第36讲__同_余(习题导学案教案)(奥数实战演练习题)
人教版高中选修4-6一同余教学设计
人教版高中选修4-6一同余教学设计一、教学目标1.了解同余的基本概念与性质。
2.掌握同余方程的解法及其应用。
3.能够灵活运用同余数的概念、性质、运算法则解决实际问题。
4.提升学生的综合素养，培养学生的逻辑思维和创新能力。
二、课程内容1.同余的基本概念与性质–同余的定义、基本性质。
–同余算术运算及其性质。
–同余类的概念及其性质。
2.同余方程的解法及应用–同余方程的定义、解法及应用。
–应用同余方程解决简单的实际问题。
3.实际应用–中国剩余定理。
–同余数在密码学中的应用。
三、教学方法1.讲授法：通过PPT讲解、案例分析、示范演练等方式，向学生传授理论知识。
2.组织小组讨论：安排小组讨论环节，组织学生以小组为单位，提出问题并进行讨论，激发思维，培养学生学习能力和团队精神。
3.课堂练习：设置课堂习题，让学生在课堂上进行练习，加强所学知识的巩固与应用能力的提高。
4.独立思考：布置课后作业，要求学生自主思考并解决相关问题，促进学生的独立思考和学习能力。
四、教学重点难点1.教学重点：同余的基本概念、同余算术运算原理、同余方程及其应用。
2.教学难点：同余方程的解法及其应用，中国剩余定理的应用。
五、教学课时安排本教学设计共安排4课时，具体如下：课时授课内容学时安排第一课时基本概念与性质1学时第二课时同余方程的解法及应用 1.5学时第三课时实际应用 1.5学时第四课时综合练习与总结1学时六、教学评价1.采用课堂表现、作业、考试等多种方式进行综合评价。
2.通过学生的表现，分析教学是否达到了预期目标，是否有需要进行调整改进之处。
3.在评价中着重考核学生应用同余数解决实际问题的能力，培养学生的运用能力和创新思维。
小学奥数精讲：带余除法(同余式和同余方程)知识点及典型例题
小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到：（1）b>r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a 与b 同余于模m。
意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。
（余数的可减性）三、例题。
例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？（2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？（3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？（2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。
小学奥数竞赛专题之同余问题
小学奥数竞赛专题之同余问题关于小学奥数竞赛专题之同余问题[专题介绍]：同余问题中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。
因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。
[分析]1、两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……[经典例题]例1：求437×309×1993被7除的余数。
小学奥数—数论之同余问题
数论---同余问题余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。
定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
如：35除以5,7余0，除以3余2；63除以3,7余0，除以5余3；30除以3,5余0，除以7余2。
则35+63+30除以3余2，除以5余3，除以7余2。
定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
数学奥赛辅导教案2----同余
- 1 -数学奥赛辅导----数论（2） 同余知识、方法、技能同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本讲介绍同余的基本概念，基本性质. 1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作)(mod m b a ≡，显然，)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -⇔∈+=⇔≡；每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余； 2.同余的性质：1).反身性：)(mod m a a ≡；2).对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡⇔≡； 3).若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡;4).若)(mod 11m b a ≡，)(mod 22m b a ≡，则)(mod 2121m b b a a ±≡± 特别是)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±⇔≡；5).若)(mod 11m b a ≡，)(mod 22m b a ≡，则)(mod 2121m b b a a ≡； 特别是)(mod ),(mod m bk ak Z k m b a ≡⇔∈≡则 )(mod ),(mod m b a N n m b a nn≡⇔∈≡则； 6).)(mod )(m ac ab c b a +≡+；7).若)(mod 1),(),(mod m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当 )(m o d )(m o d ).(mod ),(m b a mc bc ac dmb a d mc ≡⇔≡≡=特别地，时，当； 8).若)(mod 1m b a ≡，)(mod 2m b a ≡ )(mod 3m b a ≡……………… )(m o d n m b a ≡，且)(mod ],,[21M b a m m m M n ≡⋯⋯=，则3.完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (mod m )，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。
(完整版)小学奥数同余问题
同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k整除）这是为什么呢？k也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？分析与解答：这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
二年级奥数举一反三练习题精讲第36讲时钟问题
第三十六讲时钟问题（一）例1 下面的图是9 点整，经过一段时间看到图上的时针走了半格，分针应走到什么位置？这时指的是几点几分？（1）（2）【思路导航】经过一段时间，图（1）时针走半格，分针走了半小时，也就是半圈到“ 6”的位置（从图2看出分针的运行），这时指的是9点30分。
时针指向9点整，分针应指向12，经过半小时，时针走了半格，分针应从12 走到了“ 6”，这时指的时间应是9点30分。
练习11. 下图是 3 点整，经过一段时间看到图上的时针走了半格，分针应走到什么位置？这时指的是几点几分？2. 下图是 1 点整，经过一段时间看到图上的分针走了半圈（从12 走到6），时针走过了多少？这时指的是几点几分？3. 下面是反射在镜子中的钟面时针和分针的位置，原来钟面的时刻是几点几分？例2二（2）班四名同学50 米赛跑的成绩是：小希10秒，小伊14 秒，小东15秒，小含11 秒，问谁跑得快？【思路导航】在竞赛中，跑同样的长度时间用得越少，跑得就越快；时间用得越多，跑得越慢。
要知道谁跑得最快，只要找出谁跑得时间最少就可以了。
50 米赛跑小希10 秒用时最少，所以小希跑得最快。
练习21. 五（1）班三位同学50 米往返跑成绩是：王浩20秒，王杨26秒，高杨25秒，问谁跑得快？2. 同学们进行50 米赛跑比赛，平平用了12秒，比小华多用了 1 秒，小花比平平多用 1 秒。
谁跑得最快？3. 小明的妈妈买了一块手表，发现比家里的钟快30 秒，可是家里那座钟比标准时间慢30 秒，你说这块手表准不准？例3看看表算一算【思路导航】要知道左图到右图用了多长时间，应该首先知道左图是几点几分，通过观察发现是1：30，再确定右图是几点几分，观察后发现是5：45，最后计算一下1：30到5：45经过了多长时间。
1：30—5：45经过了4小时15分。
练习39∶002. 在下面括号里写出从上一个钟面到下一个钟面所经过的时间3. 同学们去春游，早晨 8：30 出发，下午 2：30 分回来，共用了多少时间？例4王老师上午 7：30到校上班， 11：30下班，下午 1：00上班，5：00 下班，王 老师上午在校是多少时间？下午在校是多少时间？一共在校小时？ 【思路导航】 7：30—11：30经过了 4小时（ 11时 30分－7时 30分=4小时）， 所以王老师上午在校时间是 4 小时。
江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第36讲__同_余
第 17 讲 同 余同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。
设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不 同余，记作)(mod m b a ≡，显然，)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -⇔∈+=⇔≡； 1、 同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性1).反身性：)(mod m a a ≡；2).对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡⇔≡；3). 传递性：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡; 2、加、减、乘、乘方运算若 a b ≡（mod m ） c d ≡（mod m ）则 a c b d ±≡±（mod m ），ac bd ≡（mod m ），nna b ≡（mod m ） 3、除法设 ac bd ≡（mod m ）则 a b ≡（mod(,)mc m ） A 类例题例1．证明： 一个数的各位数字的和被9除的余数等于这个数被9除的余数。
分析 20≡2(mod9)，500≡5(mod9)，7000≡7(mod9)，……，由于10n －1=9M ，则10n≡1(mod9)，故a n ×10n ≡a n (mod9)。
可以考虑把此数变为多项式表示a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0后处理。
证明 设a=110n n a a a a -L =a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0， ∵10≡1(mod9)，∴10n ≡1(mod9)，∴a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0≡a n + a n-1+…+ a 1+a 0。
六年级奥数用同余法解题
个性化辅导教案
例2:
已知2001年的国庆节是星期一，求xx年的国庆节是星期几？
（提示：一个星期有7天，要求xx年的国庆节是星期几，就要求从2001年到xx年的国庆节的总天数被7除的余数就行了；也可以利用同余的性质求出余数。
）
例3 ：
自然数16520,14903,14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？
（提示：利用同余性质3）
例4：
某数用6除余3,用7除余5,用8除余1.这个数最小是几?
（提示：可以用列举法）
个性化辅导学案
2.求1339655X12除以13的余数。
3.求879X7376X5283除以11的余数。
练习2：
1.已知2002年元旦是星期二。
求xx年元旦是星期几?
2.已知2002年的七月一日是星期一。
求xx年的十月一日是星期几?
练习3：
1.若2836,4582,5164,6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。
除数最
大是多少？
2.一个整数除226,192,141都得到相同的余数，且余数不为0,这个整数是几?。
小学五年级奥数第36讲 火车行程问题(含答案分析)
第36讲火车行程问题一、专题简析：有关火车过桥、火车过隧道、两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题。
在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑到火车本身的长度。
如果有些问题不容易一下子看出运动过程中的数量关系，可以利用作图或演示的方法来帮助解题。
解答火车行程问题可记住以下几点：1、火车过桥（或隧道）所用的时间=[桥（隧道长）＋火车车长]÷火车的速度；2、两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间=两火车车身长度和÷两车速度和；3、两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间=两车车身长度和÷两车速度差。
二、精讲精练例1甲火车长210米，每秒行18米；乙火车长140米，每秒行13米。
乙火车在前，两火车在双轨车道上行驶。
甲火车从后面追上到完全超过乙火车要用多少秒？练习一1、一列快车长150米，每秒行22米；一列慢车长100米，每秒行14米。
快车从后面追上慢车到超过慢车，共需几秒钟？2、小明以每秒2米的速度沿铁路旁的人行道跑步，身后开来一列长188米的火车，火车每秒行18米。
问：火车追上小明到完全超过小明共用了多少秒钟？例2 一列火车长180米，每秒钟行25米。
全车通过一条120米的山洞，需要多长时间？练习二1、一列火车长360米，每秒行18米。
全车通过一座长90米的大桥，需要多长时间？2、一座大桥长2100米。
一列火车以每分钟800米的速度通过这座大桥，从车头上桥到车尾离开共用3.1分钟。
这列火车长多少米？例3 有两列火车，一车长130米，每秒行23米；另一列火车长250米，每秒行15米。
现在两车相向而行，从相遇到离开需要几秒钟？练习三1、有两列火车，一列长260米，每秒行18米；另一列长220米，每秒行30米。
现两列车相向而行，从相遇到相离需要几秒钟？2、一列火车长500米，要穿过一个长150米的山洞，如果火车每秒钟行26米，那么，从车头进洞到车长全部离开山洞一共要用几秒钟？例4 一列火车通过2400米的大桥需要3分钟，用同样的速度从路边的一根电线杆旁边通过，只用了1分钟。
同余的性质优秀教学设计
同余的性质【教学目标】1．掌握同余的性质。
2．亲历同余的性质的探索过程，体验分析归纳得出同余的性质，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】运用同余的性质解决实际问题。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习同余的性质，这节课的主要的内容有同余的性质以及实际运用，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解同余性质的内容，形成初步感知。
（2）首先，我们来学习同余的性质，它的具体内容是：类比等式的性质，同余的性质1：若()mod a b n ≡，且()mod c d n ≡，则()mod a c b d n +≡+ 同余的性质2：若()mod a b n ≡，且()mod c d n ≡，()mod ac bd n ≡同余的性质3：若()mod a b n ≡，且()mod c d n ≡，()mod ka kb n ≡，k 为任意整数 同余的性质4：若()mod a b n ≡，且()mod c d n ≡，()mod m m a b n ≡，m 为正整数 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：今天为 ，过20042004天后的今天是星期几？解析：20042004这个数很大，我们很难判断7除20042004的余数是几.现在，我们想办法把20042004变小，自然的考虑是7除底数2004的余数是几，利用这个余数替换2004，然后降次，反复进行这个过程，知道去掉指数.因为2004=7286+2⨯，所以()20042mod7≡由同余的性质，有()2004200420042mod7≡而20046682=8，所以()200466828mod7≡又因为()81mod 7≡，所以()66866881=1mod 7≡因此()200420041mod 7≡，即7除20042004的余数为1，所以过20042004天后的今天是星期一. 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学二年级奥数第36讲 合理安排(二)(含答案分析)
第36讲合理安排【专题简析】小朋友，你知道“统筹方法”吗？我国著名的数学家华罗庚爷爷曾积极推广、普及这种数学思考方法。
这一讲，我们就来学习日常生活中最简单的“最优化”问题合理安排时间。
要在较短的时间内完成必须做的几件事，就要合理地安排时间，首先要理清要做几件事，做事的顺序是怎样的，然后制定工作程序，如果某几件事不可以同时进行的话，那么，按时间从少到多的顺序排列，可以使等待的时间最短，完成的时间最少。
【例题1】小明早上起床，烧开水用10分钟，吃早饭用7分钟，洗碗筷用1分钟，整理书包用2分钟，冲牛奶用1分钟，请你安排一下，用尽可能短的时间做完全部的事情。
思路导航：由题意可知，小明起床要做4件事。
烧开水时可以吃早饭，洗碗筷，整理书包，最后冲牛奶，这样可以得到完成这些事的工作程序：烧开水10分钟（同时吃早饭、洗碗筷、整理书包）+冲牛奶1分钟。
一共用11分钟。
解：10+1＝11（分钟）答：小明要花11分钟才能尽快做完全部事情。
练习11.星期天妈妈出差，小雨只能自己做饭吃。
烧水2分钟，淘米3分钟，电饭锅烧饭30分钟，把妈妈烧好的几个菜用微波炉热一下花8分钟，冲一碗汤2分钟，请问小雨最快过多长时间就可以吃了？2.星期天老师来小丽家家访，妈妈让小丽给老师烧水泡咖啡，小丽要做的事：打开饮水机开关5秒，烧开水5分钟，洗咖啡杯1分钟，拿咖啡2分钟，加入糖2分钟，最快过多长时间可以让老师喝上咖啡？3.小红早晨起床后，必须做完以下事情：叠被子3分钟、刷牙洗脸8分钟、读英语20分钟，吃饭10分钟，收碗筷5分钟，听MP3（带外放功能）里的小故事20分钟。
请你帮她合理安排时间，用最少的时间完成以上事情。
【例题2】在平底锅上煎鸡蛋，每次同时放2个，煎鸡蛋的时候，煎每一面要3分钟，现在要煎3个鸡蛋，至少一共要多少时间？思路导航：先同时煎两个鸡蛋的第一面，然后煎其中一个鸡蛋的第二面，同时煎第三个鸡蛋的第一面，最后同时煎剩下两个鸡蛋的第二面。
小学四年级奥数第36讲 二进制(含答案分析)
第36讲二进制一、专题简析：二进制就是只用0和1两数字，在计数与计算时必须“满二进一”，即每两个相同的单位组成一个和它相邻的最高的单位。
二进制的最大特点是：每个数的各个数位上只有0或只有1两种状态。
二进制与十进制之间可以互相转化。
1、将一个二进制数写成十进制数的步骤是：（1）将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数；（2）将各数位上对应的十进制数求和，所得结果就是相应的十进制数。
将十进制数改写成二进制数的过程，正好相反。
2、十进制数改写成二进制数的常用方法是：除以二倒取余数。
3、二进制数的计算法则：（1）加法法则：0＋0=0 0＋1=1 1＋0=1 1＋1=10（2）乘法法则：0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1二、精讲精练：例1：把二进制数110（2）改写成十进制数。
分析与解答：十进制有两个特点：（1）它有十个不同的数字符号；（2）满十进1。
二进制有两个特点：（1）它的数值部分，只需用两个数码0和1来表示；（2）它是“满二进一”。
把二进制数110（2）改写成十进制数，只要把它写成2的幂之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可。
110（2）=1×22＋1×21＋0×20=1×4＋1×2＋0×1=4＋2＋0=6练习一：把下列二进制数分别改写成十进制数。
（1）100（2）（2）1001（2）（3）1110（2）例2：把十进制数38改写成二进制数。
分析与解答：把十进制数改写成二进制数，可以根据二进制数“满二进一”的原则，用2连续去除这个十进制数，直到商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来，就是所化成的二进制数，这种方法叫做“除以二倒取余数”。
2 38 02 19 (1)2 9 (1)2 4 02 2 01 (1)即：38（10）=100110（2）练习二把下列十进制数分别改写成二进制数。
初等数论_第二章__同_余教案
因此
ac=bd(q1q2mq1dq2b)m，
再利用定理1，推出结论(ⅱ)。证毕。
定理4设ai，bi（0in）以及x，y都是整数，并且
xy(modm)，aibi(modm)，0in，
则
(modm)。(2)
证明留作习题。
例1设N= 是整数N的十进制表示，即
N=an10nan110n1a110a0，
解由
42n+13n+2=442n93n=416n93n
43n93n= 133n0 (mod 13)
得证。
。
例6设p是素数，a是整数，则由a21(modp)可以推出
a1或a1(modp)。
解由
a21(modp)pa21 = (a1)(a1)，
所以必是
pa1或pa1，
即a1(modp)或a1(modp)。
可以得到xi=xi，1in。
事实上，由条件(ⅲ)及式(3)易得，对于任意的i，1in，有
AixiAixi(modmi)。
由此并利用条件(ⅱ)和第一节定理5推得
xixi(modmi)，
因此xi=xi。证毕。
例1设A={x1,x2,,xm}是模m的一个完全剩余系，以{x}表示x的小数部分，证明：若(a,m) = 1，则
3yx= 0或11。
这样得到四个方程组：
，
其中a取值9或18，b取值0或11。在0x,y9的条件下解这四个方程组，得到x= 8，y= 0，z= 6。
第二次课
定理5下面的结论成立：
(ⅰ)ab(modm)，dm，ab(modd)；
(ⅱ)ab(modm)，kNakbk(modmk)；
(ⅲ)若akbk(modmk)，则ab(modm)；
小学数学五年级下册《同余的概念和性质》奥数教材教案
小学五年级奥数下册教案：同余的概念和性质你会解答下面的问题吗？问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。
问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。
问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）. （*）上式可读作：a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。
②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。
③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。
例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0（mod 2）表示b是一个奇数，可以写b≡1（mod 2）补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：ab（modm）我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。
性质1：a≡a（mod m），（反身性）这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
奥数讲义数论专题：余数及同余
华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
奥数余数和同余讲义
（十八）余数和同余【知识要点】1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说是同余的。
例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。
3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。
【典型例题】例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？解：因为：被除数=除数×8+16，并且被除数+除数=463―8―16＝439，所以除数=（439－16）÷（8+1）=47，被除数=47×8＋16=392.例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？解：被3除余2的数有2，5，8，11，…其中8又能被5除余3，并且满足条件最小的，而［3，5］=15，所以8+15=23，23+15=38，38+15=53，53满足了被7除余4这个条件，并且最小。
例3、五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？解：［3,4,5,6］=60, 60－1=59(人).例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？解：设除数为m,正确的商位q，余数为r，那么错写被除数后，除数仍为m，商为q－3，余数仍为r。
因为：171=m×q+r117= m×（q－3）+r于是171 －117= （m×q+r）－（m×q－3 m+r）得m=18.【精英班】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？解：这个三位数除以5余4，所以它的个位数字是4或9，因为个位数字是百位数字的3倍，所以个位数字只能是9，百位数字是3.因为这个数除以11余3，所以它的十位数字=3+（9－3）=9，这个三位数是399.【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？解：由数的整除性质和同余性质可推知：（1）3的倍数的任何次方（0除外）除以3的余数为0，可知33+66+99 除以3余0.（2）不是3的倍数的偶次方除以3的余数为0，可知22+44+88除以3余1.（3）11除以3余1，55与25对于3同余，它们除以3余2. 77与17对于3同余，它们除以3余1. 所以（1+2+1）÷3=1……1。
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第17 讲同余同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。
设m是一个给定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，则称a与b对模同余，记作，否则，就说a与b对模m不同余，记作，显然，；1、同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性1).反身性：；2).对称性：；3). 传递性：若，则;2、加、减、乘、乘方运算若（mod m）（mod m）则（mod m），（mod m），（mod m）3、除法设（mod m）则（mod）。
A类例题例1．证明：一个数的各位数字的和被9除的余数等于这个数被9除的余数。
分析20≡2(mod9)，500≡5(mod9)，7000≡7(mod9)，……，由于10n －1=9M，则10n≡1(mod9)，故a n×10n≡a n (mod9)。
可以考虑把此数变为多项式表示a n×10n+ a n-1×10n-1+…+ a1×10+a0后处理。
证明设a==a n×10n+ a n-1×10n-1+…+ a1×10+a0，∵10≡1(mod9)，∴10n≡1(mod9)，∴a n×10n+ a n-1×10n-1+…+ a1×10+a0≡a n+ a n-1+…+ a1+a0。
说明要熟练记忆并应用常见的数据模的特征。
例2．A，B两人玩一种32张扑克牌的取牌游戏，A先取，以后轮流进行，每次只能从剩下的牌中取1张，或者质数张牌，谁取到最后一张牌获胜，问：谁有必胜策略？分析原有32张牌，如果A总取奇数张牌，B只要取1张牌，使A 面临偶数张牌就可以了，此时A总不能取完偶数张牌。
但2是质数，A可以取两张牌。
注意到32是4的倍数，A只能取奇数张牌或2张牌，B的应对方案稍作调整，可以有必胜的策略。
解B有必胜策略。
由于32≡0（mod 4），而A取的牌不能是4及其倍数，从而A取后，剩下的牌张数x≡3（mod 4），或x≡2（mod 4），或x≡1（mod 4），于是B可以通过取1，2或3张牌，使得剩下的牌的张数y≡0（mod 4），所以，B依次此策略，在A取后，剩下的牌张数不同余于0（mod 4），总是有牌，而B取后剩下的牌的张数y≡0（mod 4），从而B能取到最后一张牌。
例3 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和，能被11整除的数组共有多少组。
分析相邻若干数之和可通过，中来实现。
解记数列各对应项为并记依次为1、5、13、23、39、58、79、104、134、177它们被11除的余数依次为1、5、2、1、6、3、2、5、2、1。
由此可得由于是数列相邻项之和，且当时，则满足条件的数组有：3+1+3=7组。
说明在解题的适当时候取模的运算会使运算量减少，并使过程变得简洁。
情景再现1．能否把1，2，……，1980这1980个数分成四组，令每组数之和为，且满足。
2．两人做一种游戏：轮流报数，报出的数只能是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，把两人报出的数连加起来，如果得数是2003，最后报数的人就获胜．现在甲、乙两人已经依次报过3，5，7，5，6，乙再接着报下一个数，那么乙经过动脑筋，发现应该报某一号就有赢的把握．试问乙应该报哪一号？以后各次报数时乙应如何报数才能保证赢？3．（前南斯拉夫数学竞赛，1988年）有27个国家参加的一次国际会议，每个国家有两名代表．求证：不可能将54位代表安排在一张圆桌的周围就坐，使得任一国家的两位代表之间都夹有9个人．B类例题例4．共1998个小朋友围坐一圈，从某人开始逆时针方向报数，从1报到64，一直报下去，直到每人报过10次为止．⑴有没有报过5，又报过10的人？⑵有没有报过5，又报过11的人？分析报过5（10）的人的编号模64的同余特征是本题的突破口。
解把这些学生依次编为1——1998号．⑴设既报过5又报过10 的人原编为x号，则有x+1998k≡5 (mod 64)x+1998l≡10(mod 64)∴1998(l－k)≡5(mod 64)，即1998(l－k)=5+64n，这不可能．⑵既报5又报11的人原来编为x号．x+1998k≡5 (mod 64)x+1998l≡11(mod 64)∴1998(l－k)≡6(mod 64)，即14(l－k)=6+64n， 7(l－k)=3+32n，取n=1，得l－k=5，即第k圈报5的人，第k+5圈后报11，∵1998×5=64×156+6，这说明前5圈报5的人共157个，即共有157人既报5又报11．说明本题是同余在解不定方程（组）上的一个简单应用。
例5 （1992年友谊杯国际数学竞赛）求最大的正整数x，使得对任意y∈N，有x|（）。
分析x最大不超过的最小值18，（mod18）（mod2）, （mod9）。
解由条件，x |（7＋12－1），x |18，故x≤18。
下证：对任意y∈N，有18|（）。
事实上，首先是偶数，所以2|（）；其次，当y=3k（k∈N*）时，≡≡－1≡0（mod 9），当y=3k＋1（k∈N*）时，≡≡7＋3－1≡0（mod 9），当y=3k＋2时，≡≡49－4≡0（mod 9）。
故对任意y∈N*，有9|。
∵（2，9）=1 ∴18|所求的x为18说明本题中将模18分解为模2与模9来处理充分观察到模9的特征。
例6 试求出一切可使被3整除的自然数。
分析。
对n按6的同余类分类处理。
说明要体会模6的选取。
中对n按模3分类，对按模2分类可以分别确定结果，所以选择按模6分类。
情景再现4．设a为小于100的自然数，且a3+23能被24整除，这样的a有多少个？5．求除以13的余数。
6．有三堆棋子的个数分别为19，8，9．现进行如下操作：每次从三堆中的任意两堆中分别取出1个棋子，然后把这2个棋子都加到另一堆上去．试问：能否经过若干次这样的操作使得（1）三堆的棋子数目分别为2，12，22；（2）三堆棋子的数目均为12．C类例题例7（第20届IMO试题）数1978n与1978m的最末三位数相等，试求正整数m和n，使得n+m取最小值，这里分析数1978n与1978m的最末三位数相等等价于1978n-m≡1（mod1000），寻找最小的n-m及m。
解由已知1000=8×125，所以①②因，且（1978m，125）=1，则由②式知1978n-m≡1（mod125）③又直接验证知，1978的各次方幂的个位数字是以8、4、2、6循环出现的，所以只有n－m为4的倍数时，③式才能成立，因而可令n－m=4k.由于. n+m=（n－m）+2m=4k+2m，因而只需确定出k和m的最小值.先确定k的最小值：因为19784=（79×25+3）4≡34≡1（mod5），19784≡34≡6（mod25）.故可令19784=5t+1，而5不整除t，从而0≡1978n-m－1=19784k－1=（5k+1）k－1≡+，显然，使上式成立的k的最小值为25.再确定m的最小值：因1978≡2（mod8），则由①式知，④由于④式显然对m=1，2不成立，从而m的最小值为3.故合于题设条件的n+m的最小值为106.说明此例中我们用了这样一个结论：1978的各次方幂的个位数字是以8，4，2，6循环出现，即，当r=1，2，3，4时，这种现象在数学上称为“模同期现象”.一般地，我们有如下定义：整数列各项除以m（m≥2，m∈N*）后的余数组成数列.若是一个周期数列，则称是关于模m的周期数列，简称模m周期数列.满足（或（modm））的最小正整数T称为它的周期.例8 （第29届IMO预选题）设a是方程的最大正根，求证：17可以整除[a1788]与[a1988].其中[x]表示不超过x的最大整数.分析探求是本题的关键，而a的值无法准确计算得到。
所以本题通过韦达定理寻求了的递推形式。
证明根据如下符号表可知，若设三根依次为，则。
另一方面，由韦达定理知，为了估计[]、[]，先一般考察[a n]，为此定义：直接计算可知：又因当时，由此知，命题变为证明：能被17整除.现考察在模17的意义下的情况：可见，在模17意义下，是16为周期的模周期数列，即由于1788故命题得证.说明本题利用导数估计了根的分布，递推式的构造需要仔细体味。
情景再现7．设三角形的三边长分别是整数且已知其中而表示不超过的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.习题17A1．证明对于任何整数,能被7整除；2．试判断能被3整除吗？3．求14＋24＋34＋…＋20044的末位数。
4．试证：对一切正整数n，能被8整除。
B5．设是最初的几个质数的乘积，这里。
证明p-1和p+1都不是完全平方数。
6．设a，b，c，d是4个整数，证明：差b－a，c－a，d－a，c－b，d －b，d－c的积能被12整除。
7．正整数n满足：十进制表示下的末三位数为888，求满足条件的最小的n值。
8．在每张卡片上各写出11111到99999的五位数，然后把这些卡片按任意顺序排成一列，证明所得到的444445位数不可能是2的幂；C9．在1，2，3，…1989，…1994中最多可以取多少个数，使得所取的数中任意3个数之和能被18整除。
10．给出一个数198519841983…654321，它是由大到小依次写出自然数1985、1984、…、直到写出3、2、1后连接成一个数而成，现从其首位起，把首位数字乘以2加上第二位数字，把结果再乘以2后加上第三位数字，再把结果乘以2后加上第四位数字，…，这样一直算下去，直到个位数字为止，于是得到一个新的数，把新的数再按上述方法做一次，又得第二个数，…这样一直做下去，直到得到一个一位数为止，问得到的一位数是多少？11．设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证：a3b－ab3，b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除．12．连结正n边形的顶点，得到一个闭的n年折线形，证明：当n为偶数，则在连线中有两条平行线。
“情景再现”解答：1．2．解：3＋5＋7＋5＋6=26，2003≡1(mod 11)，26＋x≡1(mod 11) x=8，即只要报8．以后每次甲报k时，乙就报11－k即可．3．将54个座位按逆时针由1开始编号：1，2，3，……如果满足要求的排法存在，则不妨设1和11是同一国的代表，从而11和21不是同一国的代表，故21和31是同一国家代表．进一步可以得出：和是同一国家的代表（若和大于54，则取它们被54除的余数为号码的位置，比如61即等同于7）．特别地，取时，261和271是同一国家的代表，然而，．即1和45是同一国家的代表，与1和11是同一国家的代表矛盾．命题得证．4．a3+23=a3－1+24, ∴a3－1≡0 (mod 24), ∴3|a3－1，8|a3－1．由a≡0,1,2 (mod 3)得a3≡0,1,2 (mod 3)；若a为偶数，则a3≡0 (mod 8),若a为奇数，则a2≡1,故a3≡a (mod8)．从而a≡1 (mod 24); 于是a=1，25，49，73，97，共有5个数．5．1001≡0（mod13）108≡1000≡－1（mod13）106≡1（mod13）10≡4（mod13）102≡16≡10（mod6）103≡102≡10（mod6）10n≡10n-1≡…≡10≡4（mod6）10n＝6k＋4∴≡106k+4≡(106)k×104≡1k×104≡104≡3（mod13）6．（1）．（2）不可能完成．由于每次操作后，每堆棋子数目或者减1，或者加2，不妨写为．若被3除的余数均不相等，则操作后得到的三个数，，被3除的余数的变化为，，．也就是说，每次操作后不改变三个数被3除的余数互不相等这样一个事实．由于一开始给的三个数被3除的余数各不相等，而所要求达到的结果被3除的余数都为0，故不能完成．7．由题设可知,于是由于(3,2)=(3,5)=1,∴由①可知.现在设是满足的最小正整数,则对于任意满足的正整数,我们有,即u整除v.事实上,若不整除, 则由带余除法可知,存在非负整数及, 使得,其中。