第十七章第2节反比例函数的应用-32

年 级 初二 学 科 数学

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人教新课标版

课程标题 第十七章反比例函数的应用 编稿老师 何莹娟

一校 李秀卿 二校

黄楠

审核

孙永涛

一、学习目标：

1. 能灵活列出反比例函数解决一些实际问题。

2. 能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题。

3. 经历分析实际问题中变量间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题。

二、重点、难点：

1. 经历“实际问题—建立模型—拓展应用”的过程，发展学生分析问题、解决问题的

能力。

2. 运用反比例函数的解析式和图象表示问题情景中成反比例的量之间的关系，进而利用反比例函数的图象及性质解决问题。

三、考点分析：

在中考数学试卷中，反比例函数的命题在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想，学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。”

1. 反比例函数的定义：一般地，形如x

k

y =

（k 为常数，0≠k ）的函数称为反比例函数。x

k y =

还可以写成kx y =1- 反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k 是常数，且k 不为零； （2）

x k

中分母x 的指数为1，如，22y x

=就不是反比例函数。 （3）自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数。 （4）自变量y 的取值范围是0y ≠的一切实数。

2. 反比例函数x

k

y =

的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；

（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。

（3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限地接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。 3. 反比例函数的性质

x

k

y =

)0k (≠的变形形式为k xy =（常数）所以： （1）其图象的位置是：

当0k >时，x 、y 同号，图象在第一、三象限； 当0k <时，x 、y 异号，图象在第二、四象限。 （2）若点（m,n ）在反比例函数x

k

y =的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。

（3）当0k >时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 4. 反比例函数解析式

（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式x

k

y =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的

对应值或图象上点的坐标，代入x

k

y =中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式。

（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：x

k

y =

（0k ≠）； ②根据已知条件，列出含k 的方程； ③解出待定系数k 的值； ④把k 值代入函数关系式x

k

y =

中。

5. 实际生活中的反比例

（1）面积一定时，矩形的长与宽成反比例。

（2）面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例。 （3）体积一定时，柱（锥）体的底面面积与其上的高成反比例。 （4）工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例。 （5）总价一定时，商品单价与商品的数量成反比例。 （6）溶质一定时，溶液的溶度与溶液质量成反比例。 （7）当路程一定时，物体的运动速度与时间成反比例。 （8）当压力一定时，压强与受力面积成反比例。 （9）当功率一定时，力与速度成反比例。

（10）当电压一定时，用电器的输出功率与电阻成反比例。 （11）当电压一定时，电流强度与电阻成反比例。 复习巩固： 课前小测

（1）若点（2，-4）在反比例函数x

m

y =的图象上，则m=___________。 （2）当k >0时，函数x

k

y =

的图象在第___________象限内，并且在每一象限内y 随x 的增大而___________；当k <0时，函数x

k

y =的图象在第___________象限内，并且在每一

象限内y 随x 的增大而___________。

（3）已知反比例函数x

y 2

=的图象上有两点A （--2，y 1）B （--1，y 2），则y 1与 y 2的大小关系为___________。

（4）若反比例函数x

k y 3

2-=的图象在其每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___________。

知识点一：反比例函数与几何知识的综合应用

例1. 矩形面积为4，它的长y 与宽x 之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）

思路分析：

1）题意分析：本题考查反比例函数与几何的应用。

2）解题思路：此题由几何知识可得xy=4，x 与y 成反比，一定要注意x 、y 的取值范围。解答过程：B

解题后的思考：在应用反比例函数知识解决实际问题时，列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。

知识点二：反比例函数在实际生活中的应用

例2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气体体积V （立方米）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）

（1）写出这个函数的解析式。

（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

思路分析：

1）题意分析：本题考查反比例函数在实际中的应用。

2）解题思路：题中已知变量P 与V 是反比例函数关系，并且图象经过点A ，利用待定系数法可以求出P 与V 的解析式，得V

P 96

=

，（3）问中当P 大于144千帕时，气球会爆炸，即当P 不超过144千帕时，是安全的范围。根据反比例函数的图象和性质可知，P 随V 的增大而减小，可先求出气压P ＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是气球的体积不小于

3

2

立方米。 解答过程：（1）把点A （1.5，64）代入得V P 96=（2）将V=0.8代入V

P 96

=，得P=120 （3）

144V

96≤解得V≥23，气球的体积不小于32

立方米。

解题后的思考：

1. 根据实际问题中变量之间的数量关系建立函数解析式。

2. 根据给定的自变量的值或范围求函数的值或范围，可以应用函数的性质，也可以应用函数的图象；根据已知函数的值或范围求相应的自变量的值或范围，可以应用函数的性质和图象，也可以把问题转化为解方程或不等式。

例3. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强。

（1）请根据表中的数据求出压强p （kpa ）关于体积V （mL ）的函数解析式。