高中数学 1.1 正弦定理课堂精练苏教版必修5

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高中数学 1.1《正弦定理(1)》教案苏教版必修5

第 1 课时： §1.1 正弦定理（1）【三维目标】：一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

三、情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

【学法与教学用具】：1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin a b c A B C==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？2.这种关系在任意三角形中也成立吗？3.介绍其它的证明方法二、研探新知1.正弦定理的推导（1）在直角三角形中：c a A =sin ,1sin ,sin ==C CB B ，即 =c A a sin ，=c B b sin ，=cC c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？（2）斜三角形中证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则s i n A D c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b c A B C==．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，Cc sin R 2= 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于−→−AC ，由−→−AC +=−→−CB −→−AB ，两边同乘以单位向量j 得j •(−→−AC +=−→−)CB j •−→−AB ，则j •−→−AC +j •=−→−CB j •−→−AB∴|j |•|−→−AC |cos90︒+|j |•|−→−CB |cos(90︒-C )=| j |•|−→−AB |cos(90︒-A )∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Cc sin 同理，若过C 作j 垂直于−→−CB 得：C c sin =Bb sin ∴sin sin sin a bc A B C == 从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin ab =sinc =2.理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===；（2）A a sin =B b sin =C c sin 等价于A a sin =B b sin ，B b sin =C c sin ，A a sin =Cc sin ，即可得正弦定理的变形形式：1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；2）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===； 3）sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如BA b a sin sin =； 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如B b a A sin sin =。

苏教版高中数学必修五1.1正弦定理(一).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第1章解三角形 §1.1 正弦定理(一)课时目标 1.熟记正弦定理的内容；2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝______，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝________，bc＝_______________________________.3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即______，这个比值是________________．一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于________．2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为____________．3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________________． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为________． 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于______________． 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝___________________________.7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.8．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.9．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________．二、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况．A为锐角a<b sin A a＝b sin A b sin A<a<b a≥b无解一解(直角) 两解(一锐角，一钝角) 一解(锐角)A为直角或钝角a≤b a≤b无解一解(锐角)§1.1正弦定理(一)答案知识梳理1．π 2.sin A sin B 4.asin A＝bsin B＝csin C三角形外接圆的直径2R作业设计1．1∶3∶2 2．2 6解析由正弦定理asin A＝bsin B，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b＝2 6.3．直角三角形解析sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．4．A>B解析由sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.5．45°解析由asin A＝bsin B得sin B＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．75°解析由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°. 7.102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.8．1解析由正弦定理，得3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.9．30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin (A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 10．120°解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin (180°－30°－C)＝3sin (30°＋C)＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C.∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．解 a ＝23，b ＝6，a<b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a>b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 13.π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin (π4＋B)＝ 2.∴sin (π4＋B)＝1.又0<B<π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12. 又a<b ，∴A<B ，∴A ＝π6.14．解在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C<90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B<90°，2B<90°，180°－3B<90°，∴30°<B<45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．。

苏教版数学高一必修5 1.1正弦定理第1课时正弦定理(1) 作业

1.1正弦定理第1课时正弦定理(1)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是．【解析】由正弦定理可知，sin A ∶sin B ＝a ∶b ＝5∶3.【答案】 5∶32．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝60°，c ＝2，则b ＝ .【解析】在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝45°，∴b ＝c sin B sin C ＝2sin 60°sin 45°＝ 6. 【答案】 63．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为．【解析】由正弦定理可知，sin A a ＝sin C c，又sin A a ＝cos C c ， ∴sin C c ＝cos C c，即tan C ＝1,0°<C <180°，∴C ＝45°.【答案】 45°⎝⎛⎭⎫或π4 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝ . 【解析】在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，有3sin 2π3＝6sin B ，可得sin B ＝22.因为A 为钝角，所以B ＝π4. 【答案】 π45．在△ABC 中，已知a ＝43，b ＝42，A ＝60°，则c ＝ .【解析】由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a sin A ＝4243×32＝22. ∵b <a ，∴B ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°，∴c ＝a sin C sin A ＝43×sin 75°sin 60°＝2(2＋6)．【答案】 2(2＋6)6．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则满足条件的三角形有个．【解析】 A ＝150°>90°，∵a >b ，∴满足条件的三角形有1个．【答案】 17．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的长为 .【解析】易得A ＝75°，∴B 为最小角，即b 为最短边，∴由c sin C ＝b sin B ，得b ＝63. 【答案】 638．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝ .【解析】由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，可知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2. ∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1 ＝1∶3∶2.【答案】 1∶3∶2二、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？【解】当a <b sin 30°，即b >43时，无解；当a ≥b 或a ＝b sin A ，即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解．10．在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求角A .【解】根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，把b ＝2a 代入得a sin A ＝2a sin B，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，展开得－32sin A ＋32cos A ＝0， ∴sin(A －30°)＝0，解得A ＝30°.[能力提升]1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于．【解析】由正弦定理可得，2a sin B ＝3b 可化为2sin A sin B ＝3sin B ，又sin B ≠0，即sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，得A ＝π3. 【答案】 π32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a b＝ . 【解析】因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，故sin(B ＋C )＝2sin B .故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即a b＝2. 【答案】 23．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是 .【解析】因为三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 【答案】 (2,22)4．在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状．【解】法一 ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，由正弦定理可得a ·a 2R ＝b ·b 2R， ∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．法二 ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B .∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．。

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1.1正弦定理教学过程（二）推进新课［合作探究］师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当AABC是锐角三角形时，设边ABk的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD=/sinS=BsirU,贝U —-—=—-—,同理，可得一-—=—-—.从而sin/ sin 5 sinC sin 5a _b _ csin/ sin 5 sinC（当AABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a _b _ csin/ sin 5 sinC师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作AABC的外接圆，在AABC中，令BC=AAC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明—=—=这一关系•sin/ sin 5 sinC师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在厶ABC 中，已知BC=AAC=BAB=C,作厶ABC的外接圆,O为圆心，连结BO并延长交圆于B', 设B夕=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到ZBAB'=90°, ZC=ZB',sinC=siiiB - sin C = sinB'= ------ .2R :.= 2R .sinC同理，可得 ~^— = = 2R .sin/ sin 5sin A sin B sin C这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式a _b _ csin/ sin 5 sinC点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. ［知识拓展］师接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一知识点体现边角关系呢？生向量的数量积的定义式A-B=\A\\B\Co^,^中9为两向量的夹角.师回答得很好，但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢？生可以通过三角函数的诱导公式sin0=Cos(9O°-6)进行转化.师这一转化产生了新角90。

苏教版-必修五-第一章解三角形-1.1 正弦定理全国优质课一等奖

《正弦定理》同步练习1．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100°C ．a = 7，b = 5，A = 80°D ．a = 14，b = 16，A = 45°2．在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是（）A ．2>xB ．2<xC ．3342<<xD ． 3342≤<x 3．在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为（）A ．23B ．43C ．23或3D ．43 或23 4．在△ABC 中，周长为7．5c m ，且sin A ：sin B ：sin C ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2===④6:5:4::=C B A其中成立的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知△ABC 的面积为23，且3,2==c b ，则∠A 等于_____________ 6．在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，∠C ＝70°，那么△ABC 的面积为________．7．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则sin A :sin B :sin C =_________8．在△ABC 中，若∠A :∠B :∠C =1:2:3,则=c b a ::__________9．在△ABC 中，若∠A =600，∠B =450，a =那么△ABC 的面积为______．10．2sin sin ::1:3:5,sin A B ABC a b c C-∆=在中，若求=_____________．11．在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-．12．在ABC ∆中，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a -+=+-，判定ABC ∆的形状．13．在ABC ∆中，BC CA CA AB AB BC •=•=•，证明ABC ∆为正三角形．参考答案1．D 2．C 3．B 4．C 5．600或1200 6．1167．7:5:38． 9．34+ 10．15-; 11．略 12．等腰三角形或直角三角形13．略。

苏教版数学高二-苏教版必修5练习 1.1正弦定理

第1章解三角形 1.1 正弦定理A 级基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，已知边长BC ＝10，∠A ＝30°，∠B ＝45°，则边长AC 等于( )A ．202 B.1063C ．10 2D.563解析：由正弦定理得10sin 30°＝ACsin 45°，解之得AC ＝10 2.答案：C2．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B 等于( ) A ．45°或135° B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：因为sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22，所以∠B ＝45°或135°.但当∠B ＝135°时，不符合题意，所以∠B ＝45°.答案：C 3．若a sin A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形解析：由a sin A ＝b sin B ＝csin C ，故sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，所以B ＝C ＝45°. 答案：C4．在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝60°，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4D ．1∶2∶2解析：由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2. 答案：A5．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A 、B 的大小关系不能确定解析：sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B (大角对大边)．答案：A 二、填空题6．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC的面积为________．解析：由正弦定理得AB sin C ＝BCsin A，解得BC ＝6，所以S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×6×6×32＝9 3.答案：9 37．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________．解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B .把A ＝π6，a ＝1，b ＝3代入，解得sin B ＝32.因为b >a ，所以B >A ，结合题意可知B ＝π3或2π3.答案：π3或2π38．在△ABC 中，c ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝30°，则b ＝________，c ＝________．解析：由正弦定理知sin B b ＝sin C c ，即b ＝12c ，又b ＋c ＝12，解得b ＝4，c ＝8.答案：4 8 三、解答题9．在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ，判断△ABC 的形状．解：因为a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，所以a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R ，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 所以△ABC 为等腰三角形．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＋C ＝2B .(1)求cos B 的值；(2)若b 2＝ac ，求sin A sin C 的值．解析：(1)由2B ＝A ＋C 和A ＋B ＋C ＝180°，得∠B ＝60°，所以cos B ＝12.(2)由已知b 2＝ac 及正弦定理得sin A sin C ＝sin 2B ＝sin 260°＝34.B 级能力提升一、选择题11．在△ABC 中，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析：因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .由正弦定理可得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A ＝ 2.答案：D12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B.13 C ．1D.72解析：由正弦定理得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，又3a ＝2b ，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×94－1＝72.所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×sin 2B sin 2A －1＝2×94－1＝92－1＝72.答案：D 二、填空题13．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．解析：在△ABC 中，由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，即sin B ＝b sin Aa ＝3×323＝12.又因为a >b ，所以B ＝π6.所以C ＝π－A －B ＝π2.答案：π214．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．解析：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，又A ＋C ＝2B ，故B ＝π3，由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12，又a ＜b ，因此A ＝π6，从而C ＝π2，即sin C ＝1.答案：115．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：因为sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，解得B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin A＝12，因为a ＜b ，所以0＜A ＜B ＝π4.所以A ＝π6. 答案：π6三、解答题16．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，由正弦定理得3sin A ＝26sin2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A ＝5.。

苏教版高中数学必修五第1章1.1正弦定理同步练测.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.1 正弦定理（必修5苏教版）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题4分，共40分）1.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝ .2.已知锐角 A 是△ABC的一个内角，a,b,c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则下列各式正确的是 .（1）b＋c＝2a；（2）b＋c 2a；（3）b＋c ≤2a；（4）b＋c≥2a.3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．4.在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝12 DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.5.在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长是 .6.在△ABC中，asinB＝bsinC＝csinA，则△ABC 是三角形.（填等边三角形、等腰三角形、直角三角形）7.一只船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 .8.如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝12A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为________．9.一只船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这座灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.10.在△ABC中，已知sin :sin :sin 2:2:3A B C =，则::a b c = .二、解答题（共60分）11.（15分）已知在△ABC 中，10c =，45A =，30C =，解三角形.12.（15分）在△ABC 中，6c =，2a =，45A =，求b 和,B C ．13.（15分）已知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足a ＋b ＝a 1tanA ＋b 1tanB，求内角C.14. （15分）在△ABC 中，s i n c o s A A +=22，AC =2，AB =3，求A tan 的值和△ABC 的面积.1.1 正弦定理答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10．二、解答题11.12.13.14.1.1 正弦定理参考答案1.63 解析：依题意得0° B 60°，由正弦定理得sin sin a b A B =得sin B ＝sin b A a＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，故填63. 2.（3）解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12，又A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°.所以b ＋c 2a ＝sin sin 2sin B CA+＝2sinB ＋C 2cos B －C23＝cosB －C2≤1，即b ＋c ≤2a. 3.π6 解析：由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，所以B ＝π4.由正弦定理sin sin a b A B =，得sin A ＝sin a Bb＝2·sin π42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)． 4. 60° 解析：由∠ADB ＝120°知∠ADC ＝60°，又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC ∙sin 60°＝3－3，所以DC ＝2(3－1).又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过A 点作AE ⊥BC于E 点，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE ＝1，所以BE＝ 3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°.在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝ 2＋3，所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.5.63 解析：由sin sin c b C B =，得b ＝sin sin c B C ＝sin 45sin 60︒︒＝63， ∵ 角B 最小，∴ 最短边是b.6. 等边解析：因为a sinB ＝b sinC ＝c sinA .由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝csinC，得sin A ＝sin B ＝sin C ，∴ A ＝B ＝C ，∴ a ＝b ＝c.故填等边三角形． 7.1726 海里/时解析：如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠PNM ＝45°.在△PMN 中，由正弦定理，得MN sin120°＝PMsin45°，∴ MN ＝68×3222＝346（海里）.又由M 到N 所用的时间为 14－10＝4(小时)，∴ 船的航行速度v ＝3464＝1726(海里/时)．8.2 解析：在△AOB 中，由正弦定理得ABsin∠AOB＝1，∴ sin ∠AOB ＝AB.在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝A 1B 1sin∠A 1OB 1＝A 1B 1AB ＝2.9.30 2 解析：如图，依题意有 AB ＝15×4＝60（km ），∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BMsin30°，解得BM ＝302(km)．10. 2:2:3 解析：根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得::s i n :s i n :s i n2a b c A B C == 11.分析：先将已知条件表示在示意图上（如图所示），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .解：sin sin a cA C =， ∴ sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===， ∴ 180()105B A C =-+=. 又sin sin b cB C=， ∴ sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+． 12.解：∵sin sin a cA C=，∴ sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===. ∵ 0180C ︒<<，∴ 60C =或120C =，当60C =时，75B =，sin 6sin 7531sin sin 60c B b C ===+；当120C =时，15B =，sin 6sin1531sin sin 60c B b C ===-. ∴ 31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．13.解：由a ＋b ＝a1tanA ＋b 1tanB及正弦定理得 sin A ＋sin B ＝cos A ＋cos B ，即sin A －cos A ＝cos B －sin B ，从而sin Acosπ4－cos Asin π4＝cos B sin π4－sin Bcos π4，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B .又0 A ＋B π，故A －π4＝π4－B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2. 14.解法一：先解三角函数方程，求出角A 的值..21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180 <<A , 4560,105.A A ∴-==13tan tan(4560)2313A +∴=+==---, .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+== A S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin (). 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin A-cos A 的值. sin cos A A +=22， ① .0cos ,0sin ,1800.21cos sin 2.21)cos (sin 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A 又23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A , ∴-=sin cos A A 62. ②①+ ②，得sin A=+264.①－②，得cos A=-264.从而sin264tan23 cos426AAA+==⨯=---.以下解法同解法一.。

高中数学苏教版必修5 1.1第1课时正弦定理作业 Word版含解析

[学业水平训练]一、填空题1．在△ABC 中 ,a ＝7 ,c ＝5 ,那么sin A ∶sin C 的值是________．解析：由正弦定理得sin A ＝a 2R ,sin C ＝c 2R, ∴sin A ∶sin C ＝a 2R ∶c 2R＝a ∶c ＝7∶5. 答案：7∶52．在△ABC 中 ,a ＝2 ,b ＝2 2 ,A ＝30° ,那么B ＝________．解析：由正弦定理 ,可得sin B ＝22. ∵b ＞a ,∴B ＞A ＝30° ,∴B ＝45°或135°.答案：45°或135°3．在△ABC 中 ,sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶6∶7 ,且三角形的周长为36 ,那么其三边长分别为________．解析：由正弦定理 ,可得a ∶b ∶c ＝5∶6∶a ＝10 ,b ＝12 ,c ＝14.答案：10 ,12 ,144．在△ABC 中 ,A ＝135° ,B ＝15° ,c ＝2 ,那么△ABC 中最|长边的长为________．解析：设最|长边为a ,利用正弦定理及三角形内角和定理 ,可得a ＝c sin C ·sin A ＝2sin 30°×sin 135°＝2 2.即△ABC 中最|长边的长为2 2.答案：2 25．(2021·南京调研)△ABC 中 ,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足c sin A ＝a cos C ,那么角C ＝________.解析：由c sin A ＝a cos C 结合正弦定理可得sin C sin A ＝sin A cos C ,且sin A ≠0 ,所以tan C ＝1 ,C ∈(0 ,π) ,故C ＝π4. 答案：π46．在△ABC 中 ,如果A ∶B ∶C ＝2∶3∶7 ,那么a ∶b ＝________．解析：由A ＝30° ,B ＝45° ,那么a ∶b ＝sin 30°∶sin 45°＝1∶ 2.答案：1∶ 27．在△ABC 中 ,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .假设a ＝ 2 ,b ＝2 ,sin B ＋cos B ＝ 2 ,那么角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝2 , ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝1. 又0＜B ＜π ,∴B ＝π4. 由正弦定理 ,得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12.又a ＜b ,∴A ＜B ,∴A ＝π6. 答案：π6二、解答题8．在△ABC 中 ,求证a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R , 得a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,c ＝2R sin C .左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B 2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin A －sin C ·cos B sin B －sin C ·cos A ＝sin (B ＋C )－sin C ·cos B sin (A ＋C )－sin C ·cos A ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos B sin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A ＝sin B ·cos C sin A ·cos C ＝sin B sin A＝右边 , 所以a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 9．在△ABC 中 ,c ＝10 ,A ＝45° ,C ＝30° ,求a ,b 和B .解：由正弦定理知 ,a ＝c sin C ·sin A ＝10sin 30°×sin 45°＝102 ,B ＝180°－A －C ＝105° , ∴b ＝a sin A ·sin B ＝102sin 45°×sin 105° ＝56＋5 2.[（高|考）水平训练]一、填空题1．以下判断三角形解的情况 ,正确的选项是________．①a ＝8 ,b ＝16 ,A ＝30° ,有两解；②b ＝18 ,c ＝20 ,B ＝60° ,有一解；③a ＝15 ,b ＝2 ,A ＝90° ,无解；④a ＝40 ,b ＝30 ,A ＝120° ,有一解．解析：①中a ＝b sin A ,有一解；②中c sin B <b <c ,有两解；③中A ＝90°且a >b ,有一解；④中a >b 且A ＝120°有一解．综上 ,④正确．答案：④2．在锐角三角形ABC 中 ,A ＝2B ,边a ,b ,c 所对的角分别为A ,B ,C ,那么a b的取值范围为________．解析：在锐角三角形ABC 中 ,A ,B ,C <90° ,即⎩⎨⎧B <90° 2B <90° 180°－3B <90°∴30°<B <45°.由正弦定理知 ,a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2 ,3) ,故a b的取值范围是(2 ,3)．答案：( 2 ,3)二、解答题3．在△ABC 中 ,设cos B 3b ＝cos C 2c ＝cos A a,求cos A 的值．解：由正弦定理 ,得cos B 3sin B ＝cos C 2sin C ＝cos A sin A⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧tan B ＝13tan A tan C ＝12tan A . 又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－5tan A 6－tan 2A⇒tan 2A ＝11⇒cos A ＝±36. 由题设 ,负值应舍去 ,故cos A ＝36. 4．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最|小正周期；(2)设△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,假设c ＝ 6 ,cos B ＝13 ,f (C 2)＝－14,求b . 解：(1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝－32sin 2x ＋12. ∵ω＝2 ,∴T ＝2πω＝π. ∴函数f (x )的最|小正周期为π.(2)由(1)得 ,f (x )＝－32sin 2x ＋12, ∴f (C 2)＝－32sin(2×C 2)＋12＝－32sin C ＋12. 又f (C 2)＝－14, ∴－32sin C ＋12＝－14 ,∴sin C ＝32.∵在△ABC 中 ,cos B ＝13, ∴sin B ＝ 1－ (13 )2＝223, ∴由正弦定理b sin B ＝c sin C, 得b ＝c ·sin B sin C ＝6·22332＝83. ∴b ＝83.。

高中数学 1.1正弦定理(二)课时作业苏教版必修5

高中数学 1.1正弦定理（二）课时作业苏教版必修5 课时目标 1.熟记正弦定理的有关变形公式；2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝______； (3)a ＝__________，b ＝________，c ＝____________；(4)sin A ＝__________，sin B ＝__________，sin C ＝__________.2．三角形面积公式：S ＝____________＝____________＝____________.一、填空题1．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于________．2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 的形状是________． 3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________． 4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．5．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为________． 7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝________.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.二、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)A ＋B 2＋C 2＝π2；§1.1 正弦定理(二) 答案知识梳理1. (1)a∶b∶c (2)2R (3)2R sin A 2R sin B 2R sin C (4)a 2R b 2R c 2R2.12ab sin C 12bc sin A 12ca sin B 作业设计1. 7∶5∶3解析 ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6. 令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝4k c ＋a ＝5ka ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝72k b ＝52kc ＝32k .∴sin A∶sin B∶sin C ＝a∶b∶c＝7∶5∶3.2．等边三角形解析由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A＝B ＝C. 3.⎝⎛⎦⎥⎤0，403 解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c＝403sin C ．∴0<c≤403. 4．等腰解析由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin (B ＋C)＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin (B －C)＝0，∴B＝C.5．8π解析 ∵2R＝4sin 45°＝42，∴R＝22.∴S＝πR 2＝8π. 6．1解析设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc＝1.7．2 3 解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b＝2 3. 8．2解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a>b ，得A>B ，∴B＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.9．7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝2＋1＋4＝7. 10．12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183， ∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A＝12，∴c＝6. 11．证明因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin B ＋C －sin C cos B sin A ＋C －sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 12．解设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．13．75°解析设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin (π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。

高中数学苏教版必修5 1.1第一课时正弦定理作业 Word版含解析

[学业水平训练]一、填空题1．在△ABC 中，a ＝7，c ＝5，则sin A ∶sin C 的值是________．解析：由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin C ＝c 2R， ∴sin A ∶sin C ＝a 2R ∶c 2R＝a ∶c ＝7∶5. 答案：7∶52．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，A ＝30°，则B ＝________．解析：由正弦定理，可得sin B ＝22. ∵b ＞a ，∴B ＞A ＝30°，∴B ＝45°或135°.答案：45°或135°3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶6∶7，且三角形的周长为36，则其三边长分别为________．解析：由正弦定理，可得a ∶b ∶c ＝5∶6∶7.从而a ＝10，b ＝12，c ＝14.答案：10，12，144．在△ABC 中，已知A ＝135°，B ＝15°，c ＝2，则△ABC 中最长边的长为________．解析：设最长边为a ，利用正弦定理及三角形内角和定理，可得a ＝c sin C ·sin A ＝2sin30°×sin135°＝2 2.即△ABC 中最长边的长为2 2.答案：2 25．(2014·南京调研)△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足c sin A ＝a cos C ，则角C ＝________.解析：由c sin A ＝a cos C 结合正弦定理可得sin C sin A ＝sin A cos C ，且sin A ≠0，所以tan C ＝1，C ∈(0，π)，故C ＝π4. 答案：π46．在△ABC 中，如果A ∶B ∶C ＝2∶3∶7，那么a ∶b ＝________．解析：由已知A ＝30°，B ＝45°，则a ∶b ＝sin30°∶sin45°＝1∶ 2.答案：1∶ 27．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝1. 又0＜B ＜π，∴B ＝π4. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12.又a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝π6. 答案：π6二、解答题8．在△ABC 中，求证a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B 2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin A －sin C ·cos B sin B －sin C ·cos A＝sin （B ＋C ）－sin C ·cos B sin （A ＋C ）－sin C ·cos A＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos B sin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C sin A ·cos C＝sin B sin A ＝右边，所以a －c cos B b －c cos A＝sin B sin A . 9．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .解：由正弦定理知，a ＝c sin C ·sin A ＝10sin30°×sin45°＝102，B ＝180°－A －C ＝105°， ∴b ＝a sin A ·sin B ＝102sin45°×sin105° ＝56＋5 2.[高考水平训练]一、填空题1．下列判断三角形解的情况，正确的是________．①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解；②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解；③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解；④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°有一解．综上，④正确．答案：④2．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则a b的取值范围为________．解析：在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知，a b ＝sin A sin B ＝sin2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)，故a b的取值范围是(2，3)．答案：(2，3)二、解答题3．在△ABC 中，设cos B 3b ＝cos C 2c ＝cos A a，求cos A 的值．解：由正弦定理，得cos B 3sin B ＝cos C 2sin C ＝cos A sin A⇒ ⎩⎨⎧tan B ＝13tan A ，tan C ＝12tan A . 又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－5tan A 6－tan 2A⇒tan 2A ＝11⇒cos A ＝±36. 由题设，负值应舍去，故cos A ＝36. 4．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝6，cos B ＝13，f (C 2)＝－14，求b . 解：(1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x ＝－32sin2x ＋12. ∵ω＝2，∴T ＝2πω＝π. ∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)由(1)得，f (x )＝－32sin2x ＋12， ∴f (C 2)＝－32sin(2×C 2)＋12＝－32sin C ＋12. 又f (C 2)＝－14， ∴－32sin C ＋12＝－14，∴sin C ＝32.∵在△ABC 中，cos B ＝13， ∴sin B ＝1－（13）2＝223， ∴由正弦定理b sin B ＝c sin C，得b ＝c ·sin B sin C ＝6·22332＝83. ∴b ＝83.。

苏教版必修5高考题同步试卷：1.1 正弦定理1

苏教版必修5高考题同步试卷：1.1 正弦定理1一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）1.在△ABC中，若，则A等于()A. B. C. D.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，则△ABC的形状是()A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不确定3.在△ABC中，若√3a=2bsinA，则B为()A. π3B. π6C. π6或5π6D. π3或2π34.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，若C=2π3，则ab=()A. 35B. 45C. 54D. 535.在△ABC中，已知sin2B−sin2C−sin2A=√3sin Asin C，则角B的大小为()A. 150°B. 30°C. 120°D. 60°6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a：b：c=√3：1：2，则角B为()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°7.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在点B 测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A. 50mB. 100mC. 120mD. 150m二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）8.在△ABC中，已知A=π6，a=4√33，b=4，则角B=______ ．9.在△ABC中，若∠A=30°,∠B=105°,BC=√2，则AB=______．10.在ΔABC中，a=3,b=√6,A=2π3,则B=________．11.在△ABC中，已知∠B=45°，AC=√2BC，则∠C=________．12.在△ABC中，A=45°，C=105°，BC=√2，则AC=______．13.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若asinB +bsinA=2c，则∠A的大小为______．14.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=75∘，∠BDC=60∘,CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60∘，则塔高AB=________米．=______ ．15.在△ABC中，已知bcosC+ccosB=2b，则ab三、解答题（本大题共15小题，共180.0分）16.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．(Ⅰ)判断△ABC的形状；)的取值范围．(Ⅱ)求sinB+cos(A+π618.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2A+C=π．2(1)证明：tanA=a．b(2)当b=2sinB时，求a+c的取值范围．c。

2019-2020学年高中数学苏教版必修5同步训练：1.1 正弦定理 Word版含答案

1.1 正弦定理1、在ABC △中60,2A AB ∠==且ABC △,则BC 的长为（）B C ． D ．22、已知ABC △中, 60a b B ===︒,那么角A 等于( ) A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°3、在ABC ∆中,若sin2sin2A B =,则ABC ∆一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形4、如图,在ABC △中, D 是边AC 上的点,且,2,2AB AD AB BC BD ===,则sin C 的值为( )A.B.C.D.5、边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角之和为( ) A. 90︒B. 120︒C. 135︒D. 150︒6、在ABC △中,已知222a b c +=,则C ∠= ( ) A. 30︒B. 45︒C. 150︒D. 135︒7、在ABC △中，若sin a b A =，则ABC △一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形8、已知集合M 中的元素a,b,c 是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形 9、设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定10、在ABC △中，13,5,sin 3a b A ===，则sin B =( )A ．15 B ．59C ．3D ．111、甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60的方向,两船相距a 海里,乙船正在向北行驶,,则甲船应取北偏东θ方向前进,才能尽快追上乙船,此时θ=__________.12、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于__________ 13、在锐角ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,,2a b c C A =,则ca的取值范围是__________.14、在ABC ∆中,三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2,4a b c ===,则A ∠=__________.15、在△ABC 中, 3a =,b =2B A ∠=∠.求: 1.求cos A 的值; 2.求c 的值.答案以及解析1答案及解析：答案：B 解析：2答案及解析：答案：C解析：在ABC △中, 60a b B ===︒, 由正弦定理得sin sin a bA B=A =又a b <则45A =︒3答案及解析：答案：D解析：∵sin 2sin 22cos()sin()0A B A B A B -=+-=，∴2A B π+=，或A B =.4答案及解析：答案：D解析：设AB a =,∵,2,2AB AD AB BC BD ===, ∴,AD a BD BC ==, 在ABD △中, 2224 3cos 22a a a ADB a a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∠==,∴sin ADB ∠,∴sin BDC ∠=, 在BDC △中, sin sin BD C BC BDC ∠=∠, ∴sin sin C BD BDC BC ∠=⨯∠⋅=, 故答案为: .5答案及解析：答案：B解析：根据三角形角边关系可得,最大角与最小角所对的边的长分别为8与5, 设长为7的边所对的角为θ,则最大角与最小角的和是180θ︒-,有余弦定理可得, 2225871cos =2582θ+-=⨯⨯ ,易得60θ=︒,则最大角与最小角的和是180120θ︒-=︒,故选B.6答案及解析：答案：B解析：根据余弦定理, ∵ 2222cos c a b ab A =+-,又因为222a b c +=可知,cos A =∴ π4A =,故选B.7答案及解析：答案：B 解析：由题意有,sin 1sin sin a bb B A B==∴=，即B ∠为直角，故ABC △是直角三角形8答案及解析：答案：D 解析：9答案及解析：答案：A 解析：10答案及解析：答案：A 解析：11答案及解析：答案：30°解析：设乙船的速度为v 海里/时, t 小时后甲船在C 处追上乙船(如图),则由题意,得甲船海里/时,在ABC △中, AB a =,AC =,BC vt =,120ABC ∠=.由正弦定理知sin sin BC ACBAC ABC =∠∠,∴sin 1sin 2BC ABC BAC AC ∠∠===,又∵090BAC ︒<∠<︒,∴30BAC ∠=︒,∴6030BAC θ=︒-∠=︒12答案及解析：解析：由已知3a =,5b =,7c =,∴2221cos 22a b c C ab +-==-,∴sin C =,∴2sin 3c R C ==.考点:1.正弦定理;2.余弦定理.13答案及解析：答案：解析：在锐角ABC ∆中,因为角,,A B C 所对的边分别为,,,2a b c C A =022A π∴<<,且32A ππ<<64A ππ∴<<cos 2A << 由正弦定理,得sin 22cos sin c AA a A==2cos A <<ca<<.14答案及解析：答案：30 解析：15答案及解析：答案：1.由正弦定理,得sin sin a bA B=,所以3sin A =,即3sin A =,解得cos A =. 2.由余弦定理,2222cos a b c bc A =+-,所以(22232c =+-⨯即28150c c -+=解得5c =或3c =. 当3c =时, a c = 即A C ∠=∠ 又2B A ∠=∠ 所以90B ∠=︒.而(22233+≠,故3c = (舍去) 故5c =. 解析：。

1-1正弦定理测试题(苏教版必修5).doc

3.90.【解析】 cosC 二沪+疋-/2bc52 + 122 -1322x5x12二0,C=90°8 sin30°4=1 o 所以 C=90 ° , 6. 60° 120 。

【解析】由正50sin 45°25^6 sinB 故 B=60° 120 同步分层能力测试题（一）A 组一.填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. ________________________________________________ 在△ABC 屮，若 a= J§,b= JiM,A=30",则边 c=______________________________________________________ 。

1. 2-\/5或【解析】由余弦定理，得a 2=c 2+b 2-2cb • cosA,代入整理得c 2-3 A /5 C +10=0, c=2 A /5 或 A /5。

2. ____________________________________ 在 AABC 中，己知 A=45°, B=60 ° , c =1,贝lja= _____________________________________________________ .C=180°-45O -60O =75°.由正弦定理,得a 1A /3-1sin45°「sin75° '23. _______________________________ 在AABC 屮，L A 知3=5^=12,0=13.最大内角为________________________________________________ 度。

4. __________________________ 在Z^ABC 中，已知 b=4, c 二&B=30°.则 a 二 .csinBo 【解析】（1）由正弦定理，得sin C= ------------ 二 bA=180 °-90°-30° =60° … 又由正弦定理，得 a=""n"=°sin 律 =2羽。

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江苏省盱眙县都梁中学高中数学 1.1 正弦定理课堂精练苏教版必
修 5
．下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是__________． ①在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； ②在△ABC 中，a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B ； ③在△ABC 中，
a
sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C
； ④在△ABC 中，正弦值较大的角所对的边较大．
2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝__________.
3．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，且a ＝6，则边c 的值为__________．
4．在△ABC 中，若a b ＝cos B
cos A
，则△ABC 是__________三角形．
5．下列四个命题中，正确命题的序号是__________． ①a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解； ②a ＝30，b ＝25，A ＝130°，有一解； ③a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解； ④b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解．
6．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是__________． 7．在△ABC 中，A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2 cm ，BC ＝2 3 cm ，则△ABC 的面积为__________．
8．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝c
cos C 2
，则△ABC 一定是__________三角形．
9．在△ABC 中，lg b －lg a ＝lg sin B ＝－lg 2，B 为锐角，则A 的值等于__________． 10．在△ABC 中，A ＝π
3，BC ＝3，则△ABC 的周长为__________．
11．在△ABC 中，已知tan A ＝12，tan B ＝1
3，且最长边为1，求：
(1)角C 的大小； (2)△ABC 最短边的长．
12．已知△ABC 的面积为3－3，B ＝60°，又最大角与最小角的正切值恰为方程x 2
－3x ＋2＝3(x －1)的根，求△ABC 的另外两个角和三条边．
参考答案
1．② 点拨：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin
A ∶sin
B ∶sin
C ，故①正确；由正弦定理知
a
sin A ＝
b sin B ＝
c sin C ，由合比定理知a
sin A
＝
b ＋c
sin B ＋sin C
，故③正确；由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，假设sin A ＞sin B ，
则有2R sin A ＞2R sin B ，∴a ＞b ，故④正确．∴②错误．
2．45° 点拨：由正弦定理a sin A ＝b sin B
得
4332
＝42sin B
，即sin B ＝22.
又∵a ＞b ，∴A ＞B .∴B ＝45°.
3．3 2 点拨：由条件及三角形内角和定理，知A ＝B ＝30°，C ＝120°，所以a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 又a ＝6，所以c ＝3 2.
4．等腰或直角点拨：由a cos A ＝b cos B ，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，
∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π
2
.
5．② 点拨：对于①，由于b sin A ＝a ，故有一解，①不正确；同理，②有一解，②正确；由于③无解，④有两解，故③④均不正确．
6．2＜x ＜2 2 点拨：要使三角形有两解，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >
b ，
b >a sin B ，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <2，
2>x sin 45°，解
得2＜x ＜2 2.
7． 3 cm 2
点拨：由3sin A ＋cos A ＝1，得32sin A ＋12cos A ＝1
2
，即sin(A ＋30°)＝1
2
. 又30°＜A ＋30°＜210°，∴A ＋30°＝150° .∴A ＝120°. 由正弦定理，得sin C ＝2sin 120°23＝1
2，
∴C ＝30°.∴B ＝30°.
∴S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝12×2×23×12＝ 3 cm 2
.
8．等边点拨：由正弦定理及a cos A 2＝b cos B 2＝c
cos C 2
，
得
sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin C
cos C 2
，即sin A 2＝sin B 2＝sin C
2， ∴A ＝B ＝C .
9．90° 点拨：由已知可得sin B ＝22
，又B 为锐角，∴B ＝45°. 由lg b －lg a ＝－lg 2，得b a ＝22，从而sin B sin A ＝22
， ∴sin A ＝1，即A ＝90°.
10．3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3 点拨：设△ABC 的周长为x ，又A ＝π3，BC ＝3，
由正弦定理，知BC sin A ＝AC sin B ＝AB
sin C
，由合比定理，得BC sin A ＝BC ＋AC ＋AB
sin A ＋sin B ＋sin C
＝
x
sin π3＋sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π3＋B ∴x ＝23×⎣⎢
⎡⎦⎥⎤32
＋sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3
＝3＋6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π6.
11．解：(1)∵tan C ＝tan(π－A －B )＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B
1－tan A ·tan B ＝－1，
又0＜C ＜π，∴C ＝3
4
π.
(2)∵tan A ＝12＞13＝tan B ，C ＝3
4π，
∴C 为最大角，B 为最小角．又tan B ＝13，∴sin B ＝10
10.
由正弦定理，得b ＝
c ·sin B sin C ＝5
5
.
12．分析：首先利用根与最大、最小角的关系解出A ，C ，再用正弦定理a
sin A ＝c
sin C
及
面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2
ac sin B 建立关于a ，c 的方程使问题迎刃而解．
解：假设A 最小，C 最大，由方程x 2
－3x ＋2＝3(x －1)解得两根x 1＝1，x 2＝3＋2，则tan A ＝1，tan C ＝3＋2. ∴A ＝45°，C ＝75°.
又∵S ＝3－3＝12ac sin B ＝3
4ac ，
∴ac ＝4(3－1)．
将A ＝45°，C ＝75°代入a sin A ＝c
sin C ，
得2a ＝(6－2)c ，
由⎩⎨
⎧
ac ＝4(3－1)，2a ＝(6－2)c ，
得⎩⎨
⎧
a ＝2(3－1)，c ＝2.
又由正弦定理得b ＝
a sin B
sin A
＝32－6， ∴△ABC 另外两角为45°和75°，三边分别为2(3－1)，32－6和2.。

高中数学 1.1 正弦定理课堂精练 苏教版必修5

高中数学 1.1《正弦定理(1)》教案 苏教版必修5