高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案6-3

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高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案1-2

第1章第2节一、选择题1．原命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：BA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件答案：A解析：若0<a (14)b 成立；反之，若(14)a >(14)b ，只需a 0有解”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件∴n 的取值范围只要包含在(－2,2)内即可，故选D.二、填空题7．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①AB ⇔对任意x ∈A ，有x ∈B ； ②A B ⇔A ∩B ＝∅；③A B⇔A⊉B；④A⊆B⇔任意x∈A，使得x∈B，其中真命题的序号是________．答案：④解析：①错误．对②A B但A、B可能有公共元素，故②错．对③A不是B的子集，但可能B是A的子集．对④由A⊆B得，A中的元素均在B中，故④正确．(x2＋x－5)<0，则綈p是綈q的________(填充8．已知命题p：|2x－3|>1，命题q：log12p对于④，∵A∩B＝A，∴A⊆B，∁U B⊆∁U A，反之也成立．三、解答题10．若m≤0或n≤0，则m＋n≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判定它们的真假．解：逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题．否命题：若m >0且n >0，则m ＋n >0，真命题．逆否命题：若m ＋n >0，则m >0且n >0，假命题．11．已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0.命题q ：1－m ≤x ≤1＋m .若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由题意知p ：－2≤x ≤10，。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案6-7

第6章第7节一、选择题1. 证明1＋12＋13＋14＋…＋12n <n ＋1(n >1)，当n ＝2时，左边式子等于( ) A. 1B. 1＋12C. 1＋12＋13D. 1＋12＋13＋14 答案：D解析：当n ＝2时，左边的式子为1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14. 2．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案：C3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案：D解析：∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案：A 解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．5. (2010·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立答案：D解析：A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数．6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，则猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1答案：B解析：由S n ＝n 2a n 知，S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1，所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，所以a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，所以a n ＋1＝n n ＋2a n(n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，所以a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 二、填空题7．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的所有正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________．答案：5解析：当n ＝1时，2>2不成立；当n ＝2时，4>5不成立；当n ＝3时，8>10不成立；当n ＝4时，16>17不成立；当n ＝5时，32>26成立；当n ＝6时，64>37成立，由此猜测n 0应取5.8. (2010·淮南调研)若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.9．如下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，则第n 个图中所含化学键的个数为________．答案：5n ＋1解析：每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n 个结构简图有(5n ＋1)个化学键．可用数学归纳法验证该结论是否正确．三、解答题10．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，∴左≥右，即命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1. 那么当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，只要证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3. ∵3(k ＋1)2k ＋3－3k 2k ＋1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1]＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)<0， ∴3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)、(2)知，不等式对一切n ∈N *均成立．11. (2010·开封调研)在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4与b 2，b 3，b 4的值，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．解：由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a n ＋12＝b n b n ＋1.又a 1＝2，b 1＝4，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25，猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝2，b 1＝4，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a k ＋12b k＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2， ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．12．设函数f (x )＝x －x ln x ，数列{a n }满足0<a 1<1，a n ＋1＝f (a n )．(1)证明：函数f (x )的区间(0,1)是增函数；(2)证明：a n <a n ＋1<1.证明：(1)f (x )＝x －x ln x ，f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0.故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数；(2)(数学归纳法)①当n ＝1时，0<a 1<1，a 1ln a 1<0，a 2＝f (a 1)＝a 1－a 1ln a 1>a 1，由函数f (x )在区间(0,1)是增函数，且函数f (x )在x ＝1处连续，则f (x )在区间(0,1]是增函数，a 2＝f (a 1)＝a 1－a 1ln a 1<1，即a 1<a 2<1成立．②假设当x ＝k (k ∈N *)时，a k <a k ＋1<1成立，即0<a 1≤a k <a k ＋1<1，那么当n ＝k ＋1时，由f (x )在区间(0,1]是增函数，0<a 1≤a k <a k ＋1<1，得f (a k )<f (a k ＋1)<f (1)．而a n ＋1＝f (a n )，则a k ＋1＝f (a k )，a k ＋2＝f (a k ＋1)，a k ＋1<a k ＋2<1，也就是说当n ＝k ＋1时，a n <a n ＋1<1也成立；根据①②可得对任意的正整数n ，a n <a n ＋1<1恒成立．。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案10-1

第10章第1节一、选择题1．从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是( )A ．10B ．15C ．20D ．25答案：D解析：当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5＝25(种)．2．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A ．16种B ．18种C ．37种D ．48种答案：C解析：自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37(种)．3．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案：D解析：当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.当公比为32时，等比数列可为4、6、9. 同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．4．如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数共有( )A ．240个B ．285个C ．231个D ．243个答案：A解析：当十位数字是9时，百位数字有8种取法，个位数字有9种取法，此时取法种数为8×9；当十位数字是8时，百位数字有7种取法，个位数字有8种取法，此时取法种数为7×8，依此类推，直到当十位数字是2时，百位数字有1种取法，个位数字有2种取法，此时取法种数为1×2，所以总的个数为1×2＋2×3＋3×4＋…＋8×9＝240.5．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要() A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元答案：D解析：从01至10的三个连号的个数有8种；从11至20的两个连号的个数有9种；从21至30的单选号的个数有10种，从31至36的单选号的个数有6种，故总的选法有8×9×10×6＝4320种，可得需要钱数为8640元．6．已知I＝{1,2,3}，A、B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A、B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对答案：D解析：依题意，当A、B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A、B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.二、填空题7．五名旅客在三家旅店投宿的方法有________种．答案：243解析：完成这件事，可分成五个步骤：第一步安排一名旅客，有3种投宿方法，同理第二步，第三步，第四步，第五步都各自有3种方法，根据分步计数原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)．8．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有________个．答案：32解析：和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与7,5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两个数，即子集中的元素取自5个组中的一个数．而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2＝25＝32.9．如右图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种．答案：30解析：由列举法知，当A染为红色时，共有10种染色方法，同理可得，当A染为黄色或绿色时，也分别有10种染色方法，故共有30种染色方法．三、解答题10．设x ，y ∈N *，直角坐标平面中的点为P (x ，y )．(1)若x ＋y ≤6，这样的P 点有多少个？(2)若1≤x ≤4,1≤y ≤5，这样的P 点又有多少？解：(1)当x ＝1、2、3、4、5时，y 值依次有5、4、3、2、1个，不同P 点共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．(2)x 有1、2、3、4这4个不同值，而y 有1、2、3、4、5这5个不同值，共有不同P 点4×5＝20(个)．11．从{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？解：抛物线经过原点，得c ＝0，当顶点在第一象限时，a <0，－b 2a>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b >0，则有3×4＝12(种)；当顶点在第三象限时，a >0，－b 2a<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >0，则有4×3＝12(种)；共计有12＋12＝24(种)．12．甲、乙、丙、丁四人传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由拿球者再传给其他三人中任一人，这样共传了4次，求第4次仍传回到甲的方法共有多少种？解：第一步甲传给其余三人共有3种方法；第二步由持球者再传给其他三人可分两类：第一类由持球者传给甲，此时第三步由甲传给其他三人，有3种方法；第四步由持球者再传给甲；第二类由持球者传给甲以外的另两人有两种方法，此时第三步由持球者传给甲以外的另两人(因为第三步不能传给甲，否则第四步不能传给甲)，有两种方法；第四步由持球者传给甲，故共有传球方法3×(1×3×1＋2×2×1)＝21种．。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案5-2

第5章第2节一、选择题1. 一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b等于( ) A. 14B. 12C. 13D. 23 答案：C解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x ＝x ＋b 2b ＝x ＋2x ，所以b ＝3x 2，a ＝x 2，于是有a b ＝13. 2. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝( ) A. 0B. 12C. 23D. 2 答案：B解析：由已知可得1a 3＋1＝13，1a 7＋1＝12是等差数列{1a n ＋1}的第3项和第7项，其公差d ＝12－137－3＝124，由此可得1a 11＋1＝1a 7＋1＋(11－7)d ＝12＋4×124＝23，解之得a 11＝12，故选B. 3. 设数列{a n }是等差数列，且a 4＝－4，a 9＝4，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则( )A. S 5<S 6B. S 5＝S 6C. S 7＝S 5D. S 7＝S 6 答案：C解析：因为a 4＝－4，a 9＝4，所以a 4＋a 9＝0，即a 6＋a 7＝0, 所以S 7＝S 5＋a 6＋a 7＝S 5.故选C.4. (2010·山东一模)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＋a 9＝π4，则tan(a 4＋a 6)等于( ) A. 3B. －1C. 1D. 33答案：D解析：由a 1＋a 5＋a 9＝π4，得a 5＝π12，∴tan(a 4＋a 6)＝tan2a 5＝tan π6＝33. 5. (2010·宁夏一模)等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1,2,3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时，a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A. S 17B. S 18C. S 15D. S 14答案：C解析：由a 5＋a 8＋a 11＝3a 1＋21d ＝3(a 1＋7d )＝3a 8是定值，可知a 8是定值，所以S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8是定值． 6. (2010·海南统考)已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( )A. －2或－3B. 2或3C. －2D. －3 答案：A解析：2a 5＝a 2＋a 8＝12，得a 5＝6，由S 15＝m 得a 8＝m 15. 又因为a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的根，解之得m ＝0，或m ＝－45，则a 8＝0或－3.由3d ＝a 8－a 5得d ＝－2或－3.二、填空题7. (2010·浙江一模)设等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n ，S 5＝15，则S 10＝________. 答案：55解析：由公差d ＝1，S 5＝5a 1＋10d ＝15，得a 1＝1.S 10＝10a 1＋45d ＝10＋45＝55.8. (2010·山东检测)已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率是________．答案：4解析：由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝55，得a 3＝11. 于是，过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率k ＝a 4－a 34－3＝15－11＝4. 9. 已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n －1(n ∈N *)，且{a n ＋λ2n }为等差数列，则λ的值是________．答案：－1解析：由a n ＋1＝2a n ＋2n －1，可得a n ＋12n 1＝a n 2n ＋12－12n 1，则a n ＋1＋λ2n ＋1－a n ＋λ2n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n －λ2n ＋1＝12－12n ＋1－λ2n ＋1＝12－λ＋12n ＋1，当λ的值是－1时，数列{a n －12n }是公差为12的等差数列．三、解答题10. (2010·浙江一模)数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2＝a n (S n －1)．(1)证明数列{1S n}是等差数列； (2)设b n ＝log 2S n S n ＋2，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥6的最小正整数n . (1)证明：∵S n 2＝a n (S n －1)，∴S n 2＝(S n －S n －1)(S n －1)(n ≥2)．∴S n S n －1＝S n －1－S n ，即1S n －1S n －1＝1. ∴{1S n}是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解：由(1)知S n ＝1n ，∴b n ＝log 2n ＋2n. ∴T n ＝log 2(31×42×53×64×…×n ＋2n) ＝log 2(n ＋1)(n ＋2)2≥6. ∴(n ＋2)(n ＋1)≥128.∵n ∈N *，∴n ≥10.∴满足T n ≥6的最小正整数为10.11. 在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列{1a n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2. (3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立．整理得λ≤(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)，令c n ＝(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)， c n ＋1－c n ＝(3n ＋4)(3n ＋1)3n －(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1). 因为n ≥2，所以c n ＋1－c n >0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝283. 所以λ的取值范围为(－∞，283]． 12. (2010·江苏卷)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)；(2)设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k .不等式S m ＋S n >cS k 都成立，求证：c 的最大值为92. 解：(1)由题设知，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d ，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝2d a 1－3d 2＋2d 2n .由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2d a 1＋d 2)＝a 1＋2d a 1＋3d 2，解得a 1＝d .故当n ≥2时，a n ＝2nd 2－d 2.又a 1＝d 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)d 2.(2)由a 1＝d 及S n ＝a 1＋(n －1)d ，得d >0，S n ＝d 2n 2.于是，对满足题设的m ，n ，k ，m ≠n .有S m ＋S n ＝(m 2＋n 2)d 2>(m ＋n )22d 2＝92d 2k 2＝92S k . 所以c 的最大值c max ≥92. 另一方面，任取实数a >92.设k 为偶数，令m ＝32k ＋1，n ＝32k －1，则m ，n ，k 符合条件，且S m ＋S n ＝d 2(m 2＋n 2)＝d 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32k ＋12＋⎝⎛⎭⎫32k －12 ＝12d 2(9k 2＋4)．于是，只要9k 2＋4<2ak 2，即当k >22a －9时， S m ＋S n <12d 2·2ak 2＝aS k . 所以满足条件的c ≤92，从而c max ≤92. 因此c 的最大值为92.。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案3-3

第3章第3节一、选择题1. 函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[0,3]D ．[－3,0]答案：B解析：当0≤sin x ≤1时，y ＝sin x －2sin x ＝－sin x ，此时y ∈[－1,0]；当－1≤sin x <0时，y ＝－sin x －2sin x ＝－3sin x ，此时y ∈(0,3]，求其并集得y ∈[－1,3]．2. 函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4答案：A解析：由题意知T ＝π4，由πω＝π4得ω＝4， ∴f (x )＝tan4x ， ∴f (π4)＝tan π＝0.3. 设函数f (x )＝cos(2x －π)，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数答案：B解析：f (x )＝cos(2x －π)＝－cos2x ，可知它是最小正周期为π的偶函数． 4. (2010·山东济南)函数f (x )＝tan x ＋1tan x ，x ∈{x |－π2<x <0或0<x <π2}的图象为( )答案：A解析：∵f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－f (x )，∴函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除B 、C. 当0<x <π2时，f (x )>0，排除D.5. (2010·朝阳区一模)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(x 2＋π3)C ．y ＝sin(2x －π3)D ．y ＝sin(2x －π6)答案：D解析：由最小正周期为π，可知ω＝2ππ＝2.对于y ＝sin(2x －π6)，当x ＝π3时，y ＝sin(2×π3－π6)＝1，可知直线x ＝π3是其一条对称轴．6. (2010·潍坊一模)已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π2)，则下列结论中不正确的是( )A ．函数y ＝f (x )·g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为12C ．函数y ＝f (x )·g (x )的图象关于点(π4，0)成中心对称D ．将函数f (x )的图象向右平移π2个单位后得到函数g (x )的图象答案：C解析：y ＝f (x )·g (x )＝sin(x ＋π2)cos(x －π2)＝cos x sin x ＝12sin2x ，∵y ＝12sin(2×π4)＝12，∴该函数图象不关于点(π4，0)成中心对称．二、填空题 7. 函数y ＝lgsin x ＋cos x －12的定义域为________．答案：{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }解析：(1)要使函数有意义必须有 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2kπ<x <π＋2kπ－π3＋2kπ≤x ≤π3＋2kπ(k ∈Z )， ∴2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }．8. 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．答案：32解析：由题意知T 4≤π3，T ＝2π，∴2ω≥3，ω≥32，∴ω的最小值等于32.9．已知α∈(0，π4)，a ＝(sin α)cos α，b ＝(sin α)sin α，c ＝(cos α)sin α，则a 、b 、c 的大小关系是________．答案：a cos α>sin α>0，y ＝(sin α)x 为减函数，∴a b .故c >b >a . 三、解答题10. 已知函数f (x )＝log 2[2sin(2x －π3)]．(1)求函数的定义域；(2)求满足f (x )＝0的x 的取值范围．解：(1)令2sin(2x －π3)>0⇒sin(2x －π3)>0⇒2kπ<2x －π3<2kπ＋π，k ∈Z ⇒kπ＋π6<x <kπ＋23π，k ∈Z .故函数的定义域为(kπ＋π6，kπ＋23π)，k ∈Z .(2)∵f (x )＝0，∴sin(2x －π3)＝22⇒2x －π3＝2kπ＋π4或2kπ＋34π，k ∈Z ⇒x ＝kπ＋724π或x ＝kπ＋1324π，k ∈Z ，故x 的取值范围是{x |x ＝kπ＋724π或x ＝kπ＋1324π，k ∈Z }．11．已知复数z 1＝3sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －cos2x )i (λ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2. (1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，求f (x )的最小正周期和单调增区间．解：(1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧3sin2x ＝m ，λ＝m －cos2x .∴λ＝3sin2x －cos2x . 若λ＝0，则3sin2x －cos2x ＝0，得tan2x ＝33. ∵0<x <π，∴0<2x <2π. ∴2x ＝π6，或2x ＝7π6.∴x ＝π12，7π12.(2)∵λ＝f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2(32sin2x －12cos2x )＝2(sin2x cos π6－cos2x sin π6)＝2sin(2x －π6)，∴函数的最小正周期为T ＝π.由2kπ－π2≤2x －π6≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－π6≤x ≤kπ＋π3，k ∈Z .∴f (x )的单调增区间为[kπ－π6，kπ＋π3]，k ∈Z .12. (2010·天津卷)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos2x 0的值．解：本题主要考查二倍角的正弦、余弦、两角和的正弦、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦等基础知识，考查基本能力．一般思路先整理、化简f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式．(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．∴函数f (x )的最小正周期为π.∵f (x )＝2sin(2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，∴函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin(2x 0＋π6)．∵f (x 0)＝65，∴sin(2x 0＋π6)＝35.由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]，从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 2(2x 0＋π6)＝－45.∴cos2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin(2x 0＋π6)sin π6＝3－4310.。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案2-12

第2章第12节一、选择题1. 已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则( ) A ．f (x )在x ＝1处取得极小值B ．f (x )在x ＝1处取得极大值C ．f (x )是R 上的增函数D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数答案：C解析：由图象易知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上是增函数．2. 设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ′(x )为其导函数，如图是函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别为( )A. f (1)与f (－1)B. f (－1)与f (1)C. f (2)与f (－2)D. f (－2)与f (2)答案：D解析：由图可知当x ∈(－∞，－2)时，y ＝x ·f ′(x )<0，∴f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当x ∈(－2,0)时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )<0，函数f (x )为减函数；当x ∈(0,2)时，y ＝x ·f ′(x )<0，∴f ′(x )<0，函数f (x )为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0，函数f (x )为增函数．综上可知，f (－2)与f (2)分别是f (x )的极大值与极小值，选D.3. 函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为 ( )答案：A解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )是[0，π2]上的增函数．∴f (x )的最大值为f (π2)＝12e π2，f (x )的最小值为f (0)＝12.4. 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为( )A ．(－∞，12)∪(12，2)B ．(－∞，0)∪(12，2)C ．(－∞，12)∪(12，＋∞)D ．(－∞，12)∪(2，＋∞)答案：B解析：由f (x )图象单调性可得f ′(x )在(－∞，12)∪(2，＋∞)大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，0)∪(12，2)．5. (2010·湖北调研)设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A. [－5，＋∞)B. (－∞，－3]C. [－5，5]D. (－∞，－3]∪[－5，＋∞) 答案：D解析：依题意得当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒非正或恒非负．若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒非负，即有－2a ≤x ＋5x ，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，a ≥－ 5.若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒非正，即有－2a ≥x ＋5x ，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，a ≤－3.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)．选D.6. 设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (b )g (a ) 答案：C解析：令y ＝f (x )·g (x )，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )，由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，所以y 在R 上单调递减，又x f (b )g (b )．二、填空题7. f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．答案：6解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ， f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6，若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，所以c ＝6.8. 直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．答案：(－2,2)解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图所示，－2<a <2时，恰有三个不同公共点．9. 将长为52 cm 的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为________．答案：78解析：设剪成2段中其中一段为x cm ，另一段为(52－x ) cm ，依题意知： S ＝x 6·2x 6＋3(52－x )10·2(52－x )10 ＝118x 2＋350(52－x )2， S ′＝19x －325(52－x )，令S ′＝0，则x ＝27. 另一段为52－27＝25. 此时S min ＝78. 三、解答题10. (2010·课标全国卷)设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0. 由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln2a )上单调递减，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0.不符合要求．综合得a 的取值范围为(－∞，12]．11. (2010·皖南联考)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)函数y ＝f (x )的图象在x ＝4处的切线的斜率为32，若函数g (x )＝13x 3＋x 2[f ′(x )＋m 2]在区间(1,3)上不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a (1－x )x(x >0)，当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为[1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由f ′(4)＝－3a 4＝32，得a ＝－2，则f (x )＝－2ln x ＋2x －3，∴g (x )＝13x 3＋(m2＋2)x 2－2x ，∴g ′(x )＝x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(1,3)上不是单调函数，且g ′(0)＝－2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(1)<0，g ′(3)>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m <－3，m >－193，故m 的取值范围是(－193，－3)． 12．(2010·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1. (1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围； (2)证明：(x －1)f (x )≥0.解：(1)f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x ，xf ′(x )＝x ln x ＋1，题设xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点，g (x )≤g (1)＝－1.综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明：由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即ln x －x ＋1≤0.当0<x <1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1) ＝ln x ＋x (ln x ＋1x －1)＝ln x －x (ln 1x －1x ＋1)≥0.所以(x －1)f (x )≥0.。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案3-4

第3章第4节一、选择题1．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位答案：C解析：y ＝sin x ＝cos(π2－x )＝cos(x －π2)，令x －π2＝0，得x 1＝π2，再令x ＋π3＝0得到x 2＝－π3，∴向左平移了|－π3－π2|＝5π6个长度单位．2．已知函数y ＝sin(x ＋π6)cos(x ＋π6)，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( )A ．2π，x ＝π6B ．2π，x ＝π12C ．π，x ＝π6D ．π，x ＝π12答案：D解析：∵y ＝sin(x ＋π6)cos(x ＋π6)＝12sin(2x ＋π3) ∴T ＝2πω＝π，再将x ＝π12代入y ＝12sin(2x ＋π3)，得y ＝12，函数取得最大值，即x ＝π12是一条对称轴．3. 如图，弹簧挂着小球作上下振动，时间t (s )与小球相对平衡位置(即静止的位置)的高度h (cm)之间的函数关系式是h ＝4sin(6πt ＋π3)(t ∈[0，＋∞))，则小球最高点与最低点的距离、每秒能往复振动的次数分别为( )A ．4、3B ．8、3C ．8、2πD ．4、2π答案：B解析：∵在关系式h ＝4sin(6πt ＋π3)中，振幅A ＝4，周期T ＝2π6π＝13，∴小球最高点与最低点的距离d ＝2A ＝8，每秒能往复振动的次数f ＝1T＝3.选择B.4. (2010·惠州调研)已知f (x )＝cos(ωx ＋π3)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象( )A ．向左平移512π个单位B ．向右平移512π个单位C ．向左平移712π个单位D ．向右平移712π个单位答案：A解析：依题意，y ＝f (x )的最小正周期为π，故ω＝2，因为y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)，所以把y ＝sin2x 的图象向左平移512π个单位可得到y ＝cos(2x ＋π3)的图象．5．函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象经怎样平移后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称( )A ．向左平移π12B ．向左平移π6C ．向右平移π6D ．向右平移π12答案：D解析：由题意设y ＝sin(2x ＋θ)的对称中心为(－π12，0)，则2×(－π12)＋θ＝kπ(k ∈Z )，∴θ＝kπ＋π6(k ∈Z )，∴函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象的对称中心为(－π12，0)，又y ＝sin(2x ＋π6)＝sin2(x ＋π12)，y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)，所以y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移π12个单位即可得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象．6．关于函数f (x )＝sin(2x －π4)，有下列命题①其表达式可写成f (x )＝cos(2x ＋π4)；②直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴；③f (x )的图象可由g (x )＝sin2x 的图象向右平移π4个单位得到；④存在α∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立．则其中真命题为( ) A ．②③ B ．①② C ．②④D ．③④答案：C解析：对于①，f (x )＝sin(2x －π4)＝cos[π2－(2x －π4)]＝cos(2x －34π)，故①错．对于②，当x ＝－π8时，f (－π8)＝sin[2×(－π8)－π4]＝sin(－π2)＝－1，故②正确．对于③，g (x )＝sin2x 的图象向右平移π4个单位得到的图象解析式为y ＝sin2(x －π4)＝sin(2x－π2)，故③错．对于④，∵f (x )的周期为π，故当α＝π2时，f (x ＋α)＝f (x ＋3α)，所以④正确．二、填空题7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.答案：3解析：观察函数图象可得周期T ＝2π3，又由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)得T ＝2πω，则T ＝2π3＝2πω，所以ω＝3.8．设函数y ＝cos π2x 的图象位于y 轴右侧的所有的对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，…，则A 50的坐标是________．答案：(99,0)解析：由π2x ＝π2＋kπ，得x ＝2k ＋1(k ∈Z )，即对称中心横坐标为x ＝2k ＋1，k ≥0且k ∈N ，当k ＝49时，x ＝99，则A 50的坐标为(99,0)．9．(2010·福建卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案：[－32，3]解析：f (x )＝3sin(ωx －π6)的对称轴方程为ωx －π6＝kπ＋π2，即x ＝kπω＋2π3ω(k ∈Z )，g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的对称轴方程为2x ＋φ＝kπ，即x ＝kπ2－φ2(k ∈Z )．由题意kπω＋2π3ω＝kπ2－φ2知ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，56π]，f (x )的取值范围为[－32，3]．三、解答题10. 已知函数f (x )＝cos 2x －2sin x cos x －sin 2x .(1)在给定的坐标系中，作出函数f (x )在区间[0，π]上的图象． (2)求函数f (x )在区间[－π2，0]上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝cos 2x －2sin x cos x －sin 2x ＝cos2x －sin2x ＝2cos(2x ＋π4)．列表：(2)∵－π2≤x ≤0，∴－34π≤2x ＋π4≤π4.故当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1；当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max ＝ 2.即f (x )在[－π2，0]上的最小值为－1，最大值为 2.11. (2010·山东卷)已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x ·cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)．所以f (x )＝12sin2x sin φ＋1＋cos2x 2cos φ－12cos φ＝12sin2x sin φ＋12cos2x cos φ ＝12(sin2x sin φ＋cos2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)．又函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12，所以12＝12·cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－φ，即cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1. 又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，故－12≤cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3≤1. 所以y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12和－14. 12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式； (2)问哪几个月能盈利？解：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意可得A ＝2，B ＝6，ω＝π4，φ＝－π4，所以f (x )＝2sin(π4x －π4)＋6(1≤x ≤12，x 为正整数)，g (x )＝2sin(π4x －34π)＋8(1≤x ≤12，x 为正整数)．(2)g (x )>f (x )，得sin π4x <22.2kπ＋34π<π4x <2kπ＋94π，k ∈Z ，∴8k ＋3<x <8k ＋9，k ∈Z ，∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴k ＝0时，3<x <9， ∴x ＝4,5,6,7,8；k ＝1时，11<x <17，∴x ＝12. ∴x ＝4,5,6,7,8,12.答：其中4,5,6,7,8,12月份能盈利．。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案1-1

第1章第1节一、选择题1. 集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A. {t |0≤t ≤3}B. {t |－1≤t ≤3}C. {(－2，1)，(2，1)}D. Ø 答案：B解析：∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．故选B.2. 已知全集U 为实数集R ，集合M ＝{x |x ＋3x －1<0}，N ＝{x ||x |≤1}，则右图中阴影部分表示的集合是( )A. [－1,1]B. (－3,1]C. (－∞，－3]∪[－1，＋∞)D. (－3，－1)答案：D解析：∵M ＝{x |x ＋3x －1<0}＝{x |－3<x <1}，N ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴阴影部分表示的集合为M ∩∁U N ＝{x |－3<x <－1}，所以选D.3. 若A 、B 、C 为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( )A. A ⊆CB. C ⊆AC. A ≠CD. A ＝Ø答案：A解析：因为A ⊆A ∪B 且B ∩C ⊆C ，A ∪B ＝B ∩C ，由题意，得A ⊆C ，所以选A.4. 定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,5}，则A *B 的子集个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 答案：D解析：由题意知：A *B ＝{1,7}．故A *B 的子集有22＝4个．故选D.5. (2010·福建质检一)已知集合A ＝{x |a －2<x <a ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B＝Ø的充要条件是( )A. 0≤a ≤2B. －2<a <2C. 0<a ≤2D. 0<a <2 答案：A解析：如果A ∩B ＝Ø，根据数轴有⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2a ＋2≤4，解得0≤a ≤2.6. (2010·衡水调研)已知集合A ＝{x |x 2＋52x ＋1＝0}，B ＝{y |y ＝x 2＋a ，x ∈R }，若A ∩B ≠Ø，则a 的取值范围是( )A. (－∞，－12] B. (－12，＋∞) C. [－4，－14] D. (－∞，－2]答案：A解析：依题意得，A ＝{x |x 2＋52x ＋1＝0}＝{－12，－2}，B ＝{y |y ＝x 2＋a ，x ∈R }＝{y |y ≥a }，若A ∩B ≠Ø，则需a ≤－12，故选A. 二、填空题7. 已知集合A ＝{x |x 2－2x <3}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝________.答案：(－1,2]解析：因A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}＝(－1,3)，所以A ∩B ＝(－1,2]．8. (2010·南京调研)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．答案：±2解析：根据题意知a 2＝4，所以a ＝±2.9. (2010·宜昌调研)对于集合N ＝{1,2,3，…，n }及其每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集中的元素，然后从最大数开始交替地减，加后所得的数，例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9－6＋4－2＋1＝6，集合{5}的交替和为5，当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3的情况，计算它的“交替和”的总和S 3＝________，并根据其结果猜测集合N ＝{1,2,3，…，n }的“交替和”的总和S n ＝________.答案：n ·2n －1解析：当n ＝3时，集合N ＝{1,2,3}的所有非空子集是{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，它的“交替和”的总和S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12.由S 1＝1，S 2＝4＝2×2，S 3＝12＝3×22，归纳猜想S n ＝n ·2n －1. 三、解答题10. (2010·湖北调研)设全集U ＝R ，函数y ＝log 2(6－x －x 2)的定义域为A ，函数y ＝1x 2－x －12的定义域为B . (1)求集合A 与B ；(2)求A ∩B 、(∁U A )∪B .解：(1)函数y ＝log 2(6－x －x 2)要有意义需满足：6－x －x 2>0，解得－3<x <2， ∴A ＝{x |－3<x <2}．函数y ＝1x 2－x －12要有意义需满足x 2－x －12>0，解得x <－3或x >4， ∴B ＝{x |x <－3或x >4}．(2)A ∩B ＝Ø.∁U A ＝{x |x ≤－3或x ≥2}，∴(∁U A )∪B ＝{x |x ≤－3或x ≥2}．11. 已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．(2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．12. (2010·揭阳模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，∴a >0.∴解不等式f (x )＝ax 2＋x <0，得集合A ＝(－1a，0)． (2)由B ＝{x ||x ＋4|<a }，解得B ＝(－a －4，a －4)，∵集合B 是集合A 的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－a －4≥－1a a －4≤0，，解得0<a ≤5－2.。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案10-7

第10章第7节一、选择题1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤5答案：C解析：“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 2．若离散型随机变量ξ的分布列为( )则常数c 的值为( ) A.23或13B.23C.13D ．1答案：C解析：由题意知(9c 2－c )＋(3－8c )＝1，解得c ＝23或c ＝13，当c ＝23时，3－8c ＝－73<0，不合题意，当c ＝13时，3－8c ＝13，9c 2－c ＝23，∴c ＝13.3．某射手射击所得环数X 的分布列为：A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.51答案：C解析：P (X >7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 74C 86C 1510的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)答案：C解析：X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C 7k C 810－kC 1510，k ＝4.5．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( ) A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．n ＝9答案：C解析：∵P (X ＝k )＝1n(k ＝1,2,3，…，n )，∴0.3＝P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n，∴n ＝10.6．(2010·衡阳模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值是( )A.1220B.2755C.27220D.2155答案：C解析：“X ＝4”表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P (X ＝4)＝C 32C 91C 123＝27220.二、填空题7．已知随机变量ξ的分布列为若η＝2ξ－3，则η答案：解析：由η＝2ξ－38．随机变量ξ的分布列如下：若a 、b 、c 成等差数列，则答案：23解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1， ∴b ＝13，∴P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.9．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．答案：[－13，13]解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为 a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1， ∴a ＝13，由⎩⎨⎧0≤13－d ≤10≤13＋d ≤1得－13≤d ≤13.三、解答题10．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2,3,4,5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3,4,5,6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x ；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y ，记随机变量η＝x ＋y ，求η的分布列．解：依题意，η可取5,6,7,8,9,10,11，则有 P (η＝5)＝14×4＝116，P (η＝6)＝216，P (η＝7)＝316，P (η＝8)＝416，P (η＝9)＝316，P (η＝10)＝216，P (η＝11)＝116.∴η的分布列为11.1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人．将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片上队员的跳高成绩为X ，跳远成绩为Y ，设X ，Y 为随机变量(注：没有相同姓名的队员)．(1)求X ＝4的概率及X ≥3且y ＝5的概率； (2)求m ＋n 的值；(3)若Y 的均值为10540，求m ，n 的值.解：(1)当X ＝4时的概率为P 1＝940；当X ≥3且Y ＝5时的概率为P 2＝440＝110.(2)m ＋n ＝40－37＝3.(3)P (Y ＝1)＝8＋n 40；P (Y ＝2)＝14；P (Y ＝3)＝14；P (Y ＝4)＝4＋m 40；P (Y ＝5)＝18.因为Y 的均值为10540，所以99＋n ＋4m 40＝10540，于是m ＝1，n ＝2.12．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个，现从中任取出一球确定颜色后再放回盒子里，最多取3次，取出蓝球则不再取球．求：(1)最多取两次就结束的概率． (2)正好取到2个白球的概率． (3)求取球次数X 的分布列．解：(1)记事件A 为“取一次就结束”，事件B 为“取两次结束”，事件C 为“最多取两次就结束”，则C ＝A ∪B .又P (A )＝C 21C 101＝15，P (B )＝C 21C 8110×10＝425，∴P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝15＋425＝925.(2)记事件D 为“正好取到2个白球”，则事件D 可分为以下三种情况：白球，白球，非白球或白球，红球，白球或红球，白球，白球．∴P (D )＝3×3×C 7110×10×10＋3×5×310×10×10＋5×3×310×10×10＝1531000.(3)X 的可能取值为1、2、3，则P (X ＝1)＝15，P (X ＝2)＝425，P (X ＝3)＝8×8×1010×10×10＝1625，∴X 的分布列为。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案6-2

第6章第2节一、选择题1．已知集合A ＝{x ||x |>1}，B ＝{x |x 2＋x －6≤0}，则集合A ∩B ＝( )A ．{x |－3≤x <－1或1<x ≤2}B ．{x |－3≤x <－1或x >1}C ．{x |－3<x ≤－1或1≤x <2}D ．{x |x <－3或1<x ≤2}答案：A解析：A ＝{x ||x |>1}＝{x |x <－1或x >1}，B ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－3≤x <－1或1<x ≤2}，选择A.2．不等式x －1x≥2的解集为( ) A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1,0)D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞) 答案：C解析：∵x －1x ≥2，∴x ＋1x≤0， ∴－1≤x <0.3．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集为{x |0<x <2}，则实数m 的值为( ) A ．1B ．－2C ．－3D ．3 答案：A解析：x 2－4x ＋2mx <0，即x 2＋(2m －4)x <0，∴0,2为x 2＋(2m －4)x ＝0的两根，∴4－2m ＝2，∴m ＝1，故选A.4. (2010·广州一模)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a >0的解集是R ，q ：－1<a <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C解析：不等式x 2＋2ax －a >0的解集是R 等价于4a 2＋4a <0，即－1<a <0.5. 设命题p ：|2x －3|<1，q ：2x －3x －2≤1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：不等式|2x －3|<1的解是1<x <2，不等式2x －3x －2≤1的解是1≤x <2. 6. (2010·聊城模拟)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则 ( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12 答案：C解析：依题设得x －a －x 2＋a 2<1恒成立，即(x －12)2＋(a ＋34－a 2)>0恒成立⇔a 2－a －34<0恒成立⇔－12<a <32. 二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x ＋1| (x ≤0)x 2－1 (x >0). 那么不等式f (x )<0的解集为________．答案：(－∞，－1)∪(－1,1)解析：当x ≤0时，由－|x ＋1|<0可得x ≠－1；当x >0时，由x 2－1<0可得－1<x <1，所以，0<x <1，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)．8．关于x 的不等式x 2－(a ＋1a ＋1)x ＋a ＋1a<0(a >0)的解集为________．答案：(1，a ＋1a) 解析：不等式同解于(x －1)(x －a －1a)<0， ∵a >0，∴a ＋1a ≥2>1，∴1<x <a ＋1a，因此不等式的解集为(1，a ＋1a)． 9. 若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围是________．答案：－1<a <1解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需f (0)<0，即a 2－1<0，∴－1<a <1.三、解答题10．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x .(1)求函数g (x )的解析式；(2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|.解：(1)设函数y ＝g (x )图象上任意一点P (x ，y )关于原点的对称点为Q (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ x 0＋x 2＝0，y 0＋y 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝－y ，由题知点Q (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图象上，∴－y ＝x 2－2x ，即y ＝－x 2＋2x ，故g (x )＝－x 2＋2x .(2)由g (x )≥f (x )－|x －1|，可得2x 2－|x －1|≤0，当x ≥1时，2x 2－x ＋1≤0 ，此时不等式无解；当x <1时，2x 2＋x －1≤0，解得－1≤x ≤12. 因此，原不等式的解集为[－1，12]． 11. (2010·杭州模拟)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解：原不等式变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0.(1)当a ＝0时，原不等式变为－2x －2≥0，故解集为{x |x ≤－1}；(2)当a ≠0时，不等式即为(ax －2)(x ＋1)≥0.①当a >0时，不等式即为(x －2a)(x ＋1)≥0，故解集为{x |x ≥2a或x ≤－1}； ②当a <0时，不等式即为(x －2a )(x ＋1)≤0，2a －(－1)＝a ＋2a，当－2<a <0时，2a<－1，故解集为{x |2a≤x ≤－1}；当a ＝－2时，不等式即为(x ＋1)2≤0，故解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，－1<2a，故解集为{x |－1≤x ≤2a}．综上，当a ＝0时，解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，解集为{x |x ≥2a或x ≤－1}；当－2<a <0时，解集为{x |2a≤x ≤－1}；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，解集为{x |－1≤x ≤2a}． 12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1、x 2∈R ，恒有2f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解：(1)对任意x 1、x 2∈R ，由f (x 1)＋f (x 2)－2f (x 1＋x 22) ＝12a (x 1－x 2)2≥0成立，要使上式恒成立，所以a ≥0.由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a >0.所以f (x )＝ax 2＋x ＝ax (x ＋1a)<0. 解得A ＝(－1a，0)． (2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a. 化简得a 2＋4a －1≤0，解得0<a ≤－2＋ 5.。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案2-1

第2章第1节一、选择题1. 函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )A. {x |x ≥1}B. {x |x ≥0}C. {x |0≤x ≤1}D. {x |x ≥1}∪{0} 答案：C解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≥0，∴0≤x ≤1. 2. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(4－x ) x ≤0f (x －1)－f (x －2) x >0，则f (3)的值为( ) A. －1B. －2C. 1D. 2答案：B 解析：f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1)＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.3. 若函数y ＝ax 2－ax ＋1a 的定义域是R ，则实数a 的取值范围为( ) A. a <－2或a >2B. 0<a ≤2C. －2≤a <0或0<a ≤2D. a ≤－2或a ≥2答案：B解析：依题意得，关于x 的不等式ax 2－ax ＋1a ≥0的解集是R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝(－a )2－4≤0，由此解得0<a ≤2，选B.4. (2010·福州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( ) A. (－∞，－1)∪(1，＋∞)B. (－∞，－1)∪[1，＋∞)C. (－∞，－3)∪(1，＋∞)D. (－∞，－3)∪[1，＋∞)答案：B解析：∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1x 02－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)． 5．(2010·济南模拟)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A. [0,1]B. [0,1)C. [0,1)∪(1,4]D. (0,1) 答案：B解析：由已知有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，得0≤x <1， ∴定义域为[0,1)．6. (2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( )A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个答案：C解析：先确定定义域的构成元素，再分类计数得到满足条件的定义域．由已知x 2＝1，得x ＝±1；x 2＝4，得x ＝±2.∴“同族函数”的定义域必须是由±1，±2两组数中至少各取一个构成的集合．当定义域中有两个元素时有{－1，－2}，{－1,2}，{1，－2}，{1,2}共4个．有三个元素时有{－1，－2,2}，{－1，－2,1}，{－1,2,1}，{－2,2,1}共4个．有四个元素时有{－2，－1,1,2}1个．综上共有：4＋4＋1＝9个．二、填空题7. (2010·宜昌调研)函数f (x )＝ln (3－x )12＋x －x 2的定义域为________．答案：(－3,3)解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧12＋x －x 2>03－x >0，由此解得－3<x <3.因此所求函数的定义域是(－3,3)． 8. 对于实数x 、y ，定义新运算x *y ＝ax ＋by ＋1，其中a 、b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若3] .答案：－11解析：按定义先求系数a ，b 的值，再按定义计算．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋5b ＋1＝15，4a ＋7b ＋1＝28 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－37b ＝25， ∴1*1=a +b +1=-119. (2010·南昌调研)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；③F (x )＝f (x )g (x )是减函数．若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a ＝________. 答案：12解析：依题意得，F (x )＝a x 是减函数，所以0<a <1.由已知得a ＋a －1＝52，即a 2－52a ＋1＝0，解得a ＝12或a ＝2.又0<a <1，所以a ＝12. 三、解答题10. 已知f (x )＝x 2＋x ＋1.(1)求f (2x )的解析式；(2)求f (f (x ))的解析式；(3)证明对任意x ∈R ，f (－12＋x )＝f (－12－x )总成立．解：(1)f (2x )＝(2x )2＋(2x )＋1＝4x 2＋2x ＋1.(2)f (f (x ))＝(f (x ))2＋f (x )＋1＝(x 2＋x ＋1)2＋(x 2＋x ＋1)＋1＝x 4＋2x 3＋4x 2＋3x ＋3.(3)f (－12＋x )＝(－12＋x )2＋(－12＋x )＋1 ＝x 2＋34， f (－12－x )＝(－12－x )2＋(－12－x )＋1 ＝x 2＋34. 故对任意x ∈R ，f (－12＋x )＝f (－12－x )总成立．11．如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图象．解：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ，∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x )＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32. 所以S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3).32(x >3)函数图象如图所示．12. 定义在正整数集上的函数f (x )对任意m ，n ∈N *，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋4(m ＋n )－2，且f (1)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若m 2－tm －1≤f (x )对于任意的m ∈[－1,1]，x ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)取m ＝1，则有f (n ＋1)－f (n )＝f (1)＋4(1＋n )－2＝4n ＋3，当n ≥2时，f (n )＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋…＋[f (n )－f (n －1)]＝2n 2＋n －2，又f (1)＝1，∴f (x )＝2x 2＋x －2(x ∈N *)．(2)f (x )＝2(x ＋14)2－178， ∴x ＝1时f (x )min ＝1，由条件得m 2－tm －1≤1在m ∈[－1,1]上恒成立，即m 2－tm －2≤0，若m ＝0，则t ∈R ，若0<m≤1，则t≥m－2m，即t≥－1，若－1≤m<0，则t≤m－2m，即t≤1，综上－1≤t≤1.。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案3-2

第3章第2节一、选择题1. 化简：sin (－α)·cos (π＋α)·tan (2π－α)sin (π2－α)·cos (π2＋α)得( )A. sin αB. tan αC. cos αD. －cos α答案：B解析：原式＝(－sinα)·(－cosα)·(－tanα)cosα·(－sinα)＝tanα.2. 若cos(2π－α)＝53且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝() A. －53 B. －23C. －13 D. ±23答案：B解析：∵cos(2π－α)＝53，∴cos α＝53.又α∈(－π2，0)，∴sin α＝－23.∴sin(π－α)＝sin α＝－23.3. 已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A. －33 B. 33 C. － 3 D. 3答案：C解析：由cos(π2＋φ)＝32得－sin φ＝32，即sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.4. 若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A. －2B. 2C. ±2D. 12答案：B 解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝2. 5. 若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A 等于( ) A. 153B. －153C. 53D. －53答案：A 解析：∵0<A <π，0<2A <2π，又sin2A ＝23，即2sin A cos A ＝23， ∴0<A <π2，(sin A ＋cos A )2＝53，sin A ＋cos A ＝153. 6. (2010·重庆一诊)已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos(α－π6)的值是( ) A ．0B.32 C ．1D.12答案：A解析：依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2<α<0，因此α＝－π3，故cos(α－π6)＝cos(－π3－π6)＝cos π2＝0，选A. 二、填空题7. sin11°，cos10°，sin168°的大小关系是________．答案：sin11°<sin168°<cos10°解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°，由y ＝sin x 在0°≤x ≤90°时是增函数，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.8. △ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“A ＝B ”的________条件．答案：充要解析：当A ＝B 时，sin A ＝sin B ，当sin A ＝sin B 时，A ＝2kπ＋B ①或A ＝2kπ＋π－B ②又在△ABC 中，∴k ＝0且②式不成立，∴A ＝B .故△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“A ＝B ”的充要条件．9. 若tan α＝2，则11－sin α＋11＋sin α＝________. 答案：10解析：原式＝2(1－sin α)(1＋sin α)＝21－sin 2α＝2cos 2α＝2(sin 2α＋cos 2α)cos 2α＝2(tan 2α＋1)＝2(4＋1)＝10.三、解答题10. 已知cos(π6－α)＝33，求cos(56π＋α)－sin 2(α－π6)的值．解：cos(56π＋α)－sin 2(α－π6)＝cos[π－(π6－α)]－sin 2(α－π6) ＝－cos(π6－α)－[1－cos 2(π6－α)]＝－2＋33. 11. 已知0<α<π2，sin α＝45. (1)求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值； (2)求tan(α－5π4)的值．解：∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35，tan α＝43， (1)sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝(43)2＋2×432－(43)2＝20. (2)tan(α－5π4)＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17. 12．已知sin α＋2cos (5π2＋α)cos (π－α)－sin (π2－α)＝－14. (1)求tan α的值；(2)求(sin α＋cos α)2的值．解：(1)∵sin α＋2cos (5π2＋α)cos (π－α)－sin (π2－α)＝sin α－2sin α－cos α－cos α＝12tan α＝－14，∴tan α＝－12. (2)∵tan α＋1tan α＝1sin αcos α，∴sin αcos α＝1tan α＋1tan α＝－25，故(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×(－25)＝15.。

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第1章第3节一、选择题1. 已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.下列结论中正确的是( )A. 命题“p ∧q ”是真命题B. 命题“p ∧綈q ”是真命题C. 命题“綈p ∧q ”是真命题D. 命题“綈p ∨綈q ”是假命题答案：C解析：解答此类问题的关键是对命题p 与q 的真假判断，然后再确定相应命题的真假． ∵|sin x |≤1，∴命题p 是假命题，綈p 是真命题．又x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0， ∴命题q 是真命题，綈q 是假命题，故“綈p ∧q ”是真命题．2. 下列说法错误的是( )A. 命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B. “x >1”是“|x |>1”的充分不必要条件C. 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D. 命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 02＋x 0＋1<0”，则綈p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0” 答案：C解析：若“p 且q ”为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题，而不是p 、q 均为假命题．故C 错．3. 命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋4>0”的否定是( )A. ∃x ∈R ，x 2－2x ＋4<0B. ∀x ∈R ，x 2－2x ＋4>0C. ∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0D. ∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0答案：D解析：含有特称量词的命题的否定，先把存在“∃”改为任意“∀”，再把结论否定．4. (2010·潍坊质检)若p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )A. 綈p ：∃x ∈R ，sin x >1B. 綈p ：∀x ∈R ，sin x >1C. 綈p ：∃x ∈R ，sin x ≥1D. 綈p ：∀x ∈R ，sin x ≥1答案：A解析：由于命题p 是全称命题，对于含有一个量词的全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定綈p ：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，故应选A.5. 命题“∀x >0，x 2＋x >0”的否定是( )A. ∃x >0，x 2＋x >0B. ∃x >0，x 2＋x ≤0C. ∀x >0，x 2＋x ≤0D. ∀x ≤0，x 2＋x >0答案：B解析：根据全称命题的否定是存在性命题，知该命题的否定是：∃x >0，x 2＋x ≤0.6. 下列四个命题中的真命题为( )A. ∃x 0∈Z,1<4x 0<3B. ∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0C. ∀x ∈R ，x 2－1＝0D. ∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0答案：D解析：对于A ，由1<4x 0<3得14<x 0<34，显然不存在x 0∈Z ，使得1<4x 0<3，因此A 是假命题；对于B ，由5x 0＋1＝0得x 0＝－15∉Z ，因此B 是假命题；对于C ，由x 2－1＝0得x ＝±1，因此C 是假命题；对于D ，注意到x 2＋x ＋2＝(x ＋12)2＋74≥74>0，因此D 是真命题．综上所述，选D.二、填空题7. 命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0”的否定为________．答案：∃x 0∈R ，x 02－2x 0＋4>0解析：命题是全称命题，其否定为特称命题：∃x 0∈R ，x 02－2x 0＋4>0.8. 已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为Ø；命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数，若函数“p ∨q ”为真命题，则实数a 的取值范围是________．答案：a >13或a <－12解析：命题p 为真，则有Δ＝(a －1)2－4a 2<0.解得a >13或a <－1；命题q 为真命题，则2a 2－a >1，解得a >1或a <－12. 又∵“p ∨q ”为真命题，∴a >13或a <－12. 9. (2010·杭州模拟)已知命题：“∃x 0∈[1,2]，使x 02＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是________．答案：[－8，＋∞)解析：由x 02＋2x 0＋a ≥0得x 02＋2x 0≥－a .当x 0∈[1,2]时，3≤x 02＋2x 0≤8.故当－a ≤8，即a ≥－8时，∃x 0∈[1,2]，使x 02＋2x 0＋a ≥0为真命题．三、解答题10. 用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．(1)所有的实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0恰有惟一解．(2)存在实数x 0，使得1x 02－2x 0＋3＝34. 解：(1)∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有惟一解．当a ＝0，b ＝0时方程有无数解，故该命题为假命题．(2)∃x 0∈R ，使得1x 02－2x 0＋3＝34. ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴1x 2－2x ＋3≤12<34. 故该命题是假命题．11．设有两个命题，p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R 等价于∀x ∈R ，ax 2－x ＋a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12，即q ：a >12.又由a x >1的解集是{x |x <0}，得0<a <1.如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 真q 假或p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤0或a ≥1，a >12，解得0<a ≤12或a ≥1. ∴实数a 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝12x 2＋ln x －1. (1)试证明∃x 0∈(1,2)，使得f (x 0)＝0；(2)已知不等式f (x )－m ≤0，对∀x ∈(0，e](e ＝2.718…)恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)证明：∵f (1)＝12－1＝－12<0， f (2)＝1＋ln2>0，∴f (1)·f (2)<0且函数f (x )在(1,2)上连续．∴函数f (x )在(1,2)上有零点，即∃x 0∈(1,2)，使得f (x 0)＝0.(2)∵f ′(x )＝x ＋1x，当x ∈(0，e]时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(0，e]上为增函数．∴f (x )max ＝f (e)＝12e 2. 不等式f (x )－m ≤0，对∀x ∈(0，e]恒成立等价于m ≥f (x )max ，x ∈(0，e]．∴m ≥12e 2.。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案7-5

第7章第5节一、选择题1．已知p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直．则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：p推不出q，因为当直线a与平面α内无数条相互平行的直线垂直时，a不一定垂直于平面α(可以与平面α斜交)．而q可以推得出p，由线面垂直的定义可知，直线a与平面α垂直，则直线a与平面α内任意一条直线垂直，即a与平面α内无数条直线垂直．2．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：C解析：直线l⊥平面α，当α∥β时，l⊥β，又因为m⊂平面β，l⊥m，①正确；当α⊥β时，l与m的位置关系无法判断，②错误；当l∥m时，根据l⊥平面α，得m⊥平面α，又因为m⊂平面β，根据面面垂直判定定理，α⊥β，③正确．故真命题有2个．3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；③若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案：D解析：对于①，一个平面内的两条直线可能是平行的两条直线，此时不能确定这两个平面相互平行，因此①是假命题；对于②，显然是真命题；对于③，其中的“这条直线”可能位于“另一个平面”内，此时不能得知这条直线一定平行于另一个平面，因此③是假命题；对于④，若一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面垂直，显然该直线必垂直于交线，这显然就是一个矛盾，因此④是真命题．综上所述，选D.4．已知a 、b 、l 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面．有下列四个命题： ①若α∩β＝a ，β∩γ＝b 且a ∥b ，则α∥γ；②若a 、b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α； ④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④D ．③④答案：B解析：本题考查了空间中的线面关系．可通过公理、定理判定其正确，通过特例、反例说明其错误．①在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，平面A 1B 1CD ∩平面DCC 1D 1＝CD .平面A 1B 1C 1D 1∩平面DCC 1D 1＝C 1D 1，且CD ∥C 1D 1，但平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1不平行，①错误．②因为a 、b 相交，可设其确定的平面为γ，根据a ∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③根据平面与平面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，③正确．④当直线a ∥b 时，l 垂直于平面α内两条不相交直线，得不出l ⊥α，④错误．5．已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，则( )A ．α>β>γB ．α>γ>βC ．β>α>γD ．γ>β>α答案：B解析：如图，取底面BCD 的中心为点O ，连接AO ，BO ，易知∠ABO ＝β，取BC 的中点E ，连接AE 、OE ，易知∠AEO ＝γ，易知0<β<γ<π2，延长BO 交CD 于F ，则BF ⊥CD ，又AO ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AB ，即α＝π2，∴α>γ>β，故选B.6．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A —BCD .则在三棱锥A —BCD 中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC答案：D解析：∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°， ∴BD ⊥CD .又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，故CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，故AB ⊥平面ADC . ∴平面ABC ⊥平面ADC . 二、填空题7．已知平面α，β和直线m ，n ，给出条件： ①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β. (1)当满足条件________时，有m ∥β； (2)当满足条件________时，有m ⊥β. (填所选条件的序号) 答案：(1)③⑤ (2)②⑤解析：若m ⊂α，α∥β，则m ∥β；若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β. 8．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)解析：由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .9．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧棱长为3，若D 是侧棱C 1C 上的一点，且C 1D C 1C ＝23，则二面角D －AB －C 的大小为________．答案：π6解析：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴C 1C ⊥平面ABC ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，连接DE ，则由三垂线定理知，DE ⊥AB ， ∴∠DEC 是二面角D －AB －C 的平面角．又C 1C ＝3，且C 1D C 1C ＝23，∴C 1D ＝2，∴DC ＝1，∵△ABC 是边长为2的正三角形， ∴CE ＝32×2＝ 3.在Rt △DCE 中，tan DEC ＝DC CE ＝13＝33， ∴∠DEC ＝π6，即二面角D －AB －C 的大小为π6.故填π6.三、解答题10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，ΔP AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积． (1)证明：在△ABD 中，由于AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，所以AD 2＋BD 2＝AB 2.故AD ⊥BD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面P AD . 又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面P AD .(2)解：过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ，由于平面P AD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高，又ΔP AD 是边长为4的等边三角形．因此PO ＝32×4＝2 3. 在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为S ＝25＋452×855＝24.故V P －ABCD ＝13×24×23＝16 3.11．已知P 在矩形ABCD 的边DC 上，AB ＝2，BC ＝1，F 在AB 上且DF ⊥AP ，垂足为E ，将△ADP 沿AP 折起，使点D 位于D ′位置，连接D ′B 、D ′C 得四棱锥D ′－ABCP .(1)求D ′F 与AP 所成角的大小；(2)若二面角D ′－AP －B 和D ′F 与平面ABCP 所成角的大小均为π3，求四棱锥D ′－ABCP 的体积．解：(1)∵AP ⊥D ′E ，AP ⊥EF ，又∵D ′E ，EF 是平面D ′EF 内的两条相交直线； ∴AP ⊥平面D ′EF ，∴AP ⊥D ′F ， ∴D ′F 与AP 所成角的大小为π2.(2)由(1)知AP ⊥平面D ′EF ，∴平面D ′EF ⊥平面ABCP ，并且因为二面角D ′－AP －B 的大小为π3，所以易知∠D ′EF ＝π3，过D ′作平面ABCP 的垂线，垂足为H ，则H 必在EF 上，∴∠D ′FE ＝π3，∴△D ′EF 是等边三角形，∴D ′E ＝EF 即DE ＝EF ，∴△DAF 是等腰直角三角形， ∴易得DP ＝1且EF ＝22， ∴四棱锥D ′－ABCP 的高D ′H ＝64，又∵S 梯形ABCP ＝12·(CP ＋AB )·BC ＝12×(1＋2)×1＝32，∴V 四棱锥D ′－ABCP ＝13×D ′H ×S 梯形ABCP ＝68.12．(2010·郑州外国语学校期中)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ＝2，平面PBC ⊥平面ABCD ，O 是BC 的中点，AO 交BD 于点E .(1)试探求直线P A 与BD 的位置关系；(2)点M 为直线P A 上的一点，当点M 在何位置时有P A ⊥平面BDM? (3)判定平面P AD 与平面P AB 的位置关系．解：(1)P A ⊥BD .下面给出证明：∵PB ＝PC ，且O 是BC 的中点，∴PO ⊥BC ，又∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，∴PO ⊥平面ABCD .∵BD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥BD .在梯形ABCD 中，可得Rt △ABO ≌Rt △BCD ，∵∠BEO ＝∠OAB ＋∠DBA ＝∠DBC ＋∠DBA ＝90°，即AO ⊥BD . ∵PO ∩AO ＝O ，∴BD ⊥平面P AO . 又P A ⊂平面P AO ，∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接BM 、DM ，由于AB ＝PB ，则P A ⊥BM .又P A ⊥BD ，所以P A ⊥平面BDM .故当点M 为P A 的中点时，P A ⊥平面BDM .(3)平面P AD ⊥平面P AB .下面给出证明：取PB 的中点N ，连接CN .∵PC ＝BC ，∴CN ⊥PB ， ① ∵AB ⊥BC ，且平面PBC ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PBC .∵AB ⊂平面P AB ，∴平面PBC ⊥平面P AB . ② 由①、②可知CN ⊥平面P AB . 连接MN ，则由MN ∥AB ∥CD ，MN ＝12AB ＝CD ，得四边形MNCD 为平行四边形．∴CN ∥DM ，∴DM ⊥平面P AB .∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB .。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案7-6

第7章第6节一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④答案：A解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，综上①②符合题意．2．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →可表示为(用a ，b ，c 表示)．( )A.12a ＋14b ＋14c B.12a ＋13b －12c C.13a ＋14b ＋14cD.13a －14b ＋14c 答案：A解析：OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 3．若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a·b )c ＝a (b·c )4．已知空间四边形ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 答案：A解析：如图所示：12(BD →＋BC →)＝BG →，AB →＋BG →＝AG →.5．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC AB ＝13，则C 点的坐标为( )A ．(72，－12，52)B ．(83，－3,2)C ．(103，－1，73)D ．(52，－72，32)答案：C解析：由题意知2AC →＝CB →，设C (x ，y ，z )，则2(x －4，y －1，z －3)＝(2－x ，－5－y,1－z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －8＝2－x ，2y －2＝－5－y ，2z －6＝1－z .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73，即C (103，－1，73)6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直D ．不能确定解析：如右图，建立空间直角坐标系B1－xyz ，则M (0，23a ，13a )、N (a 3，23a ，a )，∴MN →＝(a 3，0，23a )．∴MN →∥平面BB 1C 1C . 二、填空题7．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________. 答案：0解析：设AB →＝b ，AC →＝c ，AD →＝d ，则CD →＝d －c ，BD →＝d －b ，BC →＝c －b . 原式＝b ·(d －c )＋d ·(c －b )－c (d －b )＝0.8．已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．答案：120°解析：AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)， cos 〈AB →，CA →〉＝AB →·CA →|AB →||CA →|＝2－3－614×14＝－714＝－12， ∴〈AB →，CA →〉＝120°，即θ＝120°.9．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2解析：∵A 、B 、C 共线，∴AB →∥BC →.由已知AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(p －2，－1，q ＋1)， ∴p －21＝－1－1＝q ＋13. ∴p ＝3，q ＝2. 三、解答题10．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)EF →·FC 1→.解：如图，设AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC →·ED 1→ ＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16；(2)EF →·FC 1→＝[12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝12(－a ＋b ＋c )·(12b ＋a ) ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.11．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝4，取∠B 的平分线BD ，作CE ⊥BD ，交AB 于E ，交BD 于F .将图形BCD 沿BD 折起，使∠CFE ＝60°，求折后线段AC 的长．解：图(1)是未折前平面图形，据题意得，△BCE 是正三角形，且E 为AB 的中点．由AB ＝4得BE ＝CE ＝BC ＝2，CF ＝FE ＝1，BF ＝ 3.作AH ⊥BD ，交BD 延长线于H ，则AH ＝2EF ＝2，HF ＝ 3. 折后如图(2)，CF ⊥BD ，AH ⊥BD ，故|AC →|2＝(AH →＋HF →＋FC →)2＝AH →2＋HF →2＋FC →2＋2AH →·HF →＋2AH →·FC →＋2HF →·FC →＝4＋3＋1＋0＋2×2×1×cos120°＋0＝6，∴AC ＝ 6.12．直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．解：(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a|，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案3-8

第3章第8节一、选择题1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°视角，则B 、C 的距离是( )A ．103海里 B.1063海里C ．52海里D ．56海里答案：D解析：在△ABC 中，由正弦定理易求BC ＝56(海里)．2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a kmD ．2a km答案：B解析：利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×(－12)＝3a 2，∴AB ＝3a .3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时B ．346海里/小时 C.1722海里/小时D ．342海里/小时答案：A解析：如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1726(海里/小时)．4．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为( )A. 3B ．2 3C ．23或 3D ．3答案：C解析：如右图，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝32＋x 2－2×3x ×cos30°，即x 2－33x ＋6＝0，解得x 1＝3，x 2＝23，经检验均合题意．5．如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A ．c 和αB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α答案：D解析：从图中可以看出，不能直接测量出a 及c ，故A 、B 、C 均不适宜．只需测量出b 和α(在河边一侧即可测出)，此时，β＝π2－α，在△ABC 中，利用正弦定理，可得b sin β＝asin α，∴a ＝b sin αsin β＝b sin αcos α＝b tan α.6．在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度是( )A ．20(1＋33) mB ．20(1＋3) mC ．10(6＋2) mD ．20(6＋2) m答案：B解析：如右图所示，由条件可知四边形ABCD 为正方形，AB ＝CD ＝20 m ，BC ＝AD ＝20 m.在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20 m，∴EC＝CD tan60°＝203(m)，∴BE＝BC＋CE＝20＋203(m)．二、填空题7. 已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C 北偏西40°处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为________km.答案：6－1解析：如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos120°，即32＝22＋x2－2×2x cos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝6－1.8．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到O，测得塔A仰角为30°，则塔高为________．答案：10 m解析：画出示意图，如图所示．CO＝10，∠OCD＝40°，∠BCD＝80°，∠ACB＝45°，∠AOB＝30°，AB⊥平面BCO.令AB＝x，则BC＝x，BO＝3x.在△BCO中，则余弦定理，得：(3x)2＝x2＋100－2x×10×cos(80°＋40°)，整理得：x2－5x－50＝0，解得x＝10，x＝－5(舍去)．9. (2010·合肥质检一)如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件_____时，该船没有触礁危险．答案：m cos αcos β>n sin(α－β)解析：由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝msin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)>n ，所以α与β的关系满足m cos αcos β>n sin(α－β)时船没有触礁危险．三、解答题10．(2009·宁夏、海南卷)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .由题中所给数据可得， DF ＝MF 2＋MD 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130， EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理得， cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22×DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.11．(2010·宝鸡质检一)如图，为了计算渭河岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝100m ，AB ＝140m ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 之间的距离(假设A ，B ，C ，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．解：在△ABD 中，设BD ＝x m ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即1402＝x 2＋1002－2×100×x ×cos60°，整理得x 2－100x －9600＝0，解之得x 1＝160，x 2＝－60(舍去)，故BD ＝160m ，由正弦定理，得：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ，又AD ⊥CD ，∴∠CDB ＝30°， ∴BC ＝160sin135°·sin30°＝802≈113(m)．即两景点B 与C 之间的距离约为113m.12．(2010·南京调研)如图，矩形ABCD 是机器人踢球的场地，AB ＝170cm ，AD ＝80cm ，机器人先从AD 中点E 进入场地到点F 处，EF ＝40cm ，EF ⊥AD .场地内有一小球从点B 向点A 运动，机器人从点F 出发去截小球．现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍. 若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？解：设该机器人最快可在点G 处截住小球，点G 在线段AB 上，连接FG ，设FG ＝x cm ，根据题意，得BG ＝2x cm. 则AG ＝AB －BG ＝(170－2x )cm.连接AF ，在△AEF 中，EF ＝AE ＝40cm ，EF ⊥AD ，所以∠EAF ＝45°，AF ＝402cm. 于是∠F AG ＝45°，在△AFG 中，由余弦定理，得FG 2＝AF 2＋AG 2－2AF ·AG cos ∠F AG .所以x 2＝(402)2＋(170－2x )2－2×402×(170－2x )×cos45°，解得x 1＝50，x 2＝3703.所以AG ＝170－2x ＝70cm ，或AG ＝－2303cm(不合题意，舍去)．答：该机器人最快可在线段AB 上离A 点70cm 处截住小球．。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案3-6

第3章第6节一、选择题1．已知sin10°＝a ，则sin70°等于( ) A ．1－2a 2 B ．1＋2a 2 C ．1－a 2D ．a 2－1答案：A解析：由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2，故选A. 2. 函数y ＝sin 22x 是( ) A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数 C. 周期为π2的奇函数D. 周期为π2的偶函数答案：D解析：∵y ＝sin 22x ＝1－cos4x 2，∴函数y ＝sin 22x 是周期为π2的偶函数，故应选D.3. 函数f (x )＝sin 4x ＋2sin x cos x ＋cos 4x 的最小值是( ) A. 32 B. 12 C. －12D. －32答案：C解析：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＋2sin x cos x ＝－2sin 2x cos 2x ＋2sin x cos x ＋1 ＝－12(sin2x )2＋sin2x ＋1＝－12(sin2x －1)2＋32，∴当sin2x ＝－1时，f (x )min ＝－12.4. 关于函数y ＝sin2x －3cos2x 图象的对称性，下列说法正确的是( ) A. 关于直线x ＝π3对称B. 关于直线x ＝π6对称C. 关于点(π3，0)对称D. 关于点(π6，0)对称答案：D解析：y ＝sin2x －3cos2x＝2sin(2x －π3)，当x ＝π3时，y 不取最值也不等于零，A 、C 错．当x ＝π6时，y ＝0，∴该函数图象关于点(π6，0)对称．5. (2010·济南模拟)函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( )A. 2π，3B. 2π，1C. π，3D. π，1答案：C解析：由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3，故选C.6. (2010·江西联考)若0<α<π2，则函数y ＝sinα21＋cos α的值域为( )A. (0，22)B. (0，2)C. (2，＋∞)D. (22，＋∞) 答案：A解析：依题意得y ＝sinα22cos 2α2＝12·tan α2·1cos α2，易知函数y ＝tan α2和y ＝1cosα2在(0，π2)上是增函数，且函数值均为正，因此函数y ＝12·tan α2·1cos α2在(0，π2)上是增函数，于是当α∈(0，π2)时，有0<y ＝12·tan α2·1cos α2<12·tan π4·1cos π4＝22，即函数y ＝sinα21＋cos α的值域是(0，22)，故选A.二、填空题7. 若cos(2π－θ)＝45，则cos2θ＝________.答案：725解析：依题意得cos θ＝45，则cos2θ＝2cos 2θ－1＝725.8. (2010·镇江模拟)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－12，f (β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为________．答案：13解析：∵f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx＝12＋sin(2ωx －π6)，由题意知f (x )的14个周期为34π，∴14×2π2ω＝34π，∴ω＝13.9. (2010·皖南校联考)已知函数f (x )＝A cos 2ωx ＋2(A >0，ω>0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (20)＝________.答案：38解析：f (x )＝A cos 2ωx ＋2＝A ×1＋cos2ωx 2＋2＝A cos2ωx 2＋A 2＋2，则由题意知A ＋2＝6，2π2ω＝8，所以A ＝4，ω＝π8，所以f (x )＝2cos π4x ＋4，所以f (2)＝4，f (4)＝2，f (6)＝4，f (8)＝6，f (10)＝4，…观察周期性规律可知f (2)＋f (4)＋…＋f (20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.三、解答题10．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x . (1)求f (π4)的值；(2)设α∈(0，π)，f (α2)＝22，求sin α的值．解：(1)∵f (x )＝sin2x ＋cos2x ， ∴f (π4)＝sin π2＋cos π2＝1.(2)∵f (α2)＝sin α＋cos α＝22.∴sin(α＋π4)＝12，cos(α＋π4)＝±32.sin α＝sin(α＋π4－π4)＝12×22－(±32)×22＝2∓64. ∵α∈(0，π)， ∴sin α>0.故sin α＝2＋64.11. (2010·泉州模拟)已知函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos2x ，x ∈[π4，π2]．(1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式|f (x )－m |<2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝[1－cos(π2＋2x )]－3cos2x＝1＋sin2x －3cos2x ＝1＋2sin(2x －π3)．又∵x ∈[π4，π2]，∴π6≤2x －π3≤2π3，即2≤1＋2sin(2x －π3)≤3.∴f (x )max ＝3，f (x )min ＝2.(2)∵|f (x )－m |<2⇔f (x )－2<m <f (x )＋2，x ∈[π4，π2]，∴m >f (x )max －2且m <f (x )min ＋2， ∴1<m <4，即m 的取值范围是(1,4)．12. (2010·深圳调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)sin(ωx ＋π3)(其中ω为正常数，x ∈R )的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若A <B ，且f (A )＝f (B )＝12，求BCAB 的值．解：(1)∵f (x )＝2sin(ωx －π6)sin(ωx ＋π3)＝2sin(ωx －π6)cos[(ωx ＋π3)－π2]＝2sin(ωx －π6)cos(ωx －π6)＝sin(2ωx －π3)，而f (x )的最小正周期为π，ω为正常数， ∴2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π3)，若x 是三角形的内角，则0<x <π. ∴－π3<2x －π3<5π3.令f (x )＝12，得sin(2x －π3)＝12.∴2x －π3＝π6或2x －π3＝5π6.解得x ＝π4或x ＝7π12.∵A ，B 是△ABC 的内角，A <B ，且f (A )＝f (B )＝12，∴A ＝π4，B ＝7π12，∴C ＝π－A －B ＝π6，由正弦定理，得BC AB ＝sin Asin C ＝sinπ4sin π6＝2212＝ 2.。

《金版新学案》高考数学总复习 6.3不等式的证明课时作业(扫描版) 文大纲人教版

《金版新学案》高考数学总复习 6.3不等式的证明课时作业
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一、选择题
1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②①，所以①是②的必要条件．
答案： B
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
解析：∵a，b，c恰有一个是偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．
答案： D
3．设a＝lg 2＋lg 5，b＝e x x＜0，则a与b大小关系为
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
而b＝e x＜e0＝1，故a＞b.
答案： A
5．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若mα，n∥α，则m∥n
D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n
解析：对于平面α和共面的直线m、n，真命题是“若mα，n∥α，则m∥n”，选C.
答案： C。

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第6章第3节一、选择题1. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ＋y ≤1表示的平面区域为( )A. 四边形及其内部B. 等腰三角形及其内部C. 在第一象限内的一个无界区域D. 不包含第一象限内的点的一个有界区域答案：B解析：画出不等式组表示的平面区域如图，易知2x －y ＋1＝0与x －2y －1＝0关于y ＝x 对称，与x ＋y ＝1所成角相等，故不等式组表示的平面区域为等腰三角形及其内部．2. 在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≥0y ≥0表示的平面区域的面积是( )A. 42B. 4C. 2 2D. 2答案：B解析：由线性约束条件可作出平面区域如图．平面区域表示的是△ABC ，S △ABC ＝12×2×4＝4.3. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是( ) A. a <5B. a ≥8C. 5≤a <8D. a <5或a ≥8答案：C解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝0的交点为(0,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0x ＝3的交点为(3,8)，∴5≤a <8.4. (2010·重庆卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A. －2B. 4C. 6D. 8答案：C解析：作出约束条件的可行域为图中阴影区域，易得A (1,2)，B (3,0)，C (－1,0)，把B 点坐标代入目标函数，得z max ＝2×3＋0＝6，故选C.5. (2010·北京卷)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3，＋∞)答案：A解析：先画出可行域，如图，y ＝a x 必须过A 点或图中阴影部分．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a >1，∴1<a ≤3，故选A.6. (2010·福建卷)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A. 285 B. 4 C. 125D. 2答案：B解析：作出Ω1如图中阴影部分，计算得M (1,1)，N (3,3)，M 、N 到直线3x －4y －9＝0的距离分别为2和125，当A 运动到M 时，AB 最小．由于A 、B 关于直线3x －4y －9＝0对称，则|AB |＝2×2＝4，故选B.二、填空题7. (2010·安徽模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0x ＋2y ＋1≤0，y ≥0则z ＝(x ＋1)2＋(y －2)2的最小值是________．答案：165解析：作出约束条件的可行域如图，z ＝(x ＋1)2＋(y －2)2，可看作可行域内的点到定点A (－1,2)的距离的平方，其最小值为点A (－1,2)到直线x ＋2y ＋1＝0的距离的平方，∴z min ＝(|－1＋2×2＋1|12＋22)2＝165.8. (2010·安徽卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．答案：4解析：(x ，y )满足可行域如图所示，∵abx ＋y 最大值为8(a >0，b >0)，∴目标函数等值线l ：y ＝－abx ＋z 最大值时的最优解为⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，8x －y －4＝0，解得A (1,4)，∴8＝ab ＋4，ab ＝4.又∵a ＋b ≥2ab ；当a ＝b ＝2时取等号， ∴a ＋b ≥4.9. (2010·陕西卷)铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案：15解析：设购买铁矿石A 为x 万吨，购买铁矿石B 为y 万吨，总费用为z 百万元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧50%x ＋70%y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋6y ，本题即求z 的最小值．线性约束条件整理为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥19，2x ＋y ≤4，x ≥0，y ≥0.画可行域如图：当x ＝1，y ＝2时，z 获最小值， ∴z min ＝3×1＋6×2＝15(百万元)．三、解答题10. 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≤0x ＋2y －8≤02x －3y －6≤0x ≥00≤y ≤3，求3y －12x －6的最大值和最小值．解：作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≤0x ＋2y －8≤02x －3y －6≤0x ≥00≤y ≤3所表示的可行域如图：A (0,3)，E (3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋2y －8＝0 得B (2,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －6＝0x ＋2y －8＝0得C (4,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝02x －3y －6＝0得D (245，65)．设k ＝3y －12x －6＝3(y －4)x －6，k 表示的是(x ，y )与(6,4)的连线斜率的3倍．k max ＝3(65－4)245－6＝7，k min ＝3×16＝12.∴12≤k ≤7，∴12≤3y －12x －6≤7. 即3y －12x －6的最大值为7，最小值为12.11. 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1.x ＋2≥0(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0表示的平面区域，如图．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4x ＋2＝0，得C (－2,3)， ∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y ≤1x ＋2≥0表示的平面区域，如图．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1x ＋2＝0，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z －1最大，即z 最大，∴z max ＝x ＋2y ＋2＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.12. (2010·广东一模)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙；(2)已知生产一件产品需用的工人数和资金数如下表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x 、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x 、y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？解析：(1)依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ P 甲－P 乙＝0.25，1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4.故甲产品为一等品的概率P 甲为0.65，乙产品为一等品的概率P 乙为0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分，包括边界)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ＝32，20x ＋5y ＝55.得x ＝2，y ＝3，故M 的坐标为(2,3)，所以z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.。