天津一中2011—2012高中二年级第二学期期末考试数学学科试卷(理科)
天津市第一中学高二数学下学期期末考试试题 理
天津一中2014-2015-2高二年级数学学科期末质量调查试卷（理科）本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。
第I 卷 至 页，第II 卷 至 页。
考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!一．选择题：（每小题3分，共30分）1．i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i2. 曲线313y x x =+在点（1,43）处的切线与坐标轴围成的三角面积为 ( )A ．91 B ．92 C ．31 D ．323．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 4. 已知随机变量X 服从二项分布X ～B(6，13)，则P(X ＝2)等于 ( ) A.1316 B. 4243 C.13243 D.802435． (x ＋ax)5(x ∈R)展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( )A ．－1B.12C ．1D ．26. 若函数a x x y +-=2323在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是 （ ）A. 12-B.0C. 12D.17．设一随机试验的结果只有A 和A ，()P A p =，令随机变量10A X A =⎧⎨⎩，出现，，不出现，，则X 的方差为（ ）Ａ．pＢ．2(1)p p -Ｃ．(1)p p --Ｄ．(1)p p -8．已知函数f （x ）的导函数为()f x '，且满足关系式()()232ln x f x f x x=++'，则()2f '的值等于 （ ） A ． 2 B ． ﹣2 C ． D ．9. 把13个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为 （ ） A ．36 B. 45 C. 66 D.7810.定义域为R 的函数)(x f 对任意的x 都有)2()2(x f x f -=+，且其导函数)(x f '满足：02)(>-'xx f ，则当42<<a 时，下列成立的是 （ ） A ．)2()2()(log 2a f f a f << B ．)2()(log )2(2f a f f a<< C ．)(log )2()2(2a f f f a << D ．)2()2()(log 2f f a f a<<二．填空题： （每小题4分，共24分） 11．函数2()f x ax bx =+在1x a=处有极值，则ab 的值为 . 12．函数x x y ln =的单调递减区间是 .13.设201522014201501220142015(1),x a a x a x a x a x -=+++⋅⋅⋅++则2014a = .14.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是_________________15．甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击目标是否击中相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标也没有影响．则两人各射击4次，甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为________．16．我国的刺绣有着悠久的历史，下图(1)，(2)，(3)，(4)为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n 个图形包含)(n f 个小正方形，则)(n f 的表达式为天津一中2014-2015-2 高二年级数学学科期末质量调查试卷答题纸（理科）二、填空题（每小题4分，共24分）11． 12．13． 14．15． 16．三、解答题：（共4题，共46分）17．摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望。
2011年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1 一1. --------------------------------------------------------------------- （5分）（2011?天津）i是虚数单位，复数-------------------------------------------------- =（）1_1A . 2+i B. 2 - i C.- 1+2i D . - 1 - 2i【考点】复数代数形式的乘除运算.【专题】数系的扩充和复数.【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式.【解答】解：复数= -：：'=2 - i1-i （1-i）（1+i） 2故选B .【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目.2 22. （5分）（2011?天津）设x, y€R，贝U X丝且y多堤x +y台”的（）A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C.充分必要条件D •既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】简易逻辑.2 2 2 2【分析】由X支且y多”推出X +y台”可证明充分性；由满足X +y台”可举出反例推翻X多且y 支”，则证明不必要性，综合可得答案.【解答】解：若X》且y呈，则x2台,y2呂，所以x2+y2%，即x2+y2呂；2 2 右x +y台，则如（-2,- 2）满足条件，但不满足x支且y支.2 2 所以X呈且y支”是X +y绍”的充分而不必要条件.故选A .【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义.3. （5分）（2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）£7 = J X CT*1/输出］L/A . 3B . 4C . 5D . 6【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图.【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值. 【解答】解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1 , a=2; 经第二次循环得到 i=2, a=5;经第三次循环得到 i=3, a=16;经第四次循环得到 i=4, a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律.4. （ 5分）（2011?天津）已知｛a n ｝为等差数列，其公差为- 2,且a 是a s 与a 9的等比中项, S n 为｛an ｝的前n 项和，n€N ，则S io 的值为（ ）A . - 110B . - 90C . 90D . 110【考点】等差数列的前n 项和；等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列.【分析】 通过a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为-2，求出【解答】解：a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为-2，所以a 72=a 3?a 9,T ｛a n ｝公差为-2,二 a 3=a 7- 4d=a 7+8, a 9=a 7+2d=a 7 - 4,所以 a 7 = （a 7+8） （a 7 - 4）,所以 a 7=8，所以 a 1 =20, 所以 S 10=「「二亠八 ' 「-=110故选D【点评】本题是基础题，考查等差数列的前 n 项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型.故选C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.【考点】二项式定理. 【专题】二项式定理.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 2的系数，即得答案.【解答】解：展开式的通项为 T r+1= （- 1） r 22r -6C 6r x 3-rx 的指数为2，求出展开式中,令 3 - r=2 得 r=1所以项展开式中,x 2的系数为-..\ '-° O5. （ 5分）（2011?天津）在x 2的系数为（2V5 r V6BD _ BC * c _ 3V6sinC sin-ZBDC 4逅兀 3故选：D .【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、 识解三角形的问题， 反复运用正弦定理、 余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识, 选择基本工具解决问题.7. （ 5 分） （2011?天津）已知二:r 丄. 八］则（ ）5A . a > b > cB . b > a > cC . a > c >bD . c > a > b 【考点】指数函数的单调性与特殊点.【专题】函数的性质及应用.6. （5分）（2011?天津）如图，在 △ ABC 中，D 是边AC 上的点，且 AB=AD , 2AB= ■:BD ,BC=2BD ，则sinC 的值为（ A .匚3【考点】【专题】【分析】B .亘C .丄D .6 3三角形中的几何计算.解三角形.根据题中条件，在 △ ABD 中先由余弦定理求出 cosA ，利用同角关系可求 sinA ,利 用正弦定理可求 sin /BDC ，然后在△ BDC 中利用正弦定理求解 sinC 即可 【解答】解：设AB=x ，由题意可得 AD=x , BD=—■，.-V3 <3△ ABD 中，由余弦定理可得cosA=2 _ 4 X 2AB 2 + AD 2- BD 2 2x ~~_1••• sinA = _△ ABD 中，由正弦定理可得AB1? sin / ADB=sin^ADB sinA霁in 么孟X 竽暮V3BC △ BDC 中，由正弦定理可得同角基本关系式等知 并能灵活【分析】比较大小的方法：找1或者0做中介判断大小,指数幕的运算法则和对数的运算法则对 c 进行化简，得到b ,再借助于中间值log 2丄进行比较大小，从而得到结果.，3【解答】解:••Tog 23.4 > 1, Iog 43.6v 1, 又y=5x 是增函数，••• a > b ,沁)W5103T Y二5影>5】呃昇二51=5"隔4〉5"阴"归b而 ge |og J >IogJ'，• a > c故 a >c >b . 故选C .【点评】此题是个中档题.本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小， 以及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.自，a - b^l.设函数fb, a - bJ>l2 2(x ) = (x - 2) ? (X - x ), x €R .若函数y=f (x )- c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则 实数c 的取值范围是()A .| 一 •； 1. " 1 B. ' 一. . 二2 4C .-二「「D.'-卩：■-4444【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】函数的性质及应用.【分析】根据定义的运算法则化简函数f (x ) = (x 2- 2) ? (x - x 2)的解析式，并求出 f(x )的取值范围，函数 y=f (x ) - c 的图象与x 轴恰有两个公共点转化为 y=f (x ), y=c 图 象的交点问题，结合图象求得实数c 的取值范围.£ a - b<l【解答】解：•••已毗二J|、■.，b, a ~ b^>l.X.由图可知，当 函数f (x )与y=c 的图象有两个公共点, ••• c 的取值范围是 -,｛•函数 f ( x ) = (x 2- 2)(x - x 2)Iog 43.6v 1, Iog 23.4> 1，利用分数- K £4【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想.属于基础题.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. （5分）（2011?天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12 . 【考点】分层抽样方法.【专题】概率与统计.【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果.【解答】解：：•田径队有男运动员48人，女运动员36人，•••这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，•每个个体被抽到的概率是——84 4•••田径队有男运动员48人，•••男运动员要抽取48X =12人，4故答案为：12.【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题.10. （5分）（2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则这个几何体的体积为6+ n m3.正视圏犒视圏【考点】由三视图求面积、体积.【专题】立体几何.【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积.【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2,高为3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3, 1贝U V圆锥=* ? n?= nV长方体=1 >2X3=6则V=6+ n故答案为：6+ n【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键.11. （5分）（2011?天津）已知抛物线C的参数方程为X=St（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x-4）2+y2=r2（r> 0）相切，则r=_ . ：_ .【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程.f 2【分析】由抛物线C的参数方程为X"St我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率L y=8t为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x- 4）2+y2=r2（r>0）相切，我们根据直线与圆相切，贝U 圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，解方程即可得到答案.【解答】解：•••抛物线C的参数方程为，x=St则抛物线的标准方程为：y2=8x则抛物线C的焦点的坐标为（2, 0）又•••斜率为1的直线经过抛物线C的焦点则直线的方程为 y=x - 2,即经x - y - 2=0 由直线与圆（x - 4） 2+y 2=r 2，则故答案为：-其中根据直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于半径， 求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r 的方程，是解答本题的关键.12. （ 5分）（2011?天津）如图，已知圆中两条弦 AB 与CD 相交于点F , E 是AB 延长线上 一点，且 DF=CF= 二 AF : FB : BE=4 : 2: 1.若CE 与圆相切，则 CE 的长为.【考点】圆的切线方程. 【专题】直线与圆.【分析】 设出AF=4k , BF=2k , BE=k ，由DF?FC=AF?BF 求出k 的值，禾U 用切割定理求出 CE .2 1【解答】 解：设 AF=4k , BF=2k , BE=k ，由 DF?FC=AF ?BF ，得 2=8k ，即 k=,2••• AF=2 , BF=1 , BE= , AE=,2 22 17 7由切割定理得CE =BE?EA= =—，2 2 4• CE ==.2【点评】 本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况， 常考题型.13. （ 5 分）（2011?天津）已知集合 A={x €R||x+3|+|x - 4|电}, B= . T _ I ： — - |I ' ，则集合 A QB= _【考点】交集及其运算. 【专题】集合.【分析】 求出集合A ，求出集合B ,然后利用集合的运算法则求出 A AB .【解答】 解：集合A={x €R||x+3|+|x - 40}，所以A={x| - 4纟老}; 集合-.■' -'. ■ . ； .•-，--_ -■■■■. '| _ _ - - - ■-- ,当且仅当t=〔时取等号，所以 B={x|x A 2},2所以 A AB={x| - 4$W5} A{x|x A 2}={x| - 2$老}, 故答案为：{x| - 2<x<5}.r=4-2【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系,抛物线的简单性质及抛物线的参数方程,【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力.14. (5 分)(2011?天津)已知直角梯形ABCD 中，AD // BC,/ ADC=90 ° AD=2 , BC=1 ,P是腰DC上的动点，则|的最小值为 5 .【考点】向量的模.【专题】平面向量及应用.【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA , DC分别为x, y轴建立平面直角坐标系，则A (2, 0), B (1 , a) , C (0 , a) , D (0 , 0),设P (0 , b) (0电弟)，求出包+3瓦,根据向量模的计算公式，即可求得_ J : ：■.<■' | ,利用完全平方式非负，即可求得其最小值.【解答】解：如图，以直线DA, DC分别为x , y轴建立平面直角坐标系，则A (2 , 0), B (1 , a) , C ( 0 , a) , D (0 , 0)设P ( 0 , b) ( 04)毛)则」■■= (2 , - b), -1= (1, a- b),•••「'd「用=(5 , 3a- 4b)••• C「二* 「一二；l.. .「为.故答案为5.【点评】此题是个基础题•考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.三、解答题(共6小题，满分80分)15. (13 分)(2011?天津)已知函数f (x) =tan (2x+——),(1 )求f (x)的定义域与最小正周期；(2)设a€ ( 0,——)，若f (二)=2cos2 a ,求a 的大小.4 2【考点】正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用； 二倍角的余弦；正切函数的定义域.【专题】解三角形.【分析】(I)利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；(n)通过f (2) -2cos2Cl ，化简表达式，结合 a€ ( 0,丄L ),求出a 的大小.241解答,解：⑴由吩 即n 迪.所以x 专呼，k 厘.所以f (x )的定义域/. f (x )的最小正周期为:sin ( a +令)---------- 二2 (co s 2a - si cos ( □ +—)4整理得—L' ] 1 J _ 二 i -二二: cos a 一 sin Cl(cos a+sind )因为 a€ (0,匹)，所 4以 sin a +cos a 0 因此(COS a — sin a) 即 sin2 a —因为 a€ (0,二_),2 4所以a_—12【点评】本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、 式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力.16. (13分)(2011?天津)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个 箱子里各随机摸出 2个球，若摸出的白球不少于 2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(I)求在1次游戏中，(i) 摸出3个白球的概率； (ii) 获奖的概率；(n)求在2次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E (X ).【考点】离散型随机变量的期望与方差； 互斥事件与对立事件； 古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列. 【专题】概率与统计.【分析】(1)( i )甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有 1个白球、2个黑球， 这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2个球，事件数是 C 52C 32,摸出3个白球事件数为C 32C 21C 21；由古典概型公式，代入数据得到结果，(ii )获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据(i )求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算为:2_丄=:正切函数公式，同角三角函数的基本关系 - ■-.-：=：'得 tan (=2cos2 a,要正确，因为第二问要用本问的结果.(II )连在2次游戏中获奖次数 X 的取值是0、1、2,根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望.【点评】此题是个中档题. 本题考查古典概型及共概率计算公式， 离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.17. (13分)(2011?天津)如图所示，在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 伯伯 的 中心，AA 仁2*：「，C 1H 丄平面 AA 1B 1B ，且 C 1H=".(1) 求异面直线 AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2) 求二面角 A - A 1C 1 - B 1的正弦值；(3) 设N 为棱B 1C 1的中点，点 M 在平面AA 1B 1B 内，且MN 丄平面A 1B 1C 1,求线段BM【考点】 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质. 【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何.【解答】解：(I) (i )设 在一次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i= , 0, 1, 2, 3),则2 1 C3 c 21P (A 3).(ii )设 在一次游戏中获奖2 2 11 C 电 C 9C C nP (A 2)=厂 丁- - - ■ c 5 c 3 c 5”为事件B , 1.一-3则 B=A 2U A 3,又且 A 2、A 3 互斥，所以 P ( B ) =P (A 2)(H)由题意可知 X 的所有可能取值为+P ( A 3)=:」］ 0, 1, 2.P (X=0 )==(1 - \ 2=,10 100P (X=2 )==(')「，10 10012.p910021 50 49 100X 的数学期望E (X ) =0X " . ■ 一100 50100^5P (X =1)"吒(1 甘疇，所以X 的分布列是【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点.(I)求出心中的有关向量，然后求出异面直线 AC 与A 1B 1所成角的余弦值；□二0T(H)利用,「: 求出平面AA i C i 的法向量IT ,通过*AA ［二 0 的法向量」然后利用MN-AiBi=O(川)设N 为棱B i C i 的中点，设M ( a, b, 0),利用MN 丄平面A i B i C i,结合［一 fHN-A^^O求出a , b ,然后求线段BM 的长.方法二：(I )说明/ C i A i B i 是异面直线AC 与A i B i 所成的角，通过解三角形 C i A i B i ,利 用余弦定理， cosZC l A l B l- 2A 1C 1-A 1B 1-3求出异面直线 AC 与A i B i 所成角的余弦值为士I3(II )连接AC i ,过点A 作AR 丄A i C i 于点R ，连接B i R ，说明/ ARB i 为二面角A - A i C iA "+E E - AB !-B i 的平面角.连接 AB i ,在厶ARB i 中，通过「 • •,1ZAK* D j K求出二面角A -A i C i - B i 的正弦值为 -7(III )首先说明MN 丄A i B i .取HB i 中点D ,连接ND ，由于N 是棱B i C i 中点，推出ND 丄A i B i .证明A i B i 丄平面MND ,连接MD 并延长交A i B i 于点E ,延长EM 交AB 于点F,_连接NE .连接BM ，在Rt △ BFM 中，求出【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点. 依题意得A (2^2. 0, 0) ,B (0, 0, 0),C (近，-伍，真)A t (2A /2 * 2^2* 0)，B ］ (CL 2品 0) , Cj (V2 * V2 * Vs )cos 疋，盘磴［B ；〉二,一.’, ----- .,1 1|人1匚1二Q求出平面 A I B I C I i 二0［一求二面角A - A i C i - B i 的正弦值；(I )解：易得-- 冷「 —.:—► -------►AC p A 1B 14 V?是， 所以异面直线AC 与A 1B1所成角的余弦值为匚.(H )解：易知.I .... ■--: =匸设平面AA 1C 1的法向量 =(x , y , z ),不妨令」二，可得.. - ■ 同样地，设平面 A i B i C i 的法向量-i=(x , y , z ),n p A t C t =0( -^/2x - V23^V5Z ~0、 厂则* f ______ * 即《 不妨令尸，n-A^^O l - 2V2K =0.可得-厂•「 ■■: 1所以二面角A - A 1C 1 - B 的正弦值为in* Ai Ci=O则-丄即(■后-品*12727=0.从而:j(III )解：由N 为棱B i C i 的中点,方法二：(I )解：由于AC // A 1C 1，故/ C i A i B i 是异面直线AC 与A I B I 所成的角. 因为CiH 丄平面AAlBlB ,又H 为正方形AAlBlB 的中心， 「.二-C . H--可得 A i C 仁B i C i =3 .因此-M--G 曲厶n 1 2打所以异面直线AC 与A i B i 所成角的余弦值为 1.3(II )解：连接 AC i ，易知 AC I =B I C I , 又由于 AA I =B I A I , A i C i =A i C i ,所以△ AC i A i ^A B i C i A i ,过点A 作AR 丄A i C i 于点R ,连接B i R ，于是B i R 丄A i C i ，故/ ARB i 为二面角A - A i C i - B i 的平面角.由MN 丄平面A I B I C I ，得、MN-B!=0连接 AB I ，在△ ARB I 中，上 「门-一 A7.:.-AR 2+B 1R 2 - ABj 2祁•石百=°c在Rt △ A IRBI中，•-…..-(I)求椭圆的离心率 e ;【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.所以二面角A - A i C i - B i 的正弦值为-7(III )解：因为 MN 丄平面A i B i C l ，所以MN 丄A i B i . 取HB i 中点D ,连接ND ，由于N 是棱B i C i 中点， 所以 ND // C i H 且、一-厂--.2 2又C i H 丄平面AA i B i B , 所以ND 丄平面AA i B i B ，故ND 丄A i B i . 又 MN AND=N ,所以A i B i 丄平面MND ，连接MD 并延长交A i B i 于点E , 则 ME 丄A iB i ，故 ME // AA i .得---：--，延长EM 交AB 于点F ,2可得-_ ：)2在 Rt △ ENM 中，ND 丄 ME ，故 ND 2=DE?DMD 厝晋 F 闻所以可得BM ，在 Rt △ BFM 中，：丫_ y 二］；一 . 【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.连接 i8. (i3分)(20ii?天津)在平面直角坐标系2 2F2分别为椭圆1的左、右焦点.已知a 2b 2xOy 中，点 P (a , b ) (a > b > 0)为动点,△ F i PF 2为等腰三角形.F i ,(H)设直线PF 2与椭圆相交于 A , B 两点,M 是直线PF 2上的点，满足f ；：,.连接NE .点M 的轨迹方程.【分析】(I)直接利用△ F 1PF 2为等腰三角形得 离心率e ;将① 代入化简得18x 2- 16 7y - 15=0, ? y='代入① 化简得c=丄」>0.所1&V3X16x以 x >0 , 因此点M 的轨迹方程为18x 2- 16 ■:xy - 15=0 (x >0). 【点评】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力.219. (14分)(2011?天津)已知a >0，函数f (x ) =lnx - ax , x >0. (f (x )的图象连续不 断)(I)求f (x )的单调区间；(n)当 手g 时，证明：存在Xo € (2, + 8),使f (耳)=f (冷);(川)若存在均属于区间［1,3］的a 且B- a 丰,使(a)=f( B),证明 — ■ ■-：一匚一5 3|PF 2|=|F 1F 2|,解其对应的方程即可求椭圆的 (n)先把直线方程与椭圆方程联立，求得A ,B 两点的坐标， 代入二,即可求点M 的轨迹方程.【解答】解：(I)设 F i (- c , 0) , F 2 (c , 0)(C >0).由题得 |PF 2|=|F i F 2|，即:'=2c ，整理得 2a2+ :-仁0,得：=-1 (舍),或=,a 2所以e=.2(n)由(I)知a=2c , b= 7c ,可得椭圆方程为y 2=12c 2 Cx-d '消y 并整理得5x 2- 8xc=0 ,3x 2+4y 2=12c 2，直线方程为 y= '； (x - c ).解得x =0, x鲁得方程组的解为x=08c5v=—■—c不妨设 A ( c 二一c ), B (0, - 7 c )5 5*p设点M 的坐标为(x , y ),则AH = (x - — c , 5y -— c ) , M= (x , y+■:c )5由.「，丫 * f'= - 2 即(x -x+ (y --C) 5(y+* ?c ) =- 2.A ,B 的坐标满足方程组①，由 Y =W (x - c ) 得 c=x -【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明.【专题】导数的综合应用.【分析】(I)求导数f/(x)；在函数的定义域内解不等式f/(x)> 0和f/(x)v 0确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论.(II )由(I)知f (x)在(0, 2)内单调递增，在(2, +8)内单调递减•令-二.■' I I .利用函数f (x)在(0, 2)内单调递增，得到2.■- ■ .- 「•最后取I:「「一「从而得到结论;(III )先由f (a) =f (份及( :1)的结论知P，从而f (x )在［a, 3上的最小值为f (a).再依1Wa2<B3建立关于a的不等关系即可证得结论.2【解答】解: (I) : :. - ・■X X令-:< ■.-11^ /'.za当x变化时，f (x), f (X)的变化情况如下表：x(0, ^^)2a 7 2刁2a(V^, + 8)2af' (x) +0—f ( x) 增极大值减所以，f( x)的单调递增区间是I I, --1 . ，:的单调递减区间是2a(II )证明：当-厂"「一丄' :, •s y由(I)知f (x)在(0, 2)内单调递增，在(2, + 8)内单调递减.令H ；■一•'':.由于f (x)在(0, 2)内单调递增，故..取:,'■■■■ ■' : - -J- -'r- 1.1所以存在x°€ (2, x'),使g (xo) =0,即存在- . . ' : 1■, -1 ,.(说明：x'的取法不唯一，只要满足x'> 2，且g (x')v 0即可)(Ill )证明：由f (a) =f (B)及(I )的结论知,, 2a 从而f (x )在［a B 上的最小值为f (a ). 又由 a 1 a, ^€［1 , 3］，知 1 Wa 2^B 3.,,ff (2) Af ( Ct ) >f (1) An fln2 -- af (2) CP) C3) . ^In2 - 4a^ln3 - 9a.【点评】本小题主要考查导数的运算、禾U 用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点 等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.20. (14分)(2011?天津)已知数列｛a n ｝与｛b n ｝满足:(I)求 a 3, a 4, a 5 的值；(n)设 C n =a 2n -1+a 2n+1, n €N ，证明：｛c n ｝是等比数列;(川)设 S k =a 2+a 4+ --+a 2k , k€N ，证明:【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列.【分析】(I)要求a 3, a 4, a 5的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可.(n)化简出a 2n - 1+a 2n+1, a 2n+1+a 2n+3的关系，即：C n+1与C n 的关系，从而证明｛C n ｝是等比 数列；就是利用(I)的 b 二'1" 吟覚豎，用2n — 1, 2n , 2n+1 ,替换n匕且为偶数1,.r -———中的n ,化简出只含a n'的关系式，就是a 2n-1+a 2n +2a 2n+1=0,① 2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0,② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0,③ 然后推出 a 2n+1+a 2n+3= —(a 2n - 1+a 2n+1),得到5+1= — C n ( n €N ),从而证明｛C n ｝是等比数列； (川)先研究通项公式a 2k ,推出S k 的表达式，然后计算 '，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据a 2k -1+a 2k+1= (— 1) k ,对任意k+1k€N 且k 多，列出n 个表达式，利用累加法求出 a 2k = (— 1) (k+3).化简S 2k = ( a 2+a 4)、 / x . . <KI * 3 兀 JJ r 场m-3 ^4jn-2 1 】皿计+ (a 6+a 8)+ ••+ ( a 4k -2+a 4k ) = — k , k €N ，二k=l a k m=l两皿-？屯1 対皿加 S T , 7通过裂项法以及放缩法证明：::\'k=i a k 6【解答】20、满分14 分.b n a n +an+l + b n +l a n+2=°7''■'，n €N *，且 a 1=2,a 2=4.% Si, 7可得b =(lf n?Sn u，ii为偶数又b n a n+a n+1+b n+1a n+2=0,当n=l时，a1-l-a2+2a3=：0i由31~2, a2=4s可得a3= - 3；当口二£时，2a2 + a3+a4=0* 可得a4= - 5i当HF3时,&3+a4+2a5=0* 可得屯=4.(II)证明：对任意n€N , a2n-i+a2n+2a2n+仁0,①2a2n+a2n+1+a2n+2=0, ②a2n+l+a2n+2+2a2n+3=0,③②-③，得a2n=a2n+3-④将④ 代入①，可得a2n+1+a2n+3=-( a2n- 1+a2n+1)即C n+1= - c n ( n€N )又c1 =a1+a3= - 1,故C n M D,因此:. ■ ■I是等比数列.c n n（III ）证明：由（II）可得a2k- 1+a2k+1= （- 1）, 于是，对任意k €N*且k逖有aj + a^ - l t-（巧+叫）二巧+ a亍~1，(-1 ) k ( a2t-3+ a2k - 1^ = _ 1-将以上各式相加，得a1+ (- 1) k a2k-1= -( k - 1),即a2k-1= (- 1) k+1(k+1),k+1此式当k=1时也成立.由④ 式得a2k= (- 1) ( k+3).从而S2k= (a2+a4) + (a6+a8) + ••+ ( a4k-2+a4k) = - k, S2k-仁S2k- a4k=k+3.所以，对任意n €N*, n老芒( 3如「3 | S如_2 ] $仏「打5-机)(2nH~2 _ 加- 1 _ 2nrh3 十2m)k=l a k Jii=l 为m-3 ^-2 1 m=l 加2时2 2^1 2nr+3「： =... . =—(——+____________________ 3 _______ )2*3 ±2 加(2nri-l) (2时2) (2时3). =3急(2m-l) (2^1) (2^2) (2时3)孚订(1-1) + (1-1) +…+] ——-2 ------------- —3 2 3 5 5 7 2n- 1 2n+l (2n+2) (2n+3)^5.5 ] 3 _______飞陀2*2n+l (2n+2) (2n+3)对于n=1，不等式显然成立.【点评】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. 赋值法是求数列前几项的常用方法，注意n=1的验证，裂项法和放缩法的应用.。
2012年高考理科数学天津卷(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥 ，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B =+()()()P AB P A P B =⋅棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式34π3V R =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 其中R 表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位，复数7i3i-=+（ ）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i --2. 设ϕ∈R 则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （ ） A. 1- B. 1 C. 3D. 94. 函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 35. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 （ ）A. 10B. 10-C. 40D. 40-6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A. 725B. 725-C. 725±D. 24257. 已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，λ∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A. 1B.C. D. 8. 设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）A. [1B. [,1[13,]-∞++∞ C. [2-+D. [,2[222,]-∞-++∞第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2. 本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取_________所学校.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11. 已知集合{|23}A x x =∈+<R ，集合{|()(2)3}B x x m x =∈--<R ，且(1,)A B n =-，则m =_________，n =_________.12. 已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p =_________.13. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，3AF =，1FB =，32EF =，则线段CD 的长为_________.14. 已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程，或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，45BAC ∠=，2PA AD ==，1AC =.（Ⅰ）证明PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30，求AE 的长.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，*n ∈N ，证明*12210()n n n T a b n +=-+∈N .19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若||||AP OA =，证明直线OP 的斜率k满足||k >.20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a ＞. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明1*2ln(21)2()21ni n i n =-+-∈∑N ＜.2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析)(1)0f<，且函在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B1()2r rx--=【提示】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项A【解析】∵(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-，又∵32BQ CP=-，且2A B A C==，,60AB AC<>=，cos60AB AC AB AC︒==3[(1)]()2AC AB AB ACλλ---=-，2223(1)(1)2AB AB AC ACλλλλ+--+-=，2(1)4(1)2λλλ+--+-=，解得2λ=．(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-进而根据数量积的定义求出BQ CP再根据32BQ CP=-即可求出λ．2][222,+，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形．第Ⅱ卷(1,AB n =-213,34EF MF p p p ==++2．AF FB EF FC =，所以FC 又48//,,233AF FC AB BD CE BD FC AB BD AF ∴===⨯=，设CD x =，则4AD =再由切割线定理得2BD CD AD =，即2843x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得4x =42FC =，由相似比求出CD AD 求解．【考点】圆的性质的应用． (0,1)(1,4)2y kx =-的图像直线恒过定点010=-，10BC k --10-(0,1)(1,4)．2(4,)B p ⇒人中去(4)P X +=【考点】互斥事件与相对独立事件的相关性质，数学期望．（Ⅰ）以,,AD AC AP 为,x y 则(2,0,0),(0,1,0),(0,0,2)D C P(0,1,2),(2,0,0)PC AD PC AD PC AD=-=⇒⇔⊥（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-的法向量(,,)n x y z =0200n PC x y n CD ⎧=⎪⇔⇔⎨⎨⎨-==⎩⎩⎪⎩(1,2,1)n ⇒=(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量630cos ,sin ,6AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>=得：二面角A PC D --的正弦值为306． ；则(0,0,2)AE =，11,,,(2,1,0)BE h CD ⎛⎫==- ⎪3310,2101020BE CDBE CD h BE CD <>=⇔⇔=+，10=．为原点，建立空间直角坐标系，通过得出PC AD ，证出的一个法向量，利用两法向量夹角求解．3,BE CD <>=，得出关于h 的方程求解即可．。
天津市天津一中高二数学下学期期中试题 理 新人教A版
天津一中2012—2013高二年级第二学期数学期中考试试卷（理科）一、选择题：1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2 ＝( )A ．－3－4iB ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i2．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 多边形内角和是(2)180n ︒-· D ．在数列{}n a 中，11a =，1111(2)2n n n a a n a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≥，由此归纳出{}n a 的通项公式3.下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若,22bm am <则b a <”的逆命题是真命题。
B ．命题“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”。
C ．命题“q p ∨”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题。
D ．已知R x ∈，则“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件。
4．设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( ) A ．12- B.12C.2D.2-6. 已知x x x f cos sin )(1-=，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则=)(2013x f ( )A ．sin cos x x +B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x --7．函数x x x y cos sin +=在下面那个区间为增函数 ( ) A ⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ B ()ππ2, C ⎪⎭⎫⎝⎛25,23ππ D ()ππ3,28．已知命题p ：实数m 满足01≤-m ，命题q ：函数xm y )49(-=是增函数。
天津市天津一中2012届高三第二次月考 理科数学试题.pdf
镇上有一家洗衣店，有一天，化工厂的一名工人拿了一批工作服来清洗。
工作服上的污渍主要有氯化钠、蔗糖、润滑油、碘等。
假如你是洗衣店的工作人员，你打算怎样清洗这批工作服呢？ 一 、溶解的过程 一种或几种物质分散到另一种物质里，形成均一的、稳定的混合物就是溶液。
· · · · 混合物 溶 质 溶 剂 均一 稳定 ⑶溶液是由溶质和溶剂所组成。
⑵ 溶液的特征是：均一性、稳定性。
⑴ 溶液是混合物。
能溶解其他物质的物质叫做溶剂； 被溶解的物质叫做溶质； 溶液各部分的组成、性质都相同 外界条件不变，长期放置，溶质、溶剂不发生分离 可以是固体、液体或气体 最常用的是水，酒精、汽油等也可作溶剂 溶液 1、烧杯中有100毫升NaCl溶液，请比较A处和B处密度的大小( ) A：?A > ?B B： ?A Q放：温度降低；如：————溶于水。
当Q吸<Q放：温度升高；如：—————溶于水。
当Q吸=Q放：温度不变；如：————溶于水。
硝酸铵 氢氧化钠 氯化钠 能量的变化 市场上有一种罐装饮料，在饮料罐的夹层中分别装入一种固体物质和水，饮用前摇动饮料罐使它们混合，罐内饮料温度就会降低，这种固体物质可能是（ ） A. 硝酸铵 B. 氢氧化钠C.食盐D. 熟石灰 A 如右下图所示装置，向试管里的水中加入某种物质后，U形管左边支管的红墨水液面降低，右边支管的红墨水液面上升， 则加入的物质可能是（ ） 牛刀小试 A．氢氧化钠B．氯化钠 C．硝酸钾 D．硝酸铵 A 衣服和餐具上的油污，用水洗不掉。
为什么在水中加入洗涤剂就能洗掉呢？与用汽油清洗衣服上的油污有什么不同？ 乳化 溶解 注意：乳化和溶解的原理不同，溶解是溶质在溶剂中以 形式存在，而乳化则是被分散的物质以 的形式存在，两种现象中物质粒子存在的形式不同。
分子或离子 小液滴 乳化现象 镇上有一家洗衣店，有一天，化工厂的一名工人拿了一批工作服来清洗。
天津市红桥区高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
2012-2013学年天津市红桥区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题，本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题有且仅有一个是正确的，请将正确结论的代号填在下表中．1．（3分）=（）A．B．C．i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．分析：化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．解答：解：故选A．点评：本题考查的知识点复数的运算，（乘法和除法），比较简单．2．（3分）（2005•天津）若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4C．﹣6 D．6考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．分析：化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式，让其实部为0，虚部不为0，可得结论．解答：解：复数=，它是纯虚数，则a=﹣6．故选C．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的分类，是基础题．3．（3分）下列求导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（log2x）′=C．（3x）′=3x log3e D．（x2cosx）′=﹣2xsinx考点：导数的运算．专题：计算题．分析：根据常见函数的求导公式和导数的运算法则进行解答．解答：解：A、（x+）′=1﹣，故错误；B、符合对数函数的求导公式，故正确；C、（3x）′=3x ln3，故错误；D、（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，故错误．故选B．点评：本题考查了常见函数的求导公式和导数的运算法则，要求熟练掌握．4．（3分）（2005•安徽）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2B．3C．4D．5考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：因为f（x）在x=﹣3是取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣3）=0解出求出a即可．解答：解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=30﹣6a=0则a=5．故选D点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．5．（3分）函数的导数值为0时，x等于（）A．a B．±a C．﹣a D．a2考点：导数的乘法与除法法则．专题：导数的概念及应用．分析：先依据导数的求导法则求出该函数的导数，再令导数为0，解出x即可．解答：解：∵=，∴令y′=0，即，解得x=±a．故答案为B．点评：本题考查的是导数的求导法则，属于基础题，要求考生熟练掌握导数的求导法则．6．（3分）如图，已知AD∥BE∥CF，下列比例式成立的是（）A．B．C．D．考点：平行截割定理．专题：空间位置关系与距离．分析：根据平行截割定理，可得，从而可得结论．解答：证明：∵AD∥BE∥CF，∴根据平行截割定理，可得∴故选D．点评：本题考查平行截割定理，考查学生对定理的理解与应用，属于基础题．7．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AC、BD交于点E，则此图形中一定相似的三角形有（）对．A．0B．3C．2D．1考点：相似三角形的判定．专题：直线与圆．分析：根据同弧所对的圆周角相等，可得相等的角，即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD内接于圆O，且AC、BD交于点E，∴根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BCD=∠CAD，∠CBD=∠DAC，∠BAC=∠CDB，∠ABD=∠ACD∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC，共有两对故选C．点评：本题考查三角形的相似，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．8．（3分）证明不等式的最适合的方法是（）A．综合法B．分析法C．间接证法D．合情推理法考点：分析法和综合法．专题：不等式的解法及应用．分析：要证原不等式成立，只要证＜，即证9+2＜9+2，故只要证＜，即证14＜18，此种证明方法是分析法．解答：解：要证明不等式，只要证＜，即证9+2＜9+2，故只要证＜，即证14＜18．以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法．故选B．点评：本题考查的是分析法和综合法，解答此题的关键是熟知比较大小的方法．从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法．也称为因果分析，属于中档题．9．（3分）“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故此奇数（S）是3的倍数（P）”，上述推理是（）A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错考点：演绎推理的基本方法．分析：演绎推理出现错误，有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误．在大前提、小前提及逻辑结构均正确的情况下，演绎推理的结论一定是正确的．解答：解：在推理过程：“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故此奇数（S）是3的倍数（P）”，中“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），为大前提，正确，某奇数（S）是9的倍数（M），为小前提正确，故此奇数（S）是3的倍数（P），为结论整个推理过程的逻辑结构正确，故命题正确．故选C点评：归纳推理和演绎推理会出现错误的原因是由合情推理的性质决定的，但演绎推理出现错误，有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误．在大前提、小前提及逻辑结构均正确的情况下，演绎推理的结论一定是正确的．10．（3分）函数y=f（x）的图象经过原点，且它的导函数y=f′（x）的图象是如图所示的一条直线，则y=f（x）的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：利用导数研究函数的单调性．专题：数形结合．分析：根据导函数的图象和函数f（x）过原点，设出f（x）的解析式f（x）=ax2+bx，得到函数f（x）为开口向下的抛物线，求出导函数f'（x）=2ax+b，根据一次函数的图象的特点得到a与b的正负，即可判断出二次函数顶点所在的象限，即可得到函数图象不经过第二象限．解答：解：由导函数的图象可知f（x）=ax2+bx，故f'（x）=2ax+b，所以a＜0，b＞0．函数f（x）=ax2+bx图象的顶点在第一象限，故函数的图象不经过第二象限．故选B．点评：此题考查学生利用数形结合的数学思想解决实际问题，掌握一次函数和二次函数的图象与性质，是一道综合题．11．（3分）（2008•海南）由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．2ln2考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：由题意画出图形，再利用定积分即可求得．解答：解：如图，面积．故选D．点评：本题主要考查定积分求面积．12．（3分）设f0（x）=sin（x），f1（x）=f0'（x），f2（x）=f1'（x），…，f n+1（x）=f n'（x），n∈N，则f2013（x）=（）A．s inx B．﹣sinx C．c osx D．﹣cosx考点：导数的运算；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据题中已知条件先找出函数f n（x）的规律，便可发现f n（x）的循环周期为4，从而求出f2013（x）的值．解答：解：f0（x）=sinxf1（x）=f0'（x）=cosxf2（x）=f1'（x）=﹣sinxf3（x）=f2'（x）=﹣cosxf4（x）=f3'（x）=sinx…由上面可以看出，以4为周期进行循环∴f2013（x）=f1（x）=cosx．故选C．点评：本题考查三角函数求导、函数周期性的应用，考查观察、归纳方法的应用．二、填空题本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案直接填在题中的横线上．13．（3分）复数等于i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．解答：解：复数===i，故答案为 i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．14．（3分）曲线y=2x﹣x3在点（1，1）处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．解答：解：y′=2﹣3x2y′|x=1=﹣1而切点的坐标为（1，1）∴曲线y=2x﹣x3在x=1的处的切线方程为x+y﹣2=0故答案为：x+y﹣2=0点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．15．（3分）函数y=2x﹣x3单调递增区间是．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，然后利用f'（x）＞0，解函数的单调增区间．解答：解：函数的导数为f'（x）=2﹣3x2，由f'（x）=2﹣3x2＞0，得，解得，即函数的单调递增区间为．故答案为：．点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，基本步骤：①先求定义域．②求导数f'（x）．③解导数不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，求对应单调区间．16．（3分）已知函数y=x•2x，当f'（x）=0时，x= ﹣．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先求得函数的导数，然后根据f'（x）=0，求出x的值．解答：解：∵函数y=x•2x f'（x）=0∴y'=2x+x（2x）'=2x+x2x ln2=2x（1+xln2）=0∵2x恒大于0∴1+xln2=0∴xln2=﹣1∴x=﹣故答案为：﹣点评：此题考查了导数的运算，熟练掌握导数运算法则是解题的关键，属于基础题．17．（3分）= ．考点：微积分基本定理．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由定积分的定义，令F'（x）=x3，则F（x）=x4，由公式求出积分值．解答：解：由导数的运算法则知当F（x）=x4，时，F'（x）=x3由定积分的定义，得∫01x3dx=F（1）﹣F（0）=．故答案为：．点评：本题考点是定积分，此类题高中要求较低，能根据公式求值即可．18．（3分）（2009•广东）选做题：如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=30°，则圆O的面积等于16π．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题；压轴题；选作题．分析：连接辅助线，根据圆周角是30°，得到对应的圆心角是60°，根据圆的半径相等，得到三角形是一个等边三角形，求出半径的长度，根据圆的面积公式，得到结果．解答：解：连接OA，OB，∵∠ACB=30°，∴∠AoB=60°，∴△AOB是一个等边三角形，∴OA=AB=4，∴⊙O的面积是16π故答案为16π点评：本题考查圆周角的性质，考查等边三角形，考查圆的面积，是一个等边三角形，在解题时主要做法是构造等边三角形．19．（3分）如图，AB=BC=CD，∠E=40°，则∠ACD=15°．考点：进行简单的演绎推理．专题：空间位置关系与距离．分析：先求出∠B=∠BCE=70°，再求出∠BCA=55°，即可得出结论．解答：解：∵AB=C D，∴∴∴∠B=∠BCE∵∠E=40°，∴∠B=∠BCE=70°∵AB=BC∴∠BCA=55°∴∠ACD=70°﹣55°=15°故答案为：15°．点评：本题考查演绎推理，考查学生的计算能力，属于基础题．20．（3分）己知结论“a 1，a 2∈R +，且a 1+a 2=1，则≥4：若a 1，a 2，a 3∈R +，且a 1+a 2+a 3=1，则≥9”，请猜想若a 1，a 2…a n ∈R +，且a 1+a 2+…a n =1，则≥ n 2．考点： 归纳推理． 专题： 探究型． 分析：根据归纳推理的内容．进行归纳推理 解答： 解：因为a 1+a 2=1，则≥4=22，a 1+a 2+a 3=1，则≥9=32，所以根据归纳推理的定义可知，当若a 1，a 2…a n ∈R +，且a 1+a 2+…a n =1，则≥n 2．故答案为：n 2．点评：本题主要考查归纳推理的应用，要求根据几个一般的式子，寻找规律，然后进行归纳猜想．三、解答题本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的过程．21．（10分）设y=alnx+bx 2+x 在x=1在x=2时都取得极值． （1）求a 与b 的值；（2）f （x ）在x=1处取得的是极大值还是极小值？并说明理由．考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的概念及应用． 分析：（1）函数的极值点处的导数值为0，列出方程，求出a ，b 的值． （2）由（1）作出表示x ，f′（x ），f （x ）的关系的表格；据极值的定义，求出极值． 解答：解：（1）f′（x ）=+2bx+1，由已知得：⇒，∴．（2）x 变化时．f′（x ），f （x ）的变化情况如表：故在x=1处，函数f （x ）取极小值 ．点评：本题考查函数的极值点的导数的值为0、利用导数求函数的单调性、极值．22．（10分）（2004•天津）已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f （x）取得极值﹣2．（1）求f（x）的单调区间和极大值；（2）证明对任意x1，x2∈（﹣1，1），不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）由奇函数的定义利用待定系数法求得d，再由x=1时f（x）取得极值﹣2．解得a，c从而确定函数，再利用导数求单调区间和极大值．（2）由（1）知，f（x）=x3﹣3x（x∈[﹣1，1]）是减函数，从而确定|f（x1）﹣f（x2）|最小值，证明即可．解答：解：（1）由奇函数的定义，应有f（﹣x）=﹣f（x），x∈R即﹣ax3﹣cx+d=﹣ax3﹣cx﹣d∴d=0因此，f（x）=ax3+cxf'（x）=3ax2+c由条件f（1）=﹣2为f（x）的极值，必有f'（1）=0，故解得a=1，c=﹣3因此，f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）f'（﹣1）=f'（1）=0当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（﹣∞，﹣1）上是增函数当x∈（﹣1，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在单调区间（﹣1，1）上是减函数当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数所以，f（x）在x=﹣1处取得极大值，极大值为f（﹣1）=2（2）由（1）知，f（x）=x3﹣3x（x∈[﹣1，1]）是减函数，且f（x）在[﹣1，1]上的最大值M=f（﹣1）=2，f（x）在[﹣1，1]上的最小值m=f （1）=﹣2所以，对任意的x1，x2∈（﹣1，1），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜M﹣m=2﹣（﹣2）=4 点评：本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．23．（10分）三次函数f（x）=x3﹣3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x﹣1）＜x3．对x分类讨论：①当x=1时，上式对于b∈R都成立；②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔恒成立⇔，x∈（1，2]，利用导数求出其最小值即可．解答：解：由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x﹣1）＜x3．①当x=1时，上式对于b∈R都成立；②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔恒成立，x∈（1，2]⇔，x∈（1，2]．令g（x）=，x∈（1，2]，则，由g′（x）=0，解得．列表如下：由表格可知：当x=时，g（x）取得极小值，也即最小值，=．∴3b，解得．综上①②可知：b的取值范围是．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论的思想方法、恒成立问题的等价转化是解题的关键．24．（10分）观察下列算式：1=121+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52…对任意正整数n，你能得出怎样的结论？用数学归纳法证明你的结论．考点：数学归纳法．专题：计算题；证明题．分析：利用归纳推理以及所给式子的结构特征，得出结论1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）=n2．先证明n=1时，等式成立，假设n=k时，等式成立，在此基础上利用假设证明n=k+1时，等式也成立，从而得到等式对任意的n∈N*均成立．解答：解：（1）观察算式：1=121+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52…可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．证明：①n=1时，左式=右式=1，等式成立．②假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+（2k﹣1）=k2，则当n=k+1时，1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1）=k2+2k+1=（k+1）2这就是说n=k+1时，等式成立．根据①，②，等式对任意的n∈N*均成立．点评：本题主要考查归纳推理，用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化，式子的变形是解题的关键．。
天津市第一中学高二数学下学期期末考试试题 理
天津一中 2017-2018-2 高二年级数学学科期末质量调查试卷（理科）本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时90 分钟。
第 I 卷至页，第 II 卷至页。
考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利! 一．选择题：（每小题 3 分，共 30 分）⎧⎪ x⎛ ⎫⎪1．设集合A ={x-1 <x <2}，B =⎨x 1<1⎪<1⎬，则A B =（）⎪⎩8⎝2 ⎭⎭⎪A．(0, 3)B．(1, 3)C．(0, 2)D．(1, +∞)2．命题“如果x ≥a 2 +b2 ，那么x ≥ 2ab ”的逆否命题是（）A．如果x <a 2 +b2，那么x < 2ab B．如果x ≥ 2ab，那么x ≥a 2 -b2C．如果x < 2ab ，那么x <a2 +b2D．如果x ≥a2-b2 ，那么x < 2ab3．位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为1向上或向右，并且向上和向右移动的概率都为是（），质点 P 移动 5 次后位于（2，3）的概率21 3 A．B．4 45 7 C．D．16 164．若 f ( x) 在R 上可导, f ( x) =x 2 + 2 f ' (2) x + 3 , 则 f '(1) =（）A．- 6B．6 C．4 D．- 45．设6 2 6(2 -x) =a0 +a1x +a2 x+ +a6x，则| a1 | + | a2 | +⋅⋅⋅+ | a6 | 的值是（）A．665 B．729 C．728 D．636．如图，由曲线y =x 2 -1 ，直线x = 0, x = 2 和x 轴围成的封闭图形的面积是（）A．12B．34C．3D．27．若 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，当x < 0 时， f ( x) +xf ' ( x) < 0 ，且 f (-4) = 0 ，则不等式xf ( x) > 0 的解集为（）A．(－4,0)∪(4，＋∞) B．(－4,0)∪(0,4) C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(0,4)8．如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种.A．120 B．260C．340 D．420 （8 题图）9. 已知函数 f ( x ) = - x 3 - 7 x + sin x ，若 f (a 2 ) + f (a - 2) > 0 ，则实数 a 的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ．⎧x 2 + x , (-2 ≤ x ≤ -1) 10．已知函数 f ( x ) = ⎨ ⎩ln(x + 2), (-1 < x ≤ 2)，若 g ( x ) = f ( x ) - a ( x + 2) 的图像与 x 轴 有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ． (0, 1 )B ． (0, 1) C ． [ ln 2 , 1 )D ．[ 2 ln 2 , 1 )e - 1 3e2 e3 3e二．填空题：（每小题 4 分，共 24 分）11．已知复数 z 满足 1 + i = 2i 3 + 2i4 ，其中 i 为虚数单位，则复数 z = ． z12．若函数 y = x 3 - 3 x 2 + a 在[－1,1]上有最大值 3，则该函数在[－1,1]上的最小值是 2．⎧⎪lg x , x > 0 8 13．设 f ( x ) = ⎨ b ⎪ x + ⎰ t 2 dt , x ≤ 0 ，若 f ( f (1)) = ，则常数 b = ． 3 ⎩ 014． 已知函数 f ( x ) = ax 2 + bx (a > 0, b > 0) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 2， 8a + b 则 的最小值为．ab15．已知函数 f ( x ) =．m x - 1 + ln x 在 [e , +∞) 上存在极值点，则实数 m 的取值范围为16．已知函数 f ( x ) = ( x + 1)e x- 2 x - a , 若 f ( x ) < 0 有且只有一个整数解，则 a 的取值范 围为 ．三、解答题：（共 4 题，共 46 分）17．一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是１，3 张卡片上的 数字是 2,2 张卡片上的数字是 3,从盒中任取 3 张卡片。
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《同底数幂的乘法》教学目标 理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算，并能利用它解决简单的实际问题. 教学重难点 重点：掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算. 难点：对法则推导过程的理解及逆用法则. 教学过程 复习引入 问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ 计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103 回顾知识 1an的意义是表示 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂； 叫做底数， 是指数． 2.指出下列各式的意义、底数与指数： （1）34；（2）a3；（3）（a+b）2；（4）（-2）3；（5）-23 （其中，（-2）3与-23的含义是否相同？结果是否相等？（-2）4与-24呢？） （1）表示什么？（210×10×10×10×10 可以写成什么形式？ 根据上述问题计算下列各式：观察计算前后底数和指数的关系，总结规律 （1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）（根据 ）=27=25+2．（根据 ） （2）a3·a2=（a·a·a）·（a·a）（根据 ）=a5=a3+2．（根据 ） （3）5m·5n（m、n都是正整数）=×（根据 ）=5m+n．（根据 ） 二、讲授新课 1、发现规律：（1）这三个式子都是： （2）相乘结果的底数与原来底数 ，指数是原来两个幂的指数 . 思考：能否用一个比较简洁的式子概括出你所发现的规律？ 即am·an等于什么（m、n都是正整数）？为什么？2、得出同底数幂相乘法则：am·an=am+n （m、n都是正整数）， 用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数 ，指数 ”． 法则的剖析： 条件是①同底数幂②乘法；结果是①底数不变②指数相加 3、公式识记辨析 下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ （1）b5 ·b5=2b5 （ ） （2）b5 + b5=b10 （ ）（3）x5 ·x5=x25 （ ） （4）y5 ·y5=2y10（ ） （5）c·c3=c3（ ）（6）m + m3=m4 （ ） 、加深记忆，理解运用. 问题：你认为这个公式的应用，应特别注意什么？ （2） （3） （4） （5） 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。
天津一中11-12学年高二上学期期中考试理科数学试题(精品资料).doc
A BC S E F 【最新整理，下载后即可编辑】天津一中2011—2012学年第一学期期中高二数学试卷(理科)一、选择题（每题3分，共30分）1．如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（ ） A ．6B ．12 3C ．24D ．32．已知正方体的外接球的体积为323π，则该正方体的表面积为（ ）A ．433B ．163C ．643D ．323．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）A ．至多只能有一个是直角三角形B ．至多只能有两个是直角三角形C ．可能都是直角三角形D ．必然都是非直角三角形4．对于平面α和直线l ，α内至少有一条直线与直线l （ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．异面 D ．相交 5．已知m n ，是两条不同直线,αβγ，，是三个不同平面，正确命题的个数是（ ）①若αγ⊥，βγ⊥，则α//β ②若m α⊥，n α⊥，则m //n ③若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ ④若m //α，n //α，则m //n ⑤若m //α，m //β，则α//βA ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ） A ． 90° B ．45° C ．60°D ．C AD B F7．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ） A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°8．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知平行六面体1111OABC O A B C -，OA a =，OC c =，1OO b =，D 是四边形OABC 的中心，则（ ） A ．1O D a b c =-++ B ．11122O D b a c =--- C ．11122O D a b c =--D ．11122O D a b c =-+10．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在（ ）A ．直线AB 上 B ．直线AC 上 C ．直线BC 上D ．△ABC 内部二、填空题（每题4分，共24分）11．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕AC 边旋转一周所成的几何体的体积为__________．12．在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝8，B ＝30°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，P ′是AB 边上动点，则PP ′的最小值为 ． 13．如右图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为 ．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于 ． 16．正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到截面1A BM 的距离为 ． 三、解答题(共4题，46分)17．如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB ⊥DM ；（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．19．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD（1）求异面直线BF 与DE 所成的角的大A BCD E A 1B 1C 1D 1小；（2）证明平面AMD ⊥平面CDE ； （3）求二面角A-CD-E 的余弦值．20．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（1）证明：1A C ⊥平面BED ；（2）求二面角1A DE B --的余弦值大小．参考答案： 一、选择题：1．C 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．D 10．A二、填空题： 11．485π12．13．13141516．2三、解答题： 17．证明：（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点， ,EF PD ∴又,,P D PCD E PCD ∈∉面面 ∴直线EF ‖平面PCD（2）AB=AD,BAD=60,∠ F 是AD 的中点，,BF AD ∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD ∴⊥面 所以，平面BEF ⊥平面PAD 。
高二理科数学下学期期末考试试卷
津南区2011—2012学年度第二学期期末考试高二年级数学试卷（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
试卷满分100分。
考试时间100分钟。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共30分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号，用黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔填在“答题卡”上；用2B 铅笔将考试科目对应的的信息点涂黑。
2、答案答在试卷上无效。
每小题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒1、复数2(2)m m m -+i ()m ∈R 是纯虚数，则实数m 的值是A ．2B ．0C ．0或2D ．0或1或22、设某离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，则p 的值为A ．8B ．6C ．4D ．123、曲线xy e =在点()0,1A 处的切线斜率为A ．eB ．1eC ．1D ．24、观察下列等式，332123+=，33321236++=，33332123410+++=根据上述规律，333333123456+++++=A ．219B ．220C ．221 D ．2225、在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是A ．相关指数R 2为0.25的模型B ．相关指数R 2为0.50的模型C ．相关指数R 2为0.80的模型D ．相关指数R 2为0.98的模型6、在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为 A ．120- B ．120 C ．15-D ．157、盒中有10只灯泡，其中有3只是不合格的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰有2只 合格的概率为 Ａ．13 Ｂ．310 C ．16 D ． 7108、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中 A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 9、用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅-”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是A .12+kB .)12(2+kC .112++k k D .122++k k 10、12名同学分别到三个企业进行社会调查，若每个企业4人，则不同的分配方案共有A ．444128433C C C A 种 B ．44412843C C C 种 C ．4431283C C A 种D ．4441284C C C 种 第Ⅱ卷（非选择题 共70分）注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔直接答在答题纸上。
天津一中高三数学下学期第二次月考试题 理(含解析)新人教A版
2012-2013学年天津一中高三（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（共40分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）（2012•蓝山县模拟）计算复数（1﹣i）2﹣等于（）A．0B．2C．4i D．﹣4i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的混合运算，吧要求的式子化为﹣2i﹣，进一步化简求得结果．解答：解：复数（1﹣i）2 ﹣=﹣2i﹣=﹣2i﹣=﹣4i，故选：D．点评：本题主要考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2009•山东）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加既得组合体的体积．解答：解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．3．（5分）极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：极坐标方程ρ=cosθ 化为直角坐标方程为，表示一个圆，参数方程（t为参数），消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，由此得出结论．解答：解：极坐标方程ρ=cosθ 即ρ2=ρcosθ，化为直角坐标方程为 x2+y2=x，即，表示一个圆．参数方程（t为参数），消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，故选A．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，直线的方程特征、圆的标准方程，属于基础题．4．（5分）若△ABC的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：先确定三角形必有一内角为60°，再根据对应三边成等比数列，结合余弦定理，即可求得结论．解答：解：由题意不妨设A，B，C成等差数列则2B=A+C∵A+B+C=π∴B=，A+C=∵a，b，c成等比数列∴b2=ac，∵b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac∴a2+c2﹣ac=ac∴（a﹣c）2=0∴a=c∵B=60°，∴三角形为等边三角形，故选C．点评：本题考查等差数列与等比数列，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．5．（5分）（2011•汕头一模）在△ABC中，tanA是以﹣4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形考点：等比数列的通项公式；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：首先，由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合已知可得tanA=2，tanB=3，然后利用两角和的正切公式可求出tan（A+B）=﹣1，从而求出∠C，再结合题意确定A、B的范围，从而确定△ABC的形状．解答：解：由题意可得，tanA==2，tanB==3，故tan（A+B）==﹣1，∵0＜A+B＜π，∴A+B=，∴∠C=；又∵tanA＞0，tanB＞0，0＜A＜π，0＜B＜π，∴0＜A＜，0＜B＜，故△ABC为锐角三角形．故选A．点评：本题通过解三角形问题，考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，综合性较强，难度中等．6．（5分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．由此能求出结果．解答：解：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．∴“m∥α”是“m⊆β”的必要非充分条件．故选B．点评：本题考查平面的性质定理及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．（5分）函数f（x）=sin2x﹣2sin2x，（0≤x≤）则函数f（x）的最小值为（）A．1B．﹣2 C．D．﹣考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求函数的最小值解答：解：∵f（x）=sin2x﹣2sin2x，==2sin（2x+）﹣1∵0≤x≤∴∴∴﹣2≤f（x）≤1则函数f（x）的最小值为﹣2故选B点评：本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用及正弦函数性质的简单应用，属于基础试题8．（5分）函数，若方程f（x）=x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．[0，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：由题意可得f（x）的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，结合图象，求出a的取值范围．解答：解：由题意可得f（x）的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，如图所示：故有a＜1，故选C．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．二.填空题：（共30分，每小题5分）9．（5分）（2010•青浦区二模）[文科]非负实数x、y满足，则x+3y的最大值为9 ．考点：简单线性规划；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过点A （0，3）时，z最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域∵直线z=x+3y过点A（0，3）时，z最小值是9，故答案为9．点评：本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题．10．（5分）已知A（，0），B（0，1），坐标原点O在直线AB上的射影为点C，则= ．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知中A（，0），B（0，1）可求出直线AB的方程，结合坐标原点O在直线AB 上的射影为点C，即OC⊥AB可求出直线OC的方程，进而得到点C即向量的坐标，代入向量数量积公式，可得答案．解答：解：∵坐标原点O在直线AB上的射影点为C∴直线OC⊥AB由A（，0），B（0，1）可得，直线AB的斜率k AB=，AB的方程为y﹣1=（x﹣）…①∴k AC=∴OC直线方程为：y=x…②由①②和∴x=，y=∴=（，）∴=故答案为：点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，直线的方程，直线的交点，其中根据已知，求出点C即向量的坐标，是解答的关键．11．（5分）（2012•佛山二模）（几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且，AF：FB：BE=4：2：1，若CE与圆相切，则线段CE的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．解答：解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=．∴AF=2，BF=1，BE=，AE=；由切割定理得CE2=BE•EA=×=．∴CE=．故答案为：．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，是常考题型．12．（5分）（2009•长宁区一模）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是2个．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：分别加以判断：若m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，则m∥α，n∥α，但m 不平行于n，故①不正确；若m∥α，则在α内可以找到直线m′，使m′∥m，再结合n⊥α，可得n⊥m′，最终得到n⊥m，故②正确；若m∥β，则在β内可以找到直线m′，使m′∥m，结合m⊥α，得m′⊥α，β经过α的垂线，所以α⊥β，故③正确．解答：解：对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，∵β∥α∴m∥α，n∥α，而m不平行于n，故①不正确；对于②：∵m∥α，∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵n⊥α，m′⊂α∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；对于③：∵m∥β，∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵m⊥α，得m′⊥α，∵β经过α的垂线，∴α⊥β，故③正确．故答案为：2个点评：本题考查了空间两直线、直线与平面位置关系等知识点，属于中档题．熟练掌握直线与平面平行垂直和平面与平面的平行与垂直的判定与性质，是解好本题的关键．13．（5分）等差数列{a n}中，a1=1，a7=4，在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3，则满足b n a26＜1的最小正整数n是 6 ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：在等差数列{a n}中，由a1=1，a7=4求出a3和a26，在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3求出b n，代入b n a26＜1可求最小正整数n．解答：解：在等差数列{a n}中，设其公差为d，由a1=1，a7=4，得，所以，，．又在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3=2，所以其公比q=，所以，，由，得：35﹣n＜1，则n＞5．所以，满足b n a26＜1的最小正整数n是6．故答案为6．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了指数不等式的解法，是基础题．14．（5分）设，则m与n的大小关系为m＞n ．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据 e x，lnx的导数等于e x，，得到原函数是 e x，lnx，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减进而比较即可得到结果．解答：解：∵e x，lnx的导数等于e x，，∴m=e x|=e1﹣e0=e﹣1；n=lnx|=lne﹣ln1=1．而e﹣1＞1∴m＞n．故答案为：m＞n．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．三.解答题：15．（13分）（2011•孝感模拟）在△ABC中，．（1）求的值；（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．考点：向量的模；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：（1）．变形出的表达式，求值即可．（2）由面积公式表示出△ABC的面积，根据其形式用基本不等式求出等号成立的条件，即可．解答：解：（1）．得，﹣2•=4，故=2•+4，又•═2所以=8（2）由面积公式S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC又•=|AB||AC|cos∠BAC=2∴cos∠BAC=∴sin∠BAC═=∴S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC=≤等号当且仅当|AB|=|AC|时成立，又由（1）|AB|=|AC|=2时，三角形面积取到最大值．cos∠BAC=，即∠BAC=60°答：当△ABC的面积最大时，求∠A的大小是600．点评：考查向量的夹角公式、三角形中同角三角函数的基本关系以及基本不等式求最值，综合性与知识性较强．16．（13分）某机构向民间招募防爆犬，首先进行入围测试，计划考察三个项目：体能，嗅觉和反应．这三个项目中只要有两个通过测试，就可以入围．某训犬基地有4只优质犬参加测试，已知它们通过体能测试的概率都是，通过嗅觉测试的概率都是，通过反应测试的概率都是．求：（1）每只优质犬能够入围的概率；（2）若每入围1只犬给基地记10分，设基地的得分为随机变量ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出；（2）利用（1）求出优质犬入围的只数的随机变量的数学期望，进而求出得分ξ的数学期望．解答：解：（1）每只优质犬入围概率相等：若一只优质犬能够入围，则包括三项测试都通过或其中的任意两项通过两类：因此每只优质犬能够入围的概率：P=++=．（2）设随机变量η表示优质犬入围的只数，则η的取值为0，1，2，3，4．则服从η～B（4，），ξ=10η．∴Eη=，Eξ=10Eη=点评：熟练掌握相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率公式、离散型随机变量的期望计算公式是解题的关键．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．（1）求证：PB⊥DM；（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值；（3）在棱PD上是否存在点E，PE：ED=λ，使得二面角C﹣AN﹣E的平面角为60°．存在求出λ值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，利用⇔即可证明；（2）先求出平面ADMN的法向量，利用斜线段CD的方向向量与平面的法向量的夹角即可得出；（3）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：解：（1）如图以A为原点建立空间直角坐标系，不妨设|AB|=2．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），M（1，，1），N（1，0，1），P（0，0，2），∵=（2，0，﹣2），=（1，﹣，1），∴=0，∴PB⊥DM．（2）由（1）可得：=（﹣2，1，0），=（0，2，0），=（1，0，1）．设平面ADMN法向量=（x，y，z），则得到，令x=1，则z=﹣1，y=0，∴=（1，0，﹣1）．设CD与平面ADMN所成角α，则．（3）假设在棱PD上存在点E（0，m，2﹣m），满足条件．设平面ACN法向量=（x，y，z），由，，，可得，令x=1，则y=﹣2，z=﹣1，∴=（1，﹣2，﹣1）．设平面AEN的法向量=（x0，y0，z0），由，，，可得，令x0=1，则z0=﹣1，，∴．∴cos60°=，得，化为，化为23m 2﹣52m+20=0，又m ∈[0，2]． 解得，满足m ∈[0，2]．∴λ=PE：ED=：=m ：（2﹣m ）=．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用⇔、斜线的方向向量与平面的法向量的夹角求线面角、利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．18．（13分）数列{a n }满足4a 1=1，a n ﹣1=[（﹣1）na n ﹣1﹣2]a n （n≥2）， （1）试判断数列{+（﹣1）n}是否为等比数列，并证明；（2）设a n 2∙b n =1，求数列{b n }的前n 项和S n ．考点：数列的求和；等比关系的确定． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析： （1）由a n ﹣1=[（﹣1）na n ﹣1﹣2]a n （n≥2），两边取倒数，整理即可证明（2）由（1）及已知a n 2∙b n =1可求b n ，结合数列的通项的特点，考虑利用分组求和，结合等比数列与等差数列的求和公式即可求解解答：解：（1）数列{+（﹣1）n }是等比数列，证明如下由=即∵a 1= ∴=3另：∴是首项为3公比为﹣2的等比数列则（2）由∴∴+6（20+2+22+…+2n ﹣1）+（1+1+ (1)∴=3•4n +6•2n +n ﹣9（n ∈N *）点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，等比数列的通项公式及求和公式的应用．19．（13分）设n ∈N *，不等式组所表示的平面区域为D n ，把D n 内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（1）求（x n ，y n ）；（2）设数列{a n}满足，求证：n≥2时，；（3）在（2）的条件下，比较与4的大小．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：（1）由﹣nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1，从而x=1与y=﹣nx+2n 的交点为（1，n），即所以D n内的整点（x n，y n）为（1，n）（2）先化简为，两式相减即可证得（3）先猜想：n∈N*时，，再利用（2）的结论可以证明．解答：解：（1）由﹣nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1又x=1与y=﹣nx+2n的交点为（1，n），所以D n内的整点，按由近到远排列为：（1，1），（1，2），…，（1，n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：n≥2时，所以，两式相减得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）n=1时，，n=2时，可猜想：n∈N*时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）事实上n≥3时，由（2）知所以====﹣﹣﹣﹣﹣（15分）点评：本题以线性规划为载体，考查数列、不等式的证明，应注意充分挖掘题目的条件，合理转化20．（15分）设函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：；（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：﹣．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0，知函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且，由f′（x）=0，得x=．列表讨论，能求出f （x）的单调区间．（Ⅱ）设∅（x）=ln（x+1）﹣，x∈[0，+∞），则∅′（x）==．由此能够证明．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，将代入，得，由此能够证明﹣．解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且，由f′（x）=0，得x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣1，）（，+∞）f′（x）﹣ 0 +f（x）↓极小值↑由上表知，当x∈（﹣1，）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣1，）内单调递减；当x∈（）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（）内单调递增．∴函数f（x）的增区间是（），减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：设∅（x）=ln（x+1）﹣，x∈[0，+∞），对∅（x）求导，得∅′（x）==．当x≥0时，∅′（x）≥0，所以∅（x）在[0，+∞）内是增函数．∴∅（x）＞∅（0）=0，即ln（x+1）﹣＞0，∴．同理可证ln（x+1）＜x，∴．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，将代入，得，即1，∴，故﹣．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力，考查运算推导能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的综合应用．。
天津市高二数学上学期期末考试 理 新人教A版
天津一中2012-2013-1高二年级第二次模块检测数学科试卷（理）一、选择题（每小题4分，共32分）1.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可能是 （ ） A ． 圆柱 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 球2.某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），这个几何体的体积是( )A．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cm D ．34000cm3.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶33D ．1∶94. 若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.2B．4 C. 12D. 25.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题,正确的是 ( )① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④6.已知平面α外不共线的三点C B A ,,到α的距离都相等，则正确的结论是 （ ） A ．平面ABC 必不垂直于α B ．平面ABC 必平行于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内7.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为正视图侧视图俯视图α•AB•β（ ） A ．13B ．23C ．23D ．3 8. 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ）． A ．6B ．10 C ．2 D ．3 二、填空题（每小题4分，共24分）9.三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高 .10.一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 .11.如右图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 为AD 的中点， 点F 在CD 上，若EF ∥平面1AB C ，则线段EF 的长度等于_________.12.如右图正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论中正确的序号是________. ①平面1A BD ∥平面11CB D ②1AC 与1CD 相交③1AC ⊥平面11CB D ④ 异面直线AD 与1CB 所成角为060. 13.如右图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .14.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，若二面角1C AB C -- 的大小为060，则C 到平面1ABC 的距离是 .三、解答题：（共4题，44分） 15．已知椭圆方程为22119x y +=，过左焦点作倾斜角为6π的直线交椭圆于,A B 两点， （1）求弦AB 的长； （2）求ABO △的面积.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，3AB =，点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动.（1）求三棱锥E PAB -的体积；（2）当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说明理由； （3）求证：PE AF ⊥17. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．18. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角.（1）求证：平面B 1AC⊥平面ABB 1A 1；（2）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值； （3）求二面角B —B 1C —A 的大小.参考答案：1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．D 8．A 9．110．24+83DB OE FPEB A D11．2 12．①，③13．43 14．2315．（1）联立消y得24150x ++= |AB|=2 （2）16．解：（1）1111332E PAB P AEB AEB V V PA S --∆==⋅⋅=⋅⋅=3分 （2）F Q 是DP 中点，E 是DC 中点 EF PC ∴P,PC APC EF APC ⊂⊄Q 平面平面，EF APC ∴P 平面………………3分 （3）,AP AD F PD =Q 是中点,AF PD ∴⊥PA ABCD ⊥Q 平面,PA CD ∴⊥AD CD ⊥Q CD APD ∴⊥平面 CD AF ∴⊥AF PCD ∴⊥平面 AF PE ∴⊥ …………………4分17．,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥Q,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥Q在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO == 而2,AC =222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O =Q IAO ∴⊥平面BCD…………4分ABMDEOC（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角 在OME ∆中，111,222EM AB OE DC ==== OM Q 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos 4OEM ∴∠=…………8分 （III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h,11....33E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴=Q 在ACD ∆中，2,CA CD AD ===122ACD S ∆∴==而211,22CDE AO S ∆===1.7CDE ACDAO S h S ∆∆∴===∴点E 到平面ACD的距离为7…………12分 18．（I ）证明：由直三棱柱性质，B 1B⊥平面ABC ，∴B 1B⊥AC，又BA⊥AC，B 1B∩BA=B，∴AC⊥平面 ABB 1A 1， 又AC ⊂平面B 1AC ，∴平面B 1AC⊥平面ABB 1A 1. （II ）解：建立如图的空间直角坐标系A —xyz ，∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°.设AB=B 1B=1，).1,1,0(),1,0,0(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(.2,311B A C B A AC BC 则则==11111111111,,(0,1,1),cos ,,6||||A B A B B AC A B AC A B AC A B AC A B AC =-=⋅∴<>===⋅u u u r u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 连结易知是平面的一个法向量又 ∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66（III ）解：设(,,)n x y z =r为平面BCC 1B 1的一个法向量，所求二面角为θ，由10BC n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r ,令,1=x得n =r ,又111,(0,1,1),A B B AC A B =-u u u r u u u r 是平面的一个法向量故1cos cos ,A B n θ==u u u r r。
天津市五区县2011-2012第二学期期末高二数学理科试卷含答案
天津市五区县2011-2012第二学期期末高二数学理科试卷含答案2 ， 18(解:(?)()x,fx,213天津市五区县2011,2012学年度第二学期期末考试2 ()x,fx,324高二数学(理科)试卷参考答案2一、选择题，…………………………………………………………3分()x,fx,435题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2归纳出…………………………………………………………….5分 x,答案 A B B C D A C D C D nn，12(?)证明:时，，与已知相符，公式成立，………….6分 x,,1n,11二、填空题 1，121112n，1假设时公式成立，即 x,n,k411(1，，，？，, 12( 13( 81k222k，1n，123(n，1)22，2x42k，1k(14 15( [,3,3]0.38故……………………….10分 x,,,,k，12x，12k，4(k，1)，1k，2三、解答题 k，114所以当时公式成立 n,k，1AA16(解:(?)首位数字不能为0，故有种选法，余下四位共种选法，由乘法原理得 552,综上，x,对任意的都成立…………………………………12分 n,Nn14n，1AA,600共能组成个无重复数字的五位数……………………………….4分 552C226(?)符合要求的的五位数中5的倍数的数分为两类 : 19(解:(?)，即该顾客中奖的概率为…………………….2分1P,,,233C10413AAA个位数字为0的有个,个位数字为5的有个, …………………….10分 544(?)的所有可能值是0、10、20、50、60(元) ,413A，AA,216故无重复数字且为5的倍数的五位数共有个………….12分 5442211CCCC112366317(解: (?)设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A、B，则，，，(0)(20)(10)P,,P,,P,,2223515CCC1010102231CCCC335353(),()，……………………………….6分PA,,PB,,44111177CCCCCC21881613，………………………………….8分(50)(60)P,,P,,221515CC61010ABP(A，B),、为互斥事件，故………………………………8分 7故,的分布列为 4C15(?)设摸出的4个球中全是白球为事件，………10分 ()PC,,C414C, 0 10 20 50 60 8113121121,,至少有一个黑球为事件的对立事件其概率为……………….12分 C P 141435151515………………10分12121均值为………………12分 E,,0，，10，，20，，50，，60，,163515151520(解:(?)的定义域为 f(x)(0.，,), f(x),1，lnx11,, 令，解得，，解得 x,f(x),0f(x),00,x,ee11所以当时取得最小值为…………………………………4分 x,eef(x),ax,1,，(?)依题意，得在1,，,恒成立1,，a,lnx，x,1,，,即不等式对于恒成立 x111(x,1),令g(x),lnx，，则，………………………8分 g(x),,,22xxxx,当时 g(x),0x,1,故g(x)在(1,，,)上是增函数，所以g(x)的最小值是g(1),1 从而的取值范围是(,,,1] ………………………12分 a。
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天津一中2011—2012高中二年级第二学期期末考试数学学科试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共32分）1.如果复数()()21m i mi ++是实数，则实数m =（ ） A .1 B.－1 C. 2 D.－22. 若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．-323.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．64 函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ） A ．5，-15 B ．5，-4 C ．-4，-15 D ．5，-165.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310 C.35 D.910 6.已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，则E η，D η分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6 7.已知函数f (x )=ln ln a xx+在[1,+∞]上为减函数，则a 的取值范围是( )A.10a e<<B.0a e <≤C.a e ≤D.a e ≥8.有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有( )A ．1 344种B ．1 248种C ．1 056种D ． 960种 二、填空题（每小题4分，共24分）9.从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是 . 10.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E ξ=8.9，则y 的值为 .11. 如图2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为______ 12.261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________13.若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .14.某班要从A ，B ，C ，D ，E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的A ，B ，C 三人都不连任原职务的方法有________种．三、解答题（共44分）15.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.（3）求选择甲线路旅游团数的期望.16.在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率；⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望．17.甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：（1）乙取胜的概率；（2）比赛进行完七局的概率。
（3）记比赛局数为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE .18.已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f (1)若)(x f 在0=x 处取得极值，求ａ的值；(2)讨论)(x f 的单调性；(3)证明：e N n e n,()311)...(8111)(911(*2∈<+++为自然对数的底数）参考答案一．选择题： 1.B2. A3.C4. A5. D6. B7. D8.B二．填空题： 9. 15 10. 0.411.312. -5 13. (,0)-∞ 14. 32种 三．解答题：15. 解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P 1=834334=A（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P 2=16943222324=⋅⋅A C C（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3P （ξ=0）=64274333=P （ξ=1）=6427433213=⋅CP （ξ=2）=64943313=⋅C P （ξ=3）=6414333=C∴ξ的分布列为：∴期望E ξ=0×6427+1×6427+2×649+3×641=43…16. 设事件(1,2,3,4)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知12345431(),(),(),()6543P A P A P A P A ====，⑴设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”， 则331212()()()()()P B P A A A P A P A P A ==543116546⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．⑵设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则123112()()P C P A A A A A A =++1231121515431()()()(1)6656542P A P A A P A A A =++=+⨯+⨯⨯-=；⑶X 的可能取值为1，2，3，4，11(1)()6P X P A ===，21541(2)()(1)656P X P A A ===⨯-=，3125431(3)()(1)6546P X P A A A ===⨯⨯-=，1235431(4)()6542P X P A A A ===⨯⨯=，所以，X 的分布列为1111()123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17.解（1）乙取胜有两种情况一是乙连胜四局，其概率1612141=⎪⎭⎫⎝⎛=P二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜， 其概率8121211213342=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=C P ，所以乙胜概率为16321=+P P（2）比赛进行完7局有两种情况。
一是甲胜，第3局到第6局中甲胜一局，第7局甲胜 其概率8121211213143=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=C P二是乙胜，同（1）中第二种情况，8124==P P所以比赛进行完7局的概率为4143=+P P（3）根据题意，ξ的可能取值为4,5，6,7()()()(),417,412121216,4121215,4121431342122===⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛===⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξξξξP C P C P P所以ξ的分布列为5.5417416415414=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE18.解：（1）()()的使x f x a xx x f 0,122=++=' 一个极值点，则()0,00=∴='a f ，验证知a=0符合条件…………………… （2）()2221212xax axa xx x f +++=++='1）若a=0时，()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减；2）若()恒成立，对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤⎩⎨⎧≤∆<0100R x f 在)(∴上单调递减………………………………… 3）若()020012>++>'<<-a x ax x f a 得时，由aa x aa 221111---<<-+-∴再令()可得,0<'x f aa x aa x 221111-+-<--->或上单调递增，在)11,11()(22aa a a x f ----+-∴在上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa aa综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减，若时，01<<-a 上单调递增，在)11,11()(22aa a a x f ----+-上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa aa 。
若()()..................0,0)(0单调递减，单调递增，在在时，∞-+∞=x f a(3)由（2）知，当()单调递减，在时，∞+∞--=)(1x f a 当()0)0()(,0=<+∞∈f x f x 时，由.......................,.........)311)...(8111)(911(21311213113113131......3131)311ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[()1ln(2122222e e x x nn n n nn=<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴<+∴。