沪教版(上海)数学高二下册-1 两条直线的夹角课件
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沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件(共13张PPT)
？
努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能 无尽黑暗中找到光明。我受过的伤都是我的勋章。 而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世 的恶意，然后开启爱他吗谁谁的快意人生。第二名 着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累 你正在走上坡路。如果每个人都理解你，那你得普 么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 现以前的自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永 大于本事。你那能叫活着么？你那“你如今的气质 着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是 问题，和未成年没关系。总会有人是第一，那为什 是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果 取得了成功，一定是昨天我拼上了全部努力。阳光 孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度 世界那么大，我要赚钱带父母去看看人情世故要看
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能 无尽黑暗中找到光明。我受过的伤都是我的勋章。 而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世 的恶意，然后开启爱他吗谁谁的快意人生。第二名 着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累 你正在走上坡路。如果每个人都理解你，那你得普 么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 现以前的自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永 大于本事。你那能叫活着么？你那“你如今的气质 着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是 问题，和未成年没关系。总会有人是第一，那为什 是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果 取得了成功，一定是昨天我拼上了全部努力。阳光 孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度 世界那么大，我要赚钱带父母去看看人情世故要看
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
两直线的夹角运用 沪教版PPT教学课件
a 2 b 2 1 2 2 2
2
y D
解得a=3b或3a=b (舍）
A
∴lAB:3x+y+12=0， ∴B(4,0).
∵BCAB, ∴lBC: x3y+4=0
B
又点C在AC上，∴C(1,1).
又BD的中点即AC的中点，∴D(2,4).
2021/01/21
C Ox
8
四、课堂小结
1. 在解等腰三角形的有关问题时，常用到两直线 的夹角公式。
2
两条直线方程分别为
l1:a1xb1yc10 （ 1） (a1,b1不 同 时 0) 为
l2:a2xb2yc20 （2） (a2,b2不 同 时 0) 为
l1与l2相
交
，Da1
a2
b b1 2a1b2a2b10
l1与l2平行，D a 1 b 2 a 2 b 1 0 ， D x 0 或 D y 0
两直线夹角的应用
2021/01/21
1
一、复习引入
已知直线l1：3x4y+6=0与直线l2：2x+y+2=0 （1）判断位置关系；
D3
4 0,
21
两直线相交。
（2）求上述两直线的夹角。
co s |32( 4)1| 25.
32( 4)2 2212 25
两直线的夹 arc角c2o为 s5. 25
2021/01/21
l1与l2重合，DD xD y0
两直满 线 c足 的 o s 夹 |a 1 a 2 b 角 1 b 2| .
a 1 2 b 1 2 a 2 2 b 2 2
2021/01/21
3
二、夹角公式在三角形中的应用
例1：已知△ABC的三个顶点为A(2,1)、B(6,2)、C(5,5)， 求△ABC中A的大小。
沪教版(上海)数学高二下册-11.3 两直线的夹角 课件
若0 时: 若 为钝角时:
2 于是得:cos cos
d1 y
yd1
d2
d2
l2
o
l1
d
x
2
l2
x
o
l1
1)
2)
向量推导
解:根据l1与l2的方程,取 d1 (b1, a1), d2 (b2, a2 )
为 l1与 l2的方向向量.
由向量的夹角公式得: cos d1 d2
两直线的夹角
复习巩固
平面内两直线的位置关系有哪些？
相交、平行、重合
两相交直线可以用什么量来刻画它们的 相交程度？
新知学习
一、两直线夹角定义及范围
βα
图1
图2
1.两条相交直线的夹角: 两条相交直线所成的锐角或直角.
2.如果两条直线平行或重合,我们
规定它们的夹角为 0
3.平面上两条直线夹角的范围:
0,
2
y
x
o
y
x o
二、两直线夹角公式的探究
已知两直线方程求夹角 已知两条直线：l1 : a1x b1y c1
l2 : a2x b2y c2
求两直线夹角 的大小.
0(a1,b1不同时为0) 0(a2,b2不同时为0)
探究1：
两直线 l1、l2的夹角 与方向向量 d1、d2 的夹角
之间有何关系？
解：（1）根据l1与l2的方程及两直线夹角公式可得:
cos 3 2 1 (1) 2
(1)2 32 12 22 2
因为 0，,所2 以
即直线 l1 和
4
l2 的夹角为
4
练习：求下列各组直线的夹角：
(1)l1 : 3x y 12 0,l2 : x 0; (2)l1 : y 3x 12,l2 : x y 0;
沪教版(上海)数学高二下册-11.3两条直线的夹角精品课件_2
谢谢！
两条直线的夹角的概念
规定两条相交直线所成的锐角或直角为两 条直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，规定它们的夹 角为0.
两条直线的夹角的取值范围是
0,
2
注:两条直线的夹角与倾斜角、两个 向量所成角范围的比较
两条直线的夹角公式的推导
设 l1 : a1x b1y c1 0(a1,b1不全为0） l2 : a2x b2 y c2 0(a2,b2不全为0）
注意：在使用两条直线的夹角的余弦公式 时，应先将直线方程化成一般式。
例2：已知直线 l 经过 P(2, 3) ,
求且该和直直线线的l0方: x程
3y 2 0 的夹角为
3
,
思考：光线沿直线l1 : 2x y 2 0, 照射到 直线 l2 : x 2y 2 0 上后反射 ,求反射线
注意：在使用两条直线的夹角的余弦公式时，应先将直线方程化成一般式。
是两条直线垂直的充分非必要条件
例2：已知直线 经过
,
注意：在使用两条直线的夹角的余弦公式时，应先将直线方程化成一般式。
探索1：两条直线的夹角与倾斜角有怎样的关系？
两条直线的夹角的概念
（3）直线
和
的夹角是————
思考：当 k1k2 1时，这两条直线的夹 角是多少呢？
k1k2 1
是两条直线垂直的充分非必要条件
例1：
（1）直线 l1 :3x y 2 0
的夹角是————
和
l2 : 2x y 3 0
（2）直线 l1 : 3x 4y 12 0和 l2 : x 3 的夹角是————
（3）直线
l1 :
x 2
y
2 3
的夹角是————
和 l2 : y x 4 0
高中数学沪教版(上海)高二下册 1两条直线的位置关系精品课件
册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
布置作业： 阅读课本中本节内容，进行复习和反思 完成教材P70/1~4
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
Dx D Dy D
此时直线l1
,l2相交于一点，交点坐标是（
Dx D
，Dy ） D
(2)D 0，即a1b2＝a2b1时 :
1 Dx , Dy中至少有一个不为0，方程组（）无解
此时直线l1 ,l2没有公共点，即两直线平行
2 Dx ＝Dy＝0，方程组（）有无穷多解
此时直线l1 ,l2重合
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
点评：注意先化成直线的一般式方程
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
例2.已知两条直线
l1 : (t 1)x 2 y t 0,l2 : x ty t 4 0
当t为何值时，直线 l1 与 l2 （1）平行？（2）垂直？
解：对应方程组
kk21xx
y y
3k1 3k2
1 1
0 0
考虑方程组的系数行列式 D k2 k1 , Dx 3(k1 k2 ) , Dy k2 k1 6k1k2
1 当D 0,即k1 k2时，直线l1与l2相交 2 当D＝0,即k1＝k2时，Dx 6k1, Dy 6k12
所以, 当k1＝k2＝0时，直线l1与l2重合 当k1＝k2 0时，直线l1与l2相交
Dx
c1 c2
b1 , b2
Dy
a1 a2
布置作业： 阅读课本中本节内容，进行复习和反思 完成教材P70/1~4
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
Dx D Dy D
此时直线l1
,l2相交于一点，交点坐标是（
Dx D
，Dy ） D
(2)D 0，即a1b2＝a2b1时 :
1 Dx , Dy中至少有一个不为0，方程组（）无解
此时直线l1 ,l2没有公共点，即两直线平行
2 Dx ＝Dy＝0，方程组（）有无穷多解
此时直线l1 ,l2重合
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
点评：注意先化成直线的一般式方程
高中数学沪教版（上海）高二下册第 十一章1 1.3两 条直线 的位置 关系课 件
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例2.已知两条直线
l1 : (t 1)x 2 y t 0,l2 : x ty t 4 0
当t为何值时，直线 l1 与 l2 （1）平行？（2）垂直？
解：对应方程组
kk21xx
y y
3k1 3k2
1 1
0 0
考虑方程组的系数行列式 D k2 k1 , Dx 3(k1 k2 ) , Dy k2 k1 6k1k2
1 当D 0,即k1 k2时，直线l1与l2相交 2 当D＝0,即k1＝k2时，Dx 6k1, Dy 6k12
所以, 当k1＝k2＝0时，直线l1与l2重合 当k1＝k2 0时，直线l1与l2相交
Dx
c1 c2
b1 , b2
Dy
a1 a2
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y
7
0
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
练一练:判断下列各组直线的位置关
系，如果相交，则求出交点坐标。
No
(1)
l 1
:
3x
4
y
2
0,
l 2
:
x
2
yIm1 a0ge
(2)
l 1
:
x
y
1
0,l 2
:
2x
2
y
5
0
(3) l : 2x 6y 4 0,l : y 1 x 2
l 与l 重合
1
2
DD D 0
x
y
ab a b bc bc ac a c 0
12
21
12
21
12
21
a 1
b 1
c 1
(a
b
c
0)
a b c 222
2
2
2
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
练一练:判断下列各组直线的位置关
2
2
2
2
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
代数表示
A(x0, y0)
l : ax by c 0(1) (a, b不全为0)
点A的坐标（x , y )是方程 00
（1）的解,即ax by c 0
0
0
填表格 几何元素及关系
代数表示
点A
A(x0, y0)
直线l
l : ax by c 0(1) a, b不全为0
例２、讨论下列各组直线间的位置关系
l : mx 3y m 3 0 1
l : x (m 2) y 2 0 2
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
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作业: (1)习题册 P6 11.3 A组 (2)导学先锋P17 11.3(1)
代数表示
A(x0, y0)
l : ax by c 0(1) (a, b不全为0)
点A的坐标（x , y )是方程 00
（1）的解
填表格 沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件 几何元素及关系
点A
直线l
点A在直线l上
直线l 与l 的公共点A
1
2
l :axbyc 0
1
1
1
1
l :a xb yc 0
1
2
33
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
l 与l 相交
1
2
Dab ab 0
12
21
a 1
b 1 (a b
0)
a b 22
2
2
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
系，如果相交，则求出交点坐标。
No
(1)
l 1
:
3x
4
y
2
0,
l 2
:
x
2Iym1ag0e
(2)
l 1
:
x
y
1
0,l 2
:
2x
2
y
5
0
(3) l : 2x 6y 4 0,l : y 1 x 2
1
2
33
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
点A在直线l上
点A的坐标（x , y )是方程 00
（1）的解,即ax by c 0
0
0
直线l 与l 的公共点A
1
2
l :axbyc 0
1
1
1
1
(
x 0
,
y 0
)是方程组aa12xx
by 1
by 2
c 1
c 2
0 的解 0
l :a xb yc 0
2
2
2
2
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
l 与l 平行
1
2
D 0
D x
0orD y
0
ba11cb22
ab 21
bc 21
0 0ora c
12
ac 21
0
abc
1 1 1 (a b c 0)
a b c 222
2
2
2
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不全为零
l : a x b y c 0 a b2, 2 不全为零
2
2
2
2
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
例 果1相、交判，断则两求条出直交线点的坐位标置I。m关Na系og，e 如
l1
:
3x
2
y
6
0,
l 2
:
9x
4
问题一:求两直线
l : 2x y 1 0与 1
l : 3x 2y 9 0 的交点。 2
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
沪教版（上海）数学高二下册-11.3 两条直线的夹角课件
问题二:求直线 l l1, 2 的交点
l : x b y c 0,
1
1
1
1
a1,
b 1
两条直线的位置关系
填表格 几何元素及关系
点A
直线l
代数表示
A(x0, y0)
l : ax by c 0 (a, b不全为0)
填表格 几何元素及关系
点A
直线l
点A在直线l上
代数表示
A(x0, y0)
l : ax by c 0 (a, b不全为0）
填表格 几何元素及关系
点A
直线l
点A在直线l上