上海市长宁区2019-2020学年高考数学一月模拟试卷含解析

上海市长宁区2019-2020学年高考数学一月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．48122+
B ．60122+
C ．72122+
D ．84
【答案】B
【解析】
【分析】 画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.
【详解】
该几何体的直观图如图所示：
故()2422626246622641222S +⨯=⨯+⨯+
⨯+⨯+⨯=+.
故选：B .
【点睛】
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
2．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()
PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 的最小值为（ ）
A ．2
B ．34-
C ．2-
D ．2512
- 【答案】D
【解析】
【分析】 以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，
，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值．
【详解】
以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，
可得()()1010B C -，
，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r
， 可得()()120222x y x +⋅=+=-，
，，即20x y =-≠，， 则()
()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r ，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--
21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭， 当16a =时，()
PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-． 故选D ．
【点睛】
本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 3．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30°的方向上，再开回C 处，由C 向西开6D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）
A ．3
B ．32
C ．4
D ．2【答案】B
【解析】
【分析】 先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可.
【详解】
由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，
所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒，
所以DAC ADC ∠=∠，所以26CA CD == 又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以3262
BC == 所以2212cos 2462266322
AB AC BC AC BC ACB =
+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=故选：B.
【点睛】 本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 4．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．c a b >>
【答案】D
【解析】
【分析】
与中间值1比较，,a c 可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．
【详解】 0.50.41<，3log 51>，又550log 2log 3<<，∴5511log 2log 3
>，即23log 5log 5>， ∴c a b >>．
故选：D.
本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．
5． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）
A ．15
B ．13
C ．35
D ．23
【答案】A
【解析】
【分析】
列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可.
【详解】
6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),
而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =
. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.
6．复数12i i
--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 试题分析：由题意可得：131255i i i -=--. 共轭复数为3155
i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系
7．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020
211n n k a a -==∑，则k =( )
A ．2020
B ．4038
C ．4039
D ．4040
【答案】D
【分析】
计算134a a a +=，代入等式，根据21n n n a a a ++=+化简得到答案.
【详解】
11a =，32a =，43a =，故134a a a +=，
2020
21134039457403967403940401............n n a a a a a a a a a a a a -==+++=++++=+++==∑，
故4040k =.
故选：D .
【点睛】
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
8．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】
【分析】
对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果.
【详解】
因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'， 又函数()32
39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值， 所以()327630f a -=-+='，解得5a =.
故选D
【点睛】
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.
9．已知椭圆E ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）
A ．22
14036
x y += B ．2212016x y += C ．221106x y += D ．2215
x y += 【答案】D
【解析】
由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以122225a BF BF AF =+==，得5a =，故可得椭圆的方程.
【详解】
由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，
又1||AB BF =，所以122225a BF BF AF =+==，得5a =
，1b ∴=， 所以椭圆的方程为2
215x y +=.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.
10．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（
）
A ．2
B ．10
C ．34
D ．98 【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.
【详解】
由题意运行程序可得：
4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=；
4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=；
4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=；
4i <不成立，此时输出34s =.
【点睛】
本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.
11．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ）
A ．i -
B ．i
C ．1-
D ．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部.
【详解】 由zi ＝1﹣i ，∴z ＝()()
111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1 故选D ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．
12．在复平面内，
31i i +-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
将复数化简得=12z i +,12z i =-,即可得到对应的点为()1,2-,即可得出结果.
【详解】 3(3)(1)12121(1)(1)
i i i z i z i i i i +++===+⇒=---+，对应的点位于第四象限. 故选:D .
【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A B 、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是__________元.
【答案】1元
设分别生产甲乙两种产品为x 桶，y 桶，利润为z 元
则根据题意可得212212
0x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥∈⎩
，且， 目标函数300400z x y =+ ，作出可行域，如图所示
作直线340L x y +=：
， 然后把直线向可行域平移， 由图象知当直线经过A 时，目标函数300400z x y =+ 的截距最大，此时z 最大，
由212 212x y x y +⎧⎨+⎩＝＝ 可得44
x y ⎧⎨⎩＝＝，即44A （，） 此时z 最大300440042800z =⨯+⨯= ，
即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为1．
【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．
14．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭在[]0π，的零点个数为________． 【答案】3
【解析】
【分析】 求出36x π+的范围，再由函数值为零，得到36x π+的取值可得零点个数．
【详解】
详解：0x πQ ≤≤ 193666
x π
π
π∴≤+≤ 由题可知33362
62x x ，π
πππ+=+=，或5362
x ππ+= 解得4x ,99ππ=,或79
π 故有3个零点．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．
15．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412cos ,cos 513
B C ==，1b =，则a =__________. 【答案】5639
【解析】
【分析】
先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值.
【详解】 由于412cos ,cos 513B C ==
，所以35sin ,sin 513
B C ====，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+312455651351365
=⨯+⨯=.由正弦定理得56
sin 56653sin sin sin 39
5
a b b A a A B B ⋅=⇒===. 故答案为：5639
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.
16．已知向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，||1c b -=r r ，则||a c +r r 的取值范围为_________.
【答案】[]0,4
【解析】
【分析】
设a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，c OC =u u u r r ，a OA OA -=-='r u u u r u u u r ，由||1a =r ，||2b =r ，||1c b -=r r ，根据平面向量模的
几何意义，可得A 点轨迹为以O 为圆心、1为半径的圆，C 点轨迹为以B 为圆心、1为半径的圆，a c +r r 为A C '的距离，利用数形结合求解.
【详解】
设a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，c OC =u u u r r ，a OA OA -=-='r u u u r u u u r
，
如图所示：
因为||1a =r ，||2b =r ，||1c b -=r r ，
所以A 点轨迹为以O 为圆心、1为半径的圆，C 点轨迹为以B 为圆心、1为半径的圆， 则a c +r r
即A C '的距离，
由图可知，04A C ≤'≤.
故答案为：[]0,4
【点睛】
本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， 底面ABCD 是矩形，AD PD =，E ，F 分别是CD ，PB 的中点.
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）设33AB BC ==， 求三棱锥P AEF -的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
34
【解析】
【分析】 （Ⅰ）取PA 中点G ，连FG ，GD ，根据平行四边形，可得//EF DG ，进而证得平面PAB ⊥平面PAD ，利用面面垂直的性质，得DG ⊥平面PAB ，又由//EF DG ，即可得到EF ⊥平面PAB .
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）取PA 中点G ，连FG ，GD ，
由11//,,//,22
FG AB FG AB ED AB ED AB ==，可得//,FG ED FG ED =， 可得EDGF 是平行四边形，则//EF DG ，
又PD ⊥平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，
∵AB AD AB ⊥⇒⊥平面PAD ，AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ，
∵PD AD =，G 是PA 中点，则DG PA ⊥，而DG ⊂平面PAD DG ⇒⊥平面PAB ，
而//EF DG ，∴EF ⊥平面PAB .
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式， 得12P AEF B AEF F BAE P BAE V V V V ----=== 1123
BAE S PD ∆=⨯⨯⨯ 1113
32324
=⨯⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
18．已知圆O 经过椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点以及两个顶点，且点1,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． ()1求椭圆C 的方程；
()2若直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于M 、N 两点，且43
MN
=，求直线l 的倾斜角． 【答案】（1）2
212x y +=；（2）4π或34
π 【解析】
【分析】
(1)先由题意得出b c = ,可得出b 与a 的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆C 的方程，可求出a 与b 的值，从而得出椭圆C 的方程；(2)对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当直线l 的斜率不存在时，可求出MN ，然后进行检验；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+,设点()()1122,,,M x y N x y ，先由直线l 与圆O 相切得出m 与k 之间的关系，再将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件43
MN =
得出k 的值，从而求出直线l 的倾斜角. 【详解】
（1）由题可知圆O 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得222a b =， 又点1,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以222211b a a b +=，解得222,1a b ==，
即椭圆C 的方程为2
212
x y +=. （2）圆O 的方程为221x y +=，当直线l
不存在斜率时，解得MN =
当直线l 存在斜率时，设其方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O 相切，
1=，即221m k =+. 将直线l 与椭圆C 的方程联立，得：
()222124220k x kmx m +++-=，
判别式222881680m k k ∆=-++=>，即0k ≠，
设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222
422=,=,1212km m x x x x k k --+++
12x x -==， 所以
1224123MN x k ==-==+， 解得1k =±， 所以直线l 的倾斜角为
4π或34π. 【点睛】
求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
19．已知函数()f x x a x 2=-++．
()1当a 1=时，求不等式()f x 3≤的解集；
()02x R ∃∈，()0f x 3≤，求a 的取值范围．
【答案】（1）{}
21x x -≤≤； （2）[]5,1-.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）当1a =时，()12f x x x =-++，
①当2x -≤时，()21f x x =--，
令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-，
②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，所以21x -<<，
③当1x ≥时，()21f x x =+，
令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x =， 综上所述，不等式的解集为{}
21x x -≤≤． （2）因为()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+，
因为0x R ∃∈，有()3f x ≤成立，
所以只需23a +≤，
解得51a -≤≤，
所以a 的取值范围为[]5,1-．
【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 20．如图，椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的长轴长为4，点A 、B 、C 为椭圆上的三个点，A 为椭圆的右端点，BC 过中心O ，且2BC AB =，3ABC S ∆=．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P 、Q 是椭圆上位于直线AC 同侧的两个动点（异于A 、C ），且满足PBC QBA ∠=∠，试讨论直线BP 与直线BQ 斜率之间的关系，并求证直线PQ 的斜率为定值.
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）利用题中条件先得出a 的值，然后利用条件2BC AB =，3ABC S ∆=结合椭圆的对称性得到点B 的坐标，然后将点B 的坐标代入椭圆方程求出b 的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件PBC ∠= QBA ∠得到直线BP 与BQ 的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线BP 的方程为()312
y k x -=-，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点P 的坐标，注意到直线BP 与BQ 的斜率之间的关系得到点Q 的坐标，最后再用斜率公式证明直线PQ 的斜率为定值.
（1）2BC AB =Q ，1322
OAB ABC S S ∆∆∴==， 又AOB ∆是等腰三角形，所以31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 把B 点代入椭圆方程22
214x y b
+=，求得23b =， 所以椭圆方程为22
143
x y +=； （2）由题易得直线BP 、BQ 斜率均存在，
又PBC QBA ∠=∠，所以BP BQ k k =-， 设直线()3:12BP y k x -=-代入椭圆方程22
143
x y +=， 化简得()2223348412302k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝
⎭， 其一解为1，另一解为22
412334P k k x k --=+， 可求221263342
P k k y k --=++， 用k -代入得22412334Q k k x k +-=+，221263342
Q k k y k -+=++， 12
P Q
PQ P Q y y k x x -∴==-为定值. 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率
21．已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =t （t 为常数），且22
249
x y z ++的最小值为87，求实数t 的值. 【答案】t ＝1
【解析】
【分析】 把22249x y z ++变形为22222221991449919619614
x y t t z t t +++++-结合基本不等式进行求解. 【详解】 因为2222222222199149449919619614
x y x y z t t z t t ++=+++++- 211()714
t x y z t ≥++- 即22
249
x y z ++2114t ≥，当且仅当27x t =，914y t =，114z t =时，上述等号成立， 所以218147
t =，即216t =，又x ，y ，z ＞0，所以x +y +z =t ＝1． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.
22．ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；
（2）若4b =，点M 是线段BC 的中点，AM =uuu r
，求ABC V 的面积.
【答案】（1）1cos 4A =
（2）ABC S =△【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，即可得出cos A 的值；
（2）由题意得出2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r
，两边平方，化简得出4c =，根据三角形面积公式，即可得出结论.
【详解】
（1）cos (4)cos a B c b A =-Q
由正弦定理得sin cos (4sin sin )cos A B C B A =-
即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A +=
即sin 4cos sin C A C = 在ABC V 中，sin 0C ≠，所以 1cos 4
A =
（2）因为点M 是线段BC 的中点，所以2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r
两边平方得222
24AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 由1154,10,cos ,sin 44
b AM A A ====u u u u r 得22124104
c b c b ++⨯⨯⨯=⨯ 整理得216240c c ++=，解得4c =或6c =-（舍）
所以ABC V 的面积1sin 2152
S bc A =
= 【点睛】
本题主要考查了正弦定理的边化角公式，三角形的面积公式，属于中档题. 23．在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A B BA 是菱形，4AB =，160ABB ∠=︒，113B C =，BC AB ⊥，点M 、N 分别是1A B 、1AC 的中点，且1⊥MN AB .
（1）求证：平面11BCC B ⊥平面11A B BA ；
（2）求四棱锥11A BCC B -的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）83【解析】
【分析】
（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出BC ⊥平面11A B BA 即可； （2）求出点A 到平面11BCC B 的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥11A BCC B -的体积.
【详解】
（1）连接1A C ，由11ACC A 是平行四边形及N 是1AC 的中点， 得N 也是1A C 的中点，因为点M 是1A B 的中点，所以//MN BC ， 因为1⊥MN AB ，所以1BC AB ⊥，
又BC AB ⊥，1AB AB A =I ，所以BC ⊥平面11A B BA ，
又BC ⊂平面11BCC B ，所以平面11BCC B ⊥平面11A B BA ；
（2）过A 作1AO B B ⊥交1B B 于点O ，
因为平面11BCC B ⊥平面11A B BA ，平面11BCC B I 平面111A B BA B B =， 所以AO ⊥平面11BCC B ， 由11A B BA 是菱形及160ABB ∠=︒，得1ABB △为三角形，则23AO =， 由BC ⊥平面11A B BA ，得1BC B B ⊥，从而侧面11BCC B 为矩形， 所以1111123348333
A BCC
B V OA B
C B B -=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.
【点睛】
本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.。