2019-2020人教A版高中数学选修2-1课件3.1.3优质课件

∴cos〈O→E，B→F〉＝|O→O→EE|··B|→B→FF|＝
－12 23×
3＝－23， 2
∴OE 与 BF 所成角的余弦值为23.
题型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题 【例 3】 如图，已知在空间四边形 OACB 中，OB＝OC，AB ＝AC，求证：OA⊥BC.
思路点拨：要证 OA⊥BC，只需证明O→A·B→C＝0 即可，关键是 充分利用已有条件进行转化．
预习测评 1．对于向量 a，b，c 和实数 λ，下列命题中的真命题是( ) A．若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0 B．若 λa＝0，则 λ＝0 或 a＝0 C．若 a2＝b2，则 a＝b 或 a＝－b D．若 a·b＝a·c，则 b＝c
【答案】B 【解析】对于 A，可举反例：当 a⊥b 时，a·b＝0；对于 C， a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出 a＝±b；对于 D，a·b＝a·c 可以移项整理推得 a⊥(b－c)．
错因分析：向量A→O与B→C的夹角找的不对．
正解： 作 CD⊥平面 α，则∠DBC＝30°， ∴∠BCD＝60°，∴〈B→C，C→D〉＝120°，即〈A→O，B→C〉＝120°. ∴|A→C|2＝3a2＋2·a2·cos 120°＝2a2，∴|A→C|＝ 2a. 即 AC＝ 2a.
课堂总结 1．利用向量的模求线段的长度，可避免画图，很方便． 2．利用向量的夹角求异面直线所成角． 3．重视数学思想、方法的运用，优化解题思维、简化解题过 程． (1)方程思想：在解题过程中会引入一些相互联系、相互制约 的量，使得在已知向量及未知向量之间构成函数方程关系，整体处 理，简化解题运算量． (2)数形结合思想：根据平面几何知识易于发现各量之间的关 系，将位置关系用向量表达． (3)化归转化思想：注意空间向平面的转化.
要点阐释 1．空间向量数量积的概念 ①两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为 两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决 定；②两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过 的数的乘法是有区别的；③当 a≠0 时，由 a·b＝0 不能推出 b 一定 是零向量，这是因为任一个与 a 垂直的非零向量 b，都有 a·b＝0； ④a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与|b|在 a 的方向上的 投影|b|cos θ 的乘积．
【证明】
∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA， ∴△OAC≌△OAB. ∴∠AOC＝∠AOB. ∵O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B)＝O→A·O→C－O→A·O→B ＝|O→A||O→C|cos∠AOC－|O→A||O→B|cos∠AOB＝0， ∴OA⊥BC.
方法点评： 证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直．如本题 证明 OA⊥BC，就是要证明O→A⊥B→C，即证O→A·B→C＝0.在本题中， 因为已知 OB＝OC(AB＝AC)，所以B→C最好用O→B，O→C表示(或用A→B， A→C表示)，然后代入O→A·B→C中，根据分配律证明O→A·B→C＝0，从而证 明 OA⊥BC.
若 a·b＝k，没有 a＝bk或 b＝ak.
典例剖析 题型一 求向量的模 【例 1】 已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝b·c＝c·a＝0，求|a ＋b＋c|的值． 思路点拨：利用完全平方公式运算．
【解析】|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋a·c＋b·c) ＝1＋4＋9＝14，所以|a＋b＋c|＝ 14.
3．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，CD1 和 DC1 相交于 点 O，连结 AO.
求证：AO⊥CD1.
【证明】
∵A→O＝A→C＋C→O＝A→B＋A→D＋12C→D1＝A→B＋A→D＋12(C→D＋D→D1)
＝A→B＋A→D＋12C→D＋12D→D1＝12A→B＋A→D＋12D→D1，
误区解密
【例 4】 如图，AO⊥平面 α，BC⊥OB，BC 与平面 α 夹角为 30°，AO＝BO＝BC＝a，求 AC 长 .
错解：A→C＝A→O＋O→B＋B→C， ∴|A→C|2＝|A→O|2＋|O→B|2＋|B→C|2＋2A→O·O→B＋2O→B·B→C＋2A→O·B→C. ∵AO⊥OB，OB⊥BC，BC 与平面 α 夹角 30°， ∴〈A→O，B→C〉＝60°. ∴|A→C|2＝4a2，∴|A→C|＝2a.
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1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的 概念、性质和计算方法及运算规律. 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些 简单的问题.
自学导引 1．空间向量的夹角
如果〈a，b〉＝π2，那么向量 a，b_互__相__垂__直_，记作 a⊥b.
2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a，点 E， F，G 分别是 AB，AD，DC 的中点，则下列向量的数量积等于 a2 的是( )
A．2B→A·A→C B．2A→D·D→B C．2F→G·A→C D．2E→F·C→B
【答案】C 【解析】2B→A·A→C＝－a2，故 A 错；2A→D·D→B＝－a2，故 B 错； 2E→F·C→B＝－12a2，故 D 错，只有 C 正确．
3．空间向量数量积的运算律： ①(结合律)(λa)·b＝λ(a·b)； ②(交换律)a·b＝b·a； ③(分配律)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
注意： ①数量积运算不满足消去律
a·b＝b·c(b≠0) a＝c.
②数量积运算不满足结合律 数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合 乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c)．这是由于(a·b)·c 表示一 个与 c 共线的向量，而 a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线． ③空间向量没有除法运算
积的性 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝____a_·_a____. a·b
质 (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝____|a_|·_|b_|___. (4)|a·b|≤___|a_|_·|_b_| ___
应用
(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间距离或两直 线所成角． (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直
1．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|等于( ) A．22 B．48 C. 46 D．32
【答案】A 【解析】设(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝x，(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b ＝242，两式相加得，2(a2＋b2)＝x＋242，∴x＝484.故|a－b|＝22.
4．已知空间四边形 OABC，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝θ， 则 OA 与 BC 的位置关系为________．
【答案】OA⊥BC 【解析】O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B)＝O→A·O→C－O→A·O→B＝|O→A|·|O→C |·cos θ－|O→A|·|O→B|cos θ，因为 OB＝OC，所以O→A·B→C＝0，所以 OA ⊥BC.
2．两个向量数量积的性质：若 a、b 是非零向量，则 ①a⊥b⇔a·b＝0； ②若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|；若 a 与 b 反向则 a·b＝－|a|·|b|. 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a； ③若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|·|bb|； ④|a·b|≤|a||b|.
3．已知|a|＝3 2，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°， m⊥n，则 λ＝________.
【答案】－32 【解析】由 m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)·a·b＋λb2 ＝0，∴18＋(λ＋1)×3 2×4cos 135°＋16λ＝0，即 4λ＋6＝0，∴λ ＝－32.
【解析】
设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则 a·b＝b·c＝c·a＝12，|a|＝|b|＝|c|
＝1，O→E＝12(a＋b)，B→F＝12c－b，
O→E
·B→F
＝
1 2
(a
＋
b)·12c－b
＝
1 2
12a·c＋12b·c－a·b－|b|2
＝
1 2
×14＋14－12－1＝－12，
C→D1＝C→D＋D→D1＝－A→B＋D→D1，Leabharlann ∴A→O·C→D1
＝
12A→B＋A→D＋12D→D1
·(－
A→B
＋
D→D1
)
＝
－
1 2
A→B
·A→B
－
A→D·A→B－12D→D1·A→B＋12A→B·D→D1＋A→D·D→D1＋12D→D1·D→D1＝0，
∴A→O⊥C→D1，即 AO⊥CD1.
题型二 求两直线所成的角 【例 2】 如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB ＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求 OA 与 BC 所成角的余弦值． 思路点拨：利用向量数量积公式的逆用进行计算．
【解析】
∵B→C＝A→C－A→B，
∴O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B＝|O→A|·|A→C|·cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B
|·cos〈O→A，A→B〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.
∴cos〈O→A，B→C〉＝|O→O→AA|··B|→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
2 .
∴OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
2 .
2．如图，已知点 O 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，若 OA＝OB＝OC＝AB＝1，E，F 分别是 AB，OC 的中点，试求 OE 与 BF 所成角的余弦值．
自主探究 1．〈a，b〉与〈b，a〉的关系是怎样的？〈a，b〉与〈a，－b〉 的关系呢？ 【答案】〈a，b〉＝〈b，a〉〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．