2018年四川省成都市石室中学高二上学期数学期中试卷和解析(文科)
四川省成都市2017-2018学年高二数学上学期期中试题文
2017-2018学年度高二上半期考试数学试题（文科）注意事项：1 •本试卷分第I 卷和第n 卷两个部分。
2.本堂考试120分钟，满分150分。
3 •答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。
4 •考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。
第1卷（60分）一.选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）。
1.设命题 p ： n • N, n 2 • 2n ,则—p 为（） A. ~nN, n 2 2nB.T n N ,n 2 _ 2nC •-n N , n 2 _ 2n D. T n N ,n 2 = 2n13. "m "是直线（m 2）x 3my 1 =0 与直线（m-2）x （m 2）y-3 = 0 相互垂直 2的（） A.充要条件 B. 充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.过点A （1,-1）, B （-1,1）且圆心在直线x ，y-2 = 0上的圆的方程为（ ）A. (x -3)2 • (y 1)2 = 4 B .(x 3)2 (y -1)2 = 4 C.(x -1)2 (y -1)2=4 D .(x 1)2(y 1)^45.已知曲线C 上的动点M (x, y ),向量a = (x + 2, y)和b = (x — 2, y)满足忖+|耳=6,2.抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是（ A .1716 B.15C.7168 D.则曲线 C 的离心率是（)A 2B.C.A..333D.2 26.已知双曲线C :务-每=1a b（a 0,b 0）的离心率为—，则C 的渐近线方程为（2A. y xB.4C. y= S2D. y -x7. 已知两定点 A （_2,0）, B （1,0）,如果动点P 满足PA=2PB ，则点P 的轨迹所表示的图形的 面积等于（）A .二B.4二C.8二D.9'：8. 已知双曲线E 的中心为原点，F （3,0）是E 的焦点，过点F 的直线I 与E 相交于 代B 两点, 且AB 的中点为N （_12, 一15）,则E 的方程为（ ）A .2x 2_y =12 2B.xy=1364222 2C .x _y =1D.xy=163549.有下 '列匹1个命题：① 右 x y = 0 ,则x, y 互为相反数”的逆命题 ②“若a b ，则a 2 b 2”的逆否命题； ③ “若x _ -3，则x 2 • x 「6 0”的否命题； ④ “若a b 是无理数，则a 、b 是无理数”的逆命题. 其中真命题的个数是： （）A.0B.1C.2D.310. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（第10题图11.已知两定点 A （ -2,0）和B （2,0），动点P （x, y ）在直线l : y = x • 3上移动，椭圆C 以代B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（）A26A. -13c2転 厂 2曲3 f4用 B.C.D.131313A. (4+MB.C.（8 二）、D.条切线PA, PB (点代B 是切点)，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点M ,N ，则.MON 的面积S MON ( O 是坐标原点)的最小值是()第□卷(90分)、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置) 13. 已知直线I 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线I 的方程 为 ________ .214. 若抛物线y 2 =2px 的焦点与双曲线 —-y 2 =1的右焦点重合，则p 的值315.若函数f (x) = x …心-x 2-€'2 (a ・0)没有零点，则实数 a 的取值范围为16.已知由直线： sin v cos v . . i x y-1(a,b 为给疋的正常数，二为参数，二• 0,2…)构成a b的集合为S ,给出下列命题:―b(1)当 ■时，S 中直线的斜率为 ；4 a(2) S 中的所有直线可覆盖整个坐标平面。
2018-2019学年四川省成都石室中学高二10月月考数学(文)试题(Word版)
成都石室中学2018～2019学年度上期高2020届10月月考文科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1.已知集合(){}(){}22,10,,1A x y x y B x y xy A B =+-==+=⋂=，则 （ ）A.()(){}0110，，，B. {}01，C.(){}01，D.(){}10，2.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ） A.y x =B.tan y x =C.1y x x=+D.x x y e e -=-3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )， 可得这个几何体的体积是（ ）A.383cm B.343cm C. 323cm D. 313cm 4.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2224x y +-=所截得的弦长为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 15.当曲线24y x =--与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ ） A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.32C.12D.17.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.36 B.13 C.12 D.338.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12FF 为直径的圆与双曲线渐近线的一个 交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ ）A.2214x y -=B.2214y x -=C.2212x y -=D.2212y x -=9.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( )A. B. C ． D.10.已知双曲线E ：22221x y a b-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点O 的对称点为Q ，OP b =，113PF QF =，则E 的离心率为（ ）A.2B.3C.2D.511.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ） A.()4,0- B.()3,1-- C.()5,0- D.()4,2--12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）A. 81500πB. π4C. 925πD.9100π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2nn S a =+，则实数a 的值为 ．14. 直线l ：()25y x =-过双曲线C ：22221x y a b-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 ．15.已知圆()223100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是 ．16.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆1)4()3(22=-++y x 上的一动点，直线02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的最大值是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(本小题满分12分)已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B 距离之比为2． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程．19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==．（Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．ACBB 1C 1A 1D20.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若6ABC π∠=，AC 边上的中线BD 的长为35，求ABC ∆的面积．21.(本小题满分12分)直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的焦距为23，过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点()2,1P ，不经过原点的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，线段AB 被直线OP 平分，且0PA PB ⋅=.求直线l 的方程.22.(本小题满分12分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点M 到左、右两个焦点12,F F 的距离之和是4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左、右顶点不重合，若111FM F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.高二数学文科1.已知集合(){}(){}22,10,,1A x y x y B x y xy A B =+-==+=⋂=，则 （ A ）A.()(){}0110，，，B. {}01，C.(){}01，D.(){}10，2.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ D ） A.y x =B.tan y x =C.1y x x=+D.x x y e e -=-3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，可得这个几何体的体积是（ B ）A.383cm B.343cm C. 323cm D. 313cm4.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2224x y +-=所截得的弦长为（ A ）A. 2B. 3C. 2D. 15.当曲线24y x =--与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ C ） A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ C ）A.13B.32C.12D.17.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ D ）A.36 B.13 C.12 D.338.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12FF 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ B ）A.2214x y -=B.2214y x -=C.2212x y -=D.2212y x -=9.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( B )A. B.C ．D.10.已知双曲线E ：22221x y a b-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足113PF QF =，若O 为双曲线E 的中心，OP b =，则E 的离心率为（ B ）A.2B.3C.2D.511.数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（A ）A.()4,0-B.()3,1--C.()5,0-D.()4,2--12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ D ）A. 81500πB. π4C. 925πD.9100π13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2nn S a =+，则实数a 的值为 1-14. 直线l ：()25y x =-过双曲线C ：22221x y a b-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 5 ．15.已知圆()223100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是______2212516x y +=____．16.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆1)4()3(22=-++y x 上的一动点，直线02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的最大值是 8 .17.(本小题满分10分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .依题意有123242812,.a a a a a a ++=⎧⎨=⎩即1214,0.a d d a d +=⎧⎨-=⎩ 由0d ≠，解得12,2.a d =⎧⎨=⎩所以2n a n =. ………………………6分（Ⅱ）所以2224n a n nn b ===.因为11144,44n n n n b b b ++===，……………8分 所以数列{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列.所以4(14)4(41)143n nn S -==--. ………………10分18. (本小题满分12分)已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B 距离之比为2． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程． 解：（Ⅰ）由题意得2PA PB =……2分故2222(1)2(1)x y x y ++=-+ ……3分化简得：22610x y x +-+=（或22(3)8x y -+=）即为所求． ……5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 将1x =代入方程22610x y x +-+=得2y =±，所以4MN =，满足题意。
2017-2018学年四川省成都市石室中学高二(上)10月月考数学试卷(文科)
2017-2018学年四川省成都市石室中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若直线2x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则实数a的值为（）A．0B．﹣1C．﹣3D．32．（5分）若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b3．（5分）已知椭圆与双曲线的焦点相同，且短轴长为6，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则长轴长是（）A．3B．6C．D．5．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．6．（5分）设直线与椭圆交于A，B两点，若△OAB是直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）直线l经过A（2，1），两点（m＞0），那么直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21D．189．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点M是线段AB1上的动点，则关于点M到平面C1BD的距离说法正确的是（）A．点M运动到点A时距离最小B．点M运动到线段AB1的中点时距离最大C．点M运动到点B1时距离最大D．点M到平面C1BD的距离为定值10．（5分）如果点P既在平面区域上，且又在曲线（m＞0）上，则m的最小值为（）A．B．1C．D．11．（5分）设F为双曲线C：的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若，∠FPQ=60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k的值为．14．（5分）经过点P（1，﹣2）作椭圆3x2+4y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为．15．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y2﹣y1|=．16．（5分）已知两定点F1（﹣1，0），F2（1，0）和一动点P，给出下列结论：①若|PF1|+|PF2|=2，则点P的轨迹是椭圆；②若|PF1|﹣|PF2|=1，则点P的轨迹是双曲线；③若，则点P的轨迹是圆；④若，则点P的轨迹关于原点对称；⑤若直线PF1与PF2斜率之积等于m（m≠0），则点P的轨迹是椭圆（除长轴两端点）．其中正确的是（填序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求sinAcosB的值；（Ⅱ）若，求B．18．（12分）已知圆C经过A（1，1）和B（2，﹣2），且圆C在直线l：3x﹣4y+1=0上，（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线m垂直于直线l且与圆C相切．求直线m的方程．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是线段PC上的一点，证明：平面BDM⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．（12分）设数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n﹣n+1，n∈N*．（1）证明：数列{a n﹣n}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知双曲线=1（b＞a＞0）渐近线方程为y=±x，O为坐标原点，点在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求的值．22．（12分）已知圆，圆心为F1，定点F2（1，0），P为圆F1上一点，线段PF2上一点N满足，直线PF1上一点Q，满足．（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与轨迹C交于不同的两点A，B．当且满足时，求△OAB面积S的取值范围．2017-2018学年四川省成都市石室中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若直线2x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则实数a的值为（）A．0B．﹣1C．﹣3D．3【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，即可得圆心C的坐标，将圆心坐标代入直线2x+y+a=0中，即可得2×（﹣1）+2+a=0，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），直线2x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则有2×（﹣1）+2+a=0，解可得：a=0；故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆的方程变形为标准方程，求出圆的圆心坐标．2．（5分）若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．【点评】本题考查的是线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定与性质是关键．3．（5分）已知椭圆与双曲线的焦点相同，且短轴长为6，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．【分析】由已知求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的焦点坐标，结合椭圆短轴长为6及隐含条件求得椭圆长半轴长，则椭圆方程可求．【解答】解：由双曲线，可得a2=4，b2=12，∴，则椭圆的焦点坐标为（0，±4），由此可设椭圆方程为，则2b1=6，得b1=3，又c=4，∴．∴此椭圆的方程为．故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆与双曲线的简单性质，是基础题．4．（5分）焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则长轴长是（）A．3B．6C．D．【分析】由题意可得a2=m，b2=1，利用隐含条件求得c，结合焦距为4求得m，则长轴长可求．【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴m＞1，则a2=m，b2=1，∴c=，由题意可得，即m=5．∴a=．则椭圆的长轴长是．故选：C．【点评】本题考查椭圆方程的求法，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，是基础题．5．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．【分析】由题意知，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力．6．（5分）设直线与椭圆交于A，B两点，若△OAB是直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意求得A点坐标，将A代入椭圆方程，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆C的两个焦点与A、B两点，△OAB是直角三角形，∴AB=a，即A（，），∴⇒a2=3b2=3a2﹣3c2，a⇒e==，故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．7．（5分）直线l经过A（2，1），两点（m＞0），那么直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．m＞0，由tanθ==3﹣，利用基本不等式的性质与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．又m＞0，∴tanθ==3﹣≤3﹣2=1，当且仅当m=1时取等号．∴θ∈∪．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21D．18【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．9．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点M是线段AB1上的动点，则关于点M到平面C1BD的距离说法正确的是（）A．点M运动到点A时距离最小B．点M运动到线段AB1的中点时距离最大C．点M运动到点B1时距离最大D．点M到平面C1BD的距离为定值【分析】连接B1C交BC1于O，连接OD，则可证AB1∥平面BDC1，故而M到平面C1BD的距离为定值．【解答】解：连接B1C交BC1于O，连接OD，则OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1，∴M到平面C1BD的距离为定值．故选：D．【点评】本题考查了线面平行的判定，属于基础题．10．（5分）如果点P既在平面区域上，且又在曲线（m＞0）上，则m的最小值为（）A．B．1C．D．【分析】画出约束条件的可行域，通过曲线经过的最优解，直线与曲线相切时求出m的最小值．【解答】解：不等式组的可行域如图：当曲线（m＞0）与直线2y=x+2相切时，则m取得最小值．，可得x2+（x+2）2=4m2，即：x2+2x+2﹣2m2=0，△=4﹣4（2﹣2m2）=0，解得m=，因为m＞0，所以m=．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，椭圆与直线的位置关系的应用，考查计算能力．11．（5分）设F为双曲线C：的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若，∠FPQ=60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的左焦点为F1，连接F1P，F1Q，由对称性可知，F1PFQ为矩形，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵，∠FPQ=60°，∴∠PFQ=90°，设双曲线的右焦点为F1，连接FP，F1Q，由对称性可知，F1PFQ为矩形，且|PQ|=2|PF|=|F1F|=2c，∴|PF|=|QF1|=c，|FQ|=∵|FQ|﹣|QF1|=﹣c=2a故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由Q在椭圆外部，则，根据椭圆的离心率公式，即可求得e＞，根据椭圆的定义及三角形的性质，|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ||＜2a+，由|PF1|+|PQ|＜|F1F2|，则＞，即可求得椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：∵点Q（c，）在椭圆的外部，∴，＜，由椭圆的离心率e==＞=，|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|，又因为﹣|PF2|+|PQ|＜|QF2|，且|QF2|=，要|PF1|+|PQ|＜|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|＜2a+＜×2c，∴＞，则椭圆离心率的取值范围是（，1）．故选：D．【点评】本题考查椭圆离心率公式及点与椭圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k的值为﹣9．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点位置，则设其焦点坐标为（±c，0），求出其渐近线方程，结合题意可得d==3，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，必有k＜0，其焦点在x轴上，设其焦点坐标为（±c，0），则c2=4﹣k，其渐近线方程为：y=±x，即2y±x=0，若双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，假设（c，0）到渐近线2y+x=0的距离为d，则有d==3，解可得k=﹣9；故答案为：﹣9．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的方程不是标准方程，其次要正确求出其焦点到渐近线的距离．14．（5分）经过点P（1，﹣2）作椭圆3x2+4y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为2y﹣3x+7=0．【分析】方法一：利用“点差法”及中点坐标公式，即可求得直线AB的斜率，根据点斜式方程，即可求得直线AB的方程；方法二：由k AB•k OP=﹣，即可求得直线的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线AB的方程．【解答】解：方法一：设A（x1，y1）、B（x2，y2），P（1，﹣2）为AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=﹣4，∵又A、B两点在椭圆上，则3x12+4y12=24，3x22+4y22=24，两式相减得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，则=﹣×=﹣×（﹣）=，∴k AB==，故所求直线的方程为y+2=（x﹣1），即2y﹣3x+7=0，故答案为：2y﹣3x+7=0．方法二：设椭圆的方程：（a＞b＞0），由AB是不平行于对称轴的弦，P是AB的中点，则k AB•k OP=﹣，由椭圆的标准方程：，∴k AB×（﹣）=﹣，则k AB=，故所求直线的方程为y+2=（x﹣1），即2y﹣3x+7=0，故答案为：2y﹣3x+7=0．【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查“点差法”的应用，考查椭圆中点弦，考查转化思想，属于中档题．15．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y2﹣y1|=．【分析】由已知求出椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），△ABF2的内切圆半径r=1，△ABF2的面积S=（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r=10，再由△ABF2的面积S=+=4|y 2﹣y1|，由此能求出|y1﹣y2|的值．【解答】解：椭圆中，a2=25且b2=16，∴a=5，b=4，c==3，∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r=1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=20．∴△ABF2的面积S=（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r=×20×1=10，又∵△ABF 2的面积S=+=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=4|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），∴4|y1﹣y2|=10，解得|y1﹣y2|=．故答案为：【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形内切圆的性质、三角形面积，考查了推理能力与计算能力，属于难题．16．（5分）已知两定点F1（﹣1，0），F2（1，0）和一动点P，给出下列结论：①若|PF1|+|PF2|=2，则点P的轨迹是椭圆；②若|PF1|﹣|PF2|=1，则点P的轨迹是双曲线；③若，则点P的轨迹是圆；④若，则点P的轨迹关于原点对称；⑤若直线PF1与PF2斜率之积等于m（m≠0），则点P的轨迹是椭圆（除长轴两端点）．其中正确的是③④（填序号）．【分析】直接利用分类讨论思想和举例来说明问题．【解答】解：已知两定点F1（﹣1，0），F2（1，0）和一动点P，设点P（x，y），①若|PF1|+|PF2|=2，则点P的轨迹是椭圆；则：|PF1|+|PF2|=2，则点P的轨迹是线段，故错误．②若|PF1|﹣|PF2|=1，则点P的轨迹是双曲线；则：|PF1|﹣|PF2|=1，则点P的轨迹是双曲线的单支．③若，则点P的轨迹是圆；则：，整理得：（λ2﹣1）x2+（λ2﹣1）y2﹣（2λ2+2）x+λ2﹣1=0，由于λ2﹣1≠0，且r=＞0，故点P的轨迹为圆．④若，则点P的轨迹关于原点对称；满足p（x，y）与q（﹣x，﹣y）都满足等式且相等．故：点P的轨迹关于原点对称；故正确．⑤若直线PF1与PF2斜率之积等于m（m≠0），则点P的轨迹是椭圆（除长轴两端点）．设点P（x，y），则：，整理得：，当m＞0时，满足的曲线为双曲线．故错误．故正确答案为：③④．故答案为：③④【点评】本题考查的知识要点：圆锥曲线的定义及方程的应用．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求sinAcosB的值；（Ⅱ）若，求B．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．（Ⅱ）利用正弦定理和（Ⅰ）的结论求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知．则：=1﹣sinC=1﹣sin（A+B），故2sinAcosB=1，∴．（Ⅱ）由正弦定理得，由（Ⅰ）知，∴，∴或，∴或．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，属于基础题型．18．（12分）已知圆C经过A（1，1）和B（2，﹣2），且圆C在直线l：3x﹣4y+1=0上，（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线m垂直于直线l且与圆C相切．求直线m的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用已知条件和直线垂直的充要条件求出圆心交点的坐标，进一步求出圆的半径，最后求出圆的方程．（Ⅱ）利用圆的方程和直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．【解答】解：（Ⅰ）圆C经过A（1，1）和B（2，﹣2），则：点A和B的中点坐标为：D（），则：，解得：，则：直线DC的方程为：，整理得：x﹣3y﹣3=0．所以：，解得：，半径为r==5，圆C的标准方程为：（x+3）2+（y+2）2=25…（6分）（Ⅱ）直线m垂直于直线l且与圆C相切．则：设直线m的方程为：y=﹣x+b，整理得：4x+3y﹣3b=0则：利用圆心到直线的距离等于r=5，得到：，解得：b=，故整理得：直线的方程为：4x+3y﹣7=0或4x+3y+43=0…（12分）【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的求法，直线与圆相切的充要条件的应用，点到直线的距离公式的应用．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是线段PC上的一点，证明：平面BDM⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【分析】（Ⅰ）在△ABD中，由AD2+BD2=AB2，可得∠ADB=90°．又平面PAD⊥平面ABCD，可得BD⊥平面PAD，夹角证明．（Ⅱ）过P作PO⊥AD交AD于O，利用线面垂直的性质定理可得：PO⊥平面ABCD．即线段PO为四棱锥P﹣ABCD的高，利用梯形的面积计算公式可得梯．形ABCD的面积为S．即可得出V P﹣ABCD【解答】（Ⅰ）证明：在△ABD中，AD=4，BD=8，AB=4，∵AD2+BD2=AB2，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．∴线段PO为四棱锥P﹣ABCD的高，在四边形ABCD中，∵AB∥DC，AB=2DC，∴四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为=，即梯形ABCD的高为，…（10分）∴梯形ABCD的面积为S==24．==16．∴V P﹣ABCD【点评】本题考查了空间位置关系、线面面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）设数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n﹣n+1，n∈N*．（1）证明：数列{a n﹣n}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由已知得a n﹣（n+1）=2a n﹣n+1﹣（n+1）=2（a n﹣n），利用等比+1数列的通项公式即可得出．（2）b n===，利用“裂项求和”即可得出．【解答】（1）证明：由已知得a n﹣（n+1）=2a n﹣n+1﹣（n+1）=2（a n﹣n），+1即，∴数列{a n﹣n}为等比数列，公比为2，首项为a1﹣1=1，∴，∴．（2）解：b n===，∴S n=++…+=1﹣=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知双曲线=1（b＞a＞0）渐近线方程为y=±x，O为坐标原点，点在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求的值．【分析】（Ⅰ）由双曲线=1（b＞a＞0）的一条渐近线方程为y=x，设双曲线方程为（y+x）（y﹣x）=λ，λ≠0，由点在双曲线上，能求出双曲线方程．（Ⅱ）由直线l与双曲线交于P、Q两点，以弦PQ为直径的圆经过原点O，知OP⊥OQ，设直线OP的方程为y=kx，（k≠0），代入中，得，由此可求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵=1（b＞a＞0）渐近线方程为y=±x，∴设双曲线方程为（y+x）（y﹣x）=λ，λ≠0，即y2﹣3x2=λ，∵O为坐标原点，点在双曲线上，∴（）2﹣3（﹣）2=λ，解得λ=﹣6，∴双曲线方程为y2﹣3x2=﹣6，即…（4分）（Ⅱ）∵直线l与双曲线交于P、Q两点，以弦PQ为直径的圆经过原点O，∴OP⊥OQ，设直线OP的方程为y=kx，（k≠0）代入中，得，∴|OP|2=x2+y2=，同理，得|OQ|2=∴…（12分）【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查定值的证明和最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．22．（12分）已知圆，圆心为F1，定点F2（1，0），P为圆F1上一点，线段PF2上一点N满足，直线PF1上一点Q，满足．（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与轨迹C交于不同的两点A，B．当且满足时，求△OAB面积S的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接根据已知条件和向量的关系求出曲线的方程．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系建立关系式，进一步求出参数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）线段PF2上一点N满足，∴N为线段PF2中点，又满足．∴QN为线段PF2的中垂线，∴|QP|=|QF2，|∵，∴由椭圆的定义可知Q的轨迹以以F1，F2为焦点的椭圆，且a=2，c=1则Q轨迹C的方程为：…（3分）（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴，即m2=k2+1，由，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，=x1x2+y1y2==λ，解得：，…（8分）S△AOB═，设μ=k4+k2，则，…（12分）【点评】本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，曲线方程的求法．直线和曲线位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用，参数的应用及相关的运算问题．。
高考最新-成都石室中学数学(文) 精品
成都石室中学2018级2018—2018学年度上学期月考数学（文）试题时间：120分钟 满分150分一、选择题：每小题5分，共60分。
1．已知集合M={0，1，2}，N={},2|M a a x x ∈=则集合M ∩N （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．已知函数x x x f +-=11lg )(，若21)(=a f ，则)(a f -= （ ）A ．21B ．－21 C ．2D ．－23．设复数=++-=ωω1,2321则i （ ）A ．ω-B ．2ωC ．ω1- D ．21ω 4．不等式212>++x x 的解集是（ ）A ．（－1，0）∪（1，+∞）B ．（－∞，－1）∪（0，1）C ．（－1，0）∪（0，1）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 5．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y 6．函数x x y cos sin =的最小正周期是 （ ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π7．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种8．对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中正确的是（ ）A ．“a c>bc ”是“a >b ”的必要条件B ．“a c=bc ”是“a =b ”的必要条件C ．“a c>bc ”是“a >b ”的充分条件D ．“a c=bc ”是“a =b ”的充分条件 9．4)2(x x +的展开式中3x 的系数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48 10．设S n 是等差数列}{n a 的前n 项和，若,9535=a a 则59S S=（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．2111．甲乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率为2p ，那么恰好有一个人解决这个问题的概率是（ ）A ．1p 2pB ．1p （1－2p ）+2p （1－1p ）C ．1－1p 2pD ．1－（1－1p ）（1－2p ）12．函数133+-=x x y 在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值是 （ ）A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－19二、填空题：每小题4分，共16分13．在函数c bx ax x f ++=2)(中，若a ，b ，c 成等比数列且4)0(-=f ，则)(x f 有最 值（填“大”或“小”），且该值为 .14．当y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤≤8342y x y x 时，目标函数y x k 23-=的最大值是 .15．已知点A （－1，－5）和向量a AB a 3),3,2(==若，则点B 的坐标为 . 16．从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有 个.（用数字作答）三、解答题： 17．（12分）已知α为第二象限的角，且415sin =α，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.18．（12分）解不等式组：.2130862⎪⎩⎪⎨⎧>-+>+-x x x x19．（12分）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点。
四川省石室中学2017-2018学年高二上学期半期考试数学
成都石室中学高2019届2017—2018学年度上期半期考试数学试题（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若抛物线的准线方程为1x =，焦点坐标为(1,0)-，则抛物线的方程是（ ） A ．22y x =B ．22y x =-C ．24y x =D ．24y x =-2.已知函数21y x =+的图象上一点(1,2)及邻近点(1,2)x y +∆+∆，则0lim x yx∆→∆=∆（ ）A ．2B ．2xC ．2x +∆D ．22x +∆3.命题“0x R ∃∈，3210x x -+>”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，3210x x -+≤ B ．0x R ∃∈，3210x x -+< C ．0x R ∃∈，3210x x -+≤D ．不存在x R ∈，3210x x -+>4.已知椭圆的左、右焦点分别为1(3,0)F -，2(3,0)F ，点P 在椭圆上，若12PF F ∆的面积的最大值为12，则椭圆的方程为（ ）A ．221167x y += B ．221259x y += C ．2212516x y += D ．221169x y +=5.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-的双曲线方程为（ ） A ．224149x y -= B ．224149y x -= C ．224194y x -= D ．224194x y -=6.已知三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且AB =BC =2AC =，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．83πB ．3C ．163π D ．323π 7.设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A ．2B ．12C ．2D 18.“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；③直线//EF 平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD ． 其中一定正确的选项是（ ）A ．①③B ．②③C ．②③④D ．①③④10.椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，那么12cos F PF ∠的值是（ ） A ．13B ．23C ．73D ．1411.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0a >,0b >)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P ，Q ，若||2||PQ QF =，60PQF ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．1C ．2D ．4+12.点P 到点1(,0)2A ，(,2)B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么实数a 的值是（ ） A ．12B ．32C ．12或32D ．12-或12第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= ． 14.已知函数2()()f x x x c =-在1x =处有极大值，则c = ．15.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x 的值 ．16.已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，A 为直线2x =上一点，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =，则||AF = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求和：13521n b b b b -++++…．18.已知命题p ：实数m 满足22540m am a -+<，其中0a >；命题q ：方程22135x y m m +=--表示双曲线． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点(4,)m 到焦点的距离为6． （1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线2y kx =-相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=︒，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ； （2）如果三棱锥C EFM -的体积为13，求点M 到面PAB 的距离． 21.已知函数2()ln ()f x x a x a R =-∈．（1）当1a =时，求函数()f x 在点1x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值；（3）若函数()f x 在区间(2,)+∞上是增函数，试确定a 的取值范围．22.已知圆M ：22100x y ++-=和点N ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线和QM 相交于点P ，P 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）点A 是曲线E 与x 轴正半轴的交点，直线x ty m =+交E 于B 、C 两点，直线AB ，AC 的斜率分别是1k ，2k ，若129k k ⋅=，求：①m 的值；②ABC ∆面积的最大值．成都石室中学高2019届2017—2018学年度上期半期考试数学试题（文科）答案一、选择题1-5:DAACD 6-10:BCABA 11、12：BD二、填空题13.79-三、解答题17.解：（1）等差数列{}n a ，11a =，2410a a +=，可得11310d d +++=，解得2d =， 所以{}n a 的通项公式为：1(1)221n a n n =+-⨯=-． （2）由（1）可得5149a a d =+=，等比数列{}n b 满足11b =，249b b =，可得33b =或3-（舍去）（等比数列奇数项符号相同）． 所以23q =，{}21n b -是等比数列，公比为3，首项为1．21352121(1)1n n q b b b b q--++++=-312n -=． 18.解：命题p ：由题得()(4)0m a m a --<，又0a >，解得4a m a <<； 命题q ：(3)(5)0m m --<，解得35m <<． （1）若1a =，命题p 为真时，14m <<， 当p q ∧为真，则p 真且q 真， ∴14,35,m m <<⎧⎨<<⎩解得m 的取值范围是(3,4)．（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分必要条件， 设(,4)A a a =，(3,5)B =，则B ⊂≠A ；∴3,45,a a ≤⎧⎨>⎩∴实数a 的取值范围是5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19.解：（1）由题意设抛物线方程为22y px =（0p ≠），其准线方程为2px =-， ∵(4,)A m 到焦点的距离等于A 到其准线的距离，∴462p+=，∴4p =， ∴此抛物线的方程为28y x =．（2）由28,2y x y kx ⎧=⎨=-⎩消去y 得22(48)40k x k x -++=，∵直线2y kx =-与抛物线相交于不同两点A 、B ，则有0,0,k ≠⎧⎨∆>⎩解得1k >-且0k ≠， 由122484k x x k ++==，解得2k =或1k =-（舍去）． ∴所求k 的值为2．20.证明：（1）在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=︒，所以AB AC ⊥，由E ，F 分别为BC ，AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥． 侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ． 又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥． 又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC ．解：（2）M 到面CEF 的距离为1，所以MF ⊥面ABCD ，M 为PD 中点，1d =．21.解：（1）当1a =时，2()ln f x x x =-，1'()2f x x x=-， '(1)1f =，又(1)1f =，∴切线方程为y x =.（2）定义域为(0,)+∞，'()2af x x x=-，当0a ≤时，'()0f x >恒成立，()f x 不存在极值．当0a >时，令'()0f x =，得2x =，当2x >时，'()0f x >；当2x <'()0f x <，所以当2x =()f x 有极小值ln 222a a a -无极大值．（3）∵()f x 在(2,)+∞上递增，∴'()20af x x x=-≥对(2,)x ∈+∞恒成立，即22a x ≤恒成立， ∴8a ≤．22.解：（1）圆M：22100x y ++-=的圆心为(0,M，半径为N 在圆M内，||||||PM PN MN +=>，所以曲线E 是M ，N为焦点，长轴长为由a =c =2321b =-=，所以曲线E 的方程为2213y x +=． （2）①设11(,)B x y ，22(,)C x y ，直线BC ：x ty m =+，联立方程组22,1,3x ty m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(13)6330t y mty m +++-=，由0∆>，解得21t >，122613mt y y t +=-+，21223313m y y t -=+，由129k k =知1212129(1)(1)9(1)(1)y y x x ty m ty m =--=+-+-22121299(1)()9(1)t y y m t y y m =+-++-，且1m ≠，代入化简得222(91)(1)183(1)(13)0t m mt m t -+-+-+=，解得2m =，②211||2ABCS y y ∆=-==3=≤（当且仅当273t =时取等号）． 综上，ABC ∆面积的最大值为4.。
2017-2018学年四川省成都市石室中学高二(上)期中数学试卷(文科)
2017-2018学年四川省成都市石室中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若抛物线的准线方程为x=1，焦点坐标为（﹣1，0），则抛物线的方程是（）A．y2=2x B．y2=﹣2x C．y2=4x D．y2=﹣4x 2．（5分）函数y=x2+1的图象上一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则等于（）A．2B．2x C．2+△x D．2+△x2 3．（5分）命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 4．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），点P在椭圆上，若△PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．5．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）“a=”是“对任意的正数x，2x+的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中一定正确的选项是（）A．①③B．②③C．②③④D．①③④10．（5分）椭圆+=1和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是（）A．B．C．D．11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=．14．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=1处有极大值，则c=．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x 的值．16．（5分）已知椭圆C：的右焦点为F，A为直线x=2上一点，线段AF交C于点B，若，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（1）求{a n}的通项公式；．（2）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣118．（12分）已知命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0；命题q：方程=1表示双曲线．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点（4，m）到焦点的距离为6．（1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（1）求证：EF⊥平面PAC；（2）如果三棱锥C﹣EFM的体积为，求点M到面PAB的距离．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）在点x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值；（3）若函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数，试确定a的取值范围．22．（12分）已知圆M：和点，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x=ty+m交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，若k1•k2=9，求：①m的值；②△ABC面积的最大值．2017-2018学年四川省成都市石室中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若抛物线的准线方程为x=1，焦点坐标为（﹣1，0），则抛物线的方程是（）A．y2=2x B．y2=﹣2x C．y2=4x D．y2=﹣4x【分析】根据题意，分析可得抛物线开口向左，且=1，由抛物线的标准方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的准线方程为x=1，焦点坐标为（﹣1，0），则抛物线开口向左，=1，则其标准方程为：y2=﹣4x；故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意掌握抛物线标准方程的形式．2．（5分）函数y=x2+1的图象上一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则等于（）A．2B．2x C．2+△x D．2+△x2【分析】本题可根据导数的基本概念，结合题中条件进行分析即可．【解答】解：由于===2+△x，则=2故选：A．【点评】本题考查导数的基本概念和运算，结合题中条件分析即可．3．（5分）命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞0【分析】特称命题“∃x0∈M，p（x）”的否定为全称命题“∀x∈M，￢p（x）”．【解答】解：特称命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．故选：A．【点评】本题考查特称命题的否定形式，要注意存在量词“∃”应相应变为全称量词“∀”．4．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），点P在椭圆上，若△PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【分析】由题意，由椭圆的几何性质，当点P在短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值，分析可得b的值，由焦点的坐标分析可得c的值，计算可得a的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，设P的纵坐标为t，椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），则c=3，则△PF1F2的面积S=×|F1F2|×t=c|t|=3|t|，分析可得：当点P在短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值，此时|t|=b，有3b=12，解可得b=4，则a==5，则椭圆的方程为：+=1；故选：C．【点评】本题的考点是椭圆的几何性质以及标准方程，关键是利用△PF1F2的面积取最大值时，只需|y|取最大．5．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】设所求双曲线为，把点（﹣3，）代入，求出λ，从而得到双曲线的方程．【解答】解：设所求双曲线为，把点（﹣3，）代入，得，解得，∴所示的双曲线方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意待定系数法的合理运用，属于基础题．6．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．【分析】以PA，PB，PC为棱构造长方体，则长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，由此能求出此三棱锥的外接球的体积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，以PA，PB，PC为棱构造长方体，则长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，∵，，AC=2，∴PA2+PB2+PA2+PC2+PB2+PC2=5+4+7=16，∴PA2+PB2+PC2=8，∴此三棱锥的外接球的半径R===，∴此三棱锥的外接球的体积：V===．故选：B．【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查构造法、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合思想，是中档题．7．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【分析】设点P在x轴上方，坐标为，根据题意可知|PF2|=，|PF2|=|F1F2|，进而根据求得a和c的关系，求得离心率．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=故选：D．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．8．（5分）“a=”是“对任意的正数x，2x+的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据基本不等式，我们可以判断出“a=”⇒“对任意的正数x，2x+”与“对任意的正数x，2x+”⇒“a=”真假，进而根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当“a=”时，由基本不等式可得：“对任意的正数x，2x+”一定成立，即“a=”⇒“对任意的正数x，2x+”为真命题；而“对任意的正数x，2x+的”时，可得“a≥”即“对任意的正数x，2x+”⇒“a=”为假命题；故“a=”是“对任意的正数x，2x+的”充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中根据基本不等式，判断“a=”⇒“对任意的正数x，2x+”与“对任意的正数x，2x+”⇒“a=”真假，是解答本题的关键．9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中一定正确的选项是（）A．①③B．②③C．②③④D．①③④【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误；利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误．【解答】解：画出几何体的图形，如图：在①中，由题意可知，直线BE与直线CF异面，故①不正确，在②中，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线，直线BE与直线AF异面，故②正确；在③中，直线EF∥平面PBC；由E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；在④中，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE与平面PAD不一定垂直，故④不正确．故选：B．【点评】本题考查考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．10．（5分）椭圆+=1和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是（）A．B．C．D．【分析】设P是双曲线右支上的一点，设|PF1|=m，|PF2|=n．可得，解得mn=3．|F1F2|=4．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：设P是双曲线右支上的一点，设|PF1|=m，|PF2|=n．则，解得mn=3．|F1F2|=4．∴cos∠F1PF2====．故选：A．【点评】本题考查了双曲线与椭圆的定义及其性质、余弦定理，属于基础题．11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的左焦点为F1，连接F1P，F1Q，由对称性可知，F1PFQ为矩形，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，∴∠PFQ=90°，设双曲线的左焦点为F1，连接F1P，F1Q，由对称性可知，F 1PFQ为矩形，且，故．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A．B．C．D．【分析】到A和到直线的距离相等，则P点轨迹是抛物线方程，再注意B 点，用上P到的距离和点P到B的距离相等：再注意这样的点恰好只有一个，因而有△=0，从而可求a的值．【解答】解：法一由题意有点P在抛物线y2=2x上，设P（，y），则有（+）2=（﹣a）2+（y﹣2）2，化简得（﹣a）y2﹣4y+a2+=0，当a=时，符合题意；当a≠时，△=0，有a3﹣++=0，（a+）（a2﹣a+）=0，a=﹣．故选D．法二由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=﹣时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．故选：D．【点评】本题主要考查抛物线的概念、性质，以及数形结合的思想．法一代数法，法二是几何法．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=﹣．【分析】把所给的等式平方利用二倍角的正弦公式求得sin2θ的值．【解答】解：∵sinθ﹣cosθ=，平方可得1﹣sin2θ=，∴sin2θ=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=1处有极大值，则c=3．【分析】由已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=1处有极大值，则必有f′（1）=0，且在x=1的左侧附近f′（x）＞0，右侧附近f′（x）＜0，据此即可求出c的值．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函数f（x）=x（x﹣c）2在x=1处有极大值，∴f′（1）=0，即c2﹣4c+3=0，解得c=3或1．经检验c=1时，函数f（x）在x=1处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c=3，故答案为：3．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x 的值3．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，该几何体为3，根据体积公式建立关系，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD=1，BC=2，SB=x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S=×（1+2）×2=3．几何体的体积V=×x×3=3，解得x=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是三视图投影关系，体积公式的运用，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．16．（5分）已知椭圆C：的右焦点为F，A为直线x=2上一点，线段AF交C于点B，若，则=．【分析】由，得，B点到直线l的距离设为|BE|，利用椭圆方程中的a，b求得c，可求得|BF|，进而求得|BE|，然后根据椭圆的第二定义求得|BF|的长，则可求．【解答】解：由椭圆C：，得a=，b=1，c=1，椭圆的右焦点为F，可知F（1，0），则直线l：x=2 是椭圆的右准线，∵，∴，B点到直线l的距离|BE|，则，∴|BE|=，根据椭圆定义e===，得|BF|=，∴||=．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的应用．解题中灵活利用了椭圆的第二定义，是解题的关键，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（1）求{a n}的通项公式；（2）求和：b1+b3+b5+…+b2n．﹣1【分析】（1）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得1+d+1+3d=10，解得d，利用通项公式即可得出．（2）由（1）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9，可得b3=3或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．可得q2=3，{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．利用求和公式即可得出．【解答】解：（1）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式为：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（2）由（1）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9，可得b3=3或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．所以q2=3，{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．∴=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与就是你了，属于中档题．18．（12分）已知命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0；命题q：方程=1表示双曲线．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0，解得a＜m＜4a；命题q：方程=1表示双曲线则（m﹣3）（m﹣5）＜0，解得m范围．（1）若a=1，则p：1＜m＜4．根据p∧q为真，可得实数m的取值范围．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．即可得出．【解答】解：命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0，解得a＜m＜4a；命题q：方程=1表示双曲线则（m﹣3）（m﹣5）＜0，解得3＜m＜5．（1）若a=1，则p：1＜m＜4．由p∧q为真，∴，解得3＜m＜4．∴实数m的取值范围是（3，4）．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．∴，等号不能同时成立．解得3．∴实数a的取值范围是．【点评】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点（4，m）到焦点的距离为6．（1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．【分析】（1）设抛物线方程，根据抛物线的焦半径公式，即可求得p的值，求得抛物线方程；（2）将直线方程代入抛物线方程，利用中点坐标公式，即可求得k的值．【解答】解：（1）由题意设抛物线方程为y2=2px（p≠0），其准线方程为，∵A（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴，∴p=4，∴此抛物线的方程为y2=8x．（2）由，消去y得k2x2﹣（4k+8）x+4=0，∵直线y=kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有，解得：k＞﹣1且k≠0，由，解得k=2或k=﹣1（舍去）．∴所求k的值为2．【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（1）求证：EF⊥平面PAC；（2）如果三棱锥C﹣EFM的体积为，求点M到面PAB的距离．【分析】（1）推导出AB⊥AC，由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，EF ⊥AC．推导出PA⊥底面ABCD，PA⊥EF，由此能证明EF⊥平面PAC．=1，设M到平面EFC的距离为h，由V C﹣EFM=V M﹣EFC，求出h=1，由PA （2）S△EFC⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，得MF⊥面ABCD，且M到面CEF的距离为1，从而M为PD中点，由此能求出点M到面PAB的距离．【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，∵AB=AC，∠BCD=135°，∴AB⊥AC，由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，∴EF⊥AC．∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，∴PA⊥底面ABCD．又∵EF⊂底面ABCD，∴PA⊥EF．又∵PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC．解：（2）∵S=△EFC==1，三棱锥C﹣EFM的体积为，设M到平面EFC的距离为h，=V M﹣EFC=×h==，∴V C﹣EFM解得h=1，∵PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，∴MF⊥面ABCD，且M到面CEF的距离为1，∴M为PD中点，∴点M到面PAB的距离d=1．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）在点x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值；（3）若函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数，试确定a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（3）求出函数的导数，问题转化为a≤2x2恒成立，求出a的范围即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx，，f'（1）=1，又f（1）=1，∴切线方程为y=x．（2）定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）不存在极值．当a＞0时，令f'（x）=0，得，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，所以当时，f（x）有极小值无极大值．（3）∵f（x）在（2，+∞）上递增，∴对x∈（2，+∞）恒成立，即a≤2x2恒成立，∴a≤8．【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道中档题．22．（12分）已知圆M：和点，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x=ty+m交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，若k1•k2=9，求：①m的值；②△ABC面积的最大值．【分析】（1）利用定义求出椭圆的方程．（2）利用圆柱曲线和直线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系求出m的值．最后求出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）圆M：的圆心为，半径为，点N在圆M内，，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，由，，得b2=3﹣2=1，所以曲线E的方程为．（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），则：C：x=ty+m，联立方程组，得（1+3t2）y2+6mty+3m2﹣3=0，由△＞0，解得t2＞1，，，由k1k2=9知y1y2=9（x1﹣1）（x2﹣1），=9（ty1+m﹣1）（ty2+m﹣1），=，且m≠1，代入化简得（9t2﹣1）（m+1）﹣18mt2+3（m﹣1）（1+3t2）=0，解得m=2，②，=（当且仅当时取等号）．综上，△ABC 面积的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法及应用，直线和圆锥曲线的位置关系的应用．一元二次方程根和系数的关系的应用．第21页（共21页）。
四川成都市石室中学2017-2018年度高二10月月考数学(文)试题含解析
成都石室中学2017—2018学年度上期高2019届10月月考数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若直线过圆的圆心，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为，可得圆心坐标为，若直线过圆的圆心，则，解得，故选A.2. 若表示两条直线，表示平面，下列说法中正确的为（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】对于选项A，与可能平行，也可能在平面内，故A不正确。
对于选项B，与可能平行、相交、垂直，故B不正确。
对于选项C，由线面垂直的定义可得必有，故C正确。
对于选项D，与可能相交、平行或异面，故D不正确。
选C。
3. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，且短轴长为，则此椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】A4. 焦点在轴上的椭圆的焦距为，则长轴长是（）A. B. C. D.【答案】C........................5. 设双曲线的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知2b=2,2c=2,∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.6. 设直线与椭圆交于两点，为坐标原点.若是直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】椭圆的两个焦点与两点是直角三角形，，即，，故选C.【方法点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质以及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据在椭圆上找出之间的关系，从而求出离心率．7. 直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，则，当且仅当且，即时等号成立。
2018-2019学年四川省成都石室中学高二10月月考数学(文)试题(Word版)
成都石室中学2018～2019学年度上期高2020届10月月考文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1.已知集合(){}(){}22,10,,1A x y x y B x y xy A B =+-==+=⋂=，则 （ ）A.()(){}0110，，，B. {}01，C.(){}01，D.(){}10，2.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ） A.y x =B.tan y x =C.1y x x=+D.x x y e e -=-3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )， 可得这个几何体的体积是（ ）A.383cm B.343cm C. 323cm D. 313cm 4.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2224x y +-=所截得的弦长为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 15.当曲线24y x =--与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ ） A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.32C.12D.17.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.36 B.13 C.12 D.338.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12FF 为直径的圆与双曲线渐近线的一个 交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ ）A.2214x y -=B.2214y x -=C.2212x y -=D.2212y x -=9.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( )A. B. C ． D.10.已知双曲线E ：22221x y a b-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点O 的对称点为Q ，OP b =，113PF QF =，则E 的离心率为（ ）A.2B.3C.2D.511.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ） A.()4,0- B.()3,1-- C.()5,0- D.()4,2--12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）A. 81500πB. π4C. 925πD.9100π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2nn S a =+，则实数a 的值为 ．14. 直线l ：()25y x =-过双曲线C ：22221x y a b-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 ．15.已知圆()223100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是 ．16.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆1)4()3(22=-++y x 上的一动点，直线02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的最大值是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(本小题满分12分)已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B 距离之比为2． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程．19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==．（Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．ACBB 1C 1A 1D20.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若6ABC π∠=，AC 边上的中线BD 的长为35，求ABC ∆的面积．21.(本小题满分12分)直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为23，过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点()2,1P ，不经过原点的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，线段AB 被直线OP 平分，且0PA PB ⋅=.求直线l 的方程.22.(本小题满分12分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点M 到左、右两个焦点12,F F 的距离之和是4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左、右顶点不重合，若111FM F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.高二数学文科1.已知集合(){}(){}22,10,,1A x y x y B x y xy A B =+-==+=⋂=，则 （ A ）A.()(){}0110，，，B. {}01，C.(){}01，D.(){}10，2.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ D ） A.y x =B.tan y x =C.1y x x=+D.x x y e e -=-3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，可得这个几何体的体积是（ B ）A.383cm B.343cm C. 323cm D. 313cm4.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2224x y +-=所截得的弦长为（ A ）A. 2B. 3C. 2D. 15.当曲线24y x =--与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ C ） A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ C ）A.13B.32C.12D.17.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ D ）A.36 B.13 C.12 D.338.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12FF 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ B ）A.2214x y -=B.2214y x -=C.2212x y -=D.2212y x -=9.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( B )A. B.C ．D.10.已知双曲线E ：22221x y a b-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足113PF QF =，若O 为双曲线E 的中心，OP b =，则E 的离心率为（ B ）A.2B.3C.2D.511.数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（A ）A.()4,0-B.()3,1--C.()5,0-D.()4,2--12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ D ）A. 81500πB. π4C. 925πD.9100π13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2nn S a =+，则实数a 的值为 1-14. 直线l ：()25y x =-过双曲线C ：22221x y a b-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 5 ．15.已知圆()223100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是______2212516x y +=____．16.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆1)4()3(22=-++y x 上的一动点，直线02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的最大值是 8 .17.(本小题满分10分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .依题意有123242812,.a a a a a a ++=⎧⎨=⎩即1214,0.a d d a d +=⎧⎨-=⎩ 由0d ≠，解得12,2.a d =⎧⎨=⎩所以2n a n =. ………………………6分（Ⅱ）所以2224n a n nn b ===.因为11144,44n n n n b b b ++===，……………8分 所以数列{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列.所以4(14)4(41)143n nn S -==--. ………………10分18. (本小题满分12分)已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B 距离之比为2． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程． 解：（Ⅰ）由题意得2PA PB =……2分故2222(1)2(1)x y x y ++=-+ ……3分化简得：22610x y x +-+=（或22(3)8x y -+=）即为所求． ……5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 将1x =代入方程22610x y x +-+=得2y =±，所以4MN =，满足题意。
四川省成都市石室中学2018届高三上学期期中考试文科数学试题
石室中学2018届高三上期中文数一、选择题（每题5分，满分60分）1、若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应点的坐标为（ ） A 、)1,2(-- B 、)1,2(- C 、)1,2( D 、)1,2(-2、“1)32(log 2<-x ”是“84>x”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3、若)2,0(πα∈，若54)6cos(=+πα，则)32sin(πα+的值为（ ）A 、2512B 、2524C 、2524-D 、2512-4、若数列{}n a 的前n 项和为n kn S n +=2，且3910=a ，则=100a （ ） A 、200 B 、199 C 、299 D 、3995、过点)8,4(P 且被圆2522=+y x 截得的弦长为6的直线方程是（ ） A 、02043=+-y x B 、02043=+-y x 或4=x C 、0834=+-y x D 、0834=+-y x 或4=x6、在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点)4,0(),4,0(-C A ，顶点B 在椭圆125922=+y x 上，则C A C A sin sin )sin(++=（ ）A 、53 B 、35 C 、54 D 、457、如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的历史考试成绩，算法框图中的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A 、12,38==n mB 、12,26==n mC 、12,12==n mD 、10,24==n m8、若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤+42024y x y x y x ，则34--=x y z 的取值范围是（ ）A 、(][)+∞-∞-,34,B 、(][)+∞--∞-,12,C 、[]1,2--D 、[]3,4- 9、已知函数)0,0(),sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 的最小正周期是π，将函数)(x f 图像向左平移3π个单位长度后所得的函数过点⎪⎭⎫⎝⎛-1,6π，则函数)sin()(ϕω+=x x f （ ） A 、在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ上单调递减 B 、在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ上单调递增 C 、在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上单调递减 D 、在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上单调递增 10、在ABC ∆中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 交AD 于点F ，若u +=λ，则u +λ=（ ） A 、61-B 、61C 、31- D 、1 11、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 是冷BC 的中点，点F 在冷CC 1上，且CF=2FC 1，P 是侧面四边形BCC 1B 1内一点（含边界）。
学年上学期高二期中考试数学(文)试题(附答案)
石室中学高2018届2016~2017学年度上期半期考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．若直线过点(1,1)， （ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 2.已知圆的方程为042422=-+-+y x y x ，则圆的半径为（ ） A. 3 B. 9 C.3 D.3± 3．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >0 4．下列四个命题中的真命题是（ ）A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示;B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y示;C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示; D ．斜率存在且不为0，过点(,0)n 的直线都可以用方程x my n =+表示5．双曲线2214x y m -=的焦距为6，则m 的值是 A ．6或2 B ．5 C ．1或9 D ．3或56. 已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是( )A ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．“直线l 1：ax +03)1(=--y a 与直线l2：02)32()1(=-++-y a x a 互相垂直”是“3a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.取得最小值处，在点Z y x P ),(，且在点P 直线1=+by ax 上,，则11a b+的取值范围为（ ）A. [)2,+∞B. []1,2C. [)1,+∞D. (]0,29. 已知点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 是圆:C 2220x y y +-=的切线，A 是切点.若tan ACP ∠的最小值为2，则k 的值为（ ）A.C.D. 210. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(,0)F c ，作圆2224a x y +=的切线 ，切点为E ,延长FE 交双曲线左支于点,M E MF 且是的中点，则双曲线离心率为（ ）B.D.11.如图，抛物线21C 2y px =：和圆2222C 24p p x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭：，其中0p >，直线l 经过1C 的焦点，依次交 1C ，2C 与A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．24p B. 23p C. 22p D. 2p12．已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.当OM OP =时，则直线l 的斜率（ ）A ． 3k =B ．3k =-C ．13k =D ．13k =-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．对于任意实数m ，直线()1325m x m y -+-=（） 过定点为 14．直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为________．15．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为18且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，AB 中点坐标为(2,1)-,则椭圆的离心率 .16．如图，点()F 20，，点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上运动，N 为动点，且,()0P MN FM FN MN +∙=是的中点，则点N 的轨迹方程为________．三、解答题17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2),(2,0),(1,0)A B C -，如图：分别以ABC ∆的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ， (1)求直线FH 的一般式方程. (2)求AOF ∆的外接圆方程.18．（本小题满分12分）设:p 实数x 满足22540x ax a -+<(0a >)；:q 实数x 满足222003100x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19. （本小题满分12分）某工厂投资生产A 产品时,每生产一百吨需要资金200万元,需要场地2200m ,可获利润300万元; 投资生产B 产品时, 每生产一百吨需要资金300万元,需要场地2100m ,可获利润200万元.现该工厂可使用资金2800万元,场地21800m .(1)设生产A 产品x 百万吨,生产B 产品y 百万吨,写出,x y 满足的约束条件,并在下列直角坐标系中画出其平面区域,(2)怎样投资利润最大,并求其最大利润。
四川省成都市石室中学(高中部)2018年高二数学文月考试卷含解析
四川省成都市石室中学(高中部)2018年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（）A．{x|x＜﹣3或x＞﹣2} B．{x|x＜﹣或x＞﹣}C．{x|﹣＜x＜﹣} D．{x|﹣3＜x＜﹣2}参考答案：C【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再代入不等式bx2﹣5x+a＞0求解集即可．【解答】解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，∴方程ax2+5x+b=0的实数根为2和3，∴，解得a=﹣1，b=﹣6；∴不等式bx2﹣5x+a＞0为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，解得﹣＜x＜﹣；∴不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是{x|﹣＜x＜﹣}．故选：C．2. 登上一个四级的台阶（可以一步上一级、二级、三级或四级），在所有行走方式中恰有一步是两级的概率（）A． B． C． D．参考答案：B3. 点P（x，y）是曲线是参数）上任意一点，则的最大值为（）A．1 B．2 C． D．参考答案：D略4. 已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( )A．B．两两平行C．D．方向都相同参考答案：B【考点】二元一次方程组的矩阵形式；充要条件．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例∵，∴两两平行故选B．【点评】本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．5. 可表示为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据排列数的定义可得出答案。
2018-2019学年四川省成都石室中学高二10月月考数学(文)试题(Word版)
成都石室中学2018～2019学年度上期高2020届10月月考文科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、本科目考试结束后，请将答题卡依序排列上交。
7、本科目考试结束后，请将试题卷自己保管好，以供相关教师讲评试卷时使用。
8、本科目考试结束后，任课教师要做好试卷讲评和质量分析。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1.已知集合(){}(){}22,10,,1A x y x y B x y xy A B =+-==+=⋂=，则 （ ）A.()(){}0110，，，B. {}01，C.(){}01，D.(){}10，2.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ） A.y x =B.tan y x =C.1y x x=+D.x x y e e -=-3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )， 可得这个几何体的体积是（ ）A.383cm B.343cm C. 323cm D. 313cm 4.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2224x y +-=所截得的弦长为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 15.当曲线24y x =--与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ ）A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.32C.12D.17.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.36 B.13 C.12 D.338.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12FF 为直径的圆与双曲线渐近线的一个 交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ ）A.2214x y -=B.2214y x -=C.2212x y -=D.2212y x -=9.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( )A. B. C ． D.10.已知双曲线E ：22221x y a b-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点O 的对称点为Q ，OP b =，113PF QF =，则E 的离心率为（ ）A.2B.3C.2D.511.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ） A.()4,0- B.()3,1-- C.()5,0- D.()4,2--12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）A.500π B. π4 C. 25π D.100π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2nn S a =+，则实数a 的值为 ．14. 直线l ：()25y x =-过双曲线C ：22221x y a b-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 ．15.已知圆()223100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是 ．16.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆1)4()3(22=-++y x 上的一动点，直线02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的最大值是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(本小题满分12分)已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B 距离之比为2． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程．19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==．（Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积． ACBB 1C 1A 1D20.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若6ABC π∠=，AC 边上的中线BD 的长为35，求ABC ∆的面积．21.(本小题满分12分)直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的焦距为23，过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点()2,1P ，不经过原点的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，线段AB 被直线OP 平分，且0PA PB ⋅=.求直线l 的方程.22.(本小题满分12分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点M 到左、右两个焦点12,F F 的距离之和是4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左、右顶点不重合，若111FM F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.高二数学文科1.已知集合(){}(){}22,10,,1A x y x y B x y xy A B =+-==+=⋂=，则 （ A ）A.()(){}0110，，，B. {}01，C.(){}01，D.(){}10，2.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ D ） A.y x =B.tan y x =C.1y x x=+D.x x y e e -=-3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，可得这个几何体的体积是（ B ）A.383cm B.343cm C. 323cm D. 313cm4.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2224x y +-=所截得的弦长为（ A ）A. 2B. 3C. 2D. 15.当曲线24y x =--与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ C ） A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ C ）A.13B.32C.12D.17.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ D ）A.36 B.13 C.12 D.338.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12FF 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ B ）A.2214x y -=B.2214y x -=C.2212x y -=D.2212y x -=9.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( B )A. B.C ．D.10.已知双曲线E ：22221x y a b-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足113PF QF =，若O 为双曲线E 的中心，OP b =，则E 的离心率为（ B ）A.2B.3C.2D.511.数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（A ）A.()4,0-B.()3,1--C.()5,0-D.()4,2--12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ D ）A. 81500πB. π4C. 925πD.9100π13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2nn S a =+，则实数a 的值为 1-14. 直线l ：()25y x =-过双曲线C ：22221x y a b-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 5 ．15.已知圆()223100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是______2212516x y +=____．16.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆1)4()3(22=-++y x 上的一动点，直线02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的最大值是 8 .17.(本小题满分10分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .依题意有123242812,.a a a a a a ++=⎧⎨=⎩即1214,0.a d d a d +=⎧⎨-=⎩ 由0d ≠，解得12,2.a d =⎧⎨=⎩所以2n a n =. ………………………6分（Ⅱ）所以2224n a n nn b ===.因为11144,44n n n n b b b ++===，……………8分 所以数列{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列.所以4(14)4(41)143n nn S -==--. ………………10分18. (本小题满分12分)已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B 距离之比为2． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程． 解：（Ⅰ）由题意得2PA PB =……2分故2222(1)2(1)x y x y ++=-+ ……3分化简得：22610x y x +-+=（或22(3)8x y -+=）即为所求． ……5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 将1x =代入方程22610x y x +-+=得2y =±，所以4MN =，满足题意。
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四川省成都石室中学2018—2018学年度上学期高三年级期中考试数学（文）试题满人：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合},5,4,1{},5,3{},5,4,3,2,1{===N M U 则=)(N C M U （ ）A ．{5}B ．{3}C ．{2，3，5}D ．{1，3，4，5} 2．函数)1(1log 2>-=x x xy 的反函数是（ ）A ．)0(122>-=x y xxB ．)0(122<-=x y xxC ．)0(212>-=x y xx D ．)0(212<-=x y xx 3．设集合},20|{},30|{≤<=≤<=x x N x x M 那么“N a ∈”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数)(x f 满足||1)1()(2x x f x f =-，则)(x f 的最小值是 （ ）A ．2B ．22C ．32 D ．3225）6．在数列}{n a 中，)(744,25*11N n a a a n n ∈-==+，则下列乘积中是负数的是 （ ）A ．1615a a ⋅B ．1716a a ⋅C ．1817a a ⋅D ．1918a a ⋅7．函数x x x f sin cos )(⋅=的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 （ ）A ．πB ．π2C ．2π D ．4π 8．设各项都为正数的等比数列}{n a 中，若第五项与第六项的积为81，则1032313log 1log a a og a +++ 的值是（ ）A ．5B ．10C ．20D ．40 9．80cos 70cos 210cos -的值是（ ）A ．21-B ．23 C ．3 D ．2-10．函数2|2|1)(2---=x x x f 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．偶函数且奇函数D ．非偶函数非奇函数11．对一任意R x ∈，函数)(x f 表示34,2123,3+++-x x x 中的较大者，则)(x f 的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 12．函数xx xx x f cos sin 1cos sin )(++=的值域是（ ）A ．[][]12,11,12----B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-212,212C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡---122,122 D ．⎥⎦⎤⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-212,11,212 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．函数)3(log 5.0x y -=的定义域是 。
2018-2019学年四川省成都石室中学高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年四川省成都石室中学高二上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生. A．36 B．37 C．41 D．42【答案】B【解析】由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大(8-3)5,由此能求出结果.【详解】解：由这50名学生随机编号1~50号,并分组,第一组1~5号,第二组6~10号,...,第十组46~50号,在第三组中抽得号码为12的学生,则在第八组中抽得号码为12+(8-3)5=37.故选B.【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，牢记系统抽样的定义及性质是解题的关键.2．命题“，”的否定是( )A．，B．，C．，D．不存在，【答案】A【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断可得答案.【详解】解：命题“，”的否定是“，”.故选: A.【点睛】本题主要考查命题的否定，牢记特称命题的否定是全称命题是解题的关键.3．抛物线的焦点到准线的距离为( )A．B．C．8 D．2【答案】D【解析】根据抛物线性质, 由抛物线方程y=4x, 可知焦点为(1, 0), 准线为x=-1;再求出点(1, 0) 到直线x=-1的距离, 即可解答.【详解】解：由题可知抛物线的焦点为(1, 0), 准线为x=-1,所以焦点到准线的距离为2.故选D.【点睛】本题是一道求抛物线焦点到准线距离的题目,解题关键在于掌握抛物线的性质求解.4．已知命题,命题,则下列判断正确的是( ) A．是假命题B．是真命题C．是真命题D．是真命题【答案】C【解析】试题分析：由基本不等式可得，当且仅当x=2取得等号，所以命题p正确，又只有当时，，但，所以命题q错误，所以正确，所以是真命题，故选C【考点】本题考查判断命题的真假点评：解决本题的关键是利用基本不等式判断命题p的真假以及指数运算判断q的真假5．与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，因为双曲线有共同的渐近线，且过点，所以设双曲线的方程为，把点代入，得，所以双曲线的方程为，故选D．6．已知为三条不同直线,为三个不同平面,则下列判断正确的是( )A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则【答案】C【解析】根据直线与直线平行与垂直的判定定理一一进行判断可得答案.【详解】解：A项,若,则,则与可能平行,可能相交,也可能异面,故A项错误；B项,若，则直线可能在平面内,也可能,则直线和直线可能异面、相交或平行,故B项错误:C项,若.则直线平行于两平面的交线,即,故C项正确；D项，, 则可能平行于,此时若,不能说明,故D项错误.故选C.【点睛】本题主要考查空间中直线与平面间的位置关系及直线与直线平行与垂直的判定，牢记各定理并灵活运用是解题的关键.7．设，则“”是“”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】运用绝对值不等式的解法和余弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．【详解】∵，，则，可得“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时考查余弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．8．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的外接球的体积为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得球的直径恰好是正方形对角线, 从而可求球的体积=.【详解】解：由题意不妨设球的球心为0,可得OA=OB=OC=OD=AC,球的直径恰好是正方形对角线, 所以球的半径R=1,所以球的体积=，故选D.【点睛】本题主要考查球的内接多面体及球的体积与表面积的计算，得出球的直径恰好是正方形对角线是解题的关键.9．已知,若,使得,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】要使命题成立需满足≥, 利用函数的单调性, 可求最值,可得到实数m的取值范围.【详解】解：要使命题成立需满足≥，函数在[0,3]上是增函数,所以=f(0)=0,在[1,2]上是减函数,所以=g(2)=，，解得.故选A.【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质及全称命题、特称命题，本题易出现两个易错点:一是不能正确对含有量词的命题进行转化, 转化为函数最值;二是函数最值求解错误.纠错方法是从本质上理解全称命题、特称命题与函数最大值、最小值之间的关系,同时熟练掌握求函数值域的常用方法.10．已知是双曲线的左、右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由为等腰三角形, 且，可得==2c，P点坐标(2c，)，由点在过点且斜率为的直线上，可得，可得e的值.【详解】解：由题意可得双曲线焦点在x轴上,设=2c.为等腰三角形, 且，==2c，，可得P点的坐标为（c+2ccos，2csin），即P(2c，)，点在过点且斜率为的直线上，，可得，即e=2，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质及应用，得出P点坐标(2c，)后得是解题的关键.11．已知椭圆的右焦点为，为直线上一点，线段交于点，若，则＝( )A．B．C．D．1【答案】C【解析】由, 得,设B点到直线的距离设为, 利用椭圆方程中的a,b 求得c, 可求得, 然后根据椭圆的第二定义求得的长, 可得的长.【详解】解：由椭圆，可得a=，b=1，c=1，椭圆的右焦点为F，可得F(1,0),则l：是椭圆的右准线，，,设B点到直线l的距离为，则，=，根据椭圆的定义，,得=，==故答案为: C.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，注意需灵活运用其性质解题.12．如下图,在棱长为3的正方体中,是的中点,为底面所在平面内一动点,设与底面所成的角分别为(均不为0),若,则点到直线的距离的最大值是( )A．B．2 C．D．3【答案】B【解析】建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，设P点坐标（x，y，0），由，可得tan=tan，可得,即:，可得，可得点到直线的距离的最大值.【详解】解：建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，设P点坐标（x，y，0），，tan=tan，,即:，整理可得：，可得，可得当x=4时，y可取最大值2，即:点到直线的距离的最大值为2，故选B.【点睛】本题主要考查立体几何中动点轨迹的相关问题，正确求出P点轨迹方程是解题的关键.二、填空题13．双曲线的实轴端点为，不同于的点在此双曲线上，那么的斜率之积为___________.【答案】【解析】根据双曲线M、N的坐标，设P点的坐标为（x，y），可得的斜率，两者相乘整理可得答案.【详解】解：由双曲线的实轴端点为，可得M（-2，0），N(2，0)，设P点的坐标为（x，y），可得，，可得==，将代入可得=，故答案：.【点睛】本题主要考查双曲线的性质及直线的斜率，掌握双曲线的性质并灵活运用是解题的关键.14．若直线与抛物线相交于不同的两点，且中点纵坐标为，则_______.【答案】2【解析】由直线与抛物线相交于不同的两点，可得k≠0，同时联立，得，由，由中点纵坐标为，可得k的值，检验可得答案.【详解】解：直线与抛物线相交于不同的两点，k≠0，由，可得，，由中点纵坐标为，=4，解得：k=-1或者k=2，检验，当k=-1时，方程只有一个解，即A、B两点重合，k≠-1，k=2.故答案：2.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要注意韦达定理和中点公式的合理运用.15．已知，，则内切圆的圆心到直线的距离为___________.【答案】1【解析】由三角形三个顶点得出△ABC为等边三角形，再求出内切圆的圆心，再由点到直线的距离公式可得答案.【详解】解：由已知得：，，,可得,,为等边三角形，可得内切圆的圆心即为三角形的中心，的内心的横坐标为=，纵坐标为，内心的坐标为（，1），点（，1）到直线的距离为：d==1，故答案：1.【点睛】本题主要考查等边三角形的内心计算及点到直线的距离公式，判断出为等边三角形并计算出内心坐标是解题的关键.16．已知两定点，点在椭圆上，且满足，则=_______.【答案】9【解析】设P(x，y)，可得P的轨迹方程为：（x≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得，可得的值.【详解】解：设P(x，y)，由，，可得点P的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的右支，且2a=2，c=2，b=，P的轨迹方程为：（x≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得：，可得，===9,故答案：9.【点睛】本题考查用定义法求双曲线的标准方程，求双曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用，是中档题.三、解答题17．已知等差数列和等比数列满足．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)求和：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（1）由，=6，可得d的值，等差数列可得的通项公式；(2) 由（1）中结论，可得=16，可得=4，可得是以1为首项，以=4为公比的等比数列，可得的值.【详解】解：由题意可知:，=1+d+1+3d=6,解得：d=1，所以的通项公式：=.(2)由（1）中结论，可得=16，==16，=4，是以1为首项，以=4为公比的等比数列，通项公式为：=，==.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列及数列的求和，灵活运用数列的性质是解题的关键.18．已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线.(Ⅰ)若，且为真，求实数的取值范围；(Ⅱ)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：先由命题解得；命题得，（1）当，得命题，再由为真，得真且真，即可求解的取值范围．（2）由是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，根据则，即可求解实数的取值范围．试题解析：命题：由题得，又，解得；命题：，解得．（1）若，命题为真时，，当为真，则真且真，∴解得的取值范围是．（2）是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，设，，则；∴∴实数的取值范围是．19．已知的面积为，且.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若，，求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（1）由已知和三角形面积公式可得，进而得到，由二倍角的正切公式可得答案;(2)由（1）式中的，可得由两角和的正弦公式可得，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案.【详解】解：（Ⅰ）设的角所对应的边分别为，∵，∴，∴，∴∴.（Ⅱ），即，∵，，∴，.∴，由正弦定理知：，.【点睛】本题主要考查利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量及两角和的正弦公式等，需牢记三角函数各公式并灵活运用.20．已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为,为坐标原点．(Ⅰ)求的轨迹方程；(Ⅱ)当时，求的方程及的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(或) ，【解析】(1)由圆C的方程求出其圆心坐标与半径，设，由可得M的轨迹方程；（2）由于，可得在线段的垂直平分线上，，可得的方程与的值.【详解】解：（Ⅰ）圆C的方程可化为，∴圆心为，半径为4，设，∴由题设知，即.由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.设其圆心为N，则N(1,3),由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而.∵的斜率为3∴的方程为.(或).点O到直线的距离d==，又=,故=【点睛】本题主要考查圆的方程、直线的方程、平面向量的数量积以及直线的交点坐标与距离公式，解决此类与圆有关的问题时，可以恰当利用圆的几何性质可以有效的化简运算. 21．设抛物线，点，过点的直线与交于(在轴上方)两点. (Ⅰ)当时，求直线的方程；(Ⅱ)在轴上是否存在点，使得,若存在，求点出坐标，若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）（或）；（Ⅱ）【解析】(1) 设直线，由，可得，联立直线与抛物线可得k的值，可得直线的方程；(2)若存在，由，可得，，结合（1）中联立的方程组可得t的值，可得的坐标.【详解】解：（Ⅰ）设, 直线，.∵∴∴直线的方程为（或）（Ⅱ）若存在，.∴∴存在坐标为.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的问题，注意联立直线与抛物线求解并注意计算准确.22．已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．(Ⅰ)求曲线的方程；(Ⅱ)点是曲线与轴正半轴的交点，点、在曲线上，若直线、的斜率分别是、，满足，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）分析条件可得圆心满足条件>，从而可得曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程消去x整理得到关于y的方程，进一步可得，由可求得，从而，从而可得，从而可得三角形面积的最大值。
【精品】2017-2018学年四川省成都市石室中学高二(上)10月月考数学试卷(文科)
2017-2018学年四川省成都市石室中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若直线2x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则实数a的值为（）A．0B．﹣1C．﹣3D．32．（5分）若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b?α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b3．（5分）已知椭圆与双曲线的焦点相同，且短轴长为6，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则长轴长是（）A．3B．6C．D．5．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．6．（5分）设直线与椭圆交于A，B两点，若△OAB是直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）直线l经过A（2，1），两点（m＞0），那么直线l的倾斜角的取值范围是（）D．8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21D．189．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点M是线段AB1上的动点，则关于点M到平面C1BD的距离说法正确的是（）A．点M运动到点A时距离最小B．点M运动到线段AB1的中点时距离最大C．点M运动到点B1时距离最大D．点M到平面C1BD的距离为定值10．（5分）如果点P既在平面区域上，且又在曲线（m＞0）上，则m的最小值为（）11．（5分）设F为双曲线C：的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若，∠FPQ=60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线距离为3，则实数k的值为．14．（5分）经过点P（1，﹣2）作椭圆3x2+4y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为．15．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y2﹣y1|=．16．（5分）已知两定点F1（﹣1，0），F2（1，0）和一动点P，给出下列结论：①若|PF1|+|PF2|=2，则点P的轨迹是椭圆；②若|PF1|﹣|PF2|=1，则点P的轨迹是双曲线；③若，则点P的轨迹是圆；④若，则点P的轨迹关于原点对称；⑤若直线PF1与PF2斜率之积等于m（m≠0），则点P的轨迹是椭圆（除长轴两端点）．其中正确的是（填序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求sinAcosB的值；（Ⅱ）若，求B．18．（12分）已知圆C经过A（1，1）和B（2，﹣2），且圆C在直线l：3x﹣4y+1=0上，（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线m垂直于直线l且与圆C相切．求直线m的方程．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是线段PC上的一点，证明：平面BDM⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．（12分）设数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n﹣n+1，n∈N*．（1）证明：数列{a n﹣n}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知双曲线=1（b＞a＞0）渐近线方程为y=±x，O为坐标原点，点在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求的值．22．（12分）已知圆，圆心为F1，定点F2（1，0），P为圆F1上一点，线段PF2上一点N满足，直线PF1上一点Q，满足．（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与轨迹C交于不同的两点A，B．当且满足时，求△OAB面积S的取值范围．2017-2018学年四川省成都市石室中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若直线2x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则实数a的值为（）A．0B．﹣1C．﹣3D．3【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，即可得圆心C的坐标，将圆心坐标代入直线2x+y+a=0中，即可得2×（﹣1）+2+a=0，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），直线2x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则有2×（﹣1）+2+a=0，解可得：a=0；故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆的方程变形为标准方程，求出圆的圆心坐标．2．（5分）若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b?α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．【点评】本题考查的是线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定与性质是关键．3．（5分）已知椭圆与双曲线的焦点相同，且短轴长为6，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．【分析】由已知求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的焦点坐标，结合椭圆短轴长为6及隐含条件求得椭圆长半轴长，则椭圆方程可求．【解答】解：由双曲线，可得a2=4，b2=12，∴，则椭圆的焦点坐标为（0，±4），由此可设椭圆方程为，则2b1=6，得b1=3，又c=4，∴．∴此椭圆的方程为．故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆与双曲线的简单性质，是基础题．4．（5分）焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则长轴长是（）A．3B．6C．D．【分析】由题意可得a2=m，b2=1，利用隐含条件求得c，结合焦距为4求得m，则长轴长可求．【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴m＞1，则a2=m，b2=1，∴c=，由题意可得，即m=5．∴a=．则椭圆的长轴长是．故选：C．【点评】本题考查椭圆方程的求法，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，是基础题．5．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．【分析】由题意知，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力．6．（5分）设直线与椭圆交于A，B两点，若△OAB是直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意求得A点坐标，将A代入椭圆方程，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆C的两个焦点与A、B两点，△OAB是直角三角形，∴AB=a，即A（，），∴?a2=3b2=3a2﹣3c2，a?e==，故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．7．（5分）直线l经过A（2，1），两点（m＞0），那么直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．m＞0，由tanθ＝=3﹣，利用基本不等式的性质与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．又m＞0，∴tanθ＝=3﹣≤3﹣2=1，当且仅当m=1时取等号．∴θ∈∪．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21D．18【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A．第11页（共26页）【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．9．（5分）在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点M 是线段AB 1上的动点，则关于点M 到平面C 1BD 的距离说法正确的是（）A ．点M 运动到点A 时距离最小B ．点M 运动到线段AB 1的中点时距离最大C ．点M 运动到点B 1时距离最大D ．点M 到平面C 1BD 的距离为定值【分析】连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ，则可证AB 1∥平面BDC 1，故而M 到平面C 1BD 的距离为定值．【解答】解：连接B 1C 交BC 1于O，连接OD ，则OD ∥AB 1，∴AB 1∥平面BDC 1，∴M 到平面C 1BD 的距离为定值．故选：D．。
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2017-2018学年四川省成都市石室中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若抛物线的准线方程为x=1，焦点坐标为（﹣1，0），则抛物线的方程是（）A．y2=2x B．y2=﹣2x C．y2=4x D．y2=﹣4x2．（5分）函数y=x2+1的图象上一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则等于（）A．2 B．2x C．2+△x D．2+△x23．（5分）命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0 D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞04．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），点P在椭圆上，若△PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．5．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）“a=”是“对任意的正数x，2x+的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中一定正确的选项是（）A．①③B．②③C．②③④D．①③④10．（5分）椭圆+=1和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是（）A．B．C．D．11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=．14．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=1处有极大值，则c=．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x 的值．16．（5分）已知椭圆C：的右焦点为F，A为直线x=2上一点，线段AF交C于点B，若，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（1）求{a n}的通项公式；（2）求和：b1+b3+b5+…+b2n．﹣118．（12分）已知命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0；命题q：方程=1表示双曲线．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点（4，m）到焦点的距离为6．（1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（1）求证：EF⊥平面PAC；（2）如果三棱锥C﹣EFM的体积为，求点M到面PAB的距离．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）在点x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值；（3）若函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数，试确定a的取值范围．22．（12分）已知圆M：和点，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x=ty+m交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，若k1•k2=9，求：①m的值；②△ABC面积的最大值．2017-2018学年四川省成都市石室中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若抛物线的准线方程为x=1，焦点坐标为（﹣1，0），则抛物线的方程是（）A．y2=2x B．y2=﹣2x C．y2=4x D．y2=﹣4x【解答】解：根据题意，抛物线的准线方程为x=1，焦点坐标为（﹣1，0），则抛物线开口向左，=1，则其标准方程为：y2=﹣4x；故选：D．2．（5分）函数y=x2+1的图象上一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则等于（）A．2 B．2x C．2+△x D．2+△x2【解答】解：由于===2+△x，则=2故选：A．3．（5分）命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0 D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：特称命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．故选：A．4．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），点P在椭圆上，若△PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设P的纵坐标为t，椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），则c=3，则△PF1F2的面积S=×|F1F2|×t=c|t|=3|t|，分析可得：当点P在短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值，此时|t|=b，有3b=12，解可得b=4，则a==5，则椭圆的方程为：+=1；故选：C．5．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设所求双曲线为，把点（﹣3，）代入，得，解得，∴所示的双曲线方程为．故选：D．6．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，以PA，PB，PC为棱构造长方体，则长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，∵，，AC=2，∴PA2+PB2+PA2+PC2+PB2+PC2=5+4+7=16，∴PA2+PB2+PC2=8，∴此三棱锥的外接球的半径R===，∴此三棱锥的外接球的体积：V===．故选：B．7．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=故选：D．8．（5分）“a=”是“对任意的正数x，2x+的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当“a=”时，由基本不等式可得：“对任意的正数x，2x+”一定成立，即“a=”⇒“对任意的正数x，2x+”为真命题；而“对任意的正数x，2x+的”时，可得“a≥”即“对任意的正数x，2x+”⇒“a=”为假命题；故“a=”是“对任意的正数x，2x+的”充分不必要条件故选：A．9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中一定正确的选项是（）A．①③B．②③C．②③④D．①③④【解答】解：画出几何体的图形，如图：在①中，由题意可知，直线BE与直线CF异面，故①不正确，在②中，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线，直线BE与直线AF异面，故②正确；在③中，直线EF∥平面PBC；由E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；在④中，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE与平面PAD不一定垂直，故④不正确．故选：B．10．（5分）椭圆+=1和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是（）A．B．C．D．【解答】解：设P是双曲线右支上的一点，设|PF1|=m，|PF2|=n．则，解得mn=3．|F1F2|=4．∴cos∠F1PF2====．故选：A．11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，∴∠PFQ=90°，设双曲线的左焦点为F1，连接F1P，F1Q，由对称性可知，F 1PFQ为矩形，且，故．故选：B．12．（5分）点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：法一由题意有点P在抛物线y2=2x上，设P（，y），则有（+）2=（﹣a）2+（y﹣2）2，化简得（﹣a）y2﹣4y+a2+=0，当a=时，符合题意；当a≠时，△=0，有a3﹣++=0，（a+）（a2﹣a+）=0，a=﹣．故选D．法二由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=﹣时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=﹣．【解答】解：∵sinθ﹣cosθ=，平方可得1﹣sin2θ=，∴sin2θ=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=1处有极大值，则c=3．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函数f（x）=x（x﹣c）2在x=1处有极大值，∴f′（1）=0，即c2﹣4c+3=0，解得c=3或1．经检验c=1时，函数f（x）在x=1处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c=3，故答案为：3．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x 的值3．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD=1，BC=2，SB=x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S=×（1+2）×2=3．几何体的体积V=×x×3=3，解得x=3．故答案为：3．16．（5分）已知椭圆C：的右焦点为F，A为直线x=2上一点，线段AF交C于点B，若，则=．【解答】解：由椭圆C：，得a=，b=1，c=1，椭圆的右焦点为F，可知F（1，0），则直线l：x=2 是椭圆的右准线，∵，∴，B点到直线l的距离|BE|，则，∴|BE|=，根据椭圆定义e===，得|BF|=，∴||=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（1）求{a n}的通项公式；．（2）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1【解答】解：（1）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式为：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（2）由（1）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9，可得b3=3或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．所以q2=3，{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．∴=．18．（12分）已知命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0；命题q：方程=1表示双曲线．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数m的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：实数m满足m2﹣5am+4a2＜0，其中a＞0，解得a＜m＜4a；命题q：方程=1表示双曲线则（m﹣3）（m﹣5）＜0，解得3＜m ＜5．（1）若a=1，则p：1＜m＜4．由p∧q为真，∴，解得3＜m＜4．∴实数m的取值范围是（3，4）．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．∴，等号不能同时成立．解得3．∴实数a的取值范围是．19．（12分）已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点（4，m）到焦点的距离为6．（1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．【解答】解：（1）由题意设抛物线方程为y2=2px（p≠0），其准线方程为，∵A（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴，∴p=4，∴此抛物线的方程为y2=8x．（2）由，消去y得k2x2﹣（4k+8）x+4=0，∵直线y=kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有，解得：k＞﹣1且k≠0，由，解得k=2或k=﹣1（舍去）．∴所求k的值为2．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（1）求证：EF⊥平面PAC；（2）如果三棱锥C﹣EFM的体积为，求点M到面PAB的距离．【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，∵AB=AC，∠BCD=135°，∴AB⊥AC，由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，∴EF⊥AC．∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，∴PA⊥底面ABCD．又∵EF⊂底面ABCD，∴PA⊥EF．又∵PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC．=解：（2）∵S△EFC==1，三棱锥C﹣EFM的体积为，设M到平面EFC的距离为h，=V M﹣EFC=×h==，∴V C﹣EFM解得h=1，∵PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，∴MF⊥面ABCD，且M到面CEF的距离为1，∴M为PD中点，∴点M到面PAB的距离d=1．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）在点x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值；（3）若函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数，试确定a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx，，f'（1）=1，又f（1）=1，∴切线方程为y=x．（2）定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）不存在极值．当a＞0时，令f'（x）=0，得，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，所以当时，f（x）有极小值无极大值．（3）∵f（x）在（2，+∞）上递增，∴对x∈（2，+∞）恒成立，即a≤2x2恒成立，∴a≤8．22．（12分）已知圆M：和点，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x=ty+m交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，若k1•k2=9，求：①m的值；②△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）圆M：的圆心为，半径为，点N在圆M内，，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，由，，得b2=3﹣2=1，所以曲线E的方程为．（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），则：C：x=ty+m，联立方程组，得（1+3t2）y2+6mty+3m2﹣3=0，由△＞0，解得t2＞1，，，由k1k2=9知y1y2=9（x1﹣1）（x2﹣1），=9（ty1+m﹣1）（ty2+m﹣1），=，且m≠1，代入化简得（9t2﹣1）（m+1）﹣18mt2+3（m﹣1）（1+3t2）=0，解得m=2，②，=（当且仅当时取等号）．综上，△ABC面积的最大值为．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.（2）当∠APB＝90°时，若AB（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。