高中数学 实数与向量的积教案 新人教A版必修1

第五教时

教材：实数与向量的积

目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。 过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1．引入新课：已知非零向量a

作出a

+a

+a

和(-a

)+(-a

)+(-a

)

OC =BC AB OA ++=a +a +a =3a

PN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a

讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a

|

2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a

|

2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a

的积，记作：λa

定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa

1︒|λa |=|λ||a

|

2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a

方向相反；λ=0时λa

=0 3．运算定律：结合律：λ(μa

)=(λμ)a

①

第一分配律：(λ+μ)a

=λ

a +μa

② 第二分配律：λ(a +b

)=λ

a +λ

b

③

结合律证明：

如果λ=0，μ=0，a

=0至少有一个成立，则①式成立

如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa

|=|λ||μ||a

|

|(λμ)a

|=|λμ|| a

|=|λ||μ||a

|

∴|λ(μa )|=|(λμ)a

|

如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a

同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a

反向。

从而λ(μa )=(λμ)a

第一分配律证明：

如果λ=0，μ=0，a

=0至少有一个成立，则②式显然成立

如果λ≠0，μ≠0，a

≠0

当λ、μ同号时，则λa 和μa

同向，

∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a

|

|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a

| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a

同向 即：|(λ+μ)a |=|λa +μa

|

当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa

同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa

同向

还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa

| ∴②式成立 第二分配律证明：

如果a

=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立

当a

≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时

1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，

作=OA a =AB b =1OA λa

=11B A λb 则=OB a +b =1OB λa

+λb

由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A |

∴

==

|

||||

|||AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1

=|

||

|OB OB

λ ∠AOB=∠ A 1OB 1

因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同

λ(a +b )=λa

+λb

当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa

+λb

∴ ③式成立

4．例一 （见P104）略

三、向量共线的充要条件（向量共线定理）

1． 若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a

与b

为共线向量

若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa

当a

与b 反向时b =-μa

a a

a a

O A B C a - a - a - a

-

N M Q P O

A

B

B 1

A 1

A

O

B

B 1

A 1

从而得：向量b 与非零向量a

共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ

使b =λa

2．例二（P104-105 略） 三、小结：

四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2