2016春九年级数学下册第3章圆3.8圆内接正多边形
九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形课件 北师大下册数学课件
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12/10/2021
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当圆周角的顶点(dǐngdiǎn)在优A B弧 18°.
上时，AB所对的圆周角为
当圆周角的顶点在劣弧 A B上时，AB所对的圆周角为 180°-18°=162°，
∴综上所述答案为：18°或162°.
答案：18°或162°
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【一题多变】
已已知知圆圆内内接接正正三三角角形形(zhè(nzɡhèsnāɡn sjāinǎojixǎíonɡx)í的n3ɡ)面的积面为积为，则，该则圆的该内圆接的正内 边边形形的的边边心心距距是是 (( B ))
径，外接圆半径和高的比是(
)D
A.1∶2∶ B.2∶3∶4 3
C.1∶ ∶2 D.1∶2∶3
3
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内容(nèiróng)总结
8 圆内接正多边形。正多边形：_______________，_______________的多边。这个圆叫做这
No 个正多边形的___________.这个多边形叫。2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角。
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这个(zhè ge)圆叫做这个(zhè ge)正多边外形接的圆___________.这个多边形
做圆内接正多边形.
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【探究二】应用(yìngyòng)等分圆周的方法作正多边形： 1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧____相__等__(_xi，āngděng) 把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内 接正n边形.
北师大版九年级数学下册第三章8圆内接正多边形
n
其中正确的命题有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案 A ①正多边形都有一个内切圆和一个外接圆,这两个圆是同心圆, 圆心是正多边形的中心,故①正确;②各边相等的圆外切多边形的各内角不 一定相等,故不一定是正多边形,如菱形,故②错误;③圆内接矩形的各内角 相等,但不是正多边形,故③错误;④边数是偶数的正多边形既是轴对称图 形又是中心对称图形,而边数是奇数的正多边形只是轴对称图形,不是中心
2.如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20 cm2,则正八边
形的面积为
cm2.
答案 40 解析 如图,连接AD、HE,分别交BG、CF于点O、P、M、N, 则△ABO,△CDP,△EFN,△HGM均为全等的等腰直角三角形,四边形 BCPO、四边形GFNM为全等的矩形. 设正八边形的边长为a cm,
初中数学（北师大版）
九年级 下册
第三章 圆
知识点一 圆内接正多边形 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正
多边形的外接圆. 把一个圆n(n≥3)等分,依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正n边 形. (1)相关定义:
名称 中心
半径 中心角 边心距
概念
图形
ห้องสมุดไป่ตู้
一个正多边形的外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心
1.正六边形的边心距与边长之比为 ( ) A. 3 ∶3 B. 3 ∶2 C.1∶2 D. 2 ∶2
答案 B 如图,设正六边形ABCDEF的边长为2a,O为正六边形的中心,连 接OA、OB,作OM⊥AB于M, ∴△OAB是等边三角形, ∴OA=OB=AB=2a,AM=BM=a. 在Rt△OAM中,由勾股定理可得OM= 3 a, 则正六边形的边心距与边长之比为OM∶AB= 3 a∶2a= 3 ∶2,故选B.
圆内接正多边形课件初中数学北师版九年级下册
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
完成下面的表格：
正多边 形边数
3 4 6
n
内角
60 ° 90 ° 120 °
(n 2)180 n
中心角
外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
120 ° 90 ° 60 °
360 n
正多边形的外 角=中心角
A
F
中心
B 中心角 O 半径R E
∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
Bห้องสมุดไป่ตู้ A
P
CG
F
∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6. ∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
②用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，如图：
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
(2)尺规作图：用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦 ，连结AB、BC、CA即可，如图：
(3)计算与尺规作图结合法：由圆内接正三角形的边长与圆的半径的关 系可得，正三角形的边长为 2 3 cm，R=2cm，用圆规在⊙O上截取长 度为 2 3 cm的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．
DKE
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
正多边形 和圆
正多边形的 有关概念
正多边形和圆的 有关计算
3.8 圆内接正多边形(课件)九年级数学下册(北师大版)
利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法：把一个圆n等分(n≥3)，
依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形．
这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.
拓展：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的
多边形是这个圆的外切正多边形．
二、自主合作，探究新知
以正五边形为例，了解圆内接正多边形的相关概念．
；
°
2.正n边形的每个外角都相等，都等于
；
°
3.正n边形的每个内角都相等，都等于180°−
．
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则
∠ADE的度数是
A．60°
C． 36°
A
（C ）
B．45°
B
E
O
D． 30°
C
·
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC；
E
D
(2)分别以F，C为圆心，以R为半径作弧，与
⊙O交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，
.O
F
C
F是⊙O的六等分点；
A
(3)顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得
到正六边形ABCDEF.
B
三、即学即练，应用知识
1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则
D
解：如图，作OM⊥AB于点M，连接OA，
OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．
由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，
∴ ∠AOM＝36°．
∵ AB＝ ×26＝5.2(m)，∴ AM＝2.6(m)．
九年级数学下册 第3章 圆 3.8 圆内接正多边形教案
《圆内接正多边形》◆模式介绍“传递—接受”模式是指在教学过程中教师主要通过口授、板书、演示，学生则主要通过耳听、眼看、手记来完成知识与技能的传授和学习,从而达到教学目标要求的一种教学模式．该模式以传授系统知识、培养基本技能为目标．其着眼点在于充分挖掘人的记忆力、推理能力与间接经验在掌握知识方面的作用，使学生比较快速有效地掌握更多的信息量．该模式强调教师的指导作用，认为知识是教师到学生的一种单向传递的作用，非常注重教师的权威性．“传递—接受”教学通常包括以下五个教学环节：复习旧知-—激发动机—-讲授新知——巩固运用-—检查评价◆设计说明首先通过问题1回顾正三角形和正方形的边、角性质，达到引入正多边形的性质的目的；问题2回顾正多边形的定义和性质，为接下来学习“正多边形和圆”准备条件；问题3由学生的生活实际引出圆内接正多边形、正多边形的外接圆、正多边形的半径、正多边形的中心角和正多边形的半径等概念；问题4以研究正六边形的中心角、边长和边心距的计算问题为例，举一反三，正n边形的有关计算均可以转化为解直角三角形问题来解决;问题5通过探究圆的内接正六边形和圆的内接正方形的不同作图方法，培养学生解决问题的策略．◆教材分析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第8节《圆内接正多边形》的教学内容，《圆内接正多边形》是在学生学习了三角形、四边形、多边形以及圆的相关知识之后继续学习的内容，是这些知识的综合运用和提高．教材首先给出了圆内接正多边形、正多边形的外接圆等相关概念，然后以正六边形为例，探求了如何求正多边形的中心角、边长及边心距等问题，进一步介绍了利用圆规和直尺画特殊的正多边形的方法．本节内容利用正多边形和圆的位置关系，通过正多边形和圆的相关计算，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想．正多边形是一种特殊的多边形，在生产和生活中有着广泛的应用，它具有一些类似于圆的性质；研究正多边形和圆的关系，掌握有关正多边形的计算是进一步学习数学及其它学科的重要基础．◆教学目标【知识与能力目标】1、了解圆的内接正多边形、正多边形的外接圆、正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念;2、会用尺规作圆的内接正方形和正六边形;3、运用正多边形和圆的知识解决有关计算问题．【过程与方法】通过正多边形和圆的关系教学，培养学生从具体到抽象，从特殊到一般，从部分到整体的认识事物规律的能力，以及数形结合的方法解决问题的能力．【情感态度与价值观】通过等分圆周的方法画正多边形，让学生感受正多边形与圆的和谐美，从而更加热爱数学,热爱生活．◆教学重难点【教学重点】了解正多边形的有关概念，研究两种圆内接正方形和正六边形的尺规作图方法．【教学难点】能进行正多边形和圆的有关计算．◆课前准备多媒体课件、教具等．◆教学过程【复习旧知】问题1 ⑴等边三角形的边、角各有什么性质？⑵正方形的边、角各有什么性质？⑶等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点?各边相等、各角相等．问题2 ⑴我们已知学过正多边形,符合什么条件的多边形叫正多边形?⑵你能举出几个正多边形的实例吗？正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形吗?各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．设计意图:问题1回顾正三角形和正方形的边、角性质，达到引入正多边形的性质的目的;问题2回顾正多边形的定义和性质，为接下来学习“正多边形和圆”准备条件．【激发动机】问题3 (1)正多边形在日常生活中无处不在．你能举出一些这样的例子吗？日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体,利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案．（2）如果正多边形的顶点都在同一圆上，这个正多边形称之为圆的什么多边形？这个圆又称之为正多边形的什么圆?归纳：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆．如图,五边形ABCDE是⊙O，的内接正五边防部队形，圆心O 叫做这个正五边形的中心;OA叫做这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC垂足为M,OM是这个正五边形的边心距．设计意图:由学生的生活实际引出圆内接正多边形、正多边形的外接圆、正多边形的半径、正多边形的中心角和正多边形的半径等概念．【讲授新知】问题4 如图,在圆的内接正六边形ABCDEF 中，半径OC =4，OG ⊥BC ,垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．解：连接OD ．∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴360606COD ∠==︒ ．∴△COD 是等边三角形．∴ CD =OC =4．在Rt △COG 中，,114222CG BC ==⨯=， ∴22224223OG OC CG =-=-=∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°,边长为4,边心距为23． 设计意图：以研究正六边形的中心角、边长和边心距的计算问题为例，举一反三，正n 边形的有关计算均可以转化为解直角三角形问题来解决．问题5 你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗？分析:由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径R．所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弧,就可以六等份量,进而作出圆内接正六边形．为了减少累积误差，通过常如下图那样，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧,与⊙O相交于点E,A和D，B，则A,B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE,EF，FA，便得到正六边形ABCDEF．追问1：除了上述方法作圆的内接正六边形外，你还有其他方法吗?等分圆周法：由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．例如,画一个边长为1。
九年级数学下册第3章圆3.8圆内接正多边形导学案新版北师大版
3.8圆内接正多边形预习案一、预习目标及范围：1.了解正多边形和圆的有关概念.2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．预习范围：P99-100 二、预习要点1.正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做 ． 如果一个正多边形有n(n ≥3)条边，就叫 边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．2.圆内接正多边形的概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做 。
这个圆叫做该正多边形的 .3.把一个圆n 等分（3≥n ），依次连接各分点，我们就可以作出一个 .4.如图，五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的 ；OA 是这个正五边形的 ；AOB ∠是这个正五边形的 ；BC OM ⊥，垂足为M ，OM 是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义.三、预习检测分别求出半径为R 的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. 探究案 一、合作探究 活动内容1： 探究1：正多边形正多边形：___________，_____________的多边形叫做正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.【想一想】菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？求证：正五边形的对角线相等怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？【定理】把圆分成n（n≥3）等份：依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？【类比联想】正三角形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？正方形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？那么，正n边形呢？探究2：正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.若n为偶数，则其为中心对称图形.活动2：探究归纳【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:外接圆的半径正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的圆心角.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。
初中数学北师大版九年级下册《第三章 圆 8 圆内接正多边形》教材教案
3.8圆内接正多边形教案课题：3.8圆内接正多边形课型：新授课年级：九年级教学目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系.学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形.教法与学学指导：本节课主要采用“学研一体的教学模式”.坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用讲练结合法、引导学生自主学习、合作学习和探究学习．鼓励学生多思、多说、多练．课前准备：教师：多媒体课件、三角板.学生：圆规，铅笔、直尺、练习本.教学过程：一、创设情境，导入新课观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？【处理方式】学生根据教师提出的问题进行思考，回忆学过的有关知识，进而回答教师提出的问题．【设计意图】培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．二、探究新知，尝试发现活动一：观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念概念：叫做正多边形.（注：各边相等与各角相等必须同时成立）提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．活动二：分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢?发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢?师生共同归纳：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.把圆分成n(n≥3)等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.活动三：探究等分圆周问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？教师在学生思考、交流的基础上板书证明正五边形的过程：如图，∵AB BC CD DE EA====∴AB BC CD DE EA====3BAD CAE AB==∴C D∠=∠同理可证：A B C D E∠=∠=∠=∠=∠∴五边形ABCDE是正五边形．∵A、B、C、D、E在⊙O上，∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行证明，方法不限.说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形；(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴具有旋转不变性．正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转360n︒，都能和原来的图形重合．结合图4，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．A【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨.【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形的性质、相关概念.活动四：例题探究例．如图：在圆内接正六边形ABCDEF中，半径是OA=4，OM⊥AB垂于M，求这个正六边形的中心角，边长和边心距．分析：要求正六边形的边长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．解：连接OA，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于3606︒=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的边长为4．在Rt△OAM中，OA=4，AM=12AB=2利用勾股定理，可得边心距OM=22AMOA-=2224-=32【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨.【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形德性质、解决问题，进一步体会图形的特点及在生活中的应用.活动五：做一做利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．分析：要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分．在学生作图的基础上，教师组织学生，分析作图．师生归纳出等分圆周的方法：1.用量角器等分圆：依据：同圆或等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．2.用尺规等分圆.思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？【处理方式】提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述，教师巡回引导，并集思广益.从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力.【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.活动六：方案设计某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.为了美观，种植要求如下：（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃.（注意：面积相等必须由数学知识作保证）（2）花卉总面积等于广场面积（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的学生给予表扬，对有问题的学生给予指导．教师要关注学生对问题的理解，对等分圆周方法的掌握程度．教师提出问题后，让学生认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．【处理方式】学生以小组为单位,进行组内交流、讨论、设计自己的作品.教师指导小组讨论，适时进行点拨.【设计意图】解决操作层面问题．可提议用不同方法，以体现学生的创造性．此阶段通过“观察-联想-质疑-归纳-表达”展现知识的形成过程和学生的思考过程，发展学生的智力品质，让学生在获取知识的同时领会一定的数学思想和思维方法，实现学法指导的目的.四、课堂小结：谈一谈,通过本节课的学习,你有哪些收获?【处理方式】学生小组内畅所欲言，互讲本节课的内容，总结本节课所学习的知识和应注意的问题，教师对小组总结情况进行评价.【设计意图】在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.五、达标检测，反馈提高1．如图1所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是（ ）．A ．60°B ．45°C ．30°D ．22．5°2、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）A B ,3:2:1C ,1:2:3D3．圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（ ）． A ．36° B ．60° C ．72° D ．108°4．若半径为5cm 的一段弧长等于半径为2cm 的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（ ） A ．18° B ．36° C ．72° D ．144°(1) (2)5．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．6．有一个边长为3cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径为 .7．在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于D ，如图2所示，若AC=6，则AD 的长为________．8．如图所示，已知⊙O 的周长等于6 cm ，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活掌握圆内接正多边形的相关知识，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．目的是加强学生对圆内接正多边形的 理解，同时也锻炼学生的发散思维．六.分层作业，自由拓展（1）必做题：课本99页 习题3.10 第1题、2题、3题.. （2）选做题：试一试如图⑴⑵⑶⑷，M ，N 分别为⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD ，正五边形ABCDE ，…正n 边形ABCDE …的边 AB ，BC 上的点，且BM=CN ，连结OM ，ON ， ⑴ 求图⑴中∠MON 的度数 ⑵ 图⑵中∠MON 的度数是 .⑶ 请探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系为 .⑴ ⑵ ⑶ ⑷【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．板书设计：。
北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教学设计一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版九年级数学下册第3.8节的内容，本节主要让学生了解圆内接正多边形的概念及其性质，学会用数学方法证明圆内接正多边形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
教材通过引导学生在探究圆内接正多边形的过程中，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了多边形的性质，对圆的相关知识也有所了解。
但学生对圆内接正多边形的概念和性质认识尚浅，需要通过实例和证明来加深理解。
此外，学生可能对证明圆内接正多边形性质的方法感到困惑，需要教师引导和启发。
三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的概念及其性质。
2.学会用数学方法证明圆内接正多边形的性质。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
4.能够运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.圆内接正多边形的概念及其性质。
2.如何证明圆内接正多边形的性质。
3.圆内接正多边形性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、启发引导学生思考和探究圆内接正多边形的性质。
2.示例法：教师通过展示实例，让学生理解圆内接正多边形的性质。
3.证明法：教师引导学生运用已学知识证明圆内接正多边形的性质。
4.练习法：学生通过做练习题，巩固对圆内接正多边形性质的理解。
六. 教学准备1.教学PPT：包含圆内接正多边形的概念、性质、证明方法及实际应用。
2.练习题：针对圆内接正多边形性质的习题，包括选择题、填空题和解答题。
3.教学黑板：用于板书关键点和证明过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾多边形的性质，为新课的学习做好铺垫。
例如：“我们已经学习了多边形的哪些性质？这些性质如何应用到实际问题中？”2.呈现（10分钟）教师利用PPT呈现圆内接正多边形的概念和性质，让学生初步了解。
同时，通过示例法，展示圆内接正多边形的性质在实际问题中的应用。
北师大版九年级下册数学3.8圆内接正多边形(教案)
一、教学内容
北师大版九年级下册数学第3章“圆”中的3.8节“圆内接正多边形”，主要包括以下内容：
1.圆内接正多边形的定义及特性；
2.圆内接正多边形的边数与半径、中心角的关系；
3.圆内接正多边形的面积计算；
4.圆内接正多边形的周长与圆周长的关系；
5.实际问题中的应用：如何利用圆内接正多边形估算圆的面积。
二、核心素养目标
1.培养学生运用几何图形特征解决问题的能力，增强空间观念和几何直观；
2.提升学生逻辑推理和数学抽象素养，理解圆内接正多边形的性质与圆的关系；
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，如估算圆的面积，增强数学应用意识；
4.培养学生团队合作精神，通过讨论、探究圆内接正多边形的性质，提高交流表达及批判性思维能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆内接正Байду номын сангаас边形的基本概念。圆内接正多边形是指所有顶点都在圆上的正多边形。它在几何学中具有重要地位，可以帮助我们解决圆的分割和面积计算等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了圆内接正多边形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆内接正多边形的基本概念、边数与半径、中心角的关系，以及面积计算方法。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆内接正多边形应用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形课件
∴AF＝FE＝BA，∠AFE＝∠BAF.
在△AFE与△BAF中，∵AF＝BA，∠AFE＝∠BAF，FE＝AF，
∴△AFE≌△BAF，∴AE＝BF.
2021/12/5
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图K－28－7
8 圆内接正多边形(zhèngduōbiānxíng)
(2)与△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM，△CBN. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝AF＝FE，∠BAF＝∠AFE＝120°， ∴∠ABM＝∠FAE＝30°，∴∠BAM＝90°. 同理可得∠DEN＝30°，∠EDN＝90°， ∴∠ABM＝∠DEN，∠BAM＝∠EDN. 在△ABM和△DEN中，∵∠BAM＝∠EDN，AB＝DE，∠ABM＝∠DEN，
∵BD，CE 分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB＝∠BAC＝36°，
∴A︵E＝E︵B＝B︵C＝C︵D＝D︵A，即点 A，E，B，C，D 把⊙O 五等分，
∴五边形 AEBCD 是正五边形． 2021/12/5
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图K－28－6
8 圆内接正多边形(zhèngduōbiānxíng)
边形的边长为 4 3 cm.
2021/12/5
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圆内接正多边形 8
(zhèngduōbiānxíng)
5．2017·慈溪市期末 如图K－28－1，A，B，C三点在⊙O上，AB是⊙O内接正
六边形的一边(yībiān)，BC是⊙O内接正十边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的
一边，则n等于( )
8．正六边形的面积是 18 3，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环 面积为___3_π____．
[解析] 如图所示，设正六边形的边长为 a， ∵正六边形的面积是 18 3，∴△OAB 的面积是 3 3， 即12AB·OA·sin60°＝3 3，12a2· 23＝3 3， ∴a＝2 3，∴OD＝OA·sin60°＝2 3× 23＝3， ∴S 圆环＝S 外接圆－S 内切圆＝π×(2 3)2－π×32＝12π－9π＝3π.
九年级数学下册 第3章 圆 3.8 圆内接正多边形
·O
D
C
预习(yùxí)反馈
连接(liánjiē)OB，OC 作OE⊥BC，垂足为E，∠OEB=90°，
∠OBE=∠BOE=45°，
Rt△OBE为等腰直角三角形，
A
D
BE 2 OE 2 OB2 , ·O
2OE 2 OB 2 ,
OE 2 OB2 . 2
B
E
C
边心距OE 2 OB 2 R,
这两个圆有什么位置关系？
正方形
有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？
这两个圆有什么位置(wèi zhi)关系？
那么(nà me)，正n边形呢？
【 】 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且
这两个圆是同心圆.
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课堂探究
正多边形的中心: 一个(yī ɡè)正多边形的外接圆的圆心.
a
2
） ，
2
面积S 1 L • 边心距（r） 1 na • 边心距（r）
2
2
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D
C
a
B
课堂(kètáng) 探究
正多边形是轴对称图形(túxíng)，正n边形有n条对称轴.
若n为偶数，则其为中心对称图形.
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课堂探究
2021/12/11
第十五页，共二十四页。
典例精析
【例题(lìtí)】
【例1】把圆分成5等份，求证： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的五边形是这个圆的内接正五边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五 边形.
九年级数学下册第三章圆3.8圆内接正多边形教学初中九年级下册数学 (2)
(3)半径(bànjìng):正多边形外的接__圆__的__半__径__(b_àn_jì_ng叫) 做正多边形的半 径.
(4)边心距:中心到正多边形的一边的_____距叫离做(正jùlí多) 边 形的边心距.
(5)中心角:正多边形的每一边所对的_______外的接圆圆心角
叫做正多边形的中心角.
知识点一 圆内接正多边形的概念(gàiniàn)及计算
【示范题1】(2017·滨州中考)若正方形的外接圆半径 为2,则其内切圆半径为 ( )
A . 2 B .22 C . 2 D .1 2
第七页，共十六页。
【思路点拨】正确画出正方形的外接圆和内切圆,可知
内切圆半径是外接圆半径的 倍. 2
【自主解答(jiědá)】选A.如图,由“正2 方形的外接
8
圆内接正多边形(zhèngduōbiānxíng)
第一页，共十六页。
【基础梳理】
1.圆内接正多边形的相关概念
(1)圆内接正多边形:顶点都在____同__一__(t_ón的gyī)正圆多上边形叫 做圆内接正多边形.这个(zhè ge)圆叫做该正多边形的_外__接__圆__. (2)中心:正多边形的__外__接__圆__的__圆__心_叫 (yuá做nxīn正) 多边形的中 心.
Image
12/11/2021
第十六页，共十六页。
第三页，共十六页。
2.圆内接正多边形(zhèngduōbiānxíng)的计算
360
(1)正n边形的中心角为______n.
(2)正n边形的每一个内角=____18 _0 __(_n_－ _2 _)___1_8_0_－ __3.60
n
n
(3)正n边形的每一个外角=______3 .6 0
九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形教学课件下册数学课件
问题6 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
12/10/2021
S 1 nar 1lr. 22
其中l为正n边形的周长.
第十三页，共二十三页。
典例精析
例1：如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度
数(dùshu)是
（）
C
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
A
B
E
O·
当堂(dānɡ tánɡ)练习
1. 填表
正多边 形边数
3 4 6
半径 边长
2
23
2
2
22
边心距
1 1
3
周长
63
8
12
面积
33
4
63
2. 若正多边形的边心距与半径(bànjìng)的比为1:2，则这
个多边形的边数是
3.
3.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的 中心角为________度72．
O
中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
1.连半径(bànjìng)，得中心角；
2.作边心距，构造(gòuzào)直角三角形.
12/10/2021
第十七页，共二十三页。
针对训练
1.如图，正八边形ABCDEFGH的半径(bànjìng)为2，它的面积为
____8__2．
解：连接(liánjiē)AO，BO，CO，AC，
22
F
E
利用勾股定理,可得边心距 r 4222 2 3.
A
O
D
4m
r
B MC
亭子地基(dìjī)的周长l=6×4=24(m)
亭子地基(dìjī)的面 S 积1lr1242341.6(m 2).
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＝ OE ， ∴∠ OBE ＝ ∠ OEB ＝ 45° ， ∴∠ BOE ＝ 90° ， ∴∠ EOF
＝ 60°＋ 45°－ 90°＝ 15° ， 即 EF 为 ⊙ O 的内接正二十四边形的 一边
16．如图，半径为R的圆内，六边形ABCDEF是正六边形，四边 形EFGH是正方形． (1)求正六边形与正方形的面积比； (2)连接OF，OG，求∠OGF.
一同学通过测量 ， 猜测 EF 为⊙ O 的内接正二十四边形的一边 ， 若
你认为他的猜测正确 ， 请你证明；若你认为他的猜测不正确，请 说明理由．
解：猜测正确，理由：∵AB＝AO＝AC，∴△AOB是等边三角 形 ， ∴ ∠ AOB ＝ ∠ OBA ＝ ∠ BAO ＝ 60° ， ∵ l 是 ⊙ O 切 线 ， ∴ OA⊥AC ， ∴∠ BAD ＝ 30°＝ ∠ ABC ＋ ∠ ACB ， ∵ AB ＝ AC ， ∴∠ABC＝∠ACB＝15°，∴∠OBE＝60°－15°＝45°，∵OB
45 度． AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝____
6．如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P， 则∠APB等于(
C )
A．36° B．60° C．72° D．108°
7．已知正多边形的一个外角等于 90°，则它的边心距、边长、 半径之比为(
B
)
A. 3∶6∶2 3 B．1∶2∶ 2 C．2∶2∶ 3 D．1∶1∶ 3
2．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形
一定是( C )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
3．如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α＝ 72° ______． 4．(2015·眉山)已知⊙O的内接正六边形周长为12 cm，则这个圆的
半径是____cm 2
5 ． 如图 ， 点 M ， N 分别是正八边形相邻的边 AB ， BC 上的点 ， 且
解： (1)∵ 五边形 ABCDE 为正五边形 ， ∴∠ AED ＝ 108° ， AE ＝ DE ， ∴∠EDA＝∠EAD＝36°，同理：∠DCE＝∠DEC＝36°，∵∠AEF＝
108°－ 36°＝ 72° ，∠ AFE ＝ 180°－72°－36°＝72°，∴∠AEF＝
∠AFE，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形 (2)同理可证，△CDF为等腰三角形，∴AF＝AE＝CF＝CD＝AB＝BC，
8．如图，在⊙O 中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是 (
D
)
A．弦 AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦 AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 ︵ ＝BC ︵ C.AC D．∠BAC＝30°
9．如图，正五边形ABCDE中，对角线AD，CE相交于点F，求证： (1)△AEF是等腰三角形； (2)四边形ABCF是菱形．
12．(2015· 金华)如图，正方形 ABCD 和正△AEF 都内接于⊙O， EF EF 与 BC，CD 分别相交于点 G，H，则GH的值是( 6 A. 2 B. 2 C. 3 D．2
C )
13．如图，木工师傅从一块边长为60 cm的正三角 形木板上锯出一块正六边形木板，那么这块正六边 形木板的边长为_____cm. 20
∴四边形ABCF是菱形
10．圆内接正六边形的边长、半径、边心距之比为( A ) A．2∶2∶ 3 C．1∶2∶3 B．1∶1∶ 3 D．1∶2∶ 3
11．(2015· 随州)如图，⊙O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，这个 正五边形的边长为 a，半径 R，边心距为 r，则下列关系式错误的是 ( A ) A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin36° C．a＝2rtan36° D．r＝Rcos36°
第 3章 圆
3.8 圆内接正多边形
1．顶点都在同一圆上的正多边形叫做________________ 圆内接正多边形 ，这个
外接圆 ． 圆叫做该正多边形的__________ 2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的______ 中心 ，
半径 ， 正多边形每一边所对的 外接圆的半径叫做正多边形的 ________
90°， (2)图②中∠MON的度数是_____
72°； 图③中∠MON的度数是_____
(3)试探究∠MON的度数与正n边形 边数n的关系．(直接写出答案)
解：(1)120°
360° (3)∠MON＝ n
14 ． 圆 内 接 正 十 边 形 的 一 条 边 所 对 的 圆 周 角 的 度 数 为 18°或162° ． ______________ 15 ． 如图 ， 已知 l 是⊙ O 的切线 ， 切点为 A ， 点 B 在⊙ O 上 ， BC 交 ⊙O于点E，交直线l于点C，OC交⊙O于点F，且AB＝AO＝AC，
3 3 2 解：(1)S 正六边形∶S 正方形＝ R ∶R2＝3 3∶2 2
(2)∠OGF＝15°
17．如图，①，②，③……，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，
正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形ABCDEF…的边AB，BC上
的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数；
中心角 ，中心到正多边形的一边的距离 圆心角叫做正多边形的_________ 叫做正多边形的_________ 边心距 ．
知识点：正多边形的有关概念 1．下列说法中，不正确的是(
D )
A．正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B．各边相等且各角相等的多Байду номын сангаас形是正多边形
C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆 D．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形