竞赛不等式(教师版)对于abc=1一类题型总结

对于1abc =一类题型总结当给定条件1abc =时，对于字母与数的代数和的解决往往利用（,,x y z a b c y z x ===或,,y z xa b c x y z===），这样可以达到齐次的效果. 结论：已知,,a b c R +∈，且1abc =.求证：111ab b =++∑（111ab a =++∑）证：法111111111111(1)(1)ab b ab b bc c ca a ab bab b ab bc c b ca a =++++++++++=++=++++++∑.法2 令,,x y z a b c y z x ===（出现ab b +） 出现ab a +用,,y z x a b c x y z === 则111zab b x y z ==++++∑∑1. 已知,,a b c R +∈，且1abc =.求证：2211232ab ≤++∑. 证明：注意到2222223122212(1)a b a b b ab b ab b ++=++++≥++=++ 则22111123212a b ab b ≤=++++∑∑.2. 已知,,a b c R +∈，且1abc =.求证：2211232a b ≤++∑.证明：同上，注意到2222223122212(1)a b a b a ab a ab a ++=++++≥++=++则22111123212a b ab a ≤=++++∑∑.3. （2005新西兰数学奥林匹克）设,,a b c R +∈，且1abc =.求证：>证明：1111abc ab a =⇔=++∑由于111 b bc ba++=++>所以1bc b>=++∑4. （2010年波兰、捷克联合数学奥林匹克）设已知,,,1x y z R xyz+∈=，求证：2221(1)1x y≤+++∑证明：由于2222(1)122222x y x y x xy x+++=+++≥++.所以2221(1)11x y xy x≤+++++因此22211(1)11x y xy x≤=+++++∑∑.3. 已知,,a b c R+∈，且1abc=.求证：221232aa b≤++∑.证明：因为22221,21,21a ab bc c≤+≤+≤+所以只要证明如下不等式即可222112(1)(1)aa b+≤+++∑令2221,1,1x a y b z c=+=+=+，不等式变为1122x yx y x y≤⇔≥++∑∑因为222()1(2)()xyy x y x≥=+∑∑∑4.已知,,,1x y z R xyz +∈=，求证1111111x y z y z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （IMO ，2000） 证明：令a x b =，b y c =，c z a=(),,a b c R +∈则原不等式变为 ()()()a b c b c a c a b abc -+-+-+≤，这样就变为我们熟悉的不等式题了。

5.已知,,,1x y z R xyz +∈=，且()11x z +>，()11y x +>，()11z y +> 求证：()11123x y z x y z++≥+++ 证明：令a x b =，b y c =，c z a=(),,a b c R +∈ 则()11x z +>，()11y x +>，()11z y +>变为a cb +>，a bc +>，c b a +>，要证的不等式边为 23a b c b c ab c a a b c⎛⎫++≥+++ ⎪⎝⎭ 等价于()22222223a c b a c b b c c a a b abc ++≥+++ （※）注意到以,,a b c 为边长可以构成三角形，我们令a m nb n lc l m =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩(),,m n l R +∈将其代入（※）即得： 333222222222l m n m n n l l m m l n m l n +++++≥++由均值不等式得：3222l n l l n +≥，3222n m n n m +≥，3222m l m m l +≥上述三式相加即得证不等式。

说明：对于条件1xyz =，常作代换a x b =，b y c =，c z a= 从而使非奇次不等式变为奇次不等式，另外，三角形三边常用的代换为：a m nb n lc l m =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩。

6、 设,,a b c R +∈且1abc =，则313()2a b c ≥+∑（第26届IMO ）证明：22222331()()()a b c b c a b c a b c a b c ==+++∑∑∑2()32()222ab bc ca ab bc ca ab bc ca ++++≥=≥=++7、设,,,1x y z R xyz +∈=，求证：211.(1)1x y ≥++∑证明 欲证式 1.(1)yzx y yz ⇔≥++∑由柯西不等式，2()()yzyz xy yz x yz xy x yz++≥++∑∑∑ ①注意到2()()yz yz xy yz x ≥++∑∑222223y z x x y z ⇔+≥++∑∑∑∑3x ⇔≥∑又3x y z ++≥=. 故2()()yz yz x xy yz ≥++∑∑ ②由①②1.(1)yzx y yz ⇒≥++∑ ∴ 欲证式成立.点评 这种带条件的三元分式不等式很常见，用柯西不等式来证的较多，要适当选择ia 和ib ，便于运用柯西不等式()()()222.iii ia b a b ≥∑∑∑8、（2008塔吉克斯坦数学奥林匹克）设,,a b c R +∈，且1abc =.证明：13()2b a b ≥+∑证明：令,,x y z a b c y z x===则原不等式2232z y xz ⇔≥+∑由柯西推论22242223223()x z z y xz y z xz x y xz=≥+++∑∑∑∑∑ 需证2222223223()32()332x x x y xz xy xz ≥⇔≥++∑∑∑∑∑∑ 即422323x x y xz +≥∑∑∑再由均值不等式可得42232x x yx y +≥∑∑∑以及排序不等式43x x y ≥∑∑可知422323x x y xz +≥∑∑∑成立.9. （2011 摩尔多瓦）设12,0n x x x ⋅⋅⋅>，且121n x x x ⋅⋅⋅=.求证：1122111(1)(1)(1)2n n nx x x x x x ++⋅⋅⋅+≥+++特别的（当4n =时，2004年罗马尼亚数学奥林匹克） 证明：法1 令1i i y x =(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，则121211n ny y y x x x ⋅⋅⋅==⋅⋅⋅ 原不等式等价于212i i y ny ≥+∑由于22()1i i i iy y y n y ≥++∑∑∑ 需证2()()()022i i i iy n ny n y n y ≥⇔-+≥+∑∑∑∑ 即需证 0iy n -≥∑因为iyn ≥=∑所以命题成立.法2 由于22221131(1)(1)(1)224i i i i x x x x x ++=+++≥+ 所以原不等式213(1)2i i i i x x nx x ++⇔≥+∑需证23(1)3(1)3334(1)4442i i i i i i x x n nx x x x ++==+≥+∑∑∑ 需证1in x ≥∑.由于121n x x x ⋅⋅⋅=均值不等式显然成立. 法3 由11112(1)11i i i i i i i ix x x x x x x x +=-=+-+++原不等式等价于1512i i i ix x nx x ++≥+∑∑. 根据等号成立条件由均值可得141i ii ix x n x x ++≥+∑∑ 只需证明3(1)342i ix nx +≥∑.由法2可知成立.10. （2011巴尔干）设,,a b c R +∈，且1abc =.证明：54322(1)8(1)aa a a a a a +++++≥++∏∏证明：左3232(1)(1)(1)(1)aa a a a a =+++=+⋅++∏∏∏只需证3(1)8a+≥∏由均值易得.11.（2011印度）设,,a b c R +∈，且1abc =.证明：13(1)(1)4a a ab ab ≥+++∑证明：令,,y z xa b c x y z===，则原不等式等价于 22234x y xy z xz ≥+++∑.由柯西不等式推广可知2222222222223()()()2()x x x y xy z xz x y xy z xz x y x y z =≥++++++++∑∑∑∑∑需证2222223223()34()63()2()4x x x y x y z x y x y z ≥⇔≥++++∑∑∑∑∑∑ 42222342234863()423()x x y x y x y z x x y x y z ⇔+≥++⇔+≥+∑∑∑∑∑∑∑由均值422342232,2x x y x y x x z x z +≥+≥ 所以4223222()xx y x y z +≥+∑∑∑而由排序可知432()x x y z ≥+∑∑所以原命题成立.12.（2011土耳其）已知,,,1x y z R xyz +∈=，求证： 201011x yz ≤++∑证明：13.（2004 德国IMO 代表选拔试题）设,,a b c R +∈，且1abc =.证明：1112a ≥+∑证明：令,,x y z a b c y z x === 则原不等式等价12yx y ≥+∑由柯西2222()12()x y xy y x ≥=+∑∑∑14.（2006摩洛哥数学奥林匹克）设,,a b c R +∈，且1abc =.求证： 1113111ab bc caa b c+++++≥+++ 证明：令,,x y z a b c y z x=== 则原不等式等价于3xy yzxz yz +≥+∑.这由均值不等式直接可得.如果令,,y z xa b c x y z ===，效果更好 原不等式3x z x y +⇔≥+∑15. （2003罗马尼亚数学奥林匹克）已知,,,1x y z R xyz +∈=，求证：361x y z xy yz xz+≥++++证明：原不等式等价于23()366xyxy xyxy xxyx+≥⇔+≥∑∑∑∑∑∑∑又因为2()33xy xyz xxxyxyxy⋅≥=∑∑∑∑∑∑所以只需证明2x xy xy x+≥∑∑∑∑（显然）.（同类）（2005泰国、2007马其顿数学奥林匹克）设,,a b c R +∈.求证：361ab a +≥∑∑证明：原23()366aa aa abaab⇔+≥⇔+≥∑∑∑∑∑∑∑由于2()3a abaa≥∑∑∑∑，只需证2a ab ab a+≥∑∑∑∑（显然）16.（2003波罗的海数学奥林匹克）已知,,,1x y z R xyz +∈=，求证：(1)(1)(1)2(1x y z +++≥+ 证明：令333,,a x b y c z ===，则1abc =原不等式等价于3333(1)2(1)2b b a a a b a a +≥+⇔+≥∑∑∑∑∏ 即需证3312b a a a+≥∑∑∑由于33331311(1)323b b b b a a a a a a++≥⇔++≥≥+∑∑∑ 所以3312b a a a+≥∑∑∑.17. （2007年Brazilian 数学奥林匹克）设,,a b c R +∈，且1abc =.求证：221122622a b a a aa b a+++≥++∑∑∑∑∑∑ 证明：因为1abc = 所以1a bc =∑∑，以及1bc a=∑∑ 所以左式2222111(2)(2)()()a ab a a bc a =+++=+∑∑∑∑∑∑ 而右式12a a =⋅∑∑ 显然易见左≥右.18.（2008伊朗数学奥林匹克）设,,,1x y z R xyz +∈=.证明： 2227(1)3()x y x ≤++≤∑∑证明：先证明左边22211(1)(32())(322733x y x y z ++≥+++≥+⋅=∑ 再证右边222(1)3()434x y x x xy x ++≤⇔+≥+∑∑∑∑∑又因为2224()2()929629xxy x xy x xy x xy +=+=++-≥+-∑∑∑∑∑∑∑∑所以只需证6x xy +≥∑∑显然3,3x xy ≥≥∑∑所以命题成立.19.（2010美国集训队试题）设,,a b c R +∈，且1abc =.求证：5211(2)3a b c ≥+∑证明：法1利用赫尔德不等式推论可得左式3333333222()1(2)(2)((2))93bc ab a b c b c a ab ac ab ac ab ac ==≥=≥+++∑∑∑∑∑法2 也可利用均值不等式由33222(2)27273b c ab ac ab ac bcab ac ++++≥+也可以得到正确结论.20.（2010年瑞士数学奥林匹克）设,,,1x y z R xyz +∈=.证明：2(1)x y x z +-≥∑∑ 证明：由于2(1)2(1)x y z x y z +-+≥+- 所以2(1)2(1)x y z x y z +-+≥+-∑∑∑. 整理得2(1)36x y x z+-≥-∑∑又因为3x ≥=∑.命题得证.本题可直接应用柯西推论.21.（2003年捷克斯洛伐克数学奥林匹克）设,,a b c R +∈，且1abc =.求证： a b ca b c b c a++≥++ 证明： 法1令 ,,x y z a b c y z x=== 则原不等式等价于3322xz xx y xyz x z y y ≥⇔≥∑∑∑∑由于333333323x y x z x z x yz ++≥ 333333323y x y x y z y zx ++≥333333323z y z y z x z xy ++≥三式相加即得332x yxyz x z ≥∑∑.法2 原式等价于222a c b a c b a b c ++≥++由均值不等式2223a c a c b a a ++≥=，同理 2223b a b a c b b ++≥， 2223c b c b a c c ++≥三式相加即得命题.****法3令,,y z xa b c x y z===，则原不等式等价于32x x y ≥∑∑显然成立.22.（2004年罗马尼亚数学奥林匹克）已知,,,a b c d R +∈，且1abcd =，求证：12(1)a b ≥+∑证明：令,,,y z u x a b c d x y z u==== 则原不等式等价于2xy z ≥+∑.题（1989年四川省数学竞赛题）已知,,,a b c d R +∈，求证：2ab c ≥+∑证明：由柯西不等式可得22()()()a a a b c a b c a b c =≥+++∑∑∑∑.需证22()22()()()a ab ac bc bd cd ca da db a a b c ≥⇔+++++++≤+∑∑∑而2()2[()()()()]ab ac bc bd cd ca da db a d b c a b c d +++++++=+++++2222[()()]()22a a a ≤+=∑∑∑（证毕）.与22题类似题目（Aassila 不等式，2000年中国国家集训队试题，2006巴尔干数学奥林匹克）已知,,a b c R +∈，求证：13(1)1a b abc ≥++∑证明：注意题目各式次数，式子中出现了零、一、二、三次，将它们和在一起.131136(1)1(1)(1)abc a ab abca b abc a b a b ++++≥⇔≥⇔≥++++∑∑∑由于11(1)1(1)6(1)(1)(1)1a ab abc a ab c a b c a b a b a b b++++++++==+≥++++∑∑∑∑（六数均值）.题（Crux 问题）已知,,a b c R +∈，求证：11911a a abc ⋅≥++∑∑证明：11a ≥=+∑193)3a a ≥=++∑∑所以19119131)(1)1a a a a a⋅≥=≥+++∑∑∑∑∑t =，只需证3(1)1t t t +≤+即可322(1)11(1)0t t t t t t t +≤+⇔≤-+⇔-≥证毕.23.（2007波兰数学奥林匹克）设正数,,a b c ，满足1abc =.证明：333c b aa b b c c a b a c++≤++ 证明：法1 令,,x y z a b c y z x=== 则原不等式等价于23432x x x x yz y z y≤⇔≤∑∑∑∑.这由排序不等式直接得证.法2 原不等式等价于23a b a b ≤∑∑. 令333,,a x b y c z===则需证936374x y x y x y z ≥=∑∑∑由于9393937416421x y y z z x x y z ++≥（这可用待定参数法得到93939374123123()x y y z z x x y z λλλλλλ++≥++）得证.24.（第46届IMO 试题）正实数,,x y z 满足1xyz ≥，证明：525220x x x y z -≥++∑ 证明：原不等式等价于2225223x y z x y z ++≤++∑22222222244422225222222()11x y z x y z x y z x y z x y z x y z y z y z x x++++++=≤++++++++∑∑∑222212223xyz x yz x xx xx+=≤+=+≤∑∑∑∑∑∑∑25.（加拿大Crux 问题2023）已知,,,,a b c d e 为正数且1abcde =，求证： 1013a abcab abcd +≥++∑ 证明：令,,,,y z u v x a b c d e x y z u v===== 则原不等式102533y u x y z u v x z v x z v +++++⇔≥⇔≥++++∑∑ 1()25x z v x z v⇔++⋅≥++∑∑.这由柯西不等式显然成立.26.（2008年乌克兰数学奥林匹克）设,,a b c 是正数，且1abc ≥，证明：2121a a a +≤++∑证明：首先变形，原不等式等价于2211a a a ≥++∑ 为达到齐次，令333,,a xb yc z ===，由于1abc ≥，1xyz ≥.则2662636322211a x x a a x x x x xyz x y z=≥+++++⋅+∑∑∑ 224422422()x x x x xyz y z x xyz x x y=≥+⋅+++∑∑∑∑∑ 只需证2242222()x xxyz x x y x y xyz x ≥++⇔≥∑∑∑∑∑∑（由均值显然成立）.27.（2005年IMO 国家集训队试题）设,,,a b c d 是正实数，且满足1abcd =.求证：222211111(1)(1)(1)(1)a b c d +++≥++++证明：令2222,,,yz zu ux xy a b c d x y z u====则原不等式等价于4221()x x yz ≥+∑根据柯西不等式变形可知4222222222()()()x x y z u x yz x yz +++≥++∑∑只需证22222222222222()()()222x y z u x yz x y x z y u x yz +++≥+⇔++≥∑∑∑由均值不等式易得上述不等式显然成立. （ 遇到2(1)a +时，需令2yz a x=）28.（1999年罗马尼亚，2008年新加坡国家集训队选拔试题）设12,,,n x x x ⋅⋅⋅为正实数，满足121n x x x ⋅⋅⋅=.证明：1111ni in x =≤-+∑ 证明：这是一类题型. 原不等式变形得111nii ix n x=≥-+∑令2i i y x G=，其中G =则原不等式等价于22221111(1)1i nni i i iiy y Gy n G y n G==≥⇔≥-+-+∑∑ 由柯西不等式变形可得22221()(1)(1)ni i i ii y y n G y n n G y =≥-+-+∑∑∑ 所以只需证22(1)()(1)2i i i j i jn n Gy n n G y x x <-≥-+⇔≥∑∑∑ 由均值不等式可知2(1)2i j n i jn n Gy y C <-≥=∑（证毕）.注意：证明1(1)i ix n x ≥-+∑型题目可令2i i y x G =，其中G =当然题目1abc =，求证：12aa ≥+∑.可令2x a yz= 则原2212x yz x ⇔≥+∑.而222222()()122()x x x yz x x xy x ≥==++∑∑∑∑∑∑.。