高中数学 实数与向量的积教案 新人教A版必修1
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第五教时
教材:实数与向量的积
目的:要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线的充要条件。 过程:一、复习:向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1.引入新课:已知非零向量a
作出a
+a
+a
和(-a
)+(-a
)+(-a
)
OC =BC AB OA ++=a +a +a =3a
PN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a
讨论:1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a
|
2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a
|
2.从而提出课题:实数与向量的积 实数λ与向量a
的积,记作:λa
定义:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作:λa
1︒|λa |=|λ||a
|
2︒λ>0时λa 与a 方向相同;λ<0时λa 与a
方向相反;λ=0时λa
=0 3.运算定律:结合律:λ(μa
)=(λμ)a
①
第一分配律:(λ+μ)a
=λ
a +μa
② 第二分配律:λ(a +b
)=λ
a +λ
b
③
结合律证明:
如果λ=0,μ=0,a
=0至少有一个成立,则①式成立
如果λ≠0,μ≠0,a ≠0有:|λ(μa )|=|λ||μa
|=|λ||μ||a
|
|(λμ)a
|=|λμ|| a
|=|λ||μ||a
|
∴|λ(μa )|=|(λμ)a
|
如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与a
同向; 如果λ、μ异号,则①式两端向量的方向都与a
反向。
从而λ(μa )=(λμ)a
第一分配律证明:
如果λ=0,μ=0,a
=0至少有一个成立,则②式显然成立
如果λ≠0,μ≠0,a
≠0
当λ、μ同号时,则λa 和μa
同向,
∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a
|
|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a
| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a
同向 即:|(λ+μ)a |=|λa +μa
|
当λ、μ异号,当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa
同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa
同向
还可证:|(λ+μ)a |=|λa +μa
| ∴②式成立 第二分配律证明:
如果a
=0,b =0中至少有一个成立,或λ=0,λ=1则③式显然成立
当a
≠0,b ≠0且λ≠0,λ≠1时
1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ,
作=OA a =AB b =1OA λa
=11B A λb 则=OB a +b =1OB λa
+λb
由作法知:AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A |
∴
==
|
||||
|||AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1
=|
||
|OB OB
λ ∠AOB=∠ A 1OB 1
因此,O ,B ,B 1在同一直线上,|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同
λ(a +b )=λa
+λb
当λ<0时 可类似证明:λ(a +b )=λa
+λb
∴ ③式成立
4.例一 (见P104)略
三、向量共线的充要条件(向量共线定理)
1. 若有向量a (a ≠0)、b ,实数λ,使b =λa 则由实数与向量积的定义知:a
与b
为共线向量
若a 与b 共线(a ≠0)且|b |:|a |=μ,则当a 与b 同向时b =μa
当a
与b 反向时b =-μa
a a
a a
O A B C a - a - a - a
-
N M Q P O
A
B
B 1
A 1
A
O
B
B 1
A 1
从而得:向量b 与非零向量a
共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ
使b =λa
2.例二(P104-105 略) 三、小结:
四、作业: 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2