2016_2017学年高中数学第一章坐标系1.1.2极坐标系学案
2017-2018学年高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.1 极坐标系的概念 1.2
§1.2 极坐标系1.2.1极坐标系的概念1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化课后篇巩固探究A组1.极坐标为的点的直角坐标为()A.(π,π)B.(π,-π)C.(-π,π)D.(-π,-π)(x,y),则有x=π·cos=π,y=π·sin=-π,故直角坐标为(π,-π).2.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限内的是()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,5)D.(5,6)3.已知极坐标平面内的点P,则点P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()A.,(1,)B.,(1,-)C.,(-1,)D.,(-1,-)P关于极点的对称点的极坐标为,由x=ρcos θ=2×cos=-1,y=ρsin θ=2×sin=-,知点P关于极点的对称点的直角坐标为(-1,-).4.已知点M的直角坐标是(2,-2),则在下列极坐标中,不是点M的极坐标的是()A. B.C. D.==4,tan θ==-.又点M在第四象限,故点M的极坐标为.5.若点M的极坐标为,则点M关于y轴对称点的直角坐标为.点M的极坐标为,∴x=6cos=6cos=6×=3,y=6sin=6sin=-3,∴点M的直角坐标为(3,-3),∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3,-3).-3,-3)6.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P的极坐标为.点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,∴x=-2,且y=-2.∴ρ==2.又tan θ==1,且θ∈[0,2π),∴θ=π.∴点P的极坐标为.7.将下列极坐标化成直角坐标.(1);(2);(3)(5,π).因为x=·cos=1,y=·sin=1,所以点的直角坐标为(1,1).(2)因为x=6·cos=3,y=6·sin=-3.所以点的直角坐标为(3,-3).(3)因为x=5·cos π=-5,y=5·sin π=0,所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).8.导学号73144009分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). (1)(-1,1);(2)(4,-4);(3);(4)(-,-).ρ=,tan θ=-1,θ∈[0,2π),因为点(-1,1)在第二象限,所以θ=,所以直角坐标(-1,1)化为极坐标为.(2)ρ==8,tan θ==-,θ∈[0,2π),因为点(4,-4)在第四象限,所以θ=.所以直角坐标(4,-4)化为极坐标为.(3)ρ=,tan θ==1,θ∈[0,2π),因为点在第一象限,所以θ=.所以直角坐标化为极坐标为.(4)ρ==2,tan θ=,θ∈[0,2π),因为点(-,-)在第三象限,所以θ=.所以直角坐标(-,-)化为极坐标为.9.在极坐标系中,如果A,B为等腰直角三角形ABC的两个顶点,求直角顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)与该三角形的面积.利用坐标转化.对于点A,直角坐标为(),点B的直角坐标为(-,-).设点C的直角坐标为(x,y).由题意得AC⊥BC,且|AC|=|BC|,故=0,即(x-,y-)·(x+,y+)=0,(x-)(x+)+(y-)(y+)=0.得x2+y2=4.①又∵|AC|2=|BC|2,于是(x-)2+(y-)2=(x+)2+(y+)2,即y=-x,代入①得x2=2,解得x=±,∴∴点C的直角坐标为.∴ρ==2,tan θ=-1,θ=,∴点C的极坐标为.S△ABC=|AC||BC|=|AC|2=×8=4.法二设点C的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π),∵|AB|=2|OA|=4,∠C=,|AC|=|BC|,∴|AC|=|BC|=2,即①+②化简得ρ2=4,由ρ>0得ρ=2,代入①得cos=0,∴θ-+kπ,k∈Z,即θ=+kπ,k∈Z,又0≤θ<2π,∴k可取0或1,∴θ=或θ=.∴点C的极坐标为,S△ABC=|AC||BC|=|AC|2=×8=4.B组1.在极坐标系中,确定点M的位置,下面方法正确的是()A.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使∠xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2D.作射线OP,使∠xOP=-,再在射线OP上取点M,使|OM|=22.在极坐标系中,已知点A,B,则OA与OB的夹角为()A. B.0 C. D.,夹角为.3.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是()A. B.C. D.ρ==2,极角θ满足tan θ==-,∵点(1,-)在第四象限,∴θ=-+2kπ(k∈Z).4.在极坐标系中,已知点P和点Q,则PQ的中点M的极坐标可以是()A. B.C. D.P,∴∴P(1,).∵Q,∴∴Q(-3,).∴PQ的中点M的直角坐标为(-1,).∴ρ2=(-1)2+()2=4,∴ρ=2,tan θ==-,∴θ=+2kπ,k∈Z.5.已知极坐标系中,极点为坐标原点,0≤θ<2π,点M,则在直线OM上与点M之间的距离为4的点的极坐标为.,|OM|=3,∠xOM=,在直线OM上取点P,Q,使|OP|=7,|OQ|=1,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=3+1=4.所以点P,Q都满足条件.所以得点P,Q.6.在极坐标系中,已知点B,D,试判断点B,D的位置是否具有对称性,并分别求出点B,D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,θ∈[0,2π)).B,D,知|OB|=|OD|=3,极角的终边关于极轴对称.所以点B,D关于极轴对称.设点B,D关于极点的对称点分别为E(ρ1,θ1),F(ρ2,θ2),且ρ1=ρ2=3.当θ∈[0,2π)时,θ1=,θ2=,故E,F为所求对称点的极坐标.7.导学号73144010如图,已知△ABC三个顶点的极坐标分别为点A,B,C,极点O(0,0).(1)判断△OAB是否为等边三角形;(2)求△ABC的面积.A(0,2),B(-,1),C,O(0,0).(1)∵|AB|==2,|OA|=|OB|=2,∴△OAB为等边三角形.(2)∵|AC|=,|BC|=,|AB|=2, ∴△ABC为等腰三角形.设点D为AB的中点,连接CD.∵点D为,∴|CD|==2,∴S△ABC=|AB||CD|=×2×2=2.。
高中数学 第1章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.1 极坐标系的概念学案 北师大版选修44
1.2.1 极坐标系的概念1.了解极坐标系，理解极坐标的概念.(重点)2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置.(难点)3.能进行点坐标和极坐标的互化.(易错易混点)教材整理极坐标系与极坐标1.极坐标系的概念如图121所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系.图1212.极坐标的概念对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值.3.点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)极轴是以极点为端点的一条射线.( )(2)极角θ的大小是唯一的.( )(3)点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6与点⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6是同一个点.( )【解析】 (1)√ 极轴是以极点为端点的一条射线.(2)× 因为极角是以极轴为始边，终边是过极点与目标点的射线，可正、可负，相差2k π.(3)× 因为极角不相差2π的整数倍，故不表示同一个点. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴、直线l 、极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π).【精彩点拨】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值.【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53π.关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π. 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上.1.点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序.1.若使正六边形的一个顶点为极点且边长为a ，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的极坐标.【导学号：12990004】【解】 建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：A (0,0)，B (a,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，π3，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，π2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，23π.已知点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，3，分别在下列给定条件下，画出点A 关于极点O的对称点A ′的位置，并写出A ′的极坐标：(1)ρ＞0，－π＜θ≤π； (2)ρ＜0,0≤θ＜2π； (3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.【精彩点拨】 本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力.【自主解答】 如图所示， |OA |＝|OA ′|＝6， ∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3，即A 与A ′关于极点O 对称，由极坐标的定义知：(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A ′点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，2π3；(2)当ρ＜0,0≤θ＜2π时，A ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，5π3； (3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A ′点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6，－π3.由极坐标确定点的位置的步骤： (1)取定极点O ；(2)作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；(3)以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边；(4)以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置.2.在同一个极坐标系中，画出以下各点：A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，32π，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，94π.【解】 如图所示.探究1【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.探究2 为什么点的极坐标不唯一？能用三角函数的概念解释吗？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z ).某大学校园的部分平面示意图如图122所示.图122用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F 分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0)).【精彩点拨】 解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标.【自主解答】 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.由|OB |＝600 m ，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝90°，得 |AB |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ， 同样求得|OD |＝2|OF |＝3002m ， 所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫600，π6，C ⎝⎛⎭⎪⎫300，π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫3002，3π4，E (300，π)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1502，3π4.在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈3.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2 ，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.【解】 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形.(2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝23，∴S △ABC ＝34×(23)2＝3 3.1.在极坐标系中与点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3表示同一点的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫－2， 4π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π3 【解析】 在极坐标系中将点P 确定，再逐个验证知C 正确. 【答案】 C2.已知极坐标平面内的点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－2π3 【解析】 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3关于极点的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3.【答案】 D3.若A ⎝⎛⎭⎪⎫3，4π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6，O 为极点，则△AOB 的面积为________.【解析】 S △AOB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×5×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π－π6＝154.【答案】1544.关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；④点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4与点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4表示同一个点.其中，叙述正确的序号是________.【导学号：12990005】【解析】 设极点为O ，极轴就是射线Ox ，①正确；极点O 的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，③正确；点M 与点N 的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误.【答案】 ①③5.已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π).【解】 如图所示，由题意知|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝π4，∠xOB ＝3π4，∠xOC ＝5π4，∠xOD ＝7π4.∴正方形的顶点坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
高中数学第一章坐标系第2节极坐标系教学案新人教A版选修4-4(2021学年)
2017-20１8学年高中数学第一章坐标系第2节极坐标系教学案新人教Ａ版选修４－4编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2０１７-2018学年高中数学第一章坐标系第2节极坐标系教学案新人教A版选修4－4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第２节极坐标系[核心必知]1．极坐标系的概念（1)极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫做极点，自极点O引一条射线Ｏx，叫做极轴；再选定一个长度单位,一个角度单位（通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2）点的极坐标设Ｍ是平面内一点,极点O与点Ｍ的距离|OM｜叫做点M的极径，记为ρ;以极轴Ｏx为始边,射线OM为终边的角xOＭ叫做点M的极角，记为θ．有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M（ρ,θ).一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2.极坐标与直角坐标的互化（１）互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合;③两种坐标系取相同的长度单位．（2）互化公式错误!错误![问题思考]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么?提示：不是．在极坐标系中,与给定的极坐标(ρ,θ）相对应的点是唯一确定的;反过来,同一个点的极坐标却可以有无穷多个.如一点的极坐标是(ρ，θ)（ρ≠0）,那么这一点也可以表示为(ρ，θ+２nπ)或(-ρ，θ＋(2n+１)π)（其中n∈Ｚ)．2.若ρ>０，0≤θ〈2π,则除极点外,点M(ρ,θ）与平面内的点之间是否是一一对应的?提示:如果我们规定ρ>0,０≤θ＜２π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)来表示，这时,极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M的极坐标为(ρ,θ)，则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则Ｍ点关于极点的对称点的极坐标是（－ρ,θ）或（ρ，θ+π）；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ,－θ);M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ,π-θ)或（-ρ，-θ）．已知定点P错误!．(1)将极点移至Ｏ′错误!处极轴方向不变,求Ｐ点的新坐标；(２）极点不变，将极轴顺时针转动＼ｆ（π,６)角,求Ｐ点的新坐标.[精讲详析］本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系,然后求相应的点的极坐标．（１）设P点新坐标为(ρ，θ），如图所示，由题意可知|OO′|=2错误!，|OＰ|＝4,∠POx=＼f(π,３)，∠O′Ox=错误!，∴∠POO′=错误!.在△PＯO′中，ρ２=42+(２错误!)２-2·4·2错误!·cｏs 错误!=16+１２－２4＝4,∴ρ=2．即|Ｏ′Ｐ｜=2。
高中数学 第1章 坐标系 1_2 极坐标系 1_2_3-1_2_5 学案 北师大版选修4-4
1.2 极坐标系1.2.3 直线和圆的极坐标方程1.2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化1.2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化.(易错易混点))3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示.(难点教材整理1 曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，)正确的打“√”，错误的打“×”)(1) )(2)直线ρcos θ＝2与直线ρ.( ) (3)ρ＝cos θ表示一个圆.( 过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为π2，故正确.θ＝2表示直线y ＝2，这两直线互相垂直. .xOy 的x 的正半轴重合，且两种坐标利用⎩⎪⎨＝ρcos θ，y ＝ρsin θ和⎩⎪⎨tan θ＝y x x把曲线的两种方程进行相互转化.填空：(1)曲线ρ＝1的直角坐标方程为_______________________________. (2)方程y ＝2x 的极坐标方程为_________________________________.(3)圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为_______________________________.【解析】(1)ρ＝1，即ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.(2)把y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ，即tan θ＝2.(3)ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.【答案】(1)x2＋y2＝1 (2)tan θ＝2 (3)(x－1)2＋y2＝1教材整理3 圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系.如图124，设定点F到直线l的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.图124①当0＜e＜1时，方程表示椭圆.②当e＝1时，方程表示开口向右的抛物线.③当e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点. 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：(1)求过点A (1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上.【导学号：12990011】【精彩点拨】 解答本题先根据题意画出草图，设点M (ρ，θ)后建立关于ρ与θ的方程化简即可.【自主解答】 (1)如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4，∠OAM ＝3π4，∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得OMsin∠OAM ＝OAsin∠OMA，即ρ＝1，⎭⎪⎫＝22， ，ρ(cos θ－sin θ)＝1. 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连结AM ，则OM ⊥MA .在Rt△OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ， 即ρ＝2r cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ.经验证，点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式.所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，∴点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤： (1)建立适当的极坐标系； (2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； (5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可.1.(1)求过A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程. (2)在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹.【解】 (1)如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ).∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|MH |＝2·sin π4＝2，在Rt△OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2，所以过A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝2，其中0<θ<π.(2)设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点.连结OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.(1)射线y ＝3x (x ≤0)； (2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0).【精彩点拨】 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入―→极坐标方程 【自主解答】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 代入y ＝3x ，得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0).(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2a ρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0， ∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的极坐标方程为 ρ＝－2a cos θ，圆心为(－a,0)， 半径为r ＝|a |.1.化曲线的直角坐标方程f (x ，y )＝0为极坐标方程f (ρ，θ)＝0，只要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入到方程f (x ，y )＝0中即可.化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x 2＋y 2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆.2.由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简.2.曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________.【解析】 直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.【答案】 ρ＝2cos θ(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ； (3)ρ2cos 2θ＝2；(4)ρ＝11－cos θ.【精彩点拨】 极坐标方程――――→ρcos θ＝xρsin θ＝y 直角坐标方程―→曲线的形状【自主解答】 根据点的极坐标化为直角坐标的公式： ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y .(1)∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，是过点(2,0)，垂直于x 轴的直线. (2)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x ＝0，即 (x －1)2＋y 2＝1. 故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆.(3)∵ρ2cos 2θ＝2，∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2，∴x 2－y 2＝2.故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线. (4)∵ρ＝11－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，∴x 2＋y 2＝1＋x ，两边平方并整理，得y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.故曲线是顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，焦点为F (0,0)，准线方程为x ＝－1的抛物线.1.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程.2.解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的式子，进行整体代换.方程的两边同乘以(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法.3.在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________.【导学号：12990012】【解析】 极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1).极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 1探究 1 呢？【提示】 在圆上设M (ρ，θ)为任意一点，连结OM ，构造出含OM 的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，从而得到圆的极坐标方程.求直线的极坐标方程时，首先在直线上设任意一点M (ρ，θ)，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程.探究2 在极坐标系内，如何确定某一个点P 是否在某曲线C 上？【提示】 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可.探究3 我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线.在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上任意一点，试求RP 的最小值.【精彩点拨】 解答本题可以设出动点P ，M 的极坐标，然后代入条件等式求解即可，也可以转化为直角坐标方程解决.【自主解答】 法一：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，点M 为(ρ0，θ). ∵|OM |·|OP |＝12，∴ρ0ρ＝12，得ρ0＝12ρ.∵M 在直线ρcos θ＝4上， ∴ρ0cos θ＝4，即12ρcos θ＝4，于是ρ＝3cos θ(ρ＞0)为所求的点P 的轨迹方程.(2)由于点P 的轨迹方程为ρ＝3cos θ＝2·32cos θ，所以点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉极点). 又直线l ：ρcos θ＝4过点(4,0)且垂直于极轴，点R 在直线l 上，由此可知RP 的最小值为1.法二：(1)直线l ：ρcos θ＝4的直角坐标方程为x ＝4，设点P (x ，y )为轨迹上任意一点，点M (4，y 0)，由OP →∥OM →得y 0＝4yx(x ＞0).又|OM |·|OP |＝12， 则|OM |2·|OP |2＝144， ∴(x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎪⎫16＋16y 2x 2＝144， 整理得x 2＋y 2＝3x (x ＞0)， 这就是点P 的轨迹的直角坐标方程.(2)由上述可知，点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉原点).又点R 在直线l ：x ＝4上，由此可知RP 的最小值为1.建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式.可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解.4.过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程. 【解】 法一：如图，圆心C (4,0)，半径r ＝|OC |＝4，连结CM .∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上. 所以，动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ. 法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1).N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1. ①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cos θ， 故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.1.极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆cos θ＋22ρsin θ， ( ) B.ρsin θ＝2 D.ρsin θ＝1【解析】 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除点A (2,0)外的任意一点，连结OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，所以有|OM |cos θ＝|OA |，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.11 【答案】 A3.在极坐标系中，极点到直线ρcos θ＝2的距离是________.【解析】 ρcos θ＝2，即x ＝2.所以极点到直线的距离为2.【答案】 24.两直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 016，ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 015的位置关系是________.(判断垂直或平行或斜交)【解析】 两直线方程可化为x ＋y ＝2 0162，y －x ＝2 0152，故两直线垂直.【答案】 垂直5.求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程.【解】 设P (ρ，θ)为圆C 上任意一点(不与O ，A 点重合)，圆C 交极轴于另一点A ，则|OA |＝8.在Rt△AOP 中，|OP |＝|OA |cos θ，即ρ＝8cos θ，经验证点O ，点A 也满足该等式，所以ρ＝8cos θ.这就是圆C 的极坐标方程.我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.1 极坐标系的概念 1.2.2 点的极坐标与直角
极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化练习1点P 的直角坐标为(，那么它的极坐标可表示为( )．A ．π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3π2,4⎛⎫⎪⎝⎭ C ．5π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2在极坐标系中，与点π8,6⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标是( )．A ．π8,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．58,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．58,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π8,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭3在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 5π2,4⎛⎫⎪⎝⎭，那么可能是顶点C的坐标的是( )．A ．3π4,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π)D ．(3，π)4在极坐标系中，极坐标5π4⎫⎪⎭化为直角坐标为( )．A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1) 5直线l 过点A π7,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π7,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线l 与极轴所在直线的夹角等于________． 6点A π5,3⎛⎫⎪⎝⎭在条件： (1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________； (2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________． 7将下列极坐标化成直角坐标．(1)π4⎫⎪⎭； (2)π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)(5，π)．8已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x 轴正方向相同的极坐标系中，点M 的极坐标为π4,6⎛⎫⎪⎝⎭，求点M 在直角坐标系中的坐标．参考答案1 答案：B ρ2，tan θ＝－1， ∵点P 在第二象限，∴最小正角3π=4θ. 2 答案：A 点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， 故π8,6⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标为78,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π8,6⎛⎫⎪⎝⎭.3答案：B 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，△ABC 为正三角形， ∴|OC |＝AOC ＝π2，点C 的极角ππ3π==424θ+或5ππ7π=424+， 即点C的极坐标为⎛⎝或7π4⎛⎫ ⎪⎝⎭.4答案：D x ＝ρcos θ5π=142⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， y ＝ρsin θ5π=142⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 故所求直角坐标为(－1，－1)． 5答案：π4如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝7，∠AOB ＝πππ=366-， 所以ππ5π6==212OAB -∠. 所以π5ππ=π=3124ACO ∠--.6 答案：(1)55,π3⎛⎫-⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为π5,2π+3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭(k ∈Z )，∵θ∈(－2π，0)．令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫-⎪⎝⎭，符合题意． (2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,21π+3k ⎛⎫-(+) ⎪⎝⎭(k ∈Z )．∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意．7 答案：解：(1)πcos =14x ，πsin =14y ，所以点π4⎫⎪⎭的直角坐标为(1,1)．(2)x ＝6·πcos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3，y ＝6·πsin =3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.所以点π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为(3，-．(3)x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0， 所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．8 答案：解：设M (x ，y )，则x －2＝ρcos θ＝π4cos 6，∴x ＝2＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.∴点M 的直角坐标为(2＋0)．。
高中数学第一章坐标系1.2.1极坐标系的的概念教案新人教A版选修4_
极坐标系的的概念教学目的：知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：理解极坐标的意义教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．二、讲解新课：从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。
）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。
极坐标(学案)
§2.1 极坐标系的的概念(学案)学习目的：理解极坐标的概念；能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.学习重点：理解极坐标的意义学习难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置一、学习过程：情境1:军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120m到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢?问题2：如何刻画这些点的位置？二．构建新知：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。
1．极坐标系的建立:在平面上取一个定点o，自点o引一条__________，选定一个___________和_______________(通常取逆时针方向为正方向）,这样就建立了一个____________.思考：建立一个极坐标系要具备哪些要素？当点M在极点时，它的极径和极角分别是什么？2.点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对____________叫做M点的极坐标。
3．负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角,当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的________________上，且OM=_______。
三．实例分析:例1在极坐标中描出下列各点。
A(4，0）；B（2，2π）; C（6,34π)；D(4，43π-）；E（6,0-120）；F（—6，π3）；G(—3，3π2）.⎭⎬⎫≤π2示的意义？13。
高中数学第一讲坐标系二极坐标系互动课堂学案
二极坐标系互动课堂重难突破一、极坐标的概念1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，我们经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标.2.如图,极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标.把定义弄清楚，我们就会用极坐标确定点的位置特别注意:(1)①极点,②极轴,③长度单位,④角度单位和它的正方向构成了极坐标系的四要素,缺一不可(2)特别地,当M在极点时,它的极坐标ρ=0,θ可以取任意值.极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R(3)一般地,不作特殊说明时,ρ≥0,θ可取任意实数.3.建立极坐标系后,给定ρ(ρ≥0)和θ,就可以在平面内唯一确定点M.确定的方法是(1)由θ定射线.根据θ角确定点M所在的射线OM(2)由ρ取点.在射线OM上取|OM|=ρ,点M的位置即可确定.4.给定平面内任意一点M,也可以找到它的极坐标(ρ,θ)(ρ特别注意:(1)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示(2)如果规定ρ≥0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.5.为完整起见,现作一补充:若ρ<0,则-ρ>0,我们规定点M(ρ,θ)与点P(-ρ,θ)关于极点对称.点M(ρ,θ)(ρ<0)的位置的确定方法是:(1)由θ定射线.先找出θ角的终边所在的射线,确定其反向延长线OM(2)由ρ取点.在射线OM上取|OM|=-ρ,点M的位置即可确定,如图进一步可以得出,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)(-ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z)表示同一点.应当指出,若ρ<0,应有说明;否则,可认为ρ≥0.二、极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示.我们要理解极坐标的概念,会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化,利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.2.极坐标与直角坐标的互化公式3.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(或除以)ρ等技巧.4.由直角坐标化成极坐标时,要注意点所在象限,从而确定极角θ 试一试：(1)已知点A 的极坐标(-4,3π5),求它的直角坐标； (2)已知点B 、C 、D 的直角坐标为(2,-2),(0,-15),(-12,5),求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 解：(1)点A 的直角坐标为(-2,23(2)∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋tan θ=22-=-1,且点位于第四象限,(注意!) ∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,43π对于D (-12,5),ρ=13,tan θ=-125.∵D 在第二象限内,∴θ=π-arctan 125∴D 点坐标为(13,π-arctan 125).活学巧用【例1】 已知两点的极坐标A (3,2π)、B (3,6π)，则|AB |=________，AB 与极轴正方向所成的角为________.解析:如图,根据极坐标的定义可得|A O |=|B O |=3,∠A O B=60°，即△A O B 为正三角形答案:365π点评:在极坐标系中,点P 1(ρ1,θ1)、P 2(ρ2,θ2)(ρ1、ρ2>0),则P 1P 2两点距离|P 1P 2|=.)cos(212212221θθρρρρ--+请同学们推导一下. 【例2】在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A (2,4π)、B (2,45π),那么顶点C 的坐标可能是( )A.(4,43π) B.(23,43π)C.(23,π)D.(3,π)解析:如图,由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点又|AB |=4，△ABC 为正三角形，|OC |=23，∠AOC =2π，C 对应的极角θ=4π+2π=43π或θ=4π-2π=-4π，即C 点极坐标为(23,43π)或(23,-4π).答案:B点评:在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合. 【例3】在极坐标系中与点A (3,-3π)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) A.(3,32π) B.(3,3π)C.(3,34π)D.(3,65π)解析:极坐标中的点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2k π-θ)(k ∈Z ),利用这一规律即可. 答案:B点评:一般地,在极坐标系中点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2k π-θ)(k ∈Z );点(ρ,θ)关于极点对称的点的极坐标为(ρ,2k π+π+θ)(k ∈Z);点(ρ,θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ,2k π+π-θ)(k ∈Z ).【例4】(1)θ=43π的直角坐标方程是________； (2)极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是解析:(1)根据极坐标的定义，∵tan θ=xy ，∴tan 43π=x y ，即y =-x (x ≤0).(2)将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状，因为给定的ρ不恒等于零，用ρ同乘方程的两边得ρ2=ρsin θ+2ρcos θ. 化成直角坐标方程为x 2+y 2=y +2x ,即(x -1)2+(y -21)2=45，这是以点(1,21)为圆心，半径为25的圆.答案:(1)y =-x (x ≤0) (2)以点(1,21)为圆心，半径为25的圆 点评:当极坐标方程中含有sin θ、cos θ时,可将方程两边同乘以ρ,凑成含有ρsin θ、ρcos θ的项，然后再代入互化公式便可化为直角坐标方程，此法是常用技巧. 【例5】 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y 2=4x ;(2)y 2+x 2-2x -1=0;(3)θ=3π;(4)ρcos 22θ=1;(5)ρ2cos2θ=4;(6)ρ=θcos 21－.解:(1)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y 2=4x ,得(ρsin θ)2=4ρcos θ,化简得ρsin 2θ=4cos θ.(2)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y 2+x 2-2x -1=0,得(ρsin θ)2+(ρcos θ)2-2ρcos θ-1=0,化简得ρ2-2ρcos θ-1=0.(3)tan θ=xy ,∴tan 3π=x y=3,化简得y =3x (x ≥0).(4)∵ρcos 22θ =1,∴ρ2cos 1θ+=1,即ρ+ρcos θ=2. ∴22y x ++x =2,化简得y 2=-4(x -1).(5)∵ρ2cos2θ=4,∴ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=4,即x 2-y 2=4. (6)∵ρ=θcos 21-,∴2ρ-ρcos θ=1.∴222y x +,化简得3x 2+4y 2-2x -1=0.点评:在进行两种坐标间的互化时,我们要注意:(1)互化公式是有三个前提条件的,极点与直角坐标系的原点重合;极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合;两种坐标系的单位长度相同(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值. (3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在,是等价变形,否则,不是等价变形.。
高中数学 第1讲 坐标系 2 极坐标系学案 新人教A版选修4-4(2021年整理)
2016-2017学年高中数学第1讲坐标系2 极坐标系学案新人教A版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1讲坐标系2 极坐标系学案新人教A版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二极坐标系1．理解极坐标系的概念．2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（难点）3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点、易错点）［基础·初探]教材整理1 极坐标系阅读教材P8～P10,完成下列问题．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点;自极点O引一条射线Ox，叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标:设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ;以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ。
有序数对（ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地，极坐标（ρ，θ)与（ρ，θ＋2kπ）（k∈Z)表示同一个点．特别地,极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R）．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ）表示；同时,极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．在极坐标系中,ρ1＝ρ2，且θ1＝θ2是两点M（ρ1,θ1)和N（ρ2，θ2）重合的（) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．【答案】A教材整理2 极坐标和直角坐标的互化阅读教材P11，完成下列问题．1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图121所示．图12。
高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系导学案(无答案)新人教B版选修4-4(2021年整理)
辽宁省北票市高中数学第一章坐标系1.2 极坐标系导学案（无答案）新人教B版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省北票市高中数学第一章坐标系1.2 极坐标系导学案（无答案）新人教B版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2极坐标系一、 学习目标及学法指导1．学习目标：了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化2．重、难、考点：点的极坐标，极坐标和直角坐标的互化 二、预习案预习教材6-9页并完成下列问题：1. 极坐标系的概念:（1） 在平面上取一定点O,由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向），合称为一个____________。
O 点称为________，Ox 称为________.平面上任一点M 的位置可以由_____________和________________来刻画。
这两个数组成的有序数对_______称为点M 的__________。
ρ称为_________，θ称为__________。
（2） 在极坐标），（θρ中，一般限定_________.当0=ρ时，就与________重合,此时θ________。
给定点的极坐标_________,就________地确定了平面上的一个点。
但是,平面上一个点的极坐标并不是_________,它有_____________表示形式。
事实上，），（θρ和____________代表同一个点，其中k 为整数.由此可见，平面上的点与它的极坐标不是_________对应关系。
高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系学案 -4
1.2 极坐标系［对应学生用书P4]［读教材·填要点］1．平面上点的极坐标（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向）,合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．（2）点的极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标，ρ称为极径,θ称为极角．2．极坐标与直角坐标的关系（1）极坐标和直角坐标变换的前提条件:①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2）极坐标和直角坐标的变换公式：｛x＝ρcos θ或错误!，y＝ρsin θ;［小问题·大思维]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么?提示:不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ,θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0),那么这一点也可以表示为（ρ，θ＋2nπ)或（－ρ，θ＋(2n＋1）π)（其中n∈Z）．2．若ρ〉0,0≤θ<2π，则除极点外,点M（ρ，θ）与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ）来表示．这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M的极坐标为（ρ,θ），则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示:设点M 的极坐标是（ρ，θ），则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或（ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ);M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是（ρ，π－θ）或(－ρ,－θ）．[对应学生用书P5]极坐标系的概念[例1] 已知定点P 错误!。
(1）将极点移至O ′错误!处,极轴方向不变，求P 点的新坐标； （2)极点不变，将极轴顺时针转动错误!,求P 点的新坐标．[思路点拨］ 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．[精解详析］ （1)设P 点新坐标为(ρ,θ），如图所示， 由题意可知|OO ′｜＝2错误!, ｜OP ｜＝4,∠POx ＝错误!，∠O ′Ox ＝错误!， ∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(2错误!）2－2·4·2错误!·cos 错误!＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.即｜O ′P ｜＝2.∴｜OP ｜2＝｜OO ′|2＋|O ′P |2， ∠OO ′P ＝错误!。
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极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图413所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x图413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________＜2π)．图414【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π2.[再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，求A 、B 两点之间的距离． 【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∵AB ＝32＋122＋－332－322＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得32ρ－12ρ＝4， 解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6， 所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋－2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝－2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内，∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4) 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________． 【解析】 由余弦定理得AB＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2＝32＋－2－－π4－π12＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。