用射影面积法求二面角在高考中妙用
高考数学专题：二面角三类问题六种解题策略方法
αβaOA B二面角三类问题六种解题策略方法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，我们分为三类问题六种解题方法。
从而给出二面角的通性通法。
第一类：有棱二面角的平面角的方法方法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1、（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的余弦值。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF 在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB ∠ FG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角的大小为)36arccos(-举一反三：空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。
高考试题中二面角的三种常见求法
高考试题中二面角的三种常见求法
发表时间：2011-09-27T17:17:12.000Z 来源：《时代报告》2011年7月下期供稿作者：刘德奎[导读] 求二面角大小是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。
刘德奎
（四川省甘洛中学，四川凉山 616850 ）中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：41-1413（2011）07-0000-02 摘要：求二面角大小是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。
笔者以近年的高考题为例，归纳总结了求二面角的三种常用方法供大家参考。
关键词：高考；二面角；常见求法立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。
本文以2010年高考题为例，归纳总结了求二面角的三种常见方法，供大家参考。
一、定义法。
二面角的大小指的就是二面角的平面角的大小。
根据这个定义要求二面角的大小，只需要作出二面角的平面角，并求出平面角的大小即可。
例如下面几题：
二、空间向量法。
由于平面在空间的延展方向与平面的法向量是有关系的，所以我们可以利用二面角的两个半平面的法向量来求二面角的大小。
利用法向量求二面角的大小的原理:
三、射影面积法
二面角的大小可以用其中一个半平面上的封闭图形和它在另一个半平面上的射影的面积比来刻画。
在旧人教版的总复习题B组中有有关结论。
定理已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则。
射影面积法求二面角原理
射影面积法求二面角原理引言：在几何学中，二面角是指由两个平面所夹成的角度，它是空间几何中的基本概念之一。
求解二面角的方法有很多种，其中一种常用的方法是射影面积法。
本文将介绍射影面积法求解二面角的原理和应用。
一、二面角的定义和性质二面角是由两个平面所夹成的角度，可以用来描述两个平面的夹角大小。
二面角有以下性质：1. 二面角的大小范围是0°到180°之间；2. 二面角的大小与两个平面的夹角大小有关，但不仅仅取决于两个平面的夹角；3. 二面角的大小与两个平面的位置有关，即两个平面的相对位置不同，二面角的大小也会有所变化。
二、射影面积法的原理射影面积法是一种常用的求解二面角的方法，它基于以下原理：1. 任意两个平面所夹成的角度可以通过两个平面的射影面积来求解；2. 射影面积是指一个平面在另一个平面上的投影面积，可以用来表示两个平面之间的夹角大小；3. 射影面积可以通过投影公式和向量运算来计算。
三、射影面积法的应用射影面积法在几何学和物理学中有广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 几何学中的角度计算：通过射影面积法可以计算任意两个平面所夹的角度大小，从而求解几何问题；2. 物理学中的力学问题：在力学问题中，二面角可以表示两个力的夹角，通过射影面积法可以计算力的合成和分解；3. 工程学中的结构设计：在结构设计中，二面角可以表示两个构件的夹角，通过射影面积法可以计算结构的稳定性和强度。
四、射影面积法的计算步骤射影面积法的计算步骤如下：1. 确定两个平面的方程；2. 计算两个平面的交线；3. 确定投影方向和投影面积；4. 计算射影面积；5. 根据射影面积计算二面角大小。
五、射影面积法的优缺点射影面积法作为一种求解二面角的方法，具有以下优点：1. 原理简单易懂，计算步骤清晰明确；2. 适用范围广泛，可以应用于多个学科领域；3. 结果准确可靠，能够满足实际需求。
然而，射影面积法也存在一些缺点：1. 计算过程稍复杂，需要一定的数学基础和计算能力；2. 对于一些特殊情况，射影面积法可能无法提供准确的结果；3. 在实际应用中，射影面积法往往需要结合其他方法和技术进行综合分析。
从近五年高考中浅谈二面角的求解
从近五年高考中浅谈二面角的求解摘要：本文主要是运用定义法、三垂线法、垂面法、向量法、射影面积法、补形法、补棱法七种方法来求解二面角大小.关键词：二面角，平面角，立体几何.一、背景求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型之一，在求解中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，求解二面角往往转化为求解平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在这一过程中，会用到平面几何、立体几何、三角函数等重要知识.2010年各省份高考中关于二面角的统计：省份全国Ⅰ全国Ⅱ北京卷江西卷安徽卷福建卷天津卷陕西卷广东卷浙江卷湖北卷四川卷重庆卷理科19题19题16题20题18题18题19卷18题18题20题18题18题19题分值12分12分14分12分13分13分12分12分14分15分12分12分12分比例8.0%8.0%9.3%8.0%8.7%8.7%8.0%8.0%9.3%10% 8.0%8.0%8.0%从上表可以看出，立体几何题中有关求二面角大小的试题共有13份，占总分的比例都高于8.0%，由此可见讨论二面角求解的重要性.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角. 《普通高中课程标准》对其要求为：二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一.二面角概念的发展完善了空间角的概念，而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置,同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点,起着承上启下的作用.因此搞好本节课的学习,对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义.根据新课标，面对新的情景、新的变化，要学会以基本方法的“不变”来应对题目中的“万变”，这就是本文主要讨论的内容.二面角的求解步骤大体分为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的是计算，我们也不能忽视，下面介绍求二面角的方法.二、求解二面角的七种方法1.定义法定义法是指在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角，从而得到二面角的大小.例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （1）证明：M 在侧棱SC 的中点， （2）求二面角S AM B --的大小.分析：从二面角B AM S --中半平 面ABM 上的一已知点B 向棱AM 作垂线，得垂 足F ,在另一半平面ASM 内过该垂足F 作棱AM的垂线（如GF ），这两条垂线)(GF BF 、便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题.解:（1）略 （2）由6==AC SA ， 有2=AM ，2==AB AM ，060=∠ABM所以∆ABM 是等边三角形. 过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，有3=BF . 因为ADS ADC ∆≅∆， 所以AC AS =，且M 是SC 的中点， 有AM GF SC AM ⊥⊥,，即AS GF //，又F 为AM 的中点，故GF 是AMS ∆的中位线，点G 是AS 的中点， 则GFB ∠即为所求二面角. 由2=SM ，有22=GF ， DACB SGMF在∆GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ， 所以211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG 所以二面角S AM B --的大小为)36arccos(-. 2.三垂线法定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小. 最基本的一个模型为：如右图，设锐二面角βα--l ， 过面α内一点P 作β⊥PA 于A ，作l AB ⊥于B ，连 接PB ，由三垂线定理得l PB ⊥，则PBA ∠为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.例2(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，CD AB //，2,4===CD BC AB ,F E E AA 、、11,2= 分别是棱AD 、1AA 、AB 的中点. （1） 证明：直线11//FCC EE 平面， （2） 求二面角C FC B --1的余弦值. 分析：过二面角C FC B --1中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半平面C FC 1的垂线，得垂足O ,再过该垂足O 作棱1FC 的垂线，得垂足P ，连结起点与终点得斜线段PB ，便形成了三垂线定理的EAB CFE 1A 1B 1C 1D 1DF 1O PAβPBlα基本构图（斜线PB 、垂线BO 、射影OP ）,再解直角三角形求二面角的度数.解: 证（1）略（2）因为,2,4===CD BC AB F 是棱AB 的中点, 所以,CF BC BF ==故BCF ∆为正三角形,取CF 的中点O , 则CF OB ⊥又因为直四棱柱1111D C B A ABCD -中,ABCD CC 平面⊥1, 所以BO CC ⊥1,有F CC OB 1平面⊥,过O 在平面F CC 1内作F C OP 1⊥,垂足为P ,连接BP , 则OPB ∠为二面角C FC B --1的一个平面角, 在BCF ∆为正三角形中,3OB =,在F CC Rt 1∆中,F CC OPF 1∆≅∆, 因为11OP OFCC C F =所以22122222OP =⨯=+, 在OPB R ∆t 中,22114322BP OP OB =+=+=, 272cos 7142OP OPB BP ∠===, 所以二面角C FC B --1的余弦值为77.ABDCPEF3.垂面法通过作二面角棱的垂面得平面角的方法.例3（2010陕西）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，A B CD PA 平面⊥,22,2===BC AB AP ，F E ,分别是PC AD ,的中点.（1）证明：BEF PC 平面⊥,（2）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小.解：(1) 略(2) 因为ABCD PA 平面⊥, 所以BC PA ⊥, 又ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥，故BAP BC 平面⊥，PB BC ⊥. 又由（1）知BEF PC 平面⊥,所以直线PC 与BC 的角即为平面BEF 与平面BAP 的夹角. 在PBC ∆中，090,=∠=PBC BC PB , 有045=∠PCB ,所以平面BEF 与平面BAP 的夹角为045. 4.射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式 原射S S cos =θ ，求出二面角的大小.例4（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ， AP BP AB ==，PC AC ⊥．（1）求证：PC AB ⊥,（2）求二面角B AP C --的大小.分析：本题要求二面角B —AP —C 的大小，用射影面积法，需求出平面ABEACBP的原S ，平面ACE 的射S ,解法如下.解：（1）略（2） 因为PC AC ⊥，90ACB ∠= ，PAC BC 平面所以⊥．取AP 中点E ，连结BE CE ，． 又AP BP AB ==， 所以APB ∆是等边三角形， 有AP BE ⊥．则在BCE ∆中，AP CE ⊥.所以ACE ∆是ABE ∆在平面ACP 内的射影. 由此可有2222=+===CB AC AP BP AB ，221==AP AE , 622=-=AE AB BE ，222=-=AE AC EC .则1222121=⋅=⋅==∆CE AE S S ACE 射， 3622121=⋅=⋅==∆EB AE S S ABE 原. 设二面角B AP C --的大小为θ，有3331cos ===原射S S θ, 所以二面角C AP B --的大小为33arccos =θ. 5.补形法将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角. 例5（2010安徽） 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF //AB ， EF FB ⊥，2AB EF =， 90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点.(1)求证：FH ∥平面EDB ， (2)求证：AC ⊥平面EDB ， (3)求二面角B DE C --的大小. 解：（1）（2）略（3）因为EF FB ⊥,90BFC ∠=︒, 所以CDEF BF 平面⊥.在平面CDEF 内过点F 作DE FK ⊥交DE 延长线于K ,连接BK .则FKB ∠为二面角B DE C --的一个平面角.设,1=EF 则.3,2,2===DE FC AB 又EF DC //,所以EDC KEF ∠=∠,即 32sin sin =∠=∠KEF EDC .故EF FK =,32sin =∠KEF ,3tan ==∠FK BF FKB , 所以060=∠FKB ,所以二面角B DE C --为060. 6.向量法向量法解二面角是一种十分方便简捷，也是非常传统的解法，可以说所有的二面角求解都可以用向量法，用向量法解二面角时，首先要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，其次将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，最后利用向量计算解题.例6（2010湖北）如图, 在四面体ABOC 中，,,OB OC OA OC ⊥⊥,0120=∠AOB ，且1===OC OB OA .(1) 设P 为AC 的中点.证明：在AB 上存在一点Q ,使OA PQ ⊥,并计算ABAQ的值,(2) 求二面角B AC O --的平面角的余弦值.解：(1)略（2）记平面ABC 的法向量),,(321n n n n =则由A C n⊥,B A n ⊥,且)1,0,1(-=A CGADBCKFEHOBACP得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-023232331n n o n n 故可取)1,3,1(=n，又平面OAC 的法向量为)0,1,0(=e .所以()()53150,1,01,3,1,cos =⋅⋅=e n ，二面角B AC O --的平面角是锐角，记为θ，则515cos =θ . 7.补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线时，需将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的方法解题. 例7（2008湖南）如图所示，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为1的菱形，060=∠BCD ，E 是CD 的中点，⊥PA 底面ABCD ，2=PA .（1）证明：平面⊥PBE 平面PAB ,（2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.分析：本题的所求二面角的两个半平面PAD 和平面PBE 没有明确的交线，则需补充完整（延长BE AD ,相交于点F ，连结PF ），再在补充完整的图形中PF 上找适合的点，形成二面角的平面角解答.解: （1）略（2）延长BE AD ,相交于点F ，连结PF ，取PF 的中点G ，连接AG ,过点A 作PB AH ⊥于H ,连结HG . 由（1）有⊥AH 平面PBE ， 即PF AH ⊥，HG AH ⊥.在等腰PAF Rt ∆中，有PF AG ⊥. 由三垂线定理的逆定理有ABCEDPFGHHG PF ⊥,所以AGH ∠是平面PAD 和平面PBE 所成二面角的平面角（锐角）. 在ABF Rt ∆中，因为060=∠BAF , 所以AP AB AF ===22. 在等腰PAF Rt ∆中，22.2AG PA == 在PAB Rt ∆中，22225.55AP ABAP AB AH PBAP AB ====+ 所以，在AHG Rt ∆中，25105sin .52AH AGH AG ∠===故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是10arcsin.5二面角是高中数学立体几何中“三大角”之一，也是历年来高考考查的重要内容之一. 二面角的求解有很多不同的方法，本文介绍了定义法、三垂线法、垂面法、向量法、射影面积法、补形法、补棱法七种方法来求解二面角大小，在求解过程中要根据题目的特点选择适当的方法.综合本文可知，首先只要能够比较顺利的做出二面角的平面角，还是选用定义法、三垂线法为好.而向量的优点是，无需作出二面角的棱，也无需做其它的辅助线，仅凭向量的坐标运算即能解决问题，但这方法也有缺陷，一是计算繁杂，二是得准确处理原二面角与相应向量之间的关系.从计算量上讲，射影面积法相比其它七种方法要小，而且技巧性更高，免除了原二面角与相应法向量夹角之间的转换.但题目是“万变”的，当我们面对无棱的二面角时，我们就要使用垂面法、补形法、补棱法找出所隐含的平面角. 总之，所有方法都需要面对不同的题型灵活运用.参考文献[1] 全日制普通高级中学教科书(数学)[M]．第二册（上）．人民教育出版社，2007. [2]普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2008，4[3]最新五年高考真题汇编详解[M]．天利全国高考命题研究组．西藏人民出版社，2010[4]黄星寿.二面角问题的解题方法探讨[J]，宜州民族师范学校，文章编号1005-765(2000)02-0076-04.[5]名师指津.二面角计算[M]，筱瑶工作室整理出品.[6]王秋霞.二面角的几种求法[J]，高中数学教与学，江苏省泰州市高港职业教育中心校，225300.[7]龚佳佳.求二面角的大小的方法[J]，北京新学堂研发部，2010—10—15.[8]蔡志提. 怎样解关于二面角问题[J], 福建省晋江市平山中学, 2003—8—13.[9] 欧阳志辉, 周友良. 二面角大小的求法的归类分析[J],衡阳县三中, 湖南祁东育贤中学,421600.。
二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=90∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42 ∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP ∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
射影面积法求二面角原理
射影面积法求二面角原理引言：射影面积法是一种常用于计算几何体二面角的方法，它基于射影面积的概念，通过计算几何体在某一平面上的投影面积来确定二面角的大小。
本文将介绍射影面积法求二面角的原理和应用。
一、射影面积法的基本原理射影面积法是基于几何体在不同平面上的投影面积与几何体二面角之间的关系来进行计算的。
具体而言，我们可以通过在几何体上选择一个合适的平面，将几何体投影到该平面上，然后计算投影面积，最后利用投影面积与二面角之间的关系，求解二面角的大小。
二、射影面积法的步骤1. 选择适当的平面：根据几何体的特点和问题的要求，选择一个合适的平面进行投影。
通常情况下，选择与几何体的某一面垂直的平面可以简化计算过程。
2. 进行投影：将几何体投影到所选择的平面上，得到投影面积。
投影的方法可以根据几何体的形状和问题的要求灵活选择，常用的投影方法包括平行投影和中心投影等。
3. 计算投影面积：根据投影所得到的平面图形的形状和大小，使用几何学方法计算投影面积。
根据平面图形的形状，可以使用不同的计算公式，如矩形的投影面积为底边长度乘以高度，三角形的投影面积为底边长度乘以高度的一半等。
4. 计算二面角：根据投影面积与二面角之间的关系，利用所得到的投影面积计算二面角的大小。
具体的计算方法可以根据几何体的特点和问题的要求选择，常用的计算方法包括使用正弦定理、余弦定理等。
三、射影面积法的应用举例1. 求解四面体的二面角：对于一个四面体，可以选择一个面作为投影面，将四面体投影到该面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解四面体的二面角。
2. 求解棱柱的二面角：对于一个棱柱，可以选择柱面作为投影面，将棱柱投影到柱面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解棱柱的二面角。
3. 求解球体的二面角：对于一个球体，可以选择一个切面作为投影面，将球体投影到该切面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解球体的二面角。
四、射影面积法的优缺点射影面积法作为一种计算几何体二面角的常用方法，具有一定的优点和缺点。
射影面积法求二面角原理
射影面积法求二面角原理概述：射影面积法是计算二面角的常用方法之一，它基于物体在不同角度下的射影面积的变化来求解二面角。
二面角是指由两个平面所夹的角，它在几何学和计算几何学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍射影面积法求解二面角的原理及其应用。
一、射影面积法原理射影面积法通过计算物体在不同角度下的射影面积来求解二面角。
具体步骤如下：1.选择观察点：确定观察点的位置，通常选择观察点位于物体所在平面外部，且与物体的一条边垂直相交。
2.确定观察面：从观察点出发，选择一个平面作为观察面，该平面与物体的一条边垂直相交，并且与观察点所在平面垂直。
3.计算射影面积：在观察面上，以物体的一条边为边界，通过观察点将物体投影到观察面上，计算投影的面积。
4.改变观察角度：保持观察点不变，改变观察面与物体的夹角，重复步骤3，计算不同角度下的射影面积。
5.计算二面角：根据不同角度下的射影面积，利用数学方法求解二面角的大小。
二、射影面积法的应用射影面积法可以应用于多个领域，包括几何学、物理学、计算机图形学等。
以下是该方法的一些具体应用：1.计算物体的空间角：射影面积法可以用于计算物体在空间中所占的角度，例如计算两个平面所夹的角度、计算一个立体角等。
2.三维建模：在计算机图形学中，射影面积法可以用于三维建模和渲染，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以生成真实感的三维模型。
3.物体识别：射影面积法可以应用于物体识别和目标跟踪，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以对物体进行形状和姿态的判断。
4.光线追踪：在光线追踪算法中，射影面积法可以用于计算光线与物体的相交情况，从而实现真实感的光影效果。
总结：射影面积法是一种常用的求解二面角的方法，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以准确地求解二面角的大小。
该方法在几何学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，可以用于计算物体的空间角、三维建模、物体识别和光线追踪等方面。
射影面积法的原理简单易懂，但在具体应用中需要注意选择合适的观察点和观察面，以及正确计算射影面积。
用射影面积法求二面角在高考中的妙用
用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚(邮政编码 530007)立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年 全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现 •求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高 考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理 已知平面［内一个多边形的面积为 S,它在平面:-内的射影图形的面积为 s ',平面〉和平面一：S所成的二面角的大小为 「则COST - s .S本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证 证明：如图，平面 1内的△ ABC 在平面〉的射影AA .1 二于 A ， D :, ■ AD 在：.内的射影为A 'D . 又 AD _ BC,BC 二：，.A 'D _ BC (三垂线定理的逆定理)•ZADA 为二面角二一BC —:的平面角.设厶ABC 和厶A ' BC 的面积分别为S 和S ', • ADA '1 'BC AD ' 2 1 S BC AD S2典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用 例1如图，已知正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，E 是A A i 棱的中点，则 )面BE C i 与面AC 所成的二面角的大小为( + i r B. arctan C. arcta n -2 4 解：连结 人6则厶EBC 1在面AC 内的射影是△ 面积分别为S 和s ,所成的二面角为 A. 45 2 arccos3 ABC ，设它们的 D. D A i ECB设正方体的棱长为 2，则AB = BC = 2 d . BE =*5占6 =2..2,EC ；(2..2)2 12二3.cos^EBG 1 ■ S BE 2 2 2 2BE 2 BG -EG - 2BE BC 1 BC 1 sin EBC 1 =3,S 2 1 . ---- ,sin _ EBC 1 = .10 1 . AB BC 二 2, cos -二 2 2 「cos ^EBC 1 3 ,10二-arccos —. 3 故答案选D. 例2 (04北京)如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为i 的正方形 (1) 求证:BC X SC;(2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小 ； (3) 设棱SA 的中点为M,求异面直线DM 与SB 所成的角的大小. (1)证明：；SD 丄面AC , 几SC 在面AC 内的射影是 SD.又；四边形ABCD 是正方形，BC 面AC , CABBC 丄SC (三垂线定理)COS”AD 2 2(2)解：幕 SD 丄面 AC , CD 面 AC , SD_CD . 又；四边形ABCD 是正方形，.AD _ CD •而 AD SD = D , CD 丄面 ASD. 又 AB //CD , BA 丄面 ASD. .△SBC 在面SAD 的射影是 △SAD ,：._SCB = 90 , BC = 1, SB = 3,. SC.1BC SC -,S^-AD SD =2 2 2(3)解：取AB 的中点E ,连结DE 、ME.AM =MS,AE =EB , ME //SB. .异面直线DM 与SB 所成的角就是• DME1 \/3 : 22ME SB ,DE 二.AD AE =-2 22 2 2MD +ME -DE.cos 二2MD ME解法二：BA _ 面 SAD ,.SB 在面SAD 内的射影是SA.又 AD=SD=1,AM 二MS,. DM _ SA . 而DM 面SAD , . DM - SB (三垂线定理). 所以异面直线 DM 与SB 所成的角的大小为 一.2ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面 是线段EF 的中点.1AC ,连结0E.2-EM = AO , EM //A0.-四边形A0EM 是平行四边形， 又；E0二平面BDE ,AM //平面 BDE.(2)；四边形ABCD 是正方形，.BD _ AC .又；正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，EC _ AC ,■ EC _ 面 BD ，从而 EC — BD . 而 AC EC =C , BD _ 面AE . BD 平面 BDF ,-面AE 丄平面BDF.设它们的面积分别为 二 SB 2 - BC 21 . ,cos2兀所以面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为 1,设.DME,52 ，<22 .SA 二.AD 2 SD 2 二、2,MD 二；SA = 所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为 例3 (04浙江)如图，已知正方形互相垂直，AB =、2 , AF = 1 ,M求证：AM //平面BDE ; 求证：面AE 丄平面BDF ; 求二面角 A — DF — B 的大小.证明: 则AO -四边形ACEF 是矩形，EM」EF2从而 AM //E0.S 和s ,所成的二面角为日.C(3)解：BA _ AD, BA _ AF ,AD AF=A BA _ 面ADF ..△BDF在面ADF上的射影是△ADF，设它们的面积分别为S和S'，所成的二面角为二. AB = ■■■.'2 ，AF = 1 ，. AD = ：. 2, BD = 2, FB = FD = 3 .连结F0,则F0 _ BD, F0 二FB2一B02— 2.1 ' 1 ,2 S' 1S BD ・F0 = - 2, S AD AF , cos2 2 2 S 2故3HT所以二面角 A —DF —B的大小为''.3例4 (08天津)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，PD = 2、2, PAB = 60 .(1)证明：AD丄平面PAB;(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小；3)求二面角P —BD —A的大小.(1)证明：AD 二PA =2,PD =2、2,2 2 2AD PA = PD .PAD =90，即DA _ PA.又:四边形ABCD是正方形，.DA _ AB.而AB PA A , AB、PA 二面PAB,.AD丄平面PAB.(2)AD //BC,.异面直线PC与AD所成的角就是PC与BC所成的角，即• PCB . 在A PAB中，AB = 3 , PA = 2, PD =2.2,/PAB = 60 ,.PB2二PA2AB2- 2PA AB = 7,PB 二7.由(1)得，AD丄平面PAB..CB _ PB，即CBP =90 又BC = AD = 2 ,PBtan PCB =BC 2<7 一PCB = arcta n2所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan 口(3)作PE _ AB 于E，连结DE. 由(1)知，AD_ PE，而AB AD = A,PE _ 面ABCD.D-△PBD在面ABCD内的射影是A EBD，设它们的面积分别为S和S ,所成的二面角为-.BD = AB2AD2 = 13,AE 二PAcos60 = 1,BE 二AB - AE = 2./ PB2+PD2-BD cos _ BPD2PB PD1S = PB PD sin BPD 2 COS V ■ SS 2 1 ------------------------------------ 2,sin _ BPD = 1 - cos - BPD 2 J455 '2 ,S二1 BE AD =2.24，寸二arccos • 55455 .552.144所以二面角 P — BD —A 的大小为arccos —:——.J55点评：例1和例2中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用 射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛1.( 05全国川)如图，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形, 底面ABCD.(1)证明：AB 丄平面VAD ;2)求面VAD 与面VDB 所成二面角的大小.2.( 06全国H)如图，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，AB = BC , D 、 (1)证明: ED 为异面直线BB i 和AC i 的公垂线;(2)设 AA = AC = , 2AB ，求二面角 A - AD - C j 的大小. 3.(07陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PA = 4, AD = 2 , AB = 2 3 , BC = 6.(1)求证：BD 丄平面PAC ;2)求二面角 A — PC — D 的大小.4. (09湖北)如图，四棱柱 S —ABCD 的底面是正方形， SD 丄平面 ABCD , SD = AD = a ,点E 是SD 上的点，且DE a (0v i ) . S(1) 求证：对任意… 0,i 】，都有AC 丄BE ;(2) 若二面角C — AE — D 的大小为60，求■的值.金指点睛的参考答案一 一一一 一D ；1. ( 05全国川)如图，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形， 底面ABCD.(1)证明：AB 丄平面VAD ;2)求面VAD 与面VDB 所成二面角的大小.P —ABCD 中，AD //BC ,也ABC = 90 , PA 丄平面 ABCD ,D侧面VAD 是正三角形，平面VAD 丄E 分别为BB i 、AC i 的中点.B iD BEC平面VB(i)证明：取AD的中点E,连结VE.守VA = VD, AE = ED，二VE 丄AD .又；平面VAD丄底面ABCD , VE 平面VAD ,V AC.VE 丄底面ABCD. . VA 在底面ABCD 的射影是AD. AB J_AD , AB 二底面 ABCD , . AB INA (三垂线定理) 而 VA AD =A,VA 、AD 二平面 VAD , 故AB 丄平面VAD.(2)由(1)可知，AB 丄平面VAD ,.△ VBD 在平面VAD 的射影是厶VAD ，设它们的面积分别为 S 和S '，所成的二面角为 -. 设正方形的边长为1,则BD 二、、2,VB =AB 2 • VA 2 = •、2 .2. ( 06全国n)如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，AB = BC , D 、E 分别为BB j 、AG 的中点.(1)证明: ED 为异面直线BB 1和AC 1的公垂线;(2)设 AA^ = AC = , 2AB ，求二面角 A — AD —C t 的大小.(1)证明：取AC 的中点F ,连结EF 、BF.1AF = FC, AE = EG , EF // CC 1, EFCC 1. 21在直三棱柱 ABC — AB J G 中，CG _ 面 ABC , CG, CG // BB , DBBB 1 , 2EF //DB , EF= DB , EF _ 面 ABC.■四边形BDEF 是矩形.从而ED _ BB 1 . 在 Rt △ ABD 和 Rt △ C 1B 1D 中，AB 二 C1B, ABD GBD = 90 ,BD 二 BD .Rt △ ABD 也 Rt △ C 1B 1D .AD = C 1 D .而 AE = EC 「 ED _ AC 1所以ED 为异面直线BB 1和AG 的公垂线.(2)解：连结 AB 1. AA =AC a; 2AB, AB =BC,. AC 2 二 AB 2 BC 2.GRA =/CBA =90，即 GB j _ 面 ABB 1A 1-AC 1在面ABB A 1内的射影是 AR ..△AC 1D 在面ABB 1A 1内的射影是△ AB 1D .设它们的面积分别为 设 AB = BC = 1 , S 和s ,所成的二面角为则 AC =CG 二.2,AC^2,B 1D2, AD = . AB 2 BD 2 2 26应—1 J2 ， 1 S AC 1 DE , S DB 1 AB 2 2 2312 . COST4=-日=—3所以二面角 A - AD - G 的大小为 . 3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PA = 4, AD = 2 , AB=2 3 , BC = 6. (1)求证：BD 丄平面PAC ;3.(07陕西) P —ABCD B1D B中, AD //BC , ABC = 90 , PA 丄平面 ABCD ,2 2 2cosVBD.BD BV -VD2BD BV sin . VBD BV7,S 4= 3,si n VB D *1 — coS. VB D=—. 4 1 3 VA VD sin 60 = 2 4 cos —SS.21 21，‘ "rccos77所以面VAD 与面VDB 所成二面角的大小为V21arccos —7B1D BBD B2(2)求二面角 A — PC — D 的大小.(1) 证明：在 Rt △ ABD 和 Rt △ ABC 中，.ABC AD = 2 , AB =23 , BC = 6. AD \'3 AB .t a n ABD , t a n ACB = AB 3 BC =.BAD = 90 ,_V 3 —3 . =90 ,二 NABD =NACB =301 而丛ABD +NDBC .ACB . DBC =90，即 BD _ AC . 又 PA 丄平面 ABCD , BD 平面ABCD ,PA AC =A , PA 、AC 二平面 PAC , 故BD 丄平面PAC. (2) 解：连结 PE.由(1)知，BD 丄平面PAC. .△ PDC 在平面PAC 内的射影是△ PEC ，设它们的面积分别为 PA 丄平面ABCD , BC _ AB , BC _ PB (三垂线定理)PB 二.PA 2 AB 2 =2.7，从而 PC 二 PB 2 BC 2 =8.PA 丄 BD . S 和S ,所成的二面角为日.PD 二 PA 2 AD 2 =2、5,DC 二 AB 2 (BC - AD)2 = 2、7 . ■ - ■ BEC=90 , ACB 二 30 , EC 二 BC cos30 -3 3 .PC 2十PD 2_CD 2 cos CPD = 2PC PDPD sin • CPD,si n N CPD =11 - cos 2 也CPD 4、5 = 2、31,S ‘=1EC PA =6 ..3.2 EC3J93 e 31 ，4. (09湖北)如图，四棱柱上的点，且DE 二・a(1) 求证：对任意■ COS T -— S *3B 93 二 arccos .所以二面角 A — PC — D 的大小 arccos- 一31 31 S —ABCD 的底面是正方形， SD 丄平面 ABCD , SD = AD = a ,点E 是SD(0v 1). 0,11，C 丄BE ; 3. 93(2) 若二面角C — AE — D 的大小为60，求■的值. (1) 证明：连结 BD. ■■四边形ABCD 是正方形，.AC _ BD . 又；SD 丄平面ABCD , SD = a ,点E 是SD 上的点， 且 DE = Z a (0v 人 <1), 护, •点E 在线段SD 上，且不与点 D 重合，因而BE 在平面ABCD 内的射影是BD.- .对任意「三I ：0,1 1,都有AC 丄BE (三垂线定理)(2) 解：设 AC BD =O ，连结 EO. ■■ SD 丄平面ABCD ，点E 是SD 上的点，CD 平面ABCD , ■ SD _ CD ., 又；四边形ABCD 是正方形，.AD _ CD . 而SD AD = D , SD 、AD 二面SAD. CE 在平面SAD 内的射影是 AE. ■ △ CAE 在在平面SAD 内的射影是△ DAE.设它们的面积分别为 S 和S ' 「60 . S oyB所成的二面角为二，则CAD 二 a, DE 二 a, AC =、2a,EA 二 EC =a 2 (‘ a)2 =、1 •2 a . 2 42 a .2 EO _ AC,EO 」EA 2 - AO 21 J 1 +2人22 S AC EO a 2,S22解得—，所以■的值为一2. 2 2J ED AD = ] ' a 2,C0S ；-—=22S .1 22=12。
射影面积法求二面角
射影面积法求二面角.
射影面积法是一种求解二面角大小的方法。
对于图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的二面角，可以利用射影面积公式（cosθ=S射/S斜）求得其
大小。
例如，在底面为一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，
AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，SA=AB=BC=1，
AD=2.要求面SCD与面SAB所成的角的大小，可以利用射影
面积法，求出S△SCD和S△SAB，然后根据cosθ=S射/S斜
的公式计算出二面角θ的大小。
又如，对于三棱锥P-ABC，其中AC=BC=2，∠ACB=90，AP=BP=AB，PC⊥AC。
要求证PC⊥AB，并求二面角B-AP-
C的大小。
可以通过证明△APC≌△BPC和PC⊥BC，进而推
出PC⊥AB。
然后，利用射影面积法，求得S射和S原，根据cosθ=S射/S原的公式计算出二面角B-AP-C的大小。
练题中，要求求解正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的
中点E所在平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值。
根据题目的条件，可以得出CE=1/√2，AE=√3/2，因此S射/S
原=1/3，所求二面角的余弦值为cosθ=2/3.
另一题中，要求在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2√2，E，F分别是AD，PC的中点。
由于题目中未给出要求的角的具体信息，无
法进行求解。
用射影面积法求二面角在高考中的妙用
用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理 已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为'S ，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则SS 'cos =θ.本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面β内的△ABC 在平面α的射影为△BC A '，作BC AD ⊥于D ，连结AD.α⊥'AA 于'A ，α∈D ，AD ∴在α内的射影为D A '. 又α⊂⊥BC BC AD , ，BC D A ⊥∴'（三垂线定理的逆定理）. 'ADA ∠∴为二面角α—BC —β的平面角.设△ABC 和△BC A '的面积分别为S 和'S ，θ=∠'ADA，则D A BC S AD BC S ''21,21⋅=⋅=. S S AD BC DA BC AD D A '''2121cos =⋅⋅==∴θ. 典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1 如图, 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是A A 1棱的中点，则面BE C 1与面AC 所成的二面角的大小为( )A.︒45B. 21arctanC.42arctan D. 32arccos解：连结AC ，则△1EBC 在面AC 内的射影是△ABC ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ . 设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，.31)22(,22,52211=+===EC BC BE32arccos =∴θ.故答案选D.例2（04北京）如图, 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形, SD (1) 求证:BC ⊥SC;(2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小; (3) 设棱SA 的中点为M, 求异面直线DM 与SB 所成的角的大小. （1）证明： SD ⊥面AC ，∴SC 在面AC 内的射影是SD.又 四边形ABCD 是正方形，⊂BC 面AC ， ∴ BC ⊥SC （三垂线定理）. （2）解： SD ⊥面AC ，⊂CD 面AC ，CD SD ⊥∴.又 四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴. 而D SD AD = ，∴CD ⊥面ASD.A B D CA又AB ∥CD ，∴BA ⊥面ASD.∴△SBC 在面SAD 的射影是△SAD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .,2,3,1,9022==-=∴==︒=∠SD BC SB SC SB BC SCB .22cos ,2121,2221''===⋅==⋅=∴S S SD AD S SC BC S θ 故所以面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为4π. （3）解：取AB 的中点E ，连结DE 、ME.EB AE MS AM ==, ，∴ME ∥SB.∴异面直线DM 与SB 所成的角就是DME ∠，设θ=∠DME .25,232122=+===AE AD DE SB ME ， 2221,222===+=SA MD SD AD SA .02cos 222=⋅-+=∴ME MD DE ME MD θ. 故2πθ=.所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π. 解法二：⊥BA 面SAD ，∴SB 在面SAD 内的射影是SA.又SA DM MS AM SD AD ⊥∴===,,1 .而⊂DM面SAD ，SB DM ⊥∴（三垂线定理）.所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π.例3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面 互相垂直，AB = 2，AF = 1，M 是线段EF 的中点. (1) 求证：AM ∥平面BDE ； (2) 求证：面AE ⊥平面BDF ； (3) 求二面角A —DF —B 的大小. 证明：（1）设O BD AC = ，则AC AO 21=，连结OE. 四边形ACEF 是矩形，EF EM 21=， AO EM =∴，EM ∥AO.∴四边形AOEM 是平行四边形，从而AM ∥EO.又⊂EO 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE. （2） 四边形ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴.又 正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AC EC ⊥，面BD 面AE= AC ， ∴BD EC 面⊥，从而BD EC ⊥. 而C EC AC = ，AE BD 面⊥∴. ⊂BD 平面BDF ， ∴面AE ⊥平面BDF.（3）解：A AF AD AF BA AD BA =⊥⊥ ,,，ADF BA 面⊥∴.∴△BDF 在面ADF 上的射影是△ADF ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. AB = 2，AF = 1，3,2,2====∴FD FB BD AD .D MC BEFD A MC BEFO连结FO ，则2,22=-=⊥BO FB FO BD FO .故3πθ=.所以二面角A —DF —B 的大小为3π.例4 （08天津）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩 形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD .（1）证明：AD ⊥平面PAB ；（2）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （3）求二面角P —BD —A 的大小. （1）证明：,22,2===PD PA AD222PD PA AD =+∴.︒=∠∴90PAD ，即PA DA ⊥. 又 四边形ABCD 是正方形， AB DA ⊥∴.而A PA AB = ，AB 、PA ⊂面PAB ， ∴AD ⊥平面PAB. （2） AD ∥BC ，∴异面直线PC 与AD 所成的角就是PC 与BC 所成的角，即PCB ∠. 在△PAB 中，AB = 3，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD ，7,72222==⋅-+=∴PB AB PA AB PA PB .由（1）得，AD ⊥平面PAB.PB CB ⊥∴，即︒=∠90CBP . 又 BC = AD = 2，27tan ==∠∴BC PB PCB . 27arctan =∠PCB . 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan .（3）作AB PE ⊥于E ，连结DE.由（1）知，PE AD ⊥，而A AD AB = ， ⊥∴PE 面ABCD.∴△PBD 在面ABCD 内的射影是△EBD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ . 2,160cos ,1322=-==︒==+=AE AB BE PA AE AD AB BD .14255cos 1sin ,14212cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠BPD BPD PD PB BD PD PB BPD . 221,255sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴AD BE S BPD PD PB S .554cos '==∴S S θ，554arccos =θ.所以二面角P —BD —A 的大小为554arccos .点评：例1和例2 中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛MC BEFOVPA DB EPA DB1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成二面角的大小.2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点.（1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线； （2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小.3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角A —PC —D 的大小.4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a，点E 是SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）. （1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ；（2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.金指点睛的参考答案1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面VAD ； （2）求面VAD 与面VDB 所成二面角的大小. （1）证明：取AD 的中点E ，连结VE.AD VE ED AE VD VA ⊥∴==,, .又 平面VAD ⊥底面ABCD ，VE ⊂平面VAD ，∴VE ⊥底面ABCD. ∴VA 在底面ABCD 的射影是AD.AB ⊥AD ，AB ⊂底面ABCD ，∴ AB ⊥VA （三垂线定理）. 而,A AD VA = VA 、AD ⊂平面VAD ，故AB ⊥平面VAD. （2）由（1）可知，AB ⊥平面VAD ，∴△VBD 在平面VAD 的射影是△VAD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. 设正方形的边长为1，则2,222=+==VA AB VB BD .47c o s 1s i n ,432c o s 2222=∠-=∠=⋅-+=∠V B D V B D BV BD VD BV BD VBD .4360sin 21,47sin 21'=︒⋅==∠⋅=∴VD VA S VBD BV BD S .721cos '==∴S S θ，721arccos =θ.所以面VAD 与面VDB 所成二面角的大小为721arccos .2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点.（1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线；（2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小.（1）证明：取AC 的中点F ，连结EF 、BF. EF EC AE FC AF ∴==,,1 ∥1121,CC EFCC =. 在直三棱柱ABC —111C B A 中，⊥1CC 面ABC ，11BB CC =，1CC ∥1BB ，121BB DB=， EF ∴∥DB ，EF= DB ，⊥EF 面ABC.SA BD CE C B A D E E B CA DP V D C A B C B A DE DE∴四边形BDEF 是矩形. 从而1BB ED ⊥. 在Rt △ABD 和Rt △D B C 11中，D B BD D B C ABD B C AB 11111,90,=︒=∠=∠=. ∴ Rt △ABD ≌Rt △D B C 11.D C AD 1=∴. 而,1EC AE = 1AC ED ⊥∴ 所以ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线.（2）解：连结1AB .2221,,2BC AB AC BC AB AB AC AA +=∴=== .︒=∠=∠∴90111CBA A B C ，即⊥11B C 面11A A B B1AC ∴在面11A ABB 内的射影是1AB .∴△D AC 1在面11A ABB 内的射影是△D AB 1.设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ.设AB = BC = 1， 则22,26,22,2,22222111=-==+=====AE AD DE BD AB AD D B AC CC AC . 4221,22211'1=⋅==⋅=∴AB DB S DE AC S . .3,21cos 'πθθ===S S 所以二面角11C AD A --的大小为3π. 3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A —PC —D 的大小.（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，︒=∠=∠90BAD ABC ， AD = 2，32=AB ，BC = 6.33t a n ,33t a n==∠==∠∴BC AB ACB AB AD ABD . ︒=∠=∠∴30ACB ABD . 而︒=∠+∠90DBC ABD ， ︒=∠+∠∴90DBC ACB ，即AC BD ⊥.又 PA ⊥平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，BD PA ⊥∴.A AC PA = ，PA 、AC ⊂平面PAC ， 故BD ⊥平面PAC.（2）解：连结PE. 由（1）知，BD ⊥平面PAC.∴△PDC 在平面PAC 内的射影是△PEC ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PB BC ⊥∴（三垂线定理）.7222=+=AB PA PB ，从而822=+=BC PB PC . 72)(,522222=-+==+=AD BC AB DC AD PA PD .3330cos ,30,90=︒⋅=∴︒=∠︒=∠BC EC ACB BEC .5431cos 1sin ,5472cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠CPD CPD PD PC CD PD PC CPD . 3621,312sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴PA EC S CPD PD PC S . .31933arccos ,31933cos '===θθS S 所以二面角A —PC —D 的大小.31933arccos4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）.EB CA DPC BADEEB CA DPSE（1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ；（2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.（1）证明：连结BD. 四边形ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴. 又 SD ⊥平面ABCD ，SD = a ，点E 是SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ），∴点E 在线段SD 上，且不与点D 重合，因而BE 在平面ABCD 内的射影是BD. ∴对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE （三垂线定理）.（2）解：设O BD AC = ，连结EO.SD ⊥平面ABCD ，点E 是SD 上的点，⊂CD 平面ABCD ， CD SD ⊥∴. 又 四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴.而D AD SD = ，SD 、AD ⊂面SAD. ∴CE 在平面SAD 内的射影是AE.∴△CAE 在在平面SAD 内的射影是△DAE. 设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ，则︒=60θ. a a a EC EA a AC a DEa AD 2221)(,2,,λλλ+=+===∴== .a AO EA EO AC EO 242,222λ+=-=⊥∴. 2121cos ,2121,221212'2'22=+===⋅=+=⋅=∴λλθλλS S a AD ED S a EO AC S .解得22=λ，所以λ的值为22.。
(完整版)用射影面积法求二面角在高考中的妙用
用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理 已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为'S ，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则SS 'cos =θ.本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面β内的△ABC 在平面α的射影为△BC A '，作BC AD ⊥于D ，连结AD. α⊥'AA Θ于'A ，α∈D ，AD ∴在α内的射影为D A '. 又α⊂⊥BC BC AD ,Θ，BC D A ⊥∴'（三垂线定理的逆定理）. 'ADA ∠∴为二面角α—BC —β的平面角.设△ABC 和△BC A '的面积分别为S 和'S ，θ=∠'ADA，则D A BC S AD BC S ''21,21⋅=⋅=. SS AD BC DA BC AD D A '''2121cos =⋅⋅==∴θ. 典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1 如图,已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是A A 1棱的中点，则面BE C 1与面AC 所成的二面角的大小为( ) A.︒45 B. 21arctan C. 42arctanD. 32arccos 解：连结AC ，则△1EBC 在面AC 内的射影是△ABC ，设它们的 面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ . 设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，.31)22(,22,52211=+===EC BC BE.103cos 1sin ,1012cos 1211212121=∠-=∠=⋅-+=∠EBC EBC BC BE EC BC BE EBC.32cos ,221,3sin 21''11===⋅==∠⋅=∴S S BC AB S EBC BC BE S θ 32arccos =∴θ. 故答案选D.例2（04北京）如图, 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形(1) 求证:BC ⊥SC;(2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小; (3) 设棱SA 的中点为M, 求异面直线DM 与SB 所成的角的大小. （1）证明：Θ SD ⊥面AC ，∴SC 在面AC 内的射影是SD.又Θ四边形ABCD 是正方形，⊂BC 面AC ，∴ BC ⊥SC （三垂线定理）.'AA B D Cα1 C A 1 C A（2）解：Θ SD ⊥面AC ，⊂CD 面AC ，CD SD ⊥∴.又Θ四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴. 而D SD AD =I ，∴CD ⊥面ASD. 又AB ∥CD ，∴BA ⊥面ASD.∴△SBC 在面SAD 的射影是△SAD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .Θ,2,3,1,9022==-=∴==︒=∠SD BC SB SC SB BC SCB .22cos ,2121,2221''===⋅==⋅=∴S S SD AD S SC BC S θ 故所以面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为4π.（3）解：取AB 的中点E ，连结DE 、ME. EB AE MS AM ==,Θ，∴ME ∥SB.∴异面直线DM 与SB 所成的角就是DME ∠，设θ=∠DME .25,232122=+===AE AD DE SB ME ，2221,222===+=SA MD SD AD SA .02cos 222=⋅-+=∴ME MD DE ME MD θ. 故2πθ=.所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π. 解法二：⊥BA Θ面SAD ，∴SB 在面SAD 内的射影是SA.又SA DM MS AM SD AD ⊥∴===,,1Θ. 而⊂DM 面SAD ，SB DM ⊥∴（三垂线定理）. 所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π. 例3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面 互相垂直，AB = 2，AF = 1，M 是线段EF 的中点. (1) 求证：AM ∥平面BDE ； (2) 求证：面AE ⊥平面BDF ； (3) 求二面角A —DF —B 的大小. 证明：（1）设O BD AC =I ，则AC AO 21=，连结OE. Θ四边形ACEF 是矩形，EF EM 21=， AO EM =∴，EM ∥AO.∴四边形AOEM 是平行四边形，从而AM ∥EO.又⊂EO Θ平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE. （2）Θ四边形ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴.又Θ正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AC EC ⊥，面BD I 面AE= AC ， ∴BD EC 面⊥，从而BD EC ⊥. 而C EC AC =I ，AE BD 面⊥∴. ⊂BD Θ平面BDF ， ∴面AE ⊥平面BDF.D AMC BEFD A MC BEFO（3）解：A AF AD AF BA AD BA =⊥⊥I Θ,,，ADF BA 面⊥∴.∴△BDF 在面ADF 上的射影是△ADF ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. ΘAB = 2，AF = 1，3,2,2====∴FD FB BD AD .连结FO ，则2,22=-=⊥BO FB FO BD FO ..21cos ,2221,221''===⋅==⋅=∴S S AF AD S FO BD S θ故3πθ=.所以二面角A —DF —B 的大小为3π. 例4 （08天津）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩 形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD . （1）证明：AD ⊥平面PAB ；（2）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （3）求二面角P —BD —A 的大小. （1）证明：,22,2===PD PA AD Θ222PD PA AD =+∴.︒=∠∴90PAD ，即PA DA ⊥.又Θ四边形ABCD 是正方形， AB DA ⊥∴.而A PA AB =I ，AB 、PA ⊂面PAB ，∴AD ⊥平面PAB. （2）ΘAD ∥BC ，∴异面直线PC 与AD 所成的角就是PC 与BC 所成的角，即PCB ∠. 在△PAB 中，AB = 3，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD ，7,72222==⋅-+=∴PB AB PA AB PA PB .由（1）得，AD ⊥平面PAB.PB CB ⊥∴，即︒=∠90CBP . 又ΘBC = AD = 2，27tan ==∠∴BC PB PCB . 27arctan =∠PCB . 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan . （3）作AB PE ⊥于E ，连结DE.由（1）知，PE AD ⊥，而A AD AB =I ， ⊥∴PE 面ABCD.∴△PBD 在面ABCD 内的射影是△EBD ，设 它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .2,160cos ,1322=-==︒==+=AE AB BE PA AE AD AB BD .14255cos 1sin ,14212cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠BPD BPD PD PB BD PD PB BPD . 221,255sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴AD BE S BPD PD PB S .554cos '==∴S S θ，554arccos =θ.D MC BEFOPA DB CEPA DB所以二面角P —BD —A 的大小为554arccos.点评：例1和例2 中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面V AD ；（2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小.2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点. （1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线； （2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小.3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A —PC —D 的大小.4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）. （1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ；（2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.金指点睛的参考答案1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面V AD ； （2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小. （1）证明：取AD 的中点E ，连结VE. AD VE ED AE VD VA ⊥∴==,,Θ.又Θ平面V AD ⊥底面ABCD ，VE ⊂平面V AD ，S A B D CEV D C A B 1CC BADE 1A1BEB C A D PV D C∴VE ⊥底面ABCD. ∴V A 在底面ABCD 的射影是AD.ΘAB ⊥AD ，AB ⊂底面ABCD ，∴ AB ⊥V A （三垂线定理）. 而,A AD VA =I V A 、AD ⊂平面V AD ，故AB ⊥平面V AD.（2）由（1）可知，AB ⊥平面V AD ，∴△VBD 在平面V AD 的射影是△V AD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. 设正方形的边长为1，则2,222=+==VA AB VB BD .47cos 1sin ,432cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠VBD VBD BV BD VD BV BD VBD .4360sin 21,47sin 21'=︒⋅==∠⋅=∴VD VA S VBD BV BD S .721cos '==∴S S θ，721arccos =θ.所以面V AD 与面VDB 所成二面角的大小为721arccos .2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点.（1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线；（2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小. （1）证明：取AC 的中点F ，连结EF 、BF. EF EC AE FC AF ∴==,,1Θ∥1121,CC EF CC =. 在直三棱柱ABC —111C B A 中，⊥1CC 面ABC ，11BB CC =，1CC ∥1BB ，121BB DB =， EF ∴∥DB ，EF= DB ，⊥EF 面ABC. ∴四边形BDEF 是矩形. 从而1BB ED ⊥. 在Rt △ABD 和Rt △D B C 11中，D B BD D B C ABD B C AB 11111,90,=︒=∠=∠=. ∴ Rt △ABD ≌Rt △D B C 11.D C AD 1=∴. 而,1EC AE = 1AC ED ⊥∴ 所以ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线.（2）解：连结1AB .2221,,2BC AB AC BC AB AB AC AA +=∴===Θ.︒=∠=∠∴90111CBA A B C ，即⊥11B C 面11A ABB1AC ∴在面11A ABB 内的射影是1AB .∴△D AC 1在面11A ABB 内的射影是△D AB 1.设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ.设AB = BC = 1，则22,26,22,2,22222111=-==+=====AE AD DE BD AB AD D B AC CC AC .4221,22211'1=⋅==⋅=∴AB DB S DE AC S . .3,21cos 'πθθ===S S 所以二面角11C AD A --的大小为3π. 3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；1C C B A DE 1A 1B1CC BADE1A1B F1CC BADE1A1B（2）求二面角A —PC —D 的大小.（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，︒=∠=∠90BAD ABC ， AD = 2，32=AB ，BC = 6.33tan ,33tan ==∠==∠∴BC AB ACB AB AD ABD . ︒=∠=∠∴30ACB ABD . 而︒=∠+∠90DBC ABD ， ︒=∠+∠∴90DBC ACB ，即AC BD ⊥.又Θ PA ⊥平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，BD PA ⊥∴.A AC PA =I Θ，PA 、AC ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC.（2）解：连结PE. 由（1）知，BD ⊥平面PAC.∴△PDC 在平面PAC 内的射影是△PEC ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. ΘPA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PB BC ⊥∴（三垂线定理）.7222=+=AB PA PB ，从而822=+=BC PB PC . 72)(,522222=-+==+=AD BC AB DC AD PA PD .3330cos ,30,90=︒⋅=∴︒=∠︒=∠BC EC ACB BEC Θ.5431cos 1sin ,5472cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠CPD CPD PD PC CD PD PC CPD . 3621,312sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴PA EC S CPD PD PC S . .31933arccos ,31933cos '===θθS S 所以二面角A —PC —D 的大小.31933arccos4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）.（1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ； （2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.（1）证明：连结BD. Θ四边形ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴. 又Θ SD ⊥平面ABCD ，SD = a ，点E 是SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ），∴点E 在线段SD 上，且不与点D 重合，因而BE 在平面ABCD 内的射影是BD. ∴对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE （三垂线定理）.（2）解：设O BD AC =I ，连结EO.Θ SD ⊥平面ABCD ，点E 是SD 上的点，⊂CD 平面ABCD ， CD SD ⊥∴. 又Θ四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴.而D AD SD =I ，SD 、AD ⊂面SAD. ∴CE 在平面SAD 内的射影是AE. ∴△CAE 在在平面SAD 内的射影是△DAE. 设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ，则︒=60θ. a a a EC EA a AC a DE a AD 2221)(,2,,λλλ+=+===∴==Θ.a AO EA EO AC EO 242,222λ+=-=⊥∴. 2121cos ,2121,221212'2'22=+===⋅=+=⋅=∴λλθλλS S a AD ED S a EO AC S .解得22=λ，所以λ的值为22.EB CA DPEB C A DPSA BD CEO。
射影面积法在高考中的运用
射影面积法在高考中的运用《射影面积法（ProjectionPlaneMethod）》是一种有效率考核学生空间概念能力的教学方法，它将运用平面图形和空间图形的平面转换原理，通过有效地组织学生的视觉图形认知，辅助学生更好地理解空间概念，加深对空间概念基础知识的认知，最终提高学生的学习成绩。
射影面积法在高考中的应用已经有了显著的成效，从而为学生的学习提供了一种新的思维方式。
射影面积法是一种有效地考核学生空间概念能力的教学方法。
它通过有效地运用平面图形和空间图形的平面转换原理，利用视觉图形认知加深学生对空间概念的理解，从而提高学生的空间概念能力和学习的效果。
射影面积法在高考计算机科目中的应用，主要是通过把三维空间中的立体图形，转化为合适的二维平面图形，然后计算图形的面积来考核学生的空间概念能力。
射影面积法在高考中的运用主要有如下几个方面：一是用于检验学生的空间概念能力。
射影面积法可以用来检验学生对立体图形理解的能力，以及能否将其正确转换为二维平面图形，并计算出正确的面积值。
二是训练学生的解空间问题能力。
射影面积法可以帮助学生更好地理解三维立体图形，从而更好地解决空间问题，同时也可以帮助学生掌握空间概念的正确认知。
三是培养学生的对立体图形的认知能力。
学生既可以在教学中感知立体图形的信息，又可以通过认知原理把三维空间中的立体图形正确转换为二维平面图形，从而培养学生正确理解立体图形的能力。
射影面积法在高考中得到了广泛的应用，可以有效地帮助学生提高空间概念能力和解决空间问题的能力，从而更好地提高学生的学习成绩。
首先，射影面积法可以有效地检验学生的空间概念能力。
其次，它可以训练学生的解空间问题的能力，帮助学生更好地理解空间概念，更好地解决空间问题，帮助学生掌握正确的空间概念认知。
最后，射影面积法可以帮助学生培养正确理解立体图形的能力，加强学生对立体图形信息的认知。
综上所述，射影面积法在高考中有着显著的应用效果。
它让学生更好地理解空间概念，加强对立体图形的认知，从而提高学生的学习成绩。
射影面积法在高考中的运用
射影面积法在高考中的运用随着社会科学的发展和技术的进步，许多新技术和新方法在高考中得到了广泛应用。
射影面积法作为数理化科目高考中较新的一种统计方法，在最近几年中，越来越多地受到了高考考生和教师的重视。
本文试图分析射影面积法在高考中的运用，从而探讨其在高考中的优势和不足。
一、射影面积法是什么射影面积法，也称为网格分析法或空间网格分析法，是一种基于地理或重点空间点的信息编码方法。
其基本原理是将地图上的特定区域划分为一个个的小面积单位，每一单位面积都有一组指定的参数。
研究者可以根据该参数来统计出不同区域的特征，并利用这些特征推断出区域之间的相关性。
二、射影面积法在高考中如何运用1、射影面积法可以帮助考生更准确地了解高考知识点射影面积法可以帮助考生更准确地了解高考知识点。
通过计算和分析射影面积，考生可以更全面地掌握高考知识点，掌握知识点之间的内在联系，甚至进一步推导出新的知识点。
2、射影面积法可以提高高考的答题准确率因为射影面积法可以帮助考生更准确地了解知识点，所以考生在高考中使用此方法，可以提高其答题准确率。
三、射影面积法在高考中的优势和不足1、射影面积法在高考中具有很强的优势射影面积法可以有效地提高答题准确率，可以帮助考生更全面的了解高考知识点，还可以有效地分析地理内容。
2、射影面积法也有其不足之处尽管射影面积法有很多优势，但它也存在一些不足之处，比如难以解决较大范围的问题，而且需要大量计算时间，计算结果可能会出现误差。
综上所述，射影面积法在高考中是一种很有帮助的统计方法，可以帮助考生更加准确地掌握高考知识点，提高答题准确率。
当然，射影面积法也有其不足之处，应根据实际情况灵活运用，以及不断完善运用方法，相信在不久的将来，射影面积法会在高考中发挥更大的作用。
射影面积法在高考中的运用
射影面积法在高考中的运用
中国拥有丰富的古文化，在古代，儒家就提出了“以射影面积法”的概念，这一概念也在中国的艺术和文学作品中得到了广泛的运用。
射影面积法是以把一定实际矩形面积限定在合适的范围内，设计出尽量合理、尽量不规则、兼容并蓄的平面结构。
从中国古代到现代，射影面积法在许多场景中得到了应用。
尤其是在高考中，射影面积法为考生制定出合理的考试结构，使考题的质量更加稳定，让考生能够全面把握考试内容，得到优异的成绩。
射影面积法在考题结构中的应用，不仅使考试结构更加合理，而且也能够将考试内容按照重点，精准分配给每个考生，从而给考生更多的反应机会，让考生得到更多考试知识和技能。
此外，射影面积法也会在高考中有更多的应用。
例如，可以将高考考题题型完全按照射影面积法进行设计，从而让每一个考题都更加精确、更加合理。
也可以将高考的分值也按照射影面积法进行设计，比如将高考中的重点知识点放大，而将不重要的知识点缩小。
这样可以让考生能够更加清楚地掌握重点知识点，取得更好的成绩。
总之，射影面积法是一种非常有效的考试结构设计方法，它可以让考生了解考试的重要内容，可以更好的发挥考生的潜力，提高考生的考试成绩。
正是由于射影面积法的出色运用，让我们的高考更加客观、安全和公平，也给考生更多的发挥机会，更好地发掘考生的潜能。
二面角面积射影定理
二面角面积射影定理稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊那个有点神秘又有趣的二面角面积射影定理！你们知道吗？这个定理就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能帮我们轻松解决好多难题呢！想象一下，有两个面相交形成了一个二面角。
然后呀，在其中一个面上有一个图形，它在另一个面上的射影，和这个图形本身的面积之间，有着奇妙的关系。
比如说，我们有一个三角形在一个面上，它在另一个面的射影的面积，和原来三角形的面积的比值，就等于这两个面所成二面角的余弦值。
是不是有点神奇？这就好比是一个魔法，让我们可以通过简单的计算，就能知道二面角的大小啦！而且哦，当我们遇到一些复杂的图形，也不用害怕。
只要把它们分成一个个小的三角形或者其他简单的图形，再用这个定理，就能一步步找到答案。
怎么样，是不是觉得这个二面角面积射影定理很厉害？其实呀，只要我们多练习，多思考，就能把它运用得炉火纯青！小伙伴们，加油哦，让我们一起在数学的海洋里畅游，探索更多的奇妙知识！稿子二：哈喽呀，友友们！今天咱们要深入了解一下二面角面积射影定理哟！呢，咱们来看看这个定理到底是啥。
简单说，就是两个面形成二面角，然后一个面上的图形在另一个面上的射影，和原图形面积之间存在着特别的联系。
比如说，有一个正方形在一个面上，它在另一个面的射影的面积，会随着二面角的变化而变化。
是不是感觉很神奇？其实呀，这个定理在解决实际问题的时候可有用啦！就像我们要计算一个立体图形中某个面的面积，或者要知道二面角的大小，都能靠它来帮忙。
举个例子，假如有一个几何体，我们通过这个定理，就能很快算出相关面的面积，是不是超级方便？而且哦，当我们在做数学题的时候，有时候脑子可能会一团乱麻，但是只要想到这个定理，说不定就能柳暗花明又一村呢！所以呀，大家不要觉得这个定理很难，多琢磨琢磨，多做几道题，你就会发现它其实就像你的好朋友一样，能一直帮助你解决数学难题！好啦，友友们，让我们一起和二面角面积射影定理成为好伙伴，在数学的世界里快乐玩耍！。
面积法解二面角高考题
数理化解题研究2020年第34期总第491期面积法解二面角高考题叶文明叶丽英(浙江省松阳二中323406)摘 要：本文介绍了求二面角的一种方法——射影面积法，并用此法求解相关的高考题.关键词：二面角；高考题；面积法中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2020)34 -0004 -02二面角是高考常考内容，学生常用传统法和向量法 求解.事实上，有关的点在面上的射影容易找到的话，面积法不失为求二面角的一种好方法.利用面积法求二面 角大小的通法是:在其中一个面内找一个多边形(通常选三角形)，在另一个面内找到这个多边形的射影,则所求 二面角e 的余弦值为:cos 。
二s 影.3原一、 原理如图，在二面角a - / -0中, 通常取/上两点A, B,点C 在a内，作CO 丄0于0,则△ CAB 在面0内的射影为△ OAB ,于是可得二‘图1面角e 的余弦为：cos e 二「0AB .3 △CAB二、 应用举例例1(2018年高考天津卷)如图：AD 〃BC , AD 二 2BC, AD 丄 CD, EG 〃 AD, EG 二AD, CD//FG,CD 二2FG,DG 丄面 ABCD,DA 二 DC 二 DG 二2.(1) 若M 、N 分别为CF 、EG 的中点，求证:MN /面CDE ；(2) 求二面角E - BC - F 的正弦值；(3) 若点P 在线段DG 上，且BP 与面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.解析(1)(3)略.(2)连GC ,作F0丄GC 于点0,则△ FBC 在面EBC 上的射影为△ 0BC,从而所求二面角e3的余弦为:cos e 二严.△ FBC由已知可得BC 丄面GDCF,于是△ 0BC 和△FBC 都是 RtA .可求得3 MC 二豎,S △FBC 二面与半圆弧CD 所在的平面于是 sin e 二 ^0°例2(2018年高考全国卷H)如图，边长为2 的正 方形 ABCD 所 在的平3 2a cos e 二 4 -3 10210图3垂直,M 是CD 上异于C 、D 的点.(1) 证明：平面AMD 丄平面 BMC ；(2) 当三棱锥M - ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.解析(1)略(2)由于底面积S/c 为定值，所以当高最 大时体积最大，此时M 为CD 的中点，由已知可得AD 丄面MCD ,CB 丄面MCD , a A 、B 在面MCD 内的射影分别是D 、C ,从而A ABM 在面MCD 内的射影是A DCM ,于是二面角e 的收稿日期：2020 -09 -05作者简介：叶文明(1967 -)，男，中学高级教师，从事高中数学教学研究.—4—2020年第34期总第491期数理化解题研究余弦值为:COS 0二/呻.△BCD 在面4CC 141的射影为厶ECD..二面角B - CD - 4的平面角6的余弦值为:经计算S ”二】，s 二"5 ,cos Osin O 二 J\ - cos 26S △ECDs •△BCD例3 (2018年高考北京卷)如图，在三棱柱磁-儿瓦C ］中，CC ］丄面 MC ,D 、E 、F 、G 分别为 A4］、AC V41C ］、加］的中点,4〃 _ BC _ 5,AC_ 441 _2.(1)求证：4C 丄面BEF ；(2)求二面二 5 °经计算 S △e CD 二 +'S △BCD 二 W 1.1cos O _ 2 _21何221所求二面角B - CD - C 1的余弦值为一角B - CD -C ］的余弦值；(3)证明:直线图4FG 与平面BCD 相交解析(1)(3)略.(2)由已知二面角B - CD - C 1与二面角B - CD - 4互补，又BE 丄面4CC 141,参考文献：［1］汪德铮.用等面积法和等体积法导出一类几何定 值问题［J ］.数学通报，2006(09) ：57 -58.［责任编辑:李璟］掌握方法与技巧熟练解决三角函数题型易苏胜(江苏省沐阳高级中学223600)摘 要：三角函数作为高中数学中的难点之一，函数形式多变，还会涉及到几何知识，综合性较强.学生要通过大量的做题经验来总结出解题技巧，提高自身的解题效率，同时把握题目内容，运用合适的解题方法，训 练自身对知识的把握与应用能力.关键词：高中数学；圆锥曲线；构造法中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2020)34 -0005 -02一、 三角函数解题技巧在解决三角函数类型的题目时，学生要讲究解题的 层次性和技巧.首先要紧抓题目，认真分析题目要求，注重对题目内容理解,从而规划自身的解题步骤；其次要针对题目 充分应用三角函数的理论知识，理清自身的解题思路;最后 要配合三角函数的解题模式,根据老师讲述的解题步骤严格 答题，完善解题的内容,才能提高自身的解题效率.二、 三角函数解题方法学习数学不只是学习理论与概念,更要学习知识运用的方法.学生要善于积累三角函数的解题方法,通过对方法的总结发现三角函数解题的规律，以此提高自身对 三角函数知识点的理解.1.整体代换法整体代换思想贯穿于高中数学解题当中，应用十分广泛,有利于简便学生的解题运算，化繁为简.在解决三 角函数的有关问题时，学生可以将函数的主体看作一个 整体代入方程或不等式,去解决三角函数的对称轴或单调区间的问题.例 1 已知函数 /( % ) _ sin 2 °% + 73 sin °% c os °% ( °>0)的最小正周期为n . ( 1 )求°的值；(2)求函数收稿日期：2020 -09 -05作者简介：易苏胜，男，江苏省沐阳人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.—5—。
用射影面积法求二面角在高考中的妙用之欧阳与创编
用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！ 定理 已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为'S ，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则S S 'cos =θ. 本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面β内的△ABC 在平面α的射影为△BC A '，作BC AD ⊥于D ，连结AD.α⊥'AA 于'A ，α∈D ， AD ∴在α内的射影为D A '.又α⊂⊥BC BC AD , ，BC D A ⊥∴'（三垂线定理的逆定理）.'ADA ∠∴为二面角α—BC —β的平面角.设△ABC 和△BC A '的面积分别为S 和'S ，θ=∠'ADA ，则D A BC S AD BC S ''21,21⋅=⋅=.'A A B D CS S AD BC D A BC AD D A '''2121cos =⋅⋅==∴θ. 典题妙解 下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1 如图, 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1棱的中点，则面BE C 1与面AC 所成的二面角的大小为( )A.︒45B.21arctan C. 42arctan D. 32arccos 解：连结AC ，则△1EBC 在面AC 内的射影是△ABC ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，.31)22(,22,52211=+===EC BC BE 32arccos =∴θ. 故答案选D.例2（04北京）如图, 已知四棱锥S —ABCD边长为1的正方形, SD ⊥面AC, SB = 3.(1) 求证:BC ⊥SC; (2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小;(3) 设棱SA 的中点为M, 求异面直线DM 与SB 成的角的大小.（1）证明： SD ⊥面AC ，∴SC 在面AC 内的射影是SD.又 四边形ABCD 是正方形，⊂BC 面AC ，∴ BC ⊥SC （三垂线定理）.（2）解： SD ⊥面AC ，⊂CD 面AC ，CD SD ⊥∴.又 四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴.而D SD AD = ，∴CD ⊥面ASD.A又AB ∥CD ，∴BA ⊥面ASD.∴△SBC 在面SAD 的射影是△SAD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .,2,3,1,9022==-=∴==︒=∠SD BC SB SC SB BC SCB ..22cos ,2121,2221''===⋅==⋅=∴S S SD AD S SC BC S θ所以面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为4π. （3）解：取AB 的中点E ，连结DE 、ME.EB AE MS AM ==, ，∴ME ∥SB.∴异面直线DM 与SB 所成的角就是DME ∠，设θ=∠DME .25,232122=+===AE AD DE SB ME ， 2221,222===+=SA MD SD AD SA .02cos 222=⋅-+=∴ME MD DE ME MD θ.故2πθ=. 所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π.解法二：⊥BA 面SAD ，∴SB 在面SAD 内的射影是SA.又SA DM MS AM SD AD ⊥∴===,,1 .而⊂DM 面SAD ，SB DM ⊥∴（三垂线定理）.所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π. 例 3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF = 1，M 是线段EF 的中点. D A M C B E F(1) 求证：AM ∥平面BDE ；(2) 求证：面AE ⊥平面BDF ；(3) 求二面角A —DF —B 的大小.证明：（1）设O BD AC = ，则AC AO 21=，连结OE. 四边形ACEF 是矩形，EF EM 21=， AO EM =∴，EM ∥AO. ∴四边形AOEM 是平行四边形，从而AM ∥EO. 又⊂EO 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.（2） 四边形ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴.又 正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AC EC ⊥，面BD 面AE= AC ，∴BD EC 面⊥，从而BD EC ⊥.而C EC AC = ，AE BD 面⊥∴.⊂BD 平面BDF ，∴面AE ⊥平面BDF.（3）解：A AF AD AF BA AD BA =⊥⊥ ,,，ADF BA 面⊥∴. ∴△BDF 在面ADF 上的射影是△ADF ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ.AB = 2，AF = 1，3,2,2====∴FD FB BD AD .连结FO ，则2,22=-=⊥BO FB FO BD FO . 故3πθ=. 所以二面角A —DF —B 的大小为3π.例4 （08天津）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD . D A M C BE F O D AMC BE FO P（1）证明：AD ⊥平面PAB ；（2）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（3）求二面角P —BD —A 的大小.（1）证明：,22,2===PD PA AD222PD PA AD =+∴.︒=∠∴90PAD ，即PA DA ⊥.又 四边形ABCD 是正方形，AB DA ⊥∴.而A PA AB = ，AB 、PA ⊂面PAB ，∴AD ⊥平面PAB.（2） AD ∥BC ，∴异面直线PC 与AD 所成的角就是PC 与BC 所成的角，即PCB ∠.在△PAB 中，AB = 3，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD ，7,72222==⋅-+=∴PB AB PA AB PA PB . 由（1）得，AD ⊥平面PAB.PB CB ⊥∴，即︒=∠90CBP .又 BC = AD = 2，27tan ==∠∴BC PB PCB .27arctan =∠PCB .所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan . （3）作AB PE ⊥于E ，连结DE.由（1）知，PE AD ⊥，而A AD AB = ，⊥∴PE 面ABCD.∴△PBD 在面ABCD 内的射影是△EBD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .2,160cos ,1322=-==︒==+=AE AB BE PA AE AD AB BD .14255cos 1sin ,14212cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠BPD BPD PD PB BD PD PB BPD .P A D E221,255sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴AD BE S BPD PD PB S .554cos '==∴S S θ，554arccos =θ.所以二面角P —BD —A 的大小为554arccos . 点评：例1和例2 中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面VAD ； （2）求面VAD 与面VDB 所成二面角的大小.2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点.（1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线； （2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小. 3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角A —PC —D 的大小.4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）.（1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ； S D CEVD CA B 1C C B A D E 1A 1B E B C A D P（2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值. 金指点睛的参考答案1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成二面角的大小.（1）证明：取AD 的中点E ，连结VE.AD VE ED AE VD VA ⊥∴==,, . 又 平面VAD ⊥底面ABCD ，VE ⊂平面VAD ，∴VE ⊥底面ABCD. ∴VA 在底面ABCD 的射影是AD. AB ⊥AD ，AB ⊂底面ABCD ，∴ AB ⊥VA （三垂线定理）.而,A AD VA = VA 、AD ⊂平面VAD ，故AB ⊥平面VAD.（2）由（1）可知，AB ⊥平面VAD ，∴△VBD 在平面VAD 的射影是△VAD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ.设正方形的边长为1，则2,222=+==VA AB VB BD . 47cos 1sin ,432cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠VBD VBD BV BD VD BV BD VBD .4360sin 21,47sin 21'=︒⋅==∠⋅=∴VD VA S VBD BV BD S .721cos '==∴S S θ，721arccos =θ. 所以面VAD 与面VDB 所成二面角的大小为721arccos . 2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点. （1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线；V D C A B1C C B A D E 1A 1B（2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小.（1）证明：取AC 的中点F ，连结EF 、BF.EF EC AE FC AF ∴==,,1 ∥1121,CC EF CC =. 在直三棱柱ABC —111C B A 中，⊥1CC 面ABC ，11BB CC =，1CC ∥1BB ，121BB DB =， EF ∴∥DB ，EF= DB ，⊥EF 面ABC. ∴四边形BDEF 是矩形.从而1BB ED ⊥.在Rt △ABD 和Rt △D B C 11中， D B BD D B C ABD B C AB 11111,90,=︒=∠=∠=.∴ Rt △ABD ≌Rt △D B C 11.D C AD 1=∴. 而,1EC AE =1AC ED ⊥∴ 所以ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线.（2）解：连结1AB .2221,,2BC AB AC BC AB AB AC AA +=∴=== .︒=∠=∠∴90111CBA A B C ，即⊥11B C 面11A ABB 1AC ∴在面11A ABB 内的射影是1AB .∴△D AC 1在面11A ABB 内的射影是△D AB 1.设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ.设AB = BC = 1， 则22,26,22,2,22222111=-==+=====AE AD DE BD AB AD D B AC CC AC .4221,22211'1=⋅==⋅=∴AB DB S DE AC S ..3,21cos 'πθθ===S S所以二面角11C AD A --的大小为3π.3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —1C C B AD E 1A1B F 1C C B AEABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角A —PC —D 的大小.（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，︒=∠=∠90BAD ABC ，AD = 2，32=AB ，BC = 6. 33tan ,33tan ==∠==∠∴BC AB ACB AB AD ABD .︒=∠=∠∴30ACB ABD . 而︒=∠+∠90DBC ABD ，︒=∠+∠∴90DBC ACB ，即AC BD ⊥.又 PA ⊥平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，BD PA ⊥∴.A AC PA = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC.（2）解：连结PE.由（1）知，BD ⊥平面PAC.∴△PDC 在平面PAC 内的射影是△PEC ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ.PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PB BC ⊥∴（三垂线定理）.7222=+=AB PA PB ，从而822=+=BC PB PC .72)(,522222=-+==+=AD BC AB DC AD PA PD .3330cos ,30,90=︒⋅=∴︒=∠︒=∠BC EC ACB BEC . 5431cos 1sin ,5472cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠CPD CPD PD PC CD PD PC CPD .3621,312sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴PA EC S CPD PD PC S ..31933arccos ,31933cos '===θθS S 所以二面角A —PC —D的大小.31933arccos 4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方EB C A D P E B C A DP形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）.（1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ；（2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.（1）证明：连结BD. 四边形ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴.又 SD ⊥平面ABCD ，SD = a ，点E 是SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ），∴点E 在线段SD 上，且不与点D 重合，因而BE 在平面ABCD 内的射影是BD.∴对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE （三垂线定理）.（2）解：设O BD AC = ，连结EO.SD ⊥平面ABCD ，点E 是SD 上的点，⊂CD 平面ABCD ，CD SD ⊥∴.又 四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴.而D AD SD = ，SD 、AD ⊂面SAD. ∴CE 在平面SAD 内的射影是AE.∴△CAE 在在平面SAD 内的射影是△DAE. 设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ，则︒=60θ.a a a EC EA a AC a DE a AD 2221)(,2,,λλλ+=+===∴== . a AO EA EO AC EO 242,222λ+=-=⊥∴.2121cos ,2121,221212'2'22=+===⋅=+=⋅=∴λλθλλS S a AD ED S a EO AC S . 22=λλ22.。
高考中十种求解二面角策略
高考中十种求解二面角策略文：浙江省玉环中学庄丰01回归定义，返璞归真利用定义法能直接找到二面角，解法简洁明快、返璞归真，但学生往往不够重视，需要引导．解题中也可改变作图顺序，先作AG⊥BH，再作OA⊥BC，连接OG，得到BC的垂面AOG，运用垂面法解题，本质上与定义法相同．02三垂线法，注重通性利用三垂线法关键要熟练掌握操作步骤，此题中由于二面角大于90°，作出点的射影落在半平面的外面，使得问题中的线、面关系相对复杂，解决问题时需要较强的空间想象能力，并充分利用几何性质．03引入向量，灵活运算既然说到了向量，学生们最熟悉的空间坐标系方法自然不能少解法3不建系运用向量方法求解，关键是构造一个向量回路，运算过程中要注意二面角与两向量之间夹角是互补关系．解法4建系后运用向量方法求解，思路自然，无需太多技巧，运算是向量的灵魂，解题中要精于运算．04寻找射影，求面积比运用射影面积法求二面角先要找到射影，借助面面垂直找射影是重要的途径，在求三角形面积时要善于分割，此法在求解无棱二面角时有着广泛的应用．05化归距离，体积搭桥在二面角α-l-β的半平面α上任取一点Ａ（Ａ不再交线上），设点Ａ到平面β的距离为ｈ，点Ａ到直线l 的距离为ｄ，二面角α-l-β 的平面角为θ，则sinθ＝h/d由此二面角的问题可以转化为距离问题求解，而体积法是求点到平面距离的常用方法，在此可以起到牵线搭桥的作用.06善于补形，合理分割补形法是解决立体几何问题的重要方法，补形后从整体把握点、线、面的位置关系，不仅能顺利作出二面角的平面角，而且运算量也大大降低．分割法求二面角的关键是将不规则的角转化为规则的角，分割后的两个二面角是便于运算的，从求解过程中看此法与定义法有异曲同工之妙．07妙用公式，一招制胜三面角余弦公式沟通了二面角与线线角之间的联系，三正弦公式沟通了二面角、线线角、线面角之间的联系，在运用公式时，往往不用添加辅助线也能解决问题．对于学有余力的学生，可以掌握这两个公式，让它成为解决二面角问题的利器.空间向量大行其道的今天，用其他方法解答二面角的显得不那么自然。
用射影法求二面角和截面积
用射影法求二面角和截面积
梁克强
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2002(000)006
【摘要】在解决近年的高考数学试题中，面积射影公式cosθ=（S谢影/S原形）在求二面角θ和多面体的截面积时，都原起着很好的作用．下面举例说明如何运用该公式来解决这两类闸题．
【总页数】2页(P23-24)
【作者】梁克强
【作者单位】湖北省京山一中，431800
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.求二面角的一个面积公式 [J], 廖炳江
2.“棱法向量法”求二面角——有棱二面角的“另类”向量解 [J], 傅建红
3.求线面角及二面角大小的又一种方法--公式法--谈用公式法解高考题中的有关问题 [J], 朱红岩
4.用面积法求二面角的平面角 [J], 徐永河
5.用射影法求二面角 [J], 王尚尧
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用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理 已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为'S ，平面α与平面β所成的二面角的大小为θ，则SS 'cos =θ.本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面β内的△ABC 在平面α的射影为△BC A '，作BC AD ⊥于D ，连结AD. α⊥'AA 于'A ，α∈D ，AD ∴在α内的射影为D A '. 又α⊂⊥BC BC AD , ，BC D A ⊥∴'（三垂线定理的逆定理）. 'ADA ∠∴为二面角α—BC —β的平面角.设△ABC 与△BC A '的面积分别为S 与'S ，θ=∠'ADA，则D A BC S AD BC S ''21,21⋅=⋅=. SS AD BC DA BC AD D A '''2121cos =⋅⋅==∴θ. 典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1 如图, 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是A A 1棱的中点，则面BE C 1与面AC 所成的二面角的大小为( ) A.︒45 B. 21arctanC. 42arctan D. 32arccos解：连结AC ，则△1EBC 在面AC 内的射影是△ABC ，设它们的 面积分别为S 与'S ，所成的二面角为θ . 设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，.31)22(,22,52211=+===EC BC BE.103cos 1sin ,1012cos 1211212121=∠-=∠=⋅-+=∠EBC EBC BC BE EC BC BE EBC .32cos ,221,3sin 21''11===⋅==∠⋅=∴S S BC AB S EBC BC BE S θ 32arccos =∴θ. 故答案选D.例2（04北京）如图, 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形(1) 求证:BC ⊥SC;(2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小; (3) 设棱SA 的中点为M, 求异面直线DM 与SB 所成的角的大小. （1）证明： SD ⊥面AC ，∴SC 在面AC 内的射影是SD.又 四边形ABCD 是正方形，⊂BC 面AC ，∴ BC ⊥SC （三垂线定理）.'AA B D Cα1 C A 1 C A（2）解： SD ⊥面AC ，⊂CD 面AC ，CD SD ⊥∴.又 四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴. 而D SD AD = ，∴CD ⊥面ASD. 又AB ∥CD ，∴BA ⊥面ASD.∴△SBC 在面SAD 的射影是△SAD ，设它们的面积分别为S 与'S ，所成的二面角为θ .,2,3,1,9022==-=∴==︒=∠SD BC SB SC SB BC SCB .22cos ,2121,2221''===⋅==⋅=∴S S SD AD S SC BC S θ 故所以面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为4π.（3）解：取AB 的中点E ，连结DE 、ME. EB AE MS AM ==, ，∴ME ∥SB.∴异面直线DM 与SB 所成的角就是DME ∠，设θ=∠DME .25,232122=+===AE AD DE SB ME ， 2221,222===+=SA MD SD AD SA . 02cos 222=⋅-+=∴MEMD DE ME MD θ. 故2πθ=.所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π.解法二：⊥BA 面SAD ，∴SB 在面SAD 内的射影是SA.又SA DM MS AM SD AD ⊥∴===,,1 . 而⊂DM 面SAD ，SB DM ⊥∴（三垂线定理）. 所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π. 例3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面 互相垂直，AB = 2，AF = 1，M 是线段EF 的中点. (1) 求证：AM ∥平面BDE ； (2) 求证：面AE ⊥平面BDF ； (3) 求二面角A —DF —B 的大小. 证明：（1）设O BD AC = ，则AC AO 21=，连结OE. 四边形ACEF 是矩形，EF EM 21=， AO EM =∴，EM ∥AO.∴四边形AOEM 是平行四边形，从而AM ∥EO. 又⊂EO 平面BDE ， ∴ AM ∥平面BDE.（2） 四边形ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴.又 正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AC EC ⊥，面BD 面AE= AC ，∴BD EC 面⊥，从而BD EC ⊥. 而C EC AC = ，AE BD 面⊥∴.⊂BD 平面BDF ，∴面AE ⊥平面BDF.MC BEFD MC BEFO（3）解：A AF AD AF BA AD BA =⊥⊥ ,,，ADF BA 面⊥∴.∴△BDF 在面ADF 上的射影是△ADF ，设它们的面积分别为S 与'S ，所成的二面角为θ. AB = 2，AF = 1，3,2,2====∴FD FB BD AD .连结FO ，则2,22=-=⊥BO FB FO BD FO ..21cos ,2221,221''===⋅==⋅=∴S S AF AD S FO BD S θ故3πθ=.所以二面角A —DF —B 的大小为3π.例4 （08天津）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩 形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD . （1）证明：AD ⊥平面PAB ；（2）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （3）求二面角P —BD —A 的大小. （1）证明：,22,2===PD PA AD222PD PA AD =+∴.︒=∠∴90PAD ，即PA DA ⊥.又 四边形ABCD 是正方形， AB DA ⊥∴.而A PA AB = ，AB 、PA ⊂面PAB ，∴AD ⊥平面PAB. （2） AD ∥BC ，∴异面直线PC 与AD 所成的角就是PC 与BC 所成的角，即PCB ∠. 在△PAB 中，AB = 3，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD ，7,72222==⋅-+=∴PB AB PA AB PA PB .由（1）得，AD ⊥平面PAB.PB CB ⊥∴，即︒=∠90CBP . 又 BC = AD = 2，27tan ==∠∴BC PB PCB . 27arctan =∠PCB . 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan . （3）作AB PE ⊥于E ，连结DE.由（1）知，PE AD ⊥，而A AD AB = ， ⊥∴PE 面ABCD.∴△PBD 在面ABCD 内的射影是△EBD ，设 它们的面积分别为S 与'S ，所成的二面角为θ .2,160cos ,1322=-==︒==+=AE AB BE PA AE AD AB BD .14255cos 1sin ,14212cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠BPD BPD PD PB BD PD PB BPD . 221,255sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴AD BE S BPD PD PB S .554cos '==∴S S θ，554arccos =θ. MC BEFOPA DB EPA DB C所以二面角P —BD —A 的大小为554arccos.点评：例1与例2 中的二面角就是无棱二面角，例3与例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面V AD ；（2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小.2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点. （1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线； （2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小.3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A —PC —D 的大小.4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）. （1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ；（2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.金指点睛的参考答案1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面V AD ； （2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小. （1）证明：取AD 的中点E ，连结VE. AD VE ED AE VD VA ⊥∴==,, .又 平面V AD ⊥底面ABCD ，VE ⊂平面V AD ，S A B D CEV D C 1CC BADE 1A1BEB C A D PV D C∴VE ⊥底面ABCD. ∴V A 在底面ABCD 的射影是AD.AB ⊥AD ，AB ⊂底面ABCD ，∴ AB ⊥V A （三垂线定理）. 而,A AD VA = V A 、AD ⊂平面V AD ，故AB ⊥平面V AD.（2）由（1）可知，AB ⊥平面V AD ，∴△VBD 在平面V AD 的射影是△V AD ，设它们的面积分别为S 与'S ，所成的二面角为θ. 设正方形的边长为1，则2,222=+==VA AB VB BD .47c o s 1s i n ,432c o s 2222=∠-=∠=⋅-+=∠V B D V B D BV BD VD BV BD VBD . 4360sin 21,47sin 21'=︒⋅==∠⋅=∴VD VA S VBD BV BD S . 721cos '==∴S S θ，721arccos =θ. 所以面V AD 与面VDB 所成二面角的大小为721arccos .2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点.（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小. （1）证明：取AC 的中点F ，连结EF 、BF. EF EC AE FC AF ∴==,,1 ∥1121,CC EF CC =. 在直三棱柱ABC —111C B A 中，⊥1CC 面ABC ，11BB CC =，1CC ∥1BB ，121BB DB =， EF ∴∥DB ，EF= DB ，⊥EF 面ABC. ∴四边形BDEF 是矩形. 从而1BB ED ⊥. 在Rt △ABD 与Rt △D B C 11中，D B BD D B C ABD B C AB 11111,90,=︒=∠=∠=. ∴ Rt △ABD ≌Rt △D B C 11.D C AD 1=∴. 而,1EC AE = 1AC ED ⊥∴ 所以ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线.（2）解：连结1AB .2221,,2BC AB AC BC AB AB AC AA +=∴=== .︒=∠=∠∴90111CBA A B C ，即⊥11B C 面11A ABB1AC ∴在面11A ABB 内的射影是1AB .∴△D AC 1在面11A ABB 内的射影是△D AB 1.设它们的面积分别为S 与'S ，所成的二面角为θ.设AB = BC = 1，则22,26,22,2,22222111=-==+=====AE AD DE BD AB AD D B AC CC AC . 4221,22211'1=⋅==⋅=∴AB DB S DE AC S . .3,21cos 'πθθ===S S 所以二面角11C AD A --的大小为3π.3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；1C C B A DE 1A 1B1CC BADE1A1BF1CC B AD E1A 1B（2）求二面角A —PC —D 的大小.（1）证明：在Rt △ABD 与Rt △ABC 中，︒=∠=∠90BAD ABC ， AD = 2，32=AB ，BC = 6.33t a n ,33t a n ==∠==∠∴BC AB ACB AB AD ABD . ︒=∠=∠∴30ACB ABD . 而︒=∠+∠90DBC ABD ， ︒=∠+∠∴90DBC ACB ，即AC BD ⊥.又 PA ⊥平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，BD PA ⊥∴.A AC PA = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC.（2）解：连结PE. 由（1）知，BD ⊥平面PAC.∴△PDC 在平面PAC 内的射影是△PEC ，设它们的面积分别为S 与'S ，所成的二面角为θ. PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PB BC ⊥∴（三垂线定理）.7222=+=AB PA PB ，从而822=+=BC PB PC .72)(,522222=-+==+=AD BC AB DC AD PA PD .3330cos ,30,90=︒⋅=∴︒=∠︒=∠BC EC ACB BEC .5431cos 1sin ,5472cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠CPD CPD PD PC CD PD PC CPD . 3621,312sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴PA EC S CPD PD PC S . .31933arccos ,31933cos '===θθS S 所以二面角A —PC —D 的大小.31933arccos4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）.（1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ； （2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.（1）证明：连结BD. 四边形ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴. 又 SD ⊥平面ABCD ，SD = a ，点E 是SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ），∴点E 在线段SD 上，且不与点D 重合，因而BE 在平面ABCD 内的射影是BD. ∴对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE （三垂线定理）.（2）解：设O BD AC = ，连结EO.SD ⊥平面ABCD ，点E 是SD 上的点，⊂CD 平面ABCD ， CD SD ⊥∴. 又 四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴.而D AD SD = ，SD 、AD ⊂面SAD. ∴CE 在平面SAD 内的射影是AE. ∴△CAE 在在平面SAD 内的射影是△DAE. 设它们的面积分别为S 与'S ，所成的二面角为θ，则︒=60θ. a a a EC EA a AC a DE a AD 2221)(,2,,λλλ+=+===∴== .a AO EA EO AC EO 242,222λ+=-=⊥∴.2121cos ,2121,221212'2'22=+===⋅=+=⋅=∴λλθλλS S a AD ED S a EO AC S .解得22=λ，所以λ的值为22.EB CA DPEB C A DPSA BD CEO。