2017年高考数学(理)一轮对点训练：4-2-1 三角函数的图象及变换
【7份】2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习 第4章 三角函数、解三角形
9π 9π 与 4 的终边相同的角可以写成 2kπ＋ 4 (k∈Z) ，
但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C案
3.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2 ，那么这个圆心角所对的弧长 是( C )
A.2
解析
2 B.sin 2 C.sin 1 D.2sin 1 1 1 设圆的半径为 r，则 sin 1＝ ，∴r＝ ， r sin 1
2 ∴2 弧度的圆心角所对弧长为 2r＝sin 1.
1 2 3 4 5
解析答案
4.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边与单 3 4 － 位圆交于点 A，点 A 的纵坐标为 ，则 cos α＝________. 5 5
4 解析 因为 A 点纵坐标 yA＝ ，且 A 点在第二象限， 5 3 又因为圆 O 为单位圆，所以 A 点横坐标 xA＝－5， 3 由三角函数的定义可得 cos α＝－5.
解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一
角及其表示
例1 (1)已知角α的终边在如图所示阴影表示 的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示 π 5 2 k π ＋ ， 2 k π ＋ π (k∈Z) 4 6 为__________________________.
解析
π 5 在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为4，6π，
π 5 ∴所求角的集合为2kπ＋4，2kπ＋6π
(k∈Z).
解析答案
α 二或四 象限. (2)若角 α 在第三象限，则2在第________ 3π 解析 ∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋ (k∈Z)， 2 π α 3 ∴kπ＋2＜2＜kπ＋4π(k∈Z). π α 3 α 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋ ＜ ＜2nπ＋ π， 是第二象限角， 2 2 4 2 3π α 7 α 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋ 2 ＜2＜2nπ＋4π，2是第四象限角， α 综上知，当 α 是第三象限角时，2是第二或第四象限角.
《新步步高》2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习第4章三角函数、解三角形4.2文档
1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanα.2．下列各角的终边与角α的终边的关系【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．(×)(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(×)(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)1．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213答案 B解析 ∵sin α＝513，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 答案 A解析 由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12.3．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255B.255 C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案 －23解析 ∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－π2，∴α－2π3＝－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2000，x －16，x >2000，则f [f (2 016)]＝________.答案 －1解析 ∵f [f (2 016)]＝f (2016－16)＝f (2000)， ∴f (2000)＝2cos 2000π3＝2cos 23π＝－1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45(2)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34答案 (1)D (2)B解析 (1)由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.(2)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1答案 A解析 由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)， ∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.题型二 诱导公式的应用例2 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． (2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 (1)－13(2)C解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. (2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}． 思维升华 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12， 则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.(2)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＝________. 答案 (1)12(2)1解析 (1)∵⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫π6＋α＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12.(2)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin60°cos30°＋cos60°sin30° ＝32×32＋12×12＝1. 题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________________________________________________________________________. 答案 (1)C (2)－916解析 (1)2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3. 又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝31010.(2)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.思维升华 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45(2)已知sin(π－α)－cos(π＋a )＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α等于( )A ．0 B.12 C.32D.43答案 (1)D (2)D解析 (1)由已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35， 得cos α＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝45，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.(2)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23①， 将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又π2＜α＜π， 所以sin α＞0，cos α＜0，sin α－cos α>0， 则sin α－cos α＝43.7．分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝________.(2)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝________. 思维点拨 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．解析 (1)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角． tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综上①②，原式＝52或－52.(2)由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ，②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上，C ＝712π.答案 (1)52或－52 (2)712π温馨提醒 (1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．[方法与技巧]同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．[失误与防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．若cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α等于( ) A ．－24B.24C ．－2 2D ．2 2答案 C解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0 ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(13)2＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.2．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于( )A.25 B ．－25C.25或－25 D ．－15答案 B解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， ∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1答案 B解析 由角α的终边落在第三象限得sin α＜0，cos α＜0， 故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α等于( )A.32B ．－32C.12 D ．－12答案 B解析 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0， 又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32.5．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3答案 D解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.6．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝_________________________________________. 答案 －74解析 因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74， 所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74. 7．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝_________________________________________.答案 1解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 9．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 答案 0解析 原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin2α.解 由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.12．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， sin B ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0，∴点P 在第二象限，选B.13．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6等于( ) A.12B.32 C ．0D ．－12答案 A解析 由已知，得f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫176π＋sin 176π ＝f ⎝⎛⎭⎫116π＋sin 116π＋sin 176π ＝f ⎝⎛⎭⎫56π＋sin 56π＋sin 116π＋sin 176π ＝0＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋12＝12. 14．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin (3π2＋θ)＋cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝________. 答案 2解析 由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 15．若tan α＝1m，α∈(π，2π)，则cos α＝________. 答案 －m 1＋m 21＋m 2解析 由tan α＝sin αcos α＝1m和sin 2α＋cos 2α＝1， 得cos 2α＝m 21＋m 2， 当m ＞0时，α为第三象限角，cos α＜0， 所以cos α＝－m 21＋m 2＝－m 1＋m 21＋m 2；当m ＜0时，α为第四象限角，cos α＞0， 所以cos α＝m 21＋m 2＝－m 1＋m 21＋m 2. 故cos α＝－m 1＋m 21＋m 2.。
2017版高考数学(鲁、京、津专版理)一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4.4 含答案
1．y＝A sin（ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx ＋φ）（A>0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0错误!π错误!2πy＝A sin(ωx＋φ）0A0－A03。
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin（ωx＋φ）（A〉0,ω>0)的图象的步骤如下:【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1）利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．（×）(2）y＝sin错误!的图象是由y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位得到的．( √)(3）由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．（√）（4)函数f(x）＝A sin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．（×)(5）函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.（√）1．y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为( ）A．2，错误!，－错误! B．2，错误!，－错误!C．2，错误!,－错误!D．2,错误!，－错误!答案A2．为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动错误!个单位长度B．向右平行移动错误!个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度答案A解析y＝sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度得到函数y＝sin 2(x ＋错误!)的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．3．（2015·湖南)将函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g(x）的图象，若对满足|f(x1）－g（x2)|＝2的x1，x2，有｜x1－x2｜min＝错误!，则φ等于（)A。
2017年高考数学真题三角函数(理科)
第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型43倍角、等分角的象限问题——暂无 题型44弧长与扇形面积公式的计算——暂无题型45题型46题型47题型48题型49题型501.（A ．(f C ．(f 解析π⎫⎪⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.题型51根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）. A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π=解析解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ． 解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x大于22.(2017（1（2解析（（26x π⎫+⎪⎭， 所以(f 所以f ⎣⎦题型52三角函数的值域（最值)——暂无 题型53三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：， 则下面结论正确的是（）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C C.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin ⎛⎫⎛⎫==+-=+y x x x ．横坐标变换需将1=变成2=，即y =π3⎫⎪⎭．注意ω根据“2.（（1（24π个解析（所以fsin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节三角恒等变换题型54化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=．2.(2017轴对称.若sin α解析则sin β3.（解析[]01，，2y t =-4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 解析（1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）由22cos2cos sin x x x =-，sin22sin cos x x x =，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型551.（35B =. （1（2解析定理，得2b a =（2cos 2A 2.（()sin 12cos 2sin cos cos sin BC A C A C +=+，则下列等式成立的是（）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i n c o s c A C B C A C A C ++=+，所以2s i n c o s s i n c B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56余弦定理的应用题型57判断三角形的形状——暂无 题型58解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细（1 （2 解析（40AM =，所以11AC⊥，1Q （2过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==． 因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin 记故2P 评注AC 2.(2017（1（2）若7a =，求ABC △的面积.解析（1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7214c A C a ==⨯=. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 83222S bc A ==⨯⨯⨯=3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析（1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin B C =.（2所以又因为4.（(1)求(2)若a 解析因为（舍去）或cos B （21517B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=， 即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A +=，a =2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析（1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD . 从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△CD ，则△解析以AO =所以所以，解得cos ?。
2017年高考数学(理)一轮对点训练：4-1 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式
1.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sin π5cos π5cos π5＋sin π52·sin π5cos π5cos π5－sin π5＝3sin π5sin π5＝3，故选C. 2．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.3．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )A ．2B ．1 C.12 D ．3答案 A解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8解析 若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y 2，又sin θ＝－255，∴y 16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 5.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________． 答案 12解析 ∵α∈(0，π2)，∴tan α>0， ∴sin2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan α4＋tan 2α＝2tan α＋4tan α≤12，当且仅当tan α＝2时取等号．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12. 又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，故x 的值为5π12.。
高考数学(理)一轮对点训练：4-2-2 三角函数的性质及应用 Word版含解析
1.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z答案 D解析 由图象可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，故选D.2．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x . ∴f (x )max ＝1.3．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有 f (x )＝1－cos2x2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)解法一：因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34.所以，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.解法二：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π3，故当2x －π6＝－π2，x ＝－π6时，f (x )取得最小值为－12，当2x －π6＝π3，x ＝π4时，f (x )取最大值为34.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 5．已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6. 因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .。
高考数学一轮复习全套课时作业4-4三角函数的图像和性质
题组层级快练4.4三角函数的图像和性质一、单项选择题1．函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为()A.π2B.2π3C ．πD ．2π2．函数y ＝tan(π4－x)的定义域是()A ．{xx ≠π4}B ．{xx ≠－π4}C ．{xx ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{xx ≠k π＋3π4，k ∈Z }3．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是()A ．y ＝sin|x|B ．y ＝cos2xC ．y ＝D ．y ＝x 34．(2018·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan 2x 的最小正周期为()A.π4B.π2C ．πD ．2π5．(2021·南昌大学附中)设f(x)＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是()A ．f(0)＝1B ．f(0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝06．函数f(x)＝sin 在区间0，π2上的最小值为()A ．－1B ．－22C.22D ．07．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]8．(2021·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)为偶函数，且在0，π4上是增函数，则φ的一个可能值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π39．(2020·辽宁大连一模)若方程2sin(2x ＋π6)＝m 在区间[0，π2]上有两个不相等实根，则m 的取值范围是()A ．(1，3)B ．[0，2]C ．[1，2)D ．[1，3]二、多项选择题10．(2017·课标全国Ⅲ，改编)设函数f(x)＝cos(x ＋π3)，则下列结论正确的是()A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在(π2，π)上单调递减11．已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，g(x)＝22sinx ·cosx ，则下列结论中正确的是()A －π4，B ．两函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称C －π4，D ．两函数的最大值相同三、填空题与解答题12．函数y ＝cos ________．13．(2020·保定市一模)设函数f(x)＝2sinxsin(x ＋π3＋φ)是奇函数，其中φ∈(0，π)，则φ＝________．14．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．15．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x(x ∈R )，则f(x)的最小正周期为________；当x ∈0，π4时，f(x)的最小值为________．16．已知函数f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)>22，求x 的取值集合．17．(2017·北京)已知函数f(x)＝3cos(2x －π3)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．(2021·衡水中学调研)已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是()A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]19．(2018·北京，理)设函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．4.4三角函数的图像和性质参考答案1．答案C 2．答案D解析y ＝tan(π4－x)＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .故选D.3．答案C 4．答案C解析f(x)＝tanx 1＋tan 2x ＝sinx cosx 1＋sin 2x cos 2x＝sinxcosx cos 2x ＋sin 2x＝sinxcosx ＝12sin2x ，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.5．答案D解析若f(x)＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，则有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝∓ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.6．答案B 7．答案C解析由f(x)＝12(1－cos2x)＋12sin2x ＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调递增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得函数f(x)的一个单调递增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.8．答案C解析根据题意，f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝＋φ若f(x)为偶函数，则有φ＋π6＝k π＋π2，即φ＝k π＋π3，k ∈Z ，所以可以排除B 、D ，对于A ，当φ＝π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是减函数，不符合题意，对于C ，当φ＝4π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是增函数，符合题意．故选C.9．答案C解析因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]．当2x ＋π6∈[π6，π2]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递增，此时，m ∈[1，2]；当2x ＋π6∈(π2，7π6]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递减，此时，m ∈[－1，2)，因此要有两个不相等实根，即m 与函数f(x)＝2sin 在π6，7π6上有两个交点，结合图象可知，m 的取值范围是[1，2)．故选C.10．答案ABC解析由三角函数的周期公式可得T ＝2π1＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A 正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x ＝8π3代入函数，得f(x)＝cos(8π3＋π3)＝cos3π＝－1，所以B 正确；f(x ＋π)＝cos(x ＋π＋π3)＝－cos(x ＋π3)＝0，解得其中一个解是x ＝π6，所以C 正确；函数f(x)在区间(π2，π)有增有减，D 不正确．11．答案CD解析f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sing(x)＝2sin2x ，因为＝2sin －π4＋＝2sin0＝0，所以f(x)－π4，因为＝2sin 2＝2sin ＝－2≠0，所以g(x)－π4，A 错误．由于f(x)－π4，g(x)关于x ＝－π4成轴对称，故B 错误．若－π4<x<π4，则0<x ＋π4<π2，此时函数f(x)为增函数，若－π4<x<π4，则－π2<2x<π2，此时函数g(x)为增函数，－π4，C 正确．两函数的最大值相同，都为2，故D 正确．12．答案k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )13．答案π6解析因为f(x)＝2sinxsin ＋π3＋y ＝sinx 也是奇函数，所以函数y ＝sin ＋π3＋函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6.14．答案2π3解析f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．15．答案π216．答案(1)π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z|－π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈解析(1)f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx －32＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＝因为最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12＋k π，7π12＋k π]，k ∈Z .(2)f(x)>22，即>22，由正弦函数的性质得π4＋2k π<2x ＋π3<3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋kπ<x<5π24＋k π，k ∈Z ，则x －π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈17．答案(1)π(2)证明见解析解析(1)f(x)＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．答案C解析方法一：由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.方法二(特值法)：取ω＝－1，则y ＝sin(－x)＝－sinx ，不合题意，故A 、B 不对．取ω＝2，则y ＝sin2x ，不合题意，故D 不对，所以选C.19．答案23解析由于对任意的实数都有f(x)≤f(π4)成立，故当x ＝π4时，函数f(x)有最大值，故f(π4)＝1，即πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.。
2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第4章三角函数、解三角形4.6简单的三角恒等变换文档
1.公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；(2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × ) (2)设α∈(π，2π)，则1－cos (π＋α)2＝sin α2.( × ) (3)在非直角三角形中有：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .( √ ) (4)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( × )(5)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关.( × )1.计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.－2B.2C.－1D.1答案 D解析 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos2αcos2α＝1，选D. 2.2sin 235°－1cos10°－3sin10°的值为( ) A.1 B.－1 C.12 D.－12答案 D解析 原式＝2sin 235°－12⎝⎛⎭⎫12cos10°－32sin10°＝－cos70°2sin20°＝－12. 3.(教材改编)sin15°－3cos15°＝________. 答案 － 2解析 sin15°－3cos15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin45°＝－ 2.4.若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cosx2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为______. 答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x 212sin x＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin x cos x ＝4sin2x，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sinπ6＝8. 5.若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 答案 π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.题型一 三角函数式的化简与求值例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________. 答案 (1)12cos2x (2)268解析 (1)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x . (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α) ＝268. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9等于( ) A.－18B.－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54B.－54C.43D.－43答案 (1)A (2)D解析 (1)原式＝cos π9·cos 29π·cos (－3π＋49π)＝－cos π9·cos 29π·cos 49π·sinπ9sin π9＝－12sin 29π·cos 29π·cos 49πsinπ9＝－18sin 89πsinπ9＝－18.(2)1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.题型二 三角函数的求角问题例2 (1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4 C.π4D.2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β等于( ) A.π8 B.－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案 (1)C (2)B 解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角， 可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22， 又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a1－(3a ＋1)＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0，∴tan α＜0且tan β＜0. ∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1， 得α＋β＝－3π4.思维升华 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数.若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则选正弦较好.(1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.题型三 三角恒等变换的应用例3 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值. 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4， 故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1－2a sin θ)＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征.(1)(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________.(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________.答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.8.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性.思维点拨 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数.(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图像解决. 规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x )＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，[4分] 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[6分](2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[7分] 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[9分]当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减.[11分] 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减.[12分] 温馨提醒 (1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，φ的确定一定要准确.(2)将ωx ＋φ视为一个整体，设ωx ＋φ＝t ，可以借助y ＝sin t 的图像讨论函数的单调性、最值等.[方法与技巧]1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换.2.利用三角函数值求角要考虑角的范围.3.与三角函数的图像与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图像解决. [失误与防范]1.利用辅助角公式，a sin x ＋b cos x 转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角.2.计算形如y ＝sin(ωx ＋φ), x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 sin α＝cos α⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α＝0； cos2α＝0⇔cos α＝±sin α⇏sin α＝cos α，故选A. 2.已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16B.13C.12D.23答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A. 3.若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A.118 B.－118C.1718D.－1718答案 D解析 cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，∴sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.4.若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是() A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4答案 A解析 ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π.∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，cos2α＝－255.∵β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.又∵α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. 5.函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图像关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z ). ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z ).故选C. 6.已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ的值为________. 答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7.若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________. 答案 －210解析 由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103， ∴1sin αcos α＝103，∴sin2α＝35. ∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)， ∴cos2α＝－45. ∴sin(2α＋π4)＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＝22×(35－45)＝－210. 8.若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________. 答案 －73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12， 两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12， 即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34. ∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0， ∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－74.∴tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－73. 9.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x ).(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.解 (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ωx 2，x ∈R (其中ω＞0). (1)求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图像与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f (x )的单调递增区间. 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1. 由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6≤1， 得－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1≤1， 所以函数f (x )的值域为[－3,1].(2)由题设条件及三角函数的图像和性质可知，f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z ).所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2答案 B解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α).∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.12.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于()A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， 故β＝π3，故选D. 13.若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π答案 D解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a －φ)＝±1， 所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，故选D. 14.若sin x ＋cos x sin x －cos x＝3，tan(x －y )＝2，则tan(y －2x )＝________. 答案 43解析 由sin x ＋cos x sin x －cos x ＝3，得tan x ＋1tan x －1＝3，即tan x ＝2.又tan(y －x )＝－tan(x －y )＝－2，所以tan(y －2x )＝tan (y －x )－tan x 1＋tan (y －x )tan x＝－2－21－4＝43. 15.已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图像的一条对称轴. (1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图像是由y ＝f (x )图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值. 解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx＝cos2ωx ＋3sin2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6图像的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z ). 又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos 12x . ∵g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。
高考数学专题：三角函数的图象与性质
y t 2 3t 1 4
当t
3 2
时，ymax
1
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
11
［明考情—备考如何学］ 高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在 第 6～12 题或第 14、15 题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性 质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三 角恒等变换交汇命题．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
18
2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象 如图所示，则 f(2 019)的值为___-_1____．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
19
B．在π4，51π2上单调递减
C．1π2，0是 g(x)图象的一个对称中心
D．直线 x＝－π6是 g(x)图象的一条对称轴
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
26
2. (2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sinωx＋π6(ω>0)在区间－π4，23π上单调
(3)基本关系：
sin2x＋cos2x＝1，
tan
x＝csions
x x.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
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［研考点考向·破重点难点］
考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
【高考真题汇编】2017年高考数学理科真题汇编解析：第04章三角函数
第四章 三角函数第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无 题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无 题型45 三角函数定义题——暂无 题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无 题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节 三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减 解析 函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.π题型51 根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）.A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π= 解析 解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A. 2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域（最值)——暂无 题型53 三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：， 则下面结论正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 2.（2017山东理1）设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析 （1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节 三角恒等变换题型54 化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 解析 解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75．解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75． 2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 解析 由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos 3α=，由于α与β关于y 轴对称， 则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 33339αβ⎛-=⨯-+⨯=- ⎝⎭.3.（2017全国2理14）函数()23s i n c o s 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ．解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令c o sx t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t ，即6x π=时，()f x 取最大值为1．4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()co 23s i n 22si n 26fx x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析 （1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i A C B C A C A C++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无 题型58 解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==． 因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ， 故2212P Q =，从而22220sin PQ EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.解析 （1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =. 由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=ABC △周长为34.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． (1)求cos B ; (2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b解析 （1）依题得21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得c o s 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=， 即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析 （1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ， 又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin 4CBD OBA ??， 所以BDC △的面积为1sin 2BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC△是等腰三角形，所以2πC B D B D C ??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC ?-?-?-，解得cos BDC ?OD C B A。
2017版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第4节三角恒等变换模拟创新题理
【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第4章 三角函数、解三角形 第4节 三角恒等变换模拟创新题 理一、选择题1.(2016·广东揭阳模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则sin 2x ＝( )A.－35B.105C.35D.1解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，所以tan x ＝13，则sin 2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 1＋tan 2x ＝35.答案 C2.(2015·安徽淮北一模)sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A.2B.22C. 2D.12解析 sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，故选D.答案 D3.(2015·甘肃模拟)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.若将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6向左平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数f (x )＝2sin(x －π6＋m )为奇函数，所以m 的最小值是π6，故选A. 答案 A4.(2014·山东实验中学月考)若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( )A.5B.－1C.6D.16解析 令sin αcos β＝m ，cos αsin β＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝12，m －n ＝13，解得m ＝512，n ＝112. ∴tan αtan β＝m n ＝5，故选A. 答案 A5.(2016·开封二模)若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A.－15B.－12C.15D.12解析 若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos θ＋2sin θ＝0，即 tan θ＝－12.故cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋2tan θtan 2θ＋1＝－15，故选A. 答案 A 二、填空题6.(2016·河南豫东豫北模拟)已知sin α＝3cos α，则cos 2α1＋sin 2α＝ .解析 由sin α＝3cos α得tan α＝3.所以cos 2α1＋sin 2α＝cos 2α－sin 2α（sin α＋cos α）2＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝1－31＋3＝－12.答案 －127.(2014·山东滨州5月)已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝ .解析 法一 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，得sin α＋cos α＝12213，两边平方，得1＋2sin αcos α＝288169，∴2sin αcos α＝119169，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α>sin α，∴cos α－sin α>0，∴cos α－sin α＝（cos α－sin α）2＝1－2sin αcos α＝5213，∴cos 2αsin （π4＋α）＝cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝2(cos α－sin α)＝1013.法二 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0<π4－α<π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝120169，∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1013.答案1013创新导向题三角恒等变换与向量的综合问题8.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4，4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )A.－34B.－14C.34D.14解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－3 ＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 答案 B专项提升测试 模拟精选题一、选择题9.(2016·广东湛江模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A.－235B.235C.45D.－45解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝sin π3cos α＋cos π3sin α＋ sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案 D10.(2015·昆明一中一模)化简sin 4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的结果为( )A.sin 2αB.cos 2αC.sin αD.cos α解析 4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2α， ∴sin 4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 4α2cos 2α ＝2sin 2αcos 2α2cos 2α＝sin 2α.答案 A 二、解答题11.(2016·长春检测)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 3，3cos x3，函数f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角的大小为x ，试求x 的范围及此时函数f (x )的值域.解 (1)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 3，3cos x3，则函数f (x )＝a·b ＝sin x 3cos x3＋3cos 2x3 ＝12sin 2x 3＋32cos 2x 3＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32，令2k π－π2≤2x 3＋π3≤2k π＋π2，(k ∈Z ).解得3k π－54π≤x ≤3k π＋π4，(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－54π，3k π＋π4，(k ∈Z ).(2)∵b 2＝ac .∴cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又－1<cos x <1，∴12≤cos x <1，∴0<x ≤π3，∴π3<2x 3＋π3≤5π9，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3≤1，∴3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32≤1＋32，即函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤3，1＋32.12.(2016·菏泽模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a ＝cos Ccos A .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的值域.解 (1)由2b －c a ＝cos Ccos A ，利用正弦定理可得，2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ， 化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B.∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6 ＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∵B ＋C ＝2π3，0<B <π2，0<C <π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3， ∴32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，∴3<y ≤2，即函数的值域为(3，2].13.(2015·广东茂名模拟)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R ，0<φ<π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值. 解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32，可得到sin π2cos φ＋cos π2sin φ＝32，所以cos φ＝32，又∵0<φ<π，∴φ＝π6. 所以f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＝513可得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π3＋π6＝513，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝513，所以cos α＝－513，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝1213×22－513×22＝7226. 14.(2014·浙江协作体三模)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值. 解 (1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1，3].(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角，所以sin α＝223.所以cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋2232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－222.15.(2014·成都诊断题)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.求：(1)tan 2α的值；(2)β的值. 解 (1)由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－（43）2＝－8347.(2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3. 创新导向题三角恒等变换与三角函数，数列综合问题16.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求S △ABC 及a 的值. 解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)最小正周期为2π2＝π.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，(2)f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，又0<A <π，∴π6<2A ＋π6<2π＋π6，∴2A ＋π6＝5π6，解得A ＝π3，由b ，a ，c 成等差数列得2a ＝b ＋c ，由AB →·AC →＝9得bc cos A ＝9，∴12bc ＝9，即bc ＝18，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×18×32＝932.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ， 即a 2＝4a 2－54，∴a 2＝18，解得a ＝3 2.。
数学(理)一轮对点训练4-2-1 三角函数的图象及变换 Word版含解析
．要得到函数＝的图象，只需将函数＝的图象( )．向左平移个单位．向右平移个单位．向左平移个单位．向右平移个单位答案解析＝＝，故要将函数＝的图象向右平移个单位．故选.．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )．＝．＝．＝＋．＝＋答案解析采用验证法．由＝＝－，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选..将函数()＝的图象向右平移φ个单位后得到函数()的图象．若对满足()－()＝的，，有－＝，则φ＝( )答案解析由已知得()＝(－φ)，满足()－()＝，不妨设此时＝()和＝()分别取得最大值与最小值，又－＝，令＝，－φ＝－，此时－＝＝，又<φ<，故φ＝，选.．已知函数()＝(ω＋φ)(，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当＝时，函数()取得最小值，则下列结论正确的是( ) ．()<(－)<() ．()<()<(－)．(－)<()<() ．()<()<(－)答案解析由最小正周期为π，可得ω＝，又＝时，函数()取得最小值，故可令φ＝，得函数()＝，即()＝，()＝，(－)＝，由正弦函数易得()>(－)>()．故选..若将函数()＝的图象向右平移φ个单位，所得图象关于轴对称，则φ的最小正值是．答案解析把函数()＝的图象向右平移φ个单位，得到()＝＝的图象．由于()＝的图象关于轴对称，所以－φ＋＝π＋，∈.即φ＝－－，∈.当＝－时，φ的最小正值是.．某同学用“五点法”画函数()＝(ω＋φ)(\\())ω>，φ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：()将＝()图象上所有点向左平行移动θ(θ>)个单位长度，得到＝()的图象．若＝()图象的一个对称中心为，求θ的最小值．解()根据表中已知数据，解得＝，ω＝，φ＝－.数据补全如下表：()由()知()＝，得()＝.因为＝的对称中心为(π，)，∈.令＋θ－＝π，解得＝＋－θ，∈.由于函数＝()的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，解得θ＝－，∈.由θ>可知，当＝时，θ取得最小值.。
2017版高考数学专题4三角函数、解三角形26三角函数的图像与变换理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题4 三角函数、解三角形 26 三角函数的图像与变换 理交点的距离为π2，则ω＝________.2．(2015·山东师范大学附属中学一模)要得到函数f (x )＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数g (x )＝sin(2x ＋π3)的图象向________平移________个单位长度．3．(2015·山东日照一中第三次阶段检测)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．4．已知函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)的周期是π，将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为 ．5．(2015·河北沧州4月质检)将函数y ＝cos(32π－ωx )(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，得到函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象，则函数y ＝sin(2x ＋φ)的一个对称中心为________． 6．已知函数f(x)＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f(x)的部分图象如图，则f (π24)＝________.7．(2015·宜昌二模)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)·f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为________． 8．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是____(将所有正确结论的序号都填上)．9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝________.10．函数y ＝12 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________．11．函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是________． 12．关于三角函数的图象，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； ④y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是________．13．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 14．函数f (x )＝2sin(2x －π6)－m 在x ∈[0，π2]内有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．答案解析1．2解析 由“五点法”作图知，函数图象与x 轴的相邻两交点的长度为T 2，故T 2＝π2，则T ＝π，故ω＝2πT＝2.2．左π4解析 因为函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＝sin[(2x ＋π3)＋π2]＝sin[2(x ＋π4)＋π3]，所以将函数g (x )＝sin(2x ＋π3)的图象向左平移π4个单位长度，即可得到函数f (x )＝sin[2(x ＋π4)＋π3]的图象． 3．2，－π3解析 从图象可得34T ＝512π－(－π3)＝34π，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.又∵f (512π)＝2sin(2×512π＋φ)＝2sin(56π＋φ)＝2，且－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.4．g (x )＝3sin(2x －π4)解析 由题意知2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝3sin 2x ，将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝3sin(2x －π4)的图象，则g (x )＝3sin(2x －π4)．5．( π6，0 )解析 y ＝cos(32π－ωx )＝－sin ωx ＝sin(ωx －π)，故向左平移π3个单位后，即得到y ＝sin[ω(x ＋π3)－π]＝sin(ωx ＋πω3－π)的图象．则ω＝2，φ＝2k π－π3(k ∈Z )．故y ＝sin(2x ＋φ)＝sin(2x ＋2k π－π3)＝sin(2x －π3)．令2x －π3＝k π(k ∈Z )．得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．故函数y ＝sin(2x ＋φ)的对称中心为(k π2＋π6，0)(k ∈Z )．故选B. 6. 3解析 由题图可知：T ＝2×(3π8－π8)＝π2，∴ω＝πT ＝2，∴2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .又|φ|<π2，∴φ＝π4.又f (0)＝1，∴A tan π4＝1，得A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(π12＋π4)＝tan π3＝ 3.7．4解析 依题意，当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1，由f (x )是偶函数得，当x ∈[－π，0]时，0<f (x )<1，即x ∈[－π，π]时，0<f (x )<1，由f (x )的周期为2π知，0<f (x )<1恒成立． 当x ∈[π，2π]时，－1≤sin x ≤0，由0<f (x )<1得，y ＝f (x )与y ＝sin x 不相交， 即函数y ＝f (x )－sin x 无零点；当x ∈(0，π2)时，由(x －π2) f ′(x )>0得，f ′(x )<0，f (x )是减函数，而y ＝sin x 是增函数，由图象知，y ＝f (x )与y ＝sin x 有1个交点，即函数y ＝f (x )－sin x 有1个零点； 当x ∈(π2，π)时，由(x －π2) f ′(x )>0得f ′(x )>0，f (x )是增函数，而y ＝sin x 是减函数，由图象知，y ＝f (x )与y ＝sin x 有1个交点， 即函数y ＝f (x )－sin x 有1个零点．故函数y ＝f (x )－sin x 在[0,2π)上有2个零点．由周期性得，函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，0)上有2个零点． 即函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上有4个零点． 8．①③ 9.22解析 y ＝sin x 6π→向左平移个单位长度y ＝sin(x ＋π6)−−−−−−−→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin(12x ＋π6)， 即f (x )＝sin(12x ＋π6)，∴f (π6)＝sin(π12＋π6)＝sin π4＝22.10．x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，所以x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.所以与y 轴最近的对称轴方程为x ＝－π6.11．π解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.12．②④解析 对于②，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同． 对于④，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称． 由作图可知①③均不正确． 13.5π6解析 函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6.14．[1,2)解析 令f (x )＝0，则m ＝2sin(2x －π6)．因为x ∈[0，π2]，故－π6≤2x －π6≤5π6，设2x －π6＝t ，则m ＝2sin t ，t ∈[－π6，5π6]，根据题意并结合函数图象，可知m 的取值范围是[1,2)．。
2017届数学(理)一轮对点训练：4-4-2 解三角形及其综合应用 含解析
1．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ， 即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1.此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意； 当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24 答案 A解析 由sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12得，sin2A ＋sin[A －(B －C )]＋sin[A ＋(B －C )]＝12，所以sin2A ＋2sin A cos(B －C )＝12.所以2sin A [cos A ＋cos(B －C )]＝12，所以2sin A [cos(π－(B ＋C ))＋cos(B－C )]＝12，所以2sin A [－cos(B ＋C )＋cos(B －C )]＝12，即得sin A sin B sin C ＝18.根据三角形面积公式 S ＝12ab sin C ，① S ＝12ac sin B ，② S ＝12bc sin A ，③因为1≤S ≤2，所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3＝18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ≤8，即64≤a 2b 2c 2≤512，所以8≤abc ≤162，故排除C ，D 选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b ＋c >a ，得bc (b ＋c )>8一定成立，而a ＋b >c ，ab (a ＋b )也大于8，而不一定大于162，故选A.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为93，则λ的值为( )A ．8B ．12C ．16D ．21答案 B解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12.4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.答案 100 6解析 依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°.在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600 m ，由正弦定理可得600sin45°＝BC sin30°，即BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝300 2 m ，所以tan30°＝CD BC ＝CD 3002，所以CD ＝100 6 m.5．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析 由AB →·AC →＝tan A ，可得|AB →||AC →|cos A ＝tan A . 因为A ＝π6，所以|AB →||AC →|·32＝33，即|AB →||AC →|＝23. 所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|·sin A ＝12×23×12＝16.6．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋a sin A 的值等于________．答案 16 2解析 依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．答案 30°解析 设两船在C 处相遇，则由题意∠ABC ＝180°－60°＝120°，且ACBC ＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin120°sin ∠BAC ＝3⇒sin ∠BAC ＝12.又0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°，60°－30°＝30°. 8．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin60°7＝217.因为AB <BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437.9.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2； (2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解 (1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此 22<－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－C ＝sin2C ＝2sin C cos C ， 解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55.又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.11.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0<A <π，所以A ＝π3. (2)解法一：由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 及a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332. 解法二：由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.12.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17， 所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值． 解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B . 由正弦定理、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac . 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．解 (1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429. 因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.。
2017数学文一轮课件：4-2-1 三角函数的图象及变换
)
A．关于点3π，0对称 B．关于直线 x＝π4对称
C．关于点π4，0对称 D．关于直线 x＝π3对称
解析 由 T＝π 知 ω＝2Tπ＝2，∴函数 f(x)＝sin2x＋π3.函数 f(x)的对称轴满足 2x＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)，解得 x＝1π2＋k2π(k∈Z)；
函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x＋π3＝kπ(k∈Z)，解得 x＝－π6＋k2π(k∈Z)．
14 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
第十四页，编辑于星期六：二点 五十四分。
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·文
(2)如图是函数 y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则函数 f(x)的解析式为 ___f(_x_)＝__s_i_n_23_x_－__34_π_＋__2____．
高考数学·文
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第四章 三角函数
2 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
第二页，编辑于星期六：二点 五十四分。
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第2讲 三角函数的图象变换及应用
3 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
15 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
第十五页，编辑于星期六：二点 五十四分。
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[解析] (1)因为 y＝sin3x＋cos3x＝ 2cos3x－π4，要得到函数 y＝ 2cos3x－π4的图象，可以将函数 y ＝ 2cos3x 的图象向右平移1π2个单位，故选 C.
2017届高考数学(文)一轮对点训练：2-4-1二次函数.doc
1.如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 由已知得f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8，又对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，f ′(x )≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12≤0f ′ 2 ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，n ≥0m ＋2n ≤182m ＋n ≤12，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0，当n ≠0时，m ＝tn .由线性规划的相关知识知，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝tn相切时，t 取得最大值．由⎩⎨⎧－t n 2＝－126－12n ＝t n，解得n ＝6，t ＝18，所以(mn )max ＝18，选B.2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.3．两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b2a 与－a2b同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧，只有D 满足．故选D.4．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，则t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，结合抛物线图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.5.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 答案 2或－1解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，在x ∈[0,1]时， 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ；当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，1－a ＝2.解得a ＝2或a ＝－1.6．对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．答案 －2解析 设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，由已知得关于b 的方程(t －b )2－b (t －b )＋4b 2－c ＝0有解，即6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0有解．故Δ＝9t 2－24(t 2－c )≥0，所以t 2≤85c ，所以|t |max ＝210c 5，此时c ＝58t 2，b ＝14t ，2a ＝t －b ＝3t 4，所以a ＝3t8. 故3a －4b ＋5c ＝8t －16t ＋8t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t 2－1t ＝8⎝⎛⎭⎫1t －122－2≥－2.7．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 在同一坐标系中分别作出函数f (x )与y ＝a |x －1|的图象，由图知，当a ＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a <0时，两图象没有交点，故必有a >0.若曲线y ＝－x 2－3x (－3≤x ≤0)与直线y ＝－a (x －1)(x ≤1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0得a ＝1(a ＝9舍去)，因此当0<a <1时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点；若曲线y ＝x 2＋3x (x >0)与直线y ＝a (x －1)(x >1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0可得a ＝9(a ＝1舍去)，因此当a >9时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a 的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．。
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1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( )
A ．向左平移π
12个单位 B ．向右平移π
12个单位 C ．向左平移π
3个单位 D ．向右平移π
3个单位
答案 B
解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故要将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π
12个单位．故选B.
2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A ．y ＝cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π2
B ．y ＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π2
C ．y ＝sin2x ＋cos2x
D ．y ＝sin x ＋cos x
答案 A
解析 采用验证法．由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.
3.将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π
3，则φ＝( )
A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
答案 D
解析 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π
3，
令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π
2，故φ
＝π
6，选D.
4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π
3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )
A ．f (2)<f (－2)<f (0)
B ．f (0)<f (2)<f (－2)
C ．f (－2)<f (0)<f (2)
D ．f (2)<f (0)<f (－2) 答案 A
解析 由最小正周期为π，可得ω＝2，又x ＝2π
3时，函数f (x )取得最小值，故可令φ＝π6，得函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，即f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫－4＋π6，由正弦函数易得f (0)>f (－
2)>f (2)．故选A.
5.若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．
答案 3π
8
解析 把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤2(x －φ)＋π4
＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象． 由于f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －2φ＋π4的图象关于y 轴对称，所以－2φ＋π4＝k π
＋π2，k ∈Z .即φ＝－k π2－π
8，k ∈Z .
当k ＝－1时，φ的最小正值是3π
8.
6．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(
ω>0，|φ|<π
2 )在
某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得
到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π12，0，求θ的
最小值．
解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6.数据补全如下表： 且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －π6，
得g (x )＝5sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π
12－θ，k ∈Z .
由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π
12－θ
＝5π12，解得θ＝k π2－π
3，k ∈Z .
由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π
6.。