高中数学竞赛讲座 28代数式的变形(整式与分式)
高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧
1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。
字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。
对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。
定义2 如果两个代数式A、B，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B。
两个代数式恒等的概念是相对的。
同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但x=，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。
因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。
定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。
代数式的变形，可能引起定义域的变化。
如lgx2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，2lgx的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx2=2lgx。
由lgx2变形为2lgx时，定义域缩小了；反之，由2lgx变形为lgx2时，定义域扩大了。
这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。
由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。
例1：设px=有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：原方程等价于222(0,0x p xx x⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0pxx p px xx x p x⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043pxppx x⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩由上式知，原方程有实根，当且仅当p满足条件24(4)4448(2)33p ppp--≤≤⇔≤≤-这说明原方程有实根的充要条件是43p≤≤。
竞赛讲座(整式的恒等变形)
竞赛讲座(整式的恒等变形)一、知识要点1、整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。
3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：①(a+b) (a-b)=a2-b2②(a±b)2=a2±2ab+b2③ (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3④ (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3⑤ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc⑦(a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b34、整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。
5、余数定理多项式()x f除以 (x-a) 所得的余数等于()a f。
特别地:()a f=0时，多项式()x f能被(x-a) 整除二、例题精讲例1在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解因1+2+3+ (1998)()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。
先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。
很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1,例2计算 (2x3-x+6)•(3x2+5x-2)分析计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。
整式的运算恒等变形竞赛课程
整式恒等变形【专题简介】把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式，在数学求根作图方面有很广泛的应用．因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显．基本的分解方法有：①提公因式法②公式法③十字相乘常见分解技巧有：①主元法②换元法③拆添法④双十字相乘法高端分解方法有：①因式定理②待定系数③轮换对称【学习目标】学习换元法、因式定理、待定系数题型一消元与降次强化挑战【例1】化简(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2－3(y－z)2－3(x－y)2－3(x－z)2【练1】已知x，y，z为有理数，(y－z)2＋(x－y)2＋(x－z)2＝(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2，求(yz＋1)(zx＋1)(xy＋1)的值．()z2＋1x2＋1()y2＋1()【例2】（第14届希望杯1试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值【练2】当x－y＝1，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值【例3】（第14届希望杯邀请赛试题）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝.【练3】（1990年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二因式分解基础夯实【例3】（1）已知a5＋a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3＝.(2)若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝.(3)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋bc ＋ac ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a 、b 、c 的值．【练4】（1）方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解（x ≤y ）为 .(2)若x 5＋x 4＋x ＝－1，则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝ .(3)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．【例5】长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．【练5】矩形的周长为28cm ，它的两边长x cm ，y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．强化挑战【例6】（已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求2b ＝a ＋c .【练6】（1）在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b .(2)已知∆ABC 三边a ，b ，c 满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断∆ABC 的形状，并说明理由．题型三乘法公式强化挑战【例7】若x ＋y ＝a ＋b ，且x 2＋y 2＝a 2＋b 2，求证：x 2014＋y 2014＝a 2014＋b 2014.【练7】已知a ＋b ＝c ＋d ，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证：a 2013＋b 2013＝c 2013＋d 2013.巅峰突破【例8】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013.【练8】（第6届希望杯初一）已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值【例9】已知a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0. 【练9】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝．【例10】（2009北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，（1）求ab＋bc＋ac的值（2）求a4＋b4＋c4的值【练10】若a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，a3＋b3＋c3＝83，求①abc的值；②a4＋b4＋c4的值题型四配方深入研究【例11】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y【练11】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y【例12】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y【练12】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y.【例13】已知实数a ，b ，c 满足a －b ＋c ＝7，ab ＋bc ＋b ＋c 2＋16＝0，则 b a的值等于 ．【练13】已知a －b ＝4，ab ＋c 2＋4＝0，则a ＋b ＝ ．【例14】当x 变化时，分式3x 2＋6x ＋512x 2＋x ＋1的最小值是 ．【练14】（2000年联赛）实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y＝ .第9讲7年级尖端班课后作业【习1】已知求x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值.【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072，则m（）A．是完全平方数还是奇数B.是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24则这样的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是三角形三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c2b2的值（）A恒正B恒负C可正可负D非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋2b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值【习8】已知x是实数，并且x3＋2x2＋2x＋1＝0，求x2008＋x2011＋x2014的值【习9】（1999年北京初二数学竞赛）若3 x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．【习10】（第18届希望杯初一）有理数a、b、c满足a∶b∶c＝2∶3∶5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．【习11】（2010北京市初二数学竞赛）x、y为实数，满足x＋y＝1，x4＋y4＝72，求x2＋y2的值．【习12】（十八届希望杯初二二试）已知a1、a2、a3……a2007是彼此互不相等的负数，且M＝（a1＋a2＋a3……＋a2006）（a2＋a3……＋a2007）N＝（a1＋a2＋a3……＋a2007）（a2＋a3……＋a2006）试比较M、N的大小【习13】（2013年联赛）已知实数x、y、z满足x＋y＝4，│z＋1│＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝．【习14】（2013年竞赛）已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0则abc的最大值为．【习15】（2001年联赛）求实数x、y的值，便得（y－1）2＋（x＋y－3）2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。
高中数学奥林匹克竞赛讲座：28代数式的变形(整式与分式)
例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,
,求a+b+c的值.
解 设 a+b+c=k
则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.
由条件知
即
∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,
证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.
而
显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.
（2） 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.
例9 设n为正整数，求证：
① ②
证明 令
∴a+b+c=±1
综上知a+b+c=0或a+b+c=±1
5.“拆”、“并”和通分
下面重点介绍分式的变形：
（1） 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.
例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n，分数皆不可约.,
解 设 则
.
∵2x＞y ∴2x-y＞0, 又y＞0,
可知 ∴A＞B.
4.设参
当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.
例6 若求x+y+z的值.
解 令
则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,
例1 （1986年全国初ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ竞赛题）设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.
2014-11-18代数式讲义
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
（2）运用公式法，即用
写出结果．
（3）十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab＝q，a＋b＝p的a，b，如有，则 对于一般的二次三项式 寻找满足
a1a2＝a，c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b的a1，a2，c1，c2，如有，则
a3=0；… 则a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为．
25、计算：
26、计算： ．
27、下列运算中，结果正确的是（ ）。
A、a4＋a4＝a8B、a3·a2＝a5C、a8÷a2＝a4D、(－2a2)3＝－6a6
28、下列计算中，不正确的是（ ）．
A、－3a＋2a＝－aB、(－2x2y)3＝－6x6y3
甲
乙
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
图①
图②
16、图①是一个边长为 的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②
能验证的式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
17、下列语句中，错误的是（ ）
A、数字 0 也是单项式 B、单项式 a 的系数与次数都是 1
C、 x2y2是二次单项式 D、- 的系数是 -
18、计算： ______________.
学科教师辅导讲义
学员编号：年级：七年级课时数：3
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
课题
代数式
授课时间：
备课时间：2014-11-18
教学目标
1.理解整式、因式分解、分式、平方根、立方根、算术平方根的有关概念。
2.掌握整式的运算、提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握分式的约分、通分、混合运算，能把简单多项式分解因式。
整式加减的公式
整式加减的公式(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一、代数式与有理式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
2、整式和分式统称为有理式。
3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
二、整式和分式1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
三、单项式与多项式1、没有加减运算的整式叫做单项式。
（数字与字母的积---包括单独的一个数或字母）2、几个单项式的和，叫做多项式。
其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。
划分代数式类别时，是从外形来看。
单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
多项式1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
代数式变形在高中数学中的应用(二)函数应对策略之分离参数法
代数式变形在高中数学中的应用（二）函数应对策略之分离参数法代数式变形在高中数学中应用十分广泛。
分离参数法就是把变元和参数通过等价变形分别写在等式或者不等式的两侧，进而只需研究不含参数的一个函数就可以解决问题，因为这样避免了令人头疼的分类讨论，所以这种方法十分受欢迎。
分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到.1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x =+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数.∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知xa ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围. 解 ∵()2a a f x x x =-+，∴2()1af x x'=+. 又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a .3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例：不等式2210ax x -+>在[1,2]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围. 讨论的解法会设函数2()21f x ax x =-+，进而求解函数在[1,2]x ∈时的最小值或值域，再利用其最小值大于零来求解参数取值范围。
分式化整式知识点总结
分式化整式知识点总结一、分式的定义和性质1. 分式的定义在代数学中，分式是指一个有分子和分母的有理数的比值形式。
一般表示为a/b，其中a和b都是整数，b≠0。
分式也可以表示为一种形式为x/y的代数式，其中x和y都是代数式。
分式中的a称为分子，b称为分母。
分式表示了数的比值关系，是一种广泛应用的数学表达形式。
2. 分式的性质（1）分式的相加减分式的相加减要求分母相同，然后分别在分子上进行运算。
例如，a/b+c/d=(ad+bc)/bd。
如果分母不同，需要通分转化成相同分母后再进行加减操作。
（2）分式的乘除分式的乘法可以直接将分子相乘，分母相乘，即a/b* c/d=(ac)/(bd)。
分式的除法则可以看成是乘法的倒数操作，即a/b ÷ c/d= a/b* d/c。
（3）分式的化简对于分式的化简，即将分式表达式的分子和分母进行约分化简得到最简形式。
比如，将分式2x/4x化简为1/2。
（4）分式的扩展当分式的分子和分母都是多项式时，需要进行化简扩展。
常用的方法有通分、提公因式等。
二、分式化整式的方法1. 通分通分是将不同分母的两个或多个分式相加减的方法。
首先要找到它们的最小公倍数，然后将各个分式的分子的每一项同该公倍数相乘，得到通分后的分子，再将分母分别乘以该公倍数的因子，得到通分后的分母。
例如，将1/2 和1/3通分，可以得到3/6和2/6两个分式。
2. 提公因式当一个分式中分子和分母均为多项式时，可以通过提取公因式进行化简。
即将分子和分母中的公共部分提取出来，在分子和分母部分都除以该公因式，得到化简后的分式。
3. 合并同类项对于分子或分母中存在多个同类项的分式，可以通过合并同类项化简。
即将同类项相加合并，得到最简形式的分式。
4. 分式的分解分式的分子或分母可以进行因式分解，得到最简形式的分式。
5. 分式的乘法和除法对于分式的乘除操作，可以直接将分子和分母进行乘法和除法，得到最终的分式表达式。
代数式变形在高中数学中的应用(一)分式函数应对策略之分离常数法
代数式变形在高中数学中的应用（一）分式函数应对策略之分离常数法代数式变形在高中数学中应用十分广泛。
其中的分离常数法是研究分式函数的变形的常用方法。
分式型函数解题的关键是采用拆项使分式的分子为常数，或拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式。
通过这种变形，转变成一次函数，二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等我们熟悉的基本函数，然后根据它们的性质求解。
主要的分式函数有：ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+，等几种形式，下面分别加以讨论。
1、一次分式函数： 形如(),(0,)ax b f x c ad bc cx d+=≠≠+ 函数叫一次分式函数。
利用分离常数法变形如下：(),ad ad ad ax b b ax b a c c c f x cx d cx d c cx d++--+===++++ 设ad b m c -=， 则： ()ax b f x cx d +=+，不难看出()f x 像可由反比例函数 m y cx=图像经过平移取得。
从而很轻易解答如下问题：对于函数 ()(),()ax b a m ad f x f x m b cx d c cx d c+=⇔=+=-++ （1.）定义域是：(,)(,)d d c c -∞--+∞； （2.）值域是：(,)(,)a a cc -∞+∞；（3.）对称点为：(,)d a c c -，对称轴为：(()a d y x c c-=±+； （4.）单调性为： 当0m >时，()ax b f x cx d +=+ 在 (,)d c -∞- 上及 (,)d c-+∞ 上都是增函数，且(,)d x c ∈-∞-时，()(,)a f x c ∈-∞，(,)d x c ∈-+∞时，()(,)a f x c ∈+∞； 当 0m <时，()ax b f x cx d +=+ 在 (,)d c -∞- 上及 (,)d c-+∞ 上都是减函数，且(,)d x c ∈-∞-时，()(,)a f x c ∈+∞，(,)d x c ∈-+∞时，()(,)a f x c ∈-∞；例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.例2 已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x bx b ++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.例3 已知 ()1a bx f x x a -=-- 的图象对称中心为 (3,1)- ，求 ,ab 的值。
专题--整式与分式
专题--整式与分式专题--整式与分式本讲教育信息】一、教学内容：专题——整式与分式二、教学目标：1. 了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式．2. 熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算．3. 会解分式方程和分式方程应用题．4. 体会数学知识之间的整体联系．三、知识要点分析：1. 分解因式分解因式的常用方法：提公因式法、运用公式法．2. 分式的运算（1）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．（2）分式乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．（3）分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．3. 分解因式和整式乘法运算是互逆的，分解因式和整式乘法运算是分式运算的重要依据．4. 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程．（2）解这个整式方程．（3）验根，即把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根．需要注意的是，这种代入最简公分母验根的方法虽然简便，但是必须要保证解方程的各步运算准确无误，否则这种简便的验根方法不能起到有效的作用．因此，我们还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，看等式左边是否等于右边．知识点1：分解因式例1. 分解因式：（1）x3－2x2＋x；（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．题意分析：本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式．思路分析：（1）题是三项式，先提取公因式，再考虑用完全平方公式解题．（2）题先提取公因式，再考虑用平方差公式解题．解：（1）x3－2x2＋x＝x（x2－2x＋1）＝x（x－1）2；（2）x2（x－y）＋y2（y－x）．＝（x－y）x2－（x－y）y2＝（x－y）（x2－y2）＝（x－y）（x＋y）（x－y）＝（x－y）2（x＋y）．解题后的思考：解决分解因式的问题时，首先考虑因式是否有公因式，如果有，先提取公因式；如果没有公因式且因式是两项式，则考虑能否用平方差公式分解因式；因式是三项式时应考虑用完全平方公式解题．最后，直到每一个因式都不能再分解为止．例2．在边长为a cm的正方形木板上开出边长为b cm（b＜）的四个方形小孔，如图所示．（1）试用a、b表示出剩余部分的面积；（2）若a＝14.5，b＝2.75，则剩余部分的面积是多少？题意分析：本题意在考查整式和分解因式的综合应用．思路分析：剩余面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积．解：（1）剩余部分的面积＝（a2－4b2）cm2．（2）当a＝14.5，b＝2.75时，（a2－4b2）＝（a＋2b）（a－2b）＝（14.5＋5.5）（14.5－5.5）＝180（cm2）．答：剩余部分的面积是180cm2．解题后的思考：观察所列算式，先分解因式，再代入求值较简便．小结：分解因式是整式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法运算，尤其是多项式乘法运算有着密切的联系．分解因式是分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础．等关系的方法是相同的，所不同的是分式方程的数量关系大多是以分式的形式出现的．小结：检验是解分式方程必不可少的步骤．注意，解分式方程的检验与解一元一次方程的检验是不同的，解一元一次方程验根的目的只是检验解答的过程有无错误，而解分式方程验根的目的是在解答无误的前提下看是否有增根，检验的办法是把结果代入原方程的各分母，看是否为零，也可直接代入最简公分母，看是否为零．总结：本讲内容联系较密切，整式乘法→分解因式→分式运算→分式方程，层层递进，逐级加深．应重点掌握分解因式的方法和分式运算法则，并在此基础上进一步提高分析解决综合问题和应用问题的能力．【预习导学案】（暑假专题——图形的相似）1. 如何判断两个三角形相似，相似三角形有什么性质？2. 什么是相似图形，什么是位似图形？1. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A. 4.8米B. 6.4米C. 9.6米 D. 10米2. 如图，在RtΔABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC＝3，AB＝5，其中的一对相似三角形是__________和__________；它们的面积比为_________．【模拟试题】（答题时间：50分钟）*4. 用简便方法计算下列各题．（1）10002－2000×993＋9932；（2）1.992－2.992．**5. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，则不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（Ⅰ）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）速度（千米／时）所用时间（时）所走的路程（千米）（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．。
初中联赛题型解读一：整式与恒等变形
联赛题型解读（一）——整式与恒等变形左右。
而代数的基础便是整式,其中乘法公式、因式分解以及恒等变形,为代数提供了丰富的知识和技巧。
下面我们通过统计近16 年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对整式的考察才会计入分值统计）,帮助大家更好的了解整式在联赛中考察的分值比重。
总结这几年来初中数学联赛对整式的考察,整式一般会考察2道题左右,考察的分值最高达到41 分（3 道一试题外加 1 道二试题）,而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟随几年的低峰。
我们可以认为在接下来的一两年内,会在一试中进行2 题左右的考察。
而且近三年的趋势就是这一块的内容有加强考察的趋势,说明这方面的能力要求在提升。
恒等变形的技巧贯穿了整个代数,可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。
整式中的知识大体来说包含了：乘法公式,因式分解及恒等变形,三个部分,这里简单的介绍前两个部分的基础知识。
1.乘法公式这里介绍常用的八个乘法公式：（1）平方差：a2 -b2 =(a +b)(a -b)；⎣⎦（2） 平方： (a ± b )2= a 2 ± 2ab + b 2 ；（3） 三元完全平方： (a + b + c )2= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ；（4）a 2 +b 2 +c 2 ± ab ± bc ± ca = 1 ⎡(a ± b )2 + (b ± c )2 + (c ± a )2⎤ ； 2 （5） 和（差）的立方： (a + b )3= a 3 + b 3 + 3ab (a + b );(a - b )3= a 3 - b 3 - 3ab (a - b )；（6） 立方和（差）： a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 ); a 3 - b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2 )；（7）（8） a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca )-a 4 - b 4 - c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2= (a + b + c )(a + b - c )(b + c - a )(c + a - b )2. 因式分解简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取公因式：上午+下午=（上+下）午；（2） 公式法： x 6 - y 6 = (x 3 + y 3 )(x 3 - y 3 ) = (x + y )(x - y )(x 2 + xy + y 2 )(x 2 - xy + y 2 )； （3） 分组分解法： ax + ay + bx + by = a (x + y ) + b (x + y ) = (a + b )(x + y ) ； （4） 十字相乘:二次三项式 abx 2 + (ad + bc ) x + cd = (ax + b )(cx + d ) ；（5） 双十字相乘：选定两个二次三项式进行十字相乘；分步两次十字相乘大致相同； （6） 拆项天项: a 4 + a 2b 2 + b 4 = a 4 + 2a 2b 2 + b 4 - a 2b 2 = (a 2 + ab + b 2 )(a 2 - ab + b 2 ) ; （7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单；（8） 主元法：多字母的代数式,可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解； （9） 因式定理：多项式 f (x ) ,当 x = a 的时候 f (a ) = 0 ,则 f ( x ) 有因式 x - a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于 x 、y 、z 的轮换式有因式 x - y ,则其有因式(x - y )( y - z )(z - x )前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握,后 2 种有兴趣有精力的学生可以选择性的进行学习。
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竞赛讲座28
－代数式的变形（整式与分式）
在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.
1．配方
在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.
例1 （1986年全国初中竞赛题）设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.
解mn=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
=(ac-bd)2+(ad+bc)2,
所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.
例2（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且
(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2
=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.
求的值.
解将条件化简成
2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0
∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0
∴x=y=z,∴原式=1.
2.因式分解
前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.
例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求
的值.
解∵a为x2-3x+1=0的根,
∴ a2-3a+1=0,,且=1.
原式
说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.
3.换元
换元使复杂的问题变得简洁明了.
例4 设a+b+c=3m,求证:
(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.
证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则
p+q+r=0.
P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0
∴p3+q3+r3-3pqr=0
即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0
例5 (民主德国竞赛试题) 若,试比较A、B的大小.
解设则
.
∵2x＞y ∴2x-y＞0, 又y＞0,
可知∴A＞B.
4.设参
当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.
例6 若求x+y+z的值.
解令
则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,
∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.
例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,
,求a+b+c的值.
解设 a+b+c=k
则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.
由条件知
即
∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,
∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.
∵a2+b2+c2=1,
∴k=a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),
∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),
∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,
∴k(-ab-bc-ac)=0.
若K=0, 就是a+b+c=0.
若-ab-bc-ac=0,
即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,
∴(a+b+c)2=1,
∴a+b+c=±1
综上知a+b+c=0或a+b+c=±1
5.“拆”、“并”和通分
下面重点介绍分式的变形：
（1）分离分式为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.
例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n，分数皆不可约.,
证明如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约. 而
显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.
（2）表示成部分分式将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.
例9 设n为正整数，求证：
①②
证明令
通分，
比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.
∴
令k=1,2,…,n得
(3)通分通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.
例10(1986年冬令营赛前训练题)
已知
求证:.
证明
6.其他变形
例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______.
解 x2=x(x+1)-x
或 x2=x(x-1)+x
例12 （第3届美国中学生数学竞赛题）设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.
解由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故
19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)
解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757
练习七
1选择题
（1）（第34届美国数学竞赛题）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（）
（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8
（3）已知则的值是（）.
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3
（3）（第37届美国中学数学竞赛题）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（）.
（A）p% (B)% (C)% (D)% (E)%
2填空题
（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______.
(2)若=_____.
(3)已知y1=2x,y2=,则y1y1986=______
3若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.
4（1985年宁夏初中数学竞赛题）把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.
5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.
6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证
7已知a2+c2=2b2,求证
8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:
如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.
9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.
练习七
1.C.C.E
2.(1)-32,210 (2) (3)2
3.略.
4.
5. 6.略, 7.略.
8.∵p2-4q-4(m+1)=0, ∴4q=p2-4(m+1)=0,
∴f(x)
=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2
=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x
=[2x2-px-(m+1)]2.
9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为
pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),
展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,
即(cp-bq)(dp-aq)=0.
于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).
均可得出ac=bd.。