高一数学人教B必修单元目标检测：第三章 基本初等函数Ⅰ含解析
人教B版高中数学必修一第三章 基本初等函数(Ⅰ)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算【目标要求】1． 理解根式的概念。
2． 理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。
3． 掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。
4． 掌握用计算器计算有理指数幂的值。
【巩固教材——稳扎马步】 1．下列说法中正确的是( )A.-2是16的四次方根B.正数的 次方根有两个C. 的 次方根就是D.2．下列等式一定成立的是( )A ．2331a a ⋅=a B ．2121a a⋅-=0 C ．（a 3）2=a9D.613121a a a =÷3. 431681-⎪⎭⎫⎝⎛的值是（ ） A.278 B.278- C.23 D.23- 4.将322-化为分数指数幂的形式为( )A ．212-B ．312- C ．212--D.652-【重难突破——重拳出击】 5. 下列各式中，正确的是 （ ）A ．100= B ．1)1(1=-- C ．74471aa=-D ．53531aa=-6.设b ≠0,化简式子()()()61531222133ab baba ⋅⋅--的结果是 （ ）A.aB.()1-ab C.1-ab D.1-a 7. 化简［32)5(-］43的结果为( )A ．5B ．5C ．－5D.－58. 若122-=xa，则xx xx a a a a --++33等于 ( )A ．22－1B ．2－22C ．22+1D.2+19.1212--=--x x x x 成立的充要条件是 （ ） A.12--x x ≥0 B.x ≠1 C .x ＜1 D.x ≥210. 式子经过计算可得到( )A. B. C. D.11. 化简4425168132cb a ac (a ＞0，c ＜0)的结果为 ( ) A.±42abB ．－42abC ．－2abD.2ab12. 设x>1,y>0,yy y y x x x x ---=+则,22等于 （ ）A ．6B ．2或-2C ．2D ．-2【巩固提高——登峰揽月】13. 计算0．02731-－（－71）－2+25643－3－1+（2－1）0=__________．14. 化简321132132)(----÷ab b a bab a =__________．【课外拓展——超越自我】 15. 已知,32121=+-x x 求3212323++++--x x x x 的值．第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DD AADABADDBC13.19 14.6561-ba15. 解：由,9)(22121=+-x x 可得x +x －1=7∵27)(32121=+-xx∴23121212333---++⋅+xx x x x x =27∴2323-+xx =18，故原式=2。
数学人教B版必修1学案第三章基本初等函数(Ⅰ) Word版含解析
数学人教必修第三章基本初等函数(Ⅰ) 知识建构专题应用专题一指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数＝(＞，且≠)，对数函数＝(＞，且≠)的图象与性质都与的取值有密切的联系，幂函数＝α的图象与性质与α的取值有关，、α变化时，函数的图象与性质也随之改变；因此，在，α的值不确定时，要对它们进行分类讨论，利用图象可以很快捷、直观地进行比较大小、求根等计算问题．应用若＜＜＜＜，则()．＜＜＜＜．＞＞＞．＜＜＜＜．＜＜＜＜提示：首先通过构造思想把问题转化为指数函数问题，再结合指数函数的图象与性质求解．应用方程＋＝的解所在的区间是()．()．()．()．(，＋∞)提示：作出＝与＝－＋的图象，观察其交点的横坐标即可．专题二分类讨论思想的应用分类讨论思想即对问题中的参数由于不能一概而论，因此需要按一定的标准进行分别阐述，在分类讨论中要做到“不重复，不遗漏”．应用若－＜＜，求的取值范围．提示：将对数不等式统一成同底的形式，再利用分类讨论思想及函数的单调性进行转化求解．应用设函数()＝＋－－，求使()≥成立的的取值范围．提示：按零点分类讨论法即把整个实数集以±为临界分成(－∞，－]，(－)，[，＋∞)三段讨论．专题三等价转化在讨论函数问题中的应用转化思想即在处理问题时，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解．转化思想应用非常普遍，如未知向已知转化，新知识向旧知识转化，复杂问题向简单问题转化，不同数学问题之间的相互转化，实际问题向数学问题转化等．应用指出函数()＝的单调区间，并比较(－π)与的大小．提示：可考虑把函数()转化为我们学过的幂函数的问题，然后考虑相关幂函数的性质，进一步比较大小．应用已知α是方程＋＝的一个根，β是方程＋＝的一个根，求证：α＋β＝.提示：若()是单调函数，则()＝()⇒＝.类似地，可证得如下一般性结论：若函数()在上单调递增，α是方程()＋＝的一个根，β是方程－()＋＝的一个根，则α＋β＝.专题四函数图象的平移、对称变换图象变换题因其集数形结合的数学思想、运动变化的观点于一体，又考查了函数图象的画法和相关函数的性质，对于知识的内化、数学能力的提升均起到促进的作用，故在教材乃至高考试题中均占有重要的一席之地，不容小视．下面总结一些常见的图象变换规律，供同学们参考．．图象的平移变换()水平平移：函数＝(±)(＞)的图象，可由＝()的图象向左(＋)或向右(－)平移个单位而得到．如：将对数函数＝的图象向左平移个单位，便得到函数＝(＋)的图象．()竖直平移：函数＝()±(＞)的图象，可由＝()的图象向上(＋)或向下(－)平移个单位而得到．如：将指数函数＝的图象向下平移个单位，便得到函数＝－的图象．．图象的对称变换()＝(－)与＝()的图象关于轴对称．()＝－()与＝()的图象关于轴对称．()＝－(－)与＝()的图象关于原点对称．()＝－()与＝()的图象关于直线＝对称．如：对数函数＝的图象与指数函数＝的图象关于直线＝对称．()＝()的图象可将＝()(≥)的部分作出，再利用偶函数的图象关于轴对称，作出＜的图象．如：先画出(＞)的图象，再作出关于轴对称的图形，和构成函数的图象．()＝()的图象可保留＝()(≥)的部分，再将＝()(＜)的部分沿着轴从下方对称地翻折到上方．应用求作函数＝(－＋)的图象．提示：先要找出这个函数所对应的基本初等函数，然后再利用变换向目标靠拢．应用()画出函数＝(＋)与＝(－)的图象，并指出两个图象之间的关系；()画出函数＝的图象，并根据图象指出它的单调区间．提示：画函数图象是研究函数变化规律的重要手段，可利用＝的图象进行变换．真题放送．(·辽宁高考)设函数()＝(\\(－，≤，－，>，))则满足()≤的的取值范围是() ．[－] ．[]．[，＋∞) ．[，＋∞)．(·四川高考)函数＝的图象大致是()．(·湖北高考)函数＝的定义域为()．．．(，＋∞) ．∪(，＋∞)．(·重庆高考)函数＝的值域是()．[，＋∞) ．[]．[) ．()．(·天津高考)设＝，＝()，＝，则()．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜．(·安徽高考)设，，，则，，的大小关系是()．＞＞．＞＞．＞＞．＞＞．(·湖北高考)已知函数()＝(\\(，，))(\\(>，≤，))则＝()．．．－．－。
人教b版高一数学必修一：第3章《基本初等函数(ⅰ)》检测(含答案)
第三章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数y ＝ln(x －1)的定义域是( )A ．(1,2)B ．[1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(1,2)∪(2，＋∞)2．若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( )A ．3 B.52 C ．6 D.123．已知a >0且a ≠1，下列四组函数中表示相等函数的是( )A ．y ＝log a x 与y ＝(log x a )－1B ．y ＝a log a x 与y ＝xC ．y ＝2x 与y ＝log a a 2xD ．y ＝log a x 2与y ＝2log a x4．若函数y ＝a x ＋m －1 (a >0，a ≠1)的图象在第一、三、四象限内，则( )A ．a >1B ．a >1，且m <0C ．0<a <1，且m >0D ．0<a <15．已知函数f (log 4x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12等于( )A.14B.12C ．1D ．26．已知函数y ＝log a (3a －1)的值恒为正数，则a 的取值范围是( )A ．a >13 B.13<a ≤23C ．a >1 D.13<a <23或a >1 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x 3x ， x ≤0则f [f (19)]的值是( ) A ．9 B.19 C ．－9 D ．－198．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a x log a x x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13 D.⎣⎡⎭⎫17，1 9．已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( ) A ．x >y >z B ．z >y >xC ．y >x >zD ．z >x >y10．关于x 的方程a x ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)( ) A ．无解B ．必有唯一解C ．仅当a >1时有唯一解D ．仅当0<a <1时有唯一解11．函数y ＝lg(21－x－1)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称C ．原点对称D ．y ＝x 对称12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2－x －1 (x ≤0)x 12 (x >0)，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝x －32的定义域是________． 14．已知log 3x ＝2，则x ＝________.15．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )是奇函数，则a ＝________. 16．给出函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x (x ≥4)，f (x ＋1) (x <4)， 则f (log 23)＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)计算：(1)⎝⎛⎭⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)2lg 5＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.18．(12分)不等式2x ＋3－2m >0在x ∈[0，＋∞)时恒成立，求实数m 的取值范围．19．(12分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数y ＝12log 3x 100，单位是m/s ，其中x 表示鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鱼想把游速提高1 m/s ，那么它的耗氧量的单位数将如何变化？20．(12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a >0，且a ≠1)，令F (x )＝f (x )－g (x )．(1)求函数y ＝F (x )的定义域；(2)判断函数y ＝F (x )的奇偶性．21．(12分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a )＝2，g (x )＝3ax －4x .(1)求g (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,1]时，求g (x )的值域．22．(12分)设f (x )＝log 121－ax x －1为奇函数，a 为常数． (1)求a 的值；(2)证明f (x )在(1，＋∞)内单调递增；(3)若对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式f (x )>(12)x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．第三章 章末检测 答案1．C2．C [x log 23＝1⇒log 23x ＝1，∴3x ＝2,9x ＝(3x )2＝22＝4，∴3x ＋9x ＝6.]3．C [对A ，解析式不同，定义域不同；对B ，定义域不同；对D ，定义域不同；对C ，是相等函数．]4．B [由函数y ＝a x ＋m －1 (a >0，a ≠1)的图象在第一、三象限知a >1.又过第四象限内， ∴a 0＋m －1<0，则有m <0.]5．D [令log 4x ＝12，则x ＝412＝2.] 6．D [由y >0得：⎩⎪⎨⎪⎧ a >13a －1>1或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <10<3a －1<1， 解得a >1或13<a <23.] 7．B8．C [当x ＝1时，log a x ＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立．令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则g (x )>0在x <1上恒成立，故3a －1<0且g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0.⇒17≤a <13，故选C.] 9．C [x ＝log a 2＋log a 3＝log a 6，y ＝12log a 5＝log a 5，z ＝log a 213＝log a 7， ∵0<a <1，∴y ＝log a x 在定义域上是减函数．∴y >x >z .] 10．B [在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝a x ，y ＝log 1ax 的图象．]11．C [f (x )＝lg(21－x －1)＝lg 1＋x 1－x， f (－x )＝lg 1－x 1＋x＝－f (x )， 所以y ＝lg(21－x－1)关于原点对称，故选C.] 12．D [当x ≤0时，由2－x －1>1得x <－1；当x >0时，由x 12>1得x >1.] 13．(0，＋∞)14．81解析 log 3x ＝2⇒x ＝32⇒x ＝81.15.12解析 方法一 函数f (x )＝a －12x ＋1的定义域为R ，且为奇函数， ∴f (0)＝0，即a －120＋1＝0，∴a ＝12. 方法二 f (－x )＝a －12－x ＋1＝a －2x1＋2x， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，∴a －12x ＋1＝－a ＋2x1＋2x. ∴2a ＝2x ＋12x ＋1＝1，∴a ＝12.16.124解析 ∵log 23<4，∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)，∵log 224>4，∴f (log 224)＝⎝⎛⎭⎫12log 224＝124. 17．解 (1)原式＝(－1)－23⎝⎛⎭⎫338－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫278－23＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝2lg 5＋23lg 23＋lg 5·lg(4×5)＋lg 22 ＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5·lg 2＋lg 25＋lg 22＝2(lg 5＋lg 2)＋2lg 5·lg 2＋lg 25＋lg 22＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3.18．解 原不等式可变为2m －3<2x ，此不等式恒成立，只要2m －3小于2x 的最小值． 当x ∈[0，＋∞)时，由y ＝2x 的单调性知2x 的最小值是20＝1，∴2m －3<1，解得m <2.故实数m 的取值范围为(－∞，2)．19．解 (1)当x ＝900时，y ＝12log 3x 100＝12log 39＝1(m/s)， 所以它的游速是1 m/s.(2)由y 2－y 1＝1，即12log 3x 2100－12log 3x 1100＝12log 3x 2x 1＝1. 得x 2x 1＝9， 所以耗氧量的单位数将增大为原来的9倍．20．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0， 解得－1<x <1，故函数F (x )的定义域是(－1,1)．(2)因为函数F (x )的定义域关于原点对称，且F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝log a 1－x 1＋x ＝－log a 1＋x 1－x＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，所以F (x )是奇函数．21．解 (1)由f (a )＝2，得3a ＝2，a ＝log 32，∴g (x )＝(3a )x －4x ＝(3log 32)x －4x＝2x －4x ＝－(2x )2＋2x .(2)设2x ＝t ，∵x ∈[－2,1]，∴14≤t ≤2. g (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14，由g (t )在t ∈[14，2]上的图象可得， 当t ＝12，即x ＝－1时，g (x )有最大值14； 当t ＝2，即x ＝1时，g (x )有最小值－2.故g (x )的值域是[－2，14]． 22．(1)解 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴log 121＋ax －x －1＝－log 121－ax x －1⇔1＋ax －x －1＝x －11－ax>0 ⇒1－a 2x 2＝1－x 2⇒a ＝±1.检验a ＝1(舍)，∴a ＝－1.(2)证明 任取x 1>x 2>1，∴x 1－1>x 2－1>0，∴0<2x 1－1<2x 2－1⇒ 0<1＋2x 1－1<1＋2x 2－1⇒0<x 1＋1x 1－1<x 2＋1x 2－1⇒log 12x 1＋1x 1－1>log 12x 2＋1x 2－1， 即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(1，＋∞)内单调递增．(3)解 f (x )－(12)x >m 恒成立． 令g (x )＝f (x )－(12)x ，只需g (x )min >m ， 用定义可以证明g (x )在[3,4]上是增函数，∴g (x )min ＝g (3)＝－98，∴m <－98时原式恒成立．。
(人教B版)数学必修1同步测试：第三章 基本初等函数含答案
第三章 3.3一、选择题1．下列命题中正确的是( ) A ．幂函数的图象不经过点(－1,1) B ．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C ．若幂函数f (x )＝x a 是奇函数，则f (x )是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 [答案] D[解析]幂函数y ＝x 2经过点(－1,1)，排除A ；幂函数y ＝x －1不经过点(0,0)，排除B ；幂函数y ＝x－1是奇函数，但它在定义域上不具有单调性，排除C ，故选D ．2．函数y ＝(k 2－k －5)x 2是幂函数，则实数k 的值是( ) A ．k ＝3 B ．k ＝－2 C ．k ＝3或k ＝－2 D ．k ≠3且k ≠－2[答案] C[解析] 由幂函数的定义知k 2－k －5＝1，即k 2－k －6＝0，解得k ＝3或k ＝－2. 3．(2014～2015学年度江西鹰潭一中高一上学期月考)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k －α＝( ) A ．12B ．1C ．32D ．2[答案] C[解析] 由题意得k ＝1，∴f (x )＝x α，∴2＝⎝⎛⎭⎫12α， ∴212＝2－α，∴α＝－12，∴k －α＝32.4．(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝( )A ．1B ．－1C ．6D ．－1或6[答案] B[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －5＝12m ＋1<0，解得m ＝－1.5．函数y ＝|x |12的图象大致为( )[答案] C[解析] y ＝|x |12＝|x |＝⎩⎨⎧x (x ≥0)－x (x <0)，函数y ＝|x |12为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、B ，又函数y ＝|x |12的图象向上凸，排除D ，故选C ．6．如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12[答案] B[解析] 根据幂函数性质，C 1、C 2在第一象限内为增函数，C 3、C 4在第一象限内为减函数，因此排除A 、C ．又C 1曲线下凸，所以C 1、C 2中n 分别为2、12，然后取特殊值，令x＝2,2－12>2－2，∴C 3、C 4中n 分别取－12、－2，故选B ．二、填空题7．(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2,8)，则f (x )＝______________.[答案] x 3[解析] 设f (x )＝x α，∴8＝2α，∴α＝3.∴f (x )＝x 3.8．若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________． [答案] －1[解析] 由幂函数的定义可得，2m ＋3＝1，即m ＝－1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是 (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．[解析] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2.10．已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135. (1)证明f (x )是奇函数，并求函数f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出f (x )和g (x )对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．[解析] (1)∵函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )13－(－x )－135＝－x 13－x －135＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．在(0，＋∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则x 113 <x 213，x 2－13<x 1－13，从而∴在(0，＋∞)上是增函数．又∵f (x )是奇函数，∴函数f (x )在(－∞，0)上也是增函数．故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)f (4)－5f (2)g (2)＝413－4－135－5×213－2－135×213＋2－135＝0；f (9)－5f (3)g (3)＝913－9－135－5×313－3－135×313＋3－135＝0. 由此可推测出一个等式f (x 2)－5f (x )g (x )＝0(x ≠0)． 证明如下：f (x 2)－5f (x )g (x )＝(x 2)13－(x 2)－135－5×x 13－x －135×x 13＋x －135＝x 23－x －235－x 23－x －235＝0，故f (x 2)－5f (x )g (x )＝0成立.一、选择题1．下列关系中正确的是( )A ．(12)23 <(15)23 <(12)13 B ．(12)23 <(12)13 <(15)23 C ．(15)23 <(12)13 <(12)23 D ．(15)23 <(12)23 <(12)13 [答案] D [解析]∵y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数，且125＜14＜12，∴(125)13 ＜(14)13 ＜(12)13 ，即(15)23 ＜(12)23 ＜(12)13 . 2．如图所示为幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＜1D ．n ＜－1，m ＞1[答案] B[解析] 由幂函数图象的性质知n ＜0,0＜m ＜1. 3．函数y ＝x 3与函数y ＝x 13的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称[答案] D [解析] y ＝x 3与y ＝x 13互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，故选D ．4．设函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[答案] C[解析] 函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A (2，12)，又点A (2，12)在幂函数y ＝x α的图象上，∴12＝2α，∴α＝－1.∴幂函数y ＝x －1，其单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 二、填空题5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不过原点，则m 是__________．[答案] 1或2[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或m ＝2.6．如果幂函数y ＝x a 的图象，当0<x <1时，在直线y ＝x 的上方，那么a 的取值范围是________．[答案] a <1[解析] 分a >1，a ＝1,0<a <1，a <0分别作图观察，知a <1. 三、解答题7．已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求出m 的值，并画出它的图象．[解析] 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3. 当m ＝0或m ＝2时，y ＝x－3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不合题意；当m ＝－1，或m ＝3时，有y ＝x 0，适合题意； 当m ＝1时，y ＝x －4，适合题意．∴所求m 的值为－1,3或1. 画出函数y ＝x 0及y ＝x－4的图象，函数y ＝x 0的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，其图象是除点(0,1)外的一条直线，故取点A (－1,1)，B (1,1)，过A ，B 作直线(除去(0,1)点)即为所求．如图①所示．函数y ＝x－4的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，列出x ，y 的对应值表：8．定义函数f (x )＝max{x 2，x －2}，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f (x )的最小值．[解析] ∵f (x )＝max{x 2，x －2}，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴f (x )总是取x 2和x－2中最大的一个值．令x 2>x －2，得x 2>1，∴x >1或x <－1. 令x 2≤x －2，得－1≤x ≤1且x ≠0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x >1)x －2(－1≤x <0或0<x ≤1)，x 2 (x <－1)函数f (x )的图象如图所示：∴函数f(x)的最小值为1.。
数学人教B版必修一本章整合学案第三章基本初等函数(Ⅰ) Word版含解析
本章整合知识网络专题探究专题一指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容．指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的，对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．【应用】已知＝＝(≠)，且＋＝，则实数的值为()．．．解析：由＝＝(≠)，知>，且＝，＝，将它们代入＋＝，得＋＝·，即＋＝，所以＋＝，＋＝，＝，因此＝.答案：【应用】()化简÷×；()求值：－＋.提示：利用指数与对数的运算法则运算即可．解：()原式＝××＝××＝.()方法一：－＋＝－＋＝＝＝＝.方法二：原式＝(－)－·＋(＋)＝－－＋＋＝＋＝(＋)＝＝.专题二比较大小问题比较几个数的大小关系是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用．常用的方法有：单调性法、图象法、中间量法(搭桥法)、作差法、作商法、分析转化法等．【应用】比较下列各组数的大小：()与；()与.思路分析：利用指数函数、对数函数、幂函数的图象随底数的变化规律比较大小．解：()＝×＝()＝＝×＝()＝，因为＝在>时是增函数，又因为<，所以<，即<.()在同一平面直角坐标系内作出对数函数＝和＝的图象，可知>.【应用】比较下列各组数的大小：()－与－；()与；()与.解：()∵<＝.>＝，∴<..。
数学人教B版必修一单元检测第三章基本初等函数(Ⅰ) Word版含解析
本章测评(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)已知全集＝，集合＝{＝，∈}，＝{＝(－)}，则()∩等于( )．(－∞，) ．[)．[，＋∞) ．设函数()＝(－)，下列命题中正确的是…( )．()有最小值，无最大值．()有最小值，无最大值．()无最小值，有最大值．()无最小值，有最大值设＞，则，的大小关系是…( )．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜某人年月日到银行存入一年期款元，若按年利率复利计算，则到年月日可取款( ) ．(＋)元．(＋)元．＋(＋)元．(＋)元为了得到函数＝的图象，只需把函数＝的图象上所有的点( )．向左平移个单位，再向上平移个单位．向右平移个单位，再向上平移个单位．向左平移个单位，再向下平移个单位．向右平移个单位，再向下平移个单位已知函数()＝(－)(－)(其中＞)，若()的图象如下图所示，则函数()＝＋的图象大致为( )已知＝，那么－用表示为( )．－．－－－幂函数＝－及直线＝，＝，＝将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①②③④⑤⑥⑦⑧(如图所示)，那么幂函数＝的图象经过的“卦限”是 ( )．④⑦．④⑧．③⑧．①⑤函数()＝＋是偶函数，且在区间(，＋∞)上单调递减，则(－)与(＋)的大小关系为( ) ．(－)＝(＋) ．(－)＞(＋)．(－)＜(＋) ．不能确定设函数＝()在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数，定义函数()＝(\\(((，((≤，，((>.))取函数()＝－.当＝时，函数()的单调递增区间为( ) ．(－∞，) ．(，＋∞) ．(，＋∞) ．(－∞，－)二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中的横线上)若()＝(－)，则()＝.已知函数()＝，则方程－()＝的解＝.函数()＝(－)＋无论取什么值时，恒过定点．已知()＝(\\(，≥，(＋(，<，))则()＝.如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆形纸板，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)形纸板，，…，，则的半径是．。
人教B高中数学必修一课时跟踪检测：第三章 基本初等函数Ⅰ 32 321 第1课时 含解析
第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算第一课时对数的概念及性质课时跟踪检测[A组基础过关]1．下列指数式与对数式互化错误的是()A．23＝8与log28＝3B．27－13＝13与log2713＝－13C．(－2)5＝－32与log－2(－32)＝5D．100＝1与lg 1＝0答案：C2．下列各式中正确的个数是()①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x ＝e2.A．1 B．2C．3D．4解析：根据对数的概念及一些特殊值的对数进行判断．①中lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝0正确；②中ln e＝1，所以lg(ln e)＝0正确；③中10＝lg x，则x＝1010，故③不正确；④中e＝ln x，则x＝e e，故④不正确．答案：B3．方程2log3x＝14的解是()A．x＝19B．x＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9解析：由2log 3x ＝14，得log 214＝log 3x ， 又log 214＝log 22－2＝－2， ∴log 3x ＝－2， ∴x ＝3－2＝19，故选A ． 答案：A4．对数式log (a －2)(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2,3)∪(3,5)D ．(2，＋∞)解析：由对数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧5－a ＞0，a －2＞0，a －2≠1，所以2＜a ＜5且a ≠3，故选C ．答案：C5．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝( ) A ．1049 B ．710 C ．107D ．4910解析：∵a ＝log 310，∴3a ＝10， b ＝log 37，∴3b ＝7， ∴3a －b＝3a 3b ＝107，故选C ．答案：C6．下列四个命题，其中正确的是( ) ①对数的真数是非负数； ②若a >0，且a ≠1，则log a 1＝0； ③若a >0，且a ≠1，则log a a ＝1；④若a >0，且a ≠1，则a log a2＝2.A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．②③解析：对数的真数是正数，故①错；log a 1＝0，②正确； log a a ＝1，③正确；a log a2＝2，④正确，故选C ．答案：C7．已知f (x 5)＝lg x ，则f (32)＝________. 解析：x 5＝32，x ＝2， ∴f (32)＝lg 2. 答案：lg 28．求下列各式中的x . (1)log 8x ＝－23； (2)log x 27＝34.解：(1)由log 8x ＝－23，得x ＝8－23＝(23) －23＝2－2＝14. (2)由log x 27＝34，得x 34＝27，x ＝(33)43＝34＝81.[B 组 技能提升]1．已知f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ∈(0，＋∞)，x 2，x ∈(－1，0]，－2x ＋3，x ∈(－∞，－1]，则f {f [f (－2－3)]}＝( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2 解析：f (－2－3)＝－2－2－3＋3＝－2－2＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝116，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝log 2116＝－4. 答案：B2．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n 的值是( )A．15 B．75 C．45 D．225解析：由log a3＝m，得a m＝3，由log a5＝n，得a n＝5，∴a2m＋n＝a2m·a n＝(a m)2·a n＝9×5＝45，故选C．答案：C3．log6[log4(log381)]＝________.解析：log6[log4(log381)]＝log6(log44)＝log61＝0. 答案：04．计算：823×3log32ln e＋log4164＝________.解析：原式＝(23)23×21＋log44－3＝22×21－3＝－4.答案：－45．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，求log x y x的值．解：由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴log x y x＝log212＝log21＝0.6．设M＝{0,1}，N＝{11－a，lg a,2a，a}，是否存在实数a，使得M∩N＝{1}．解：若M∩N＝{1}，则1∈N.①若11－a＝1，则a＝10，此时lg a＝1，与集合中元素的互异性矛盾；②若lg a＝1，则a＝10，此时11－a＝1，与集合中元素的互异性矛盾；③若2a＝1，则a＝0，此时lg a无意义；④若a＝1，则lg a＝0，此时M∩N＝{0,1}，与题设矛盾．综上所述，不存在实数a，使M∩N＝{1}成立．。
人教B版高中数学必修一第三章《基本初等函数I》讲解与例题+综合测试(7份).docx
3.4函数的应用(II)QJy I (.Hl / H?S li IJHi E \ J I \ L \1.函数模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无木质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.本节涉及的函数模型有：⑴指数函数模型：y=G//+c(b>0, bHl, aHO),当b>\, d>0时，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸.(2)对数函数模型:y=mlog(l x+n(m^O f a>0, aHl),当aAl,加>0时，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢.(3)帚函数模型：y=a-x n+b(a^O),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx~\~c(a0), 当d>0时，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后増大.在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图彖的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等.【例1 — 1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度，设2012年的冬季冰雪覆盖面积为加，从2012年起，经过兀年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积)，与x的函数关系式是()A. ^=0.9550 -mB. >,=(l-O.O55O)-mC. y=0.9550_x-/?zD. y=(l-O.O55O_v)-/n解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为d.・・・50年内覆盖面积减少了5%,1・・・(1—a)5°=l—5%,解得0=1 — 0.9550.1 △・••从2012年起，经过x年后，冰雪覆盖面积尸加1一(1一0.95巧F二加095込答案：A【例1一2】某公司为应对金融危机的影响，拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率1%,按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率3%,按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利讣算5年后的本利和分别是多少，再通过比较作答.解：本金100万元，年利率1%,按单利计算，5年后的本利和是100X(l + l%X5) = 105(万元).本金100万元，年利率3%,按每年复利一次计算，5年后的本利和是100X(1 + 3%『a 115.93(万元).由此可见按年利率3%每年复利一次投资要比按年利率1%单利投资更有利，5年后多得利息约10.93万元.谈重点利息的计算利息分单利和复利两种.单利是只有木金牛息，利息不再牛息，而复利是把前一期的本利 和作为本金再牛息，两种情况要注意区分.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计•息的储蓄，如某人存入本金。
2019版高中数学人教B版必修1：第三章 基本初等函数(Ⅰ)检测A 含解析
1 B. C.-8 D.-1818由题意可知α+β=-,32得=8.(14)α+β=(14)-32=432=43A2函数y=的定义域为( )3-xlog 2(x +4)A .{x|-4<x<3}x|-4<x ≤3}x|-4≤x ≤3}34A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<bA5如图所示,曲线C1,C2,C3,C4分别是指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图象,则a,b,c,d与1之间的大小关系 )a<b<1<c<d6可知函数图象经过原点.所以函数图象关于y 轴对称,7函数y=lo (x 2-5x+6)的单调递增区间为( )g 12 B.(3,+∞)(5+∞) D.(-∞,2)∞,52)因为x 2-5x+6>0,所以x>3或x<2.所以原函数的单调递增区间为(-∞,2).故选D .D8若0<x<y<1,则( )A.3y <3xB.log 4x<log 4y910若方程m x-x-m=0(m>0,m≠1)有两个不同的实数根,则m的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.(2,+∞)方程m x-x-m=0有两个不同的实数根,即函数y=m x与y=x+m的图象有两个不同的交点.显然,当时,两图象有两个不同交点;当0<m<1时,两图象只有1个交点,故m的取值范围是(1,+∞).A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)(4,1)1112解析1314答案(1,2)15已知y=log 4(-ax+3)在[0,1]上是关于x 的减函数,则a 的取值范围是 .由题意知解得0<a<3.{-a <0,-a ×1+3>0,(0,3)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)计算下列各题:)6--(-2 017)0;275×(2549)1217分析18(1)求函数若f (x )为奇函数,求实数a 的值.(1)∵4x -1≠0,∴4x ≠1,∴x ≠0.∴f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ),即-a=-+a.14-x -114x -1∴2a==-1,∴a=-.4x 1-4x +14x -1=1-4x4x -11219(10分)一种放射性元素最初的质量为500 g,按每年20%衰减.(1)求t (t ∈N +)年后,这种放射性元素的质量y 与t 的函数关系式;20(10分)已知函数f (x )=3x ,且f -1(18)=a+2,g (x )=3ax -4x 的定义域为[0,1].(1)求g (x )的解析式;求g (x )的值域.(1)因为f (x )=3x ,所以f -1(x )=log 3x ,f -1(18)=log 318=2+log 32,所以a=log 32.所以g (x )=-4x =2x -4x ,所以3xlog 32=-4x +2x ,x ∈[0,1].(2)令t=2x ∈[1,2],g (x )=-t 2+t=-,g (x )max =g (1)=0,g (x )min =g (2)=-2,故g (x )的值域为[-2,0].(t -12)2+14。
数学人教B版必修1单元检测：第三章 基本初等函数Ⅰ 含解析 精品
数学人教B 必修1第三章 基本初等函数(Ⅰ)单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合121log 2A xx ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎫+∞⎪⎪⎝⎭ B．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ C ．(－∞，0]∪⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D．⎫+∞⎪⎪⎝⎭2．若log 2a ＜0，1>12b⎛⎫⎪⎝⎭，则( )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜03．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则()A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1 4．若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．3 B ．52 C ．6 D ．125．若a ＜0，则函数y ＝(1－a )x －1的图象必过点( ) A ．(0,1) B ．(0,0) C ．(0，－1) D ．(1，－1) 6．若log b a ＜0，则有( )A ．(a －1)(b －1)＞0B ．(a －1)(b －1)＜0C ．a ＞1,0＜b ＜1D ．以上答案均错7．定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是()A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．321,0,=1,0x x y x x +≥⎧⎨+<⎩D ．e ,0,=e ,0x x x y x -⎧≥⎨<⎩8．已知函数11,2,()=42,2x a x x f x a x ⎧⎛⎫-⋅+<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩在R 上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭9．设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 010)＝8，则222122010()()()f x f x f x +++ 的值等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．2log a 810．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G 12,2⎛⎫⎪⎝⎭中，“好点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知函数2log ,0,()=2,0,xx x f x x >⎧⎨≤⎩若1()=2f a ，则a ＝________. 12．若函数f (x )＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有f (x )＞1，则a 的取值的集合为________．13．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称，而函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，若f (m )＝－1，则m 的值为________．14．函数3=31xx y +(x ∈[－1,1])的值域为__________．15．已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，则不等式f (2)＜f (log 2x )的解集为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)化简下列各式：(1)2132111136251546x yx y x y --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(xy )－1(x ＞0，y ＞0)．17．(本小题满分12分)求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋8)的单调区间． 18．(本小题满分12分)已知函数11()=212x f x +-， (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)证明当x ＞0时，f (x )＞0.19．(本小题满分12分)已知函数212()=log (23)f x x ax -+，(1)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值；(2)若函数f (x )在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分13分)若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．21．(本小题满分14分)有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设降雨量和蒸发量平衡，且污染物和湖水均匀混合．用()=(0)e tVP P g t g r r ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦(P ≥0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数(我们称其为湖水污染质量分数)，g (0)表示湖水污染初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；(2)分析(0)<Pg r时，湖水的污染程度如何．参考答案1．A 点拨：∵121log 2x ≥，即1122log log 2x ≥，∴0<x ≤，即=02A x x ⎧⎪<≤⎨⎪⎪⎩⎭，∴R=02A x x x ⎧⎪≤>⎨⎪⎪⎩⎭或. 2．D 点拨：∵log 2a ＜log 21，∴0＜a ＜1.∵011>1=22b⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴b ＜0. 3．B4．C 点拨：∵x ·log 23＝1， ∴321==log 2log 3x . ∴3x ＋9x ＝3x ＋(3x )2＝3log 32＋(3log 32)2＝2＋22＝6.5．B 点拨：根据指数函数y ＝a x 恒过定点(0,1)知，函数y ＝(1－a )x －1恒过定点(0,0)． 6．B 点拨：当b ＞1时，若log b a ＜0，则0＜a ＜1； 当0＜b ＜1时，若log b a ＜0，则a ＞1.综上可知，a －1与b －1异号．故(a －1)(b －1)＜0.7．C 点拨：利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数．y ＝x 2＋1在(－2,0)上为减函数；y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数；321,0,=1,0x x y x x +≥⎧⎨+<⎩在(－2,0)上为增函数；y ＝e ,0,1,0ex x x x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩在(－2,0)上为减函数． 8．B 点拨：由01,10,4a a <<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 得0＜a ＜14.又f (x )在R 上为减函数，需满足211242a a ⎛⎫-⋅+≥ ⎪⎝⎭，即a 2－2a ≤0，a (a －2)≤0.∴0≤a ≤2.综上，知0＜a ＜14. 9．C 点拨：222122010()()()f x f x f x +++＝222122010log log log a a a x x x +++ ＝222122010log ()a x x x ⋅⋅⋅＝log a (x 1x 2…x 2 010)2 ＝2log a (x 1x 2…x 2 010)＝2f (x 1x 2…x 2 010)＝2×8＝16.10．C 点拨：∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)， ∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)． ∴点M ，N ，P 一定不是好点．可验证：12,2⎛⎫⎪⎝⎭过指数函数=2xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭，且过对数函数y＝log4x.Q(2,2)在xy和y x的图象上．111点拨：当a＞0时，若1()=2f a，则21log=2a，∴12=2a当a≤0时，若1()=2f a，则12=2a，∴a＝－1.综上可知，a a＝－1.12．{a|1＜a＜2}点拨：若函数f(x)＝log a x在区间[2，＋∞)上恒有f(x)＞1，则1,log21,aa>⎧⎨>⎩即1,log2log.a aaa>⎧⎨>⎩∴1＜a＜2.13．1e-点拨：由题意知y＝g(x)应为y＝e x的反函数，即y＝g(x)＝ln x，而y＝f(x)与y＝g(x)＝ln x的图象关于y轴对称，故可得y＝f(x)＝ln(－x)，又f(m)＝－1，所以ln(－m)＝－1，得－m＝e－1，即1=em-.14．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦点拨：∵1=13xy+，x∈[－1,1]，∴3－1≤3x≤31，即13,33x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.∴13,33x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，141,433x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.∴13,44y⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.15．10,4⎛⎫⎪⎝⎭∪(4，＋∞)点拨：因为函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，且f(2)＜f(log2x)，当log2x＞0时，有2＜log2x，解得x＞4；因为函数f(x)为偶函数，当log2x＜0时，有log2x＜－2，解得10<<4x，所以不等式f(2)＜f(log2x)的解集为10,4⎛⎫⎪⎝⎭∪(4，＋∞)．16．解：(1)原式＝1112111(1)226336665(4)=24=245x y x y y⎛⎫------- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯-⨯-⋅⋅⎪⎝⎭.(2)112[()()]xy xy-⋅＝11111331233222222()=()xy x y xy x y xy---⋅⋅⋅⋅（）（）＝1122()()=()=1xy xy xy-⋅.17．解：由x2－6x＋8＞0，得x＞4或x＜2，故函数的定义域为(－∞，2)∪(4，＋∞)．因为y＝log2(x2－6x＋8)由y＝log2u和u(x)＝x2－6x＋8复合而成，而y＝log2u在定义域内为增函数，又u(x)＝x2－6x＋8在(－∞，2)上是减函数，在(4，＋∞)上是增函数，故函数y＝log2(x2－6x＋8)的单调增区间为(4，＋∞)，单调减区间为(－∞，2)．18．解：(1)∵2x－1≠0，即2x≠1，∴x≠0.故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，∵112112()===212122221x xx xx f x --++----， ∴f (x )＋f (－x )＝111212=1=021222121x xxx x -++-+---. ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． (3)当x ＞0时，2x ＞1，∴2x －1＞0， ∴110212x +>-，即当x ＞0时，f (x )＞0. 19．解：(1)设g (x )＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2. ∵f (x )的值域为(－∞，－1]， ∴12log ()1g x ≤-，即1122log ()log 2g x ≤，∴g (x )≥2.由3－a 2＝2，得a ＝1或a ＝－1. (2)要使f (x )在(－∞，1]内是增函数，需g (x )在(－∞，1]上为减函数且g (x )＞0对于x ∈(－∞，1]恒成立，∴1,(1)0,a g ≥⎧⎨>⎩即1,1230.a a ≥⎧⎨-+>⎩∴1≤a ＜2.故实数a 的取值范围是[1,2)．20．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，121=2t t . 由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，1lg lg =2a b ⋅. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )lg lg lg lg b a a b ⎛⎫+⎪⎝⎭＝22(lg lg )[(lg )(lg )]lg lg a b b a a b++＝(lg a ＋lg b )·2(lg lg )2lg lg lg lg b a a ba b+-＝212222=1212-⨯⨯， 即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.21．解：(1)当湖水污染质量分数g (t )为常数时，g (t )的值与t 无关，故有(0)=0Pg r-，∴(0)=P g r ，即湖水污染初始质量分数为P r. (2)当g (0)＜P r 时，g (0)－Pr＜0.tV随t的增大逐渐增大，∴g(t)为减函数．故湖水的污染程度越来越轻．又∵e。
数学人教B版必修一单元检测：第三章基本初等函数Ⅰ 含
本章测评(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集I ＝R ，集合M ＝{y |y ＝2|x |，x ∈R }，N ＝{x |y ＝lg(3－x )}，则(I M )∩N 等于( ) A ．(－∞，1) B ．[1,3) C ．[3，＋∞) D ．2设函数f (x )＝log 2(4－x 2)，下列命题中正确的是 …( ) A ．f (x )有最小值4，无最大值 B ．f (x )有最小值2，无最大值 C ．f (x )无最小值，有最大值2 D ．f (x )无最小值，有最大值23设a ＞1，则log 0.2a,0.2a ，a 0.2的大小关系是…( )A ．0.2a ＜log 0.2a ＜a 0.2B ．log 0.2a ＜0.2a ＜a 0.2C ．log 0.2a ＜a 0.2＜0.2aD ．0.2a ＜a 0.2＜log 0.2a4某人2008年7月1日到银行存入一年期款a 元，若按年利率x 复利计算，则到2011年7月1日可取款( )A ．a (1＋x )3元B ．a (1＋x )4元C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x 3)元5为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移3个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移3个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移3个单位，再向下平移1个单位6已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )，若f (x )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致为( )7已知a ＝log 23，那么log 38－2log 29用a 表示为( )A ．－aB ．－1a C.3a －4a D.3a －2a 28幂函数y ＝x－1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①②③④⑤⑥⑦⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是 ( )A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑧D ．①⑤9函数f (x )＝log a |x ＋b |是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)＞f (a ＋1)C ．f (b －2)＜f (a ＋1)D ．不能确定10设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |.当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11若f (2x )＝log 3(7－x )，则f (14)＝__________.12已知函数f (x )＝log 12x ，则方程f －1(x )＝4的解x ＝__________.13函数f (x )＝log a (x －3)＋2无论a 取什么值时，恒过定点__________．14已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，f (x ＋2)，x <1，则f (log 232)＝__________.15如图，P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆形纸板P 2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)形纸板P 3，P 4，…，P n ，则P n 的半径r n 是__________．三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(8分)不用计算器求下列各式的值： (1)(214)12－(－9.6)0－(338)－23＋(1.5)－2；(2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72. 17(10分)已知函数f (x )＝2＋log 3x (181≤x ≤9)，求函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值和最小值．18(10分)科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的碳14含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的碳14含量P ；(2)湖南长沙马王堆古墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代．19(12分)对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并说明理由．参考答案1解析：由M ＝{y |y ≥1}，N ＝{x |x ＜3}，I M ＝{y |y ＜1}，所以(I M )∩N ＝{x |x ＜1}． 答案：A 2答案：C3解析：∵a ＞1，∴log 0.2a ＜0,0.2a ∈(0,1)，a 0.2＞1. 答案：B4解析：若2009年7月1日取款，有a (1＋x )元； 若2010年7月1日取款，有a (1＋x )(1＋x )＝a (1＋x )2元； 若2011年7月1日取款，有a (1＋x )2(1＋x )＝a (1＋x )3元． 答案：A5解析：∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴只需把y ＝lg x 的图象向左平移3个单位，再向下平移1个单位，即可得到y ＝lg x ＋310的图象．答案：C6解析：由题意可知a ∈(0,1)，b ＜－1， ∴结合选项易判断只有A 符合． 答案：A7解析：log 38－2log 29＝3log 32－4log 23＝3log 23－4log 23＝3a －4a .答案：C8解析：对幂函数y ＝x α，当α∈(0,1)时，在区间(0,1)上，其图象在直线y ＝x 的上方，在区间(1，＋∞)上，其图象在直线y ＝x 的下方，且图象经过点(1,1)．∴y ＝x 12的图象经过①⑤两个“卦限”．答案：D9解析：由f (x )为偶函数得b ＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴0＜a ＜1.∴b －2＝－2,1＜a ＋1＜2. ∴|b －2|＞|a ＋1|＞0. ∴f (b －2)＜f (a ＋1)． 答案：C10解析：函数f (x )＝2－|x |＝(12)|x |，作图易知 f (x )≤K ＝12x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．答案：D11解析：∵f (14)＝f (2－2)，∴f (14)＝log 3[7－(－2)]＝log 39＝2.答案：212解析：根据互为反函数的自变量和因变量的互换关系，得x ＝f (4)＝log 124＝－2，∴方程f －1(x )＝4的解为x ＝－2.答案：－213解析：由y ＝log a x 过定点(1,0)可知y ＝log a (x －3)过定点(4,0)， ∴f (x )＝log a (x －3)＋2过定点(4,2)． 答案：(4,2)14解析：f (log 232)＝f (log 232＋2)＝f (log 232＋log 24)＝f (log 26)＝2log 26＝6. 答案：615解析：由已知可得r 1＝(12)0，r 2＝(12)1，r 3＝(12)2，r 4＝(12)3，依次类推，r n ＝(12)n －1.答案：(12)n －116解：(1)原式＝(94)12－1－(278)－23＋(32)－2＝(32)2×12－1－(32)－3×23＋(32)－2. ＝32－1－(32)－2＋(32)－2＝12. (2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.17解：g (x )＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.∵f (x )的定义域为[181，9]，∴⎩⎨⎧181≤x ≤9，181≤x 2≤9，解得⎩⎨⎧181≤x ≤9，－3≤x ≤－19，或19≤x ≤3.∴19≤x ≤3，即g (x )的定义域为[19，3]． ∴－2≤log 3x ≤1.∴当log 3x ＝－2，即x ＝19时，[g (x )]min ＝－2；当log 3x ＝1，即x ＝3时，[g (x )]max ＝13.18解：(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1,1年后的残留量为x ，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的碳14含量P 有如下关系：因此，生物死亡t 年后体内碳14的含量P ＝x t .由于大约每过5 730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730，于是x ＝(12)15 730，这样生物死亡t 年后体内碳14的含量P ＝(12)t5 730.(2)由对数与指数的关系，指数式P ＝(12)t 5 730可写成对数式t ＝5 730log 12P .湖南长沙马王堆女尸中碳14的残留量约占原始含量的76.7%，即P ＝0.767，那么t ＝5 730log 120.767，由计算器可得t ≈2 193.所以马王堆古墓约是2 100多年前的遗址． 19解：(1)取x 1＝x 2＝0，可得f (0)≥f (0)＋ff (0)≤0.又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．理由如下：显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0，也满足条件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)为理想函数．。
2019-2020学年高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)章末综合测评 新人教B版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）章末综合测评新人教B 版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x的图象关于直线y ＝x 对称的函数是( ) A ．y ＝4xB ．y ＝4－xC ．y ＝log 14xD ．y ＝log 4x【解析】 由指数、对数函数图象性质知，与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x的图象关于直线y ＝x 对称的函数是对数函数y ＝log 14x ，故选C.【答案】 C2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x 2－2x【解析】 y ＝ln(x ＋2)的定义域为(－2，＋∞)，在(0，＋∞)上递增;y ＝－x ＋1的定义域为[－1，＋∞)，在(0，＋∞)上递减；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为R ，在(0，＋∞)上递减；y ＝x 2－2x 的定义域为R ，在(1，＋∞)上递增，在(0,1)上递减．故选A.【答案】 AA ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(1,2]【解析】得0<x －1≤1， ∴1<x ≤2. 【答案】 D4．设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设0<a <1，则f (a )与f －1(a )的大小关系是( )A ．f －1(a )>f (a ) B ．f －1(a )＝f (a ) C ．f －1(a )<f (a )D ．不确定【解析】 设f (x )＝x α，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3的坐标代入得：3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13α，∴α＝－12.∴f (x )＝x -12，即y ＝x -12，∴x ＝y －2， ∴f －1(x )＝x －2. 又0<a <1， ∴f －1(a )>f (a )． 故选A. 【答案】 A5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ，log 2x 2＋x ，x，若f (a )＝1，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或1或－2【解析】 ∵f (a )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－1＝1，a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧log 2a 2＋a ＝1，a 2＋a >0，a >0，(a 2＋a >0与a >0的公共解为a >0)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a >0.∴a ＝－1或a ＝1. 【答案】 C6．若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( ) A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c＜b cD ．c a＞c b【解析】 对于选项A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．对于选项B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg b lg c ，而lg a ＞lg b ，两边同乘一个负数1lg c 不等号方向改变，∴log c a ＜log c b ，∴选项B 正确．对于选项C ：利用y ＝x c(0＜c ＜1)在第一象限内是增函数，可得a c＞b c，∴选项C 错误．对于选项D ：利用y ＝c x(0＜c ＜1)在R 上为减函数，可得c a＜c b，∴选项D 错误，故选B.【答案】 B 7．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，x ∈(－1,1)的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称【解析】 f (x )＝lg 1＋x1－x，x ∈(－1,1)，∴f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x 1－x ＝－f (x )．即f (x )为奇函数，关于原点对称． 【答案】 C8．若f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，f (x )的反函数为g (x )，且g (2)<1，则f (x )的图象是( )【解析】 g (x )＝a x(a >0且a ≠1)，∴g (2)＝a 2<1，故0<a <1， ∴f (x )＝log a x 是减函数，应选B. 【答案】 B9．已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x，x ∈R .( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥b D ．若f (a )≥2b ，则a ≥b【解析】 ∵f (x )≥|x |，∴f (a )≥|a |.若f (a )≤|b |，则|a |≤|b |，A 项错误．若f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．∵f (x )≥2x ，∴f (a )≥2a .若f (a )≤2b，则2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确．若f (a )≥2b 且f (a )≥2a，无法推出a ≥b ，故D 项错误．故选B.【答案】 B10．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a【解析】 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .【答案】 C11．若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)【解析】 因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.【答案】 C12．函数y ＝a x－2(a ＞0且a ≠1，－1≤x ≤1)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1，则实数a ＝( )A ．3 B.13 C ．3或13D.23或32【解析】 当a ＞1时，y ＝a x－2在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝1，1a－2＝－53，解得a ＝3；当0＜a ＜1时，y ＝a x－2在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝－53，1a －2＝1，解得a ＝13.综上可知a ＝3或13.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________.【解析】 原式＝lg 1425÷(102) -12＝lg10－2÷110＝－2×10＝－20.【答案】 －2014．化简： a a a ＝________.【解析】 a a a ＝aa ·a 1212＝a 78.【答案】 a 7815．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________. 【解析】 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象对称轴为x ＝1， ∴当－2<a ≤1时，y min ＝g (a )＝a 2－2a ；当a >1时，y min ＝g (a )＝－1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a－1， a【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a－1， a16．对于下列结论： ①函数y ＝ax ＋2(x ∈R )的图象可以由函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象平移得到；②函数y ＝2x与函数y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称； ③方程log 5(2x ＋1)＝log5(x 2－2)的解集为{－1,3}；④函数y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )为奇函数．其中正确的结论是________．(把你认为正确结论的序号都填上) 【解析】 y ＝ax ＋2的图象可由y ＝a x 的图象向左平移2个单位得到，①正确；y ＝2x与y＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，②错误；由log 5(2x ＋1)＝log 5(x 2－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝x 2－2，2x ＋1>0，x 2－2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3，x >－12，x >2或x <－2，∴x ＝3，③错误；设f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，定义域为(－1,1)，关于原点对称，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－[ln (1＋x )－ln (1－x )]＝－f (x )．∴f (x )是奇函数，④正确．故正确的结论是①④. 【答案】 ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求下列函数的定义域． (1)f (x )＝1log 2x ＋－3； (2)f (x )＝92x －1－127. 【解】 (1)要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，log 2x ＋＝log 28，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠7，∴函数的定义域为{x |x >－1且x ≠7}． (2)要使函数有意义，须满足：92x －1－127≥0， ∴34x －2≥3－3，∴x ≥－14，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－14.18．(本小题满分12分)若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，求lg(ab )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2的值．【解】 ∵lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝[lg (ab )]2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.∴lg(ab )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝2×2＝4. 19．(本小题满分12分)求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值.【解】 ∵2≤x ≤4， ∴－2≤log 12x ≤－1.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，y ＝t 2－12t ＋5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋7916.∵对称轴t ＝14∉[－2，－1]，∴y ＝t 2－12t ＋5在[－2，－1]上是减函数．∴y (－1)≤y ≤y (－2)， 即当t ＝－1时，y min ＝132，当t ＝－2时，y max ＝10.20．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0，且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)求使f (x )>0的x 的取值范围．【解】 (1)要使f (x )有意义，x 的取值必须满足1＋x1－x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <0，1－x <0，解得－1<x <1.故f (x )的定义域为(－1,1)． (2)当a >1时，由log a 1＋x1－x >0＝log a 1，得1＋x1－x>1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x >1－x .解得0<x <1.当0<a <1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1，得0<1＋x 1－x<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x <1－x .解得－1<x <0.故当a >1时，所求x 的取值范围为0<x <1； 当0<a <1时，所求x 的取值范围为－1<x <0.21．(本小题满分12分)分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y 与声压P 的函数关系式； (2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)某晚会中，观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时的声压是多少？【解】 (1)由已知，得y ＝20lg P P 0. 又P 0＝2×10－5，则y ＝20lg P2×10－5.(2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 0.0022×10－5＝20lg 102＝40(分贝)．由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区． (3)由题意，得90＝20lg P P 0，则P P 0＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．22．(本小题满分12分)已知指数函数y ＝g (x )满足g (2)＝4，定义域为R 的函数f (x )＝－g x ＋n 2g x ＋m是奇函数． (1)确定y ＝g (x )的解析式； (2)求m ，n 的值；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围． 【解】 (1)g (x )＝2x. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋n 2x ＋1＋m .∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (0)＝0，即n －12＋m＝0，∴n ＝1.∴f (x )＝1－2x2x ＋1＋m.又由f (1)＝－f (－1)知1－24＋m ＝－1－12m ＋1，解得m ＝2.(3)由(2)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1， 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，∴t 2－2t >k －2t 2，即3t 2－2t －k >0. 由判别式Δ＝4＋12k <0可得k <－13.。
数学人教B版必修1章末测试第三章基本初等函数(Ⅰ)B Word版含解析
第三章测评(高考体验卷)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．函数＝(－)的定义域为().(). [)．(] ．[]． ()·()＝()．．．已知，为正实数，则()＋＝＋．(＋)＝·．·＝＋．()＝·．设，，均为不等于的正实数，则下列等式中恒成立的是()·＝．·＝．()＝·．(＋)＝＋．函数()＝的图象与函数()＝－＋的图象的交点个数为()．．．．函数()＝(＋)的图象大致是()．函数()的图象向右平移个单位长度，所得的图象与曲线＝关于轴对称，则()＝() ＋．－．－＋．－－．已知函数()是定义在上的偶函数，且在区间[，＋∞)上单调递增．若实数满足()＋≤()，则的取值范围是().[] ．(]．设>，>，().若＋＝＋，则>．若＋＝＋，则<．若－＝－，则>．若－＝－，则<．已知函数()＝＋，∈[]，则函数＝()＋()的值域为().[] .[]二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．请把正确的答案填在题中的横线上)．函数()＝的值域为．．方程＋＝－的实数解为．．设函数()＝则((－))＝.．定义在上的函数()满足(＋)＝()．若当≤≤时，()＝(－)，则当－≤≤时，()＝.．若函数()＝(>，≠)在[－]上的最大值为，最小值为，且函数()＝(－)在[，＋∞)上是增函数，则＝.三、解答题(本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．(本小题满分分)()计算－×的值；()已知幂函数()的图象过点()，若函数＝()在[]上的最大值比最小值大，求实数的值．．(本小题满分分)(河北石家庄高一期中测试)一种放射性元素，最初的质量为，按每年衰减．()求(>，∈＋)年后，这种放射性元素的质量与的函数关系式；()求这种放射性元素的半衰期.(≈)．(本小题满分分)(辽宁实验中学高一期中)已知函数()＝＋(＋)＋满足(－)＝－，且对于任意∈，恒有( )≥成立．()求实数，的值；()不等式()≥－恒成立，求的取值范围．．(本小题满分分)(届天津南开区高一期中)已知函数()＝(＋)，()＝(－)(>，且≠)．()求函数()＋()的定义域；()判断函数()＋()的奇偶性，并说明理由；()求使()＋()<成立的的集合．。
人教B高中数学必修一课时跟踪检测：第三章 基本初等函数Ⅰ 32 322 第2课时 含解析
第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数3.2.2对数函数第二课时对数函数(二)课时跟踪检测[A组基础过关]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是()A．y＝－x2B．y＝x2－2xxC．y＝2x D．y＝log12解析：y＝－x2在(0，＋∞)上是减函数，y＝x2－2x在(0,1)为减函数，在(1，＋∞)为增函数，y＝2x在(0，＋∞)上为增函数，x在(0，＋∞)上为减函数，故选C．y＝log12答案：C2．三个数a＝0.62，b＝ln 0.6，c＝20.6之间的大小关系是()A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．a＜c＜b D．b＜c＜a解析：a＝0.62∈(0,1)，b＝ln 0.6＜0，c＝20.6＞1，∴b＜a＜c，故选A．答案：A(x2＋2x＋3)，则函数的最值情况为()3．已知函数y＝log12A．有最小值－1，无最大值B．无最小值，有最大值2C．有最小值2，无最大值D．无最小值，有最大值－1解析：y ＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，∴y ≤－1，∴函数有最大值－1，无最小值，故选D ． 答案：D4．当0＜a ＜1时，函数①y ＝a |x |与函数②y ＝log a |x |在区间(－∞，0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．①是增函数，②是减函数D ．①是减函数，②是增函数解析：①②均为偶函数，且0＜a ＜1，x ＞0时，y ＝a |x |为减函数，y ＝log a |x |为减函数，∴当x ＜0时，①②均是增函数．答案：A5．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：画出函数f (x )的图象如下图所示：再画出直线y ＝－x －a ，当直线过点A (0,1)时，直线恰与函数图象有两个交点， 即方程f (x )＝－x －a 有两个解， 也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C ． 答案：C6．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.解析：∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，则f (－a )＝－2，故答案为－2. 答案：－27．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a >1，a －2－1≤log a 1，解得2<a ≤3.答案：(2,3]8．(1)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围； (2)求函数y ＝log 12(x 2＋4)的定义域、值域和单调区间．解：(1)∵函数f (x )＝log 0.7x 是减函数， 由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，得⎩⎨⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.(2)∵函数y ＝log 12(x 2＋4)，∴函数的定义域是R ，由x 2＋4≥4且y ＝log 124＝－2，得函数的值域是(－∞，－2]，根据y ＝x 2＋4在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，结合复合函数同增异减的原则，得函数y ＝log 12(x 2＋4)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．[B 组 技能提升]1．(2018·天津卷)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：由题意可知：log 33<log 372<log 39，即1<a <2，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140，即0<b <1，log 1315＝log 35>log 372，即c >a ，综上可得，c >a >b .故选D ．答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(－∞，－1]解析：当x ≥1时，ln x ≥0，若f (x )的值域为R ，则当x ＜1时，(1－2a )x ＋3a 能取到所有的负数，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋3a ≥0，1－2a ＞0，即－1≤a ＜12，故选A ． 答案：A3．若a 2>b >a >1，则log a ba ，logb a ，log a b 从小到大依次为________． 解析：由a 2>b >a >1，得ba <a ， 故logb ba <logb a <1<log a b .答案：log b ba <logb a <log a b4．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论： ① f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ② f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确结论的序号为________．解析：∵f (x )＝lg x ，则f (x 1·x 2)＝lg(x 1·x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，∴②正确；又f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝lg x 1－lg x 2x 1－x 2，∵f (x )＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数，不妨设x 1＜x 2，则lg x 1－lg x 2＜0，x 1－x 2＜0，可得③正确．答案：②③5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是什么？解：∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0. 设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－lg(－x )，∴f (x )＝⎩⎨⎧lg x (x ＞0)，0(x ＝0)，－lg (－x )(x ＜0).由f (x )＞0得⎩⎨⎧ x ＞0，lg x ＞0或⎩⎨⎧x ＜0，－lg (－x )＞0， ∴－1＜x ＜0或x ＞1.6．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)，(1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b . ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又∵log 2f (a )＝2，f (a )＝4，∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝2， ∴f (x )＝x 2－x ＋2，∴f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74，∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74. (2)由题意知⎩⎨⎧(log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2，∴⎩⎨⎧log 2x <0或log 2x >1，0<x 2－x ＋2<4， ∴⎩⎨⎧0<x <1或x >2，－1<x <2， ∴0<x <1.。
2019版数学人教B版必修1训练：第三章 基本初等函数(Ⅰ) 检测B Word版含解析.pdf
7 若函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),已知 f(x1·x2·…·x2 017)=2 017,则 f(������21)+f(������22)+…+f(������2 0217)=( )
A.2 017
B.4 034
C.2 0172
2 017
D. 2
解析由已知得
loga(x1·x2·…·x2
第三章检测(B)
(时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)
1 下列函数中,是偶函数且图象经过点(0,0)和点(1,1)的是( )
1
A.y=������2
1
x=-2.
1
故 x 的值为 4 或-2.
- 2������ + ������
18(9
分)已知定义域为
R
的函数
f(x)=2������
+
1
+
是奇函数.
������
(1)求 a,b 的值; (2)若 f(3-4t)+f(2t+1)≤0,求实数 t 的取值范围.
- 1 + ������
- 2������ + 1
1 ������ - 3
2 ,������ > 1.
{ {( ) ������ > 1,
(2)由 y≥0.25 得 04���≤��� ≥������0≤.215,或
1 ������ - 3
2 ≥ 0.25,
1
解得16≤t≤5.
0, +
5,解得3<m<7.故实数
人教版数学高一B版必修1章末质量评估 第三章 基本初等函数(Ⅰ)
章末质量评估(三)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是()．A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．2，＋∞)解析由x－1>0得x>1.答案 B2．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是()．A．y＝(12)x B．y＝1xC．y＝－x3D．y＝log3(－x)解析y＝(12)x与y＝log3(－x)都为非奇非偶，排除A、D.y＝1x在(－∞，0)与(0，＋∞)上都为减函数，但在定义域内不是减函数，排除B.答案 C3．若a>1，则函数y＝a x与y＝(1－a)x2的图象可能是下列四个选项中的()．解析a>1，∴y＝a x在R上单调递增且过(0,1)点，排除B、D，又∵1－a<0，∴y＝(1－a)x2的开口向下．答案 C4．下列各式中，正确的是()．解析 A 中；B 中a －13＝13a，C 中6a 2>0而可能小于0.答案 D5．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则 ( )．A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2解析 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y 3＝21.5， 因为y ＝2x 是增函数，∴y 1>y 3>y 2. 答案 D6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．A ．B ．C ．0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2知x ≥0，即0≤x ≤1， 当x >1时，由1－log 2x ≤2知x ≥12即x >1. 综合得x ≥0. 答案 D7．已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，函数g (x )＝0.5x －4的值域为N ，则M ∩N 等于( )．A ．MB ．NC ．0，＋∞)解析 M ＝{x |x <4}，N ＝{y |y ≥0}，∴M ∩N ＝0，＋∞)是增函数，3.5>3.4，∴3.50.3>3.40.3. 答案 D12．已知f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (3)g (3)<0，则f (x )与g (x )在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )．解析：∵f (3)＝a 3>0，由f (3)·g (3)<0得g (3)<0， ∴0<a <1，∴f (x )与g (x )均为单调递减函数，选C. 答案：C二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 13．若函数y ＝f (x )的定义域是12，22，4－2,1－2,1， ∴14≤t ≤2.g (t )＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，由g (t )在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的图象可得，当t ＝12，即x ＝－1时，g (x )有最大值14； 当t ＝2，即x ＝1时，g (x )有最小值－2. 故g (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.19．已知－3≤log 0.5x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值． 解 ∵f (x )＝log 2x 2·log 2x 4＝(log2x－1)(log2x－2) ＝(log2x)2－3log2x＋2＝(log2x－32)2－14，∴当log2x＝32，即x＝22时，f(x)有最小值－14；当log2x＝3，即x＝8时，f(x)有最大值2.20．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．解(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b－12＋2＝0⇒b＝1.∴f(x)＝1－2x2＋2x＋1.(2)由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1，设x1<x2则.因为函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因为f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0.等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2. 即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－1 3.。
人教B高中数学必修一课时跟踪检测：第三章 基本初等函数Ⅰ 31 3 第1课时 含解析
第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.1 指数与指数函数 3.1.2 指数函数 第一课时 指数函数(一)课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．下列以x 为自变量的函数，其中属于指数函数的是( ) A ．y ＝(a ＋1)x (其中a ＞－1，且a ≠0) B ．y ＝(－3)x C ．y ＝－(－3)x D ．y ＝3x ＋1解析：依据指数函数的定义不难判断B ，C ，D 不属于指数函数．由a ＞－1，且a ≠0，可知a ＋1＞0且a ＋1≠1.所以A 正确．答案：A2．当x ∈[－1,1]时，y ＝3x －2的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1B ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 D ．[0,1]解析：易判断函数y ＝3x －2在R 上是增函数，由f (－1)＝3－1－2＝－53，f (1)＝3－2＝1.所以当x ∈[－1,1]时，函数y ＝3x －2的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1.答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －1，x ≤0，x 2，x ＞0，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：当x 0≤0时，2－x 0－1＞1， ∴2－x 0＞2，即－x 0＞1，∴x 0＜－1， 当x 0＞0时，x 20＞1，∴x 0＞1.∴x 0的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选D ． 答案：D4．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(－2，－1)D ．(1,2)解析：f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e ＋1－2＝e －1＞0， 又f (x )是单调递增函数，∴f (x )的零点在区间(0,1)内，故选A ． 答案：A5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．[1，＋∞) 解析：由f [f (a )]＝2f (a )， 得f (a )≥1，当a <1时，有3a －1≥1， ∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1， 综上a ≥23，故选C ． 答案：C6．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，则f (3)＝________.解析：设f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，得a －32＝525＝5－32，所以a ＝5，故f (x )＝5x ，从而f (3)＝53＝125.答案：1257．已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52，f (2)＝174，则实数a ＝________. 解析：∵f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋b＝52，4＋22a ＋b ＝174，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－1，2a ＋b ＝－2.解得a ＝－1，b ＝0. 答案：－18．求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2x 2－8x ＋1(－3≤x ≤1)的值域．解：令t ＝－2x 2－8x ＋1， 则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ，又t ＝－2x 2－8x ＋1＝－2(x 2＋4x )＋1＝ －2(x ＋2)2＋9，∵－3≤x ≤1，∴当x ＝－2时，t max ＝9， 当x ＝1时，t min ＝－9，故－9≤t ≤9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫139≤y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－9，即3－9≤y ≤39，故所求函数值域为[3－9,39]．[B 组 技能提升]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x ，x ≥2，2x －1，x ＜2满足对任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0可知f (x )为增函数，∴a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，2(a －2)≥22－1，即a ≥72，故选A ．答案：A 2．函数f (x )＝1－42a x ＋a(a >0，a ≠1)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(－2，＋∞)解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝1－42＋a＝0. ∴a ＝2.∴f (x )＝1－42·2x ＋2＝1－22x ＋1＝2x －12x ＋1.当x ∈(0,1]时，2x －12x＋1>0，∴只需t ≥(2x ＋1)(2x －2)2x －1恒成立．令2x －1＝m ，∴2x ＝m ＋1.∵x∈(0,1]，∴m∈(0,1]．∴(2x＋1)(2x－2)2x－1＝(m＋2)(m－1)m＝m＋1－2m.又m＋1－2m是增函数，∴当m＝1时，m＋1－2m有最大值0，∴t≥0，故选A．答案：A3．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时有f(x)＝12x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.解析：当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝12－x＋1＝112x＋1＝2x1＋2x，又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－2x 1＋2x.答案：－2x 1＋2x4．已知集合P＝{(x，y)|y＝m}，Q＝{(x，y)|y＝a x＋1，a＞0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一个元素，那么m的取值范围是________．解析：如果P∩Q有且只有一个元素，即函数y＝m与y＝a x＋1(a＞0且a≠1)的图象只有一个公共点．∵y＝a x＋1＞1，∴m的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)5．设a＞0，a≠1，如果函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．解：令a x＝t，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，当a ＞1时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，∴当t ＝a 时，y max ＝(a ＋1)2－2＝14， ∴(a ＋1)2＝16，a ＋1＝4，a ＝3. 当0＜a ＜1时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，当t ＝1a 时，y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，∴1a ＝3，∴a ＝13. ∴a 的值为3或13.6．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1. (1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )有零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1， 令f (x )＝0，即2·(2x )2－2x －1＝0， 解得2x ＝1或2x ＝－12(舍)． 所以x ＝0，所以函数f (x )的零点为0.(2)若f (x )有零点，则方程2a ·4x －2x －1＝0有解． 于是2a ＝2x ＋14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋122－14， 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0，所以2a >14－14＝0，即a >0.。
人教新课标版数学高一-数学人教B版必修一本章练测 第三章 基本初等函数(I)
第三章基本初等函数（I）（人教B版必修1）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分1.计算的结果为（）A.3B.4C.5D.62.若，则x等于（）A.9B.C.25D.3.若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A. B. C. D.（0，+∞）4.函数在（-∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A.|a|>1B.|a|>2C.a>D.1<|a|＜5.函数y=的定义域是（-∞，0］，则a的取值范围是（）A.a>0B.a>1C.0<a<1D.a ≠16.已知，则a，b，c的大小关系是（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.c＜a＜b7.函数y=的图象的大致形状是（）8.函数y=的值域是（）A.（-2，-1）B.（-2，+∞）C.（-∞，-1］D.（-2，-1］9.已知函数f（x）=，若f（a）=b，则f（-a）等于（）A.bB.-bC.D.-10.设函数f（x）=若>1，则的取值范围是（）A.（-∞，0）∪（2，+∞）B.（0，2）C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-1，3）11.函数的图象如图，其中a，b为常数.下列结论正确的是（）A.0<a<1，b>1B.a>1，0<b<1C.a>1，b>1D.0<a<1，0<b<112.设函数f（x），g（x）的定义域分别为F，G，且F G.若对任意的x∈F，都有g（x）= f（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”.已知函数（x≤0），若g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（）A. B.C. D.二、填空题（每小题4分，共16分）13.若函数（a>0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，-1），则a= .14.设f（x）=则f（f（2））的值为.15.若函数+1，y=b，-1的图象无公共点，则b的取值范围为.16.若函数在上单调递减，则正实数a的取值范围是.三、解答题（共74分）17.（本小题满分12分）求下列各式的值：（1）；（2）（a>0且a≠1）.18.（本小题满分12分）设函数.（1）讨论y=f（x）的单调性，并画出其图象；（2）求f（x）≥2的解集.19.（本小题满分12分）设a>1，若对于任意的x∈［a，2a］，都有y∈［a，］满足方程，求a的取值范围.20.（本小题满分13分）若，求f（x）=·的最大值和最小值.21.（本小题满分12分）已知M={x|x>3或x<1}，当x∈M时，求的最值.22.（本小题满分13分）已知函数f（x）=.（1）证明函数f（x）是R上的增函数；（2）求函数f（x）的值域；（3）令g（x）=，判定函数g（x）的奇偶性，并证明.第三章基本初等函数（I）（人教B版必修1）答题纸二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17.18.19.20.21.22.第三章基本初等函数（I）（人教B版必修1）参考答案1.D 解析：原式··=··=6.2.D 解析：由换底公式，得··=2，∴-=-2.解得x=.3.A 解析：要使f（x）有意义，需>0，即0<2x+1<1，解得-<x<0.4.D 解析：由-1<1得<2，∴1<|a|＜.5.C 解析：由-1≥0得≥1.又知此函数的定义域为（-∞，0］，即当x≤0时，≥1恒成立，∴0<a<1.6.C 解析：将三个数与中间量0，1相比较.＞1.7.D 解析：原函数可化为y=8.D 解析：当x≤1时，=1，∴-2≤-1.当x>1时，＜，∴0＜＜=1，则.9.B 解析：由>0，得-1<x<1，∴f（-x）=lg =lg =lg lg ，∴f（x）是奇函数，∴f（-a）=-f（a）=-b.10.C 解析：当≥2时，∵，∴，即>3；当<2时，由，得，，∴.∴∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.11.C 解析：∵函数单调递增，∴a>1.又f（1）>0，∴，∴b>1.12.C 解析：由题意得，当x≤0时，.又g（x）是偶函数，因此有g（-x）=g（x）恒成立.当x>0时，-x<0，.综上所述，g（x）.13. 解析：由互为反函数关系知f（x）过点（-1，2），代入得=2，所以a=.14.2 解析：=1，=2.15.［-1，1］解析：如图.当-1≤b≤1时，此三函数的图象无公共点.16.0＜a＜或a＞2 解析：令，则当a＞1时，在（0，+∞）上单调递增，在上单调递减，∴在上单调递减.又在上恒大于0，∴＞0，即＞0，∴＞或＜0（舍去），∴a＞2.同理当0＜a＜1时，有0＜a＜.17.解：（1）.18.解：（1）y=当x≥1或x<-1时，y=f（x）是常数函数不具有单调性；当-1≤x<1时，单调递增.故y=f（x）的单调递增区间为［-1，1），其图象如图.（2）当x≥1时，y=4≥2成立.当-1≤x<1时，由≥2，得2x≥，x≥，∴≤x<1.当x<-1时，=<2，不等式不成立.综上，f（x）≥2的解集为19.解：∵=3，∴=3.∴.∴y=.∴函数y=（a>1）为减函数.又当x=a时，；当x=2a时，y=，∴⊆［a，］.∴≥a.又a>1，∴a≥2.∴a的取值范围为a≥2.20.解：.又∵-3≤≤-，∴≤3.∴当时，；当时，.21.解：M={x|x>3或x<1}，.∵x>3或x<1，∴>8或<2，∴当=，即时，f（x）最大，最大值为，f（x）没有最小值. 22.（1）证明：设是R内任意两个值，且，则>0.∴===.当时，，∴.又+1>0，+1>0，∴∴f（x）是R上的增函数. （2）解：f（x）==1-.∵+1>1，∴，即.∴. ∴f（x）的值域为.（3）解：函数g(x)为偶函数.证明如下：由题意知g（x）==·x.易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），g（-x）=（-x）·=（-x）·=x·=g（x），∴函数g（x）为偶函数.。
2021-2022学年新教材高中数学 第三章 函数测评(含解析)新人教B版必修第一册
第三章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山西运城高一期中)函数f (x )=√x -1+2x 2-4的定义域为( )A.[1,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.[1,2)∪(2,+∞),则{x -1≥0,x 2-4≠0,解得{x ≥1,x ≠2.故函数f (x )的定义域是[1,2)∪(2,+∞),故选D .2.(2021北京朝阳高一期末)已知函数y=f (x )可表示为如表所示,则下列结论正确的是( ) A.f (f (4))=3B.f (x )的值域是{1,2,3,4}C.f (x )的值域是[1,4]D.f (x )在区间[4,8]上单调递增f(4)=3,得f(f(4))=f(3)=2,故A错误;函数的值域为{1,2,3,4},故B正确,C错误;由表可知,f(x)在定义域上不单调,故D错误.故选B.3.(2021山东烟台高一期中)某高三学生去高铁站乘高铁.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘带,于是回到家取上身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图像中与上述事件吻合最好的是(),该高三学生离开家的过程中,y是x的一次函数,且斜率为正;小明返回家的过程中,y仍然是x的一次函数,斜率为负;小明最后由家到高铁站,y仍然是x的一次函数,斜率为正值,且斜率比第一段的斜率大,结合图像可知,与上述事件吻合最好的图像为C.故选C.4.(2021山东潍坊高一期中)已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2)<0且f(3)>0,则f(x)在(2,3)上的零点() A.至多有一个 B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有,函数f (x )=ax 2+bx+c 是连续函数,又f (2)<0,f (3)>0,由函数零点存在定理,可知f (x )在(2,3)上的零点个数有且只有一个,故选C .5.(2021浙江杭州中学高一期中)若函数f (x )满足关系式f (x )+2f (1-x )=-3x ,则f (2)的值为( ) A.-32 B.32 C.-52 D.52f (x )+2f (1-x )=-3x ,令x=2,则有f (2)+2f (-1)=-32;令x=-1,则有f (-1)+2f (2)=3.由上式可得f (2)=52,故选D .6.(2021河北邯郸高一期中)已知函数f (x )=ax 2+b x是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数.若f (2)=3,则a+b 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.0f (x )是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数,∴b-3+b-1=0,即2b=4,解得b=2,则f (x )=ax 2+2x .∵f (2)=3,∴f (2)=4a+22=3,解得2a+1=3,即a=1.因此a+b=1+2=3,故选C . 7.已知函数f (x )={x 2+1(x ≤0),2x (x >0),若f (a )=10,则a 的值是( )A.-3或5B.3或-3C.-3D.3或-3或5a ≤0,则f (a )=a 2+1=10,∴a=-3(a=3舍去),若a>0,则f (a )=2a=10,∴a=5,综上可得,a=5或a=-3,故选A .8.(2021广西北海高一期末)已知定义在[-2,2]上的奇函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈[-2,2]都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则不等式f (x+1)+f (1-4x )>0的解集为( ) A.-14,34B.23,34C.-14,1D.-14,23解析由f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0可知函数f (x )在[-2,2]上单调递减,f (x )是奇函数,所以f (x+1)>-f (1-4x )=f (4x-1).所以{-2≤x +1≤2,-2≤1-4x ≤2,x +1<4x -1,解得{-3≤x ≤1,-14≤x ≤34,x >23,所以23<x ≤34,即不等式的解集为23,34.故选B .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.下列对应关系f ,能构成从集合M 到集合N 的函数的是( )A.M=12,1,32,N={-6,-3,1},f 12=-6,f (1)=-3,f32=1B.M=N={x|x ≥-1},f (x )=2x+1C.M=N={1,2,3},f (x )=2x+1D.M=Z ,N={-1,1},f (x )={-1,x 为奇数,1,x 为偶数解析∵M=12,1,32,N={-6,-3,1},f 12=-6,f (1)=-3,f32=1,由定义知M 中的任一个元素,N 中都有唯一的元素和它相对应,∴构成从集合M 到集合N 的函数,故A 正确;由M=N={x|x ≥-1},f (x )=2x+1,能构成从集合M 到集合N 的函数,故B 正确; 由M=N={1,2,3},f (x )=2x+1,∵f (2)=5,f (3)=7,5∉{1,2,3},7∉{1,2,3},因此不能构成从集合M 到集合N 的函数,故C 错误;由M=Z ,N={-1,1},f (x )={-1,x 为奇数,1,x 为偶数,因此能构成从集合M 到集合N 的函数,故D 正确.故选ABD .10.(2021重庆八中高一期中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ) A.y=f (-x ) B.y=f (x )+x 3 C.y=f (x )x D.y=√x 3f (x )F (x )=f (-x ),其定义域为R ,则有F (-x )=f [-(-x )]=f (x )=-f (-x )=-F (x ),函数y=f (-x )为奇函数,故A 正确;设F (x )=f (x )+x 3,其定义域为R ,则有F (-x )=f (-x )+(-x )3=-[f (x )+x 3]=-F (x ),函数y=f (x )+x 3为奇函数,故B 正确;设F (x )=f (x )x ,其定义域为{x|x ≠0},则有F (-x )=f (-x )-x =f (x )x =F (x ),是偶函数,故C 错误; 由于函数y=√x 3f (x ),其定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,不是奇函数,故D 错误.故选AB.11.(2020山东日照高二期末)如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,图像过点A(-3,0),且对称轴为x=-1,则以下选项中正确的为()A.b2>4acB.2a-b=1C.a-b+c=0D.5a<ba<0,与y轴的交点在y轴的正半轴上得c>0.因为二次函数的图像与x轴有2个不同交点,所以Δ=b2-4ac>0,故A正确;=-1,即2a-b=0,故B不正确;因为对称轴方程为x=-1,所以-b2a又因为图像过点A(-3,0),且对称轴方程为x=-1,所以图像与x轴的另一个交点是(1,0),把点(1,0)代入解析式得a+b+c=0,故C不正确;把x=-3代入解析式得9a-3b+c=0,与a+b+c=0联立,两式相加并整理得10a-2b=-2c<0,即5a<b,故D正确.故选AD.(ac≠0,b,d 12.(2021山东临沂高一期中)某校学习兴趣小组通过研究发现形如y=ax+bcx+d不同时为0)的函数图像可以通过反比例函数的图像平移变换而得到,则对于函数y=x+2x-1的图像及性质的下列表述正确的是()A.图像上点的纵坐标不可能为1B.图像关于点(1,1)成中心对称C.图像与x轴无交点D.函数在区间(1,+∞)上单调递减y=x+2x-1=x-1+3x-1=1+3x-1,因此函数y=x+2x-1的图像可以看作是由y=3x的图像先向右平移一个单位,再向上平移一个单位而得到,因此函数图像上点的纵坐标不可能为1,函数图像关于点(1,1)成中心对称,函数图像与x轴交点为(-2,0),函数y在区间(1,+∞)上单调递减,故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数y=f(x)在定义域R上的值域为[0,1],则函数y=f(x-1)+1的值域为.,而只有上下平移才改变函数的值域,因此函数y=f(x-1)+1的值域为[1,2].14.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为立方米.x立方米,所缴水费为y元,由题意得y={3x,0≤x≤10,30+5(x-10),x>10,即y={3x,0≤x≤10,5x-20,x>10.由于该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15.15.已知函数f (x )=3+x 1+x,记f (1)+f (2)+f (4)+…+f (1 024)=m ,f 12+f14+…+f11024=n ,则m+n= .解析由题意得f (x )+f1x =x+3x+1+1x +31x+1=x+3x+1+1+3x x+1=4(x+1)x+1=4,f (1)=3+11+1=2,∴m+n=f (1)+f 12+f (2)+f14+f (4)+…+f11024+f (1024)=2+4×512=2050.16.(2021江苏海门中学高一期中)设函数f (x )={-(x -a )2+a 2,x ≤0,-x 2+2x +1-a ,x >0,若f (0)是f (x )的最大值,则a 的取值范围为 .+∞)a>0,则满足题意的函数f (x )的图像如图所示:由数形结合可得Δ=4+4(1-a )≤0,解得a ≥2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021山东德州高一期中)已知函数f (x )=x+1x .(1)用定义法证明f (x )在[1,+∞)上为增函数;(2)若对∀x ∈[2,4],恒有f (x )≤2m-1,求实数m 的取值范围. (1)证明设1≤x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=x 2+1x 2-x 1-1x 1=(x 2-x 1)+x 1-x 2x 1x 2=(x 2-x 1)1-1x 1x 2=(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2, 因为x 2>x 1≥1,所以x 2-x 1>0且x 1x 2>1.所以(x 2-x 1)(x 1x 2-1)x 1x 2>0,即f (x 2)-f (x 1)>0,f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在[1,+∞)上是增函数.(1)知f (x )在[2,4]上单调递增,所以f (x )max =f (4)=174.所以2m-1≥174,即m ≥218.所以m 的取值范围是218,+∞.18.(12分)(2020辽宁朝阳一中高一期中)设函数f (x )=ax 2+ax-1(a ∈R ). (1)当a=12时,求函数f (x )的零点; (2)讨论函数f (x )零点的个数.当a=12时,函数f (x )=12x 2+12x-1, 令12x 2+12x-1=0,解得x=1或x=-2. 函数f (x )的零点为1,-2.(2)当a=0时,f (x )=ax 2+ax-1=-1,函数没有零点; 当a ≠0时,Δ=a 2+4a.若Δ=a 2+4a=0,解得a=-4,此时函数f (x )有1个零点. 若Δ=a 2+4a>0,解得a<-4或a>0,此时函数有2个零点. 若Δ=a 2+4a<0,解得-4<a<0,此时函数没有零点.综上所述,当a=-4时,函数f (x )有1个零点. 当a<-4或a>0时,函数有2个零点, 当-4<a ≤0时,函数没有零点.19.(12分)(2021云南玉溪一中高一期中)已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),满足f (x+1)-f (x )=2x ,且f (0)=1.(1)求函数f (x )的解析式;(2)函数f (x )在区间[n ,1)上的值域是34,1,求n 的取值范围.因为二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),满足f (x+1)-f (x )=2x ,且f (0)=1,所以a (x+1)2+b (x+1)+c-ax 2-bx-c=2x ,c=1, 即2ax+a+b=2x ,故a=1,b=-1,c=1. 所以函数f (x )的解析式为f (x )=x 2-x+1.(2)因为f (x )=x 2-x+1的开口向上,对称轴x=12,且f 12=34,f (0)=f (1)=1,由f (x )在区间[n ,1)上的值域是34,1可得0<n ≤12.故n 的取值范围为0,12. 20.(12分)(2020江苏启东高一期中)已知函数f (x )=1x -1+12(x>0).(1)若m>n>0时,f (m )=f (n ),求1m +1n的值;(2)若m>n>0时,函数f (x )的定义域与值域均为[n ,m ],求所有m ,n 的值.∵f (m )=f (n ),∴1m -1+12=1n -1+12. ∴1m -1=1n -1, ∴1m -1=1n -1或1m -1=1-1n .∵m>n>0,∴1m +1n =2.(2)由题意f (x )={1x -12,0<x ≤1,32-1x ,x >1,∴f (x )在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.①0<n<m ≤1,则f (n )=m ,f (m )=n ,∴{1n -12=m ,1m -12=n ,解得m=n=√17-14(舍去). ②n<1<m ,则f (x )min =f (1)=12=n ,f (x )max =m=max{f (n ),f (m )}=max 32,f (m ),∴m=32. ③1≤n<m ,则f (n )=n ,f (m )=m ,无解.综上,m=32,n=12. 21.(12分)(2021山东聊城高一期中)为了节能减排,某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后,该农场每年消耗的电费C (单位:万元)与太阳能电池面积x (单位:平方米)之间的函数关系为C (x )={m -4x5,0≤x ≤10,m x ,x >10(m 为常数).已知太阳能电池面积为5平方米时,每年消耗的电费为8万元.安装这种供电设备的工本费为0.6x (单位:万元).记F (x )为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.(1)写出F (x )的解析式;(2)当x 为多少平方米时,F (x )取得最小值?最小值是多少万元?(精确到小数点后一位)(已知√3≈1.7,√10≈3.2)当0≤x ≤10时,C (x )=m -4x 5,由题意8=m -4×55,即m=60.∴C (x )={60-4x 5,0≤x ≤10,60x ,x >10,则F (x )={10×60-4x 5+0.6x ,0≤x ≤10,10×60x+0.6x ,x >10, 化简可得F (x )={120-7.4x ,0≤x ≤10,600x+0.6x ,x >10.(2)当0≤x ≤10时,F (x )=120-7.4x ,可得F (x )min =F (10)=46(万元),当x>10时,F (x )=600x +610x ≥2√600x ·610x =6√10≈19.2(万元), 当且仅当600x =610x ,即x=10√10≈32平方米时,等号成立, 故当x 为32平方米时,F (x )取得最小值,最小值是19.2万元.22.(12分)(2021重庆外国语学校高一期中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x.函数f (x )在y 轴左侧的图像如图所示,并根据图像:(1)画出f (x )在y 轴右侧的图像并写出函数f (x )(x ∈R )的单调递增区间;(2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式;(3)若函数g (x )=f (x )+(4-2a )x+2(x ∈[1,2]),求函数g (x )的最小值.函数f (x )是定义在R 上的偶函数,即函数f (x )的图像关于y 轴对称,则函数f (x )图像如图所示.故函数f (x )的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).(2)根据题意,令x>0,则-x<0,则f (-x )=x 2-2x ,又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(x)=f(-x)=x2-2x,则f(x)={x2+2x,x≤0,x2-2x,x>0.(3)根据题意,x∈[1,2],则f(x)=x2-2x,则g(x)=x2-2x+(4-2a)x+2=x2+(2-2a)x+2,其对称轴为x=a-1,当a-1<1时,即a<2时,g(x)在区间[1,2]上单调递增,g(x)min=g(1)=5-2a;当1≤a-1≤2时,即2≤a≤3时,g(x)min=g(a-1)=1+2a-a2;当a-1>2时,即a>3时,g(x)在区间[1,2]上单调递减,g(x)min=g(2)=10-4a,故g(x)min={5-2a,a<2,1+2a-a2,2≤a≤3, 10-4a,a>3.。
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数学人教B 必修1第三章 基本初等函数(Ⅰ)单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则R A ＝( )A ．(－∞，0]∪2⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．2⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．(－∞，0]∪2⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．2⎫+∞⎪⎪⎝⎭2．若log 2a ＜0，1>12b⎛⎫⎪⎝⎭，则( )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜03．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1 4．若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．3 B ．52 C ．6 D ．125．若a ＜0，则函数y ＝(1－a )x －1的图象必过点( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(0，－1)D ．(1，－1) 6．若log b a ＜0，则有( )A ．(a －1)(b －1)＞0B ．(a －1)(b －1)＜0C ．a ＞1,0＜b ＜1D ．以上答案均错7．定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．321,0,=1,0x x y x x +≥⎧⎨+<⎩ D ．e ,0,=e ,0x x x y x -⎧≥⎨<⎩8．已知函数11,2,()=42,2x a x x f x a x ⎧⎛⎫-⋅+<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩在R 上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭9．设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2010)＝8，则222122010()()()f x f x f x +++的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 810．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G 12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭中，“好点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知函数2log ,0,()=2,0,x x x f x x >⎧⎨≤⎩若1()=2f a ，则a ＝________.12．若函数f (x )＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有f (x )＞1，则a 的取值的集合为________．13．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g (x )的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称，而函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，若f (m )＝－1，则m 的值为________．14．函数3=31xx y +(x ∈[－1,1])的值域为__________．15．已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，则不等式f (2)＜f (log 2x )的解集为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)化简下列各式： (1)2132111136251546x yx y x y --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(xy )－1(x ＞0，y ＞0)．17．(本小题满分12分)求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋8)的单调区间． 18．(本小题满分12分)已知函数11()=212xf x +-， (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)证明当x ＞0时，f (x )＞0.19．(本小题满分12分)已知函数212()=log (23)f x x ax -+，(1)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值；(2)若函数f (x )在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分13分)若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．21．(本小题满分14分)有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设降雨量和蒸发量平衡，且污染物和湖水均匀混合．用()=(0)e tVP P g t g r r ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦(P ≥0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数(我们称其为湖水污染质量分数)，g (0)表示湖水污染初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；(2)分析(0)<Pg r时，湖水的污染程度如何．参考答案1．A 点拨：∵121log 2x ≥，即11222log log 2x ≥，∴20<2x ≤，即2=0A x x ⎧⎫⎪⎪<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，∴R2=0A x x x ⎧⎪≤>⎨⎪⎪⎩⎭或. 2．D 点拨：∵log 2a ＜log 21，∴0＜a ＜1.∵011>1=22b⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴b ＜0. 3．B4．C 点拨：∵x ·log 23＝1， ∴321==log 2log 3x . ∴3x ＋9x ＝3x ＋(3x )2＝3log 32＋(3log 32)2＝2＋22＝6.5．B 点拨：根据指数函数y ＝a x 恒过定点(0,1)知，函数y ＝(1－a )x －1恒过定点(0,0)． 6．B 点拨：当b ＞1时，若log b a ＜0，则0＜a ＜1； 当0＜b ＜1时，若log b a ＜0，则a ＞1.综上可知，a －1与b －1异号．故(a －1)(b －1)＜0.7．C 点拨：利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数．y ＝x 2＋1在(－2,0)上为减函数；y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数；321,0,=1,0x x y x x +≥⎧⎨+<⎩在(－2,0)上为增函数；y ＝e ,0,1,0ex x x x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩在(－2,0)上为减函数． 8．B 点拨：由01,10,4a a <<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 得0＜a ＜14.又f (x )在R 上为减函数，需满足211242a a ⎛⎫-⋅+≥ ⎪⎝⎭，即a 2－2a ≤0，a (a －2)≤0.∴0≤a ≤2.综上，知0＜a ＜14. 9．C 点拨：222122010()()()f x f x f x +++＝222122010log log log a a a x x x +++＝222122010log ()a x x x ⋅⋅⋅＝log a (x 1x 2…x 2 010)2 ＝2log a (x 1x 2…x 2 010)＝2f (x 1x 2…x 2 010)＝2×8＝16.10．C 点拨：∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)， ∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)． ∴点M ，N ，P 一定不是好点．可验证：12,2⎛⎫⎪⎝⎭过指数函数=xy⎝⎭，且过对数函数y＝log4x.Q(2,2)在xy和y x的图象上．11或－1点拨：当a＞0时，若1()=2f a，则21log=2a，∴12=2a当a≤0时，若1()=2f a，则12=2a，∴a＝－1.综上可知，a a＝－1.12．{a|1＜a＜2}点拨：若函数f(x)＝log a x在区间[2，＋∞)上恒有f(x)＞1，则1,log21,aa>⎧⎨>⎩即1,log2log.a aaa>⎧⎨>⎩∴1＜a＜2.13．1e-点拨：由题意知y＝g(x)应为y＝e x的反函数，即y＝g(x)＝ln x，而y＝f(x)与y＝g(x)＝ln x的图象关于y轴对称，故可得y＝f(x)＝ln(－x)，又f(m)＝－1，所以ln(－m)＝－1，得－m＝e－1，即1=em-.14．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦点拨：∵1=113xy+，x∈[－1,1]，∴3－1≤3x≤31，即13,33x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.∴13,33x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，141,433x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.∴13,44y⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.15．10,4⎛⎫⎪⎝⎭∪(4，＋∞)点拨：因为函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，且f(2)＜f(log2x)，当log2x＞0时，有2＜log2x，解得x＞4；因为函数f(x)为偶函数，当log2x＜0时，有log2x＜－2，解得10<<4x，所以不等式f(2)＜f(log2x)的解集为10,4⎛⎫⎪⎝⎭∪(4，＋∞)．16．解：(1)原式＝1112111(1)226336665(4)=24=245x y x y y⎛⎫------- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯-⨯-⋅⋅⎪⎝⎭.(2)112[()()]xy xy-⋅＝11111331233222222()=()xy x y xy x y xy---⋅⋅⋅⋅（）（）＝1122()()=()=1xy xy xy-⋅.17．解：由x2－6x＋8＞0，得x＞4或x＜2，故函数的定义域为(－∞，2)∪(4，＋∞)．因为y＝log2(x2－6x＋8)由y＝log2u和u(x)＝x2－6x＋8复合而成，而y＝log2u在定义域内为增函数，又u(x)＝x2－6x＋8在(－∞，2)上是减函数，在(4，＋∞)上是增函数，故函数y＝log2(x2－6x＋8)的单调增区间为(4，＋∞)，单调减区间为(－∞，2)．18．解：(1)∵2x－1≠0，即2x≠1，∴x≠0.故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，∵112112()===212122221x xx xx f x --++----， ∴f (x )＋f (－x )＝111212=1=021222121x xxx x -++-+---. ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． (3)当x ＞0时，2x ＞1，∴2x －1＞0， ∴110212x +>-，即当x ＞0时，f (x )＞0. 19．解：(1)设g (x )＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2. ∵f (x )的值域为(－∞，－1]， ∴12log ()1g x ≤-，即1122log ()log 2g x ≤，∴g (x )≥2.由3－a 2＝2，得a ＝1或a ＝－1. (2)要使f (x )在(－∞，1]内是增函数，需g (x )在(－∞，1]上为减函数且g (x )＞0对于x ∈(－∞，1]恒成立，∴1,(1)0,a g ≥⎧⎨>⎩即1,1230.a a ≥⎧⎨-+>⎩∴1≤a ＜2.故实数a 的取值范围是[1,2)．20．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，121=2t t . 由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，1lg lg =2a b ⋅. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )lg lg lg lg b a a b ⎛⎫+⎪⎝⎭＝22(lg lg )[(lg )(lg )]lg lg a b b a a b ++＝(lg a ＋lg b )·2(lg lg )2lg lg lg lg b a a ba b+-＝212222=1212-⨯⨯， 即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.21．解：(1)当湖水污染质量分数g (t )为常数时，g (t )的值与t 无关，故有(0)=0Pg r-，∴(0)=P g r ，即湖水污染初始质量分数为P r. (2)当g (0)＜P r 时，g (0)－Pr＜0.又∵e tV随t的增大逐渐增大，∴g(t)为减函数．故湖水的污染程度越来越轻．高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801。