与函数相联系的图形旋转问题举例

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初中数学旋转题型

初中数学旋转题型
在初中数学中，旋转是一个重要的概念和技能。

掌握旋转的原理和方法，可以帮助我们解决很多几何问题。

下面介绍一些初中数学中常见的旋转题型。

1. 点的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个点P(x, y)，绕原点旋转θ度，求旋转后的点坐标。

解法：设旋转后的点为P'(x', y')，则有：
x' = x*cosθ - y*sinθ
y' = x*sinθ + y*cosθ
其中，cosθ和sinθ可以通过三角函数表查找。

2. 图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个图形，绕原点旋转θ度，求旋转后的图形。

解法：将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。

3. 对称图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个对称图形，绕对称轴旋转θ度，求旋转后的图形。

解法：对称轴不变，将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。

4. 正方形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个正方形，绕其中心旋转θ度，求旋转后的正方形。

解法：连接正方形的对角线，得到两个对称轴，分别将正方形上的每个点按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的正方形。

5. 圆的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个圆，绕其中心旋转θ度，求旋转后的圆。

解法：圆上每个点到圆心的距离不变，因此可以先求出旋转后的圆心坐标，然后将圆心和圆上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，就得到了旋转后的圆。

以上就是初中数学中常见的旋转题型，希望能对大家的学习有所帮助。

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题

二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数是高中数学中重要的概念之一，它的表达式为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，而x、y为变量。

在二次函数的图像中，a决定了抛物线开口的方向和大小，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。

在解决二次函数平移旋转的问题时，我们可以根据抛物线的特性来进行总结和归纳。

下面我们将介绍二次函数的平移、旋转以及一些典型习题。

一、平移：1. 抛物线y = ax^2 + bx + c向左平移h个单位的公式为：y =a(x - h)^2 + b(x - h) + c。

同样地，向右平移h个单位的公式为：y = a(x + h)^2 + b(x + h) + c。

例如：若原二次函数为y = x^2 + 2x + 1，现在向左平移2个单位，则平移后的二次函数为y = (x - 2)^2 + 2(x - 2) + 1。

2. 抛物线y = ax^2 + bx + c向上平移k个单位的公式为：y =a(x^2 + bx + c + k)。

同样地，向下平移k个单位的公式为：y = a(x^2 + bx + c - k)。

例如：若原二次函数为y = x^2 + 2x + 1，现在向上平移3个单位，则平移后的二次函数为y = (x^2 + 2x + 1) + 3。

二、旋转：对于二次函数的旋转，我们需要使用变量替换的方法。

假设原二次函数y = ax^2 + bx + c按照逆时针旋转α角，则旋转后的二次函数可表示为：x = x'cosα - y'sinαy = x'sinα + y'cosα其中，(x', y')是旋转前的坐标，(x, y)是旋转后的坐标。

三、典型习题：1. 设二次函数y = ax^2 + bx + c的图像通过点(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，求a、b、c的值。

解：将三个点分别代入二次函数中，我们可以得到3个方程： a + b + c = 2 (1)4a + 2b + c = 3 (2)9a + 3b + c = 4 (3)解方程组(1)(2)(3)，得到a = 1/2，b = -3/2，c = 2。

函数图像变换与旋转

函数图像变换与旋转一.平移变换：1.y=f（x）→y=f(x±a)(a>0) 原图像横向平移a个单位（左+右-）2.y=f（x）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b个单位（上+下-）3.若将函数y=f（x）的图像右移a，上移b个单位，得到函数y=f（x-a）+b二．对称变换：1.y=f（x）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y轴对称；对比：若f=（-x）=f（x）则函数自身的图像关于y轴对称；2.y=f（x）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x轴对称；3.y=f（x）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；对比：若f（-x）=-f（x）则函数自身的图像关于原点对称；4.y=f（x）→y=f-1（x）原图像与新图像关于直线y=x对称；5.y=f（x）→y=f-1（-x）原图像与新图像关于直线y=-x对称；6.y=f（x）→y=f（2a-x）原图像与新图像关于直线x=a对称；7.y=f（x）→y=2b-f（x）原图像与新图像关于直线y=b对称；8.y=f（x）→y=2b-f（2a-x）原图像与新图像关于点（a，b）对称；三．翻折变换：1. y=f（x）→y=f(|x|)的图像在y轴右侧（x>0）的部分与y=f（x）的图像相同，在y 轴的左侧部分与其右侧部分关于y轴对称；2.y=f（x）→y=|f(x)|的图像在x轴上方部分与y=f（x）的图像相同，其他部分图像为y=f（x）图像下方部分关于x轴的对称图像；3. y=f（x）→y=f(|x+a|)变换步骤：法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a右边图像，后去掉直线x=a左边图像并作关于直线x=a对称图像y=f（x）→y=f(x+a)→y=f(|x+a|)法2:先保留y轴右边图像，去掉y轴左边图像，并作关于y轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f（x）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)四．伸缩变换：1.y=f（x）→y=af(x)（a>0）原图像上所有点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变；2.y=f（x）→y=f(ax)（a>0）原图像上所有的横坐标变为原来的，纵坐标不变；五．对称性：1.函数自身对称性之轴对称：（1）.若f（x）=f（2a-x）（或f（a+x）=f（a-x）或f（-x）=f（2a+x））则函数自身关于直线x=a对称；（2）.若y=f（x）的图像关于直线对称等价于f（a+mx）=f（b-mx）等价于 f（a+b-mx）=f（mx）；2.函数自身对称性之中心对称：（1）.若f（mx+a）=-f（b-mx），则函数自身关于点（，0）对称；（2）.若f（mx+a）+f（b-mx）=c，则函数自身关于点（，）对称；（3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b（或f（x）+f(2a-x)=2b或f（-x）+f(2a+x)=2b 则函数自身关于点（a,b）对称；3.不同函数之间的对称性：（1）.函数y=f（a+x），y=f（b-x）的图像关于直线对称；推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称；函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称；特例：函数y=f（a+x），y=f（a-x）的图像关于直线x=0对称；（2）.函数y=f（a+x），y=-f（b-x）的图像关于点（，0）对称；特例：函数y=f（a+x）与y=-f（a-x）关于原点中心对称4.抽象函数的对称性：（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个时式子成立切等价： f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；六．周期性；1.f（x+a）=f（x）周期：|a|2.f（x+a）=-f（x）周期：2|a|3.f（x+a）=（或周期：2|a|4.f（x+a）=f（x-a）周期：2|a|5.f（x+a）=-f（x-a）周期：4|a|6.f（x+a）=（或）周期：4|a|7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|8.若p>0,f(px)=f(px-) 周期：七．对称性与周期性：1.若y=f（x）的图像关于直线x=a，x=b对称（a不等于b），则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；特例：若y=f（x）是偶函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=2|a|；2.若y=f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；3.若y=f（x）的图像关于直线x=a，对称中心（b，0）对称（a不等于b）则f（x）为周期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f（x）是奇函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=4|a|；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。

高中数学旋转解题技巧

高中数学旋转解题技巧在高中数学中，旋转是一个常见的解题技巧，它可以帮助我们简化问题，找到更直观的解题方法。

本文将介绍几种常见的旋转解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助读者更好地掌握这些技巧。

一、旋转解题的基本原理旋转解题是将原问题通过旋转变换转化为一个更简单的问题，从而利用几何性质进行求解。

在旋转解题中，我们通常会用到以下几个基本原理：1. 旋转不改变长度和角度：旋转只改变了原图形的位置和方向，但不改变图形的长度和角度关系。

因此，在旋转解题中，我们可以利用旋转后的图形与原图形的对应关系来求解问题。

2. 旋转对称性：旋转对称性是指图形在某个旋转变换下保持不变。

利用旋转对称性，我们可以将原问题转化为一个与之等价的旋转对称问题，从而简化求解过程。

3. 旋转变换的性质：旋转变换具有保角性和保持直线平行性的性质。

利用这些性质，我们可以推导出旋转后的图形与原图形的一些几何关系，进而解决问题。

二、旋转解题的实际应用下面我们通过几个具体的题目来说明旋转解题的应用方法和技巧。

题目一：已知一个平面图形，将其逆时针旋转90度，再将旋转后的图形绕原点顺时针旋转60度，得到的图形与原图形重合。

求原图形的类型。

解析：根据题目描述，我们可以得知旋转后的图形与原图形重合，说明它们是同一个图形。

根据旋转变换的性质，逆时针旋转90度相当于顺时针旋转270度，再绕原点顺时针旋转60度相当于逆时针旋转300度。

因此，旋转后的图形相当于逆时针旋转270度再逆时针旋转300度，即逆时针旋转570度。

根据旋转对称性，逆时针旋转570度等于顺时针旋转360度加上逆时针旋转210度。

所以，原图形的类型是正五边形。

题目二：已知一个圆的半径为r，以圆心为中心，将圆逆时针旋转60度，得到的图形与原图形重合。

求r的值。

解析：根据题目描述，旋转后的图形与原图形重合，说明它们是同一个图形。

根据旋转变换的性质，逆时针旋转60度相当于顺时针旋转300度。

因此，旋转后的图形相当于逆时针旋转300度。

函数图象的平移,旋转,翻折问题

函数图象中的旋转，平移，翻折问题1 （2017荆州）将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A （-1,2 ）关于y轴的对称点落在平移后的直线上, 则占的值为__________2（2017广安）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P',且P在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为_____________________3 （2016湖州）已知点P在一次函数y=kx+b （k, b为常数，且k v 0, b > 0）的图象上，将点再向上平移2个单位得到点Q,点Q也在该函数y=kx+b的图象上，k的值是 ____________________ ;4 （2017孝感）如图，将直线y x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点 A 2, 4 ,且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA PB的值最小，则点P的坐标为5 （2017随州）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移k长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y 的图象于点B ,x（1）求反比例函数的解析式；（2）若P（X1,yJ、Q（x2,y2）是该反比例函数图象上的两点，且洛x2时,指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由.6 （2016聊城）如图，在直角坐标系中，直线y= -与反比例函数对称的A, B两点，已知A点的纵坐标是3.（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线y= - -「-x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点求平移后的直线的函数表达式.7 （2017连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（-2,0）的直线交y轴正半轴于点B ,将直线AB绕着点O 顺时针旋转90°后，分别与x轴y轴交于点D、C.（1）若OB =4，求直线AB 的函数关系式；⑵连接BD ，若△ ABD 的面积是5，求点B 的运动路径长22x4 1先向左平移4个单位长度，再向上平移 2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（10 （2016滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择 180°得到抛物线 y=x 2+5x+6，则原抛物线的解析式是（） A / £、2】1 f/£、2】A . y=-（ X -二）B . y=-（ x+H C. y= -（ x -刁--D. y= -（x ^）11 （2016眉山）若抛物线y=x - 2x+3不动，将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）2 2 2 2 A. y= （x - 2） +3 B . y= （x - 2） +5 C . y=x - 1 D . y=x +41 212 （2017盐城）如图，将函数 y= （x-2 ） +1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其 2中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点 A'、B'.若曲线段AB 扫过的面积为9 （图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）13 （2017天津）已知抛物线 y x 2 4x 3与x 轴相交于点 AB （点A 在点B 左侧），顶点为M •平移该抛物线，使点M 平移后的对应点 M'落在x 轴上，点B 平移后的对应点 B'落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为（）Q Q Q Q A . y x 2x 1 B . y x 2x 1 C. y x 2x 1 D . y x 2x 114 （2017丽水）将函数y x 的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1, 4）的方法是（）A .向左平移1个单位 B.向右平移3个单位 C .向上平移3个单位 D.向下平移1个单位 15已知二次函数y x 2 bx 1（ 1 b 1），当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（） A. 先往左上方移动，再往右下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动 B. 先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动8( 2017 襄阳) 将抛物线 2 A . y 2xB . c2 c y 2x3 c. y 2 x D. y 2x8 9 (2017 常德) 将抛物线2 2x 向右平移3个单位，再向下平移 5个单位, 得到的抛物线的表达式为 A. y 2(x 3)2 52 B. y 2(x 3) 5 C . y 2(x 3)2 5 D. y 2(x 3)2216已知抛物线C: y x 3x 10，将抛物线C平移得到抛物线C .若两条抛物线C、C关于直线x=1对称，则下列平移方法中，正确的是（）A.将抛物线C 向右平移5个单位B.将抛物线C 向右平移3个单位2C. 将抛物线C 向右平移5个单位D. 将抛物线C 向右平移6个单位17已知二次函数的图像过点（0, 3）,图像向左平移 2个单位后的对称轴是 y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 _____________________________ 。

例举与函数相关的几例几何图形问题

例举与函数相关的几例几何图形问题函数与几何图形问题呈现了完美的结合，函数与几何密不可分，其中复杂的问题可以通过分析函数与几何之间的联系来解决。

下面介绍几个常见的函数与几何图形问题。

一、抛物线：抛物线是一种二元二次函数，它的定义式为：y = ax² + bx + c，它有一个最典型的图形，类似于一个“U”字型，许多科学问题都可以使用该图来描述和解决，抛物线是应用非常广泛的几何图形。

二、双曲线：双曲线是一种三元一次函数，它的定义式为：y² = ax² + bx + c，双曲线通常由两个半双曲线组成，是几何图形当中比较复杂的一种，其在科学研究中发挥重要的作用。

三、圆形：圆形是一种二元一次函数，它的定义式为：(x-a)²+(y-b)²=r²,即圆心（a,b）与半径（r）的函数形式，圆形的函数表达式非常简单，其曲线在理论上可用无穷条线段来逼近，也是几何图形中最重要的图形之一。

四、椭圆：椭圆是一种三元二次函数，它的定义式为：(x-a)²/a²+(y-b)²/b²=1,椭圆是一种比较复杂的几何图形，它和圆形相差较大，它的定义比较复杂，其在科学研究中发挥重要的作用。

五、曲面：曲面是一种三维函数，它的定义式为：z = f(x, y)，它是一种比较复杂的几何图形，其表面结构可以有多种样式，例如凸曲面、凹曲面等，曲面是应用非常广泛的几何图形之一。

总之，函数与几何图形问题是一个十分重要的课题，它们俩结合可以解决许多复杂的科学问题，上述就是常见的几种函数与几何图形问题，它们在科学研究中是扮演着重要的角色。

初三旋转中的最值问题

初三旋转中的最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初三旋转中的最值问题是中学数学中的一个重要知识点，通常涉及到函数的最值求解和图形的旋转等内容。

在初三阶段，学生常常会遇到类似于“求解函数f(x)=x^2在区间[a,b]上的最大值”或“求解旋转体的体积最大值”等问题。

本文将重点介绍初三阶段学生在旋转中的最值问题中常见的几种情形，并给出详细的解题方法和实例。

一、函数的最值问题在数学中，函数f(x)在区间[a,b]上的最值通常包括最大值和最小值两种情况。

最大值是函数在该区间上取得的最大函数值，而最小值是函数在该区间上取得的最小函数值。

初三阶段学生通常会被要求求解给定函数在给定区间上的最值，其中最常见的情形是二次函数在闭区间上的最值问题。

以函数f(x)=x^2为例，求解其在区间[-1,1]上的最大值。

我们需要求出函数f(x)=x^2在该区间端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1。

然后，对函数f(x)=x^2求导得到f'(x)=2x，再令f'(x)=0解得驻点x=0。

比较端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1，得知函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的最大值为1。

对于初三阶段的学生来说，很多函数的最值问题可以通过几何意义进行解释。

函数f(x)=x^2表示一个抛物线，函数在单调递增区间上取得最小值，而在单调递减区间上取得最大值。

初三阶段学生可以通过画出函数图像或利用函数基本性质进行推断，帮助他们更好地理解函数的最值问题。

二、图形的旋转中的最值问题在初三阶段，学生通常会遇到圆的旋转体体积最值问题。

圆的旋转体是指将一个形状为圆的二维图形绕某一条轴旋转一周所形成的立体图形。

求解圆的旋转体体积最值问题就是要找出使得旋转体体积最大或最小的情形。

以一个直径为2r的圆的旋转体体积为例，求解其体积最大值。

我们知道圆的周长为2πr，将其围绕直径旋转一周即可得到一个球体的体积。

05函数中的图形平移、旋转、折叠问题及其解法

函数中的图形平移、旋转、折叠问题一、函数中的图形平移问题[例1]已知一条直线经过点A（0，4）、点B（2，0）（如图1），将这条直线向左平移与x轴负半轴，y 轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC。

求以直线CD为图象的函数解析式。

[例2]已知抛物线y=x2-2x-8,若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且它的顶点为P1）求t an∠PAB的值2）如果要使∠PAB=45需将抛物线向上平移几个单位？[例3]在直角坐标平面内，把过原点的直线l与双曲线：y=12x在第一象限的交点记作A，已知A点的横坐标为11）求直线l的函数解析式2）将直线l向上平移4个单位后，直线l与x轴，y轴分别交于B、C两点，求△BOC的面积。

[例4]如图3，边长为2的等边三角形OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，B 点位于第一象限。

将三角形OAB 绕点O 顺时针旋转30度后，点A 恰好落在双曲线y=xk (x>0)上。

1）求双曲线y=xk (x>0)的解析式；2）等边三角形OAB 继续按顺时针旋转多少度后，A 点再次落在双曲线上？[例5]如图4，圆O 的半径为1，圆心在坐标轴原点，点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（0，b ）（b>0）。

1）当b 为何值时，直线AB 与圆O 相离？相切？相交？ 2）当直线AB 与圆O 相切时，求直线AB 的解析式。

[例6]已知抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴相交于A （x 1,0）、B （x 2,0）（x 2>x 1）。

1）若点P （-1，2）在抛物线y=x 2-2x+m 上，求m 值。

2）若抛物线y=ax 2+bx+c 与抛物线y=x 2-2x+m 关于y 轴对称，点Q 1（-2，q 1）、Q 2（-3，q 2）都在抛物线y=ax 2+bx+c 上，比较q 1与q 2的大小。

[例7]如图6，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 本别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（5，0），点E 是BC 边上的一个点，如把矩形AOBC 沿AE 翻折后，C 点恰好落在x 轴上点F 处。

初中数学函数图像的变换规律与应用实例解析

初中数学函数图像的变换规律与应用实例解析函数图像的变换规律是数学中的重要概念，它描述了通过何种方式对函数的图像进行平移、伸缩和翻转等操作。

这些变换规律不仅有助于我们理解数学中的函数性质，还可以应用于解决实际问题。

本文将详细讨论数学函数图像的变换规律，并通过应用实例进行解析。

首先，我们来讨论函数图像的平移变换规律。

平移是指将函数图像沿水平或垂直方向移动一定距离。

对于一般函数y=f(x)，进行平移变换可以得到新函数y=f(x-a)+b。

其中a表示水平平移的距离，当a>0时向右平移，当a<0时向左平移；b表示垂直平移的距离，当b>0时向上平移，当b<0时向下平移。

例如，对于函数y=x^2，我们可以进行水平平移和垂直平移。

如果我们将函数向右平移2个单位，那么新函数可以表示为y=(x-2)^2。

同样地，如果我们将函数向上平移3个单位，那么新函数可以表示为y=x^2+3。

这些平移变换可以帮助我们研究函数的移动特性，并解决与平移相关的实际问题。

其次，我们探讨函数图像的伸缩变换规律。

伸缩是指通过乘以或除以一个常数来改变函数图像的高度或宽度。

对于一般函数y=f(x)，进行伸缩变换可以得到新函数y=a*f(bx)。

其中a表示垂直伸缩的倍数，当a>1时函数图像变高，当0<a<1时函数图像变矮；b表示水平伸缩的倍数，当b>1时函数图像变宽，当0<b<1时函数图像变窄。

例如，对于函数y=x^2，我们可以进行垂直伸缩和水平伸缩。

如果我们垂直伸缩这个函数的高度为原来的2倍，那么新函数可以表示为y=2x^2。

同样地，如果我们水平伸缩这个函数的宽度为原来的1/2倍，那么新函数可以表示为y=(1/2)x^2。

这些伸缩变换使我们能够研究函数图像的变化趋势，并解决与伸缩相关的实际问题。

此外，我们还需要了解函数图像的翻转变换规律。

翻转是指通过改变函数的正负号来改变图像的位置。

对于一般函数y=f(x)，进行翻转变换可以得到新函数y=-f(x)。

与函数相联系的图形旋转问题举例

与函数相联系的图形旋转问题举例图形的旋转是图形变换的重要内容之一,又是新课程标准明确的重要内容。

其有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文列举几道与函数相联系的图形旋转问题，来帮助学生进一步体会数形结合思想在解题中的应用。

一、与一次函数相联系的图形旋转问题A．三角形作旋转例1（06沈阳）．如图1-①，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4。

(1)求点C的坐标；(2)如图1-②，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A’CB’的位置，其中A’C交直线OA于点E，A’B’分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A’B’C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；(不再另外添加辅助线)(3)在(2)的基础上，将△A’CB’绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。

分析：（1）要求点C的坐标只需求出OC长即可；（2）根据旋转性质：旋转前后图形大小、形状不变可以获得其他3对全等三角形；（3）问题关键是“其中A’C交直线OA于点E”，所以“当△COE的面积为时”要注意多解。

解：（1）在中，，．点的坐标为．（2），，．（3）如图1-③，过点作于点．，．∵在中，，，．∵点的坐标为．直线的．同理，如图1-④所示，点的坐标为．设直线．例2（08金华）如图2，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，4），点B 在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.图2-①图2-②分析：（1）要求直线AB的解析式只需知道点A、点B的坐标即可，点A坐标已知，由已知△AOB是等边三角形、AO=AB过点B向坐标轴作垂线即可求出点B的坐标；（2）因为△ABD是由△AOP旋转而得到的，易证△ADP是等边三角形，所以DP的长即为AP的长；求点D坐标，一般可过点D作DH⊥x 轴于点H，但此题不易直接求得线段OH、DH的长，因而可过点B作BG⊥DH于点G，并反向延长BG交y 轴于点K.（3）由于点P是x轴上的一个动点设点P坐标为（t，0），所以分当t＞0、＜t≤0、t≤时三种情况讨论。

函数问题的旋转与变换

函数问题的旋转与变换
【探究拓展】
探究1：将函数3322-++-=x x y （[]2,0∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为 .
探究2：如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动.设顶点(,)P x y
的纵坐标与横坐标的函数关系式是()y f x =，记()f x 的最小正周期为
T . ()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的
面积记为S ，则S T ⋅=______．
解析：首先，当点B 运动到点B 1时，此时P 点在圆心角为120°的圆弧上运动，其圆心为(1,0),半径为1；其次，当点A 0运动到点A 1时，点P 运动到点P 2(3,0),其轨迹还是一段圆心角为120°的圆弧，圆心为(2,0),半径为1；故可知函数()y f x =的周期为3，其函数图像与x 轴所围区域的面积，那么3
32S T π⋅=
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

一次函数顺时针旋转45度后的关系

一、介绍一次函数是指一个含有未知数x的表达式f(x)=ax+b，其中a和b是常数且a不等于0。

在直角坐标系中，一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，截距为b。

本文将讨论一次函数顺时针旋转45度后与原始函数的关系，探讨旋转后函数的性质和图像变化。

二、顺时针旋转45度后的变换1. 将一次函数f(x)=ax+b顺时针旋转45度后，其新的表达式为g(x)=a'x+b'。

2. 顺时针旋转45度相当于对原始函数进行线性变换，变换后的函数的斜率和截距会发生变化。

三、斜率和截距的计算1. 原始函数f(x)=ax+b的斜率为a，截距为b。

2. 顺时针旋转45度后的函数g(x)=a'x+b'，其斜率和截距的计算公式如下：- 斜率的计算：a' = a + b- 截距的计算：b' = -a + b四、图像变化1. 一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度。

2. 顺时针旋转45度后，原始函数的图像将相应发生旋转，变成一条倾斜45度的直线。

五、举例说明举例来说明一次函数顺时针旋转45度后的关系：假设原始函数为f(x)=2x+1，则斜率a=2，截距b=1。

根据斜率和截距的计算公式：- 旋转后的斜率为a' = 2 + 1 = 3- 旋转后的截距为b' = -2 + 1 = -1顺时针旋转45度后的新函数为g(x)=3x-1。

六、结论通过以上讨论和举例说明，我们可以得出一次函数顺时针旋转45度后与原始函数的关系是：斜率和截距的变化可以通过计算公式得出，旋转后的函数图像相应旋转45度倾斜。

在实际问题中，顺时针旋转45度的线性变换可以帮助我们理解函数性质的变化，对于解决相关问题具有一定的指导意义。

七、延伸应用顺时针旋转45度后的一次函数在几何、物理、工程等领域具有一定的应用价值，通过对斜率和截距的变化进行分析，可以更好地理解和解决实际问题。

八、参考文献1. 高等数学教材2. 数学建模实践指南3. 线性代数及其应用以上就是关于一次函数顺时针旋转45度后的相关讨论，希望对您有所帮助。

部编数学八年级下册专题36一次函数中的旋转(解析版)含答案

专题36 一次函数中的旋转1．一次函数2y kx =+的图象绕着原点逆时针旋转90°后，经过点()1,3--，则k 的值为（）A ．13B ．13-C ．1-D ．12．若把一次函数y ＝kx +b 的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A (4，0)和点B (0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（）A ．y ＝﹣12x ﹣1B ．y ＝﹣12x +1C ．y ＝12x +1D ．y ＝12x ﹣13．把直线l：y=kx+b绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A（-2,0）和点B （0,4），则直线l的表达式是（）A．y=2x+2B．y=2x-2C．y=-2x+2D．y=-2x-2【答案】B【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．【详解】解：设直线AB的解析式为y＝mx＋n．∵A（−2，0），B（0，4），∴204m nn-+ìí=î＝204m nn-ìíî＋＝＝，解得24mn=ìí=î，∴直线AB的解析式为y＝2x＋4．将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y＝2（x−1）＋4，即y＝2x＋2，再将y＝2x＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y＝−2x＋2，即y＝2x−2，所以直线l的表达式是y＝2x−2．故选B．【点睛】本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣2，3），将OA顺时针旋转90°得到OB，则直线AB的解析式为_____．5．如图，点A （﹣1，m ）在直线y =2x +3上，连结OA ，∠AOB =90°，点B 在直线y =﹣x +b 上，OA =OB ，则b =________．【答案】2【分析】先把点A 坐标代入直线y =2x +3，得出m 的值，然后得出点B 的坐标，再代入直线y =-x +b 解答即可．【详解】解：把A （-1，m ）代入直线y =2x +3，可得：m =-2+3=1，因为∠AOB =90°，OA =OB ，所以线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，得线段OB ，所以点B 的坐标为（1，1），把点B 代入直线y =-x +b ，可得：1=-1+b ，∴b =2，故答案为：2．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，旋转中的坐标变换.关键是根据题意，利用旋转中的坐标变换规律求点的坐标．6．直线22y x =+绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的直线解析式为____________________．7．如图，在平面直角坐标系中，()30A ，，()01B ，，线段AC 由线段AB 绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC 所在直线的解析式是______．【答案】39y x =-##93y x=-+【分析】过点C 作CD x ^轴于点D ，易知()AAS ACD BAO ≌△△，从而求得点C 坐标，待定系数法即可求得直线AC 的解析式．【详解】解：∵()30A ，，()01B ，，∴31OA OB ==，，过点C 作CD x ^轴于点D ，则90AOB CDA Ð=Ð=°，∵90BAC Ð=°，∴90BAO ACD CAD Ð=Ð=°-Ð，∵BA AC =，∴()AAS ACD BAO ≌△△，∴1AD OB ==，3CD OA ==，∴()43C ，，设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，点C 坐标代入得：0334k b k b=+ìí=+î，解得：39k b =ìí=-î，∴直线AC 的解析式为39y x =-，故答案为：39y x =-．【点睛】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用全等三角形求得C 的坐标是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－2x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，将直线AB 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式为_______．【答案】34y x =+##y =4+3x【分析】先求出点A 、B 的坐标，过点A 作AF ⊥AB ，交直线BC 于点F ，过点F 作EF ⊥x 轴，垂足为E ，然后由全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出点F 的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案．【详解】解：∵一次函数y ＝－2x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，∴令0x =，则4y =；令0y =，则2x =，∴点A 为（2，0），点B 为（0，4），∴2OA =，4OB =；过点A 作AF ⊥AB ，交直线BC 于点F ，过点F 作EF ⊥x 轴，垂足为E ，如图，∴90AEF AOB Ð=Ð=°，∴90FAE BAE ABO BAE Ð+Ð=°=Ð+Ð，∴FAE ABO Ð=Ð，∵=45ABE Ð°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF =AB ，∴△ABO ≌△FAE （AAS ），∴AO =FE ，BO =AE ，∴2FE =，4AE =，∴422OE =-=，∴点F 的坐标为（2-，2-）；设直线BC 为y ax b =+，则224a b b -+=-ìí=î，解得：34a b =ìí=î，∴直线BC 的函数表达式为34y x =+；故答案为：34y x =+；【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数22y x =-的图像分别交,x y 轴于点A ，B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式为____________．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为______．∵∠CAD =45°，∴△CAD 是等腰直角三角形，∴AD =CD ，设OC m =在Rt △AOC 中，AO =∴2224AC AO OC =+=在等腰直角三角形ADC 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数21y x =-的图像分别交x ，y 轴于点A ，B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是_______．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数22y x =--的图像分别交x ，y 轴于点A ，B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是______．【答案】y =3x -2【分析】根据已知条件得到A （-1，0），B （0，-2），求得OA =1，OB =2，过A 作AF ⊥AB 交BC 于F ，过F 作FE ⊥x 轴于E ，得到AB =AF ，根据全等三角形的性质得到AE =OB =2，EF =OA =1，求得F （1，1），设直线BC 的函数表达式为：y =kx +b ，解方程组于是得到结论．【详解】解：∵一次函数y =-2x -2的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ，∴令x =0，得y =-2，令y =0，则x =-1，∴A （-1，0），B （0，-2），∴OA =1，OB =2，过A 作AF ⊥AB 交BC 于F ，过F 作FE ⊥x 轴于E ，∵∠ABC =45°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AB =AF ，∵∠OAB +∠ABO =∠OAB +∠EAF =90°，∴∠ABO =∠EAF ，在△ABO 和△FAE 中，ABO EAF AOB AEF AB AF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABO ≌△FAE （AAS ），∴AE =OB =2，EF =OA =1，∴F （1，1），设直线BC 的函数表达式为：y =kx +b ，∴12k b b +=ìí=-î，解得32k b =ìí=-î，∴直线BC 的函数表达式为：y =3x -2，故答案为：y =3x -2．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．如图，一次函数y x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ，则线段AC 长为______．由旋转的性质得：30ABC Ð=°122AD AB \==，2BD AB =设(0)OC m m =>，则AC OC =14．将直线y x =绕原点旋转90°，得直线l(1)画出直线l ；(2)求l 的解析式．【答案】(1)见解析(2)y x=-【分析】（1）如图，在y x =上取点()1,1,A 把A 绕原点顺时针旋转90°可得()1,1,B - 则直线OB 即为直线l ；（2）先确定直线l 是正比例函数，把()1,1B -代入直线l 的解析式，然后根据待定系数法求解即可．【详解】（1）解：如图，在y x =上取点()1,1,A 把A 绕原点顺时针旋转90°可得()1,1,B -再作直线OB ，则直线OB 为将直线y x =绕原点旋转90°的直线l ．（2）解：点O 绕原点O 顺时针旋转90°得到的点是它的本身，把()1,1B -代入解析式：∴1,k =-所以直线解析式是y x =-．【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换的知识，难度适中，掌握“点(),a b 绕原点顺时针旋转90°以后的点的坐标是(),b a -”是解本题的关键．15．（1）写出点(2,4)A -绕坐标原点逆时针旋转90°后所得对应点坐标是；（2）写出直线2y x =-绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式是；（3）求直线22y x =--绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式．【答案】（1）(4,2)--；（2）0.5y x =；（3）0.51y x =-【分析】（1）根据旋转的性质可直接得到旋转后的坐标；（2）根据点(2,4)A -是直线2y x =-上的一点，求出点(2,4)A -旋转后的点坐标，再根据待定系数法即可求得答案；（3）根据22y x =--过两点(1,0)-，(0,2)-，计算出点(1,0)-，(0,2)-旋转后的点坐标，再根据待定系数法求出函数的解析式．【详解】解：（1）如图所示，根据旋转的性质可得1B O BO =，1A O AO =，11AB A B =，∴点(2,4)A -绕坐标原点逆时针旋转90°后所得对应点坐标是(4,2)--；（2）∵点(2,4)A -是直线2y x =-上的一点，绕坐标原点逆时针旋转90°后所得对应点坐标是(4,2)--，设直线2y x =-绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式为y kx =，将点(4,2)--代入，得()24k -=´-，得0.5k =，（3）∵直线22y x =--上过两点(1,0)-，(0,2)-，将其绕坐标原点逆时针旋转90°，得到对应点的坐标为(0,1)-，(2,0)，设过这两点的直线解析式为y kx b =+，则120b k b =-ìí+=î，解得0.51k b =ìí=-î ，∴旋转后的直线解析式为：0.51y x =-．【点睛】本题考查一次函数的解析式，解题的关键是根据题意得到直线上的点，再通过待定系数法求出解析式．16．规定：在平面直角坐标系内，某直线1l 绕原点O 顺时针旋转90°，得到的直线2l 称为1l 的“旋转垂线”．(1)求出直线2y x =-+的“旋转垂线”的解析式；(2)若直线1110()y k x k =+¹的“旋转垂线”为直线2y k x b =+．求证：121k k ×=-．17．（1）点(1,2)绕坐标原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（2）直线22y x =-绕坐标原点逆时针旋转90°得到的直线解析式是（3）求直线2y x =+关于原点对称的直线的解析式．由AOC OBD D @D 可得，DO =\点B 的坐标为(2,1)-，故答案为：(2,1)-；（2）如图，当0x =时，=2y -；当0y =时，2x =∴直线22y x =-与坐标轴交于绕坐标原点逆时针旋转90°后分别得到设CD 解析式为y kx b =+，则当0x =时，2y =；当0y =时，2x =-∴直线2y x =+与坐标轴交于(0,2)A ，(2,0)B -，关于原点对称的点分别为(0,2)C -，(2,0)D ，设CD 解析式为y kx b =+，则202b k b-=ìí=+î，解得12k b =ìí=-î，\直线CD 解析式为2y x =-．【点睛】本题考查了坐标系中点的旋转，直线的旋转问题，解题的关键是需要结合图形，根据点的旋转规律找直线旋转的解析式．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2）．(1)求直线AB 的表达式；(2)将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°后，点A 落到点C 处，点B 落到点D 处，线段AB 上横坐标为34的点E 在线段CD 上对应点为点F ，求点F 的坐标．19．在平面直角坐标系中，直线l ：443y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B 将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到A OB ¢¢△ ．(1)求直线A B ¢¢的解析式；(2)若直线A B ¢¢与直线l 相交于点C ，求A BC ¢△的面积．20．（1）如图1，等腰直角三角形ABC 的直角顶点在直线l 上．过点A 作AD l ^交于点D ，过点B 作BE l ^交于点E ，求证：ADC CEB @V V ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线124l y x =+：分别与y 轴，x 轴交于点A ，B ，将直线1l 绕点A 顺时针旋转45°得到2l ，求2l 的函数表达式；（3）如图3，在平面直角坐标系，点()6,4B ，过点B 作AB y ^交于点A ，过点B 作BC x ^交于点C ， P 为线段BC 上的一个动点，点(),24Q a a -位于第一象限．问点,,A P Q 能否构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a 的值；若不能，请说明理由．【详解】解：（1）由题意可知AC CB =， 90ADC CEB Ð=Ð=°ABC Q V 为等腰直角三角形90ACB \Ð=°∴90ACD BCE Ð+Ð=°90ACD CAD Ð+Ð=°Q ，CAD BCE \Ð=Ð在ADC CEB 和V V 中90CAD BCE ADC CEB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=îADCCEB \@V V ()AAS ．（2）由题意意可知点A 坐标为()04，，点B 坐标为()20-，过点B 作1BC l ^交2l 于点C ，过点C 作CE x ^轴交x 轴于点E ，由（1）的证明可知BEC AOB @V V24CE BO BE AO \====，\点C 坐标为()62-，设2l y kx b=+：2l Q 过点()()0462A C -，，，\ 426b k b =ìí=-+î，解得 134k b ì=ïíï=î，2143l y x \=+：．（3）如图：作线段AP 的中垂线记为3l ，由等腰三角形的性质可知，若点Q 存在，则一定在3l 上．①当点Q 在AB 下方时过点Q 作EF y ^轴交于点E ，则EF BC ^交于点F ，由（2）的证明不难得出，AEQ QFPV V ≌AE QF \=，即()4246a a --=-解得2a =，则点()20Q ，与点Q 位于第一象限相矛盾，故2a =舍去②当点Q 在AB 上方时过点Q 分别作MN y ^轴交于点M ，则MN CB ^的延长线交于点N ，由（2）的证明不难得出，QMA PNQV V ≌MA NQ \=，即()2446a a --=- 解得143a =，则点141633Q æöç÷èø，符合题意．综上，143a =．【点睛】本题主要考查了一次函数综合题、全等三角形的判定、全等三角形的性质、用待定系数法求函数解析式等知识点，利用全等三角形的性质得出关于a 的方程是解题关键．21．在平面直角坐标系中，一次函数21y x =-的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）若将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转45°，请直接写出此时直线BC 的函数表达式．∵=45ABC Ð°，90BAD Ð=°【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．22．如图，一次函数2y x b =+的图像经过点(1,3)M ，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点．（1）填空：b = ；（2）将该直线绕点A 顺时针旋转45o 至直线l ，过点B 作BC AB ^交直线l 于点C ，求点C 的坐标及直线l 的函数表达式．∵∠BDC=90°，∴∠CBD+∠BCD=∠CBD+∠ABD=90°∴∠BCD=∠ABD，同理，∠CBD=∠BAO，23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．(1)点A坐标是（，）、点B坐标是（，）；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．∵=45ABC Ð°，∴ABF △是等腰直角三角形，∴AB AF =．∵OAB ABO OAB EAF Ð+Ð=Ð+Ð∴BM CN ∥，BC CN =．∵直线BM 为21y x =-，∴设直线CN 的函数表达式为2y x =∵直线BC 的函数表达式为：13y x =∴30C （，），∴60c +=，解得6c =-，∴BC CM =，设21M m m -（，）．∵BC CM =，01B -（，），∴22BC CM =，∴222213321m m +=-+-（）（），解得2m =或0（不合题意，舍去）24．如图，一次函数y x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ，则线段AC 长为（）A B ．C ．2D【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．。

函数旋转公式

函数旋转公式函数旋转是数学中一个挺有趣但也有点复杂的概念。

咱先来说说啥是函数旋转。

想象一下，你在纸上画了一个函数图像，比如说一个简单的抛物线y = x²。

然后呢，你就像转风车一样把这个图像绕着一个点转了一定的角度，这一转之后得到的新图像对应的函数表达式，那就是原来函数旋转后的结果。

函数旋转公式呢，其实就是用来帮我们算出这个新的函数表达式的工具。

这里面涉及到不少的数学知识，像三角函数啦，坐标变换啦等等。

我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生叫小李，他那迷茫的小眼神儿，至今我都忘不了。

当时我在黑板上一步一步地推导函数旋转公式，一边写一边解释。

可小李呢，皱着眉头，一脸困惑。

我走过去问他：“咋啦，小李，没听懂？”他点点头，小声说：“老师，这也太难了，感觉脑子都转不过来了。

”我笑着对他说：“别着急，咱们慢慢来。

”于是，我又重新从最基础的概念开始，给他举例子，做比喻。

比如说，我们先看一个简单的点 (x, y) 绕原点逆时针旋转θ 角度后的新坐标 (x', y') 。

这时候就要用到三角函数啦，x' = x * cosθ - y * sinθ ，y' = x * sinθ + y * cosθ 。

然后再把这个思路扩展到函数上。

假设我们有个函数 y = f(x) ，要把它绕原点逆时针旋转θ 角度。

那我们就先找这个函数上的任意一点(x, f(x)) ，按照刚刚的坐标变换公式得到旋转后的点 (x', y') 。

这时候，我们要把 x' 用 x 表示出来，y' 用 y 表示出来，然后把得到的新的关系式 y' = f(x') 整理一下，就是旋转后的函数表达式啦。

小李听我这么一解释，好像有点开窍了，眼睛里也有了点儿光亮。

他自己拿起笔，在本子上试着推导了一下。

虽然中间还是出了点儿小错，但在我的提示下，最终还是搞明白了。

函数旋转公式在解决很多实际问题的时候都特别有用。

函数绕点旋转90度

函数绕点旋转90度（原创实用版）目录1.函数的基本概念2.函数绕点旋转 90 度的原理3.函数绕点旋转 90 度的具体操作方法4.函数绕点旋转 90 度的应用示例5.总结正文一、函数的基本概念在数学中，函数是一种将一个数集中的元素映射到另一个数集中的规则。

通常表示为一个数的集合（自变量）与另一个数的集合（因变量）之间的对应关系。

例如，我们熟悉的 f(x)=2x+1 就是一个一次函数。

二、函数绕点旋转 90 度的原理函数绕点旋转 90 度，是指将一个函数在某个点附近进行旋转，使其变为一个新的函数。

这个过程实际上是函数图像的变换，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

三、函数绕点旋转 90 度的具体操作方法要实现函数绕点旋转 90 度，可以采用以下步骤：1.确定旋转中心：首先需要确定旋转的中心点，即绕哪个点进行旋转。

通常情况下，这个点是函数图像上的一个关键点，如顶点、交点等。

2.计算旋转矩阵：根据旋转中心和旋转角度（90 度），可以计算出一个旋转矩阵。

这个矩阵描述了函数图像上每个点在旋转后的位置。

3.对函数进行变换：将原函数的每个点坐标 (x, y) 与旋转矩阵相乘，得到旋转后的点坐标 (x", y")。

这样就得到了旋转 90 度后的新函数。

四、函数绕点旋转 90 度的应用示例假设有一个函数 f(x)=x^2-4x+4，其图像是一个开口朝上的抛物线。

现在我们要将这个函数绕顶点 (2, 0) 旋转 90 度，可以按照以下步骤进行：1.确定旋转中心：顶点 (2, 0) 就是旋转中心。

2.计算旋转矩阵：由于要旋转 90 度，旋转矩阵为：| -1 0 || 0 -1 |3.对函数进行变换：将原函数的每个点坐标 (x, y) 与旋转矩阵相乘，得到旋转后的点坐标 (x", y")。

例如，对于点 (1, 1)，有：| -1 0 | | 1 0 || 0 -1 | = | x" y" |解得：x" = 1, y" = -1。

函数图像的变换规律

函数图像的变换规律在数学的世界里，函数图像就像是一个个神秘的地图，它们以独特的线条和形状展示着数学的规律和魅力。

而函数图像的变换规律，则是我们解读这些地图的关键密码。

首先，让我们来聊聊平移变换。

想象一下，一个函数图像就像是一个可以在坐标平面上自由移动的图案。

当我们对函数图像进行水平平移时，比如将函数 y ＝ f(x) 向左平移 h 个单位，就得到了 y ＝ f(x ＋ h) 的图像。

这就好像整个图案沿着 x 轴向左滑动了 h 个单位。

相反，如果是向右平移 h 个单位，那么就变成了 y ＝ f(x h) 。

垂直平移也有着类似的规律。

将函数 y ＝ f(x) 向上平移 k 个单位，就得到了 y ＝ f(x) ＋ k 的图像，整个图案像是沿着 y 轴向上爬升了 k 个单位。

要是向下平移 k 个单位，那就是 y ＝ f(x) k 。

接下来，是伸缩变换。

伸缩变换就像是给函数图像进行了“拉伸”或者“压缩”。

对于函数 y ＝ f(x) ，当我们将 x 轴方向上的图像进行伸缩时，如果是横坐标变为原来的 1/a 倍（a ＞ 0），那么函数就变成了 y ＝ f(ax) 。

这时候，图像在 x 轴方向上被压缩了，如果 a ＞ 1 ；而当 0 ＜ a ＜ 1 时，图像则在 x 轴方向上被拉伸了。

在 y 轴方向上的伸缩变换也很有趣。

如果将函数 y ＝ f(x) 的纵坐标变为原来的 b 倍（b ＞ 0），函数就变成了 y ＝ bf(x) 。

当 b ＞ 1 时，图像在 y 轴方向上被拉伸；当 0 ＜ b ＜ 1 时，图像在 y 轴方向上被压缩。

再说说对称变换。

函数图像关于 x 轴对称时，原来的函数 y ＝ f(x)就变成了 y ＝ f(x) 。

图像关于 y 轴对称时，函数变成了 y ＝ f(x) 。

而关于原点对称的变换，则是将函数从 y ＝ f(x) 变为 y ＝ f(x) 。

反射变换也是一种常见的操作。

比如，将函数 y ＝ f(x) 在 y 轴右侧的图像保留，左侧的图像去掉，然后将右侧的图像沿y 轴翻折到左侧，就得到了 y ＝ f(｜x|）的图像。

函数绕点旋转90度

函数绕点旋转90度摘要：1.函数绕点旋转90 度的概念和背景2.旋转矩阵的推导和理解3.函数绕点旋转90 度的实现方法4.实例演示及结果分析正文：1.函数绕点旋转90 度的概念和背景在计算机图形学、机器视觉和空间几何等领域，常常需要对图形、图像或者空间中的点云进行旋转操作。

旋转操作有多种方式，如绕原点旋转、绕某一点旋转等。

其中，绕点旋转90 度是一种常见的操作，尤其在处理坐标系转换问题时非常有用。

2.旋转矩阵的推导和理解要实现函数绕点旋转90 度，首先需要了解旋转矩阵的概念。

设点P(x, y, z) 绕原点O(0, 0, 0) 逆时针旋转θ角，旋转矩阵R 可以表示为：R = [cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1]对于绕点(a, b, c) 旋转θ角，可以通过平移和旋转矩阵的乘法实现：R" = [cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1][a, b, c]3.函数绕点旋转90 度的实现方法要实现函数绕点旋转90 度，可以采用以下步骤：(1) 提取旋转中心和旋转角度。

(2) 根据旋转中心，将待旋转的点云或图像平移到以旋转中心为中心的坐标系。

(3) 对平移后的点云或图像应用旋转矩阵。

(4) 将旋转后的点云或图像再平移回到原始坐标系。

4.实例演示及结果分析假设有一个点云P = {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}，需要绕点(2, 3, 4) 逆时针旋转90 度。

具体操作如下：(1) 提取旋转中心和旋转角度：旋转中心为(2, 3, 4)，旋转角度为90 度。

(2) 平移点云：对每个点减去旋转中心，得到平移后的点云P" = {(1-2, 2-3, 3-4), (4-2, 5-3, 6-4), (7-2, 8-3, 9-4)}。

(3) 应用旋转矩阵：对P"中的每个点乘以旋转矩阵R"，得到旋转后的点云P""。

初中数学函数与几何图形变换问题-旋转变换

初中数学函数与几何图形变换问题旋转变换目录一、中考要求：二、知识讲解：三、解旋转问题的主要的角度：全等。

四、例题讲解（一）基础性问题。

（二）几何中的旋转问题。

（三）与函数结合的图形旋转问题。

一、中考要求：（1）通过具体事例认识图形的旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角相等的性质。

会识别中心对称图形。

（2）能够按照要求作出简单平面图形旋转后的图形；能依据旋转后的图形指出旋转中心和角度。

（3）能够运用旋转知识解决简单的计算问题；运用旋转知识进行图案设计；与其它变换共同解决实际问题。

并且能够运用旋转的性质解决有关的几何综合问题，（4）能够在理解、掌握旋转性质的基础上解决函数背景中的旋转变换问题。

二、知识讲解：（1）旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度为旋转角。

注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心。

（2）旋转三要素：（旋转中心、旋转的角度和方向）（3）旋转性质：图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；对应点到旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；（4）简单图形的旋转作图：确定旋转中心；确定图形中的关键点；将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；连结各点，得到原图形旋转后的图形。

（5）旋转对称图形：一个平面图形绕着某一个定点旋转一定角度（小于周角）后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。

（6）中心对称图形。

三、解旋转问题的主要的角度：全等。

（一般情况下需要构造，构造的方式有两种，一个是原图形的内部构造；一个是在原图形的外部构造）四、例题讲解（一）基础性问题。

主要是中心对称图形的性质的考查；利用三要素作图等。

例题略。

练习：1、如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB可以绕O上下转动.当A端落地时，∠OAC=20度，横板可以上下转动的最大角度是（）2、在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的五种图形中，既是轴对称，又是中心对称图形的是。

三角函数的像对称与旋转分析

三角函数的像对称与旋转分析在数学中，三角函数是重要的概念之一，它们在几何图形的研究、物理学、工程学以及其他学科中具有广泛的应用。

在本文中，我们将探讨三角函数的像对称和旋转分析，以及它们在实际问题中的应用。

一、三角函数的像对称像对称是指函数的图像相对于某个坐标轴或者某一点呈现镜像对称。

对于三角函数而言，它们在单位圆上的图像是关键。

对于正弦函数和余弦函数，它们在单位圆上的图像在y轴上是关于原点对称的。

即当角度为θ时，正弦函数在单位圆上的点的纵坐标为sin(θ)，而余弦函数在单位圆上的点的纵坐标为cos(θ)。

当角度为-θ时，正弦函数和余弦函数在单位圆上的点的纵坐标分别为-sin(θ)和cos(θ)。

因此，可以得出正弦函数和余弦函数的像对称关系为：sin(-θ) = -sin(θ)和cos(-θ) = cos(θ)。

对于正切函数和余切函数，它们在单位圆上的图像在x轴上是关于原点对称的。

即当角度为θ时，正切函数在单位圆上的点的横坐标为tan(θ)，而余切函数在单位圆上的点的横坐标为cot(θ)。

当角度为-θ时，正切函数和余切函数在单位圆上的点的横坐标分别为-tan(θ)和cot(θ)。

因此，可以得出正切函数和余切函数的像对称关系为：tan(-θ) = -tan(θ)和cot(-θ) = -cot(θ)。

除了在单位圆上的图像，三角函数的像对称还可以在函数图像上进行观察和分析。

利用三角函数的周期性，可以得出一些像对称的特性。

例如，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，因此在一个周期内，它们的图像是关于y轴对称的。

而正切函数和余切函数的周期是π，因此在一个周期内，它们的图像是关于x轴对称的。

二、三角函数的旋转分析旋转分析是指函数图像在坐标平面上进行旋转造成的变化。

对于三角函数而言，它们的旋转分析可以通过改变函数的角度来实现。

以正弦函数为例，当角度为θ时，它的图像在坐标平面上按逆时针方向旋转θ角度。

这样，正弦函数的图像所在的位置就发生了变化，但其性质和特点并未改变。

一次函数解析式的确定——直线的旋转

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一次函数解析式的确定——直线的旋转
例1、（1）直线y=x绕点O顺时针旋转90°后，求旋转后的直线解析式。

（2）直线y=3x绕点O逆时针旋转90°后，求旋转后的直线解析式。

例2、已知：直线y=x+2与x轴交于点A。

（1）直线y=x+2绕点O逆时针旋转90°后，
（2）此直线绕点A顺时针旋转15°，求旋转后的直线解析式。

（3）此直线绕点A逆时针旋转15°，求旋转后的直线解析式。

课堂练习：
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1、直线y=2x-1绕点O 逆时针旋转90°后，求旋转后的直线解析式。

2、直线33
3-y +=与x 轴交于点P 。

（1）此直线绕点P 顺时针旋转15°，求旋转后的直线解析式。

（2）此直线绕点P 顺时针旋转30°，求旋转后的直线解析式。

作业：
1、直线x 2
1y -=绕点O 顺时针旋转90°后，求旋转后的直线解析式。

2、直线y=-2x+1绕点O 逆时针旋转90°后，求旋转后的直线解析式。

3、直线323+=
x y 与x 轴交于点M ， ①此直线绕点M 顺时针旋转15°，求旋转后的直线解析式。

②此直线绕点M 顺时针旋转30°，求旋转后的直线解析式。

4、直线y=-x-2与x 轴交于点A ，此直线绕点A 逆时针旋转15°，求旋转后的直线解析式。