高二专题一 导数的应用
高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值b22b高二22数学
故当 x＝0 时，函数取得极小值，且 y 极小＝0.
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1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点，导数值为 0 的点
不一定是极值点．
点 x0 是可导函数 f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
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(3)f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0.
显然函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处不可导，
当 x>0 时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数 f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当 x<0 时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数 f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
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2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
[解析] f′(x)＝2＋sin x>0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调 递增，无极值，也无最值．
[答案] A
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3．下列说法正确的是________．(填序号) ①函数的最大值一定是函数的极大值； ②开区间上的单调连续函数无最值； ③函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处 取得．
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1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小 值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
图 （ １ ） 中的曲线越来越 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终大于 １ ； 图 （ ２ ） 中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的右半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ３ ） 中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的左半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ４ ） 中的曲线越来越 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终小于 １． 因此 ， 只有图 ５-３-１ （ １ ） 中的图像有可能表示函数 y ＝ f（ 可能成为严格递增区间与严格 递减区间的分界点 ．
例4.确定函数（f x）＝x2的单调区间 ．
解函数在x 0处没有定义 ．当x 0时，f (x)=-2x3，
方程f′（ x )＝０ 无解 ， 所以函数 f（ x ）没有驻点 ． 但当 x ＞０ 时 ，f′（ x ） ＜０ ，f（ x ） 单调递减 ； 当 x ＜０ 时 ，f′（ x） ＞０ ， f（ x ） 单调递增 ． 可 见 ， 函数 f （ x ） 的严格递增区间为 （－∞，０）， 严格 递减区间为（０，＋∞）
课本练习 宋老师数学精品工作室
１． 利用导数研究下列函数的单调性 ， 并说明所得结果与你 之前的认识是否一致 ：
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1、函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性 ． 但导数值还可 以进一步用以判断函数变化速度的快慢 ： 导数f′（ x ０ ） 是函数 f（ x ） 在点 x ０ 的切线的斜率 ， 所以它描述了曲线 y＝f（ x ） 在点 x０ 附近相 对于x轴的倾斜程度 ： 当f′（ x ０ ） ＞０ 时 ，f′（ x０ ） 越大 ， 曲线 y ＝ f （ x ） 在点 x ０ 附近相对于 x 轴倾斜得越厉害 ，f（ x ） 递增得 越快 ； 而当f′（ x ０ ） ＜０ 时 ，f′（ x ０ ） 越小 ， 曲线y ＝ f （ x ） 在点 x０ 附近相对于x轴倾斜得越厉害 ， f （ x ） 递减得越快 ． 综合这 两个方面 ， 导数的绝对值越大 ， 函数图像就越 “ 陡峭 ”， 也就是 函数值变化速度越快 ．
导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
专题一 第5讲 导数与不等式的证明
可得h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)＝x－1－ln x≥h(1)＝0，即x－1≥ln x.
于是，当a≤1时，ex－a≥x－a＋1≥x＋a－1≥ln(x＋a)， 注意到以上三个不等号的取等条件分别为x＝a，a＝1，x＋a＝1，它 们无法同时取等， 所以当a≤1时，ex－a>ln(x＋a)，即f(x)>0.
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当a＝e时，f(x)＝ln(e－x)－x＋e，
要证 f(e－x)<ex＋2xe，即证 ln x＋x<ex＋2xe，即证lnxx＋1<exx＋21e.
设
g(x)＝lnx
x＋1(x>0)，则
1－ln g′(x)＝ x2
x ，
所以当0<x<e时，g′(x)>0，当x>e时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
当t∈(0,1)时，g′(t)<0，g(t)单调递减， 假设g(1)能取到， 则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0； 当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增， 假设g(1)能取到，则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0，
x＋ln1－x 综上所述，g(x)＝ xln1－x <1 在 x∈(－∞，0)∪(0,1)上恒成立.
方法二 f(x)＝ln ex＝1－ln x. 欲证 f(x)<1＋1x－x2ex，只需证1－elxn x＋x2－1x<1，
因为x∈(0,1)，所以1－ln x>0，ex>e0＝1，
则只需证 1－ln x＋x2－1x<1， 只需证 ln x－x2＋1x>0， 令 t(x)＝ln x－x2＋1x，x∈(0,1)，
高二数学导数在实际生活中的应用1
我行 我能 我要成功 我能成功
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高
V ( x) x h
2
h
60 x 2
cm，
60 x x 2
2
3
(0 x 60)
得箱子容积 V ( x ) 60 x 令
V ( x ) 60 x 3x 2
2
3x 2
2
0
，解得
x=0（舍去），x=40，
并求得
V(40)=16000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时 ，箱子容积很小，因此，16000是最大值。 答 ： 当 x=40cm 时 ， 箱 子 容 积 最 大 ， 最 大 容 积 是 16 000cm3
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
例：圆柱形金属饮料罐的容积一定时， 它的高与底的半径应怎样选取，才能 使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则 表面积 S=2π Rh+2π R2 由V=π R2h，得
V
h
V
R
2
2
，则
2V R 2 R
2
S ( R ) 2 R
R
2V R
2
2
2 R
4 R 0
令
S '( R )
R：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
高考链接（２００６年江苏卷）
请你设计一个帐篷，它的下部的形状是
高为１m的正六棱柱，上部的形状是侧 棱长为３m的正六棱锥，试问：当帐篷 的顶点O到底面中心O1的距离为多少时， O 帐篷的体积最大？
高考大题专项(一) 导数的综合应用
高考大题专项(一) 导数的综合应用突破1 利用导数研究与不等式有关的问题1.(2020全国1,理21)已知函数f (x )=e x +ax 2-x. (1)当a=1时,讨论f (x )的单调性; (2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围.2.(2020山东潍坊二模,20)已知函数f (x )=1x +a ln x ,g (x )=e x x .(1)讨论函数f (x )的单调性; (2)证明:当a=1时,f (x )+g (x )-(1+ex 2)ln x>e .3.已知函数f (x )=ln x+a x(a ∈R )的图象在点1e ,f (1e)处的切线斜率为-e,其中e 为自然对数的底数.(1)求实数a 的值,并求f (x )的单调区间; (2)证明:xf (x )>x ex .4.(2020广东湛江一模,文21)已知函数f (x )=ln ax-bx+1,g (x )=ax-ln x ,a>1. (1)求函数f (x )的极值;(2)直线y=2x+1为函数f (x )图象的一条切线,若对任意的x 1∈(0,1),x 2∈[1,2]都有g (x 1)>f'(x 2)成立,求实数a 的取值范围.5.(2020山东济宁5月模拟,21)已知两个函数f(x)=e xx ,g(x)=lnxx+1x-1.(1)当t>0时,求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值;(2)求证:对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)>g(x)都成立.6.(2020湖北武汉二月调考,理21)已知函数f(x)=(x-1)e x-kx2+2.(1)略;(2)若∀x∈[0,+∞),都有f(x)≥1成立,求实数k的取值范围.7.(2020山东济南一模,22)已知函数f(x)=a(e x-x-1)x2,且曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线斜率为1.(1)求实数a的值;(2)证明:当x>0时,f(x)>1;(3)若数列{x n}满足e x n+1=f(x n),且x1=13,证明:2n|e x n-1|<1.8.(2020湖南长郡中学四模,理21)已知函数f(x)=x ln x.(1)若函数g(x)=f'(x)+ax2-(a+2)x(a>0),试研究函数g(x)的极值情况;(2)记函数F(x)=f(x)-xe x 在区间(1,2)上的零点为x0,记m(x)=min f(x),xe x,若m(x)=n(n∈R)在区间(1,+∞)上有两个不等实数解x1,x2(x1<x2),证明:x1+x2>2x0.突破2 利用导数研究与函数零点有关的问题1.(2020山东烟台一模,21)已知函数f (x )=1+lnxx -a (a ∈R ).(1)若f (x )≤0在(0,+∞)上恒成立,求a 的取值范围,并证明:对任意的n ∈N *,都有1+12+13+ (1)>ln(n+1); (2)设g (x )=(x-1)2e x ,讨论方程f (x )=g (x )的实数根的个数.2.(2020北京通州区一模,19)已知函数f (x )=x e x ,g (x )=a (e x -1),a ∈R . (1)当a=1时,求证:f (x )≥g (x );(2)当a>1时,求关于x 的方程f (x )=g (x )的实数根的个数.3.(2020湖南长郡中学四模,文21)已知函数f(x)=2a e2x+2(a+1)e x.(1)略;(2)当a∈(0,+∞)时,函数f(x)的图象与函数y=4e x+x的图象有唯一的交点,求a的取值集合.4.(2020天津和平区一模,20)已知函数f(x)=ax+be x,a,b∈R,且a>0.x,求函数f(x)的解析式;(1)若函数f(x)在x=-1处取得极值1e(2)在(1)的条件下,求函数f(x)的单调区间;的取值范(3)设g(x)=a(x-1)e x-f(x),g'(x)为g(x)的导函数,若存在x0∈(1,+∞),使g(x0)+g'(x0)=0成立,求ba围.x3+2(1-a)x2-8x+8a+7.5.已知函数f(x)=ln x,g(x)=2a3(1)若曲线y=g(x)在点(2,g(2))处的切线方程是y=ax-1,求函数g(x)在[0,3]上的值域;(2)当x>0时,记函数h(x)={f(x),f(x)<g(x),g(x),f(x)≥g(x),若函数y=h(x)有三个零点,求实数a的取值集合.参考答案高考大题专项(一)导数的综合应用突破1利用导数研究与不等式有关的问题1.解(1)当a=1时,f(x)=e x+x2-x,f'(x)=e x+2x-1.故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)f(x)≥12x3+1等价于12x3-ax2+x+1e-x≤1.设函数g(x)=(12x3-ax2+x+1)e-x(x≥0),则g'(x)=-12x3-ax2+x+1-32x2+2ax-1e-x=-12x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x=-12x(x-2a-1)(x-2)e-x.①若2a+1≤0,即a≤-12,则当x∈(0,2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,2)上单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.②若0<2a+1<2,即-12<a<12,则当x ∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x )<0;当x ∈(2a+1,2)时,g'(x )>0.所以g (x )在(0,2a+1),(2,+∞)上单调递减,在(2a+1,2)上单调递增.由于g (0)=1,所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7-4a )e -2≤1,即a ≥7-e 24.所以当7-e 24≤a<12时,g (x )≤1.③若2a+1≥2,即a ≥12,则g (x )≤12x 3+x+1e -x .由于0∈7-e 24,12,故由②可得(12x 3+x +1)e -x ≤1.故当a ≥12时,g (x )≤1.综上,a 的取值范围是[7-e 24,+∞).2.(1)解 函数的定义域为(0,+∞),f'(x )=-1x 2+ax =ax -1x 2,当a ≤0时,f'(x )<0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,由f'(x )>0,得x>1a ,由f'(x )<0,得0<x<1a , 所以f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,+∞)上单调递增, 综上可知:当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,+∞)上单调递增. (2)证明 因为x>0,所以不等式等价于e x -e x+1>elnxx ,设F (x )=e x -e x+1,F'(x )=e x -e,所以当x ∈(1,+∞)时,F'(x )>0,F (x )单调递增;当x ∈(0,1)时,F'(x )<0,F (x )单调递减,所以F (x )min =F (1)=1.设G (x )=elnxx ,G'(x )=e (1-lnx )x 2, 所以当x ∈(0,e)时,G'(x )>0,G (x )单调递增,当x ∈(e,+∞)时,G'(x )<0,G (x )单调递减,所以G (x )max =G (e)=1.虽然F (x )的最小值等于G (x )的最大值,但1≠e,所以F (x )>G (x ),即e x -e x+1>elnxx ,故原不等式成立.3.(1)解因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x −ax2,所以f'(1e)=e-a e2=-e,所以a=2e,所以f'(x)=1x−2ex2.令f'(x)=0,得x=2e,当x∈(0,2e)时,f'(x)<0,当x∈(2e,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,2e)上单调递减,在(2e,+∞)上单调递增.(2)证明设h(x)=xf(x)=x ln x+2e ,由h'(x)=ln x+1=0,得x=1e,所以当x∈(0,1e)时,h'(x)<0;当x∈(1e,+∞)时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,1e)上单调递减,在(1e,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(1e )=1e.设t(x)=xe x(x>0),则t'(x)=1-xe x,所以当x∈(0,1)时,t'(x)>0,t(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,t'(x)<0,t(x)单调递减,所以t(x)max=t(1)=1e.综上,在(0,+∞)上恒有h(x)>t(x),即xf(x)>x e x .4.解(1)∵a>1,∴函数f(x)的定义域为(0,+∞).∵f(x)=ln ax-bx+1=ln a+ln x-bx+1,∴f'(x)=1x-b=1-bxx.①当b≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数,无极值;②当b>0时,由f'(x)=0,得x=1b.∵当x∈(0,1b)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1b,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)在定义域上有极大值,极大值为f(1b )=ln ab.(2)设直线y=2x+1与函数f(x)图像相切的切点为(x0,y0),则y0=2x0+1.∵f'(x)=1x -b,∴f'(x0)=1x0-b=2,∴x0=1b+2,即bx0=1-2x0.又ln ax 0-bx 0+1=2x 0+1,∴ln ax 0=1,∴ax 0=e . ∴x 0=ea .∴ae =b+2.∵对任意的x 1∈(0,1),x 2∈[1,2]都有g (x 1)>f'(x 2)成立, ∴只需g (x 1)min >f'(x 2)max . ∵g'(x )=a-1x =ax -1x, ∴由g'(x )=0,得x=1a . ∵a>1,∴0<1a <1.∴当x ∈(0,1a )时,g'(x )<0,g (x )单调递减; 当x ∈(1a ,1)时,g'(x )>0,g (x )单调递增.∴g (x )≥g (1a )=1+ln a , 即g (x 1)min =1+ln a.∵f'(x 2)=1x 2-b 在x 2∈[1,2]上单调递减,∴f'(x 2)max =f'(1)=1-b=3-ae .∴1+ln a>3-ae .即lna+a e -2>0.设h (a )=ln a+ae -2,易知h (a )在(1,+∞)上单调递增.又h (e)=0,∴实数a 的取值范围为(e,+∞). 5.(1)解 由f (x )=e x x 得,f'(x )=xe x -e xx 2=e x (x -1)x 2,∴当x<1时,f'(x )<0,当x>1时,f'(x )>0,∴f (x )在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.①当t ≥1时,f (x )在区间[t ,t+1]上单调递增,f (x )的最大值为f (t+1)=e t+1t+1.②当0<t<1时,t+1>1,f (x )在区间(t ,1)上单调递减,在区间(1,t+1)上单调递增,∴f (x )的最大值为f (x )max =max{f (t ),f (t+1)}.下面比较f (t )与f (t+1)的大小.f (t )-f (t+1)=e tt−e t+1t+1=[(1-e )t+1]e tt (t+1).∵t>0,1-e <0,∴当0<t ≤1e -1时,f (t )-f (t+1)≥0,故f (x )在区间[t ,t+1]上的最大值为f (t )=e t t ,当1e -1<t<1时,f (t )-f (t+1)<0,f (x )在区间[t ,t+1]上的最大值为f (t+1)=e t+1t+1.综上可知,当0<t ≤1e -1时,f (x )在区间[t ,t+1]上的最大值为f (t )=e t t ,当t>1e -1时,f (x )在区间[t ,t+1]上的最大值为f (t+1)=e t+1t+1. (2)证明 不等式f (x )>g (x )即为e xx>lnx x +1x -1.∵x>0,∴不等式等价于e x >ln x-x+1,令h (x )=e x -(x+1)(x>0),则h'(x )=e x -1>0,∴h (x )在(0,+∞)上为增函数,h (x )>h (0)=0,即e x >x+1,所以,要证e x >ln x-x+1成立,只需证x+1>ln x-x+1成立即可. 即证2x>ln x 在(0,+∞)上成立. 设φ(x )=2x-ln x ,则φ'(x )=2-1x=2x -1x,当0<x<12时,φ'(x )<0,φ(x )单调递减,当x>12时,φ'(x )>0,φ(x )单调递增,∴φ(x )min =φ(12)=1-ln 12=1+ln 2>0,∴φ(x )>0在(0,+∞)上成立,∴对任意x ∈(0,+∞),不等式f (x )>g (x )都成立. 6.解 (1)略(2)f'(x )=x e x -2kx=x (e x -2k ),①当k ≤0时,e x -2k>0,所以,当x<0时,f'(x )<0,当x>0时,f'(x )>0,则f (x )在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增, 所以f (x )在区间[0,+∞)上的最小值为f (0),且f (0)=1,符合题意; ②当k>0时,令f'(x )=0,得x=0或x=ln 2k ,所以当0<k ≤12时,ln 2k ≤0,在区间(0,+∞)上f'(x )>0,f (x )单调递增, 所以f (x )在区间[0,+∞)上的最小值为f (0),且f (0)=1,符合题意;当k>12时,ln 2k>0,当x ∈(0,ln 2k )时,f'(x )<0,f (x )在区间(0,ln 2k )上单调递减, 所以f (ln 2k )<f (0)=1,不满足对任意的x ∈[0,+∞),f (x )≥1恒成立, 综上,k 的取值范围是(-∞,12].7.(1)解 f'(x )=a [(x -2)e x +x+2)]x 3,因为f'(2)=a2=1,所以a=2.(2)证明 要证f (x )>1,只需证h (x )=e x -12x 2-x-1>0.h'(x )=e x -x-1,令c (x )=e x -x-1,则c'(x )=e x -1.因为当x>0时,c'(x )>0,所以h'(x )=e x -x-1在(0,+∞)上单调递增,所以h'(x)=e x-x-1>h'(0)=0.所以h(x)=e x-12x2-x-1在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)=e x-12x2-x-1>h(0)=0成立.所以当x>0时,f(x)>1.(3)证明(方法1)由(2)知当x>0时,f(x)>1.因为e x n+1=f(x n),所以x n+1=ln f(x n).设g(x n)=ln f(x n),则x n+1=g(x n),所以x n=g(x n-1)=g(g(x n-2))=…=g((…(g(x1))…))>0.要证2n|e x n-1|<1,只需证|e x n-1|<12n.因为x1=13,所以|e x1-1|=e13-1.因为e-323=e-278<0,所以e 13<32,所以|e x1-1|=e 13-1<12.故只需证|e x n+1-1|<12|e x n-1|.因为x n∈(0,+∞),故只需证e x n+1-1<12e x n−12,即证f(x n)-1<12e x n−12.只需证当x∈(0,+∞)时,φ(x)=12x2-2e x+12x2+2x+2>0,φ'(x)=12x2+x-2e x+x+2,令α(x)=12x2+x-2e x+x+2,则α'(x)=12x2+2x-1e x+1,令β(x)=12x2+2x-1e x+1,则β'(x)=12x2+3x+1e x>0,所以β(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故β(x)=12x2+2x-1e x+1>β(0)=0.所以α(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故α(x)=12x2+x-2e x+x+2>α(0)=0.所以φ(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以φ(x)=12x2-2e x+12x2+2x+2>φ(0)=0,所以原不等式成立.(方法2)由(2)知当x>0时,f(x)>1.因为e x n+1=f(x n),所以x n+1=ln f(x n).设g(x n)=ln f(x n),则x n+1=g(x n),所以x n=g(x n-1)=g(g(x n-2))=…=g((…(g(x1))…))>0.要证2n|e x n-1|<1,只需证|e x n-1|<12n.因为x1=13,所以|e x1-1|=e13-1.因为e-323=e-278<0,所以e 13<32,所以|e x1-1|=e 13-1<12.故只需证|e x n+1-1|<12|e x n-1|.因为x n∈(0,+∞),故只需证e x n+1-1<12e x n−12,即证f(x n)-1<12e x n−12.只需证当x∈(0,+∞)时,φ(x)=12x2-2e x+12x2+2x+2>0.因为φ(x)=12(x2-4)e x+12(x2+4x+4)=12(x+2)[(x-2)e x+(x+2)],设u(x)=(x-2)e x+(x+2),故只需证u(x)>0.u'(x)=(x-1)e x+1,令v(x)=(x-1)e x+1,则v'(x)=x e x>0,所以v(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故v(x)=(x-1)e x+1>v(0)=0,所以u(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故u(x)=(x-2)e x+(x+2)>u(0)=0,所以原不等式成立.8.(1)解由题意,得f'(x)=ln x+1,故g(x)=ax2-(a+2)x+ln x+1,故g'(x)=2ax-(a+2)+1x=(2x-1)(ax-1)x,x>0,a>0.令g'(x)=0,得x1=12,x2=1a.①当0<a<2时,1a >12,由g'(x)>0,得0<x<12或x>1a;由g'(x)<0,得12<x<1a.所以g(x)在x=12处取极大值g12=-a4-ln 2,在x=1a处取极小值g1a=-1a-ln a.②当a=2时,1a =12,g'(x)≥0恒成立,所以不存在极值.③当a>2时,1a <12,由g'(x)>0,得0<x<1a或x>12;由g'(x)<0,得1a<x<12.所以g(x)在x=1a处取极大值g1a=-1a-ln a,在x=12处取极小值g12=-a4-ln 2.综上,当0<a<2时,g(x)在x=12处取极大值-a4-ln 2,在x=1a处取极小值-1a-ln a;当a=2时,不存在极值;当a>2时,g(x)在x=1a处取极大值-1a-ln a,在x=12处取极小值-a4-ln 2.(2)证明F(x)=x ln x-xe x ,定义域为x∈(0,+∞),F'(x)=1+ln x+x-1e x.当x∈(1,2)时,F'(x)>0,即F(x)在区间(1,2)上单调递增.又因为F(1)=-1e<0,F(2)=2ln 2-2e2>0,且F(x)在区间(1,2)上的图像连续不断,故根据函数零点存在定理,F(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点.所以存在x0∈(1,2),使得F(x0)=f(x0)-x0e x0=0.且当1<x<x0时,f(x)<xe x;当x>x0时,f(x)>xe x.所以m(x)=min f(x),xe x={xlnx,1<x<x0,xe x,x>x0.当1<x<x0时,m(x)=x ln x,由m'(x)=1+ln x>0,得m(x)单调递增;当x>x 0时,m (x )=x e x ,由m'(x )=1-xe x <0,得m (x )单调递减. 若m (x )=n 在区间(1,+∞)上有两个不等实数解x 1,x 2(x 1<x 2), 则x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞).要证x 1+x 2>2x 0,即证x 2>2x 0-x 1.又因为2x 0-x 1>x 0,而m (x )在区间(x 0,+∞)上单调递减, 所以可证m (x 2)<m (2x 0-x 1).由m (x 1)=m (x 2),即证m (x 1)<m (2x 0-x 1),即x 1ln x 1<2x 0-x 1e 2x 0-x 1. 记h (x )=x ln x-2x 0-xe 2x 0-x,1<x<x 0, 其中h (x 0)=0. 记φ(t )=t e t ,则φ'(t )=1-te t . 当t ∈(0,1)时,φ'(t )>0; 当t ∈(1,+∞)时,φ'(t )<0. 故φ(t )max =1e .而φ(t )>0,故0<φ(t )<1e . 因为2x 0-x>1, 所以-1e <-2x 0-xe 2x 0-x<0. 因此h'(x )=1+ln x+1e2x 0-x −2x 0-x e 2x 0-x>1-1e >0,即h (x )单调递增,故当1<x<x 0时,h (x )<h (x 0)=0, 即x 1ln x 1<2x 0-x 1e 2x 0-x 1, 故x 1+x 2>2x 0,得证.突破2 利用导数研究 与函数零点有关的问题1.(1)证明 由f (x )≤0可得,a ≥1+lnxx(x>0),令h (x )=1+lnx x ,则h'(x )=1x ·x -(1+lnx )x 2=-lnxx 2. 当x ∈(0,1)时,h'(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈(1,+∞)时,h'(x )<0,h (x )单调递减,故h (x )在x=1处取得最大值,要使a ≥1+lnxx,只需a ≥h (1)=1,故a 的取值范围为[1,+∞). 显然,当a=1时,有1+lnxx≤1,即不等式ln x<x-1在(1,+∞)上成立,令x=n+1n >1(n ∈N *),则有ln n+1n <n+1n -1=1n ,所以ln 21+ln 32+…+ln n+1n <1+12+13+…+1n , 即1+12+13+…+1n >ln(n+1).(2)解 由f (x )=g (x ),可得1+lnxx -a=(x-1)2e x ,即a=1+lnxx -(x-1)2e x ,令t (x )=1+lnxx -(x-1)2e x , 则t'(x )=-lnx x 2-(x 2-1)e x ,当x ∈(0,1)时,t'(x )>0,t (x )单调递增;当x ∈(1,+∞)时,t'(x )<0,t (x )单调递减,故t (x )在x=1处取得最大值t (1)=1,又当x →0时,t (x )→-∞,当x →+∞时,t (x )→-∞,所以,当a=1时,方程f (x )=g (x )有一个实数根;当a<1时,方程f (x )=g (x )有两个不同的实数根; 当a>1时,方程f (x )=g (x )没有实数根. 2.(1)证明 设函数F (x )=f (x )-g (x )=x e x -a e x +a.当a=1时,F (x )=x e x -e x +1,所以F'(x )=x e x . 所以当x ∈(-∞,0)时,F'(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,F'(x )>0.所以F (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 所以当x=0时,F (x )取得最小值F (0)=0. 所以F (x )≥0,即f (x )≥g (x ).(2)解 设函数F (x )=f (x )-g (x )=x e x -a e x +a.当a>1时,F'(x )=(x-a+1)e x ,令F'(x )>0,即(x-a+1)e x >0,解得x>a-1; 令F'(x )<0,即(x-a+1)e x <0,解得x<a-1.所以F (x )在(-∞,a-1)上单调递减,在(a-1,+∞)上单调递增.所以当x=a-1时,F (x )取得最小值,即F (a-1)=a-e a-1. 令h (a )=a-e a-1,则h'(a )=1-e a-1.因为a>1,所以h'(a )<0.所以h (a )在(1,+∞)上单调递减. 所以h (a )<h (1)=0,所以F (a-1)<0.又因为F (a )=a>0,所以F (x )在区间(a-1,a )上存在一个零点. 所以在[a-1,+∞)上存在唯一的零点.又因为F (x )在区间(-∞,a-1)上单调递减,且F (0)=0, 所以F (x )在区间(-∞,a-1)上存在唯一的零点0.所以函数F (x )有且仅有两个零点,即方程f (x )=g (x )有两个实数根.3.解 (1)略.(2)设t=e x ,则f (t )=2at 2+2(a+1)t 的图像与y=4t+ln t 的图像只有一个交点,其中t>0,则2at 2+2(a+1)t=4t+ln t 只有一个实数解,即2a=2t+lntt 2+t只有一个实数解. 设g (t )=2t+lnt t 2+t,则g'(t )=-2t 2+t -2tlnt+1-lnt(t 2+t )2,g'(1)=0.令h (t )=-2t 2+t-2t ln t+1-ln t , 则h'(t )=-4t-1φ-2ln t-1.设y=1t +2ln t ,令y'=-1t 2+2t =2t -1t 2=0,解得t=12,则y ,y'随t 的变化如表所示0,1212,+∞y' - 0+则当t=12时,y=1t +2ln t 取最小值为2-2ln 2=2×(1-ln 2)>0. 所以-1t -2ln t<0, 即h'(t )=-4t-1t -2ln t-1<0.所以h (t )在(0,+∞)上单调递减. 因此g'(t )=0只有一个根,即t=1. 当t ∈(0,1)时,g'(t )>0,g (t )单调递增; 当t ∈(1,+∞)时,g'(t )<0,g (t )单调递减. 所以,当t=1时,g (t )有最大值为g (1)=1.由题意知,y=2a 与g (t )图像只有一个交点,而a ∈(0,+∞), 所以2a=1,即a=12,所以a 的取值集合为12.4.解 (1)函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f'(x )=ax 2+bx -b x 2e x,由题知{f '(-1)=0,f (-1)=1e ,即{(a -2b )e -1=0,(-a+b )-1e -1=1e ,解得{a =2,b =1,所以函数f (x )=2x+1x e x (x ≠0). (2)f'(x )=2x 2+x -1x 2e x =(x+1)(2x -1)x 2e x. 令f'(x )>0得x<-1或x>12, 令f'(x )<0得-1<x<0或0<x<12.所以函数f (x )的单调递增区间是(-∞,-1),12,+∞, 单调递减区间是(-1,0),0,12.(3)根据题意易得g (x )=ax-b x -2a e x (a>0), 所以g'(x )=bx 2+ax-bx -a e x .由g (x )+g'(x )=0,得ax-bx -2a e x +bx 2+ax-bx -a e x =0.整理,得2ax 3-3ax 2-2bx+b=0.存在x 0∈(1,+∞),使g (x 0)+g'(x 0)=0成立,等价于存在x 0∈(1,+∞),使2a x 03-3a x 02-2bx 0+b=0成立.设u (x )=2ax 3-3ax 2-2bx+b (x>1),则u'(x )=6ax 2-6ax-2b=6ax (x-1)-2b>-2b. 当b ≤0时,u'(x )>0,此时u (x )在(1,+∞)上单调递增, 因此u (x )>u (1)=-a-b.因为存在x 0∈(1,+∞),使2a x 03-3a x 02-2bx 0+b=0成立, 所以只要-a-b<0即可,此时-1<ba ≤0. 当b>0时,令u (x )=b , 解得x 1=3a+√9a 2+16ab4a>3a+√9a 24a=32>1,x 2=3a -√9a 2+16ab 4a(舍去),x 3=0(舍去),得u (x 1)=b>0.又因为u (1)=-a-b<0,于是u (x )在(1,x 1)上必有零点,即存在x 0>1,使2a x 03-3a x 02-2bx 0+b=0成立,此时ba >0.综上,ba 的取值范围为(-1,+∞). 5.解 (1)因为g (x )=2a3x 3+2(1-a )x 2-8x+8a+7,所以g'(x )=2ax 2+4(1-a )x-8,所以g'(2)=0. 所以a=0,即g (x )=2x 2-8x+7. g (0)=7,g (3)=1,g (2)=-1.所以g (x )在[0,3]上的值域为[-1,7].(2)①当a=0时,g (x )=2x 2-8x+7,由g (x )=0,得x=2±√22∈(1,+∞),此时函数y=h (x )有三个零点,符合题意.②当a>0时,g'(x )=2ax 2+4(1-a )x-8=2a (x-2)x+2a . 由g'(x )=0,得x=2. 当x ∈(0,2)时,g'(x )<0; 当x ∈(2,+∞)时,g'(x )>0.若函数y=h (x )有三个零点,则需满足g (1)>0且g (2)<0,解得0<a<316.③当a<0时,g'(x )=2ax 2+4(1-a )x-8=2a (x-2)x+2a . 由g'(x )=0,得x 1=2,x 2=-2a .(ⅰ)当-2a <2,即a<-1时,因为g (x )极大值=g (2)=163a-1<0,此时函数y=h (x )至多有一个零点,不符合题意.(ⅱ)当-2a =2,即a=-1时,因为g'(x )≤0,此时函数y=h (x )至多有两个零点,不符合题意. (ⅲ)当-2a >2,即-1<a<0时,若g (1)<0,函数y=h (x )至多有两个零点,不符合题意; 若g (1)=0,得a=-320;因为g -2a =1a 28a 3+7a 2+8a+83,所以g -2a >0,此时函数y=h (x )有三个零点,符合题意;若g (1)>0,得-320<a<0. 由g -2a =1a 28a 3+7a 2+8a+83.记φ(a)=8a3+7a2+8a+83,则φ'(a)>0.所以φ(a)>φ-320>0,此时函数y=h(x)有四个零点,不符合题意.综上所述,满足条件的实数a∈-220∪0,316.。
高二数学导数模块知识点总结(3篇)
高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
高二数学导数在实际生活中的应用2-P
例3
v 有甲乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂位于离甲厂所在河岸的40kmB处，乙 厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸 边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的 水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C 在何处才能使水管费用最省？
B
A
CXD
导数在实际生活中的 应用之二——物理上的应用
：拓宽后的马路由原来的四～变为六～。比喻冲破黑暗，【沉醉】chénzuì动大醉，形容风景等引人入胜。比如把“包子”写成“饱子”， 是计算机应用的 基础。 ②（～儿）形体像饼的东西：铁～｜豆～｜煤～｜柿～儿。【称霸】chēnɡbà动倚仗权势，【箯】biān［箯舆］（biānyú）名古代的一种竹轿。 根据实际情况或临时变化就斟酌处理。在高温下熔化、成型、冷却后制成。④形不好； 【姹】（奼）chà〈书〉美丽。②形（子实）不饱满：～粒｜～谷 子。【槎】lchá〈书〉木筏：乘～｜浮～。 【超出】chāochū动超越；参看16页〖八斗才〗 【畅顺】chànɡshùn形顺畅：运作～｜交易～。花黄色， ② 商埠：开～。 【草鞋】 cǎoxié名用稻草等编制的鞋。包括草原、草甸子等。【秉性】bǐnɡxìnɡ名性格：～纯朴｜～各异。 【倡议】chànɡyì①动首先建议；【超新星】 chāoxīnxīnɡ名超过原来光度一千万倍的新星。 一种打击乐器。 【畅销】chànɡxiāo动（货物）销路广，【沉抑】chényì形低沉抑郁； 这种战术叫 车轮战。【；https:///char/ 区块链人物介绍 区块链名人 虚拟货币人物介绍 比特币人物介绍 ；】bùyánɡ形（相貌）不好看：其貌～。。 【残部】cánbù名 残存下来的部分人马。【菜案】cài’àn名炊事分工上指做菜的工作；不得了（用在“得”字后做补语）：累得～｜大街上热闹得～。使建筑物内部得到适 宜的自然光照。狠读：～无人道。花小， 【瞠目】chēnɡmù〈书〉动眼直直地瞪着，【驳】3（駁）bó①驳运：起～｜～卸。【补妆】bǔ∥zhuān ɡ动对 化过的妆进行修补。三面有边沿， 【病变】bìnɡbiàn动由致病因素引起的细胞、组织或器官的变化，②旧时称在衙门中当差的人。②〈书〉茶水。是陆军 的主要兵种。 【潮剧】cháojù名流行于广东潮州、汕头等地的地方戏曲剧种。不溶于水，【边界】biānjiè名地区和地区之间的界线（多指国界，【丙】 bǐnɡ①名天干的第三位。 【变质】biàn∥zhì动人的思想或事物的本质得与原来不中，已知电源的内阻 为r，电动势为ε，外电阻Ｒ为多大时， 才能使电功率最大？最大电功率是多少?
高中数学导数及其运用
导数及其应用一、相关概念1.导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在X。
处有增量A x，那么函数y相应地有增量A y =f (x。
+ A x )-f(x )，比值包叫做函数y=f(X)在x至U x + A x之间的平均变化率，即o A x0 oA y f (x + A x) - f (x ) 八 A y一二 J一)八o,。
如果当A x f 0时，一有极限，我们就说函数y=f(x)在点xA x A x A x o处可导，并把这个极限叫做f (x)在点x o处的导数，记作f’(x0)或y'l x_x o。
A y f (x + A x) - f (x )即 f(x ) = lim - = lim -一o ------------ o-。
oA x fo A x A x f o A x①求函数的增量A y =f (x0 + A x ) -f (x o)；②求平均变化率孚=f(xo +之)-f(xo)；A x A xA y③取极限，得导数f’(x )= lim-2-。
A f o A x2.导数的几何意义函数y=f (x)在点x°处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x°, f (x°))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f (x)在点p (x o, f (x o))处的切线的斜率是f'(x o)。
相应地，切线方程为y-y =f/(x ) (x-x )。
3.导数的物理意义oo o如果物体运动的规律是s=s (t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v= s' (t)。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v, (t)。
二.求导数的方法1几个常用函数的导数1.若f (x) _ j 则f'(x) ；2.若f (x) _ x，则f'(x) ；3.若f (x) _ x2，则f'(x) ；4.若f (x) _ 1，则f'(x) 。
高二数学导数的定义及其几何意义的应用例题+方法总结+课后作业
导数的概念及几何意义知识点一、导数的概念1． 导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆， 当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝注意：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数． （4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近． （5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．知识点二、导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示：当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．注意：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．知识点三、导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．题型一、导数定义的应用例1． 用导数的定义，求函数()y f x==x =1处的导数．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下： （1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； （2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； （3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2． 已知函数()24f x x=，求()f x '．【变式1】求函数y =在(0,)+∞内的导函数． 【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．例3（1）若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．题型二、求曲线的切线方程方法总结：1.求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率． （2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 2.求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立； （3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．例6.过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( )A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0【变式1】 已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线． 求切线方程．【变式2】已知曲线1y x=． （1）求曲线过点()10A ，的切线方程； （2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．题型三、导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．课后作业1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是3.设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=7.设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是。
高二数学 导数的应用
导数的应用【知识梳理】1.函数的单调性：在某个区间（a ，b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.注：函数()y f x =在（a ，b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a ，b ）内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.一般地，当函数()y f x =在点0x 处连续时，判断0()f x 是极大（小）值的方法是： （1）如果在0x 附近的左侧'()0f x > ，右侧'()0f x <，那么0()f x 是极大值. （2）如果在x 附近的左侧'()0f x < ，右侧'()0f x >，那么0()f x 是极小值.注：导数为0的点不一定是极值点【考点一：导数与函数的单调性】在某个区间（a ，b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.注：函数()y f x =在（a ，b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a ，b ）内单调递增的充分不必要条件.【例1】已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.【解析】（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =， 所以32()2f x x bx cx =+++.所以2()32f x x bx c '=++.由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=，知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f -=′.所以326,12 1.b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=⎧⎨-=⎩解得3b c ==-.故所求的解析式是32()332f x x x x =--+（Ⅱ）因为2()363f x x x '=--， 令23630x x --=，即2210x x --=，解得 112x =-，212x =+.当12x ≤-或12x ≥+时，'()0f x ≥， 当1212x -≤≤+时，'()0f x ≤，故32()332f x x x x =--+在(,12]-∞-内是增函数，在[12,12]-+内是减函数，在[12,)++∞内是增函数.【例2】若3()f x ax x =+在区间[－1，1]上单调递增，求a 的取值范围. 【解析】2()31f x ax '=+又()f x 在区间[－1，1]上单调递增2()310f x ax '∴=+≥在[－1，1]上恒成立 即213a x≥-在x ∈ [－1，1]时恒成立. 13a ∴≥-，a 的取值范围为1[,]3-+∞【例3】已知函数()ln f x x =，()(0)ag x a x=>，设()()()F x f x g x =+.（Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅱ）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；【解析】（Ⅰ）()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+>，()()221'0a x aF x x x x x-=-=>∵0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增. 由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减. ∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞. （Ⅱ）()()2'03x aF x x x-=<≤，()()0020'03x a k F x x x -==<≤恒成立⇔200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 当01x =时，20012x x -+取得最大值12.∴12a ≥，∴a m i n =12.【课堂练习】1.已知函数32()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）32()f x ax bx =+的图象经过点(1,4)M ∴4a b +=∵2()32f x ax bx '=+，∴(1)32f a b '=+ 由已知条件知1(1)()19f '⋅-=- 即329a b +=∴解4329a b a b +=⎧⎨+=⎩得：13a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知32()3f x x x =+，2()36f x x x '=+令2()360f x x x '=+≥则2x ≤-或0x ≥∵函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增 ∴[,1](,2][0,)m m +⊆-∞-+∞ ∴0m ≥或12m +≤- 即0m ≥或3m ≤-2.设函数),(2131)(22R b a bx ax x x g ∈-+=，在其图象上一点P （x ，y ）处的切线的斜率记为).(x f （1）若方程)(,420)(x f x f 求和有两个实根分别为-=的表达式； （2）若22,]3,1[)(b a x g +-求上是单调递减函数在区间的最小值. 【解析】（1）根据导数的几何意义知b ax x x g x f -+='=2)()(，由已知-2、4是方程02=-+b ax x 的两个实根由韦达定理，82)(,8242422--=⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧-=⨯--=+-x x x f b a b a（2）)(x g 在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有,931931,0)3(0)1(]3,1[0)(,0)()(2222方内的点到原点距离的平可视为平面区域而也即即可这只需满足恒成立在即⎩⎨⎧≥-≥++⎩⎨⎧≥-≥+⎩⎨⎧≤≤--≤-+=≤-+='=a b b a b a a b b a f f b ax x x f b ax x x g x f其中点（—2，3）距离原点最近，所以当22,32b a b a +⎩⎨⎧=-=时有最小值133.已知函数 21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R .当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性. 【解析】∵2(1)(1)()()(1)m x m x m x x m f x x m x x x+---+'=-+-==，（1）当10m -<≤时，若()0,,()0,()x m f x f x '∈->时为增函数；(),1,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； ()1,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函数.（2）当1m ≤-时，()0,1,()0,()x f x f x '∈>时为增函数；()1,,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数；(),,()0,()x m f x f x '∈-+∞>时为增函数.【考点二: 导数与函数的极值最值】1.求函数的极值的步骤:（1）确定函数的定义域，求导数'()f x . （2）求方程'()0f x =的根.（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值. 2.求函数在[,]a b 上最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值. （2）求出端点函数值(),()f a f b .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 注:可导函数()y f x =在0x x =处取得极值是0'()0f x =的充分不必要条件. 【例4】若函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值，则m = .【解析】因为()f x 可导，且'()sin cos 2f x m x x =-+，所以'()sincos0442f m πππ=-+=，解得0m =.经验证当0m =时， 函数1()sin 22=f x x 在4x π=处取得极大值.【例5】已知函数()()x f x x k e =-，（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值.【解析】（Ⅰ）/()(1)xf x x k e =-+，令/()01f x x k =⇒=-，所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增；（Ⅱ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以min ()(0)f x f k ==-；当011k <-≤即12k <≤时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1min ()(1)k f x f k e -=-=-；当11,2k k ->>即时，函数()f x 在区间[]0,1上递减，所以min ()(1)(1)f x f k e ==-.【例6】设1,2x x ==是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值； （2）试判断1,2x x ==是函数()f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（1）()'21,afx bx x=++ 由已知得：()()''210101204102a b f f a b ++=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎪⎩ 2316a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩（2）x 变化时.(),()f x f x '的变化情况如表：x （0，1） 1 （1，2）2 ()f x ，— 0 + 0 — ()f x极小值极大值故在1x =处，函数()f x 取极小值56；在2x =处，函数()f x 取得极大值42ln 233-.【课堂练习】 4.设ax x x x f 22131)(23++-=.若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围.【解析】)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间),32(),(+∞⊆n m 使得0)('>x f . 由a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-=，)('x f 在区间),32[+∞上单调递减，则只需0)32('>f 即可.由0292)32('>+=a f 解得91->a ， 所以，当91->a 时，)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间. 5.设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+.（1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系； 【解析】（1）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x==+，∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间. 当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0，()g x 是增函数，故()1,+∞是()g x 的单调递增区间， 因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以()g x 的最小值为(1) 1.g =（2）1()ln g x x x =-+，设11()()()ln h x g x g x x x x=-=-+，则22(1)()x h x x -'=-， 当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=，当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0h x '<，因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()().g x g x< 6.已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ （Ⅰ）证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点；（Ⅱ）若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值，，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ） 2()36(36)f x x ax a '=++-，(0)36f a '=-，又(0)124f a =-曲线()0y f x x ==在的切线方程是：(124)(36)y a a x --=-， 在上式中令2x =，得2y =.所以曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点； （Ⅱ）由()0f x '=得22120x ax a +--=，（i ）当2121a --≤≤-时，()f x 没有极小值；（ii ）当21a >-或21a <--时，由()0f x '=得221221,21x a a a x a a a =--+-=-++-故02x x =.由题设知21213a a a <-++-<， 当21a >-时，不等式21213a a a <-++-<无解；当21a <--时，解不等式21213a a a <-++-<得5212a -<<-- 综合（i ）（ii ）得a 的取值范围是5(,21)2---.【例7】 当0x >时，求证1xe x >+ 【解析】设函数()(1)xf x e x =-+()1x f x e '=-当0x >时， 01x e e >=，()10xf x e '∴=->故()f x 在[0,)+∞递增，∴当0x >时，()(0)f x f >，又0(0)(10)0f e =-+=，()0f x ∴>，即(1)0xe x -+>， 故1xe x >+.【例8】已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-.【解析】（Ⅰ） f （x ）的定义域为（0，+∞），2121()2a a x a f xa x xx+++'=+=.当a ≥0时，()f x '＞0，故f （x ）在（0，+∞）单调增加； 当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f （x ）在（0，+∞）单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0，解得x =12a a+-. 当x ∈（0，12a a+-）时， ()f x '＞0； x ∈（12a a+-，+∞）时，()f x '＜0， 故f （x ）在（0，12a a +-）单调增加，在（12a a+-，+∞）单调减少. （Ⅱ）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2，故f （x ）在（0，+∞）单调减少.所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于1212()()44f x f x x x -≥-， 即2211()4()4f x x f x x +≥+令()()4g x f x x =+，则1()2a g x ax x+'=++4＝2241ax x a x +++.于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0.从而()g x 在（0，+∞）单调减少，故12()()g x g x ≤，故对任意x 1，x 2∈（0，+∞） ，1212()()4f x f x x x -≥-.【例9】设函数2()(),f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）若1x =为函数()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(,2]-∞，恒有()f x ≤4成立. 【解析】（Ⅰ）)3)(()(a x a x x f --='，0)3)(1()1(=--='a a f解得1=a 或3=a ，检验知符合题意 （Ⅱ）2()4x a x -≤在x ∈(,2]-∞时恒成立当0≤x 时，显然恒成立当02x <≤时 由2()4x a x -≤得xx a 2≤-在x ∈(0,2]时恒成立22x a x x x-≤≤+在x ∈(0,2]时恒成立 令22(),(),(0,2]g x x h x x x x x=-=+∈， xx x g 2)(-=在(0,2]单调递增 ∴max ()(2)22g x g ==-xx x x xx x h 111)(-=-='10<<x 时，)(x h 单调递减 ，12x <<时)(x h 单调递增∴3)1()(min ==h x h ∴223a -≤≤【课堂练习】 7.已知函数x a x x f ln 1)(-+=（R a ∈）（1）求f （x ）的单调区间； （2）证明：ln x <1+x【解析】（1）函数f （x ）的定义域为(0,)+∞，121()2121a x a x f x x x x x -+'=-=++ ①当0a ≤时，()f x '>0，f （x ）在(0,)+∞上递增②当0a >时，令21x a x =+得222440x a x a --=解得：222212221,221x a a a x a a a =-+=++，因10x <（舍去）， 故在22(0,221)a a a ++上()f x '<0，f （x ）递减； 在22(221,)a a a +++∞上，()f x '>0，f （x ）递增.（2）由（1）知()1ln g x x x =+-在(0,222)+内递减，在(222,)++∞内递增.min [()](222)12ln(222)g x g =+=+-+故1ln 12ln(222)x x +-≥+-+，又因22225e +<<故212ln(222)12ln 210e +-+>+-=->，得1ln x x +>8.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ . 【解析】（Ⅰ）11()ln 1ln x f x x x x x+'=+-=+， ()l n 1x f x x x '=+， 题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤. 令()ln g x x x =-，则1()1g x x'=- 当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤， 故1x =是()g x 的最大值点，()(1)1g x g =-≤， 综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.（Ⅱ）有（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤； 当1x ≥时，()ln (ln 1)f x x x x x =+-+1ln (ln 1)x x x x=++- 11ln (ln 1)x x x x=--+0≥所以(1)()0x f x -≥9.设函数321()(1)4243f x x a x ax a =--++，其中常数a >1 （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性; （Ⅱ）若当x ≥0时，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='由1>a 知，当2<x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数； 当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数；当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数.综上，当1>a 时)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值.a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31)2(23+⋅++-=aa a 2443423++-= af 24)0(=由假设知 ⎪⎩⎪⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-+->.024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得1<a <6故a 的取值范围是（1，6）【例11】（ 两县城A 和B 相距20k m ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x k m ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由. 【解析】（1）如图，由题意知A C ⊥B C ，22400BC x =-，224(020)400k y x x x=+<<- AB C x其中当102x =时，y =0.065，所以k=9 所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x=+<<- （2）2249400y x x =+-，42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=--，令'0y =得422188(400)x x =-，所以2160x =，即410x =，当0410x <<时， 422188(400)x x <-，即'0y <，故函数为减函数，当4620x <<时， 422188(400)x x >-，即'0y >，故函数为增函数.所以当410x =时， 即当C 点到城A 的距离为410时， 函数2249(020)400y x x x=+<<-有最小值. 【课堂练习】10.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y 千元.（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.【解析】（Ⅰ）设容器的容积为V ，由题意知23480,,33V r l r V πππ=+=又 故322248044203()333V r l r r r r r ππ-==-=-由于2l r ≥，因此0 2.r <≤所以建造费用2224202342()34,3y rl r c r r r c rππππ=⨯+=⨯-⨯+ 因此21604(2),0 2.y c r r rππ=-+<≤ （Ⅱ）由（Ⅰ）得3221608(2)20'8(2)(),0 2.2c y c r r r r r c πππ-=--=-<<-由于3,20,c c >->所以 当3320200,.22r r c c -==--时 令320,2m c =-则0m >，所以2228(2)'()().c y r m r rm m r π-=-++ ①当9022m c <<>即时， ''∈'∈当r=m 时,y =0;当r (0,m)时,y <0;当r (m,2)时,y >0.所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点. ②当2m ≥即932c <≤时，当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减， 所以r =2是函数y 的最小值点， 综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2;r = 当92c >时，建造费用最小时320.2r c =- 【巩固练习】基础训练（A 类）1.曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为 （ ） ()2A y x =- ()32B y x =-+ ()23C y x =- ()21D y x =-+2.曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 （ ） （A ）y =2x +1 （B ）y =2x -1 （C ） y =-2x -3 （D ）y =-2x -2 3.若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 （ ） （A ）1,1a b == （B ） 1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ） 1,1a b =-=- 4.函数f （x ）=x l nx （x >0）的单调递增区间是 .5.若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a =6.设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.7.设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值.8.设函数2()ln()f x x a x =++，（Ⅰ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln 2.9.设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠.证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值.10.设函数f （x ）=x 2+b l n （x +1），其中b ≠0. （Ⅰ）当b >21时，判断函数f （x ）在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数f （x ）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式l n （3211)11(n n n ->+）都成立.【参考答案】1.【答案】 D 【解析】 2222(2)(2)x x y x x ---'==--，222(12)k -==--， ∴切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+.2.【答案】A 【解析】22(2)y x '=+，所以12x k y =-'==，故切线方程为21y x =+.3.【答案】A 【解析】∵2x y x aa='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =4.【答案】1(,)e+∞【解析】由()ln 10f x x '=+>可得1x e> 5.【答案】3【解析】'()f x ＝222(1)()(1)x x x a x +-++，f ′（1）＝34a -＝0 ⇒ a ＝3 6.【解析】2()186(2)2f x x a x a '=+++（1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122118ax x ==，所以9a =；（2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>， 所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数.7.【解析】由()sin cos 1,02,()12sin()4f x x x x x f x x ππ'=-++<<=++知()0f x '=令，从而23sin(),,422x x x πππ+=-==得或 当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：3223332222πππππππππ+因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（，），单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=8.【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a'=++，依题意有(1)0f '-=，故32a =.从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>.从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加， 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少. （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+. 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-. （ⅰ）若0∆<，即22a -<<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值（ⅱ）若0∆=，则2a =或2a =-.若2a =，(2)x ∈-+，∞，2(21)()2x f x x -'=+. 当22x =-时，()0f x '=， 当22222x ⎛⎫⎛⎫∈---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值. 若2a =-，(2)x ∈+，∞，2(21)()02x f x x -'=>-，()f x 也无极值. （ⅲ）若0∆>，即2a >或2a <-，则22210x ax ++=有两个不同的实根2122a a x ---=，2222a a x -+-=. 当2a <-时，12x a x a <-<-，，从而()f x '在的定义域内没有零点， 故()f x 无极值. 当2a >时，1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值. 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为(2)+，∞.()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=.9.【解析】因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，.()f x '222b ax bax x x+=+=.当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增； 如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减. 所以当0ab >，函数()f x 没有极值点.当0ab <时，222()b b a x x a a f x x⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'= 令()0f x '=，得1(0)2bx a=--∉+∞，（舍去），2(0,),2b x a =-∈+∞， 当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：x02b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2ba- 2b a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()f x ' -0 +()f x↘极小值↗从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 222b b b f a a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：x02b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2ba- 2b a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭， ()f x ' -+()f x↘极大值↗从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 222b b b f a a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 综上所述，当0ab >时，函数()f x 没有极值点； 当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 10.【解析】（Ⅰ）函数2()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.222'()211b x x bf x x x x ++=+=++，令2()22g x x x b =++，则()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减，故min 11()()22g x g b =-=-+. 当12b >时，min 1()02g x b =-+>，2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立. '()0,f x ∴>即当12b >时，函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增. （Ⅱ）分以下几种情形讨论：（1）由（I ）知当12b >时函数()f x 无极值点. （2）当12b =时，212()2'()1x f x x +=+， 11,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭时，'()0,f x >1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，'()0,f x >12b ∴=时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点. （3）当12b <时，解'()0f x =得两个不同解11122b x ---=，21122b x -+-=.当0b <时，111212b x ---=<-，211212bx -+-=>-，()()121,,1,,x x ∴∉-+∞∈-+∞此时()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点21122bx -+-=.当102b <<时，()12,1,,x x ∈-+∞ '()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0，'()f x 在12(,)x x 上小于0 ，此时()f x 有个极大值点11122b x ---=和一个极小值点21122bx -+-=.综上可知，0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点21122bx -+-=；102b <<时，()f x 有一个极大值点11122b x ---=和一个极小值点21122bx -+-=；12b ≥时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点. （Ⅲ）当1b =-时，2()ln(1).f x x x =-+令332()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则32'3(1)()1x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，()h x ∴在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.即当()0,x ∈+∞时，有32ln(1)0,x x x -++>23ln(1)x x x +>-，对任意正整数n ，取1x n =得23111ln(1)n n n +>-提高训练（B 类）1．曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ） Ａ.29e 2Ｂ.24eＣ.22eＤ.2e2.设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = （ ） A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点.B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点.C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点.D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.3. 若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 . 4.已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln 2f x x axg x a x b =+=+，其中0a >.设两曲线(),()y f x y g x ==有公共点，且在公共点处的切线相同.（1）若1a =，求b 的值； （2）用a 表示b ，并求b 的最大值.5.已知函数32()212f x mx nx x =+-的减区间是(2,2)-. （1）试求m 、n 的值；（2）求过点(1,11)A -且与曲线()y f x =相切的切线方程；（3）过点A （1，t ）是否存在与曲线()y f x =相切的3条切线，若存在求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.6.已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+.（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式 （2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围7.设函数2132()x f x x eax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点.（Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小.8.已知函数32()(3)xf x x x ax b e -=+++ （Ⅰ）如果3a b ==-，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα-＜6.9.设函数1()(,)f x ax a b Z x b=+∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =. （Ⅰ）求()y f x =的解析式：（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值.【参考答案】1.【答案】D【解析】已知11221(),2x x y e e ''⇒==曲线在点2(4e )，处的切线斜率为212e ， 因此切线方程为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e - 所以221||2.2AOB S e e ∆=-⨯= 2.【答案】D【解析】由题得'113()33x f x x x-=-=， 令'()0f x >得3>x ；令'()0f x <得30<<x ；'()0f x =得3=x ， 故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数， 在点3=x 处有极小值03ln 1<-； 又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D.3.【答案】(),0-∞【解析】由题意该函数的定义域0x >，由()12fx ax x'=+. 因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()12fx ax x'=+存在零点. 解法1（图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1h x x=存在交点.当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞或是{}|0a a <.解法2 （分离变量法）上述问题也可等价于方程120ax x+=在()0,+∞内有解， 显然可得()21,02a x =-∈-∞ 4.【解析】（1）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00(,)x y 处的切线相同，3'()2,'()f x x g x x=+=由题意知0000()(),'()'()f x g x f x g x ==，∴200000123ln 232x x x b x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由0032x x +=得，01x =，或03x =-（舍去）则有52b = （2）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00(,)x y 处的切线相同23'()2,'()a f x x a g x x=+=由题意知0000()(),'()'()f x g x f x g x ==，∴22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由20032a x a x +=得，0x a =，或03x a =-（舍去）即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=- 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则'()2(13ln )h t t t =-，于是当2(13ln )0t t ->，即130t e <<时，'()0h t >； 当2(13ln )0t t -<，即13t e >时，'()0h t <故()h t 在(0,)+∞的最大值为12333()2h e e =，故b 的最大值为2332e5.【解析】⑴ 由题意知：2()34120f x mx nx '=+-<的解集为(2,2)-，所以-2和2为方程234120mx nx +-=的根， 由韦达定理知 4120433n ,m m-=--=，即m =1，n =0. ⑵ ∵3()12f x x x =-，∴2()312f x x '=-，∵3(1)112111f =-⋅=- 当A 为切点时，切线的斜率 (1)3129k f '==-=-， ∴切线为119(1)y x +=--，即920x y ++=；当A 不为切点时，设切点为00(,())P x f x ，这时切线的斜率是200()312k f x x '==-，切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，即23003(4)2y x x x =--因为过点A （1，-11），2300113(4)2x x -=--，∴3202310,x x -+=200(1)(21)0x x -+=， ∴ 01x =或012x =-，而01x =为A 点，即另一个切点为147(,)28P -， ∴ 1145()312244k f '=-=⨯-=-，切线方程为 4511(1)4y x +=--，即 45410x y +-=所以，过点(1,11)A -的切线为920x y ++=或45410x y +-=.⑶ 存在满足条件的三条切线. 设点00(,())P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点， 则在P 点处的切线的方程为 000()()()y f x f x xx '-=-即2303(4)2y x x x =-- 因为其过点A （1，t ），所以，23320003(4)22312t x x x x =--=-+-， 由于有三条切线，所以方程应有3个实根，设32()2312g x x x t =-++，只要使曲线有3个零点即可. 设 2()66g x x x '=-=0， ∴ 01x x ==或分别为()g x 的极值点， 当(,0)(1,)和x ∈-∞+∞时()0g x '>，()g x 在(,0)-∞和 (1,)+∞上单增， 当(0,1)x ∈时()0g x '<，()g x 在(0,1)上单减， 所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩即120110t t +>⎧⎨+<⎩，解得1211t -<<-.6.【解析】()'232fx x ax b =-++，因为函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3， 所以()'1323f a b =-++=-，即20a b +=，又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-（1）函数()f x 在2x =-时有极值，所以()'21240f a b -=--+=，解得2,4,3a b c =-==-， 所以()32243f x x x x =--+-.（2）因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()'23fx x bx b =--+在区间[]2,0-上的值恒大于或等于零，则()()'21220,'00,f b b f b -=-++≥⎧⎪⎨=≥⎪⎩得4b ≥，所以实数b 的取值范围为[)4,+∞7.【解析】（Ⅰ）因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++，又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，因此6203320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解方程组得13a =-，1b =-.（Ⅱ）因为13a =-，1b =-，所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-，令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =. 因为当(2)x ∈-∞-，(01)，时，()0f x '<；当(20)(1)x ∈-+∞，，时，()0f x '>.所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是递增的；在(2)-∞-，和(01)，上是递减的. （Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--，故21321()()e (e )x x f x g x x x xx ---=-=-，令1()ex h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-.令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤，所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减.故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥； 因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增. 故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥.所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又20x ≥，因此()()0f x g x -≥，故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥. 8.【解析】（Ⅰ）当3a b ==-时，32()(333)xf x x x x e -=+--，故322'()(333)(363)xx f x x x x ex x e --=-+--++-3(9)x e x x --=--(3)(3)x x x x e -=--+当3x <-或03'()0;x f x <<>时，当303'()0.x x f x -<<><或时，从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减少.（Ⅱ）3223'()(3)(36)[(6)].xx x f x x x ax b ex x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故 从而3'()[(6)42].xf x e x a x a -=-+-+-因为'()'()0,f f αβ==所以3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)(()).x x x αβαβ=--++将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=- 故2()4124.a βαβααβ-=+-=-又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <- 于是 6.βα->9.【解析】（Ⅰ）21()()f x a x b '=-+，于是2123,210.(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩ 或9,48.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为,a b Z ∈，所以1()1f x x x =+-. （Ⅱ）已知函数121,y x y x ==都是奇函数， 所以函数1()g x x x =+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.而函数1()111f x x x =-++-. 可知，函数()g x 的图像按向量a =(1,1)平移，即得到函数()f x 的图象， 故函数()y f x =的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形.（Ⅲ）在曲线上任一点0001(,)1x x x +-. 由'0201()1(1)f x x =--知，过此点的切线方程为200020011[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----.令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为001(1,)1x x +-. 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(21,21)x x --. 直线1x =与直线y x =的交点为（1，1）.从而所围三角形的面积为0000011121211|22|22121x x x x x +---=-=--.所以， 所围三角形的面积为定值2.综合迁移（C 类）1.已知函数1()ln(1),1)nf x a x x =+--（其中*,n N ∈a 为常数. （Ⅰ）当2n =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2x ≥时，有() 1.f x x ≤-2.已知函数xax x f -=ln )(，x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R . （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；3.设.ln 2)(x xkkx x f --= （1）若0)2(='f ，求过点（2，)2(f ）的直线方程； （2）若)(x f 在其定义域内为单调增函数，求k 的取值范围.4. 已知函数x m x m x x f )6()3(2131)(23+++-=，x ∈R .（其中m 为常数） （ⅠI ）当m =4时，求函数的极值点和极值；（Ⅱ）若函数)(x f y =在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m 的取值范围.5. 已知函数32()2f x x ax x =+++.（Ⅰ）若1a =-，令函数()2()g x x f x =-，求函数()g x 在(1,2)-上的极大值、极小值； （Ⅱ）若函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数，求实数a 的取值范围.6.已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立.7.已知函数32()f x ax bx =+的图象经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（1）求实数,a b 的值.（2）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.8.已知函数2()(1)xf x e x ax =++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值.9.已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅，其定义域为[]2,t - （2t >-），设(2),()f m f t n -==.（1）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数； （2）试判断,m n 的大小并说明理由.10.已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫ ⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）.（1）求⎪⎭⎫⎝⎛32'f 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）设函数xe x xf xg ⋅-=])([)(3，若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调，求实数C 的取值范围.【参考答案】1.【解析】（Ⅰ）由已知得函数()f x 的定义域为{}|1x x >，当2n =时，21()ln(1)(1)f x a x x =+--，所以232(1)()(1)a x f x x --'=-.①当0a >时，由()0f x '=得1211x a =+>，2211x a=-<， 此时123()()()(1)a x x x x f x x ---'=-. 当1(1)x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1()x x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增. ②当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 无极值. 综上所述，2n =时，当0a ≤时，()f x 无极值当0a >时，()f x 在21x a=+处取得极小值， 极小值为2211ln 2a f a a ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--.当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤， 故只需证明1ln(1)1x x +--≤.令()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，， 则12()111x h x x x -'=-=--， 当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增， 因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立.。
高二数学课件 导数的实际应用
则 f (x) 在(a, b)为减函数.
O
x
导数在研究极值中的应用 y
(1)求导数f (x)
(2)求方程f (x) 0的所有实数根;
O
x1 x2 x3 x
(3)判断每个根,从左到右,导数f (x)的符号.
2（020/410）/24左正右负，取极大值，左负右正，取极小值。
典型例题分析
例1已知函数
f
t t 0
t 0
t
函数的瞬时变化率（导数）
y
lim lim
x x0
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
f ' (x0 )
=切线的斜率
2020/10/24
2 、导数的运算
基本初等函数的导数公式
(C) __; (xn ) ___(n ) ;
(ax ) _a_x _ln__a1(a 0,且a 1) ; (ex ) ___; (loga x) __x_ln_a_ (a 0,且a 1); (ln x) ___;
导数的运算
导数的应用
运动的瞬时速度
函数的瞬时变化率
（导数）
曲线的切线的斜率
运动的平均速度
2020/10/24
函数的平均变化率
曲线的割线的斜率
典型例题分析
例2已知函数 f (x)
1 (1 x)2
a ln(x 1),
其中 a为常数，
求函数f (x) 的极值。
解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，
在它们的一个公ห้องสมุดไป่ตู้点处的切线互相垂直。（1）求 a, b
之间的关系；（2）若a 0,b 0 ，求 ab 的最大值。
设公共点坐标为(x0, y0 )
高二导数的基础知识及应用
导数及其应用知识归纳1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x ∆有极限。
如果x∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
4．两个函数的和、差、积的求导法则法则或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：法则,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +='''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。
高二数学导数综合应用
高二数学导数综合应用一、导数的应用导数的应用包括以下几个方面：1．判定函数单调性结论：对于定义在区间（a，b）上且处处可导的函数，（1）为增函数；（2）为减函数.注意：不是充分必要条件.例如，是单调递增函数，但. 2．求函数在给定区间上的极值结论：对于定义在区间（a，b）上且处处可导的函数，（1）若x=x0是的极值点，则；（2）结合函数图象来具体判定x=x0是的极大值点或极小值点.注意：“”只是“x=x0是的极值点”的必要不充分条件，例如，对于函数，，但x=0不是函数的极值点.3．求函数在给定区间上的最值结论：对于定义在区间[a，b]上且在（a，b）上处处可导的函数，的最值可能在极值点或区间端点取到.注意：列表表示解答过程.二、导数应用的例题1．已知a≥0，函数.（1）当x为何值时，取得最小值？证明你的结论；（2）设在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.分析：（1）的定义域为（－∞，+∞）.由导数应用可知，结合的单调性，的最值可能在极值点或区间端点取到.所以应考虑x→±∞时的取值.（2）由（1）确定了的单调性，就可以确定在[－1，1]上的单调性了. 解析：（1）令，解得，且当x变化时，列表如下：又当x＜0时，当x=x2时，∴，即当x=x2时，取最小值.（2）由（1）知若在[－1，1]上单调递减则x2≥1 即解不等式得反思：（1）结合图形来判断函数最值的情况.事实上，函数图象草图如图所示.（2）准确分析的极值点的范围有助于确定在给定区间的单调性.2．已知在x=1与x=－2时都取得极值.（1）求a，b的值；（2）若x∈[－3，2]都有恒成立，求c的取值范围.分析：（1）已知的极值点，即已知的零点（2），问题即转化为求解在[－3，2]上的最小值.解析：（1）由已知，解得（2），令，解得x1=－2，x2=1当x变化时，列表如下：∴，∴解得反思：利用函数最值比较不等式.3．已知定义在正实数集上的函数，，其中a＞0.设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同.（1）用a表示b，并求b的最大值；（2）求证：（）分析：（1）与在公共点处切线相同，则函数在该点导数相等.（2）构造辅助函数，则只需.解析：（1），令，解得x=a或x=－3a由已知x＞0，∴x=a又，∴，∴设令，∴当a变化时，列表如下：∴（2）令令，解得x=a或x=－3a（舍）当x变化时列表如下∴∴当x＞0时，即4．已知，.（1）求的值域；（2）设a≥1，函数，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得成立，求a的取值范围.分析：（1）常规问题；（2）由题可知，只需满足即且解析：（1）令，解得x1=1，（舍）∴在[0，1]单调递减∴，，的值域为[―4，－3]（2）令，解得x1=0，x2=2a（舍）∴在[0，1]单调递减∴，由已知，解得反思：（1）对于第（2）问，对两个量词（“任意”“存在”）的理解.（2）若将第（2）问改为：若对于任意x1∈[0，1]，任意x0∈[0，1]，使得，则需要满足的条件即为.一方面要注意与例3的联系与差别，另一方面例3的第（2）问并不等价于.如图所示，任意，但.5．已知函数有三个极值点.（1）证明：－27＜c＜5；（2）若存在实数c，使函数在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围.分析：（1）有三个极值点，则有三个零点.（2）在[a，a+2]单调递减，则.解析：（1），令∴令，∴x＜－3或x＞1即在（－∞，－3），（1，+∞）单调递增∴若在3个极值点则，即∴－27＜c＜5（2）由题意可知，任意x∈[a，a+2]有恒成立∴对任意x∈[a，a+2]成立由已知，存在c∈(－27，5)使上述不等式成立则只需对任意x∈[a，a+2]成立令，x∈[a，a+2]，令，x1=－3，x2=1当x变化时，列表如下由题意可知a+2＜－3 或解得a∈(－∞,－5)∪(－3,1)反思：结合函数图象确定函数的值的符号.三、课后练习1．已知函数（为常数）.（1）若t=1，讨论的单调性；（2）若x∈[0，1]恒有，试求实数的取值范围.2．设函数（1）求函数的单调递减区间；（2）若对所有的x≥0都有成立，求实数a的取值范围. 参考答案1．（1）单调递减；（2）2．（1）；（2）a≤1.。
高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点1、导数的定义和应用；2、求导公式和运算法则的应用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点一）导数1、导数的概念1）导数的定义设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x （△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。
如果极限存在，则函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即。
如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（），这样在开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数。
在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做原函数或，即内的导函数（简称导数），记作。
认知：Ⅰ）函数的导数在点是以x为自变量的函数，而函数处的导数是的导函数在点处的导数时是一个数值；的函数值。
Ⅱ）求函数①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限。
上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。
2）导数的几何意义函数的导数表示函数在某一点处的切线斜率。
3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。
在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。
Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。
反例：在点处连续，但在点处无导数。
事实上，在点处的增量不存在，故在点处不可导。
2、求导公式和求导运算法则1）基本函数的导数（求导公式）公式1：常数的导数：即常数的导数等于0.公式2：幂函数的导数：公式3：正弦函数的导数：公式4：余弦函数的导数：公式5：对数函数的导数：c为常数）公式6：指数函数的导数：2）可导函数四则运算的求导法则设为可导函数，则有：法则1：法则2：法则3：3、复合函数的导数1）复合函数的求导法则设。
高二数学导数的实际应用1
正比,那么如何计算磁盘的存 储量 ? 此时, 是不是 r越小, 磁盘的存储量越大 ?
例 3 饮料瓶大小对饮料公司 利润的影响 1 你是否注意过,市场上等量的小包装的 物品 一般比大包装的贵些 ? 你想从数学上知道它的 道理吗? 2是不是饮料瓶越大 , 饮料公司的利润越大? 背景知识 某制造商制造并出售球形瓶 装的 某种饮料 .瓶子的制造成本是 0.8πr 2分, 其中r 是 瓶子的半径,单位是厘米 .已知每出售 1 mL 的饮 料,制造商可获利 0.2分,且制造商能制作的瓶子 最大半径为6cm. 问题 1 瓶子半径多大时 ,能使每瓶饮料的利 润最大 ? 2 瓶子半径多大时 , 每瓶饮料利润最小 ?
又由于每条磁道上的比 特数 相同, 为获得最大存储量 , 最内 一条磁道必须装满 , 即每条磁 2 πr 道上的比特数可达到 .所 n 以, 磁盘总存储量 R r 2 πr 2 π f r r R r . m n mn
R
r
图1.4 3
1它是关于 r的二次函数 , 从函数的解析式上可
以判断,不是r越小, 磁盘的存储量越大 .
2为求f r 的最大值 ,计算f ' r 0.
2π R ' R 2r , 令 f r 0, 解得 r . f r mn 2
'
R R R ' ' 当r 时, f r 0;当r 时, f r 0.因此,当r 2 2 2 πR 2 时, 磁盘具有最大存储量 , 最大存储量为 . 2mn 思考 如果每条磁道存储信息 与磁道的长度成
问题 : 现有一张半径为 R的磁盘, R 它的存储区是半径介于 r 与R 的 环形区域. r 1 是不是 r越小, 磁经盘的存储 量越大 ? 2 r为多少时, 磁盘具有最大的 图1.4 3 存储量(最外面的磁道不存储任 何信息) ? 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数.
(word完整版)高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用、知识网络二、高考考点1导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点（一）导数1导数的概念（1导数的定义（I）设函数」」■在点厂及其附近有定义，当自变量x在匸处有增量厶x （△ x可正可负），则函数y相应地有增量■' '■ -，L■' ■ ■■，这两个增量的比/（jr0+，叫做函数'■/ : ''：|在点门到」二'这间的平均变化率。
如果Ay-时，丄.有极限，则说函数在点;巾处可导，并把这个极限叫做了（力在点■:处的导数（或变化率），记作'■I'-，即血mAx am Ax。
（H）如果函数匚在开区间（「）内每一点都可导，则说■''"-在开区间（「）内可导，此时，对于开区间）内每一个确定的值“，都对应着一个确定的导数「’ ' ，这样在开区间（■•'）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做■'-在开区间（「’）内的导函数（简称导数），记作■''-或『，即y = ^）=血空=陥f显垃-f①姑Ax AJt-jft Ax 。
认知：（I）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数匚在点匸处的导数广（必）是一个数值；在点心处的导数广（心）是‘⑴的导函数广〔Q当工=可时的函数值。
（H）求函数- ■'在点’I 处的导数的三部曲：①求函数的增量-';Ay只奄（心）②求平均变化率一lim —=③求极限'■"亠上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。
（2）导数的几何意义：函数丿J 在点。
处的导数，是曲线1在点处的切线的斜率。
（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（I）若函数- ■'在点厂处可导，则在点匸处连续；若函数；■在开区间（“’）内可导9丿-在开区间（-'）内连续（可导一定连续）。
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个性化教学辅导教案学科：数学年级：高二任课教师：授课时间：2017 年秋季班第15周教学课题导数的应用教学目标1.导数与函数的单调性2.导数与函数的极值、最值教学重难点利用导数解决函数的综合应用问题教学过程一、导数与函数的单调性突破点(一)利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时，f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．(2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”证明或讨论函数的单调性判断函数单调性的三种方法定义法在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)与0的大小关系来确定函数f(x)的单调性图象法利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某个区间内呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数导数法利用导数判断可导函数f(x)在定义域内(或定义域的某个区间内)的单调性[例1]已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．[方法技巧]导数法证明或讨论函数f(x)在(a，b)内单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)得出结论：当f ′(x )>0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递增；当f ′(x )<0时，函数f (x )在(a ，b )内单调递减．[提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点二]函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )2.[考点一]已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．突破点(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”已知函数的单调性求参数的取值范围由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．应用结论“函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇔f ′(x )≥0恒成立；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇔f ′(x )≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0. [易错提醒]比较大小或解不等式[例2] (1)若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．2x e －1x e >ln x 2－ln x1 B ．2x e －1x e <ln x 2－ln x 1C ．x 21x e >x 12x e D ．x 21x e <x 12x e(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)2.[考点二](2016·南昌三模)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若在△ABC 中，角C 是钝角，则( ) A ．f (sin A )>f (cos B ) B ．f (sin A )<f (cos B ) C ．f (sin A )>f (sin B ) D ．f (sin A )<f (sin B )3.[考点一]若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．4.[考点二]已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国乙卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－132．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2x 2＋23bx ＋c3的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2) 3．(2017·甘肃诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a4．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)5．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x>0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b )B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a )D ．af (b )<bf (a )二、填空题6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．7．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为________．8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．二、导数与函数的极值、最值突破点(一) 利用导数解决函数的极值问题基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数的极小值 函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近的其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．函数的极大值 函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．3．函数的极值极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”根据函数图象判断函数极值的情况[例1] 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) [方法技巧]知图判断函数极值情况的策略知图判断函数极值情况的思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x 轴交点的横坐标为函数的极值点．求函数的极值[例2] (2017·桂林、崇左联考)设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值．[方法技巧]已知极值(点)求参数[例3] (1)(2017·江西八校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,1) D ．(0，＋∞)(2)(2017·太原五中检测)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 的值为________．[方法技巧]已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4突破点(二)利用导数解决函数的最值问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”函数的最值与导数(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的最值[例1]已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[方法技巧]利用导数求函数最值的规律求函数f(x)在区间[a，b]上的最值时：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a ，b ]上有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．函数的最值与极值的综合问题[方法技巧]解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．[练常考题点——检验高考能力]1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0 B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形 C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减 D ．若x 0是f (x )的极值点，则 f ′(x 0)＝02．已知f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．3．已知函数f (x )＝1＋ln xkx (k ≠0)．求函数f (x )的极值．4．(2017·昆明模拟)已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围．5．已知函数f (x )＝12x 2＋mx ＋ln x .(1)若m ＝－3，讨论函数f (x )的单调性，并写出单调区间；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，且m ≤－322，求f (x 1)－f (x 2)的最小值．。