1、傅立叶级数和傅立叶变换
最新傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换第九章傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。
例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。
为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。
当然这类函数也要体现出周期性。
这类函数称为周期函数。
在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。
但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。
9.1周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数凡满足以下关系式：«Skip Record If...»（T为常数）（9.1.1）的函数，都称为周期函数。
周期的定义（1）满足式（9.1.1）的T值中的最小正数，即为该函数的周期；（2）一个常数以任何正数为周期。
9.1.2基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。
如下形式的函数系：1，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…（9.1.2）称为基本三角函数系。
所有这些函数具有各自的周期，例如«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的周期为«Skip Record If...»，但它们的共有周期为«Skip Record If...»（即所有周期的最小公倍数）。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是现代数学以及工程学领域中非常重要的概念。
它们广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、电子电路等方面。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、原理和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是一种用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。
对于任意周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为零频率分量的系数，an和bn为一系列傅里叶系数，n为正整数，ω=2π/T为基本频率。
傅里叶级数展开式中的每一项都代表了函数f(t)中具有不同频率的分量。
通过计算适当的系数an和bn，我们可以将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
这使得我们能够分析、合成和处理不同频率的信号。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个时域函数转换为频域函数的过程。
对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换表示为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中，F(ω)为频域函数，ω为连续频率参数，e为自然对数的底，j为虚数单位。
傅里叶变换将时域函数转换为频域函数，可以帮助我们理解和分析信号在不同频率上的能量分布。
频域函数F(ω)表示了原始信号中不同频率的幅度和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波、调制、解调等操作，从而实现对信号的处理和传输。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上是相互关联的。
傅里叶级数是对周期函数进行频谱分析的方法，而傅里叶变换则适用于各种非周期信号的频谱分析。
当周期T趋于无穷大时，傅里叶级数就变成了傅里叶变换的极限形式。
傅里叶变换可以看作是傅里叶级数的一个推广，将其应用于非周期信号的频谱分析。
四、傅里叶级数与傅里叶变换的应用傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和通信领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 信号滤波：通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波操作，以去除不需要的频率成分或者保留感兴趣的频率成分。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的概念，并探讨它们之间的关系。
一、傅里叶级数的概念傅里叶级数是一种将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它基于傅里叶分析的原理，将一个周期为T的周期信号f(t)表示为：f(t) = a0 + Σ[an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)]其中，a0是信号直流分量的系数，an和bn是信号的谐波分量的系数，n为谐波的阶数，ω0为基频的角频率。
傅里叶级数可以理解为将一个周期信号分解为不同频率成分的叠加。
二、傅里叶变换的概念傅里叶变换是一种将非周期信号分解为不同频率成分的方法。
它的基本思想是将信号f(t)在整个实数轴上进行积分变换，得到频率域上的表示。
傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt其中，F(ω)表示信号在频率域上的表示，f(t)为原始信号，e^(-jωt)为旋转因子。
傅里叶变换将一个时域上的信号转换为频域上的表示，以便更好地分析信号的频谱特性。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在周期信号上的特殊情况。
当一个信号f(t)为周期信号时，其傅里叶变换和傅里叶级数之间存在着对应关系。
具体而言，傅里叶级数是傅里叶变换在周期为T的周期信号上的反离散化。
通过傅里叶级数，我们可以将一个周期信号分解为多个谐波成分，每个谐波成分对应着傅里叶变换的频谱。
四、应用实例傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
以音频信号为例，我们可以通过傅里叶级数将音频信号分解为不同频率的音调，进而进行声音合成和音乐分析。
而傅里叶变换则可以将非周期信号的频谱特性表示出来，如在图像处理中可以用于图像压缩和特征提取。
傅里叶级数和傅里叶变换的关系使得我们能够更好地理解和处理信号和图像。
总结傅里叶级数和傅里叶变换是处理周期信号和非周期信号的有效工具，它们在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
常用的傅里叶变换
常用的傅里叶变换1. 引言傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个函数或信号从时域转换到频域。
它在信号处理、图像处理、通信等领域广泛应用。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念、性质和常见应用。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它将周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。
对于周期为T 的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f (t )=a 0+∑(a n cos (2πnt T )+b n sin (2πnt T ))∞n=1 其中，a 0、a n 和b n 是系数，可以通过函数f(t)在一个周期内的积分得到。
傅里叶级数展开了周期函数在频域上的频谱分布。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期函数表示为连续频谱的一种方法。
对于函数f(t)，其傅里叶变换表示为：F (ω)=∫f ∞−∞(t )e −jωt dt其中，F (ω)是函数f(t)的频谱，ω是频率。
傅里叶变换的逆变换为：f (t )=12π∫F ∞−∞(ω)e jωt dω 傅里叶变换将函数从时域转换到频域，可以将信号分解为不同频率的成分，从而方便分析和处理。
4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，其中一些常用的性质包括：•线性性质：傅里叶变换是线性的，即对于常数a 和b ，有F(af (t )+bf (t ))=aF(f (t ))+bF(g (t ))。
• 平移性质：如果f (t )的傅里叶变换为F (ω)，那么f (t −t 0)的傅里叶变换为e −jωt 0F (ω)。
•尺度性质：如果f(t)的傅里叶变换为F(ω)，那么f(at)的傅里叶变换为1 |a|F(ωa)。
•对称性质：如果f(t)是实函数，并且其傅里叶变换为F(ω)，那么F(−ω)为F(ω)的共轭。
这些性质使得傅里叶变换更加灵活和方便，在实际应用中能够简化计算和分析过程。
5. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：•频谱分析：傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，可以分析信号的频谱分布，帮助理解信号的频率成分和特征。
傅里叶全部公式
傅里叶全部公式
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域的数学工具。
它通过将时域函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。
傅里叶变换和逆变换的公式如下：
傅里叶变换公式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^−jωt dt
逆傅里叶变换公式：f(t) = (1 / 2π) ∫[−∞,+∞] F(ω) e^jωt dω
其中，f(t)是时域函数，F(ω)是频域函数，e是自然常数，j 是虚数单位√(-1)，ω是频率，t是时间。
此外，傅里叶级数展开公式也是傅里叶变换的一种形式，它用来将周期函数分解成一系列振幅和相位不同的正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开公式：f(t) = a0/2 + ∑[n=1,∞] (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
其中，a0、an、bn是常数系数，表示不同频率分量的振幅，ω是基本频率。
这些公式是傅里叶变换和级数展开的基础公式，用于将函数在时域和频域之间进行转换，并在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛应用。
需要注意的是，傅里叶变换和级数展开还有一些特定的性质和变体公式，这些公式可以根据具体的应用场景进行扩展和变换。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1.傅里叶变换定义：F(w) = ∫[f(t)e^(-jwt)] dt2.傅里叶逆变换定义：f(t) = ∫[F(w)e^(jwt)] dw / (2π)傅里叶逆变换定义了将频域函数F(w)转换回时域函数f(t)的方式。
3.单位冲激函数的傅里叶变换：F(w) = ∫[δ(t)e^(-jwt)] dtδ(t)是单位冲激函数，其傅里叶变换结果为14.周期函数的傅里叶级数展开：f(t) = ∑[a(n)cos(nω0t) + b(n)sin(nω0t)]f(t)可以用无穷级数形式表示，其中ω0为基本角频率，a(n)和b(n)为系数。
5.周期函数的傅里叶变换：F(w)=2π∑[δ(w-nω0)]周期函数f(t)的频谱是一系列频率为nω0的冲激函数。
6.卷积定理：FT[f*g]=F(w)G(w)f*g表示函数f(t)和g(t)的卷积，FT表示傅里叶变换，*表示复数乘法。
卷积定理说明卷积在频域中的运算等于对应的傅里叶变换相乘。
7.积分定理：∫[f(t)g(t)] dt = 1/2π ∫[F(w)G(-w)] dw积分定理表明函数f(t)和g(t)的乘积在时域中的积分等于它们在频域中的乘积的逆变换。
8.平移定理：g(t) = f(t - t0) 对应的傅里叶变换 F(w) = e^(-jwt0) G(w)平移定理说明在时域中将函数f(t)右移t0单位，等价于在频域中将F(w)乘以e^(-jwt0)。
9.缩放定理：g(t) = f(at) 对应的傅里叶变换 G(w) = 1/，a， F(w/a)缩放定理说明在时域中将函数f(t)横向拉伸为af(t)，等价于在频域中将F(w)纵向压缩为1/，a，F(w/a)。
除了以上列举的公式，傅里叶变换还有许多性质和定理，如频移定理、频域微分定理、频域积分定理等，这些公式和定理在信号处理中非常有用，可以加速计算和简化问题的分析。
傅里叶级数与傅里叶变换
最常见的三角级数是傅立叶级数。
傅立叶级数
直线
y kx b
y x
抛物线 y ax2 bx c
y x
傅立叶级数展开(T=2l)
y
f (x)
a0 2
n x
(an cos
二维Hartley变换
F f (x)eix d x
一维傅立叶变换
FF
,
F f
x, y
f (x, y)ei2 x yd x d y
二维傅立叶变换
傅立叶变换存在问题：核函数中出现了复数，这就意 味着即使在空域中的实序列经过傅立叶变换之后也会 变成复数，如果实序列用复序列来处理，问题本身将 被复杂化。
恩格斯把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔的辩证法 相提并论。他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证 法的诗。
傅立叶级数
常见的表示函数的工具：幂级数和三角级数。
幂级数简单、方便，但条件苛刻，要求函数在相应的区 间内不仅必须无限次可微，还有其它一些要求（例如收 敛性等），因而从理论上说其使用范围比较有限。
周期函数展开成傅立叶级数的核心思想是：f(x)可以分解 为不同频率的谐波之和。
傅立叶级数 例2：周期为τ =1的方波函数
傅立叶级数
若设f(x)是定义在(-∞,+∞)区间上的非周期函数，它 是否可以表示为不同频率谐波的迭加？
设f(x)，及其一阶导数f΄(x)在任意一个有限区间上
分段连续，且
f xd存x 在。
由于
1 1 1 , n
l l
n
lim l
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
已知傅里叶级数求傅里叶变换
已知傅里叶级数求傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是信号处理和数学中非常重要的概念，它们在科学、工程、物理学和数学各个领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数用于描述周期性信号的频域特性，而傅里叶变换则适用于非周期性信号，将信号从时域转换到频域。
通过对这两个概念的深入了解，我们可以更好地理解信号的频谱特性和信号处理的方法。
接下来，让我们来深入探讨已知傅里叶级数如何求傅里叶变换。
一、傅里叶级数的基本概念在深入研究傅里叶变换之前，我们需要首先了解傅里叶级数的基本概念。
傅里叶级数可以表示任意周期信号为一系列正弦和余弦函数之和的形式，它的数学表达式为：\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos{(\frac{2\pi nt}{T})} + b_n \sin{(\frac{2\pi nt}{T})}) \]其中，\[ f(t) \] 代表信号的时域表示，\[ T \] 代表信号的周期，\[ a_0, a_n, b_n \] 为傅里叶系数。
二、傅里叶级数到傅里叶变换当我们已知一个信号的傅里叶级数，想要求出其傅里叶变换时，我们可以通过一定的方法将傅里叶级数转换为傅里叶变换。
这里需要引入复数形式的傅里叶级数，即欧拉公式：\[ e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x} \]通过欧拉公式，我们可以将之前的正弦和余弦函数转化为指数形式的复数函数。
这为我们求解傅里叶变换提供了便利。
傅里叶变换的数学定义是：\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt \]其中，\[ f(t) \] 为时域信号，\[ F(\omega) \] 为频域信号，表示信号在频域上的频谱特性。
三、从傅里叶级数推导傅里叶变换对于已知傅里叶级数的情况，我们可以通过一些步骤将其转换为傅里叶变换。
根据欧拉公式将傅里叶级数中的正弦和余弦函数转化为指数形式的复数函数。
什么是傅里叶傅里叶级数和傅里叶变换,并说明两者的区别与联系
什么是傅里叶级数和傅里叶变换,两者的区别与联系傅里叶级数和傅里叶变换都是将信号从时域转换到频域的数学工具。
傅里叶级数：傅里叶级数是针对周期函数的，它用一组正交函数将周期信号表示出来。
具体来说，所有周期信号都可以分解为不同频率的各次谐波分量。
这意味着周期波都可分解为n次谐波之和。
傅里叶变换：傅里叶变换则是用来处理非周期函数的，它可以用一组正交函数将非周期信号表示出来。
与傅里叶级数不同的是，非周期信号可以看作不同频率的余弦分量叠加，其中频率分量可以是从0到无穷大任意频率，而不是像傅里叶级数一样由离散的频率分量组成。
傅里叶级数和傅里叶变换都是数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
但它们之间存在明显的区别和联系：1. 本质不同：傅里叶级数是周期信号的另一种时域表达方式，可以看作是正交级数，即不同频率的波形的叠加。
而傅里叶变换是完全的频域分析，它可以将非周期信号转换为频域表示。
简而言之，傅里叶级数是用一组正交函数将周期信号表示出来，而傅里叶变换是用一组正交函数将非周期信号表示出来。
2. 适用范围不同：傅里叶级数主要适用于对周期性现象做数学上的分析。
而傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。
3. 周期性不同：傅里叶级数是一种周期变换，它以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开。
而傅里叶变换是一种非周期变换，它可以将非周期信号转换为频域表示。
4. 联系：傅里叶级数可以视作傅里叶变换的特例。
当周期信号的周期趋于无穷大时，傅里叶级数可以取极限得到傅里叶变换。
此外，无论是傅里叶级数还是傅里叶变换，都是为了将信号从时域转到频域。
傅里叶级数和傅里叶变换都是强大的数学工具，用于分析和处理信号，但它们的应用范围和性质有所不同。
傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换是数学和物理学中非常重要的概念。
傅里叶级数是用正弦和余弦函数的和来表示周期函数的方法，而傅里叶变换是将任意函数分解成正弦和余弦函数的无限和。
这两个概念的发明者是法国数学家约瑟夫·傅里叶，他在19世纪初提出了这些概念，这些概念在数学、物理学和工程领域中广泛应用。
傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数的和来表示周期函数的方法。
一个周期为T的函数f(x)可以用傅里叶级数表示为：f(x) = a0 + ∑(an cos(nω0x) + bn sin(nω0x))其中，ω0 = 2π/T是角频率，an和bn是傅里叶系数，它们是由函数f(x)在T长度内的积分计算得出。
a0是直流分量，是函数f(x)的平均值。
傅里叶级数的形式简单，可以用来表示各种周期函数，如三角波、方波和锯齿波等等。
傅里叶变换是将任意函数分解成正弦和余弦函数的无限和，这样就可以分析一个非周期函数。
傅里叶变换可以用以下公式表示：F(ω) = ∫f(x)e^-iωxdx其中，F(ω)是函数f(x)在频率ω处的傅里叶变换，e^-iωx是复指数函数，代表旋转频率为ω的旋转。
傅里叶变换的结果是一个复数函数，它包含了函数f(x)在不同频率上的能量信息，可以用来进行信号分析、滤波和压缩等处理。
在物理学中有着广泛的应用。
例如，它们可以用来分析声音波形、图像、电信号和地震数据等等。
在量子力学中，傅里叶变换也是重要的工具，可以用来分析粒子的波函数和测量结果的概率分布。
在工程中，傅里叶变换可以用来处理噪声、压缩数据和分析图像等等。
总之，在数学、物理学和工程领域中有着广泛的应用。
它们是理解和分析周期函数和非周期函数的重要工具，在当今科技进步中扮演着重要的角色。
傅里叶级数和傅里叶变换的关系和区别
傅里叶级数和傅里叶变换的关系和区别摘要：一、傅里叶级数简介二、傅里叶变换简介三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系四、傅里叶级数与傅里叶变换的区别五、应用场景分析正文：傅里叶级数和傅里叶变换是数学和工程领域中广泛应用的两种信号处理方法。
它们在一定程度上具有相似性，但也存在明显的区别。
下面我们将分别介绍这两种方法，并探讨它们之间的关系和区别。
一、傅里叶级数简介傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数和的形式。
任何一个周期函数都可以表示为傅里叶级数，这种表示方法在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。
傅里叶级数提供了将复杂信号分解为简单正弦和余弦函数的和的方法，从而便于分析和处理。
二、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数的乘积。
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域具有重要应用价值。
与傅里叶级数相似，傅里叶变换也将复杂信号分解为简单的正弦和余弦函数，但它在处理非周期信号时具有优势。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在一定程度上具有关联。
傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在特定条件下的特例。
当信号为周期信号时，傅里叶变换可以退化为傅里叶级数。
因此，我们可以将傅里叶级数看作是傅里叶变换的一个基本概念，而傅里叶变换则是傅里叶级数的扩展和推广。
四、傅里叶级数与傅里叶变换的区别1.适用范围：傅里叶级数适用于周期性信号的处理，而傅里叶变换可以处理非周期性和周期性信号。
2.表达形式：傅里叶级数将周期信号表示为正弦和余弦函数的和，傅里叶变换将信号表示为不同频率正弦和余弦函数的乘积。
3.计算复杂度：傅里叶级数计算相对简单，但随着信号长度的增加，计算量呈线性增长；傅里叶变换计算复杂度较高，但随着信号长度的增加，计算量呈指数增长。
五、应用场景分析1.傅里叶级数应用场景：在需要处理周期性信号时，如信号处理、图像处理等领域，可以采用傅里叶级数进行信号分解和分析。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式
1、傅里叶变换公式
公式描述：公式中F(ω)为f(t)的像函数，f(t)为F(ω)的像原函数。
2、傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。
最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
3、相关
傅里叶变换属于谐波分析。
傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;
正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；
卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。
扩展资料：
根据原信号的不同类型，可以把傅里叶变换分为四种类别：
1、非周期性连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）
2、周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)
3、非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）
4、周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换是数学分析中两个重要的概念和理论工具，它们在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛的应用。
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列谐波的方法，而傅里叶变换是将非周期函数分解成连续谱的方法。
首先，我们来介绍一下傅里叶级数。
傅里叶级数是将一个周期为T的函数f(t)展开为一系列谐波的和的形式，其中每个谐波都有一个特定的频率和振幅。
傅里叶级数的基本公式为：f(t) = a0 + Σ(An cos(nω0t) + Bn sin(nω0t))其中a0表示直流分量，An和Bn分别表示正弦和余弦项的振幅，n为谐波的阶数，ω0为基本频率。
傅里叶级数的系数可以通过求解积分或者利用傅里叶级数的性质进行计算。
傅里叶级数的应用十分广泛。
例如在信号处理中，傅里叶级数可以用来将一个周期信号分解为多个频率成分，从而进行频域分析和滤波等操作。
此外，傅里叶级数也可以用来恢复被损坏的信号，例如在音频和图像压缩中，傅里叶级数可以用来还原被压缩的信号。
接下来，我们来介绍傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个非周期函数f(t)分解成连续的频谱。
傅里叶变换的基本公式为：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)] dt其中F(ω)表示函数f(t)在频率ω处的频谱，e^(-jωt)是一个旋转复指数，j为虚数单位。
傅里叶变换的结果是一个连续的函数，其中包含了函数f(t)在不同频率上的振幅和相位信息。
傅里叶变换的应用也非常广泛。
在信号处理中，傅里叶变换可以用来将一个时域信号转换成频域信号，在频域进行滤波、增强和分析操作。
在图像处理中，傅里叶变换可以用来进行图像的频域滤波、边缘检测和压缩等操作。
在物理学中，傅里叶变换可以用来研究波动、振动和量子力学等问题。
傅里叶级数和傅里叶变换是相互联系的。
当一个函数是周期函数时，傅里叶级数可以通过傅里叶变换来计算。
而当一个函数是非周期函数时，傅里叶变换可以通过傅里叶级数来近似计算。
总之，傅里叶级数和傅里叶变换是数学分析的两个重要工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域具有广泛的应用。
典型周期信号的傅里叶级数
d
X(j)ejt
X(jk0)ej0t
x(t)21 X(j)ejtd1
0
2 T
k 0
0
于是,对非周期信号,有傅里叶变换对:
x(t)
1
2
X( j)ejtd 1
反
X( j)
x(t)e jtdt
2正
(e j t )
复 杂 信 号 ＝ 系 数 （ ） 基 本 信 号 （ ）
系 数 （ ） ＝ 复 杂 信 号 （ 与 ） 基 本 信 号 （ ）
F(j)ejtd
F( ) f(t)ejtdt
也是常用的形式
傅立叶变换的理解
周期信号的叶 指级 f数 T(t数 )型 Fn傅 ejn1t表 里明，
n
周期信号可限 以多 分个 解 n 频 1、 为 复率 无 振为 F幅 n的为 指
数分 ejn1t量 的离散和；
非周期信 傅号 里的 叶变 f(t)换 1
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
f(t)E T 1 2 T E 1n 1Sa(n 2 1 )cosn1t
F n1 2(anjn b )1 2anE T 1 S(n a 21 )
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
f(t)E S(an 1 )ejn 1t
T1 n
2
2、频谱 c0
E T1
规律收. 敛
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。
T
f (t)
A
T
22
t
解(： 1) f (t)是偶函数，故只含 数有 项常 和余弦项。
T
a0T 1
2 T
f(t)d t 2 T
2AdtA
傅里叶变换与傅里叶级数
重温傅里叶—笔记篇本文记录得大多就是基础得公式,还有一些我认为比较重要得有参考价值得说明、(如果对这些公式已经很熟悉,可以直接瞧第三部分:总结性说明)重温傅里叶—笔记篇一、傅里叶级数＄关于三角函数系得正交性:三角函数系包括:1, ｃoｓｘ, sinx , coｓ２ｘ, ｓin 2x, ……cos nx, ｓin ｎx, ……“正交性"就是说,三角函数系中得任何一项与另一项得乘积,在(－π, π) 区间内得积分为0。
(任何两相得积总可以展成两个频率为整数倍基频得正余弦函数之与或差,而这两个展开后得正余弦在(—π,π)上积分都为0)。
不同频率(但都就是整数倍基频)得两个正弦函数之积,在(－π, π)上积分恒为０。
同频率得两个正弦函数之积,只有在这两个正弦得相位正交时,其在(－π,π)上积分才就是0、三角函数系中除“1”以外得任何一项得平方,在(—π,π)上得积分恒为π,“１”在这个区间上得积分为2π。
＄上公式！①当周期为2π时:式(１):上式成立得条件就是ｆ(x)满足狄立克雷充分条件:１。
在任意有限区间内连续,或只有有限多个第一类间断点;２. 任意得有限区间,都可被分成有限多个单调区间(另一种说法就是:任意有限区间内只有有限多个极值点,其实就是一样得)式(1)第一行中得a0／2 就就是f(x)得周期平均值,而且第一行得式子只对f(x)就是连续函数得情况成立;如果ｆ(x)不连续,则应表示成“(１／２)×［f(x—０)+ｆ(ｘ+0)］”,即ｆ(x)左右极限得算术平均。
下面得类似情况都就是这样,之后就不再专门说明,这些大家应该都懂。
第三、四行中,n得取值都就是:1,2,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。
②当周期为2L时(这也就是最一般得情形):式(2):第一行中得a0/2 就就是f(x)得周期平均值;第三、四行中,n得取值都就是:１,2,3,４,……ｎ,……(都为正,且不包含0)。
傅里叶级数与傅立叶变换
傅里叶级数与傅立叶变换
傅里叶级数和傅立叶变换是数学和工程领域中非常重要的概念，尤其在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
傅里叶级数是一个通过三角函数序列表示任意周期函数的数学工具。
它把一个复杂的周期函数分解成一系列简单的基本正弦和余弦函数，每个函数都有一个不同的频率。
这个分解的过程称为傅里叶级数展开，而得到的简单函数称为原函数的傅里叶级数。
傅立叶变换是另一个重要的数学工具，它可以把一个函数从时间域或空间域转换到频率域。
通过傅立叶变换，我们可以把一个在时间或空间中定义的信号转换为一个在频率域中的函数。
这个函数可以揭示出原始信号中的不同频率成分，方便我们对信号进行进一步的分析和理解。
傅立叶变换和傅里叶级数之间有着密切的联系。
事实上，傅立叶变换可以看作是傅里叶级数的一个扩展。
傅里叶级数适用于周期函数，而傅立叶变换则适用于非周期函数。
傅立叶变换可以把一个非周期函数展开成一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加，这些函数的频率从零到无穷大。
总的来说，傅里叶级数和傅立叶变换都是强大的数学工具，它们可以帮助我们更好地理解和分析复杂的信号和函数。
傅里叶级数与傅里叶变换的区别
傅里叶级数与傅里叶变换的区别傅里叶级数和傅里叶变换是信号处理中常用的数学工具，用于分析和合成周期性信号以及非周期性信号。
虽然它们都是基于傅里叶分析的原理，但在具体的应用和数学推导过程中存在一些区别。
1. 定义与适用范围：傅里叶级数适用于周期性信号的分析和合成。
它将一个周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，利用正交性质将信号分解为不同频率的谐波成分。
而傅里叶变换则适用于非周期性信号的分析，它可以将一个时域信号转换为频域表示，得到信号的频谱信息。
2. 变换对象：傅里叶级数的变换对象是周期性函数，它要求信号在一个周期内是连续的。
而傅里叶变换则适用于任意时域函数，可以对非周期性信号进行分析。
3. 表示形式：傅里叶级数将周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，也可以使用指数形式的复数表示。
傅里叶变换则将时域函数表示为复数的频域函数，包含了信号的振幅和相位信息。
4. 连续与离散：傅里叶级数适用于连续时间的周期信号，它的频谱是连续的。
而傅里叶变换可以适用于连续时间信号和离散时间信号，分别得到连续频谱和离散频谱。
5. 时间和频率关系：傅里叶级数中的频率是离散的，由基波频率及其谐波频率组成。
而傅里叶变换中的频率是连续的，可以表示任意频率的分量。
6. 傅里叶逆变换：傅里叶级数的逆变换就是原信号本身，通过将各个频率分量加权合成即可。
而傅里叶变换的逆变换则将频域信号转换回时域信号，得到原始的时域函数。
7. 应用领域：傅里叶级数主要应用于周期性信号的分析，如电力系统中的电压和电流信号、音频信号等。
傅里叶变换则广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域，可以分析非周期性信号的频谱特性。
傅里叶级数和傅里叶变换在定义、适用范围、变换对象、表示形式、连续与离散、时间和频率关系、傅里叶逆变换以及应用领域等方面存在一些区别。
这两种数学工具在信号处理中发挥着重要作用，通过对信号的频域分析，可以帮助我们理解信号的特性，从而实现各种应用需求。
傅里叶变换超详细总结
（b）、f ( x + 0) + f ( x − 0) ，若 x 是间断点。 2
在此定理中，f（x+0）与 f（x-0）是 f（x）在 x 点的右极限和左极限。 定理中加在 f（x）上的条件（1）、（2）、（3）是充分的，但不是必要的，在实际中这 样的条件通常可以被满足。目前为止，还不知道傅立叶级数收敛的必要且充分的条件。 值得注意的是，单从 f（x）的连续性，是不能保证傅立叶级数收敛的。
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权” ——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
频域分析：傅里叶变换，自变量为 j Ω 复频域分析：拉氏变换，自变量为 S = σ +j Ω Z域分析：Z 变换，自变量为z
傅立叶级数是一种三角级数，它的一般形式是
a
2 n
+
bn2
.
周期函数 的傅立叶展开,就是将周期函数展成直流分量和所有 n 阶谐波的迭加.
狄利克雷定理 假定：
（1）. f（x）在（-L，L）内，除了有限个点之外，有定义且单值； （2）. f（x）在（-L，L）之外，是周期函数，具有周期 2π； （3）. f（x）和 f ’（x）在（-L，L）内分段连续；
a
⎨⎩ 1
,m = n
三角函数系也有类似的性质.这个函数系中的每一个函数的周期是 2π ,记为T = 2π .并有下
面的关系式:
ω
ω
∫T
2
cos mωt cos nωt d
t
=
⎧0 ⎪ ⎨T
−T 2
⎪⎩ 2
, ,
数字信号处理常用公式(不惧怕繁琐的推导)
数学信号处理基本公式1、傅里叶变换定义连续正变换：X (jω)=∫x (t )e −jωt dt ∞−∞ 连续反变换：x (t )=12π∫X (jω)e jωt dω∞−∞ 离散正变换：210()(),0,1,,1N jnk NN N n X k x n WW ek N π--====-∑离散反变换：2101()(),0,1,,1N j nk NN N n x n X k WW en N Nπ---====-∑2、傅里叶变换性质线性：[])]([)]([))()((t g F t f F t g t f F βαβα+=+ 位移：)]([)]([00t f F et t f F t j ω-=-； )]([)]([1010ωωωωF F e F F t j --=-.尺度：设)]([)(t f f F =ω， )(||1)]([aF a at f F ω=. 微分：)]([)]('[t f F j t f F ω=，要求0)(lim =∞→t f t)]([)()]([)(t f F j t fF n n ω=，要求()lim ()0(1,2,1)k t f t k n →+∞==-积分：)]([1])([t f F j dt t f F tω=⎰∞-，要求lim ()0t t f t dt -∞→+∞=⎰帕塞瓦尔等式：()221()()2f t dt F d ωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰，)]([)(t f f F =ω频率位移：若()ωj e X n x ⇔)(,则()()00)(ωωω-⇔j nj e X n x e时间共轭：若()ωj e X n x ⇔)(,则(),)(**ωj e X n x -⇔频率共轭：若()ωj eX n x ⇔)(,则()ωj e X n x **)(⇔-序列卷积：若)()()(n y n x n w *=,则)()()(z Y z X z W = 序列乘积：若)()()(n y n x n w =,则++---<<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰y x y x c R R z R R dv v v z Y v X j z W 1)(21)(π输入)cos()(ϕω+=n A n x ,则输出响应为：()()[])()(2)(ϕωωϕωω+--++=n j j n j j e e H e e H An y 输入12()()()x n x n x n =+,则输出响应为：()()()()()2j j n j j n Ay n H e e H e e ωωϕωωϕ+--+⎡⎤=+⎣⎦3、傅立叶级数满足狄利克雷条件的周期函数可由三角函数的线性组合表示：()f t 的周期为1T ，112T πω=其中：()00011t T t a f t dt T +=⎰；()()010112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰；()()010112sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰ 指数形式的付里叶级数表示：0111()[()sin()](5)n n n f t a a cos n n b n n ωω∞==++-----∑由欧拉公式：1111()()2jn tjn t cos n n e e ωωω-=+；1111sin()()2jn t jn t n n e e j ωωω-=+ 4、随机信号定义4.1均值、方差 离散均值：{}x kk kE X xp μ==∑ 连续均值：{}()x E X xp x dx μ∞-∞==⎰离散方差：222{||}||X X kX k kE X xp σμμ=-=-∑连续方差：222{||}||()X X X E X x p x dx σμμ∞-∞=-=-⎰4.2相关函数的定义 互相关: ()()()xy n r m x n y n m ∞=-∞=+∑ 自相关: ()()()xxn rm x n x n m ∞=-∞=+∑()()()()()()()()()011112121110111cos sin cos 2sin 2cos sin .................cos sin ..n n n n n f t a a t b t a t b t a n t b n t a a n t b n t ωωωωωωωω∞==++++++++=++⎡⎤⎣⎦∑（1）有限点自相关函数估计值为：11()()()N NN n r m xn x n m N-∧==+∑平稳随机过程的互相关函数: ()[()()]xy r m E x n y n m *=+ 自相关: ()[()()]xx r m E x n x n m =+ 4.3功率谱自功率谱：()()j j mX xm P e r m eωω∞-=-∞=∑ 互功率谱：()()j j m XY xym P e rm e ωω∞-=-∞=∑注意：功率信号的自相关函数与其功率谱是一对傅里叶变换：P x (e jω)=∑r x e −jωm ∞m=−∞5、三角函数变换sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ；sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ；cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtanA tanB tan(A+B) =1-tanAtanB +；tanA tanBtan(A-B) =1tanAtanB -+cotAcotB-1cot(A+B) =cotB cotA +；cotAcotB 1cot(A-B) =cotB cotA +- 倍角公式22tanA tan2A =1tan A-；sin2A=2sinA cosA ；Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3；cos3A = 4(cosA)3-3cosAa a tan3a = tana tan(+a)tan(-a)33和差化积sina+sinb=2sincos 22a b a b +-；sina-sinb=2cos sin22a b a b+- cosa+cosb = 2cos cos 22a b a b +-；cosa-cosb = -2sin sin22a b a b+- sin()tana+tanb=cos cos a b a b+积化和差1sinasinb =[cos(a+b)-cos(a-b)]2-， 1cosacosb =[cos(a+b)+cos(a-b)]21 sinacosb =[sin(a+b)+sin(a-b)]2，1cosasinb =[sin(a+b)-sin(a-b)]2诱导公式 ：sin(-a) = -sina;cos(-a) = cosa;sin(-a) = cosa;cos(-a) = sina 22ππsin(+a) = cosa;cos(+a) = -sina 22ππsin(-a) = sina,cos(-a) = -cosa ππsin(+a) = -sina;cos(+a) = -cosa ππ22a a a a1+sin(a) =(sin +cos );1-sina=(sin -cos )2222 函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n xx x x x x x n n m m m x m m mx x n n nm 欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ixix ix e e x e e x x i x e 或。
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傅立叶法国数学家及物理学家。
最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方法。
傅立叶级数（三角级数）创始人。
法国数学家、物理学家。
1768年3月21日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。
9岁父母双亡， 被当地教堂收养。
12岁由一主教送入地方军事学校读书。
17岁（1785）回乡教数学，1794到巴 黎，成为高等师范学校的首批学员， 次年到巴黎综合工科学校执教。
1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔 省地方长官。
1817年当选为科学院院 士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
主要 贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文， 推导 出着名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。
1822 年在代表作《热的分析理论》中解 决了热在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。
傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论 均由此创始。
其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方 程符号法则的证法和实根个数 的判别法等。
§3-2 信号在正交函数集中的分解为了形象地说明信号的分解，首先我们复习矢量的分解。
一、矢量的分解 （1）矢量的一维分解：用一个标准矢量1A 乘以一个标量1c 得到的新矢量11A c ，去近似近似矢量A ，并要求误差尽可能小，1c 应该取多少？下图通过几何方法表示了1c 的确定方法。
111ε+=11A A c● 从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：1111A A A A =c其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。
● 如果01=c （或01=A A ），则表明A 和1A 相垂直（又称为正交）。
（2）矢量的二维分解用两个标准矢量1A 、2A 的线性组合2211A A c c +，去近似近似矢量A ，并要求误差尽可能小，1c 、2c 各应该取多少？下图通过几何方法表示了1c 、2c 的确定方法。
1112c● 在上图表示的情况下，1c 、2c 的取值都同时与1A 、2A 有关，计算公式可能比较复杂。
如果标准向量1A 、2A 相互垂直（正交），计算就很简单了：11122A c容易得到此时的系数计算公式为：1111A A A A =c ，2222A A AA =c此时每一个系数只与其相关的标准矢量有关，系数计算公式与一维情况下的计算公式相似。
● 上图中表示的是用两个矢量表示一个二维的矢量，误差为零。
如果用两个矢量表示一个二维以上的矢量，误差就不一定等于0了。
但是可以证明，在这种系数情况下误差最小。
● 显然，如果知道了标准矢量1A 、2A 和相应的系数1c 、2c ，就可以确定任意矢量。
● 这实际上就是我们在平面几何中见到的笛卡尔坐标系。
（3）矢量的多维分解：上面二维的情况可以推广到任意维，可以将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：∑==+++=ni ii n n c c c c 12211...A A A A A显然，如果知道了标准矢量i A 和响应的系数i c ，就可以确定任意矢量。
如果矢量i A 两两正交，可以证明相应的最佳系数的计算公式为：i i i i c A A A A =如果标准矢量基i A 的长度都为1，则1=i i A A ，上面的公式可以简化为：A A i i c =（4）标准矢量基的几个限制条件：为了便于计算系数，实际使用的标准正交矢量集最好满足以下几个条件： 1) 归一化：标准矢量i A 的模等于1 2) 正交化：标准矢量两两正交3) 完备性：可以不失真地组合出任意矢量其中归一化和正交化是为了计算系数时比较方便；而完备性则是为了保证可以完整、没有误差地表示任意矢量，使这种分解更有实用性。
二、信号的分解与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。
1、单个标准信号下的分解：在时间区间),(21t t 内，用)(11t f c 近似任意函数)(t f ，并使误差进可能小。
（这里假设所有函数都是实数函数）误差：)()()(11t f c t f t -=ε● 如何衡量函数误差的大小？ ——可以采用方均误差：⎰-=21)(1)(2122t t dtt t t t εε● 1c 取什么值的时侯何时误差最小？或者何时系数最佳？最佳系数：⎰⎰=2121)()()()(1111t t t t dtt f t f dt t f t f c——1c 也称为函数)(t f 和)(1t f 的相似系数。
最佳系数的证明： 误差：)()()(11t f c t f t -=ε 方均误差：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰2121212121)()()(2)(1)()(1)(1)(212111212211122122t t t t t t t tt t dt t f c dt t f t f c dt t f t t dt t f c t f t t dtt t t t εε为了求使)(2t ε最小的1c ，将上式对1c 求偏导并令其为零，可以得到：)(2)()(21)(212121111221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∂∂⎰⎰t t t t dt t f c dt t f t f t t t c ε由此可得：⎰⎰=2121)()()()(1111t t t t dtt f t f dt t f t f c● 如果01=c （或0)()(211=⎰t t dt t f t f ），则称)(t f 和)(1t f 正交。
——这个正交的含义与矢量中的正交类似。
● 如果)(t f 和)(1t f 是复函数，则方均误差的定义应该改为：⎰⎰⋅-=-=2121)()(1)(1)(*122122t t t t dt t t t t dt t t t t εεεε相应的最佳系数计算公式为：⎰⎰=2121)()()()(*11*11t t t t dtt f t f dt t f t f c2、多个标准信号下的分解：将信号表示为多个标准信号的线性组合：∑==+++=ni i i n n t f c t f c t f c t f c t f 12211)()(...)()()(● 这里的i c 同样难以确定。
但是如果标准函数)(t f i 之间两两正交，则可以证明：⎰⎰=2121)()()()(**t t i i t t i i dtt f t f dt t f t f c●我们实际上在高等数学等前期课程中已经见到过几个这样的标准信号集了。
例如：泰勒级数使用的是：{},...,...,,,,132kxxxx●在本章中将要用到的标准函数集为三角函数集：{},...sin,cos,...,2sin,2cos,sin,cos,1ktkttttt3、对标准信号集的要求：与矢量分解中的情况一样，这里对于用于分解函数的标准函数集也有以下的要求：1)归一化：1)()(21*=⎰t t iidttftf2)正交化：)()(21*=⎰t t jidttftf，ji≠3)完备性：可以用其线性组合表示任意信号。
●正交性标准函数集的首要条件。
只有在这种情况下系数才可以用上美的公式计算，而且可以保证方均误差最小。
其他两个条件都会受到实际应用的限制，可能难于达到。
●完备正交函数集一般都包含无穷多个函数，例如：三角函数集，沃尔什函数集等。
●但在实际应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数，只能近似表示任意函数。
函数与矢量的运算与分解有很大的相似性，很多函数分解中的概念（例如正交等）也是从矢量运算中引用过来的。
这里用一个表格作比较：§3-3 信号表示为傅利叶级数傅利叶级数是最常用的一种正交函数集。
它在工程中有很广泛的用途。
一、三角函数形式的傅利叶级数 1、三角正交函数集{},...sin ,cos ,...,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1t k t k t t t t ΩΩΩΩΩΩ其中：1222t t T -==Ωππ或将正交函数集表示为：{},...2,1,0)sin(),cos(=ΩΩn t n t n可以证明该函数集满足正交性： 函数集中的函数两两相正交。
)sin()cos(21=ΩΩ⎰dt t m t n t tnm dt t m t n dt t m t n t t t t ≠⎪⎭⎪⎬⎫=ΩΩ=ΩΩ⎰⎰0)sin()sin(0)cos()cos(21212、任意信号在三角函数集中的分解可以将任意函数f(t)在这个三角函数集中展开（表示成该正交函数集函数的线性组合）：()∑∞+=Ω+Ω+=+Ω++Ω+Ω+Ω++Ω+Ω+=1021210sin cos ...sin ...2sin sin ...cos ...2cos cos )(n n n n n t n b t n a a t n b t b t b t n a t a t a a t f其中的系数可以根据前面的公式计算出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠Ω-=ΩΩ=⎰⎰⎰⎰212121210)(10)cos()(2)(cos )cos()(12122t t t t t t t t n n dt t f t t n dt t n t f t t dt t n dt t n t f a⎰⎰⎰Ω-=ΩΩ=212121)sin()(2)(sin )sin()(122t t t t t t ndt t n t f t t dtt n dtt n t f b● 这个公式中的n a 的表达不太方便。
为此将分解式改写：()∑+∞=Ω+Ω+=10sin cos 2)(n n n t n b t n a a t f则系数为：⎰Ω-=21)cos()(212t t n dtt n t f t t a ⎰Ω-=21)sin()(212t t n dt t n t f t t b● 通过这种分解，可以将信号可以表示成为直流信号和一系列正弦信号之和。
3、任意信号在仅余弦三角函数集中的分解 在原来的信号分解公式()∑+∞=Ω+Ω+=10sin cos 2)(n n n t n b t n a a t f中，利用三角函数公式，令22nn n b a A +=，n nn a b arctan-=ϕ，则可以将上式表达成：()∑+∞=ϕ+Ω+=10cos 2)(n n n t n A a t f它可以看成是下列正交信号集：{},...2,1,0)cos(=Ωn t n的平移后的线性组合。
● 从系数计算公式可以看出，如果f(t)是实数信号，则：n a 和n A 是n 的偶函数； n b 和n ϕ是n 的奇函数。