[配套k12学习]九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用同步练习

2.4.1二次函数的应用
一、夯实基础
1．如图所示的抛物线的解析式是 ( )
A．y＝x2－x＋2 B．y=－x2－x＋2
C．y＝x2＋x＋2 D．y=－x2＋x＋2
2．如图所示的是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a的值是．
3．已知抛物线y＝4x2－11x－3，则它的对称轴是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是 .
4．抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB 的长为1，△ABC的面积为l，则b的值是．
5．用12米长的木料做成如图2－111所示的矩形窗框(包括中间的十字形)，当长、宽
各为多少时，矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?
二、能力提升
6.（2016·青海西宁·3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s 的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）
A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2
7．如图2－112所示，△ABC的面积为2400c m2，底边BC的长为80cm，若点D在BC 上，点E在AC上，点F在AB上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD＝x cm，S BDEF=y cm2．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)当x为何值时，y最大?最大值是多少?
8．如图所示，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点(不与B 重合)，作EF⊥AB于F，延长FE与DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．
(1)求证△BEF∽△CEG；
(2)用x表示S的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?
三、课外拓展
9．如图所示，在边长为的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1 cm／s的相同速度运动，过E作EH垂直AC，交Rt△ADC的直角边于H；过F作FG垂直AC，交Rt△ADC的直角边于G，连接HG，EB. 设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0)．若E到达C，F到达A，则停止运动．若E的运动时间为x s，解答下列问题．
(1)当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2；
(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；(图2－115为备用图)②求y 的最大值．
四、中考链接
1.（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、
F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）
A B
C
D
2.
（2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，1
4
）；点F （0，1）在y 轴上．直线y=﹣1与y 轴交于点H ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y=﹣1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP；
（3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．
答案
1．D
2．1[提示：抛物线开口向上，故a ＞0．因为图象过原点，所以a 2
－1＝0，所以a ＝±1，
所以a ＝1．]
3．x ＝
118 (3，0), (－1
4
，0) (0，－3) 4．－3
5．解：设窗框的长为x 米，则窗框的宽为
1233x -米，矩形窗框的面积y ＝x(1233
x
-)＝－x 2
＋4x ．配方得y ＝－(x －2)2
＋4．∵a=－l ＜0，∴函数y ＝－(x －2)2
＋4有最大值．当x ＝2时，y 最大值＝4平方米，此时
1233
x
-＝4－2＝2(米)，即当长、宽各为2米时，矩形窗框的面积最大，最大值为4平方米．
6.解：∵tan∠C=，AB=6cm ，
∴=，
∴BC=8，
由题意得：AP=t ，BP=6﹣t ，BQ=2t ， 设△PBQ 的面积为S ，
则S=×BP×BQ=×2t×（6﹣t ），
S=﹣t 2+6t=﹣（t 2﹣6t+9﹣9）=﹣（t ﹣3）2+9， P ：0≤t≤6，Q ：0≤t≤4， ∴当t=3时，S 有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ 的最大面积为9cm 2； 故选C ．
7．解：(1)设A 到BC 的距离为d cm ，E 到BC 的距离为h cm ，则y=S BDEF=xh ．∵S △ABC
＝
12BC·d，∴2400=12×80d，∴d=60．∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴h DC d BC =，即806080h x -=
，∴h=3(80)4x -，∴y＝3(80)4x -x ＝－34
x 2
＋60x ．(2)自变量x 的取值范围是0＜x ＜80． (3)∵a=－34＜0，－2b
a
＝40，0＜40＜80，∴当x ＝40时，y 最大值＝1200．
8．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG．又∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG． (2)解：由(1)得，∠G＝∠BFE＝90°，∴DG 为△DEF 中EF 边上的高．在Rt△BFE 中，
∠B=60°，EF ＝BEsin B 在Rt△CGE 中，CE=3－x ，CG=(3－x)cos 60°=32
x -，∴DG=DC
＋CG=
112x -，∴S=1
2
x 2x ，其中0＜x≤3．
(3)＜0，对称轴x ＝11
2
，∴当0＜x≤3时，S 随x 的增大而增大，∴当
x ＝3，即E 与C 重合时，S 有最大值，S 最大值＝．
9．解：(1)以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是矩形．∵正方形ABCD 的边长为，∴AC=16．∵AE＝x ，过点B 作BO⊥AC 于O ，如图2－116所示，则BO ＝8，∴S 2＝4x ．∵HE=x，EF ＝16－2x ，∴S 1=x(16－2x)．当S 1＝S 2，即x(16－2x)=4x 时，解得x 1=0(舍去)，x 2＝6．∴当x ＝6时，S 1＝S 2．
(2)①当0≤x＜8时，如图2－116所示．y=x(16－2x)＋4x ＝－2x 2
＋20x ．
当8≤x≤16时，如图所示，AE ＝x ，CE=HE ＝16－x ，EF ＝16－2(16－x)=2x －16，∴S 1
＝(16－x)(2x －16)，∴y＝(16－x)(2x －16)＋4x=－2x 2
＋52x －256．
(2)解法1：②当0≤x＜8时，y ＝－2x 2
＋20x ＝－2(x 2
－10x ＋25)＋50=－2(x －5)2
＋50，∴当x ＝5时，y 的最大值为50．当8≤x≤16时，y ＝－2x 2
＋52x －256=－2(x －13)2
＋82，∴当x ＝13时，y 的最大值为82．综上可得，y 的最大值为82．
解法2：②y ＝－2x 2
＋20x(0≤x＜8)，当x ＝－20
2(2)
⨯-＝5时，y 最大值＝2204(2)-⨯-＝50．y=
－2x2＋52x－256(8≤x≤16)，当x=－
52
2(2)
⨯-
＝13时，y最大值=
2
4(2)(256)52
4(2)
⨯-⨯--
⨯-
＝
82．综上可得，y的最大值为82．
中考链接：
1.A
2.解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为y=ax2，
将点A（1，1
4
）代入y=ax2得：a=
1
4
，
∴二次函数的解析式为y=1
4
x2；
（2）证明：∵点P在抛物线y=1
4
x2上，
∴可设点P的坐标为（x，1
4
x2），
过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=1
4
x2﹣1，PB=x，
∴Rt△B PF中，
PF==1
4
x2+1，
∵PM⊥直线y=﹣1，
∴PM=1
4
x2+1，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥x轴，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP；
（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，
∵PF=PM=FM，
∴1
4
x2+1=4，
解得：x=±2，
∴1
4
x2=
1
4
×12=3，
∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．。