北京市昌平区2014-2015学年度第一学期期末考试高三数学文科
北京市昌平区高三数学上学期期末考试试题 理
昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{}(4)(2)0A x x x =-+=，{}|3B x x =≥，则A B I 等于 A. {2}- B. {3} C. {4} D. {2,4}-2．已知0a b >>，则下列不等式成立的是 A. 22a b < B. 11a b> C. a b < D. 22a b >3. 执行如图所示的程序框图，输出a 的值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．324.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A ．8B ．83C ．4D ．435. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A. 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥B. 若//αβ，//m α，则//m βC. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥D. 若//m α，//m β，则//αβ6. 在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人7. 在ABC △ 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c . 若1,30,a A ==o则“60B =o”是“b =A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是A ．甲 B. 乙 C ．丙 D.丁俯视图侧（左）视图正（主）视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9. 设复数12i z =-，则||z = .10. 5)21(x +的展开式中，2x 的系数是 .(用数字作答)11. 若x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .12. 平面向量a 与b 的夹角为60︒，(1,0)=a ，=2|b |，则|2|-a b = .13. 已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率是2，则________,m =以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 . 14. 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，有如下结论：①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=；②()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ③()12,1,1x x ∀∈-，有1212()()0f x f x x x ->-；④()12,0,1x x ∀∈，有1212()()()22x x f x f x f ++≤. 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． ( I ) 求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的最大值及取得最大值时的x 值．16.（本小题满分13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.(I) 求,x y 的值；(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和ξ的分布列及数学期望. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L ，其中x 为1x ，2x ，… ,n x 的平均数.）17. （本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=. F 为PA 中点，2PD =11.2AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .(I) 求证：AC // 平面DEF ；(II) 求二面角A BC P --的大小；(III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？ 若存在，请求出FQ 的长;若不存在，请说明理由.乙甲9 0 9x 2 1 5 y 8 6 0 2 0N FDABP18. (本小题满分13分）已知函数f (x ) ＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． ( I ) 当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；( II ) 若函数f (x )在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>> , 经过点P (1,(I) 求椭圆C 的方程；(II) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．20. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足112a =，1222,,n n n a n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数，数列{}n a 的前n 项和为n S ,2n n b a =，其中*n ∈N .(I) 求23a a +的值；(II) 证明：数列{}n b 为等比数列； (III) 是否存在*()n n ∈N ，使得21241?2n n S b +-= 若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDBDCBAA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 5 10. 40 11. 2 12. 2 13. 3；22(2)3x y -+= 14.② ③ ④ 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 1cos 2()sin 222xf x x +=+⨯sin 2cos21x x =++2sin(2)14x π=++ ………… 5分所以 22T π==π，故()f x 的最小正周期为π. ………… 7分（Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以2444x ππ5π≤+≤． …………9分当242x ππ+=时，即8x π=时， …………11分所以)(x f 21. …………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）经计算得：甲班数据依次为9,12,10,20,26x +，所以中位数为1013x +=，得3x =；1(915101820)165x y =+++++=乙，得8y =．……………4分（II ）乙班整体水平高.或解： 1(912132026)165x =++++=甲， 2222221[(916)(1216)(1316)(2016)(2616))]385s =-+-+-+-+-=甲，1(915181820)165x =++++=乙，222222174[(916)(1516)(1816)(1816)(2016))]14.855s =-+-+-+-+-==乙.因为22s s >甲乙，所以乙班的水平高. ……………7分(III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18.这两班测试成绩的和为ξ，则ξ＝27,28,30,31,35,38， 所以(P ξ1＝27)=9，(P ξ1＝28)=9，(P ξ2＝30)=9，(P ξ2＝31)=9，(P ξ1＝35)=9，(P ξ2＝38)=9.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为112212()272830313538999999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=32 . .……………13分17. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ∆中，,F N 分别为,PA PC 中点，所以//,FN AC 因为,,FN DEF AC DEF ⊂⊄平面平面 所以//DEF AC 平面 …………………4分(Ⅱ)如图以D .D xyz -5分则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,(1,1,0).P B C PB BC ==-u u u r u u u r所以 设平面PBC 的法向量为(,,),m x y z =u r则(,,)(1,1,0,(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u r u u u ru r u u u r即0,0x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,x xz =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得11,x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以m =u r …………………7分因为平(0,0,1),ABC n =r面的法向量所以cos ,n m n m n m⋅==⋅r u rr u r r u r 由图可知二面角A BC P --为锐二面角， 所以二面角A BC P --的大小为.4π…………………9分 (Ⅲ) 设存在点Q 满足条件.由1(,0,(0,22F E 设(01)FQ FE λλ=≤≤u u u r u u u r ， 整理得1(,22Q λλ-，1(,22BQ λλ+=--u u u r …………………11分 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， 所以1sin |cos ,|||62BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅u u u r u ru u u r u r u u u r u r ， …………………13分则21,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合. 故在线段EF 上存在一点Q，且||||2FQ EF == …………………14分18. (本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，定义域是(0,)+∞.'1()21f x x x=-+，由'()0f x >，解得01x <<；由'()0f x <，解得1x >；所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞. …………………5分 （Ⅱ）（法一）因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以'()0f x ≤在()1,+∞上恒成立，则'21()20f x a x a x=-+≤，即22()210g x a x ax =--≥在()1,+∞上恒成立. …………………7分① 当0a =时，()10g x =-<，所以0a =不成立. (9)分② 当0a ≠时，22()21g x a x ax =--，290a ∆=>，对称轴24a x a =. 2(1)014g a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，即22(1)2104g a a a a ⎧=--≥⎪⎨<⎪⎩，解得112104a a a a ⎧≤-≥⎪⎪⎨⎪<>⎪⎩或或 所以实数a 的取值范围是1,12a a ≤-≥. …………………13分（法二）'21()2f x a x a x=-+2221a x ax x -++=，定义域是(0,)+∞.①当0a =时，()ln f x x =在区间(1,)+∞上是增函数，所以0a =不成立. …………………8分②0a ≠时，令'()0f x =，即22210a x ax --=，则1211,2x x a a=-=， …………………9分（i ）当0a >时，由'()0f x <，解得1x a>， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，+所以11a≤，解得1a ≥. …………………11分（ii ）当0a <时，由'()0f x <，解得12x a>-，所以函数()f x 的单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以112a -≤，解得12a ≤-. 综上实数a 的取值范围是112a a ≤-≥或. …………………13分19.（本小题满分14分）解：（I）由222221334a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得 21a b =⎧⎨=⎩， 所以椭圆C 的方程是 2214x y += . .…………………5分 （II ）方法一（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意. (2)不妨设直线l 的方程为 x ky m =+．由22,14x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=. …………………7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224kmy y k +=-+……①, 212244m y y k -=+………②………………… 8分因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r． 由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-u u u r u u u r，得1212(2)(2)0x x y y --+=．将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得221212(1)(2)()(2)0k y y k m y y m ++-++-=. ……… ③ ……………………12分将①②代入③，得 225161204m m k -+=+， 解得65m =或2m =（舍）． 综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分方法二证明：(1) 当k 不存在时，易得此直线恒过点6(,0)5. …………………7分（2）当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为，1122(,),(,)A x y B x y ，(2,0)M . 由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(41)84120k x kmx m +++-=.2216(41)0k m ∆=-+>1228,41km x x k -+=+ ……① 21224441m x x k -=+ ……. ② …………………9分 由题意可知 0MA MB ⋅=u u u r u u u r ,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=-u u u r u u u r1122,.y kx m y kx m =+=+可得 1212(2)(2)0x x y y -⋅-+=. …………………10分整理得 221212(2)()(1)40km x x k x x m -+++++= ③把①②代入③整理得 222121650,41k km m k ++=+ 由题意可知 22121650,k km m ++= 解得 62,.5m k m k =-=- （i ） 当2,(2)m k y k x =-=-即时，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉. ……………12分（ii ） 65m k =-时，即6()5y k x =-，直线过定点6(,0)5，经检验符合题意. 综上所述，直线l 过定点6(,0)5 .…………………14分 20. （本小题满分13分）解：(I) 因为231,3a a ==-，所以232a a +=-.（或者根据已知2122n n a a n ++=-，可得322a a +=-. ） ……………3分(II) 证明： 1222122242(2)422n n n n n n b a a n a n n a b +++==+=--+=-=-,12121,b a a ===，故数列{}n b 是首项为1，公比为－2的等比数列. ……………7分(III)由 (II) 知1(2)n n b -=-，所以21212(2)2n n n b --=-=-.设*221(N ),c 2,n n n n c a a n n +=+∈=-则， 又2112345221()()()n n n S a a a a a a a ++=+++++++L112n a c c c =++++L212n n =--+. 则由212412n n S b +-=，得222404n n n ++=， 设2()42240(2)x f x x x x =---≥， 则'()()4ln 442x g x f x x ==--，'2()4ln 440(2)x g x x =->≥，所以()g x 在[)2,+∞上单调递增， ()(2)'(2)0g x g f ≥=>，即'()0f x >，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增 又因为(1)0,(3)0f f <=，所以仅存在唯一的3n =，使得212412n n S b +-=成立．……………13分。
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文 试题
DCBA 昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）复数21i i-的虚部是A. 1-B. 1C. i -D. i（2） “2a =”是“直线214a y ax y x =-+=-与垂直”的A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）在数列{}n a 中 ，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为 A ．7B ．8C ．9D ．16（4）如图，在,2.=ABC BD D C AB ,AC ,AD ∆== 中若则a =bA.2133+a b B. 2133-a b C.1233+a b D.1233-a b（5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为A. 4 B ．8 C. 12 D. 24 （6）函数22()log (1)f x x x =+-的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 3（7）设不等式组22,4,2x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤ 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413B.513C.825D.925（8）设定义域为R 的函数)(x f 满足以下条件；①对任意0)()(,=-+∈x f x f R x ； ②对任意当],,1[,21a x x ∈有时,12x x >21()()f x f x >.则以下不等式一定成立．．．．的是 ①()(0)f a f > ②)()21(a f a f >+③)3()131(->+-f aa f④)()131(a f aa f ->+-A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）在A B C △中，若3b =,1c =，1cos 3A =，则a =（10）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其中2856-3,15,=_______;_______.a a a S ===则（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ． （12）以双曲线221916xy-=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _______.(13) 已知函数1()(0),()213(0),xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩则((1))f f -=________;若2(23)(5)f a f a ->，则实数a 的取值范围是_______________.（14）过椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上一点M 作直线,M A M B 交椭圆于,A B 两点，设,M A M B 的斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，且121,3k k ⋅=-则此椭圆的离心率为___________.OFEDCBA三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数()(23sin 2cos )cos 1f x x x x =-⋅+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E A B C D -中，底面A B C D 是正方形，,AC BD O 与交于EC ABCD F 底面，^为B E 的中点.（Ⅰ）求证：D E ∥平面A C F ； （Ⅱ）求证：BD AE ^； （Ⅲ）若2,AB C E =在线段E O 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出E G E O的值，若不存在，请说明理由．(17) （本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示. 甲组 乙组 6 X8 74 1 9 0 0 3（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X 及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差2222121=[()()...()],n s x x x x x x n-+-++-其中12,,...,.n x x x x 为的平均数）（18）（本小题满分13分）已知函数3211()()32f x x a x a a =-+∈R .（Ⅰ）若1,a =求函数()[0,2]f x 在上的最大值；（Ⅱ）若对任意(0,+)x ∈∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围.19. （本小题满分13分） 已知椭圆:M 22221(0)x y a b ab+=>>，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A (2,1)在椭圆M 上. 直线l 的斜率为22,且与椭圆M 交于B 、C 两点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.20. （本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====， ①求(1),(2),(3),(4)g g g g ；②求123100a a a a ++++L 的值；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小.G ABCDEFO昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（文科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案BABCACDB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9） 22 （10）6；9（11） 3 （12）22(5)16x y -+=（13） -5; 1(,3)2- （14）63三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为()(23sin 2cos )cos 1f x x x x =-⋅+3sin 2cos 2x x=-π2sin(2)6x =-.………………………………5分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分（II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝- …………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接O F .由A B C D 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为B E 的中点，所以O F ∥D E ………………….2分 又,,OF ACF DEACF 平面平面趟所以D E ∥平面A C F ………….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^ 所以,EC BD ^由A B C D 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC ECACE 平面，翘 所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III) 在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取E O 中点G ，连接C G . 在四棱锥E A B C D -中，22,2AB C E C O AB C E ===，所以C G E O ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^? 因为,CG EO CG ACE 平面，^所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为E O 中点，得1.2E G E O=…………………………………………… 14分（17）(本小题满分13分)解：（I ）乙组同学的平均成绩为87909093904+++=，甲组同学的平均成绩为90，所以8086919490,9.4X X ++++==…………………………………2分甲组同学数学成绩的方差为222228690)(8990)(9190)(9490)17=42s -+-+-+-=甲（…………… 6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为1234,,,,a a a a 乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为1234,,,,b b b b 则所有的事件构成的基本事件空间为：11121314212223243132{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b33344142434(,),(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b 共16个基本事件. 设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{32333441424344(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b a b 共7个基本事件，7()16P A =………………………………………………………………………….13分（18）(本小题满分13分) 解：（I ）当1a =时，311()32f x x x =-+，2'()1f x x =- .............1分令12'()01, 1.f x x x ==-=，得..................................2分列表：x0 (0,1)1(1,2)2()f x '1-- 0 + 3 ()f x12↘16- ↗76∴当[0,2]x ∈时，()f x 最大值为()726f =. ………………………7分（Ⅱ）22'()()(),f x x a x a x a =-=-+令12'()0,,.f x x a x a ==-=得① 若0,)()0,()a a f x f x '<<∴在（0，-上，单调递减.)()0,()a f x f x '∞>∴在（-，+上，单调递增.所以，()f x 在x a =-时取得最小值()332121()3232a f a a a a a -=-++=+，因为()2221210,0,()03232a a f a a a <+>-=+<所以.0,0,+()0.a x f x <∈∞>所以当时对任意（）,不成立…………………..9分② 若20,()0,()0+a f x x f x '==≥∞所以在（，）上是增函数， 所以当=0()(0)0.a f x f >=时，有……………………………………..10分 ③若0,)()0,()a a f x f x '><在（0，上，所以单调递减.)()0,()a f x f x '∞>在（，+上，所以单调递增.所以，()f x 在x a =取得最小值()332121()3232a f a a a a a =-+=--，令()2221213()0,0,0,0.32322f a a a a a a =-->>-<<<由得3,0,()0.2a x f x <<>>所以当0时对任意都成立综上，a 的取值范围是3[0)2，.………………………………13分（19）(本小题满分13分)解: (Ⅰ)由题意知222112a ba ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以2b =.故所求椭圆方程为22142xy+=………………………………….5分(Ⅱ) 设直线l 的的方程为22y x m=+,则0m ≠.设1122(,),(,),B x y C x y代入椭圆方程并化简得22220x mx m ++-=, …………6分 由22224(2)2(4)0m m m ∆=--=->,可得204m << . (*) 由(*)，得21,222(4)2m m x -±-=,故22212231()2(4)3(4)22BC x x m m =+-=⨯-=-…..9分又点A 到BC 的距离为26m d =, …………………10分故22113(4)226ABC m S BC d m ∆=⋅=-⨯222211(4)(4)2222m m m m +-=⨯-≤⨯=,当且仅当224m m =-,即2m =±时取等号满足(*)式.所以ABC ∆面积的最大值为2. ……………………13分（20）(本小题满分13分)解: (I)① 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . ………8分 ②123100401302203104200a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯=L ……….10分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ，当且仅当1100m b +=时取等号.因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =， 所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+. 14分。
2014北京昌平区高一(上)期末数学
5．（5 分）下列函数中，在区间（ 0， +∞）上是增函数的是（
）
A．y=
B．y=
C．y=﹣ 3x﹣2 D．y=（ ） x
6．（5 分）在△ ABC中， D 是 BC的中点，则
等于（ ）
A． B． C． D． 7．（5 分）在平面直角坐标系中，已知单位圆的圆心与坐标原点重合，且与 上一点 P（﹣ ， ），则劣弧 的弧长为（ ）
2014 北京昌平区高一（上）期末数学
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．）
1．（5 分）设集合 M={ ﹣ 2， 0， 2} ，N={ 0} ，则下列结论正确的是（
）
A．N=? B．N∈M C．N? M D．M? N
2．（5 分）下列各角中，与角
，
故选 B．
3．【解答】 由 2x﹣3＞0，得 x＞ ． ∴函数 f（x）=log （ 2x﹣3）的定义域为（ ， +∞）． 故选： C．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项．） 1．【解答】 ∵集合 M={ ﹣2，0，2} ， N={ 0} ， ∴ N? M 故选 C
2．【解答】 与 终边相同的角为 2kπ+ ，k∈z，当 k=﹣ 1 时，此角等于﹣
终边相同的角是（
）
A．﹣
B．﹣
C． D．
3．（5 分）函数 f（x）=log （ 2x﹣3）的定义域为（
）
A．（2，+∞） B． [ 2，+∞） C．（ ，+∞） D．[ ，+∞）
北京市昌平区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科) 2015.1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{}(4)(2)0A x x x =-+=，{}|3B x x =≥，则AB 等于A. {2}-B. {3}C. {4}D. {2,4}-2．已知0a b >>，则下列不等式成立的是 A. 22a b < B. 11a b> C. a b < D. 22a b >3. 执行如图所示的程序框图，输出a 的值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．324.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A ．8B ．83C ．4D ．435. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A. 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥B. 若//αβ，//m α，则//m βC. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥D. 若//m α，//m β，则//αβ6. 在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人7. 在ABC △ 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c . 若1,30,a A ==则“60B =”是“b =的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是A ．甲 B. 乙 C ．丙 D.丁俯视图侧（左）视图正（主）视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9. 设复数12i z =-，则||z = .10. 5)21(x +的展开式中，2x 的系数是 .(用数字作答)11. 若x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .12. 平面向量a 与b 的夹角为60︒，(1,0)=a ，=2|b |，则|2|-a b = .13. 已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率是2，则________,m =以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 . 14. 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，有如下结论：①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=；②()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ③()12,1,1x x ∀∈-，有1212()()0f x f x x x ->-；④()12,0,1x x ∀∈，有1212()()()22x x f x f x f ++≤. 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． ( I ) 求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的最大值及取得最大值时的x 值．16.（本小题满分13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.(I) 求,x y 的值；(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和ξ的分布列及数学期望.（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，… ,n x 的平均数.）17. （本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=. F 为PA 中点，PD =11.2AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .(I) 求证：AC // 平面DEF ；(II) 求二面角A BC P --的大小；(III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？ 若存在，请求出FQ 的长;若不存在，请说明理由.乙甲9 0 9x 2 1 5 y 8 6 0 2 018. (本小题满分13分）已知函数f (x ) ＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． ( I ) 当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；( II ) 若函数f (x )在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>> , 经过点P (1,. (I) 求椭圆C 的方程；(II) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．20. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足112a =，1222,,n n n a n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数，数列{}n a 的前n 项和为n S ,2n n b a =，其中*n ∈N .(I) 求23a a +的值；(II) 证明：数列{}n b 为等比数列； (III ) 是否存在*()n n ∈N ，使得21241?2n n S b +-= 若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.10. 40 11. 212. 2 13. 3；22(2)3x y -+= 14.② ③ ④ 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 1cos 2()sin 222xf x x +=+⨯sin 2cos 21x x =++)14x π=++ ………… 5分所以 22T π==π，故()f x 的最小正周期为π. ………… 7分 （Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以2444x ππ5π≤+≤． …………9分当242x ππ+=时，即8x π=时， …………11分所以)(x f 1. …………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）经计算得：甲班数据依次为9,12,10,20,26x +，所以中位数为1013x +=，得3x =；1(915101820)165x y =+++++=乙，得8y =．……………4分（II ）乙班整体水平高.或解： 1(912132026)165x =++++=甲， 2222221[(916)(1216)(1316)(2016)(2616))]385s =-+-+-+-+-=甲，1(915181820)165x =++++=乙，222222174[(916)(1516)(1816)(1816)(2016))]14.855s =-+-+-+-+-==乙.因为22s s >甲乙，所以乙班的水平高. ……………7分 (III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18.这两班测试成绩的和为ξ，则ξ＝27,28,30,31,35,38， 所以(P ξ1＝27)=9，(P ξ1＝28)=9，(P ξ2＝30)=9，(P ξ2＝31)=9，(P ξ1＝35)=9，(P ξ2＝38)=9.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为112212()272830313538999999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=32 . .……………13分17. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ∆中，,F N 分别为,PA PC 中点，所以//,FN AC 因为,,FN DEF AC DEF ⊂⊄平面平面 所以//DEF AC 平面 …………………4分(Ⅱ)如图以D .D xyz -5分则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,2),(1,1,0).P B C PB BC =-=-所以设平面PBC 的法向量为(,,),m x y z =则(,,)(1,1,0,(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即0,0x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得,x xz =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得 11,x y z⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以(1,1m = …………………7分因为平(0,0,1),ABC n =面的法向量 所以2cos ,2n m n m n m⋅==⋅， 由图可知二面角A BC P --为锐二面角， 所以二面角A BC P --的大小为.4π (9)分 (Ⅲ) 设存在点Q 满足条件. 由1(,0,22F E设(01)FQ FE λλ=≤≤， 整理得1)(,2,)22Q λλλ-+，1)(,21,),22BQ λλλ++=--…………………11分 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以 1sin |cos ,|||622BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅， …………………13分则21,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合.故在线段EF 上存在一点Q ，且||||FQ EF == …………………14分18. (本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，定义域是(0,)+∞.'1()21f x x x=-+， 由'()0f x >，解得01x <<；由'()0f x <，解得1x >；所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞. …………………5分 （Ⅱ）（法一）因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以'()0f x ≤在()1,+∞上恒成立， 则'21()20f x a x a x=-+≤，即22()210g x a x ax =--≥在()1,+∞上恒成立. …………………7分① 当0a =时，()10g x =-<，所以0a =不成立. (9)分② 当0a ≠时，22()21g x a x ax =--，290a ∆=>，对称轴24a x a=. 2(1)014g a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，即22(1)2104g a a a a ⎧=--≥⎪⎨<⎪⎩，解得112104a a a a ⎧≤-≥⎪⎪⎨⎪<>⎪⎩或或 所以实数a 的取值范围是1,12a a ≤-≥. …………………13分（法二）'21()2f x a x a x =-+2221a x ax x-++=，定义域是(0,)+∞.①当0a =时，()ln f x x =在区间(1,)+∞上是增函数，所以0a =不成立. …………………8分②0a ≠时，令'()0f x =，即22210a x ax --=，则1211,2x x a a=-=， …………………9分（i ）当0a >时，由'()0f x <，解得1x a>， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，+所以11a≤，解得1a ≥. …………………11分（ii ）当0a <时，由'()0f x <，解得12x a>-， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以112a -≤，解得12a ≤-. 综上实数a 的取值范围是112a a ≤-≥或. …………………13分19.（本小题满分14分）解：（I）由222221334a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得 21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程是 2214x y += . .…………………5分 （II ）方法一（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意. (2)不妨设直线l 的方程为 x ky m =+．由22,14x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=. …………………7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224kmy y k +=-+……①, 212244m y y k -=+………②………………… 8分因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=．由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-，得1212(2)(2)0x x y y --+=． 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得221212(1)(2)()(2)0k y y k m y y m ++-++-=. ……… ③ ……………………12分将①②代入③，得 225161204m m k -+=+，解得65m =或2m =（舍）．综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分方法二证明：(1) 当k 不存在时，易得此直线恒过点6(,0)5. …………………7分（2）当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为，1122(,),(,)A x y B x y ，(2,0)M . 由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(41)84120k x kmx m +++-=.2216(41)0k m ∆=-+>1228,41km x x k -+=+ ……① 21224441m x x k -=+ ……. ② …………………9分 由题意可知0MA MB ⋅=,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=-1122,.y kx m y kx m =+=+可得 1212(2)(2)0x x y y -⋅-+=. …………………10分整理得 221212(2)()(1)40km x x k x x m -+++++= ③把①②代入③整理得 222121650,41k km m k ++=+ 由题意可知 22121650,k km m ++=解得 62,.5m k m k =-=- （i ） 当2,(2)m k y k x =-=-即时，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉. ……………12分（ii ） 65m k =-时，即6()5y k x =-，直线过定点6(,0)5，经检验符合题意. 综上所述，直线l 过定点6(,0)5 .…………………14分20. （本小题满分13分）解：(I) 因为231,3a a ==-，所以232a a +=-.（或者根据已知2122n n a a n ++=-，可得322a a +=-. ） ……………3分(II) 证明： 1222122242(2)422n n n n n n b a a n a n n a b +++==+=--+=-=-, 12121,b a a ===，故数列{}n b 是首项为1，公比为－2的等比数列. ……………7分(III )由 (II) 知1(2)n n b -=-，所以21212(2)2n n n b --=-=-.设*221(N ),c 2,n n n n c a a n n +=+∈=-则，又2112345221()()()n n n S a a a a a a a ++=+++++++112n a c c c =++++ 212n n =--+.则由212412n n S b +-=，得222404n n n ++=， 设2()42240(2)x f x x x x =---≥， 则'()()4ln 442x g x f x x ==--，'2()4ln 440(2)x g x x =->≥，所以()g x 在[)2,+∞上单调递增， ()(2)'(2)0g x g f ≥=>，即'()0f x >，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增 又因为(1)0,(3)0f f <=，所以仅存在唯一的3n =，使得212412n n S b +-=成立．……………13分。
2014--昌平-二模--数学文
北京市昌平区2014届高三4月第二次统练数 学 试 卷（文 科）2014．4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） （1）在复平面内，复数i(1i)-对应的点位于（ ）．（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知等差数列{}n a 中，264,12==a a ，则{}n a 的前10项和为（ ）．（A ）90 （B ）100 （C ） 110 （D ）120（3）在ABC ∆中，若2221c a b ab-=+，则C ∠的大小为（ ）． （A ）6π （B ）3π（C ）23π （D ）56π（4）已知命题:,+∃∈R p x 使得12+<x x；命题2:0q x x ∀∈≥R,．则下列命题为真命题的是（ ）． （A ）∧p q （B ）∨p q （C ）∨⌝p q （D ）（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）．（A ）12（B ）36 （C ）24 （D ）72（6）下列函数中，对于任意的12,x x ∈R ，满足条件211221()()0()f x f x x x x x ->≠-的函数是（ ）．（A ）2log y x = （B ）1y x=- （C ）2=x y （D ）tan =y x左视图俯视图左视图 俯视图（7）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0．4元，以后每天的回报是前一天的两倍．若投资的时间为810:天，为使投资的回报最多，你会选择哪种方案投资？（ ）． （A ）方案一（B ）方案二 （C ）方案三（D ）都可以（8）已知11, 1,()ln , 01⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩x f x x x x ，若()(1)f x k x ≤-恒成立，则k 的取值范围是（ ）．（A ）(1,)+∞ （B ）(,0]-∞ （C ）(0,1)（D ）[0,1]第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）若直线210ax y +-=与直线2310x y --=平行，则a =______ ．（10）已知实数,x y 满足50,3,0,-+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩x y x x y 则2=+z x y 的最小值为_____ ．（11）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为10，一条渐近线的斜率为34，则此双曲线的标准方程为______，焦点到渐近线的距离为_____ ．（12）执行右边的程序框图，若输入的N 是4，则输出p 的值是______ ．（13）已知矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，在矩形ABCD 内随机取一点M ,则90AMB ︒∠≤的概率为__________ ．是（14）在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，若P 为CD 的中点，则AP BD ⋅uu u r uu u r的值为____;若点E 为AB 边上的动点，点F 是AD 边上的动点，且AE AB λ=uu u r uu u r，(1)AF AD λ=-u u u r u u u r， 01λ≤≤，则DE BF ⋅u u u r u u u r的最大值为________ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）已知函数()f x cos cos )=+x x x ,x ∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及值域； （Ⅱ）求()f x 单调递增区间．某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）根据图中数据求a 的值（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组 各抽取多少名新生？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．（17）（本小题满分14分）已知正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，M 是1DD 的中点． （I ）求证：1//BD 平面AMC ； （II ）求证：1⊥AC BD ；（III ）在线段1BB 上是否存在点P ，当1BPBB λ=时，平面11//A PC 平面AMC ？若存在，求出λ的值并证明；若不存在，请说明理由．频率/组距时间 （分钟）0.0350.03a 0.010.0055040302010频率/组距 时间（分钟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2=d ，且5346=+S a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n nb a 是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分13分） 已知函数32()213a f x x x ax =+--，'(1)0-=f ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对于任意的[2,0)x ∈-，都有()3f x bx ≤+，求b 的取值范围．（20）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，点P 是椭圆C 上的一点，1PF 与y 轴的交点Q 恰为1PF 的中点，34OQ = ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点A 为椭圆的右顶点，过焦点1F 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ,求AMN ∆面积的取值范围．北京市昌平区2014届高三4月第二次统练（二模) 数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014．4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9）4- （10）3-（11）221169x y -=； 3 （12）24（13）14π-； （14）1 ；32-（注：第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为()cos cos )f x x x x =+2cos cos x x x =+ ………1分112cos 222x x =++ ………3分 1s i n (2)62x π=++ ， ………4分 所以22T ππ== ． ………6分 因为x ∈R ， 所以1sin(2)16x π-≤+≤． ………7分所以113sin(2)2622x π-≤++≤．所以()f x 的值域为13[,]22-． ………8分（Ⅱ）因为 222262k x k πππππ-+≤+≤+， ………10分所以 222233k x k ππππ-+≤≤+ ． ………11分 所以36k x k ππππ-+≤≤+． ………12分所以函数()f x 的单调递增区间为[,],()36k k k ππππ-++∈Z ． ………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=, ………1分 所以0.02a =． ………2分 （Ⅱ）依题意可知，第3组的人数为0.310030⨯=， 第4组的人数为0.210020⨯=， 第5组的人数为0.110010⨯=．所以3、4、5组人数共有60． ………3分所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生,分层抽样的抽样比为616010=． ………4分 所以在第3组抽取的人数为130310⨯=人 ， 在第4组抽取的人数为120210⨯=人， 在第5组抽取的人数为110110⨯=人， ………7分 （Ⅲ）记第3组的3名新生为123,,A A A ,第4组的2名新生为12,B B ,第5组的1名新生为1C ．则从6名新生中抽取2名新生，共有:121311121123212221(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C A A A B A B A C313231121121(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A C B B B C B C ,共有15种． …………9分1A Q其中第4组的2名新生12,B B 至少有一名新生被抽中的有:11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 3132121121(,),(,),(,),(,),(,)A B A B B B B C B C 共有9种, …………11分则第4组至少有一名新生被抽中的概率为93155P == …………13分（17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,连结BD 交AC 于N ，连结MN ． 因为ABCD 为正方形，所以N 为BD 中点． ………1分 在1DBD ∆中， 因为M 为1DD 中点，所以1BD ∥MN ． ………2分 因为MN ⊂平面AMC ，1BD ⊄平面AMC ， ………4分 所以1BD ∥平面AMC ． ………5分 （Ⅱ）因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥． ………6分 因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AC ⊥． ………7分因为1DD BD D =I , ………8分 所以⊥AC 平面1BDD ． ………9分 因为11BD BDD ⊂平面，所以1AC BD ⊥． ………10分 （Ⅲ）当12λ=，即点P 为线段1BB 的中点时，平面11//A PC 平面AMC ．…11分 因为11//AA CC 且11AA CC =，所以四边形11AAC C 是平行四边形．所以11//AC A C ． ………12分取1CC 的中点Q ，连结,MQ QB ． 因为M 为1DD 中点， 所以//MQ AB 且MQ AB =，所以四边形ABQM 是平行四边形．所以//BQ AM ． ………13分 同理1//BQ C P ． 所以1//AM C P ．因为1111AC C P C ⋂=，AC AM A ⋂=，所以平面11//A PC 平面AMC ． ………14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为公差2=d ，且5346=+S a ，所以1154524((31)2)62a a ⨯+⨯=+-⨯+． ………2分 所以12a =． ………4分 所以等差数列{}n a 的通项公式为2n a n =． ………5分（Ⅱ）因为数列{}n nb a 是首项为1，公比为c 的等比数列， 所以1n nnb c a -=． ………6分 所以112n n n n b a c n c --=⋅=⋅． ………7分（1）当1c =时，2n b n =． ………8分 所以2(22)(1)2n n n T n n n n +==+=+． ………9分 （2）当1c ≠时，1231n n n T b b b b b -=+++++L因为012212462(1)2n n n T c c c n c n c --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ① ………9分12312462(1)2n n n cT c c c n c n c -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ②………10分①-②得0121(1)22222n nn c T c c c c n c --=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅L ………11分01212()2n n c c c c n c -=++++-⋅L2(1)21n n c n c c -=-⋅- ………12分22(1)2(1)1n nn c n c T c c-⋅=--- ………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2'()22f x ax x a =+-， ………1分因为'(1)0-=f ，所以2a =-． ………2分 所以2'()224f x x x =-++ 22(2)x x =---2(1)(2)x x =-+-．令'()0f x =，解得121,2x x =-=． ………3分 随着x 的变化，'()f x 和()f x 的变化情况如下：………6分 （Ⅱ）因为对于任意的[2,0)x ∈-，都有()3f x bx ≤+，即3223413bx x x x +≥-++-， 所以22443b x x x ≤-++-． ………8分 设224()43h x x x x=-++-． 因为244'()13h x x x=-++， ………9分 又因为[2,0)x ∈-， 所以2440,03x x->>． ………10分11 / 14所以'()0h x >．所以()h x 在[2,0)-上单调递增． ………11分 所以min 4()(2)3h x h =-=． ………12分 即43b ≤． ………13分（20）（本小题满分14分）解：（I ）因为Q 为1PF 的中点，O 为12F F 的中点，34OQ =， 所以2//PF OQ ，且2322PF OQ ==． ………1分 所以212PF F F ⊥．因为12(1,0),(1,0)F F -，所以152PF ==． ………2分 因为12532422a PF PF =+=+=, ………3分 所以2222,3a b a c ==-=．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………4分（Ⅱ）设过点1(1,0)F -的直线l 的斜率为k ,显然0k ≠．（1）当k 不存在时，直线l 的方程为1x =-，所以3MN =． 因为(2,0)A ， 所以11922AMN S MN AF ∆==． …………5分 （2）当k 存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+．12 / 14由22(1),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 并整理得: 2222(34)84120k x k x k +++-=． …………6分设1122(,),(,)M x y N x y ,则2122834k x x k -+=+，212241234k x x k-⋅=+． …………7分因为MN === 2212(1)34k k +=+， …………8分又因为点(2,0)A 到直线(1)y k x =+的距离d =， …………9分所以12AMN S d MN ∆=⋅⋅22112(1)234k k +=⋅+18==== …………10分 设21m k =，则13 / 14AMN S ∆====． …………11分 因为0m >,所以11m +>． 因为函数1()9f x x x =+在1(,)3+∞上单调递增， …………12分 所以19(1)101m m ++>+． 所以19(1)6161m m +++>+． 所以111169(1)61m m <++++．14．所以92<所以902AMN S ∆<<． …………13分 综合（1）（2）可知 902AMN S ∆<≤． …………14分14 / 14。
2014-2015年北京市昌平区高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2014-2015学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∨q 2．（5分）函数y=xe x的导函数y′=（）A．xe x B．e x C．（x+1）e x D．1+e x3．（5分）已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．54．（5分）“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图，函数y=f（x）在M，N两点间的平均变化率是（）A．﹣3B．3C．﹣D．6．（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．17．（5分）已知两条直线m，n和平面α，那么下列命题中的真命题为（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αC．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αD．若m⊥n，n⊂α，m⊄α，则m⊥α8．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到其焦点的距离为2，则点M的坐标为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段A1C1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．BD⊥AEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，则e2f（3）与e3f（2）的大小关系为（）A．e2f（3）＜e3f（2）B．e2f（3）＞e3f（2）C．e2f（3）=e3f（2）D．e2f（3）与e3f（2）的大小关系不确定一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣3x+1＞0，请你写出￢p：．12．（5分）已知直线x+ky+3=0与圆x2+y2+2x﹣1=0相切，则k的值为．13．（5分）已知函数f（x）=ax+lnx在点x=1处取得极值，则a的值为．14．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的焦距为2，则a=；双曲线C的渐近线方程为．15．（5分）如图把椭圆+=1的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=．16．（5分）在平面直角坐标系中，动点P到x轴的距离的平方恰比点P的横纵坐标的乘积小1．记动点P的轨迹为C，下列对于曲线C的描述正确的是①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③当变量|y|逐渐增大时，曲线C无限接近直线y=x；④当变量|y|逐渐减小时，曲线C与x轴无限接近．二、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（14分）已知圆C的圆心为直线3x﹣y﹣5=0与直线x=1的交点，且点A（4，0）在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）过点P（3，2）的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l 的方程．18．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+b，曲线y=f（x）在点（2，4）处的切线方程为4x﹣y﹣4=0，（I）求a，b 的值；（II）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：PA⊥CE；（3）在线段PC上是否存在一点F，使得BF⊥平面PAC？请说明理由．20．（14分）已知椭圆的离心率是，其中一个焦点坐标为．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若直线y=x+m与椭圆M交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）面积为，求m的值．21．（14分）平面内一个点与一条曲线上的任意点的距离的最小值，称为这个点到这条曲线的距离．例如椭圆的右焦点（4，0）到椭圆的距离为1．（I）写出点A（3，5），点B（1，2）到圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的距离；（II）如图，已知直线l与圆C相离，圆C的半径是2，圆心C到直线l的距离为4．请你建立适当的平面直角坐标系，求与直线l和圆C的距离相等的动点P 的轨迹方程．2014-2015学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∨q【解答】解：∵命题q是假命题，命题p是真命题，∴“p∧q”是假命题，即A错误；“p∨q”是真命题，即B正确；“￢p∧q”是假命题，即C错误；“￢p∨q”是假命题，故D错误；故选：B．2．（5分）函数y=xe x的导函数y′=（）A．xe x B．e x C．（x+1）e x D．1+e x【解答】解：y'=（xe x）'=e x+xe x=（1+x）e x；故选：C．3．（5分）已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线∵|AD|==3故选：B．4．（5分）“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m=﹣1时，直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0，即x+3y ﹣1=0 和3x﹣y+2=0，显然这两条直线的斜率互为负倒数，故这两条直线垂直，故充分性成立．由直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直，可得3m+m（2m﹣1）=0，求得m=0，或m=﹣1，不能推出m=﹣1，故必要性不成立．综上可得，m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）如图，函数y=f（x）在M，N两点间的平均变化率是（）A．﹣3B．3C．﹣D．【解答】解：有图可知f（1）=1，f（2）=2，∴f（4）﹣f（1）=2﹣1=1，∴函数y=f（x）在M，N两点间的平均变化率是=，故选：D．6．（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．1【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC．则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积，故选：A．7．（5分）已知两条直线m，n和平面α，那么下列命题中的真命题为（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αC．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αD．若m⊥n，n⊂α，m⊄α，则m⊥α【解答】解：线面平行的判定定理中要求直线m⊄α，所以A错误；线面垂直的判定定理中要求直线m垂直于平面中的两条相交直线，所以B错误；由线面平行的判定定理，可得C正确；由线面垂直的判定定理，可得D不正确．故选：C．8．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到其焦点的距离为2，则点M的坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=4x，（x＞0）其焦点的坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，若抛物线上一点M到其焦点的距离为2，则点M到准线的距离为2，即|x+1|=2，解可得：x=1，又由y2=4x，则y=±2；则点M的坐标为（1，±2）；故选：C．9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段A1C1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．BD⊥AEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【解答】解：对于A，连接AC，则BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1C1C，又AE⊂平面AA1C1C，∴BD⊥AE．故A正确；对于B，∵AC∥A1C1，即EF∥AC，又EF⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故B正确；对于C，S===，△AEF点B到平面AEF的距离为B到平面AA1C1C的距离d==，∴V A=V B﹣AEF==，故C正确；﹣BEF对于D，连接A1B，C1B，则△A1BC1是边长为的等边三角形，∴B到EF的距离为=，而A到EF的距离为AA1=1，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等．故D错误．故选：D．10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，则e2f（3）与e3f（2）的大小关系为（）A．e2f（3）＜e3f（2）B．e2f（3）＞e3f（2）C．e2f（3）=e3f（2）D．e2f（3）与e3f（2）的大小关系不确定【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）=（f′（x）﹣f（x））＞0，∴函数g（x）单调递增，∴g（2）＜g（3），即＜，∴e2f（3）＞e3f（2）故选：B．一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣3x+1＞0，请你写出￢p：∃x∈R，x2﹣3x+1≤0．．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题pp：∀x∈R，x2﹣3x+1＞0，则¬p为∃x∈R，x2﹣3x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣3x+1≤0．12．（5分）已知直线x+ky+3=0与圆x2+y2+2x﹣1=0相切，则k的值为±1．【解答】解：由，得（k2+1）x2+4kx+2=0，若直线和圆相切，则△=16k2﹣8（k2+1）=0，解得：k=±1，故答案为：±1．13．（5分）已知函数f（x）=ax+lnx在点x=1处取得极值，则a的值为﹣1．【解答】解：f′（x）=a+，由题意可得：f′（1）=a+1=0，解得a=﹣1．∴f′（x）=，可知：函数f（x）在x=1出取得极大值，因此a=﹣1满足条件．故答案为：﹣1．14．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的焦距为2，则a=2；双曲线C的渐近线方程为．【解答】解：根据题意，双曲线C的方程：﹣y2=1，其中b=1，焦点在x轴上，若其焦距为2，即2c=2，则c=，则a==2，又由其焦点在x轴上，双曲线C的渐近线方程y=±x；故答案为：2，y=±x．15．（5分）如图把椭圆+=1的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=28．【解答】解：F是椭圆的一个焦点，不妨令F为左焦点F1，则右焦点为F2，分别连结点F2与P1，P2，…P7七个点，易知当i+j=8时有：|P i F1|=|P j F2|，其中i、j∈{1，2，3，…，7}，由椭圆定义可知：|P i F1|+|P i F2|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，7}，∴2（|P1F|+|P2F|+…+|P7F|）=7×8=56，即|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=28，故答案为：28．16．（5分）在平面直角坐标系中，动点P到x轴的距离的平方恰比点P的横纵坐标的乘积小1．记动点P的轨迹为C，下列对于曲线C的描述正确的是①③④①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③当变量|y|逐渐增大时，曲线C无限接近直线y=x；④当变量|y|逐渐减小时，曲线C与x轴无限接近．【解答】解：设P（x，y），由题意可得：y2=xy﹣1，可得曲线C．①把（﹣x，﹣y）代入曲线C得到y2=xy﹣1，曲线方程不变，因此曲线C关于原点对称，正确；②把点（y，x）代入曲线C：得到曲线x2=xy﹣1，可得曲线C关于直线y=x不对称，不正确；③把曲线C的方程变为：，当变量|y|逐渐增大时，→0，→1，因此曲线C无限接近直线y=x，正确；④曲线C的方程变为x=y+，当变量|y|逐渐减小时，x→∞，因此曲线C与x轴无限接近，正确．综上可得：对于曲线C的描述正确的是①③④．故答案为：①③④．二、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（14分）已知圆C的圆心为直线3x﹣y﹣5=0与直线x=1的交点，且点A（4，0）在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）过点P（3，2）的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l 的方程．【解答】解：（I）由得即圆心C的坐标为（1，﹣2），因为点A（4，0）在圆C上．所以半径，所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=13．（II）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，|MN|=6，不合题意．若直线l的斜率存在，设过点P（3，2）的直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，如图所示：因为，所以．，解得，．所以直线l的方程为3x+y﹣11=0或x﹣3y+3=0．18．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+b，曲线y=f（x）在点（2，4）处的切线方程为4x﹣y﹣4=0，（I）求a，b 的值；（II）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值．【解答】解：（I）f′（x）=3x2﹣2ax．由已知有，即，解得：．（II）f（x）=x3﹣2x2+4，f′（x）=3x2﹣4x．令f′（x）=0．解得x=0或．由表可知，当x∈[﹣1，3]时，f（x）最大值为f（3）=13．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：PA⊥CE；（3）在线段PC上是否存在一点F，使得BF⊥平面PAC？请说明理由．【解答】解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，连接AC，BD交于点O，∴O为BD的中点，又∵E为PB的中点．∴OE∥PD，∵OE⊂平面ACE，PD⊄平面ACE∴PD∥平面ACE；∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA．PA⊥PB，∴PA⊥平面PBC，CE⊂平面PBC，∴PA⊥CE．（3）取PC的中点F，连接BF，由于BP=BC，∴PBC为等腰三角形．∴BF⊥PC．由（2）得：PA⊥平面PBC，∴PA⊥BF，∴BF⊥平面PAC．在线段PC上存在一点F，使得BF⊥平面PAC20．（14分）已知椭圆的离心率是，其中一个焦点坐标为．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若直线y=x+m与椭圆M交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）面积为，求m的值．【解答】解：（1）由题意，，解得，∴b2=a2﹣c2=2，故所求椭圆方程为…（4分）（2）由题意m≠0，由，整理得3x2+4mx+2m2﹣4=0，…（6分）由△=（4m）2﹣4•3（2m2﹣4）=8（6﹣m2）＞0，可得0＜m2＜6（*）…（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，…（9分）故===．又点O到AB的距离为，…（12分）故，解得：，且满足（*）．所以m的值为…（14分）21．（14分）平面内一个点与一条曲线上的任意点的距离的最小值，称为这个点到这条曲线的距离．例如椭圆的右焦点（4，0）到椭圆的距离为1．（I）写出点A（3，5），点B（1，2）到圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的距离；（II）如图，已知直线l与圆C相离，圆C的半径是2，圆心C到直线l的距离为4．请你建立适当的平面直角坐标系，求与直线l和圆C的距离相等的动点P 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0可化为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心F（﹣1，2），半径r=3，点A（3，5）在圆外，点A到圆的距离为：|AF|﹣r=﹣3=2，点B（1，2）在圆内，点B到圆的距离为：r﹣|BF|=3﹣=1；（Ⅱ）如图所示：以与直线l平行并与l距离为2的直线为y轴，且与y轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系，，圆心C（﹣2，0），直线l的方程为x=2，∵圆C内的点到圆的距离小于2，到直线l的距离大于2，所以动点P一定不在圆C内，设动点P（x，y），过点P做PD⊥l于点D，连接PC交圆C于点E，则点P到圆C的距离为|PC|﹣|CE|，由题意得|PD|=|PC|﹣|CE|，即|PC|﹣|PD|=2，代入坐标得﹣|x﹣2|=2，化简，当x＜2时，y2=﹣12x+12，当x≥2时，y2=﹣4x﹣4，无解，这样的点不存在，故点P的轨迹方程是y2=﹣12x+12，（x≤1）．。
最新2015年北京市昌平区高三二模数学文科试题及答案
昌平区2015年高三年级第二次统一练习 数学试卷(文科) 2015.4考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5M =，{}4,5N =，则集合()U C M N 中元素的个数是 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2. 4||1i-等于A.1C. 2D.3．设1222114,log ,()43a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A. a c b >> B. a b c >>C. b a c >>D. c a b >>4. 已知ABC ∆是等腰直角三角形, D 是斜边BC 的中点，AB = 2 ,则()AB AC AD +⋅等于A ．2B ．．4 D侧（左）视图俯视图正视图5. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是6.水厂监控某一地区居民用水情况，该地区A,B,C,D四个小区在8:00—12:00时用水总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四个小区中，单位时间内用水量逐步增加的是ABDCQQQ1QQQ1QQQ1QQQ17. 已知函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，其部分图象如图所示, 若，则在(2,0)-上与函数()f x 的单调性相同的是A.21y x =-+B. cos y x =C. ,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ D. 2log y x =8. . 已知四面体A BCD -满足下列条件：（1）有一个面是边长为1的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形. 那么符合上述条件的所有四面体的体积的不同值有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 已知函数2,1(),,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则=x ． 10. 执行下面的程序框图，如果输入的5n =，那么输出 的S 的值为______．11. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98）， [98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36， 则样本中[98,104)的产品的个数是_____________.12. 数列{}n a 中，如果132n n a a +=-*()n ∈N ，且112a =，那么数列{}n a 的前5项的和5S 的值为 .13. 已知圆()()22115x y ++-=经过椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为_______.14. 点P 到曲线C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到曲线C 的距离. 已知点(2,0)P ，若点P 到曲线C在下列曲线中：① 2230x y -=， ②22(1)(3x y ++=， ③ 225945x y +=， ④ 22y x =. 符合题意的正确序号是 .（写出所有正确的序号）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.(本小题满分13分)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的三边分别为c b a ,,， 3B π=，且 2.b a == （Ⅰ）求sin 2A ； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.16.(本小题满分13分)某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为2.（I ） 求,m n 的值；（II ）现从男同学中随机选取2名同学，进行社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同），求选出的这2名男同学中至少．．有一位同学是“数学专业”的概率.17.(本小题满分13分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且32n n a S p =-（其中p 是不为零的常数），*n ∈N . （I ）证明：数列}{n a 是等比数列；（II ）当p =1时，数列11,2n n n b b a b +=+=且，求数列{}n b 的通项公式.18.(本小题满分14分)在如图所示的几何体中，ACDE BC A ⊥平面平面，//CD AE ，F 是BE 的中点，90ACB ∠=，22AE CD ==,1,AC BC BE ===（I ） 求证：//DF ABC 平面； （II ）求证：DF ABE ⊥平面;（III ）求三棱锥E D BC -的体积.19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点1)2A 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II)若直线(0)y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且与圆2222:O x y a b +=+相交于,P B 两点，问-1OM PB k k =⋅是否成立？请说明理由.20.（本小题共13分）已知函数2()(2)2ln f x a x x =-+. ( I ) 若1a =,求函数()f x 的单调区间;( II ) 若()f x 在区间[1,4]上是增函数,求实数a 的取值范围; (III) 已知函数1()()44g x f x a a=-+(0)a ≠，当[2,)x ∈+∞时,函数()g x 图象上的点FEDC BA均在不等式2x y x≥⎧⎨≥⎩所表示的平面区域内,求实数a 的取值范围.昌平区2015年高三年级第二次统一练习数学试卷(文科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 1 10. 14 11. 9012. 252-① ② ④三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.(本小题满分13分)解：（I ） 由,sin sin B b A a =得31sin sin =⋅=b B a A .因为a b <，所以A B <，则cos A =sin 22sin cos A A A ==……………7分 (II)由B ac c a b cos 2222-+=,c c 24272-+=，解得,621+=c 舍）(621-=c ，1sin 2ABC S a c B ∆=⋅⋅⋅=故. ……………13分法二：因为a b <，所以A B <，则cos A =,sin 32cos cos 32sin )32sin()sin(sin A A A B A C ππππ-=-=--=6162312132223sin +=⋅+⋅=C ， ,sin sin AaC c =由得,621+=c1sin 22ABC S a c B ∆=⋅⋅⋅=故.……………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==．解得 3m =． 所以1n =． ……………6分（II ）由题意可知，男生共有6人，分别记为123456,,,,,a a a a a a ．其中数学专业的男生为456,,a a a .从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,a a a a a a a a a a ，23242526,,,a a a a a a a a ，343536,,a a a a a a ，4546,a a a a ，56a a ，共15种可能．设事件B ：选出的这2名男同学中至少有一位同学是“数学专业”．事件B 包括：141516,,a a a a a a ，242526,,a a a a a a ，343536,,a a a a a a ，4546,a a a a ，56a a ，共12种可能．所以至少有一位同学是“数学专业”的概率是124()155P B ==． ……………13分17. (本小题满分13分) 解：（I ）在数列}{n a 中，32nn a S p =- 当1n =时，12a p =当2n ≥时，1133()()2222n n n n n p p a S S a a --=-=--- 11322n n a a -=所以，13n n aa -=故所以数列}{n a 是以2p 为首项，以3为公比的等比数列. ……………7分（II ）当p =1时，12a =，123n n a -=⋅所以1,n n n b b a +=+因为1123,n n n b b -+-=⋅所以 02123b b -=⋅所以 13223b b -=⋅24323b b -=⋅2123,n n n b b ---=⋅以上各式叠加得： 0122123232323,n n b b --=⋅+⋅+⋅++⋅所以所以112(13)231,13n n n b ---=+=--12b =. 又因为 当1n =时，12b =符合上式.所以113n n b -=+,*n ∈N . ……………13分18. (本小题满分14分)证明：（Ⅰ）设M 为AB 中点，连结,FM CM .在ABE ∆中，F 为BE 中点，1//,2FM AE FM AE =.又因为//CD AE ,且12CD AE =, 所以//,CD FM CD FM =.所以 四边形CDFM 为平行四边形.故//DF CM ，DF ABC ⊄平面，CM ABC ⊂平面, 所以//DF ABC 平面. ……………5分（Ⅱ）在Rt ABC ∆中，1AC BC ==,∴AB =.在ABE ∆中，2AE =,BE =AB .因为222BE AE AB =+.所以ABE ∆为直角三角形. 所以AE AB ⊥.又ACDE BC A ⊥因为平面平面，ACDE BC AC A =平面平面.又90ACB ∠=因为，所以AC BC ⊥. 故BC ACDE ⊥平面. 即BC AE ⊥.BC AB B =,所以AE ABC ⊥平面，CM ⊂平面ABC . 故AE CM ⊥.在ABC ∆中，因为AC BC =,M 为AB 中点, 所以 CM AB ⊥ .AE AB A =,所以 CM ABE ⊥平面. 由（Ⅰ）知 //DF CM ,所以 DF AB E ⊥平面. ……………11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知BC ACDE ⊥平面所以BC 为三棱锥E B CD -的高,所以11111113326D BCE B CDE CDE V V S BC --∆===⨯⨯⨯⨯=. ……………14分 19.(本小题满分14分)解：（I ）因为椭圆C的右焦点F，经过点1)2A222223114a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩， 解得24a =，21b =.所以椭圆C 的方程是 2214x y += . .…………………5分 （II ）不成立 .…………………6分 由（I ）知，圆221:5C x y +=因为直线与椭圆C 有且只有一个公共点M . 所以方程组22(*)14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 有且只有一组解.由(*)得222(41)8440k x kmx m +++-=.从而2216(41)0k m ∆=-+=化简得2214m k =+ ①24,41M km x k =-+ 214M M m y kx m k=+=+. ② 所以点M 的坐标为224(,)1414km m k k -++. 由于0PB k k =≠，由①可知0m ≠， 所以2211414414OM PB m k k k k km k +⨯=⨯=-≠--+， -1OM PB k k =⋅不成立.……………14分20.（本小题共13分）解：（I ）当1a =时，2()(2)2ln ,f x x x =-+定义域()0,+∞. 2'22(1)()24,x f x x x x -=-+= 因为0x >，所以'()0f x ≥.所以函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞,无单调递减区间. ……………3分（II ）[]2'2242()24(0),1,4ax ax f x ax a a x x x -+=-+=≠∈. 因为()f x 在区间[1,4]上是增函数,所以'()0f x ≥在区间[1,4]上恒成立，即22420ax ax -+≥在[1,4]上恒成立. （i ）当0a =满足题意（ii ）令2()242,h x ax ax =-+则2()2(1)22,h x a x a =--+对称轴1x =. ① 当0a >时，只需(1)0,h ≥即220,a -+≥解得0 1.a <≤② 当0a <时，只需(4)0,h ≥即1620,a +≥解得10.8a -≤< 综上，实数a 的取值范围是118a -≤≤ ……………7分 （III ）依题意，()g x x ≥在[2,)+∞上恒成立. 令21()()(2)2ln 4,4p x g x x a x x a x a=-=-+-+-则min ()0p x ≥在[2,)+∞上成立即可. '2(2)(21)()241,x ax p x ax a x x--=-+-= ① 当0a <时， 因为2x >，所以20,210,x ax ->-<则'()0,p x <()p x 在[2,)+∞上是单调递减， 且1(4)2ln 4404p a =-+<，所以不满足min ()0p x ≥，则0a <不成立. ② 当104a <<时，122a<. 令'()0,p x >则递增区间是1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，令'()0,p x <则递减区间是12,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以2min 11111()()(2)2ln 422ln 2.22242p x p a a a a a a a a==-+-+-=-- 22ln 20a --≥，解得12a e≤， 所以102a e<≤. ③当14a ≥时，122a≥. 令'()0,p x >则递增区间是[)2,+∞.所以min 1()(2)2ln 24 2.4p x p a a==-+- 因为14a ≥，所以11,41,4a a ≤-≤-则140,4a a-+≤2ln 220-<， 所以min ()(2)0,p x p =<不满足min ()0p x ≥，则14a ≥不成立, 综上，实数a 的取值范围是102a e <≤. ……………13分。
北京市昌平区2014-2015学年高三第一学期期末质量抽测 数学理-含答案
昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科) 2015.1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{}(4)(2)0A x x x =-+=，{}|3B x x =≥，则AB 等于A. {2}-B. {3}C. {4}D. {2,4}-2．已知0a b >>，则下列不等式成立的是 A. 22a b < B. 11a b> C. a b < D. 22a b >3. 执行如图所示的程序框图，输出a 的值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．324.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A ．8B ．83C ．4D ．435. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A. 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥B. 若//αβ，//m α，则//m βC. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥D. 若//m α，//m β，则//αβ6. 在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人7. 在ABC △ 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c . 若1,30,a A ==则“60B =”是“b =的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是A ．甲 B. 乙 C ．丙 D.丁俯视图侧（左）视图正（主）视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9. 设复数12i z =-，则||z = .10. 5)21(x +的展开式中，2x 的系数是 .(用数字作答)11. 若x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .12. 平面向量a 与b 的夹角为60︒，(1,0)=a ，=2|b |，则|2|-a b = .13. 已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率是2，则________,m =以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 .14. 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，有如下结论：①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=；②()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ③()12,1,1x x ∀∈-，有1212()()0f x f x x x ->-；④()12,0,1x x ∀∈，有1212()()()22x x f x f x f ++≤. 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． ( I ) 求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的最大值及取得最大值时的x 值．16.（本小题满分13分）从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.(I) 求,x y 的值；(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和ξ的分布列及数学期望. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，… ,n x 的平均数.）17. （本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=. F 为PA 中点，PD =11.2AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .(I) 求证：AC // 平面DEF ；(II) 求二面角A BC P --的大小；(III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？ 若存在，请求出FQ 的长;若不存在，请说明理由.乙甲9 0 9x 2 1 5 y 8 6 0 2 018. (本小题满分13分）已知函数f (x ) ＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． ( I ) 当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；( II ) 若函数f (x )在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>> , 经过点P (1,2，离心率是2. (I) 求椭圆C 的方程；(II) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．20. （本小题满分13分） 已知数列{}n a 满足112a =，1222,,n n n a n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数，数列{}n a 的前n 项和为n S ,2n n b a =，其中*n ∈N .(I) 求23a a +的值；(II) 证明：数列{}n b 为等比数列； (III ) 是否存在*()n n ∈N ，使得21241?2n n S b +-= 若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.10. 40 11. 212. 2 13. 3；22(2)3x y -+= 14.② ③ ④ 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 1cos 2()sin 222xf x x +=+⨯sin 2cos21x x =++)14x π=++ ………… 5分所以 22T π==π，故()f x 的最小正周期为π. ………… 7分 （Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以2444x ππ5π≤+≤． …………9分当242x ππ+=时，即8x π=时， …………11分所以)(x f 1. …………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）经计算得：甲班数据依次为9,12,10,20,26x +，所以中位数为1013x +=，得3x =；1(915101820)165x y =+++++=乙，得8y =．……………4分（II ）乙班整体水平高.或解： 1(912132026)165x =++++=甲， 2222221[(916)(1216)(1316)(2016)(2616))]385s =-+-+-+-+-=甲，1(915181820)165x =++++=乙，222222174[(916)(1516)(1816)(1816)(2016))]14.855s =-+-+-+-+-==乙.因为22s s >甲乙，所以乙班的水平高. ……………7分(III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18.这两班测试成绩的和为ξ，则ξ＝27,28,30,31,35,38， 所以(P ξ1＝27)=9，(P ξ1＝28)=9，(P ξ2＝30)=9，(P ξ2＝31)=9，(P ξ1＝35)=9，(P ξ2＝38)=9.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为112212()272830313538999999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=32 . .……………13分解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ∆中，,F N 分别为,PA PC 中点，所以//,FN AC 因为,,FN DEF AC DEF ⊂⊄平面平面 所以//DEF AC 平面 …………………4分(Ⅱ)如图以D 为轴，建立空间直角坐标系.D xyz -5分则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,2),(1,1,0).P B C PB BC =-=-所以设平面PBC 的法向量为(,,),m x y z =则(,,)(1,1,0,(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩ 即0,0x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得,x xz =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得 11,x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以m = …………………7分因为平(0,0,1),ABC n =面的法向量 所以2cos ,n m n m n m⋅==⋅， 由图可知二面角A BC P --为锐二面角， 所以二面角A BC P --的大小为.4π…………………9分 (Ⅲ) 设存在点Q 满足条件. 由1(,0,),(0,22F E 设(01)FQ FE λλ=≤≤， 整理得 1(,22Q λλ-，1(,22BQ λλ+=--…………………11分因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， 所以 1sin|cos ,|||62219BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅， …………………13分 则21,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合. 故在线段EF 上存在一点Q ，且||||FQ EF == …………………14分18. (本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，定义域是(0,)+∞.'1()21f x x x=-+， 由'()0f x >，解得01x <<；由'()0f x <，解得1x >；所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞. …………………5分 （Ⅱ）（法一）因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以'()0f x ≤在()1,+∞上恒成立，则'21()20f x a x a x=-+≤，即22()210g x a x ax =--≥在()1,+∞上恒成立. …………………7分 ① 当0a =时，()10g x =-<，所以0a =不成立. …………………9分② 当0a ≠时，22()21g x a x ax =--，290a ∆=>，对称轴24a x a =. 2(1)014g a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，即22(1)2104g a a a a ⎧=--≥⎪⎨<⎪⎩，解得112104a a a a ⎧≤-≥⎪⎪⎨⎪<>⎪⎩或或 所以实数a 的取值范围是1,12a a ≤-≥. …………………13分（法二）'21()2f x a x a x=-+2221a x ax x -++=，定义域是(0,)+∞.①当0a =时，()ln f x x =在区间(1,)+∞上是增函数，所以0a =不成立. …………………8分 0a ≠令'()0f x =，即22210a x ax --=，则1211,2x x a a=-=， …………………9分 （i ）当0a >时，由'()0f x <，解得1x a>， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，+所以11a≤，解得1a ≥. …………………11分 （ii ）当0a <时，由'()0f x <，解得12x a>-， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以112a -≤，解得12a ≤-. 综上实数a 的取值范围是112a a ≤-≥或. …………………13分19.（本小题满分14分）解：（I）由2222213342a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得 21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程是 2214x y += . .…………………5分 （II ）方法一（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意. (2)不妨设直线l 的方程为 x ky m =+．由22,1x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=. …………………7分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224kmy y k +=-+……①, 212244m y y k -=+………②………………… 8分因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=．由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-，得1212(2)(2)0x x y y --+=． 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得221212(1)(2)()(2)0k y y k m y y m ++-++-=. ……… ③ ……………………12分将①②代入③，得 225161204m m k -+=+，解得65m =或2m =（舍）． 综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分方法二 证明：(1) 当k 不存在时，易得此直线恒过点6(,0)5. …………………7分 （2）当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为，1122(,),(,)A x y B x y ，(2,0)M .由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(41)84120k x kmx m +++-=. 2216(41)0k m ∆=-+>1228,41kmx x k -+=+ ……① 21224441m x x k -=+ ……. ② …………………9分由题意可知0MA MB ⋅=,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=- 1122,.y kx m y kx m =+=+可得 1212(2)(2)0x x y y -⋅-+=. …………………10分整理得 221212(2)()(1)40km x x k x x m -+++++= ③把①②代入③整理得 222121650,41k km m k ++=+ 由题意可知 22121650,k km m ++=解得 62,.5m k m k =-=-（i ） 当2,(2)m k y k x =-=-即时，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉. ……………12分（ii ） 65m k =-时，即6()5y k x =-，直线过定点6(,0)5，经检验符合题意. 综上所述，直线l 过定点6(,0)5.…………………14分20. （本小题满分13分）解：(I) 因为231,3a a ==-，所以232a a +=-.（或者根据已知2122n n a a n ++=-，可得322a a +=-. ） ……………3分(II) 证明： 1222122242(2)422n n n n n n b a a n a n n a b +++==+=--+=-=-,12121,b a a ===，故数列{}n b 是首项为1，公比为－2的等比数列. (7)分(III )由 (II) 知1(2)n n b -=-， 所以21212(2)2n n n b --=-=-. 设*221(N ),c 2,n n n n c a a n n +=+∈=-则，又2112345221()()()n n n S a a a a a a a ++=+++++++112n a c c c =++++212n n =--+. 则由212412n n S b +-=，得222404n n n ++=， 设2()42240(2)x f x x x x =---≥， 则'()()4ln 442xg x f x x ==--，'2()4ln 440(2)x g x x =->≥，所以()g x 在[)2,+∞上单调递增，()(2)'(2)0g x g f ≥=>，即'()0f x >，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增又因为(1)0,(3)0f f <=，所以仅存在唯一的3n =，使得212412n n S b +-=成立．……………13分。
北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试数学文
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合AB =（ ）（A ）{1,0,1}- （B ）{1,2}- （C ）{0,1,2} （D ）{1,1,2}- 2．设命题p ：2log 0,2x x x ∀>>，则p ⌝为（ ） （A ）2log 0,2x x x ∀>< （B ）2log 0,2x x x ∃>≤ （C ）2log 0,2x x x ∃>< （D ）2log 0,2x x x ∃>≥3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π=（B ）6A π= （C）sin A = （D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ） （A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）457． 设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x =-的距离为d ，则有（ ）（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤ （D ）2||d AB <8. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（ ）（A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz =+，则||z =______.10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b 的夹角θ=____.11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C 的一条渐近线，点P 为C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.侧(左)视图正(主)视图俯视图A BE CD GH F14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-． （Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B C D ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1BCE ； （Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）B CA 1 D 1 DA B 1C 1E F最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1） 投资股市：（2） 购买基金：（Ⅰ）当2p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)Pmm >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程.对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点. 设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2 10．2π3 11. 12．221416x y -=13．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()4f x x =--πcos 2()4x =- ……………… 3分sin 2x =， ……………… 5分所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.……………… 7分 （Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分理由如下：由ππ2π22π22k x k -+≤≤， 解得ππππ44k x k -+≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z .……………… 12分 当0=k 时，知)(x f 在区间ππ[,]44-上单调递增， 所以函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，因为 25a =，212S a a =+， 所以 24215S p p =-=-+，解得 2p =. ……………… 3分所以 22n S n n =-．当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分 验证知1n =时，1a 符合上式，所以43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12n n n b T b -==--. ……………… 10分 因为 55T S <，所以 521(21)255b -<⨯-，解得 14531b <． ……………… 12分 又因为10b ≠，所以1b 的取值范围是45(,0)(0,)31-∞． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D . 又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A BC D 平面11A ECF A F =，B CA 1 D 1DA B 1C 1E F所以 1A F ∥CE . …………………3分 又 1A F ⊄平面1BCE ，CE ⊂平面1BCE ， 所以 1A F ∥平面1BCE . …………………6分 （Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，因为 90BAD ∠=，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =， 所以 222112AC =+=，222112CD =+=. 所以 222AC CD AD +=，所以 90ACD ∠=，即AC CD ⊥. …………………7分 因为 1A A ⊥平面ABCD AC ⊂，平面ABCD ， 所以 1A A AC ⊥.因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，所以 1C C AC ⊥. …………………9分 又因为 1,CD C C ⊂平面11CDD C ，1CDC C C =，所以 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范围是12[,]33. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种 且三种投资结果相互独立，所以 p +13+q =1. ……………… 2分又因为 12p =， 所以 q =61． ……………… 3分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小， 得 38q <， ……………… 4分因为 p +13+q =1，所以 2338q p =-<，解得 724p >. ……………… 7分 又因为 113p q ++=，0q ≥， 所以 23p ≤. 所以72243p ≤<. ……………… 8分 （Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种， 它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分所以事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x .…………… 11分 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =. …………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c , ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为111||||2S PF y =⋅，221||||2S PF y =⋅,所以2||||212121=-==y yy y S S . ……………… 9分 即 212y y -=.所以 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， ……………… 11分则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-⋅-x k x k x k x k ， 即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，即 2222222)43416(2434162344816-+-=++⋅-+-k k k k k k ， 解得 25±=k . ……………… 13分所以直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(25--=x y . ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分 理由如下：由条件知2()f x x =-， 由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=， …………………2分 所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ①·11· 12as a s -=， ② …………………4分 由②，得 1(21)a s s =-， 代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………5分 因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………8分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分 （Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相 切. …………………13分。
2014昌平高三二模数学文科
昌平区 2014年高三年级第二次统一练习数 学 试 卷（文 科） 2014.4 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1、 在复平面内，复数i(1i)-对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限2、 已知等差数列{}n a 中，264,12==a a ，则{}n a 的前10项和为（A ）90 （B ）100 （C ）110 （D ）1203、 在ABC ∆中，若2221c a b ab-=+，则C ∠的大小为（A ）6π （B ）3π（C ）23π （D ）56π4、 已知命题:,+∃∈R p x 使得12+<x x；命题2:0q x x ∀∈≥R,.则下列命题为真命题的是（A ）∧p q （B ）∨p q （C ）∨⌝p q （D ）∧⌝p q5、 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）12 （B ）36 （C ）24 （D ）726、 下列函数中，对于任意的12,x x ∈R ，满足条件211221()()0()f x f x x x x x ->≠-的函数是（A ）2log y x = （B ）1y x=-（C ）2=x y （D ）tan =y x 7、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报是前一天的两倍.若投资的时间为810:天，为使投资的回报最多，你会选择哪种方案投资？ （A ）方案一（B ）方案二 （C ）方案三（D ）都可以左视图俯视图左视图 俯视图8、 已知11, 1,()ln , 01⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩x f x x x x ，若()(1)f x k x ≤-恒成立，则k 的取值范围是（A ）(1,)+∞ （B ）(,0]-∞ （C ）(0,1)（D ）[0,1]第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9、 若直线210ax y +-=与直线2310x y --=平行，则a =______ .10、已知实数,x y 满足50,3,0,-+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩x y x x y 则2=+z x y 的最小值为_____ .11、已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为10，一条渐近线的斜率为34，则此双曲线的标准方程为______，焦点到渐近线的距离为_____ .12、 执行右边的程序框图，若输入的N 是4， 则输出p 的值是______ .13、已知矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，在矩形ABCD 内随机取一点M ,则90AMB ︒∠≤的概率为__________ .14、 在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，若P 为CD 的中点，则AP BD ⋅uu u r uu u r的值为____;若点E 为AB 边上的动点，点F 是AD 边上的动点，且A E A B λ=u uu r u uu r，(1)AF AD λ=-u u u r u u u r， 01λ≤≤，则DE BF ⋅uuu r uu u r 的最大值为________ .是三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15、(本小题满分13分)已知函数()fx cos cos )=+x x x ,x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及值域； （Ⅱ）求()f x 单调递增区间.16、(本小题满分13分)某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得到的频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）根据图中数据求a 的值（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取 6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组 各抽取多少名新生？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率. 17、(本小题满分14分)已知正四棱柱1111-ABCD A BC D 中，M 是1DD 的中点. （I ）求证：1//BD 平面AMC ； （II ）求证：1⊥AC BD ；（III ）在线段1BB 上是否存在点P ，当1BPBB λ=时，平面11//A PC 平面AMC ？若存在，求出λ的值并证明；若不存在，请说明理由.18、(本小题满分13分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2=d ，且5346=+S a . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列{}nnb a 是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 0频率/组距时间 （分钟）0.0350.03a 0.010.0055040302010频率/组距 时间（分钟）19、(本小题满分13分) 已知函数32()213a f x x x ax =+--，'(1)0-=f . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对于任意的[2,0)x ∈-，都有()3f x bx ≤+，求b 的取值范围.20、(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，点P 是椭圆C 上的一点，1PF 与y 轴的交点Q 恰为1PF 的中点，34OQ = . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点A 为椭圆的右顶点，过焦点1F 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ,求AMN ∆面积的取值范围.昌平区 2014年高三年级第二次统一练习数学试卷（文科）评分标准 2014.4参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9、 4- ； 10、 3- ； 11、 221169x y -=， 3 ； 12、 24 ；13、 14π-； 14、 1 ，32-.（注：第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15、(本小题满分13分)解：(Ⅰ) 因为()cos cos )f x x x x =+2cos cos x x x =+ ………1分112cos 2222x x =++ ………3分 1sin(2)62x π=++ ， ………4分 所以22T ππ== . ………6分 因为x ∈R ，所以1sin(2)16x π-≤+≤. ………7分所以113sin(2)2622x π-≤++≤.所以()f x 的值域为13[,]22-. ………8分 (Ⅱ) 因为 222262k x k πππππ-+≤+≤+， ………10分 所以 222233k x k ππππ-+≤≤+ . ………11分 所以36k x k ππππ-+≤≤+. ………12分所以函数()f x 的单调递增区间为[,],()36k k k ππππ-++∈Z . ………13分16、(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为(0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=, ………1分所以0.02a =. ………2分 （Ⅱ）依题意可知，第3组的人数为0.310030⨯=， 第4组的人数为0.210020⨯=， 第5组的人数为0.110010⨯=.所以3、4、5组人数共有60. ………3分 所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生,分层抽样的抽样比为616010=. ………4分 所以在第3组抽取的人数为130310⨯=人 ，在第4组抽取的人数为120210⨯=人， 在第5组抽取的人数为110110⨯=人， ………7分 （Ⅲ）记第3组的3名新生为123,,A A A ,第4组的2名新生为12,B B ,第5组的1名新生为1C .则从6名新生中抽取2名新生，共有:121311121123212221(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C A A A B A B A C 313231121121(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A C B B B C B C ,共有15种. …………9分其中第4组的2名新生12,B B 至少有一名新生被抽中的有:11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 3132121121(,),(,),(,),(,),(,)A B A B B B B C B C 共有9种,…………11分则第4组至少有一名新生被抽中的概率为93155P == …………13分 17、(本小题满分14分)解：（Ⅰ）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中,连结BD 交AC 于N ，连结MN . 因为ABCD 为正方形，所以N 为BD 中点. ………1分 在1DBD ∆中，因为M 为1DD 中点，所以1BD ∥MN . ………2分 因为MN ⊂平面AMC ，1BD ⊄平面AMC ， ………4分1AQ 所以1BD∥平面AMC. ………5分(Ⅱ) 因为ABCD为正方形，所以AC BD⊥. ………6分因为1DD⊥平面ABCD，所以1DD AC⊥. ………7分因为1DD BD D=I, ………8分所以⊥AC平面1BDD. ………9分因为11BD BDD⊂平面，所以1AC BD⊥. ………10分（Ⅲ）当12λ=，即点P为线段1BB的中点时，平面11//A PC平面AMC.…11分因为11//AA CC且11AA CC=，所以四边形11AAC C是平行四边形.所以11//AC AC. ………12分取1CC的中点Q，连结,MQ QB.因为M为1DD中点，所以//MQ AB且MQ AB=，所以四边形ABQM是平行四边形. 所以//BQ AM. ………13分同理1//BQ C P.所以1//AM C P.因为1111AC C P C⋂=，AC AM A⋂=，所以平面11//A PC平面AMC. ………14分18、(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为公差2=d，且5346=+S a，所以1154524((31)2)62a a⨯+⨯=+-⨯+. ………2分所以12a=. ………4分所以等差数列{}n a的通项公式为2na n=. ………5分(Ⅱ)因为数列{}nnba是首项为1，公比为c的等比数列，所以1n nnb c a -=. ………6分 所以112n n n n b a c n c --=⋅=⋅. ………7分 （1）当1c =时，2n b n =. ………8分 所以2(22)(1)2n n n T n n n n +==+=+. ………9分 （2）当1c ≠时，1231n n n T b b b b b -=+++++L因为012212462(1)2n n n T c c c n c n c --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ① ………9分12312462(1)2n n n cT c c c n c n c -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ②………10分①-②得0121(1)22222n n n c T c c c c n c --=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅L ………11分01212()2n n c c c c n c -=++++-⋅L2(1)21n n c n c c-=-⋅- ………12分22(1)2(1)1n nn c n c T c c-⋅=--- ………13分 19、(本小题满分13分)解：(Ⅰ) 因为2'()22f x ax x a =+-， ………1分因为'(1)0-=f ，所以2a =-. ………2分 所以2'()224f x x x =-++22(2)x x =---2(1)(2)x x =-+-.令'()0f x =，解得121,2x x =-=. ………3分 随着x 的变化，'()f x 和()f x 的变化情况如下：即()f x 在(,1)-∞-和(2,)+∞上单调递减，在(1,2)-上单调递增. ………6分(Ⅱ) 因为对于任意的[2,0)x ∈-，都有()3f x bx ≤+，即3223413bx x x x +≥-++-， 所以22443b x x x ≤-++-. ………8分设224()43h x x x x =-++-.因为244'()13h x x x=-++， ………9分又因为[2,0)x ∈-，所以2440,03x x->>. ………10分所以'()0h x >. 所以()h x 在[2,0)-上单调递增. ………11分 所以min 4()(2)3h x h =-=. ………12分 即43b ≤. ………13分 20、(本小题满分14分)解：（I ）因为Q 为1PF 的中点，O 为12F F 的中点，34OQ =， 所以2//PF OQ ，且2322PF OQ ==. ………1分 所以212PF F F ⊥.因为12(1,0),(1,0)F F -，所以152PF ==. ………2分 因为12532422a PF PF =+=+=, ………3分 所以2222,3a b a c ==-=.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ………4分 （Ⅱ）设过点1(1,0)F -的直线l 的斜率为k ,显然0k ≠.（1）当k 不存在时，直线l 的方程为1x =-， 所以3MN =.因为(2,0)A ，所以11922AMN S MN AF ∆==. …………5分 （2）当k 存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+.由22(1),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 并整理得:2222(34)84120k x k x k +++-=. …………6分设1122(,),(,)M x y N x y ,则2122834k x x k -+=+，212241234k x x k-⋅=+. …………7分因为MN ===2212(1)34k k +=+，…………8分 又因为点(2,0)A 到直线(1)y k x =+的距离d =， …………9分所以12AMN S d MN ∆=⋅⋅22112(1)234k k +=⋅+18====10分 设21m k=，则AMN S ∆====. ……11分 因为0m >,所以11m +>.因为函数1()9f x x x =+在1(,)3+∞上单调递增， …………12分所以19(1)101m m ++>+.所以19(1)6161m m +++>+. 所以111169(1)61m m <++++.14<.所以92所以902AMN S ∆<<. …………13分综合（1）（2）可知 902AMN S ∆<≤. …………14分。
2014-2015学年北京市昌平区高一上学期期末质量检测数学
2014-2015学年北京市昌平区高一上学期期末质量检测数学一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合，，，则A. B. C. D.2. 已知角的终边经过点，则A. B. C. D.3. 已知函数，当时，函数的值域是A. B. C. D.4. 设，，则A. B. C. D.5. 函数的周期是A. B. C. D.6. 将函数的图象上所有的点向右平移个单位，得到的图象所对应的函数解析式为A. B.C. D.7. 定义运算则函数的图象是A. B.C. D.8. 已知，且，则A. B. C. D.9. 设函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则A. B. C. D.10. 设正数，满足，则下列结论中，不可能成立的是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 函数的图象过点，则．12. 已知，则．13. 已知函数则；若，则．14. 某蒸汽机上的飞轮直径为，每分钟按顺时针方向旋转转，则飞轮每秒钟转过的弧度数是；轮周上的一点每秒钟经过的弧长为．15. 已知函数在闭区间上有最大值，最小值，则的取值范围是．16. 已知函数的最大值为，最小值为，则．三、解答题（共5小题；共65分）17. 已知全集，，．（1）当时，求，；（2）若，求的取值范围．18. 在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，，两点的横坐标分别为，．（1）写出，的值；（2）求的值；（3）求的余弦值．19. 已知函数．（1）判断函数的奇偶性并求函数的零点；（2）写出的单调区间；（3）试讨论方程的根的情况．20. 已知函数．（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）求函数的单调递增区间．21. 已知函数对任意，都有，且．（1）求；（2）证明：函数为偶函数；（3）存在正数，使得，求满足的个值．答案第一部分1. A2. D3. B4. C5. B6. C7. A8. B9. A 10. D第二部分11.12.13. ，14. ，15.16.第三部分17. （1）当时，．所以因为所以（2）当时，，．当时，．要使，只需．当时，，此时，．当时，，此时，．综上所述，当时，．18. （1）；（2）因为，，所以．所以．（3）因为，，所以．所以19. （1）因为所以为奇函数．令，即，．解得：，，．所以函数的零点为，，．（2）函数的图象如图所示：函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．（3）当或时，方程有一个根；当时，方程有两个根；当时，方程有三个根．20. （1）因为，所以，所以．即．所以当，即时，函数的最大值为；当；即时，函数的最小值为．（2）令，解得．结合定义域，可知函数单调递增区间为．21. （1）令．则．因为，所以．（2）令，．则．所以．所以函数为偶函数．（3）令，．因为，所以．即．所以．所以．所以满足的一个值为．。
2014-2015年北京市昌平区届高三上学期期末考试数学文试题含答案
1. 已知集合 M {x 1}, N {x | x 0}, 则 M I N 等于
A.x x 1
B. x x 1
C. x 0 x 1
D.
2．下列函数中，在区间(0， π )上是减函数的是 2
A． y cos x
B． y sin x
C． y x2
D． y 2x 1
频率 组距
6m 5m 4m 3m 2m
O 50 60 70
80 90 100 成绩（分）
17.（本小题满分 13 分）
在等比数列an 中， a2 2, a5 16 . （I）求等比数列an 的通项公式； （II）若等差数列bn 中，b1 a5,b8 a2 ，求等差数列bn 的前 n 项的和 Sn ，并求 Sn 的
3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、 折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．
4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区 域的作答均不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出
已知函数 f (x) 3 sin x cos x 1 cos 2x 1. 2
(I) 求函数 f (x) 的最小正周期；
(II)当 x [0, ] 时，求函数 f (x) 的最大值及取得最大值时的 x 值． 2
16.（本小题满分 13 分） 有 20 名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的 频率分布直方图如图所示： （I）求频率分布直方图中 m 的值； (Ⅱ) 分别求出成绩落在 [70,80),[80,90),[90,100] 中 的学生人数； （III）从成绩在[80,100] 的学生中任选 2 人，求所选 学生的成绩都落在[80,90) 中的概率．
北京市昌平区2014届高三上学期期末考试数学文试题 含答案
昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文 科）（满分150分，考试时间120分钟）2014.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集{0,1,2,3,4,5,6}=U ，集合{1,2},{0,2,5}==A B ,则集合()=I U A B ð (A){3,4,6} (B){3,5} (C ){0,5} (D){0,2,4}(2) 在复平面内表示复数i(12i)+的点位于(A)第一象限 (B )第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3) 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于 (A)63 (B )31 (C)127 (D)15(4) “1a =”是“直线1:210l ax y +-=与2:(1)40l x a y +++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件(5) 设,m n 是两条不同直线, ,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是 (A) //,//,m n αβ 且//αβ，则//m n (B ) ,,⊥⊥m n αβ且⊥αβ，则⊥m n (C) ,,⊥⊂m n αβ⊥m n ，则⊥αβ (D) ,,⊂⊂m n αα //,//m n ββ，则//αβ(6)将函数2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到的函数解析式为 (A) 2cos 2y x = (B )2cos 2y x =- (C) 2sin 2y x =-(D ) 2sin 2y x =(7)已知函数2 2, 01,()21,30xa x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨--+-≤≤⎪⎩的值域为[2,2]-，则实数a 的取值范围是(A) 0a ≥ (B) 03a ≤≤ (C ) 30a -≤≤ (D) 30a -<<(8) 已知函数()xf x Rπ=的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆222x y R +=上，则函数()f x 的图象的一条对称轴可以是(A)直线2x π= (B) 直线12x =(C)直线x π=- (D )直线1x =-第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 已知向量(3,1),(,3)k ==a b ，若⊥a b ，则k =________ .(10) 若实数,x y 满足10,2,3x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最大值是________ .(11) 抛物线2y ax =的准线方程是1x =-，则实数a 的值为________ .(12) 设23232(),,log 3===ma b m c m ，当1>m 时，,,a b c 从小到大．．．．的顺序是___ . (13) 若m 是2和8的等比中项，则m =________ ，圆锥曲线221+=y x m的离心率是___________ .(14) 函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,∈x x D ，当12<x x 时，都有12()()≥f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0=f ；②1()()32=x f f x ；③(1)1()-=-f x f x .则1()6f =_______ ；11()()47f f +=_________ .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，cos C =，3a =. (Ⅰ)求sin B ； (Ⅱ)求∆ABC 的面积.(16)(本小题满分13分)为了参加某项环保活动，用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中，抽取若干人组成环保志C 1B 1A 1DCBA（Ⅰ）分别求出样本中高一、高二年级志愿者的人数x ，y ；（Ⅱ）用(1,2,)=L i A i 表示样本中高一年级的志愿者，(1,2,)=L i a i 表示样本中高二年级的志愿者，现从样本中高一、高二年级的所有志愿者中随机抽取2人.（1）按照以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况； （2）求二人在同一年级的概率.(17)(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1,2⊥===AC BC AC BC BB ,D 为AB 的中点. （Ⅰ）求证：1BC ∥平面CD A 1； (Ⅱ) 求证：⊥1BC 平面C AB 1； （Ⅲ）求三棱锥1D A AC -的体积.(18)(本小题满分13分)设函数2()ln ,,=-∈R f x a x bx a b .（Ⅰ）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12=-y ,求实数,a b 的值； （II ）若1b =，求函数()fx 的最大值.(19)(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线l 与椭圆C 交于两点,A B .（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足+=uu r uu u r uu u rOA OB tOP （O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.(20)(本小题满分14分)已知无穷数列{}n a 中，123,,,,m a a a a L 是首项为10,公差为2-的等差数列，1232,,,,+++m m m m a a a a L 是首项为12,公比为12的等比数列(其中3,m m ≥∈N*),并对任意的n ∈N*，均有2n m n a a +=成立.(Ⅰ)当12m =时,求2014a ； (Ⅱ)若521128a =，试求m 的值； (Ⅲ)判断是否存在(3,)m m m ≥∈N*，使得12832014m S +≥成立?若存在,试求出m 的值；若不存在,请说明理由.昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
昌平区2014-2015学年第一学期高三年级期末质量抽测理科数学(含答案)
昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科) 2015.1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{}(4)(2)0A x x x =-+=，{}|3B x x =≥，则AB 等于A. {2}-B. {3}C. {4}D. {2,4}-2．已知0a b >>，则下列不等式成立的是 A. 22a b < B. 11a b> C. a b < D. 22a b >3. 执行如图所示的程序框图，输出a 的值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．3224.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A ．8B ．83C ．4D ．435. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A. 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥B. 若//αβ，//m α，则//m βC. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥D. 若//m α，//m β，则//αβ6. 在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人7. 在ABC △ 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c . 若1,30,a A ==则“60B =”是“b =的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是A ．甲 B. 乙 C ．丙 D.丁第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9. 设复数12i z =-，则||z = .10. 5)21(x +的展开式中，2x 的系数是 .(用数字作答)俯视图侧（左）视图正（主）视图11. 若x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .12. 平面向量a 与b 的夹角为60︒，(1,0)=a ，=2|b |，则|2|-a b = .13. 已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率是2，则________,m =以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 .14. 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，有如下结论：①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=；②()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ③()12,1,1x x ∀∈-，有1212()()0f x f x x x ->-；④()12,0,1x x ∀∈，有1212()()()22x x f x f x f ++≤. 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． ( I ) 求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的最大值及取得最大值时的x 值．4从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.(I) 求,x y 的值；(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和ξ的分布列及数学期望.（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，… ,n x 的平均数.）17. （本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=. F 为PA 中点，PD =11.2AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .(I) 求证：AC // 平面DEF ；(II) 求二面角A BC P --的大小；(III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？ 若存在，请求出FQ 的长;若不存在，请说明理由.乙甲9 0 9x 2 1 5 y 8 6 0 2 0已知函数f (x ) ＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． ( I ) 当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；( II ) 若函数f (x )在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>> , 经过点P (1,(I) 求椭圆C 的方程；(II) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．20. （本小题满分13分） 已知数列{}n a 满足112a =，1222,,n n n a n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数，数列{}n a 的前n 项和为n S , 2n n b a =，其中*n ∈N .(I) 求23a a +的值；(II) 证明：数列{}n b 为等比数列； (III ) 是否存在*()n n ∈N ，使得21241?2n n S b +-= 若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．6昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.10. 40 11. 212. 213. 3；22(2)3x y -+= 14.② ③ ④ 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 1cos 2()sin 222xf x x +=+⨯sin 2cos 21x x =++)14x π=++ ………… 5分所以 22T π==π，故()f x 的最小正周期为π. ………… 7分 （Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以2444x ππ5π≤+≤． …………9分当242x ππ+=时，即8x π=时， …………11分所以)(x f 1. …………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）经计算得：甲班数据依次为9,12,10,20,26x +，所以中位数为1013x +=，得3x =；1(915101820)165x y =+++++=乙，得8y =．……………4分（II ）乙班整体水平高.或解： 1(912132026)165x =++++=甲， 2222221[(916)(1216)(1316)(2016)(2616))]385s =-+-+-+-+-=甲，1(915181820)165x =++++=乙，222222174[(916)(1516)(1816)(1816)(2016))]14.855s =-+-+-+-+-==乙.因为22s s >甲乙，所以乙班的水平高. ……………7分 (III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18.这两班测试成绩的和为ξ，则ξ＝27,28,30,31,35,38， 所以(P ξ1＝27)=9，(P ξ1＝28)=9，(P ξ2＝30)=9，(P ξ2＝31)=9，(P ξ1＝35)=9，(P ξ2＝38)=9. 所以ξ的分布列为所以ξ的期望为112212()272830313538999999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=32 . .……………13分17. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ∆中，,F N 分别为,PA PC 中点，所以//,FN AC 因为,,FN DEF AC DEF ⊂⊄平面平面 所以//DEF AC 平面 …………………4分(Ⅱ)如图以D 为轴，建立空间直角坐标系.D xyz -5分则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,2),(1,1,0).P B C PB BC =-=-所以8设平面PBC 的法向量为(,,),m x y z =则(,,)(1,1,0,(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即0,0x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,x x z =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，得11,x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(1,1m = …………………7分因为平(0,0,1),ABC n =面的法向量 所以2cos ,2n m n m n m⋅==⋅， 由图可知二面角A BC P --为锐二面角， 所以二面角A BC P --的大小为.4π…………………9分(Ⅲ) 设存在点Q 满足条件. 由1(2F E设(01)FQ FE λλ=≤≤， 整理得1)(,2)22Q λλλ-+，1)(,21,),22BQ λλλ++=--…………………11分 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以 1sin|cos ,|||62219BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅， …………………13分则21,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合. 故在线段EF 上存在一点Q ，且||||2FQ EF == …………………14分18. (本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，定义域是(0,)+∞.'1()21f x x x=-+， 由'()0f x >，解得01x <<；由'()0f x <，解得1x >；所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞. …………………5分 （Ⅱ）（法一）因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以'()0f x ≤在()1,+∞上恒成立， 则'21()20f x a x a x=-+≤，即22()210g x a x ax =--≥在()1,+∞上恒成立. …………………7分 ① 当0a =时，()10g x =-<，所以0a =不成立. …………………9分② 当0a ≠时，22()21g x a x ax =--，290a ∆=>，对称轴24a x a =. 2(1)014g a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩，即22(1)2104g a a a a ⎧=--≥⎪⎨<⎪⎩，解得112104a a a a ⎧≤-≥⎪⎪⎨⎪<>⎪⎩或或 所以实数a 的取值范围是1,12a a ≤-≥. …………………13分（法二）'21()2f x a x a x =-+2221a x ax x-++=，定义域是(0,)+∞.①当0a =时，()ln f x x =在区间(1,)+∞上是增函数，所以0a =不成立. …………………8分 ②0a ≠时，令'()0f x =，即22210a x ax --=，则1211,2x x a a=-=， …………………9分 （i ）当0a >时，由'()0f x <，解得1x a>， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，+所以11a≤，解得1a ≥. …………………11分 （ii ）当0a <时，由'()0f x <，解得12x a>-， 所以函数()f x 的单调递减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，所以112a -≤，解得12a ≤-. 综上实数a 的取值范围是112a a ≤-≥或. …………………13分1019.（本小题满分14分）解：（I）由222221334a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得 21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程是 2214x y += . .…………………5分 （II ）方法一（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意. (2)不妨设直线l 的方程为 x ky m =+．由22,14x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=. …………………7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224kmy y k +=-+……①, 212244m y y k -=+………②………………… 8分因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=．由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-，得1212(2)(2)0x x y y --+=． 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得221212(1)(2)()(2)0k y y k m y y m ++-++-=. ……… ③ ……………………12分将①②代入③，得 225161204m m k -+=+，解得65m =或2m =（舍）． 综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分方法二 证明：(1) 当k 不存在时，易得此直线恒过点6(,0)5. …………………7分 （2）当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为，1122(,),(,)A x y B x y ，(2,0)M .由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(41)84120k x kmx m +++-=. 2216(41)0k m ∆=-+>1228,41km x x k -+=+ ……① 21224441m x x k -=+ ……. ② …………………9分 由题意可知0MA MB ⋅=,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=-1122,.y kx m y kx m =+=+可得 1212(2)(2)0x x y y -⋅-+=. …………………10分整理得 221212(2)()(1)40km x x k x x m -+++++= ③把①②代入③整理得 222121650,41k km m k ++=+ 由题意可知 22121650,k km m ++=解得 62,.5m k m k =-=- （i ） 当2,(2)m k y k x =-=-即时，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉. ……………12分（ii ） 65m k =-时，即6()5y k x =-，直线过定点6(,0)5，经检验符合题意. 综上所述，直线l 过定点6(,0)5 .…………………14分 20. （本小题满分13分）解：(I) 因为231,3a a ==-，所以232a a +=-.（或者根据已知2122n n a a n ++=-，可得322a a +=-. ） ……………3分 (II) 证明： 1222122242(2)422n n n n n n b a a n a n n a b +++==+=--+=-=-,12121,b a a ===，故数列{}n b 是首项为1，公比为－2的等比数列. ……………7分 (III )由 (II) 知1(2)n n b -=-，所以21212(2)2n n n b --=-=-.设*221(N ),c 2,n n n n c a a n n +=+∈=-则，又2112345221()()()n n n S a a a a a a a ++=+++++++112n a c c c =++++ 212n n =--+. 则由212412n n S b +-=，得222404n n n ++=， 设2()42240(2)xf x x x x =---≥， 则'()()4ln 442xg x f x x ==--，12 '2()4ln 440(2)x g x x =->≥，所以()g x 在[)2,+∞上单调递增， ()(2)'(2)0g x g f ≥=>，即'()0f x >，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增 又因为(1)0,(3)0f f <=，所以仅存在唯一的3n =，使得212412n n S b +-=成立．……………13分。
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北京市昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(文科) 2015.1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合{1},{|0},M x N x x =<=>则M N 等于A.{}1x x < B. {}1x x >C. {}01x x <<D.∅2．下列函数中，在区间(0，π2)上是减函数的是 A ． cos y x = B ． sin y x = C ．2y x = D ． 21y x =+3. 在ABC ∆中，60,A AC BC ︒∠===，则B ∠等于 A. 120 B.90 C.60 D.454．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是 A ．8B ．83C ．4D ．43侧（左）视图正（主）视图5. “αβ=”是“sin sin αβ=”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是A. 若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥B. 若//αβ，m α⊥，则m β⊥C. 若//αβ，//m α，则//m βD. 若//m α，//m β，则//αβ7. 某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n 次涨停(每次上涨 10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用)是A. 略有盈利B. 略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况8. 已知数列}{n a 满足*134(1),n n a a n n ++=≥∈N ，且,91=a 其前n 项之和为n S ，则满足不等式1|6|40n S n --<成立的n 的最小值是 A.7 B.6 C.5 D.4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9. 计算：(1i)(12i)+-= .（i 为虚数单位） 10. 执行如图所示的程序框图，如果输入2-是 ，如果输入4，那么输出的结果是 ．11. 设x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .12. 平面向量a 与b 的夹角为60，(1,0)=a ，=2|b |，则|2|a b -= .13. 双曲线13:22=-y x C 的离心率是_________；若抛物线mx y 22=与双曲线C 有相同的 焦点，则=m _____________.14. 在下列函数①13,x y +=②,log 3x y =③21,y x =+④,sin x y =⑤cos()6y x π=+中，满足“对任意的1x ，2x ∈(0,1)，则1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立”的函数是________.(填上所有正确的序号)三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）已知函数1()cos cos 2 1.2f x x x x =++ (I) 求函数()f x 的最小正周期；(II)当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 值．16.（本小题满分13分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（I ）求频率分布直方图中m 的值；(Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；（III ）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．4653217.（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，252,16a a ==. （I ）求等比数列{}n a 的通项公式；（II ）若等差数列{}n b 中，1582,b a b a ==，求等差数列{}n b 的前n 项的和n S ，并求n S 的最大值.18. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，=90DAC ∠，O 为AC 的中点，PO ⊥底面ABCD .（I ）求证：AD ⊥平面PAC ;（II ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得//OM 平面PAD ？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分14分） 已知函数() 1.x x f x e xe =-- （I ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设()(),f x g x x= 其中1,0x x >-≠且，证明: ()g x ＜1.20. （本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为2，其四个顶点组成的菱形的面积是O 为坐标原点，若点A 在直线2=x 上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥.（I ） 求椭圆C 的方程； （II ）求线段AB 长度的最小值； （III ）试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)参考答案及评分标准 2015.1一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9. 3i - 10. 10 ； 4 11. 2 12. 2 13. 332; 4± 14. ① ③三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 1()2cos 212f x x x =++ ………… 4分 sin(2)16x π=++ ………… 6分所以22T π==π. ………… 7分 （Ⅱ）因为()sin(2)16f x x π=++， 02x π≤≤，所以2666x ππ7π≤+≤． …………9分所以当262x ππ+=即6x π=时，函数)(x f 的最大值是2. …………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意10(23456)1m m m m m ⨯++++=，0.005m =. ………3分 （II ）成绩落在[70,80)中的学生人数为20100.036⨯⨯=， 成绩落在[80,90)中的学生人数20100.024⨯⨯=成绩落在[90,100]中的学生人数20100.012⨯⨯=. ……………6分 （III ）设落在[80,90)中的学生为1234,,,a a a a ，落在[90,100]中的学生为12,b b ，则1121314111223242122343132414212{,,,,,,,,,,,,,,}a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b a b a b a b bb Ω=，基本事件个数为15=n ，设A ＝“此2人的成绩都在[80,90)”，则事件A 包含的基本事件数6m =， 所以事件A 发生概率62()155m P A n ===. ……………13分17.（本小题满分13分）解：（I ）在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为 252,16a a ==,所以 1412,16a q a q =⎧⎨=⎩得112a q =⎧⎨=⎩ 所以 数列{}n a 的通项公式是 12n n a -=. ……………5分 （II ）在等差数列{}n b 中，设公差为d .因为 1582,b a b a ==,所以 1582=16,=2b a b a =⎧⎨=⎩1116,+7=2b b d =⎧⎨⎩ 1=16,=2b d ⎧⎨-⎩……………9分 方法一 21(1)172n n n S b n d n n -=+=-+， 当89n =或时，S n 最大值为72. ……………13分 方法二由182n b n =-,当1820n b n =-≥,解得9n ≤,即980, 2.a a ==所以当89n =或时，S n 最大值为72. ……………13分18. （本小题满分14分） 证明：（I ）在ADC ∆中，=90.DAC AD AC ∠⊥因为，所以又因为 PO ABCD ⊥面，AD ABCD ⊂平面所以 PO AD ⊥. 又因为 =PO AC O PC AC PAC ⊂平面，、,所以AD PAC ⊥平面. ……………6分 （II ）存在.当M 为PB 中点时，OM//PAD 平面. ……………7分 证明：设PA AD 、的中点分别为E F 、，连结O F M EE F、、, ACD O AC ∆在中，为的中点，所以1//,=2OF CD OF CD .PAB M E PB PA ∆在中，、为、的中点， 所以 1//,=2ME AB ME AB ,//=ME OF ME OF ，,所以 四边形OMEF 是平行四边形, 所以 //OM EF .因为 OM PAD ⊄平面，EF PAD ⊂平面，所以 //OM PAD 平面. ……………14分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）'(),x f x xe =- …………………2分 当(,0)x ∈-∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； …………………4分 当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． …………………6分所以f (x )的最大值为f (0)＝0．…………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x >时，()0,()0 1.f x g x <<< …………………9分当10x -<<时，()1g x <等价于().f x x >设()()h x f x x =-，则'()1xh x xe =--．当(1,0)x ∈-时，01,01,xx e <-<<<则01,xxe <-<从而当(1,0)x ∈-时，'()0h x <，()h x 在(1,0)-单调递减．…………………12分 当(1,0)x ∈-时，()(0)0,h x h >=即()(0)0,()f x x h f x x ->=>所以， 故g (x )＜1． 综上，总有g (x )＜1．…………………14分20. （本小题满分13分）解：（I）由题意2c e a ab ⎧==⎪⎨⎪=⎩，解得224,2a b ==.故椭圆C 的标准方程为22142y x +=. ……………3分（II ）设点A ，B 的坐标分别为00(2,),(,)t x y ，其中00≠y ，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=uu r uu u r，即0020+=x ty ， ……………4分解得02=-x t y ，又220024+=x y ， 所以22200||(2)()=-+-AB x y t=2200002(2)()-++x x y y =2220002044+++x x y y=2220002042(4)42--+++y y y y =2200284(04)2++<≤y y y ，……………5分因为22002084(04)2+≥<≤y y y ，当且仅当204=y 时等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB长度的最小值为 ……………7分 （III ）直线AB 与圆222x y +=相切. ……………8分 证明如下：设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(2,)t ，其中00y ≠.因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020x ty +=，解得02x t y =-. ……………9分 直线AB 的方程为00(2)2y ty t x x --=--， 即0000()(2)20y t x x y y tx ----+=， ……………10分 圆心O 到直线AB的距离d =, ……………11分由220024y x +=，02x t y =-， 故d ===，所以 直线AB 与圆222x y +=相切. ……………13分。