 1分（2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4.（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点） 证明：①当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）. （阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分） ∵DE ∥A 'B '，∴''CD CECA CB =. 由旋转性质可知，CA =CA '，CB =CB '，∠ACD =∠BCE . ∴CD CECA CB=. ∴△CAD ∽△CBE . …………… 2分 ∴∠A =∠CBE=30°.∵点D 在AB 边上，∠CBD =60°， ∴∠CBD =2∠CBE ，即m =2. …………………… 3分 ②当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）. 与①同理可得∠A =∠CBE =30°.∵点D 在AB 的延长线上，∠CBD =180°－∠CBA =120°， ∴∠CBD =4∠CBE ，即m =4. …………………… 4分 （阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣1分.） （3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =1，∴AB =2，AC =ABC S ∆=. 由△CAD ∽△CBE 得AD BEAC BC=. ∵AD =x ，1BE=，BE x =. ①当点D 在AB 边上时，AD =x ，BD =AB ―AD =2―x ，∠DBE =90°.此时，11(2)22BDES S BD BE x ∆==⨯=-=.当13ABC S S ∆==整理，得x 2－2x +1=0.解得x 1=x 2=1，即AD =1. …………… 5分此时D 为AB 中点，∠DCB =60°，∠BCE =30°=∠CBE （如图10）. ∴EC =EB .∵∠A 'CB '=90°，点E 在CB '边上，∴圆心E 到A 'C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB . ∴直线A 'C 与⊙E 相切. …………………… 6分 ②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，BD =x －2，∠DBE =90°（如图9）.211(2)2236BDES S BD BE x ∆-==⨯=-⨯=.当13ABC S S ∆==.整理，得x 2―2x ―1=0.解得11x =，21x =（负值，舍去）.即1AD =+…………………… 7分此时∠BCE =α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°，∴∠CBE ＜∠BCE .∴EC ＜EB ，即圆心E 到A 'C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB . ∴直线A 'C 与⊙E 相交. …………………… 8分。
北京西城区2010-2011学年度九年级语文上册期末试题及答案
北京西城区2010-2011学年度九年级语文上册期末试题及答案内容预览：北京市西城区2010-2011学年度第一学期期末试卷九年级语文2011．1考生须知1．本试卷共8页，共六道大题，23道小题。
满分120分。
考试时间150分钟。
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和学号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择。
下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意，选出答案后在答题卡上用铅笔把对应题目的选项字母涂黑涂满。
（共10分。
每小题2分）1．下列词语中加点字的读音完全正确的一项是A．鄙夷（bǐ）嗤笑（chī）气吞斗牛（dǒu）B．拮据（jù）亵渎（xiè）面面相觑（qù）C．汲取（jí）襁褓（qiáng）根深蒂固（dì）D．模式（mó）绰号（chuō）孜孜不倦（zī）2．对横线处选填汉字判断有误的一项是A．慢(怠，待)判断：“怠”有“轻慢，不恭敬”的意思，而“待”有“对待，招待”的意思，所以横线处应填“怠”。
B．挑(拣，捡)判断：“拣”有“挑选”的意思，而“捡”有“拾取”的意思，所以横线处应填“拣”。
C．记忆新(犹，尤)判断：“犹”有“还，尚且”的意思，而“尤”有“更，尤其”的意思，所以横线处应填“犹”。
D．因地宜(制，治)判断：“制”有“拟定，规定”的意思，而“治”有“治理”的意思，所以横线处应填“治”。
3．下列句子中加点词语运用有误的一项是A．我们只有充分发挥学习的主观能动性，才能举一反三，触类旁通，深刻理解和灵活运用所学知识。
B．他已经取得了优异的成绩，但仍刻苦学习，不懈追求，这种得陇望蜀的精神真值得我们学习。
西城区初三数学年月试题北区.doc
北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（ ）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°， 则∠BOC =（ ）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15° 3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都 是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan ∠ACB 的值为（）.A ．1B ．13C ．12 D ． 2 4．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．2(3)2y x =++B ．2(3)2y x =--C ．2(6)2y x =--D ．2(3)2y x =-+ 5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的 位似图形，则P 点的坐标是（ ）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-. 若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程 正确的是（ ）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切， 切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于，则扇形OCED 的面积等于（ ）.A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π 8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，P A 的中点为Q .当点Q 也落在 ⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（ ）.A ．12B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ， 若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 .11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA 为半径作⊙O 若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P 的坐标为 .12．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>； （3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．计算：26tan 3060cos45︒︒-︒． 14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60AC D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ． 求AD 的长．16．右图为抛物线cbxxy++-=2的一部分，它经过A(1,0)-，B(0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．17.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度.取1.414，1.732）18．对于抛物线243y x x=-+.（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程2430x x t-+-=（t为实数）在1-＜x＜72的范围内有解，则t的取值范围是．四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分）19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC= 8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转α角（090α︒<<︒），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE= °，点C到直线l的距离等于，α= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，α= °．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若AC=8，tan B =12，求AD 的长.22．请阅读下面材料：若10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下： 证明：∵ 10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点， 20112022 ,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩ 且 1x ≠2x . ∴221212()()0a x x b x x -+-=.①-②得∴ []1212()()0x x a x x b -++=. ∴ 12bx x a+=-. 又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a=-， ∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程； （2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ，① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.24. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）. （1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-， 求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标； （4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ， 则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3） 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.35. 10. 相交. 11.(-，(1,-.（每个2分） 12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分） 三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．解：26tan 3060cos45︒︒-︒ 26=⨯……………………………………………………………3分 322=- 12=……………………………………………………………………………5分14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分 解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分 （2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC ，∴ 2sin 60ACAB ==︒，BC =1．……………………2分 ∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分∴ AD =．……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴ 10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩……………………………………………………………1分解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩…………………………………………………………………2分 ∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分 （2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)，∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分17．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°，∴ BD =AD =50(m)． …………………………………………2分 在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°， ∴CD =． ………………………………4分 ∴ BC= BD+CD=50+1)136.6=≈(m)．……5分 答：这栋楼约高136.6 m ．18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)-； ………………………………………3分（2）列表：……………………………4分 图象如图3所示． ……………………………5分 （3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．……………………………1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ，∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ． ………………………………………………………2分 ∴ △BDE ∽△CAD ． ………………………………………………………3分 （2）解：由（1）得DB ACBE CD=．…………………………………………………………4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===．………………………………………………5分 20．解：（1）∠DCE = 60 °，点C 到直线lα= 30 °； …………………3分 （2）α= 45 °． ………………………………………………………………………4分21．（1）证明：∵ OD ⊥AC 于点E ， ∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°． ∵ ∠D=∠BFC ，∠BFC=∠1， ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．∴ OA ⊥AD 于点A ．………………………1分 ∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2分（2）解：∵ OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC=8，∴ 42ACAE EC ===．………………………………………………………3分 ∵ ∠B =∠C ，tan B =12，∴ 在Rt △CEF 中，∠CEF =90°，tan C =12．∴ tan 2EF EC C =⋅=．设⊙O 的半径为r ，则2OE r =-．在Rt △OAE 中，由勾股定理得 222OA OE AE =+，即 222(2)4r r =-+． 解得 r =5．……………………………………………………………………4分∴ 在Rt △OAE 中，4tan 23AE OE ∠==．∴ 在Rt △OAD 中，420tan 2533AD OA =⋅∠=⨯=． ………………………5分22．解：（1）结论：自变量取1x ，2x 时函数值相等． ……………………………………1分 证明：∵ 11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线2y ax bx c =++上不同的两点，由题意得 21112222, ,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩且1x ≠2x ． ①-②，得 []221212121212()()()()y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++. ……………………………………………………………2分∵ 直线122x x x +=是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴， ∴ 1222x x bx a+==-. ∴ 12bx x a+=-.∴ []121212()()0y y x x a x x b -=-++=，即12y y =.………………3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而 没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵ 二次函数21y x bx =+-当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数21y x bx =+-的对称轴为直线20112x =. ∴ 201122b -=，2011b =-. ∴ 二次函数的解析式为220111y x x =--. …………………………………4分 ∵20112012(1)22+-=， 由（1）知，当x = 2012的函数值与1x =-时的函数值相等.∵ 当x =1-时的函数值为2(1)2011(1)12011--⨯--=，∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解：（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※ …………………………………………1分 ① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =. ………………………………………………………2分∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2.∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分 （阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分） ② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=.…………………4分 整理，得 1()21m k k m k+-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.……………………………………………5分（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .………6分当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………………6分 ∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.…………6分结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图6） 当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4. ∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根…………………………………………7分24.解：（1）抛物线2()y ax a c x c =-++与x 轴交点的横坐标是关于x 的方程ax （其中a ≠ 0，a ≠c ）的解.解得 11x =，2cx a=. ………………………………………………………… 1分 ∴ 抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)，(,0)ca .……………………………… 2分（2）抛物线2()y ax a c x c =-++的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c a a+--.∵ 经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-，22() ,42 , ()().a c a ck a a a c c k a a c a c c a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪∴-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分将其代入①、② 得 1 ,4201.ak k ⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 2a =-.∴ 所求抛物线的解析式为 222y x x =-+.…………………………………… 4分 （3）作PE ⊥x 轴于点E ， PF ⊥y 轴于点F .（如图7）抛物线222y x x =-+的顶点A 的坐标11(,)22， 点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,1).设点P 的坐标为(,)m n .∵ 点P 在x 轴上方的抛物线222y x x =-+上， ∴ 222n m m =-+，且0＜m ＜1，102n <<. ∴ tan PE n POB OE m ∠==，tan PF mPOC OF n∠==. ∵ 1tan tan 4POB POC ∠=∠， ∴ 224m n =.解得 m =2n ，或2m n =-（舍去）. ………………………………………………5分将m =2n 代入222n m m =-+，得2830n n -=. 解得138n =，20n =（舍去）. ∴ 324m n ==. ∴ 点P 的坐标为33(,)48. …………………………………………………………6分 （4）N 关于n 的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分说明：二次函数222y x x =-+的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值，此时y 随x 的增大而减小，∴ 222n n --＜y ≤222n n -+，其中的整数有2221n n --+，2222n n --+，…222n n -+.22(22)(22)4N n n n n n =-+---=.25.（1）当''A B 边经过点B 时，α= 60 °； ………………………………………… 1分（2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4.（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）证明：① 当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）.（阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分）∵ DE ∥''A B ，∴ CD CE CA CB =''. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ，∠ACD=∠BCE . ∴CD CE CA CB =. ∴ △CAD ∽△CBE . ……………2分∴ ∠A =∠CBE=30°. ∵ 点D 在AB 边上，∠CBD=60°，∴ 2CBD CBE ∠=∠，即 m =2. ………………………………………3分② 当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）.与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 的延长线上，180120CBD CBA ∠=︒-∠=︒，∴ 4CBD CBE ∠=∠，即 m =4. ……………………………………4分（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣（3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A =30°，BC =1， ∴ AB = 2 ，AC =ABC S. 由 △CAD ∽△CBE 得AD BE AC BC =. ∵ AD =x ，∴1BE =，BE =. ①当点D 在AB 边上时，AD =x ，2BD AB AD x =-=-，∠DBE=90°.此时，11(2)22BDE S S BD BE x ==⨯=-=. 当S =13ABC S ∆=. 整理，得 2210x x -+=.解得 121x x ==，即AD =1.…………………5分 此时D 为AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE .（如图10） ∴ EC = EB .∵ ''90A CB ∠=︒，点E 在'CB 边上，∴ 圆心E 到'A C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6分 ②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，2BD x =-，∠DBE=90°.（如图9）.11(2)22BDE S S BD BE x ==⨯=-. 当S =13ABC S ∆=. 整理，得 2210x x --=.解得11x =+21x =.即AD =……………………………………………………………… 7分 此时∠BCE=α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°，∴ ∠CBE ＜∠BCE .∴ EC ＜EB ，即圆心E 到'A C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相交. ……………………………………………………8分。
2011-西城区期末
北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（ ）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（ ）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ）.A ．1B ．13C ．12 D ． 224．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．2(3)2y x =++B ．2(3)2y x =--C ．2(6)2y x =--D ．2(3)2y x =-+5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），若 它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（ ）.A ．(4,3)--B ．(3,3)--C ．(4,4)--D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切，切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于23，则扇形OCED 的面积等于（ ）. A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，P A 的中点为Q .当点Q 也落在⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（ ）.A ．12B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ， 若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 . 11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA 为半径作⊙O ，若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P 的坐标为 .12．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>； （3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分） 13．计算：26tan 303sin60cos45︒-︒-︒．14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC =3，D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ．求AD 的长．16．右图为抛物线c bx x y ++-=2的一部分，它经过A (1,0)-，B (0,3)两点． （1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 求平移后的抛物线的解析式．17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为50m ，求这栋楼的高度.（2取1.414，3取1.732）18．对于抛物线 243y x x =-+.（1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=（t 为实数）在1-＜x ＜72的范围内有 解，则t 的取值范围是 ．x … …y … …四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8，D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ． （1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD 和矩形EFGH 如图1所示摆放在直线l 上，DE =2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转α角（090α︒<<︒） ，将矩形EFGH 绕点E 逆时针旋转相同的角度． （1）当两个矩形旋转到顶点C ，F 重合时（如图2），∠DCE = °，点C 到直线l 的距离等于 ，α= °； （2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD 和矩形EFGH 重合部分为正方形时，α= °．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC .（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC=8，tan B =12，求AD 的长.22．请阅读下面材料：若10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线122x x x += 为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下：证明：∵ 10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，∴ 20112022 , ,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩ 且 1x ≠2x .①-②得 221212()()0a x x b x x -+-=.∴ []1212()()0x x a x x b -++=. ∴ 12b x x a+=-.又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a=-， ∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程； （2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.\①②五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ，① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式； （2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.24. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）. （1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-， 求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标； （4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ， 则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE . （1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °； （2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3） 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBDAABC二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9.35. 10. 相交. 11. (1,3)-，(1,3)--.（每个2分） 12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分） 三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分） 13．解： 26tan 303sin60cos45︒-︒-︒ 23326()3322=⨯-⨯-……………………………………………………………3分 32222=--1222=-. ……………………………………………………………………………5分14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分 解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分 （2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC =3， ∴ 2sin 60ACAB ==︒，BC =1．……………………2分 ∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分∴ 2227AD CD AC =+=．……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴ 10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩……………………………………………………………1分解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩ …………………………………………………………………2分∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分 （2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)， ∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分图117．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°，∴ BD =AD =50(m)． …………………………………………2分 在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°， ∴ 3503CD AD ==(m) ． ………………………………4分 ∴ BC= BD+CD =50503+50(31)136.6=+≈(m)．……5分 答：这栋楼约高136.6 m ．18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)-； ………………………………………3分（2）列表：……………………………4分图象如图3所示． ……………………………5分 （3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．……………………………1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ，∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ． ………………………………………………………2分 ∴ △BDE ∽△CAD ． ………………………………………………………3分 （2）解：由（1）得DB ACBE CD=．…………………………………………………………4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===． ………………………………………………5分 20．解：（1）∠DCE = 60 °，点C 到直线l 的距离等于3，α= 30 °； …………………3分 （2）α= 45 °． ………………………………………………………………………4分21．（1）证明：∵ OD ⊥AC 于点E ， ∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°． ∵ ∠D=∠BFC ，∠BFC=∠1， ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°． ∴ OA ⊥AD 于点A ．………………………1分 ∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2分 （2）解：∵ OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC=8，∴ 42ACAE EC ===．………………………………………………………3分∵ ∠B =∠C ，tan B =12，x … 0 1 2 3 4 …y … 3 0 -1 0 3 …图4 图3图2图5∴ 在Rt △CEF 中，∠CEF =90°，tan C =12．∴ tan 2EF EC C =⋅=． 设⊙O 的半径为r ，则2OE r =-．在Rt △OAE 中，由勾股定理得 222OA OE AE =+，即 222(2)4r r =-+． 解得 r =5．……………………………………………………………………4分∴ 在Rt △OAE 中，4tan 23AE OE ∠==．∴ 在Rt △OAD 中，420tan 2533AD OA =⋅∠=⨯=． ………………………5分22．解：（1）结论：自变量取1x ，2x 时函数值相等． ……………………………………1分 证明：∵ 11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线2y ax bx c =++上不同的两点，由题意得 21112222 ,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩ 且1x ≠2x ． ①-②，得 []221212121212()()()()y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++.……………………………………………………………2分∵ 直线122x x x +=是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴， ∴ 1222x x bx a+==-. ∴ 12bx x a+=-.∴ []121212()()0y y x x a x x b -=-++=，即12y y =.………………3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而 没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵ 二次函数21y x bx =+-当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数21y x bx =+-的对称轴为直线20112x =. ∴ 201122b -=，2011b =-.∴ 二次函数的解析式为220111y x x =--. …………………………………4分 ∵20112012(1)22+-=， 由（1）知，当x = 2012的函数值与1x =-时的函数值相等. ∵ 当x =1-时的函数值为2(1)2011(1)12011--⨯--=，∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解：（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，① ②∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※ …………………………………………1分 ① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =. ………………………………………………………2分∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2.∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分 （阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分） ② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=.…………………4分 整理，得 1()21m k k m k+-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.……………………………………………5分（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .………6分当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0. ∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………………6分∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.…………6分结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图6） 当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4； 当1＜m ＜2时，1＜∆＜4. ∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.…………………………………………7分24.解：（1）抛物线2()y ax a c x c =-++与x 轴交点的横坐标是关于x 的方程2()0ax a c x c -++=（其中a ≠ 0，图6a ≠c ）的解.解得 11x =，2cx a=. ………………………………………………………… 1分 ∴ 抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)，(,0)ca.……………………………… 2分（2）抛物线2()y ax a c x c =-++的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c a a+--.∵ 经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-， 22() ,42 ,()().a c a ck a a a c c k a a c a c c a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪∴-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分将其代入①、② 得 1 ,4201.ak k ⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 2a =-.∴ 所求抛物线的解析式为 222y x x =-+.…………………………………… 4分 （3）作PE ⊥x 轴于点E ， PF ⊥y 轴于点F .（如图7）抛物线222y x x =-+的顶点A 的坐标11(,)22，点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,1). 设点P 的坐标为(,)m n .∵ 点P 在x 轴上方的抛物线222y x x =-+上， ∴ 222n m m =-+，且0＜m ＜1，102n <<. ∴ tan PE n POB OE m ∠==，tan PF mPOC OF n∠==. ∵ 1tan tan 4POB POC ∠=∠，∴ 224m n =.解得 m =2n ，或2m n =-（舍去）. ………………………………………………5分 将m =2n 代入222n m m =-+，得2830n n -=. 解得138n =，20n =（舍去）.∴ 324m n ==. ∴ 点P 的坐标为33(,)48. …………………………………………………………6分（4）N 关于n 的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分说明：二次函数222y x x =-+的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值，此时y 随x① ② ③图7的增大而减小，∴ 222n n --＜y ≤222n n -+，其中的整数有2221n n --+，2222n n --+，…222n n -+.22(22)(22)4N n n n n n =-+---=.25.（1）当''A B 边经过点B 时，α= 60 °； ………………………………………… 1分 （2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4.（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）证明：① 当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）.（阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分） ∵ DE ∥''A B ，∴CD CECA CB =''. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ，∠ACD=∠BCE .∴CD CECA CB=. ∴ △CAD ∽△CBE . ……………2分∴ ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 边上，∠CBD=60°，∴ 2CBD CBE ∠=∠，即 m =2. ………………………………………3分 ② 当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）.与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 的延长线上，180120CBD CBA ∠=︒-∠=︒，∴ 4CBD CBE ∠=∠，即 m =4. ……………………………………4分 （阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣1分.）（3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A =30°，BC =1， ∴ AB = 2 ，3AC =，32ABC S =. 由 △CAD ∽△CBE 得 AD BEAC BC=. ∵ AD =x ， ∴13xBE=，33BE x =. ①当点D 在AB 边上时，AD =x ，2BD AB AD x =-=-，∠DBE=90°.此时，2113323(2)2236BDEx x x S S BD BE x -+==⨯=-⨯= . 当S =13ABC S ∆时，2323366x x -+=.整理，得 2210x x -+=.解得 121x x ==，即AD =1.…………………5分此时D 为AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE .（如图10）∴ EC = EB .∵ ''90A CB ∠=︒，点E 在'CB 边上， ∴ 圆心E 到'A C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB .图9 图8图10∴ 直线'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6分 ②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，2BD x =-，∠DBE=90°.（如图9）. 2113323(2)2236BDEx x xS S BD BE x -==⨯=-⨯= . 当S =13ABC S ∆时，2323366x x -=. 整理，得 2210x x --=.解得 112x =+，212x =-（负值，舍去）.即1+2AD =.……………………………………………………………… 7分 此时∠BCE=α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°，∴ ∠CBE ＜∠BCE .∴ EC ＜EB ，即圆心E 到'A C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB . ∴ 直线'A C 与⊙E 相交. ……………………………………………………8分。
西城区学年度第一学期初三期末数学试题及答案北区
西城区学年度第一学期初三期末数学试题及答案北区Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（ ）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°， 则∠BOC =（ ）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15° 3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都 是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ）.A ．1B ．13C ．12D ．2 4．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ）.A ．2(3)2y x =++B ．2(3)2y x =--C ．2(6)2y x =--D ．2(3)2y x =-+ 5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到111A B C （顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中位似图形，则P 点的坐标是（ ）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-. 若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程 正确的是（ ）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于OCED 的面积等于（ ）. A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆OB 为半径的圆上运动，PA 的中点为Q .当点Q 也落在 ⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（ ）. A ．12B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E 若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 .11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA O ，若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P的坐标为 .12．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <； ②0c >；③0a b c ++<；④43cc a <<，其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分） 13．计算：26tan 303sin 60cos45︒︒-︒． 14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC 3D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ． 求AD 的长．16．右图为抛物线c bx x y ++-=2的一部分，它经过A (1,0)-，B (0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 求平移后的抛物线的解析式．17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球与高 楼的水平距离AD 为50m ，求这栋楼的高度.2取，3取）18．对于抛物线 243y x x =-+.（1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=（t 为实数）在1-＜x ＜72的范围内有 解，则t 的取值范围是 ．四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8，∠ADE =∠C ．D ，E 分别为BC ，AB 边上一点， （1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD 和矩形EFGH 如图1所示摆放在直线l 上，DE =2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转α角（090α︒<<︒） ，将矩形EFGH 绕点E 逆时针旋转相同的角度． （1）当两个矩形旋转到顶点C ，F 重合时（如图2），∠DCE = °，点C 到直线l 的距离等于 ，α= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD 和矩形EFGH 重合部分为正方形时，．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若AC=8，tan B =12，求AD 的长.22．请阅读下面材料：若10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线122x x x += 为此抛物线的对称轴.有一种方法证明如下：证明：∵ 10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，∴ 20112022 ,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩1x ≠2x . ①-②得 221212()()0a x x b x x -+-=. ∴ []1212()()0x x a x x b -++=. ∴ 12b x x a+=-.又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a=-， ∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程； （2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ，① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式； （2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 24. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）.（1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a+-， 求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标；（4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ， 则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3） 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）9.35.10. 相交. 11. (-，(1,-.（每个2分）12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分） 三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分） 13．解： 26tan 3060cos45︒︒-︒ 26=⨯3分 322=- 12=. ……………………………………………………………………………5分 14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分 解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分 （2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC∴ 2sin 60ACAB ==︒，BC =1．……………………2分 ∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分 ∴ AD =．……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴ 10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩……………………………………………………………1分解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩ …………………………………………………………………2分 ∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分 （2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)，∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分17．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°， ∴ BD =AD =50(m)． …………………………………………2分 在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°， ∴ 3503CD AD ==(m) ． ………………………………4分 ∴ BC= BD+CD =50503+50(31)136.6=+≈(m)．……5分 答：这栋楼约高136.6 m ．18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)-； ………………………………………3分（2）列表：……………………………4分图象如图3所示． ……………………………5分 （3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分） 19．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．……………………………1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ， ∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ． ………………………………………………………2分 ∴ △BDE ∽△CAD ． ………………………………………………………3分 （2）解：由（1）得DB ACBE CD=．…………………………………………………………4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2，x … 0 1 2 3 4 …y … 3 0 -1 0 3 …图4图3图2∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===． ………………………………………………5分 20．解：（1）∠DCE = 60 °，点C 到直线l 的距离等于3，α= 30 °； …………………3分（2）α= 45 °． ………………………………………………………………………4分21．（1）证明：∵ OD ⊥AC 于点E ，∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°． ∵ ∠D=∠BFC ，∠BFC=∠1， ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．∴ OA ⊥AD 于点A ．………………………1分 ∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2分 （2）解：∵ OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC=8，∴ 42ACAE EC ===．………………………………………………………3分 ∵ ∠B =∠C ，tan B =12，∴ 在Rt △CEF 中，∠CEF =90°，tan C =12．∴ tan 2EF EC C =⋅=．设⊙O 的半径为r ，则2OE r =-．在Rt △OAE 中，由勾股定理得 222OA OE AE =+，即 222(2)4r r =-+．解得 r =5．……………………………………………………………………4分∴ 在Rt △OAE 中，4tan 23AE OE ∠==．∴ 在Rt △OAD 中，420tan 2533AD OA =⋅∠=⨯=． ………………………5分22．解：（1）结论：自变量取1x ，2x 时函数值相等． ……………………………………1分 证明：∵ 11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线2y ax bx c =++上不同的两点，由题意得 21112222 ,,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩ 且1x ≠2x ． ①-②，得 []221212121212()()()()y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++. ……………………………………………………………2分∵ 直线122x x x +=是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴， ∴ 1222x x bx a+==-. ∴ 12bx x a+=-.∴ []121212()()0y y x x a x x b -=-++=，即12y y =.………………3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而① 图5没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵ 二次函数21y x bx =+-当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数21y x bx =+-的对称轴为直线20112x =. ∴ 201122b-=，2011b =-. ∴ 二次函数的解析式为220111y x x =--. …………………………………4分 ∵ 20112012(1)22+-=， 由（1）知，当x = 2012的函数值与1x =-时的函数值相等.∵ 当x =1-时的函数值为2(1)2011(1)12011--⨯--=，∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解：（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※ …………………………………………1分① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =. ………………………………………………………2分∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2.∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分）② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0m m k m k ---+=.…………………4分 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.……………………………………………5分（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .………6分当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分 解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………………6分∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.…………6分结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图6） 当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2…………………………………………7分 24.解：（1）抛物线2()y ax a c x c =-++与x 轴交点的横坐标是关于x 的方程2()0ax a c x c -++=（其中a ≠ 0，a ≠c ）的解.解得 11x =，2cx a =. ………………………………………………………… 1分∴ 抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)，(,0)ca .……………………………… 2分（2）抛物线2()y ax a c x c =-++的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c a a +--.∵ 经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a cB c a +-，22() ,42 , ()().a c a c k a aa c c k aa c a cc a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪∴-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩ 由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分将其代入①、② 得 1 ,42 01.a k k ⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 2a =-.∴ 所求抛物线的解析式为 222y x x =-+.…………………………………… 4分（3）作PE ⊥x 轴于点E ， PF ⊥y 轴于点F .（如图7抛物线222y x x =-+的顶点A 的坐标11(,)22，点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,1).设点P 的坐标为(,)m n .∵ 点P 在x 轴上方的抛物线222y x x =-+上，∴ 222n m m =-+，且0＜m ＜1，102n <<.∴ tan PE n POB OE m ∠==，tan PF m POC OF n∠==. ∵ 1tan tan 4POB POC ∠=∠，∴ 224m n =.解得 m =2n ，或2m n =-（舍去）. ………………………………………………5分 将m =2n 代入222n m m =-+，得2830n n -=.解得138n =，20n =（舍去）.∴ 324m n ==.∴ 点P 的坐标为33(,)48. …………………………………………………………6分（4）N 关于n 的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分说明：二次函数222y x x =-+的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值，此时y随x 的增大而减小，∴ 222n n --＜y ≤222n n -+，其中的整数有2221n n --+，2222n n --+，…222n n -+.22(22)(22)4N n n n n n =-+---=.25.（1）当''A B 边经过点B 时，α= 60 °； ………………………………………… 1分（2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4. （阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点） 证明：① 当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）.（阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分）∵ DE ∥''A B ，∴ CD CE CA CB =''. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ，∠ACD=∠BCE .∴ CD CE CA CB=. ∴ △CAD ∽△CBE . ……………2分∴ ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 边上，∠CBD=60°，∴ 2CBD CBE ∠=∠，即 m =2. ………………………………………3分② 当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）.与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 的延长线上，180120CBD CBA ∠=︒-∠=︒，∴ 4CBD CBE ∠=∠，即 m =4. ……………………………………4分（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣1分.）（3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A =30°，BC =1，∴ AB = 2 ，3AC =，3ABC S=. 由 △CAD ∽△CBE 得AD BE AC BC=. ∵ AD =x ，∴ 13BE =，3BE x =. ①当点D 在AB 边上时，AD =x ，2BD AB AD x =-=-，∠DBE=90°. 此时，2113323(2)22BDE x x x S S BD BE x -+==⨯=-⨯=. 图9 图8当S =13ABC S ∆.整理，得 2210x x -+=.解得 121x x ==，即AD =1.…………………5分此时D 为AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE .（如图10） ∴ EC = EB .∵ ''90A CB ∠=︒，点E 在'CB 边上，∴ 圆心E 到'A C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6分 ②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，2BD x =-，∠DBE=90°.（如图9）.11(2)22BDE S S BD BE x ==⨯=-.当S =13ABC S ∆.整理，得 2210x x --=.解得 11x =+21x =-.即AD =……………………………………………………………… 7分 此时∠BCE=α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°，∴ ∠CBE ＜∠BCE .∴ EC ＜EB ，即圆心E 到'A C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB . ∴ 直线'A C 与⊙E 相交. ……………………………………………………8分。
北京市西城区2010—2011学年度第一学期期末(语文)附答案
北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷第一部分（27分）一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。
1．下列词语中，字形和加点的字的读音全都正确．．．．的一项是A．煞风景英雄倍出挟．（xiá）制命运多舛．（chuǎn）B．舶来品貌和神离纰．（pī）漏不着．（zháo）边际C．协奏曲鞭辟入里混．（hùn）淆西学东渐．（jiān）D．度难关铤而走险慰藉．（jí）铩．（shā）羽而归2．下列句子中，加点的成语使用恰当．．的一项是A．近年很多名牌大学毕业生，除了书本知识外便身无长物．．．．，被认为缺乏一技之长而在现代职场中难以立足。
B．中华民族园中风姿绰约．．．．的民族歌舞表演，令来自世界各地的游客们如醉如痴，给大家留下了美好的印象。
C．国际社会纷纷要求中国运用对朝鲜的影响力促使这个国家冷静下来，以避免其与韩国在冲突中两败俱伤．．．．。
D．上海世博会会徽，形似汉字“世”，并与数字“2010”一拍即合．．．．，充分反映了多元文化相融合的办会理念。
3．下列句子中，没有．．语病的一项是A．中华民族是文化遗产历史悠久的证明，我们应当秉持对古代文明成果的珍惜。
B．如何在肯定草根文化的同时，不过分鼓吹偶像崇拜，是值得媒体深思的问题。
C．近年来中国已建成世界上最大的高铁网，目前正在加快高铁设备的出口规模。
D．第16届亚运会在广州隆重举行，各大报纸都关于亚运会开幕式作了详细报道。
4．下列有关文学常识的表述，有错误．．．的一项是A．先秦诸子散文长于论说，如《孟子》《庄子》《荀子》等；先秦历史散文则长于叙事，如《左传》《国语》《战国策》等。
B．中国古代戏曲主要指元杂剧和明清传奇。
关汉卿的《窦娥冤》和王实甫的《西厢记》是元杂剧最高艺术成就的代表。
C．“五四”以后，新诗发展渐入高潮，创作日渐丰富且风格日渐多样，其中“雨巷诗人”戴望舒和抒情诗人徐志摩享有盛名。
D．美国作家欧·亨利是十九世纪世界短篇小说巨匠之一，其代表作有《麦琪的礼物》《警察和赞美诗》《羊脂球》等。
北京市西城区2010-2011学年度第一学期期末考试九年级语文试卷
答。
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择。下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意，选出答案后
在答题卡上用铅笔把对应题目的选项字母涂黑涂满。（共10分。每小题2
分）
1．下列词语中加点字的读音完全正确的一项是
A．鄙夷（bǐ）嗤笑（chī）气吞斗牛（dǒu）
阅读《出师表》（节选），完成第11～14题。
臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不
以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂
许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有
一年矣。
先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付
北京市西城区2010-2011学年度第一学期期末考试九
年级语文试卷
北京市西城区2010-2011学年度第一学期期末试卷
九年级语文2011．1
学校姓名学号
考生须知
1．本试卷共8页，共六道大题，23道小题。满分120分。考试时间150
分钟。2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和学号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
工作的借鉴，才能不断进步。
4．下面语段中的句子没有语病的一句是
（A）地球上的森林担负着从大气层中吸收二氧化碳并以植物形式将其储
存起来的重要使命。（B）通过砍伐树木会导致大量二氧化碳释放在大气中，
加速全球变暖。（C）安第斯山脉和亚马孙河流域的森林，具有碳储藏量巨
大、生物多样性广泛。（D）优先保护这些地区的森林关系到能否保护我们的
房，暂住一段时间。
北京市西城区2010 - 2011学年度九年级物理第一学期期末试卷 人教新课标版
北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）2011.1一、单项选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意。
共24分，每小题2分）1．在国际单位制中，电压的单位是A ．安培（A ）B ．伏特（V ）C ．欧姆（ ）D ．瓦特(W) 2．下列物品中，在通常情况下属于绝缘体的是A ．橡皮B ．铅笔芯C ．食盐水D ．钢勺 3．图1所示的家用电器中，利用电流热效应工作的是4．下列关于电流和电压的说法中，正确的是 A ．正、负电荷定向移动都会形成电流 B ．电路中的电流是形成电压的原因 C ．自由电荷定向移动的方向为电流方向 D ．电路两端有电压，电路中就一定有电流5．由同种材料制成的AB 和BC 两段导体，它们的长度相同，AB 的横截面积比BC 的小，将它们按照图2所示的方式串联在电路中，不计温度的影响，下列判断正确的是 A ．两段导体的电阻值：R AB ＝R BC B ．两段导体的电阻值：R AB ＜R BC C ．两段导体两端的电压：U AB ＞U BC D ．通过两段导体的电流：I AB ＜I BC6．下列有关温度、内能和热量的说法中，正确的是A ．物体吸收了热量，温度一定升高B ．物体的温度升高，一定吸收了热量C ．物体的内能增加，温度一定升高D ．内能是物体内所有分子动能和势能的总和图17．下列事例中，利用做功的方式使物体（加“ ”的字）内能增加的是A．捂热水袋的手．变暖B．用锯子锯木头，锯条．．的温度升高C．放进热汤中的金属汤勺．．．．变得烫手 D．炽热的金属片插入水中后，水．温升高8．图3为四冲程汽油机工作过程中各冲程的示意图，其中表示做功冲程的是9．下列有关家庭电路和安全用电的说法中，正确的是A．家庭电路中的空气开关与插座是并联的B．使用试电笔测火线时，手指千万不能碰到笔尖C．经验证明，只有36V的电压对人体才是安全的D．家庭电路中只有发生短路，才会使电路中的电流过大10．有一种带开关指示灯的插座，当开关断开时，指示灯不亮，插座不带电；当开关闭合时，指示灯亮，插座有电。
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北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷九年级数学 2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（ ）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =-2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（ A ．60° B ．45° C ．30° D ．15°3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（）. A ．1 B ．13C ．12 D ． 2 4．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（ ）. A ．2(3)2y x =++错误!未找到引用源。
B ．2(3)2y x =-- 错误!未找到引用源。
C ．2(6)2y x =--错误!未找到引用源。
D ．2(3)2y x =-+错误!未找到引用源。
5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C 若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（ ）.A ．(4,3)--B ．(3,3)--C ．(4,4)--D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切，切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于则扇形OCED 的面积等于（ A ．23π错误!未找到引用源。
B ．43π错误!未找到引用源。
C ．83π错误!未找到引用源。
D ．163π错误!未找到引用源。
8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，PA 的中点为Q .当点Q 也落在⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（ ）.A ．12B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ，若AD =2，CD =3，则△CDE与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 .11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA 为半径作⊙O ，若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P 的坐标 为 .12．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <；②0c >；③0a b c ++<；④43c c a <<，其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．计算：26tan 303sin 60cos45︒︒-︒．14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC 3D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ．求AD 的长．16．右图为抛物线c bx x y ++-=2的一部分，它经过A (1,0)-，B (0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B 的仰角为45°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为50m ，求这栋楼的高度.2取1.4141.732）18．对于抛物线243y x x=-+.（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程2430x x t-+-=（t为实数）在1-＜x＜72的范围内有解，则t的取值范围是．四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分）19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC= 8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转α角（090α︒<<︒），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE= °，点C到直线l的距离等于，α= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，α= °．21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan B =12，求AD的长.22．请阅读下面材料：若10(,)A x y 错误!未找到引用源。
，20(,)B x y 错误!未找到引用源。
是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）错误!未找到引用源。
上不同的两点，证明直线122x x x +=错误!未找到引用源。
为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下：证明：∵ 错误!未找到引用源。
是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）错误!未找到引用源。
上不同的两点，∴ 20112022 , ,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩且 1x ≠2x .错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
①-②得 221212()()0a x x b x x -+-=. ∴ []1212()()0x x a x x b -++=.错误!未找到引用源。
∴ 12b x x a +=-错误!未找到引用源。
.又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a =-错误!未找到引用源。
， ∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果11(,)M x y 错误!未找到引用源。
，22(,)N x y 错误!未找到引用源。
是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）错误!未找到引用源。
上不同的两点，直线122x x x +=错误!未找到引用源。
为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程； （2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 错误!未找到引用源。
当x = 4错误!未找到引用源。
时的函数值与x= 2007错误!未找到引用源。
时的函数值相等，求x = 2012错误!未找到引用源。
时的函数值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ，① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k +-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.24. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）.（1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a c B c a+-， 求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标； （4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ， 则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3） 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2011.1二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.35.10. 相交. 11. (-，(1,-.（每个2分） 12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．解： 26tan 3060cos45︒︒-︒26=⨯……………………………………………………………3分 322=- 12=……………………………………………………………………………5分14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分 解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分（2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分 此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC ，∴ 2sin 60AC AB ==︒，BC =1．……………………2分 ∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分 ∴ AD =．……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴ 10, 3.b c c --+=⎧⎨=⎩……………………………………………………………1分 解得 2, 3.b c =⎧⎨=⎩ …………………………………………………………………2分 ∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分（2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)，∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分。