湖北省重点高中联考协作体2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 含答案 精品

2017年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试
高一数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集5}432{1，，，，=U ，2}{1，=M ，5}3{2，，=N ，则=)()(N C M C U U （ ） A ．}5,4,3,1{ B ．}3,1{ C ．}4{ D ．}5,3{
2.下列各组函数中两个函数相等的是（ ）
①2
)()(x x f =，x x g =)(；②1)(-=x x f ，1)(2
-=x
x x g ；③|1|)(-=x x f ，⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-≠+-=1,21,|1||
1|)(2x x x x x g ；④12)(2-=x x f ，12)(2-=t t g .
A ．① ②
B ．②③
C ．④
D ．③④
3.若函数)(x f y =的定义域为}5,83|{≠≤≤-x x x ，值域为}0,21|{≠≤≤-y y y ，则
)(x f y =的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧≥-<=+2),1(log 2,)(23
11x x x e x f x ，则))2((f f 的值是（ ）
A ． 0
B ． 1 C. 2 D ．3
5.下列四个函数中，具有性质“对任意的实数0,0>>y x ，函数)(x f 满足
)()()(y f x f xy f +=”的是（ ）
A ． x x f 2log )(=
B ．x x f 2)(= C. 2)(x x f = D ．x
x f )2
1()(= 6.某天早上，小明骑车上学，出发时感到时间较紧，然后加速前进，后来发现时间还比较充裕，于是放慢了速度，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）
A ．
B ．
C. D ．
7.设0x 是函数732)(-+=x x f x
的零点，且))(1,(0Z k k k x ∈+∈，则k 的值为（ ） A ．0 B ． 1 C. 2 D ．3 8.已知2
32=a ，2
)3
2(=b ，3
1
log 2
-=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A ． b c a >> B ．a c b >> C. b a c >> D ．c b a >> 9.已知函数2
)(x
x x f --=ππ（其中π是圆周率， 1415926.3=π），则下列结论正确的是
（ ）
A ．)(x f 是偶函数，且)2()1(0f f <<
B ．)(x f 是奇函数，且)2()1(0f f << C. )(x f 是偶函数，且0)1()2(<<f f D ．)(x f 是奇函数，且0)1()2(<<f f 10. 已知函数32)(2
+-=x x x f 在区间],0[t 上的最大值为3，最小值为2，则实数t 的取值范围是（ ）
A ． ]2,1[
B ．]1,0( C. ),1[+∞ D ．]2,0(
11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开
始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：05.012.1lg ≈，11.03.1lg ≈，30.02lg ≈） A ． 2018年 B ．2019年 C. 2020年 D ．2021年
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数，例如：4]5.3[-=-，2]1.2[=，已知函数
2
11)(-+=x x e e x f ，则函数)]([x f y =的值域是（ ）
A ． }1,0{
B ．}1{ C. }1,0,1{- D ．}0,1{-
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数4)32(log +-=x y a 的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数)(x f 的图像上，则
=)3(f ．
14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当)0,(-∞∈x 时，2
32)(x x x f +=，则
=)1(f ．
15.定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的]0,(,21-∞∈x x （21x x ≠），有
0)]()()[(1212<--x f x f x x ，且0)2(=f ，则不等式
05)
()(3<-+x
x f x f 的解集
是 ．
16.某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第82页第8题的函数x
x
x f +-=11lg )(为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：
①同学甲发现：函数)(x f 的定义域为)1,1(-； ②同学乙发现：函数)(x f 是偶函数； ③同学丙发现：对于任意的)1,1(-∈x 都有)(2)1
2(
2
x f x x
f =+；
④同学丁发现：对于任意的)1,1(,-∈b a ，都有)1(
)()(ab
b
a f
b f a f ++=+； ⑤同学戊发现：对于函数)(x f 定义域中任意的两个不同实数21,x x ，总满足
0)
()(2
121>--x x x f x f .
其中所有正确研究成果的序号是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 计算：（1）210
2
132
25)(16log 8259-++-++e π；
（2）已知52
12
1
=+-
x
x ，求5
6
122-+-+--x x x x 的值.
18. 已知集合}1628
1
|{1≤≤=+x x A ，}131|{-≤≤+=m x m x B . （1）求集合A ；
（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围. 19. 已知函数)(1
31
)(R a a x f x
∈+-
=. （1）用定义证明函数)(x f 在R 上是增函数；
（2）探究是否存在实数a ，使得函数)(x f 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，解不等式0)42()1(2
≤-++t f t f .
20. 已知函数1
)(22
+=x x x f .
（1）证明：函数)(x f 是偶函数；
（2）记)2007
()3()2()1(f f f f A ++++= ，)2017
1
()31()21
()1(f f f f B ++++= ，求B A +的值；
（3）若实数21,x x 满足1)()(21>+x f x f ，求证：1||21>x x .
21. 某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：
（1）写出价格)(x f 关于时间x 的函数关系式；（x 表示投放市场的第x （N x ∈）天） （2）若销售量)(x g 与时间x 的函数关系：3
109
31)(+-
=x x g （1001≤≤x ，N x ∈），则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少千元？
22.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=. （1）直接写出函数)(x f 的增区间（不需要证明）； （2）求出函数)(x f ，R x ∈的解析式；
（3）若函数22)()(+-=ax x f x g ，]2,1[∈x ，求函数)(x g 的最小值.
试卷答案
一．选择题（60分）
1. ,故选C。

2.①②组的两个函数定义域不同，故去掉A,B。

③组中的函数g(x)化简即为f（x）,故③正确，
④组两个函数显然相等，故选D
3.根据定义域去掉A、D，根据函数对应关系，去掉C，故选B.
4. ，故选B.
5. ，故选A.
6.首先加速前进，说明图象应该上升，放慢速度，说明图象上升的缓慢，故选C.
7. 故，所以k=1，故选B.
8. ，，
，故，选A。

9.，故是奇函数；又是减函数，则
是增函数，所以是增函数，故，选B.
10. ,说明在顶点处取得最小值，故；又得
，故，所以，选A.
11. ，，故约4年即2019年，选B
12. ，故选D.
二．填空题（20分）
13. 9 14. 1 15. 16. ①③④
13.定点A（2,4）在幂函数图象上，可得：，故；
14. ；
15. 由题意：在区间上，是减函数，又是偶函数，则在区间上，是
增函数。

由，则或，又，
所以或，.故解集是.
16.①：，故①正确；
②: ，奇函数，故②错误
③：对于任意的，有；
，故③正确；
④：对于任意的，有；
，而，故④正确；
⑤：对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足，即说
明是增函数。

但是减函数，故⑤错误。

综上：①③④正确。

三．解答题
17. 解：（1）原式=
（Ⅱ）由已知可得：
原式=
18. 解：（1）由已知：，，.
（2）若时符合题意；
若时有，
即；
综上可得：的取值范围为.
19.解：（1）任取且，
则
在R上是增函数，且，，，，
，即函数在上是增函数.
（2）是奇函数，则，
即
，故.
当时，是奇函数.
（III）在（Ⅱ）的条件下，是奇函数，则由可得：
，
又在上是增函数，则得，.
故原不等式的解集为：.
20. 解：（1）对任意实数，有，
故函数是偶函数.
（2）当时，
=2017
（3）由
.
21. 解：（1）由题意，设
，
同理设，
（2）设该产品的日销售额为，则，
当，
此时当（千元）
当，
此时（千元）
综上：销售额最高在第10天或第11天，最高销售额为808.5千元.
22. 解：（1）的增区间为 .
（2）设，则，，
由已知，当时，，故函数的解析式为：
.
（3）由（2）可得：，对称轴为：，
当时，，此时函数在区间上单调递增，故的最小值为
，
当时，，此时函数在对称轴处取得最小值，故的最小值为，
当时，，此时函数在区间上单调递减，故的最小值为
.
综上：所求最小值为.
2017年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试
高一数学试卷参考答案
三．选择题（60分）
1. ,故选C。

2.①②组的两个函数定义域不同，故去掉A,B。

③组中的函数g(x)化简即为f（x）,故③正确，
④组两个函数显然相等，故选D
3.根据定义域去掉A、D，根据函数对应关系，去掉C，故选B.
4. ，故选B.
5. ，故选A.
6.首先加速前进，说明图象应该上升，放慢速度，说明图象上升的缓慢，故选C.
7. 故，所以k=1，故选B.
8. ，，
，故，选A。

9.，故是奇函数；又是减函数，则
是增函数，所以是增函数，故，选B.
10. ,说明在顶点处取得最小值，故；又得
，故，所以，选A.
11. ，，故约4年即2019年，选B
12. ，故选D.
四．填空题（20分）
13. 9 14. 1 15. 16. ①③④
13.定点A（2,4）在幂函数图象上，可得：，故；
14. ；
15. 由题意：在区间上，是减函数，又是偶函数，则在区间上，是
增函数。

由，则或，又，
所以或，.故解集是.
16.①：，故①正确；
②: ，奇函数，故②错误
③：对于任意的，有；
，故③正确；
④：对于任意的，有；
，而，故④正确；
⑤：对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足，即说
明是增函数。

但是减函数，故⑤错误。

综上：①③④正确。

三．解答题
17. 解：（1）原式=------------5分
（Ⅱ）由已知可得：-----------7分，
----------9分，
原式=-----------------10分.
18. 解：（1）由已知：，，.----4分
（2）若时符合题意； ---------------6分
若时有，------8分
即；----------10分
综上可得：的取值范围为.-------12分
19.解：（1）任取且，
则 ------------2分
在R上是增函数，且，，，，
，即函数在上是增函数.-----------4分（2）是奇函数，则，
即 --------------6分
，故.
当时，是奇函数. -----------------8分
（III）在（Ⅱ）的条件下，是奇函数，则由可得：
， --------------10分
又在上是增函数，则得，.
故原不等式的解集为：. ----------------12分
20. 解：（1）对任意实数，有，
故函数是偶函数.--------------------------------3分
（2）当时，---------5分
=2017----------7分
（3）由------------------9分
-----------------------11分
. ------------------------------ 12分
21. 解：（1）由题意，设
，------2分
同理设，
------------------4分
-----------------6分
（2）设该产品的日销售额为，则，
当，
此时当（千元）-------------------------9分，
当，
此时（千元） -----------------11分，
综上：销售额最高在第10天或第11天，最高销售额为808.5千元.--------------12分22. 解：（1）的增区间为 . ------------ 2分
（2）设，则，，-------------4分
由已知，当时，，故函数的解析式为：
.-------------------6分
（3）由（2）可得：，对称轴为：，
当时，，此时函数在区间上单调递增，故的最小值为
， --------------------------8分
当时，，此时函数在对称轴处取得最小值，故的最小值为， ------- ------------10分
当时，，此时函数在区间上单调递减，故的最小值为
.
综上：所求最小值为.---------------12分。