柯西不等式的变形公式的妙用

柯西不等式的变形公式的妙用

柯西不等式晌丝形公式的她用

湖北省襄阳市第一中学王勇龚俊峰441000

柯西不等式具有对称和谐的结构,应用的关键在

于抓住问题的结构特征,找准解题的正确方向,合理

地变形,巧妙地构造.作为新课程的选修内容,柯西不

等式(简记为"方和积不小于积和方")在数学的多个

领域都有着广泛的应用.课堂教学中,笔者与学生共

同探究了柯西不等式的一个变形公式的应用,方便快

捷,妙不可言,达到了化难为易,化繁为简,化陌生为

熟悉的目的.

柯西不等式的变形公式:设a,n,…,a为实

数,b,bz,…,为正数,则等+薏十…+筹≥

b1+62+…+

等号.

,

当且仅当一薏一?一时取

址明:田tⅡJ四个寺瓦,侍

((22十~t2+…+等)(64.b24.…+)

()+(老)+..?+(老).][c,z

+()4-…+()!]

≥(.+老'+...+老.)

一(口l十以2+…+甜).

.

.

.bl,b2,…～b为正数,...bl4"b24-…+>O,

.

?

.

鲁+譬+…+譬≥.

当且仅当一-...一卿一…

时取等号.

下面分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.

1在代数中的妙用

例1设n,b,C均为正数,且不全相等,求证:

++>.

证明:由柯西不等式的变形公式,得

++一:一

04.b6+f.f+n2(a+6).2(bq-一c)

l2

.2(c+a)

,(2+2+2)0

2(n+6)+2(64-c)+2(f+0)

4(a+6+f)

一

——

a4"b4"c'

当且仅当一一,即6

—6+f:f+n,亦即a~b=c时,上述不等式取等号. 因题设a,b,c不全相等,于是9l_+赢9+?)

>?

._..I◆

点评:将十+变形为+

十,为应用柯西不等式的变形公式创十,为应用柯西不等式的变形公式创造了条件.本题注意阐明等号取不到的理由.

例2若(z,b,cE(0,1),满足ab+bc+ca=1,求

++的最/J,值.

解析:由柯西不等式的变形公式,得

.—1_—L一_—L

1一a1一b.1一c

izl1I1

1一.1一厅'1一f

≥导

9

3一(n+6+C)'

而n+6+c≥+bc+cn,

.

'

.n2+b2+c+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca),

nO(口+6+f)z≥3×1,亦即日+6+c≥.

.

?

.

上

1--a

++≥-3"---

9_

(a+b+c)≥'.——十十

3一

3(3+43)一————一'

当且仅当一6一c一每时,上述几个不等式同时

取等号.

.

?

.

上+—l_+l_的最小值为旦一1一

n1—6.1一C2

点评:将++变形为12+12

+}是求解的基础.后续所用到的n+6.+c≥"6

+6c+及(n+6+c)≥3(a6++∞)是常用的重

要结论,应切实掌握.

例3已知实数n,b,C,d满足,"++c+一3,

a+2bz+3c+6d.一5,试求n的取值范围.

●

分析:分离参数n,利用柯西不等式的变形公式

把方程化为关于参数n的不等式,解不等式即可. 解析:由已知得,6+f+一3一口.2+3c2-6d

一5一n.

由柯西不等式的变形公式,得

5--az=2b.+3c+6d一Tb2十Tc2十Td2

百百

≥6+升'

.

'

.

5一n≥(3--a),解得l≤&≤2.

.

'

.n的取值范围为[1,2].

例4已知-z,,∈R+,求证:+

+z百3?

证明:令-T++—,则

x

v十z

~y+zx+2y+zx+y+一2z一生t+x+

2z+十z

tY+案t十十2

一s…(+南+).

由柯西不等式的变形公式,得

+南+=+焉+

～

(1+1+1)一

9

干F而干(￡+)一4t'

.

?

.

上

2x+y+z+i+上2y+z++y+2z≤3一￡'4t.'I

z

.

3一9一

_

3

.

点评:本题先用换元法将所证不等式的左边进行

变形,为下一步活用柯西不等式的变形公式奠基.本题有一定的难度,极富思考性和挑战性.

2在三角中的妙用

例5若口,』9,y均为锐角,且满足COSd+co十COS.y一1,

求证:cOtZa十c.+cot2号.

证明:要证cot2a+c.t+c.t2号,

只需证冬+嚣+,≥导,

sin

++

sin≥号,口slJyZ

靴+十南≥詈.

由cosg-~-cos/~-}-COS),一1易得sina+sin.口+ sin2),一2.

由柯西不等式的变形公式,得

++南++

,(1+1+1).9

~-

sin2a+sin2fl+sin27--2'

.

'

.

原不等式成立.

点评:本题联袂使用切割化弦法,分析法及柯西不等式的变形公式等方可圆满解决.

例6设a,I9,y∈(o,号),且sin2.+sin2/?+

sin27—1,

求证:+曼

slny

+

slna

1.

Sln.

证明:由柯西不等式的变形公式,得

上上曼i出

slnsin)'slno: