2019届初三中考数学复习 角的比较与补(余)角 专题复习训练 含答案
余角、补角、对顶角(通用版)(含答案)
余角、补角、对顶角（通用版）试卷简介:考查学生对余角、补角、对顶角的定义以及对同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等、对顶角相等的掌握情况，并利用这些进行简单的计算.一、单选题(共16道，每道6分)1.如图，∠1，∠2是对顶角的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角的定义2.下列语句正确的是( )A.若两个角不是对顶角，则这两个角不相等B.若两角相等，则这两个角是对顶角C.若两个角是对顶角，则这两个角相等D.以上判断都不对答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角相等3.下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角相等4.如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是( )A.130°B.60°C.30°D.20°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义5.如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是( )A.130°B.140°C.150°D.160°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义6.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为( )A.145°B.115°C.135°D.125°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义7.如图，∠AOB=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一直线上，则∠COD的度数为( )A.75°B.15°C.105°D.165°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义8.如图，OC⊥AB，∠COD=45°，则图中互为补角的角共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义9.如图，OA⊥OB，OC⊥OD，则( )A.∠AOC=∠AODB.∠AOC=∠BODC.∠AOD=∠BODD.以上结论都不对答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角的定义10.如果∠α和∠β互余，则下列式子中：①180°-∠β；②∠α+2∠β；③90°+∠α；④2∠α+∠β．能表示∠β补角的有( )A.①③B.①④C.①③④D.①②③④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义11.如图，∠AOC=∠BOD=90°，若∠AOB=150°，则∠DOC的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：余角的定义12.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=110°，则∠BOD的度数是( )A.25°B.35°C.45°D.55°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：对顶角相等13.如图，∠COD为平角，AO⊥OE，，则∠EOD的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平角的定义14.如图，已知AB⊥CD，垂足为点O，EF过点O，则图中∠FOB与∠EOD的关系是( )A.∠FOB+∠EOD=180°B.∠FOB+∠EOD=90°C.∠FOB=∠EODD.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义15.若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系是( )A.互余B.互补C.相等D.不确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义16.如果∠A与∠B互补，∠B与∠C互余，则∠A与∠C的关系是( )A.互余B.互补C.∠A-∠C=90°D.∠A-∠C=180°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：补角的定义。
【中考冲刺】2019年 九年级中考数学三轮冲刺 解直角三角形实际问题 冲刺练习(含答案)
2019年九年级中考数学三轮冲刺解直角三角形实际问题冲刺练习考点一：解直角三角形应用—仰角俯角问题1.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73).2.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）3.如图,在小山的西侧A处有一热气球,以25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15°的方向升空,40分钟后到达B处,这时热气球上的人发现,在A处的正东方向有一处着火点C,在B 处测得着火点C的俯角为30°,求热气球升空点A与着火点C的距离.（结果保留根号）4.如图,某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发,沿着俯角为15°的方向,直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点.求他飞行的水平距离BC （结果精确到1m）．5.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD（CD⊥AE）,在课外活动时间测得下列数据：如图,从地面E点测得地下停车场的俯角为30°,斜坡AE的长为16米,地面B点（与E点在同一水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米，试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（≈1.73，结果精确到0.1米）6.如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）7.如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后.选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度.他们先在斜坡上的D处,测得建筑物顶的仰角为30°.且D离地面的高度DE=5m.坡底EA=10m,然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高．（结果保留整数）考点二：解直角三角形应用—坡度问题1.如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD,其中AD∥BC,坝顶BC=10米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5,斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）2.如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）3.如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为6米，斜坡BC的坡度i=1：．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．（1）求坡角∠BCD；（2）求旗杆AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）4.如图，已知斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）5.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．考点三：解直角三角形应用—方位角问题1.如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）2.如图,禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.3.如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）4.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1），A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图2），点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）5.如图，大海中某岛C的周围25km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在北偏东60°处，前进20km后到达点B，测得C在北偏东45°处．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）6.某市开展一项自行车旅游活动,线路需经A、B、C、D四地,如图,其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向,在C地北偏西45°方向,C地在A地北偏东75°方向.且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）参考答案考点一：1.解：2.解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．3.解：作AD⊥BC垂足为D，AB=40×25=1000，∵BE∥AC，∴∠C=∠EBC=30°，∠ABD=90°﹣30°﹣15°=45°，在Rt△ABD中，sin∠ABD=，AD=ABsin∠ABD=1000×sin45°=1000×=500，AC=2AD=1000，答：热气球升空点A与着火点C的距离是1000米．4.解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由题意可得：∠ADE=15°，∠BDF=15°，AD=1600m，AC=500m，∴cos∠ADE=cos15°=≈0.97，∴≈0.97，解得：DE=1552（m），sin15°=≈0.26，∴≈0.26，解得；AE=416（m），∴DF=500﹣416=84（m），∴tan∠BDF=tan15°=≈0.27，∴≈0.27，解得：BF=22.68（m），∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575（m），答：他飞行的水平距离为1575m．5.解：连接AC，∵∠ABE=90°，∠E=30°，∴AB=0.5AE=8，∴AC=8﹣1.2=6.8，∴CD=AC•sin∠EAB=6.8×≈5.9，答：地下停车场的高度AC为6.8米，限高CD约为5.9米．6.7.解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，如图所示：则四边形DMCN是矩形，DH=EC，DE=HC，设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，在Rt△DHB中，∠BDH=30°，∴DH=（x﹣5），AC=EC﹣EA=（x﹣5）﹣10，在Rt△ACB中，∠BAC=50°，tan∠BAC=，∴x=tan50°•[（x﹣5）]，解得：x≈21，答：建筑物BC的高约为21m．考点二：1.解：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，∴EF=BC=10米，∵BE=20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，∴AE=50米，∵CF=20米，斜坡CD的坡角为30°，∴DF==20≈35米，∴AD=AE+EF+FD=95米；（2）建筑这个大坝需要的土石料：×（95+10）×20×100=105000米3．2.3.4.解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴AH:PH=5：12，设AH=5km，则PH=12km，由勾股定理，得AP=13km．∴13k=26m．解得k=2．∴AH=10m．答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x﹣14．在Rt△ABC中，tan76°=BC:AC，即x:(x-14)≈4.0，解得x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．5.解：（1）∵新坡面的坡度为1：，∴tanα=tan∠CAB==，∴∠α=30°．答：新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙PM不需要拆除．过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，∴BD=CD=6，AD=6，∴AB=AD﹣BD=6﹣6＜8，∴文化墙PM不需要拆除．考点三：1.解：2.解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时.如图所示，由题得，，，过点作的延长线于点，在中，，∴.∴.在中，由勾股定理得：解此方程得（不合题意舍去）.答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时。
(完整版)余角和补角的练习题
2.1 余角与补角一、选择题1．如图1所示，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，那么下列结论错误的是（ ）A ．∠AOC 与∠COE 互为余角B ．∠BOD 与∠COE 互为余角C ．∠COE 与∠BOE 互为补角D ．∠AOC 与∠BOD 是对顶角2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 图13．下列说法正确的是（ ） A ．锐角一定等于它的余角 B ．钝角大于它的补角C ．锐角不小于它的补角D ．直角小于它的补角4．如图2所示，AO ⊥OC ，BO ⊥DO ，则下列结论正确的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1=∠3D ．∠1=∠2=∠3图2 图3 图4 图5二、填空题5．已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为 ．6．如图3所示，直线a ⊥b ，垂足为O ，L 是过点O 的直线，∠1=40°，则∠2= ．7．如图4所示，直线AB ，CD 相交于点O ，OM ⊥AB ，•若∠COB=•135•，•则∠MOD= ．8．三条直线相交于一点，共有 对对顶角．9．如图5所示，AB ⊥CD 于点C ，CE ⊥CF ，则图中共有 对互余的角．三、解答题10．如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，∠BOE=90°，若∠COE=55°，•求∠BOD 的度数．C O E DB A11．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=•120•°.求∠BOD，∠AOE的度数．一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数．二、知识交叉题2．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．3．（科外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=•28•°，则光的传播方向改变了______度．三、实际应用题4．如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（•假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．四、经典中考题5．（2007，济南，4分）已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O•的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角6．（2008，南通，3分）已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．参考答案A卷一、1．C 点拨：因为∠COE与∠DOE互为补角，所以C错误，故选C．2．D 3．B4．C 点拨：因为AO⊥OC，BO⊥DO，所以∠AOC=90°，∠BOD=90°，即∠3+∠2=90°，∠2+∠1=90°，根据同角的余角相等可得∠1=∠3，故选C．二、5．125°点拨：因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°，又因为∠1=35°，•所以∠2=90°-35=55°，所以180°-∠2=180°-55°=125°，即∠2•的补角的度数是125°．6．50°点拨：由已知可得∠1+∠2=180°-90°=90°，∠2=90°-∠1=90°-•40°=50°．7．45°点拨：因为OM⊥AB，所以∠MOD+∠BOD=90°，所以∠MOD=90°-∠BOD，又因为∠BOD=180°-∠COB=180°-135°=45°，所以∠MOD=90°-45°=45°．8．6 点拨：如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD与∠BOC，∠AOE与∠BOF，∠DOE与∠COF，∠DOB与∠COA，∠EOB与∠FOA，∠EOC与∠FOD•均分别构成对顶角，共有6对对顶角．9．4 点拨：由AB⊥CD，可得∠ACE与∠ECD互余，∠DCF与∠FCB互余．由CE⊥CF，可得∠ECD与∠DCF互余，又由于∠ACB为平角，所以∠ACE与∠BCF互余，共有4对．三、10．解：因为∠BOE与∠AOE互补，∠BOE=90°，所以∠AOE=180°-∠BOE=•180°-90°=90°，即∠COE+∠COA=90°，又∠COE=55°，所以∠COA=90°-∠COE=90°-•55°=35°，因为直线AB，CD相交于点O，所以∠BOD=∠COA=35°．11．解：因为直线AB与CD相交于点O，所以∠BOD=∠AOC=120°，因为∠AOC+•∠AOD=180°，所以∠AOD=180°-120°=60°，因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=12∠AOD=12×60°=30°．点拨：由∠BOD与∠AOC是对顶角，可得∠BOD的度数．由∠AOC与∠AOD 互补，•可得∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD，可得∠AOE的度数．B卷一、1．解法一：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB（已知），所以∠FOB+3•∠FOB=180°（等量代换），所以∠FOB=45°，所以∠AOE=∠FOB=45°（对顶角相等），因为∠AOC=90°，所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=90°-45°=45°．解法二：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB，所以∠FOB+3∠FOB=180°，•所以∠FOB=45°，所以∠AOF=3∠FOB=3×45°=135°，所以∠BOE=∠AOF=135°．又因为∠AOC=90°，所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-90°=90°，所以∠EOC=∠BOE-∠BOC=•135°-90°=45°．二、2．解：设这个角为x，则其补角为180°-x，余角为90°-x，根据题意，得（•180°-x）+（90°-x）=180°-10°，解得x=50°，所以这个角的度数为50°．点拨：本题是互余，互补及平角的概念的一个交叉综合题，要理清各种关系，才能正确列出方程．3．14 点拨：本题是对顶角的性质在物理学中的应用．三、4．解：落入2号球袋，如图所示．点拨：此题应与实际相联系，球被击中后在桌面上走的路线与台球桌面的边缘构成的角等于反弹后走的路线与台球桌面的边缘构成的角．四、5．B 点拨：因为AB⊥CD于点O，所以∠BOC=90°．又CD与EF相交于点O，•所以∠COE=∠2，所以∠1+∠2=∠1+∠COE=∠BOC=90°，即∠1与∠2互余，故选B．6．50°点拨：∠A的余角为90°-∠A=90°-40°=50°．。
中考数学三角形的边与角真题归类(附答案)
中考数学三角形的边与角真题归类(附答案)以下是查字典数学网为您推荐的中考数学三角形的边与角真题归类(附答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。
中考数学三角形的边与角真题归类(附答案)一.选择题1. (2019荆门)已知：直线l1∥l2，一块含30角的直角三角板如图所示放置，1=25，则2等于()A. 30B. 35C. 40D. 45解析：∵3是△ADG的外角，A+1=30+25=55，∵l1∥l2，4=55，∵EFC=90，EFC=90﹣55=35，2=35.故选B.2.(2019中考)如图，在△ABC中，C=70，沿图中虚线截去C，则2=【 B 】A.360B.250C.180D.1403.(2019连云港)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，1=50，2=60，则3的度数为()A. 50B. 60C. 70D. 80考点：平行线的性质;三角形内角和定理。
分析：先根据三角形内角和定理求出4的度数，由对顶角的性质可得出5的度数，再由平行线的性质得出结论即可. 解答：解：∵△BCD中，1=50，2=60，4=1801-2=180-50-60=70，4.(2019深圳)如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个600角后，得到一个四边形，则么的度数为【】A. 120OB. 180O.C. 240OD. 3000【答案】C。
【考点】三角形内角和定理，平角定义。
【分析】如图，根据三角形内角和定理，得4+600=1800，又根据平角定义，3=1800，4=1800，1800-1+1800-2+600=1800。
2=240O。
故选C。
5.(2019聊城)将一副三角板按如图所示摆放，图中的度数是()A.75B.90C.105D.120考点：三角形的外角性质;三角形内角和定理。
专题：探究型。
分析：先根据直角三角形的性质得出BAE及E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论.解答：解：∵图中是一副直角三角板，BAE=45，E=30，6.(2019毕节)如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若1=120，2=80，则3的度数是( )A.40B.60C.80D.120解析：根据平行线性质求出ABC，根据三角形的外角性质得出1-ABC，代入即可得出答案.7.(2019十堰)如图，直线BD∥EF，AE与BD交于点C，若ABC=30，BAC=75，则CEF的大小为( D )A.60B.75C.90D.105【考点】平行线的性质;三角形内角和定理.【专题】探究型.【分析】先根据三角形外角的性质求出1的度数，再由平行线的性质即可得出结论.【解答】解：∵1是△ABC的外角，ABC=30，BAC=75，ABC+BAC=30+75=105，∵直线BD∥EF，CEF=1=105.故选D.【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键.8.(2019梅州)如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若A=75，则2=()A.150B.210C.105D.75考点：三角形内角和定理;翻折变换(折叠问题)。
余角、补角、对顶角的概念和习题答案
余角和补角和对顶角余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。
两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
两条直线相交,构成两对对顶角。
对顶角相等.对顶角与对顶角相等.对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称; 对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。
补角的性质：同角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
余角的性质：同角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
注意：①钝角没有余角；②互为余角、补角是两个角之间的关系。
如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。
只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。
余角与补角概念认识提示：（1）定义中的“互为”一词如何理解？如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，同样∠2的补角是∠1。
余角和补角专项练习30题(有答案)ok
余角和补角专项练习30题（有答案）1.若Z a=40\则Z a的余角是 _______________ ・2.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10。
，求这个角的度数.3・已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数.4•-个角的余角比它的补角的护少2。
，求这个角.5・一个角的补角是123°24/16//,则这个角的余角是多少.6. 一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度7.如图，Z AOC和ZBOD都是直角，如果Z AOB=150°,求Z COD的度数.& <e.已知Z a和Z B互余，且Z a比Z B小25%求Z a --lz p的度数.510. 一个角的补角是它的余角的10倍，求这个角.已知一个角的补角比这个角小30。
，求这个角的度数.12・已知Z a与ZB互为补角，并且Z a的两倍比ZB大60%求Z a、Z p.13・已知Z a=2Z p, Z a的余角的3倍等于Z B的补角，求Z cu Z B的度数. 13・若与Z2互余，上3与上1互补，Z 2=27°18\求Z 3的度数.14.如图，A、0、B 在同一条直线上，Z AOD=Z DOB=Z COE=90°.(1)图中Z 2的余角有 __________ , Z1的余角有______________(2)请写出图中相等的锐角，并说明为什么(3)Z1的补角是什么Z 2有补角吗若有.请写出.15・若一个角的余角与这个角的补角之比是2： 7,求这个角的邻补角.迢-个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的寺求这个角.17・已知互余两角的差为20。
，求这两个角的度数.18.如图，OC是Z AOB的平分线，且ZAOD二90°.(1)图中Z COD的余角是____________ :(2)如果Z COD=24°45\ 求Z BOD 的度数.则与Z BOC 相等的角有谁图中共有多少对互为余角请写出来.19.如图，OD 平分Z BOC, OE 平分Z AOC,若Z BOC=70°, Z AOC=50°,请求出Z AOB 与Z DOE 的大小，并判断它 们是否互补.20. 一个角的余角比它的2倍角的补角还少15。
2019中考数学《线段与角》专题复习考点讲解(含答案)
线段与角考点图解技法透析1．与直线、射线、线段有关的知识(1)直线：①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．②直线的表示方法：如图记作“直线AB”或“直线BA”；l 记作“直线l”．③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．(2)射线：①射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点．射线向一方无限延伸．②射线的表示方法：如图记作“射线AB”；l记作射线l，注意必须把表示端点的字母写在前面．(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸．②线段的表示方法：如图记求“线段AB”或“线段BA”或“线段a”．③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短．即两点之间，线段最短．(4)直线、射线、线段的区别与联系．①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸．②“连接AB”的意义就是画出以A、B为端点的线段．③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延长．延长BA是指按由B向A的方向延长．(也可说反向延长AB)(6)线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小．(7)画一条线段等于已知线段，如：已知线段a，画一条线段AB＝a，有两种画法：①先画射线AC，再在射线AC上截取AB＝a．②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可．(8)线段的中点及等分点的概念①如图①点O把线段AB分成相等的两条线段，AO与OB，点O叫线段AB的中点，显然有AO＝OB＝12AB（或AB＝2AO＝2OB）②如图②点O1，O2把线段AB分成相等的三条线段AO1＝O1O2＝O2B，则点O1，O2叫做线段AB 的三等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2B ＝13AB(或AB ＝3AO ，＝3O 1O 2＝3O 2B) ③如图③，点O 1，O 2，O 3把线段AB 分成相等的四条线段，则点O 1，O 2，O 3叫做线段AB的四等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3B ＝14AB(或AB ＝4AO 1＝4O 1O 2＝4O 2O 3＝4O 3B) (9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．2．与角有关的知识(1)角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，又可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形．(2)角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间．如图①，记作∠AOB （或∠BOA ）；②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作∠O ；③可以用一个小写希腊字母（如α、β、γ等）表示，如图②∠BOC 记作∠a ；④用一个阿拉伯数字表示如图②∠AOC 记作∠1．(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角． ②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角． ③直角：等于90°的角叫直角．④锐角：小于直角的角叫锐角．⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角．(4)角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°＝60'，1'＝60"．②借助三角尺和量角器画角．(5)角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ，∠AOB ＝∠AOC －∠BOC②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若∠1＝∠2，则OC 是∠AOB 的平分线，此时有∠1＝∠2＝12∠AOB （或∠AOB ＝2∠1＝2∠2）． 同理，还有角的三等分线、四等分线……等．(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．②性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角．具体表示时．是南（或北）在先，再说偏东（或偏西）3．钟表上有关角的问题(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)秒针每分钟转过360°，分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°．(3)时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______个，最多为_______个．【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论．①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋5＝6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋4＋5＝10个……，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1＋2＋3＋4＋5＝()1552+⨯＝15(个)【规范解答】分别填1个，15个．(1)本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多为1＋2＋3＋…＋（n＋1）＝12n（n－1）个交点；(2)一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平面分成12（n＋1）n＋1个互不重叠的部分．(3)－般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝12n（n－1）条；共有2n条不同的射线．【同类拓展】1．如图，数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？考点2 线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝42，求PQ的长．【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长．【规范解答】∴【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化．本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题．【同类拓展】2．已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a 的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a＋b＋c＝7cm，求a、b、c的长．考点3 角的个数及角的度数的计算例3 如图已知OA、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．(1)若∠AOD＝70°，∠MON＝50°求∠BOC的大小；(2)若∠AOD＝α；∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α、β的式子表示）．利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出∠AOD，∠MON与∠BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含α、β的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小．【规范解答】【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条件，适当转换．(2)一般地，同一平面内，在平角∠AOB的内部引以O为端点的（n－1）条射线，则图中共有：n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝12n（n＋1）个小于平角的角．【同类拓展】 3．如图，∠AOB＝100°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝_______．考点4 钟表上有关的角度问题例4 时钟在下午4点至5点的什么时刻：(1)分针和时针重合？(2)分针和时针成一条直线？(3)分针和时针成45°角？【切题技巧】4点整时针已转过4大格，每大格30°，这时可看成时针在分针前面120°，若设所需时间为x分钟，则有6x－12x的值等于1200时，两针就重合；当时针与分针之间的角度为1200＋180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于120°－45°（时针在前）或120°＋45°（分针在前）时，两针成45°角．【规范解答】【借题发挥】钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格，60小格，每个大格为30°的角，每个小格为6°的角．如果把单位时间内，分针和时针转过的度数当作是它们的“速度”，那么分针的速度为6°／分，时针的速度为0.5°／分，因此，分针速度是时针速度的12倍．在时针与分针的转动过程中，总是分针追及时针，然后超过时针又转化为追及时针，【同类拓展】4．王老师在活动课上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟上的时针和分针恰好成90°角，这时是7点多；故事结束时两针恰好也是90°角，这时是8点多，他还发现，讲故事中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，求王老师讲故事所花的时间多少分？考点5 与线段有关的实际问题例5 摄制组从A市到B市有1天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃中饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？【切题技巧】题目中所给条件只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形，思考它们之间的数量关系，从而利用形数结合思想解决问题．【规范解答】如图，设小镇为D，傍晚汽车E处休息，令AD＝x，则AC＝3x，DE＝400，CE＝400－2x ED＝12(400－2x)＝200－x，于是有：AB＝AC＋CE＋EB＝3x＋400－2x＋200－x＝600(km) 答：A、B两市相距600千米，【借题发挥】利用“线段图”将实际问题转化为几何问题，借助图形，利用“形数结合”思想解决实际问题是数学竞赛中的常用方法，如：A、B、C、D、E、F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B队比赛的球队是哪支队？此题用算术或代数方法求解容易陷入困境，此时可考虑用6个点表示A、B、C、D、E、F这6支足球队，若两队已赛过一场、就在相应的两个点之间连一条线，这样用“线段图”来辅助解题，形象直观，如图所示，则还没有与B队比赛的球队是E队．【同类拓展】5．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30个，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上．位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 ( )A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间参考答案1．(1)21(条) (2)14(条) 2．1cm，2cm，4cm． 3．50°4．1小时零5511分钟． 5．A2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )+8)cm B.10cm C.14cm D.无法确定2．2018年全国消协组织创新维权手段，聚焦维权难点，消费维权能力和水平不断提.2018年，全国消协组织共受理消费者投诉76.2万件，解决55.6万件，为消费者挽回经济损失约9.8亿元；其中，9.8亿可用科学记数法表示为（）A．9.08×108B．9.8×108C．0.98×109D．0.98×1010 3．2019年3月3日至3月15日，中国进入“两会时间”，根据数据统计显示，2019年全国两会热点传播总量达829.8万条，其中数据“829.8万”用科学记数法表示为（）A．8.298×107B．82.98×105C．8.298×106D．0.8298×1074．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，点M是线段AB'的中点，若反比例函数kyx(k≠0)的图象恰好经过点B'，M，则k＝（）A.4B.6C.9D.12 5．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.6．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是9B ．众数为16C ．平均分为7.78D ．方差为27．下列运算中，正确的是（ ）A ．（﹣x ）2•x 3＝x 5B ．（x 2y ）3＝x 6yC ．（a+b ）2＝a 2+b 2D ．a 6+a 3＝a 28．如图，点E 、F 是正方形ABCD 的边BC 上的两点（不与B 、C 两点重合），过点B 作BG ⊥AE 于点G ，连接FG 、DF ，若AB ＝2，则DF+GF 的最小值为（ ）A. ﹣1B.C.3D.49．关于x 的一元二次方程（m-5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,1，点B 是x 轴正半轴上一点，以AB 为边作等腰直角三角形ABC ，使BAC=90∠︒，点C 在第一象限。
初三中考数学复习 角的比较与补(余)角 专题复习训练 含答案
2019届初三中考数学复习角的比较与补(余)角专题复习训练1．已知∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，∠A，∠B，∠C的大小关系是( )A．∠A＝∠B＜∠C B．∠A＝∠C＞∠BC．∠A＞∠C＞∠B D．∠B＞∠A＞∠C2．如图，若∠AOB＝∠COD，那么( )A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1与∠2的大小不能确定3. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为( )A．50°B．60°C．65°D．70°4. 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( )A．35°B．55°C．70°D．110°5. 如果α与β互为余角，则( )A．∠α＋∠β＝180°B．∠α－∠β＝180°C．∠α－∠β＝90°D．∠α＋∠β＝90°6. 下列说法中：①等角的补角相等；②锐角的补角是钝角；③两个互补的角中一定是一个锐角，一个钝角；④一个锐角的补角比它的余角大90°.其中正确的是( )A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④7. 如图，∠DOB是直角，∠COA也是直角，则( )A ．∠1＝∠2B ．∠3＝12(∠1＋∠2)C ．∠1＝∠3D ．∠2＝∠38. 如图，如果在阳光下你的身影的方向为北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是( )A ．南偏西60°B ．南偏西30°C ．北偏东60°D ．北偏东309. ．如图，直线AB 和CD 交于点O ，∠AOE ＝90°，OF 平分∠AOE ，∠1＝15°30′，下列结论中不正确的是( )A ．∠2＝45°B ．∠1＝∠3C ．∠AOD 与∠1互为补角 D ．∠1的余角等于75°30′10. 已知∠ABC ＝30°，BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝________．11. 一个角的余角是36°35′，则这个角的度数是____________，它的补角的度数是________________．12. 如图，射线OC 的端点O 在直线AB 上，∠1的度数比∠2的度数的2倍多10°，则∠1＝___________度．13. 如图，把长方形的一角折叠，得到折痕EF ，已知∠EFB ＝35°，则∠BFC 的度数为____________.14．若∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示：①90°－12∠β；②∠α－90°；③12(∠α＋∠β)；④12(∠α－∠β)．其中表示∠β的余角的式子是_________．(填序号)15. 如图所示，OB 是∠AOC 的平分线，DO 平分∠COE ，若∠AOE ＝128°，求∠BOD 的度数．16. 一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．17. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC ＝90°，∠1＝40°，求∠2与∠3的度数．18. 如图，点A ，O ，E 在同一条直线上，OB 平分∠AOC ，∠BOC ＋∠COD ＝90°，猜想∠COD 与∠DOE 之间有什么关系？试说明理由．19. 把一副三角尺的直角顶点O 重叠在一起．(1)如图(1)，当OB 平分∠COD 时，则∠AOD 和∠BOC 有何关系？(2)如图(2)，当OB 不平分∠COD 时，上述关系仍成立吗？请说明理由． 参考答案：1—9 BBDCB CCAD10. 15°11. 53°25′ 126°35′12. 370313. 110°14. ②④15. 解：∠BOD ＝12∠AOE ＝64°16. 解：设这个角为x °，则180－x ＝2(90－x)＋40，解得x ＝40，故这个角为40°17. 解：因为∠1＋∠FOC ＋∠2＝180°，所以∠2＝180°－∠1－∠FOC ＝50°，所以∠AOD ＝180°－∠2＝180°－50°＝130°，因为OE 平分∠AOD ，所以∠3＝12∠AOD ＝12×130°＝65°18. 解：∠COD ＝∠DOE.理由：因为∠AOE ＝180°，∠BOC ＋∠COD ＝90°，所以∠AOB＋∠DOE＝∠AOE－(∠BOC＋∠COD)＝90°，因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，所以∠COD＝∠DOE19．解：(1)因为OB平分∠COD，所以∠BOC＝∠BOD＝45°，所以∠AOD＋∠BOC＝90°＋45°＋45°＝180°，即∠AOD与∠BOC互补(2)当OB不平分∠COD时，设∠COB＝x，则∠BOD＝90°－x，所以∠AOD＋∠BOC＝90°＋(90°－x)＋x＝180°，即OB不平分∠COD时，∠AOD与∠BOC仍互补。
最新初中沪科版七年级数学上册4.5角的比较与补(余)角(一)重点习题
4.5角的比较与补（余）角（一）1、一副三角板有6个角，则最小角的度数是（）A、150B、300C、450D、6002、下列语句正确的是（）A、小于平角的角是锐角；B、大于直角的角是钝角；C、等于900的角是直角；D、大于锐角的角是钝角3、锐角加上锐角的和是（）A、锐角B、直角C、钝角D、以上三种都有可能4、从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的______。
5、如图，并回答问题：（1）∠BAC是_________角∠B是_________角∠C是_________角∠BAD是_________角（2）把∠BAC、∠B、∠C、∠BAD按从小到大的顺序排列_________________。
6、如图，BD是∠ABC的平分线，则（1）∠_________=∠_________（2）∠ABD=12∠_________（3）∠ABC=2∠_________=2∠_________。
7、300=_________平角，600=_________直角，1350=_________周角。
8、如图，∠AOD=1200，∠AOC=900，OC是∠BOD的平分线。
（1）2∠BOC是哪个角？（2）12∠BOD是哪个角？（3）求∠AOB+∠COD的度数。
DCABODCBADA9、如图，BD、CE是∠ABC和∠ACB的平分线，如果∠DBC=∠ECB，那么∠ABC ∠ACB（填“<”、“=”、“>”）10、如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC 的平分线，OE是∠COB的平分线，则∠DOE= º。
11、如图，OC平分∠BOD，∠AOD=110º，∠COD=35º，则∠AOB= º，∠AOC=____.B CECDBOA OD CBA(第9题图) (第10题图) (第11题图)。
最新余角和补角练习题大全及答案
精品文档余角与补角练习题及答案A卷：基础题一、选择题1．如图1所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是（）COE互为余角．∠BOD与∠ A．∠AOC与∠COE互为余角 B 是对顶角AOC与∠BOD．∠．∠COE与∠BOE互为补角 D C1图） 2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（．下列说法正确的是（）3 ．锐角一定等于它的余角 B．钝角大于它的补角 A ．锐角不小于它的补角 D．直角小于它的补角 C ），BO⊥DO，则下列结论正确的是（4．如图2所示，AO⊥OC3∠2=3 D．∠1=∠∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠A．∠1=5 图图2 图3 图4二、填空题互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为．5．已知∠1与∠2 2=°，则∠．O3所示，直线a⊥b，垂足为，L是过点O的直线，∠1=406．如图则∠?若∠COB=?135?，?MOD=．⊥相交于点所示，直线7．如图4AB，CDO，OMAB， 8．三条直线相交于一点，共有对对顶角．对互余的角．CFCAB．如图5所示，⊥CD于点，CE⊥，则图中共有 9三、解答题 COE=55BOE=90OCDAB10．如图所示，直线，相交于点，∠°，若∠°，BOD求∠?的度数．精品文档．精品文档AOCDBE. °，∠AOC=?120?，OE平分∠AOD相交于点11．如图所示，直线AB与CDO AOE的度数．求∠BOD，∠B卷：提高题一、七彩题，∠FOB相交于点，EFO，∠AOF=3，1．（一题多解题）如图所示，三条直线ABCD EOC的度数．∠AOC=90°，求∠二、知识交叉题°，求这个角．．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少102（科外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就3．度．______2=?28?1=42是光的折射现象．若∠°，∠°，则光的传播方向改变了精品文档．精品文档三、实际应用题4．如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（?假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．四、经典中考题的一条直线，O?EFO，为过点，济南，4分）已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点5．（2007 ）2的关系一定成立的是（则∠1与∠．互为对顶角．互补 D CA．相等B．互余．的余角等于A=40°，则∠A______（6．2008，南通，3分）已知∠参考答案卷A 一、错误，故选C．点拨：因为∠COE与∠DOE互为补角，所以CC 1．BD 3．2．⊥DO，BOAO4．C 点拨：因为⊥OC，°，BOD=90所以∠AOC=90°，∠ 1=902+2=903+即∠∠°，∠∠°，精品文档．精品文档根据同角的余角相等可得∠1=∠3，故选C．二、5．125°点拨：因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°，又因为∠1=35°，?所以∠2=90°-35=55°，所以180°-∠2=180°-55°=125°，即∠2?的补角的度数是125°．6．50°点拨：由已知可得∠1+∠2=180°-90°=90°，∠2=90°-∠1=90°-?40°=50°．7．45°点拨：因为OM⊥AB，所以∠MOD+∠BOD=90°，所以∠MOD=90°-∠BOD，又因为∠BOD=180°-∠COB=180°-135°=45°，所以∠MOD=90°-45°=45°．8．6 点拨：如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD与∠BOC，∠AOE与∠BOF，∠DOE 与∠COF，∠DOB与∠COA，∠EOB与∠FOA，∠EOC与∠FOD?均分别构成对顶角，共有6对对顶角．互余．与∠FCB与∠ECD互余，∠DCFCD9．4 点拨：由AB⊥，可得∠ACE ACB为平角，ECD，可得∠与∠DCF互余，又由于∠由CE⊥CF 4对．ACE与∠BCF互余，共有所以∠三、 BOE=90°，与∠AOE互补，∠10．解：因为∠BOE °，COE+∠COA=90°∠BOE=?180-90°=90°，即∠所以∠AOE=180°- °，°=35∠°-COE=90°-?55又∠COE=55°，所以∠COA=90 COA=35°．∠相交于点O，所以∠BOD=因为直线AB，CD AOC=120°，，所以∠BOD=∠CD11．解：因为直线AB与相交于点O °，°=60-120AOC+?∠AOD=180°，所以∠AOD=180°因为∠11°．60°=30AOD因为OE平分∠，所以∠AOE=AOD=∠×22可得?AODAOCBODAOCBOD点拨：由∠与∠是对顶角，可得∠的度数．由∠与∠互补，精品文档．精品文档∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD，可得∠AOE的度数．B卷一、1．解法一：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB（已知），所以∠FOB+3?∠FOB=180°（等量代换），所以∠FOB=45°，所以∠AOE=∠FOB=45°（对顶角相等），因为∠AOC=90°，所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=90°-45°=45°．解法二：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB，所以∠FOB+3∠FOB=180°，?所以∠FOB=45°，所以∠AOF=3∠FOB=3×45°=135°，所以∠BOE=∠AOF=135°．又因为∠AOC=90°，所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-90°=90°，所以∠EOC=∠BOE-∠BOC=?135°-90°=45°．二、2．解：设这个角为x，则其补角为180°-x，余角为90°-x，根据题意，得（?180°-x）+（90°-x）=180°-10°，解得x=50°，所以这个角的度数为50°．点拨：本题是互余，互补及平角的概念的一个交叉综合题，要理清各种关系，才能正确列出方程．3．14 点拨：本题是对顶角的性质在物理学中的应用．三、4．解：落入2号球袋，如图所示．精品文档．精品文档球被击中后在桌面上走的路线与台球桌面的边缘构成的角此题应与实际相联系，点拨：等于反弹后走的路线与台球桌面的边缘构成的角．四、BOC=90°．于点⊥CDO，所以∠5．B 点拨：因为AB，COE=所以∠∠2CD又与EF相交于点O，? B．1°，即∠与∠2互余，故选COE=2=所以∠1+∠∠1+∠∠BOC=90 °．-40°=50°∠°的余角为点拨：∠°．650 A90-A=90精品文档．。
专题5 角的比较与补(余)角-重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题6.5 角的比较与补（余）角--重难点题型【浙教版】【知识点1 角的比较与运算】【题型1 角的大小比较】∠COD＝50°；小丽用叠合法比较，将两个角的顶点重合，边OB与OD重合，边OA 和OC置于重合边的同侧，则边OA①．（填序号：①“在∠COD的内部”；②“在∠COD的外部”；③“与边OC重合”）【解题思路】根据题意画出图形，由∠AOB＜∠COD，图形直观得出答案．【解答过程】解：如图，由于∠AOB＜∠COD，因此OA在∠COD的内部，故答案为：①；【变式1-1】（2021春•呼和浩特期末）如图，∠AOB＝∠COD，则∠AOC与∠DOB的大小关系是（）A．∠AOC＞∠DOBB．∠AOC＜∠DOBC．∠AOC＝∠DOBD．∠AOC与∠DOB无法比较大小【解题思路】先根据∠AOB＝∠COD得出∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，故可得出结论．【解答过程】解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠DOB．故选：C．【变式1-2】（2021秋•开封期末）如图所示，其中最大的角是∠AOD，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．【解题思路】直接根据图形即可得出结论．【解答过程】解：由图可知，最大的角是∠AOD；∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．故答案为：∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．【变式1-3】（2021秋•门头沟区期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O 是网格线交点，那么∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【解题思路】取格点E，作射线OE，则∠AOB＝∠COE，依据叠合法即可得出结论．【解答过程】解：如图所示，取格点E，作射线OE，则∠AOB＝∠COE，由图可得，∠COE＞∠COD，∴∠AOB＞∠COD，故答案为：＞.【题型2 角的和差】【例2】（2021秋•安庆期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数．【解题思路】此题可以设∠AOC＝x，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算．【解答过程】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD＝1.5x．∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．∴x＝40°∴∠AOB＝120°．【变式2-1】（2021秋•五常市期末）用一副三角板不能画出的角是（）A．75°B．105°C．110°D．135°【解题思路】一副三角板的度数有30°，45°，60°，90°，这几个度数进行加减组合，可以简间接画出其他度数：15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°，180°．【解答过程】解：75°可以用三角板的30°和45°画出，105°可以用三角板的45°和60°画出，110°用一副三角板不能画出，135°可以用三角板的45°和90°画出．故选：C．【变式2-2】2021秋•北碚区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为60度．【解题思路】根据折叠思想，通过角的和差计算即可求解．【解答过程】解：∵BD、BE为折痕，∴BD、BE分别平分∠CBC′、∠ABA′∴∠A′BE＝∠ABE＝30°，∠DBC＝∠DBC′∵∠A′BE+∠ABE+∠DBC+∠DBC′＝180°∴∠ABE+∠DBC＝90°∴∠DBC＝60°．故答案为60°【变式2-3】（2021秋•荔湾区期末）把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、D、B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°【解题思路】由角平分线的定义可知∠CBM=12∠ABC=12×60°＝30°，∠CBN=12∠EBC=12×（60°+90°）＝75°，再利用角的和差关系计算可得结果．【解答过程】解：∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM=12∠ABC=12×60°＝30°，∵BN为∠CBE的平分线，∴∠CBN=12∠EBC=12×（60°+90°）＝75°，∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝75°﹣30°＝45°．故选：B．【题型3 n等分线】【例3】（2021秋•罗湖区校级期末）如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB 上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠2＝3∠1，∠COE＝70°，求∠2的度数．【解题思路】所求角和∠1有关，∠1较小，应设∠1为未知量．根据∠COE的度数，可表示出∠3，也就表示出了∠4，而这4个角组成一个平角．【解答过程】解：设∠1＝x，则∠2＝3∠1＝3x，∵∠COE＝∠1+∠3＝70°∴∠3＝（70﹣x）（2分）∵OC平分∠AOD，∴∠4＝∠3＝（70﹣x）∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°∴x+3x+（70﹣x）+（70﹣x）＝180°解得：x＝20（5分）∴∠2＝3x＝60°（6分）答：∠2的度数为60°．【变式3-1】（2021秋•奉化区校级期末）OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ：∠BOC＝（）A．1：2B．1：3C．2：5D．1：4【解题思路】依据OM是∠AOB平分线，OQ是∠MOA平分线，可得∠AOQ=12∠AOM=14∠AOB，依据ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，可得∠AOP=12∠AON=14∠AOC=14（∠AOB+∠BOC），进而得出∠POQ：∠BOC＝1：4．【解答过程】解：∵OM是∠AOB平分线，OQ是∠MOA平分线，∴∠AOQ=12∠AOM=14∠AOB，∵ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，∴∠AOP=12∠AON=14∠AOC=14（∠AOB+∠BOC），∴∠POQ＝∠AOP﹣∠AOQ=14（∠AOB+∠BOC）−14∠AOB，=14∠BOC，∴∠POQ：∠BOC＝1：4，故选：D．【变式3-2】（2021秋•江汉区期末）如图，射线OB、OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC 的三等分线，OE、OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC 的大小．【解题思路】分两种情况：当∠AOC＝3∠BOC时和当∠AOC=32∠BOC时，再利用角平分线的定义，借助角的和差可得答案．【解答过程】解：①当∠AOC ＝3∠BOC 时，设∠BOC ＝x ，∠DOF ＝y ，∵OB 为∠AOC 的三等分线，OF 平分∠COD ，∴∠AOC ＝3x ，∠COD ＝2y ，∠BOD ＝x +2y ，∵OE 平分∠BOD ，∴∠EOD =12∠BOD =12x +y ，∵∠EOF ＝14°，∴12x +y ﹣y ＝14°，解得x ＝28°，故∠AOC ＝3x ＝84°．②当∠AOC =32∠BOC 时，设∠BOC ＝2x ，∠DOF ＝y ，∵OB 为∠AOC 的三等分线，OF 平分∠COD ，∴∠AOC ＝3x ，∠COD ＝2y ，∠BOD ＝2x +2y ，∵OE 平分∠BOD ，∴∠EOD =12∠BOD ＝x +y ，∵∠EOF ＝14°，∴x +y ﹣y ＝14°，解得x ＝14°，故∠AOC ＝3x ＝42°．综上，∠AOC ＝84°或42°【变式3-3】（2021秋•越秀区校级月考）如图1，已知∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，OM 在∠AOC 内，ON 在∠BOD 内，∠AOM =13∠AOC ，∠BON =13∠BOD ．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）（1）∠COD 从图1中的位置绕点O 逆时针旋转到OC 与OB 重合时，如图2，则∠MON ＝ 100 °；（2）∠COD 从图2中的位置绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜120且n ≠60），求∠MON 的度数；（3）∠COD 从图2中的位置绕点O 顺时针旋转n °（0＜n ＜180且n ≠60a ，其中a 为正整数），直接写出所有使∠MON ＝2∠BOC 的n 值．【解题思路】（1）当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，可得∠MON＝∠MOB+∠BON，再根据已知条件进行计算即可；（2）根据∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如（图1），②当60＜n＜120时，如（图2），结合（1）进行角的和差计算即可；（3）根据∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a 为正整数），∠MON＝2∠BOC，分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如图3，②当60＜n＜180时，如图4，结合（2）进行角的和差计算即可．【解答过程】解：（1）∵∠AOM=13∠AOC，∠BON=13∠BOD，∴∠MOC=23∠AOC，∠DON=23∠BOD，当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∴∠MON＝∠MOB+∠BON=23∠AOC+13∠BOD=23×120°+13×60°＝80°+20°＝100°；故答案为：100°；（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），①当0＜n＜60时，如（图1），∵∠BOC＝n°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°，∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON=23（120°﹣n°）+n°+13（60°﹣n°）＝100°；②当60＜n＜120时，如（图2），∵∠BOC＝n°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°，∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON=23（120°﹣n°）+60°+23（n°﹣60°）＝100°；综上所述：∠MON的度数为100°；（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，①当0＜n＜60时，如图3，∵∠BOC＝n°，∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON=23（120°+n°）+60°−23（n°+60°）＝100°，∴2n°＝100°∴n＝50；②当60＜n＜180时，如图4，∵∠BOC＝n°，∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°，∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON＝360°−13（240°﹣n°）﹣120°−13（60°+n°）＝140°，∴2n°＝140°，∴n＝70；综上所述：n的值为50或70．【题型4 角平分线】AOC和∠BOC，若∠AOC＝68°，则∠BOF和∠EOF是多少度？【解题思路】由角平分线的定义，结合平角的定义，易求∠BOF和∠EOF的度数．【解答过程】解：点O是直线AB上一点，则∠AOB＝180°，若∠AOC＝68°，则∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣68°＝112°，∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=12∠BOC=12×112°＝56°；又∵OE平分∠AOC，∴∠EOF=12∠AOC+12∠BOC＝34°+56°＝90°．故∠BOF和∠EOF分别是56°和90°．【变式4-1】（2021秋•南山区期末）已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（）①∠AOC＝∠BOC②∠AOB＝2∠AOC③∠AOC+∠COB＝∠AOB④∠BOC=12∠AOBA．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】根据角平分线的定义即可判断．【解答过程】解：①由∠AOC＝∠BOC能确定OC平分∠AOB；②如图1，∠AOB＝2∠AOC所以不能确定OC平分∠AOB；③∠AOC+∠COB＝∠AOB不能确定OC平分∠AOB；④如图2，∠BOC=12∠AOB，不能确定OC平分∠AOB；所以只有①能确定OC平分∠AOB；故选：A．【变式4-2】（2021秋•曲阳县期末）已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝30°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，∠BOD的度数是60°；（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板COD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是75°；（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC．射线ON 平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【解题思路】（1）利用∠BOD＝∠AOB﹣∠COD进行计算；（2）先由OB恰好平分∠COD得到∠COB=12∠COD＝15°，然后根据∠AOC＝∠AOB﹣∠COB进行计算；（3）先根据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD得到∠DON=12∠BOD，∠COM=12∠AOC，则∠DON+∠COM=12（∠AOB﹣∠COD），所以∠MON＝∠DON+∠COM+∠COD=12（∠AOB+∠COD），然后把∠AOB＝90°，∠COD＝30°代入计算即可．【解答过程】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，故答案为：60°；（2）∵OB恰好平分∠COD，∴∠COB=12∠COD=12×30°＝15°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣15°＝75°；故答案为：75°；（3）∠MON的度数不发生变化，∠MON＝60°．理由如下：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠DON=12∠BOD，∠COM=12∠AOC，∴∠DON+∠COM=12（∠BOD+∠AOC）=12（∠AOB﹣∠COD），∴∠MON＝∠DON+∠COM+∠COD=12（∠AOB+∠COD）=12×（90°+30°）＝60°．【变式4-3】（2021秋•裕华区校级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠AOB的一边OB与射线OM重合，现将∠AOB绕着点O按顺时针方向旋转180°．在旋转过程中，当射线OA、OB或者直线MN是某一个角（小于180°）的平分线时，旋转角的度数为40°或100°或160°．【解题思路】经分析，可能存在3种情况：射线OB是某一个角（小于180°）的平分线；射线OA是某一个角（小于180°）的平分线；直线MN是某一个角（小于180°）的平分线．然后，根据角平分线的定义解决此题．【解答过程】解：∠AOB绕着点O按顺时针方向旋转180°时，如图3．①在顺时针旋转过程中，当射线OA是某一个角（小于180°）的平分线，如图4．∴∠MOA＝∠AOB＝40°．∴旋转40°时，射线OA平分∠MOB．②在旋转过程中，当射线OB是某一个角（小于180°）的平分线，如图5．∴∠AOB＝∠BON＝40°．∴∠MOB＝180°﹣∠BON＝180°﹣40°＝140°．∴顺时针旋转140°，射线OB平分∠AON．③在旋转过程中，当直线MN是某一个角（小于180°）的平分线，如图6．∴∠AOM＝∠BOM=12∠AOB=20°．∴旋转20°，直线MN平分∠AOB．综上：在旋转过程中，当射线OA、OB或者直线MN是某一个角（小于180°）的平分线时，旋转角的度数为20°或40°或140°．故答案为：20°或40°或140°．【例5】（2021春•金山区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数．【解题思路】利用题中的关系“一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍”，作为相等关系列方程求解即可．【解答过程】解：设这个角的度数为x°，2（180﹣x）﹣（90﹣x）＝4x．解得x＝54．所以这个角的度数是54°．【变式5-1】（2021•寻乌县模拟）已知∠A是锐角，∠A与∠B互补，∠A与∠C互余，则∠B﹣∠C的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°【解题思路】根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案．【解答过程】解：由题意得：∠A+∠B＝180°，∠A+∠C＝90°，两式相减可得：∠B﹣∠C＝90°．故选：C．【变式5-2】（2020秋•麦积区期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．【解题思路】设这个角为x°，则得出方程180﹣x+10＝3（90﹣x），求出即可．【解答过程】解：设这个角为x°，则180﹣x+10＝3（90﹣x），解得：x＝40，即这个角的度数是40°，即这个角的余角是90°﹣40°＝50°，补角是180°﹣40°＝140°．【变式5-3】（2021秋•沂水县期末）如图，已知∠AOB＝130°，画∠AOB的平分线OC，画射线OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度数．【解题思路】先画∠AOB的平分线OC，及满足条件的射线OD，而射线OD有两个位置，如图1，图2，由角平分线的定义及余角的定义可求解∠COD的度数，图1可由∠BOD ＝∠BOC﹣∠COD，图2可由∠BOD＝∠BOC+∠COD计算求解．【解答过程】解：如图：因为∠AOB＝130°，OC平分∠AOB，所以∠BOC＝∠AOC=12∠AOB＝65°，因为∠COD和∠AOC互余，所以∠COD＝90°﹣∠AOC＝25°，所以∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝65°﹣25°＝40°（图1），或∠BOD＝∠BOC+∠COD＝65°+25°＝90°（图2）．【题型6 利用余角或补角的性质得角相等】【例6】（2021秋•鹿邑县期末）如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°，OD是∠AOC 的角平分线，若∠AOC＝70°．（1）求∠BOD的度数．（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．【解题思路】（1）根据角的平分线的定义求得∠AOD的度数，然后根据邻补角的定义求得∠BOD的度数；（2）首先根据∠DOE＝90°，即∠COD+∠COE＝90°，即可求得∠COE的度数，然后根据∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE，求得∠BOE的度数，从而判断．【解答过程】解：（1）∵OD是∠AOC的角平分线（已知），∠AOC＝70°∴∠AOD＝∠COD=12∠AOC=12×70°＝35°（角平分线定义），∵∠AOD+∠BOD＝180°∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣35°＝145°；（2）答：OE平分∠BOC．理由∵∠COE+∠COD＝∠DOE，∠DOE＝90°，∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝90°﹣35°＝55°．∵∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°∴∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣35°﹣90°＝55°，∴∠COE＝∠BOE＝55°，∴OE平分∠BOC．【变式6-1】（2021秋•旌阳区期末）如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°；③∠AOD+∠BOC＝180°；④若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；⑤∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的有①③④⑤．（填序号）【解题思路】①由∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，可得∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°不一定和是90°；③∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝90°+90°＝180°；④∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，所以OC平分∠BOD；⑤由已知可得∠BOE＝∠COE，∠AOE＝∠DOE，所以∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线．【解答过程】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠COD．故①正确；又∵∠AOB＝∠COD不一定等于45°，∴∠AOB+∠COD≠90°，故②错误；又∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝90°+90°＝180°，故③正确；又∵OB平分∠AOC，∴∠AOB=∠BOC=12∠AOC=45°，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°，∴∠COD＝∠BOC，∴OC平分∠BOD，故④正确；又∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，故⑤正确．∴综上，正确的有①③④⑤．故答案为：①③④⑤．【变式6-2】（2021秋•芮城县期末）综合与实践已知直线AB经过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE；（2）如图1，若∠AOC＝α，求∠DOE；（用含α的式子表示）（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由；（4）将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，直接用含α的式子表示∠DOE．【解题思路】（1）如图1，根据平角的定义和∠COD＝90°，得∠AOC+∠BOD＝90°，从而求得：∠BOD＝30°，由角平分线定义得：∠BOE=12=75°，利用角的差可得结论；（2）同理可得：∠DOE=12α；（3）如图2，根据平角的定义得：∠BOC＝180°﹣α，由角平分线定义得：∠EOC=1 2∠BOC＝90°−12α，根据角的差可得（2）中的结论还成立；（4）同理可得：∠DOE＝∠COD+∠COE＝180°−12α．【解答过程】解：（1）如图1，∵∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+60°＝150°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC＝75°，∴∠DOE＝75°﹣60°＝15°；（2）如图1，由（1）知：∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝α，∴∠BOD＝90°﹣α，∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC＝90−12α，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°−12α﹣（90°﹣α）=12α；（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论还成立，理由是：如图2，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=12∠BOC＝90°−12α，∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°−12α）=12α；（4）∠DOE＝180°−1 2α如图3，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=12∠BOC＝90°−12α，∵∠COD＝90°，∴∠DOE ＝∠COD +∠COE ＝90°+（90°−12α）＝180°−12α．【变式6-3】（2019秋•东西湖区期末）如图1，平面内一定点A 在直线EF 的上方，点O 为直线EF 上一动点，作射线OA 、OP 、OA '，当点O 在直线EF 上运动时，始终保持∠EOP ＝90°、∠AOP ＝∠A 'OP ，将射线OA 绕点O 顺时针旋转60°得到射线OB ．（1）如图1，当点O 运动到使点A 在射线OP 的左侧，若OA '平分∠POB ，求∠BOF 的度数；（2）当点O 运动到使点A 在射线OP 的左侧，且∠AOE ＝3∠A 'OB 时，求∠AOF ∠AOP的值；（3）当点O 运动到某一时刻时，∠A 'OB ＝130°，请直接写出∠BOP ＝ 95°或145° 度．【解题思路】（1）设∠POA ′＝∠A ′OB ＝x ，构建方程求解即可．（2）分两种情形：①当点O 运动到使点A 在射线OP 的左侧，射线OB 在∠POA ′内部时，②当点O 运动到使A 在射线OP 的左侧，但是射线OB 在∠POA ′外部时，分别构建方程求解即可．（3）分两种情形，分别画出图形求解即可． 【解答过程】解：（1）∵OA ′平分∠POB ， ∴设∠POA ′＝∠A ′OB ＝x ， ∵∠AOP ＝∠A ′OP ， ∴∠AOB ＝3x ， ∵∠AOB ＝60°， ∴x +2x ＝60°， ∴x ＝20°，∴∠BOF ＝90°﹣2x ＝50°．（2）①当点O 运动到使点A 在射线OP 的左侧，射线OB 在∠POA ′内部时， ∵∠AOE ＝3∠A ′OB ， ∴设∠A ′OB ＝x ，∠AOE ＝3x ， ∵OP ⊥EF ，∴∠AOF ＝180°﹣3x ，∠AOP ＝90°﹣3x ， ∴∠AOF ∠AOP=180°−3x 90°−3x，∵∠AOP ＝∠A ′OP ， ∴∠AOP ＝∠A ′OP =60°+x2， ∴OP ⊥EF ， ∴60°+x 2+3x ＝90°，∴x =120°7． ∴∠AOF ∠AOP=180°−3×120°790°−3×120°7=900°7270°7=900°270°=103．②当点O 运动到使A 在射线OP 的左侧，但是射线OB 在∠POA ′外部时， ∵∠AOE ＝3∠A ′OB ，设∠A ′OB ＝y ，∠AOE ＝3y ， ∴∠AOP ＝∠A ′OP =60°−y2， ∴OP ⊥EF ， ∴3y +60°−y2=90°， ∴y ＝24°， ∴∠AOF ∠AOP=180°−3y 90°−3y=6．（3）①如图3，当∠A 'OB ＝130°时，由图可得：∠A 'OA ＝∠A 'OB ﹣∠AOB ＝130°﹣60°＝70°， 又∵∠AOP ＝∠A 'OP ， ∴∠AOP ＝35°，∴∠BOP ＝60°+35°＝95°． ②如图4，当∠A 'OB ＝130°时，由图可得∠A'OA＝360°﹣130°﹣60°＝170°，又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝85°，∴∠BOP＝60°+85°＝145°；综上所述：∠BOP的度数为95°或145°．【题型7 求几何图形中互余或互补角的个数】【例7】（2021•娄星区模拟）如图，C是直线AB上一点，CD是∠ACB的平分线．①图中互余的角有∠1与∠3；②图中互补的角有∠ACD与∠BCD、∠ACE与∠1；③图中相等的角有∠ACD＝∠BCD．【解题思路】①根据角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝90°，由互余的定义可得出答案；②根据互补的定义，结合图形即可得出答案③根据角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD．【解答过程】解：①∵C是直线AB上一点，CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝90°，∴∠1+∠3＝90°，即∠1与∠3互余；②∵∠ACD+∠BCD＝180°，∠ACE+∠1＝180°，∴互补的角有：∠ACD与∠BCD、∠ACE与∠1；③由①得∠ACD＝∠BCD．故答案为：∠1与∠3；∠ACD与∠BCD、∠ACE与∠1；∠ACD＝∠BCD．【变式7-1】（2021秋•南开区期末）如图所示，已知O是直线AB上一点，∠BOE＝∠FOD ＝90°，OB平分∠COD．（1）图中与∠DOE相等的角有∠AOF；（2）图中与∠DOE互余的角有∠EOF、∠BOD、∠BOC；（3）图中与∠DOE互补的角有∠BOF、∠EOC．【解题思路】（1）由垂直的定义得到：∠AOF+∠EOF＝90°，∠DOE+∠EOF＝90°，等量代换即可得解；（2）根据余角的定义解答；（3）根据补角的定义解答．【解答过程】解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝90°，∴∠AOF+∠EOF＝90°，∵∠FOD＝90°，∴∠DOE+∠EOF＝90°，∴∠AOF＝∠DOE，故答案为：∠AOF；（2）∵∠AOE＝∠FOD＝90°，∴∠AOF+∠EOF＝90°，∠BOD+∠DOE＝90°，∠DOE+∠EOF＝90°，∵OB平分∠COD，∴∠BOD＝∠BOC，∴∠BOC+∠DOE＝90°，∴与∠DOE互余的角有：∠EOF、∠BOD、∠BOC；故答案为：∠EOF、∠BOD、∠BOC；（3）∵∠AOE＝∠FOD＝90°，∠BOE＝90°，∴∠AOF+∠EOF＝90°，∠DOE+∠EOF＝90°，∠DOE+∠BOD＝90°，∴∠AOF＝∠DOE，∠EOF＝∠BOD，∵∠AOF+∠BOF＝180°，∴∠DOE+∠BOF＝180°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝∠EOF，∴∠BOF ＝∠COE ，∴∠DOE +∠COE ＝180°，∴与∠DOE 互补的角有：∠BOF 、∠EOC ．故答案为：∠BOF 、∠EOC ．【变式7-2】（2021秋•成都期中）如图，O 是直线AB 上的一点，∠AOD ＝120°，∠AOC ＝90°，OE 平分∠BOD ．写出图中所有互补的角和互余的角．【解题思路】根据已知条件求出∠BOD 、∠DOE 、∠BOE 、∠AOE 、∠OCD 、∠OCE 的度数，再根据补角余角定义进行判断．【解答过程】解：∵∠AOD ＝120°，∴∠BOD ＝60°．∵OE 平分∠BOD ，∴∠DOE ＝∠BOE =12∠BOD =30°．∴∠AOE ＝150°，∠OCD ＝30°．∴∠OCE ＝60°．∴互补的角：∠AOC 和∠BOC ，∠AOD 和∠BOD ，∠AOE 和∠BOE ，∠AOD 和∠COE ，∠AOE 和∠DOE ，∠AOE 和∠COD ．互余的角：∠COD 和∠BOD ，∠AOD 和∠BOD ，∠AOE 和∠BOE ，∠AOD 和∠COE ，∠AOE 和∠DOE ，∠AOE 和∠COD ．【变式7-3】（2021春•吴中区月考）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③12（∠α+∠β）；④12（∠α﹣∠β）．可以表示∠β的余角的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【解题思路】互补即两角的和为180°，互余即两角的和为90°，根据这一条件判断即可．【解答过程】解：已知∠β的余角为：90°﹣∠β，故①正确；∵∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，∴∠α+∠β＝180°，∠α＞90°，∴∠β＝180°﹣∠α，∴∠β的余角为：90°﹣（180°﹣∠α）＝∠α﹣90°，故②正确；∵∠α+∠β＝180°，12（∠α+∠β）＝90°，∴∠β的余角为：90°﹣∠β=12（∠α+∠β）﹣∠β=12（∠α﹣∠β），故④正确．∴可以表示∠β的余角的有：①②④．故选：C．【题型8 数学思想方法与角】【例8】（2021秋•河东区期末）已知∠AOB＝90°，OC为一射线，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC，则∠MON是（）A．45°B．90°C．45°或135°D．90°或135°【解题思路】解答此题首先进行分类讨论，当OC是∠AOB里的一条射线时，根据题干条件求出一个值，当OC是∠AOB外的一条射线时，根据平分线的知识可以得到角之间的关系，进而求得∠MON的大小．【解答过程】解：如图所示：Ⅰ、OC在∠AOB内部，∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC，∴∠COM=12∠BOC，∠CON=12∠AOC，∴∠COM+∠CON=12∠BOC+12∠AOC，即∠MON=12×∠AOB，又∵∠AOB＝90°，∴∠MON＝45°；Ⅱ、如图，当OC在∠AOB外部时，有以下两种情况：①∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC，∴∠AON＝∠NOC=12∠AOC，∠BOM＝∠MOC=12∠BOC，∴∠MON＝∠NOC+∠MOC＝（360°﹣90°）÷2，∴∠MON＝135°，②∵OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC，∴∠COM=12∠BOC，∠CON=12∠AOC，∴∠MON＝∠COM﹣∠CON=12∠BOC−12∠AOC=12∠AOB＝45°，综上所述：∠MON＝45°或135°．故选：C．【变式8-1】（2021秋•成华区期中）（1）如图1，射线OC、OD在∠AOB的内部，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC、且∠BON＝50°，∠AOM＝40°，∠COD＝30°，求∠AOB的度数；（2）如图2，射线OC、OD在∠AOB的内部，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC、且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠MON的度数．【解题思路】（1）根据角平分线的定义可得出∠AOD、∠BOC的度数，结合∠AOB＝∠AOD﹣∠COD+∠BOC即可得出结论；（2）根据角平分线的定义可得出∠AOM=12∠AOD、∠BON=12∠BOC，由∠AOB＝150°、∠COD＝30°即可算出∠AOD+∠BOC的度数，再根据∠MON＝∠AOB−12（∠AOD+∠BOC），代入数据即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC，且∠BON＝50°，∠AOM＝40°，∴∠AOD＝2∠AOM＝80°，∠BOC＝2∠BON＝100°，∵∠COD＝30°，∴∠AOB＝∠AOD﹣∠COD+∠BOC＝80°﹣30°+100°＝150°．（2）∵射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC，∴∠AOM=12∠AOD，∠BON=12∠BOC，∵∠AOB＝150°，∠COD＝30°，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝150°+30°＝180°，∴∠MON＝∠AOB﹣（∠BON+∠AOM）＝∠AOB−12（∠AOD+∠BOC）＝150°﹣90°＝60°．【变式8-2】（2021秋•无锡期末）如图，∠AOB＝150°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，则2∠BOE﹣∠BOD＝110°．【解题思路】设∠EOD＝x°，∠BOC＝y°，用x，y表示2∠BOE﹣∠BOD，利用已知条件得出x，y的关系式，然后整体代入可得结论．【解答过程】解：设∠EOD＝x°，∠BOC＝y°，则∠EOC＝∠EOD+∠COD＝x°+40°．∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠EOC＝x°+40°．∵∠AOB＝150°，∴∠AOE+∠COE+∠BOC＝150°．即2（x°+40°）+y°＝150°．∴2x°+y°＝70°．∵2∠BOE﹣∠BOD＝2（x°+40°+y°）﹣（y°+40°）＝2x°+80°+2y°﹣y°﹣40°＝2x°+y°+40°，∴2∠BOE﹣∠BOD＝70°+40°＝110°．故答案为110．【变式8-3】（2021秋•镇海区期末）新定义问题如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线是这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为15°或22.5°或30°；【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．【解题思路】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可．【解答过程】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③设∠AOC＝x，则∠BOC=12x，由题意得，x+12x＝45°，解得x＝30°，故答案为：15°或22.5°或30°；（3）当0＜t≤6时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，若OA是射线OM与ON的幸运线，则∠AON=12∠MON，即60﹣15t=12（60+5t），解得t=127；∠AON=13∠MON，即60﹣15t=13（60+5t），解得t=125；∠AON=23∠MON，即60﹣15t=23（60+5t），解得t=1211；当6＜t ＜9时，∠MOA ＝20t ，∠AON ＝15t ﹣60， 若ON 是射线OM 与OA 的幸运线，则∠AON =12∠MOA 即15t ﹣60=12×20t ，解得t ＝12（舍）； ∠AON =13∠MOA ，即15t ﹣60=13×20t ，解得t =365； ∠AON =23∠MOA ，即15t ﹣60=23×20t ，解得t ＝36（舍）； 故t 的值是127或125或1211或365．。
2019届中考数学 知识点训练题28 线与角
2019届中考数学知识点训练题28 线与角【复习要点】1.认识点、线、面及它们之间的关系，了解线段、直线、射线的概念、区别、联系及表示方法.了解直线和线段的基本性质及两点间的距离概念.2.理解线段的中点的定义，会比较线段的大小.3.了解角的概念、表示方法、度量及角的度、分、秒的简单换算.了解角的分类及方向角的表示方法，角的和与差，角的比较方法.角有四种表示方法：①可三个字母表示；②可用一个数字来表示，③也可用一个希腊字母来表示，④可用一个表示，但必须是在不引起混淆的情况下，才用一个表示.4.理解角的平分线的定义，角平分线的性质定理、逆定理及其相关结论. 5．两角之间的关系：（1）余角：若两个角的和为，则这两个角互为余角.（2）补角：若两个角的和为，则这两个角互为补角.6．角的度量：1°= ′,1′= ″，1°= ′= ″7.相交线（1）对顶角的概念及应用.（2）相交线、垂线的定义.（3）垂线的性质：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 .②垂线段最短.（4）点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和之间线段的长度叫做点到直线的距离.8.三线八角形成的相关角；同位角、内错角、同旁内角.9.平行线的性质（特征）：①公理：两直线平行，同位角 .②两直线平行，内错角 .③两直线平行，同旁内角 .10.平行线的判别（判定）①在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。
②同位角，两直线平行.③内错角，两直线平行.④同旁内角，两直线平行.⑤如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相 .⑥如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相 .11.命题、公理、定理、证明：判断一件事情的语句叫做 ；正确的语句叫做 ；错误的语句叫做 ；我们学过的图形的性质，都是 命题。
有些真命题，它们的正确性质是人们长期的实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题称为 。
初三数学中考复习 线段和角 专题复习训练 含答案
初三数学中考复习线段和角专题复习训练含答案2019届初三数学中考复习 方线段和角 专题复习训练1. 京广高铁全线通车，一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制车票( )A ．6种B ．12种C ．15种D ．30种2. 点A ，B ，C 在同一条数轴上，其中点A ，B 表示的数分别为－3，1，若BC ＝2，则AC 等于( )A ．3B ．2C ．3或5D ．2或63．已知线段AB ，画出它的中点C ，再画出BC 的中点D ，再画出AD 的中点E ，再画出AE 的中点F ，那么AF 等于AB 的( )A.14B.38C.18D.3164. 已知线段AB ＝10 cm ，点C 是直线AB 上一点，BC ＝4 cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是( )A ．7 cmB ．3 cmC ．5 cm 或3 cmD ．5 cm5. 如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠AOC ＝76°，则∠BOM 等于( )A ．38°B ．104°C ．142°D ．144°6. 学校、电影院、公园在平面图上分别用点A ，B ，C 表示，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西35°方向，那么平面图上的∠BAC 等于( )A ．115°B ．35°C ．125°D ．55°7. 一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的大小是( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．45°8. 如图，两块直角三角板的直角顶点O 重合在一起，且OB 恰好平分∠COD ，则(1)写出数轴上点B 表示的数_______，点P 表示的数_______(用含t 的代数式表示)(2)动点R 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P ，R 同时出发，问点P 运动多少秒时追上点R?19. 如图，已知∠AOB ＝m °，OC 是∠AOB 内的一条射线，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC .(1)求∠EOD 的度数；(2)若其他条件不变，OC 在∠AOB 内部绕O 点转动，则OD ，OE 的位置是否发生变化？(3)在(2)的条件下，∠EOD 的大小是否发生变化？如果不变，请求出其度数；如果变化，请求出其度数的范围．参考答案：1---9 DDDDC CACC10. 两点确定一条直线11. A12. 13513. 70°14. 70°15. 解：PQ ＝13a 16. 解：设∠AOB ＝2x ，则∠AOD ＝7x ，所以∠BOD ＝∠AOD －∠AOB ＝5x ＝100°，所以x ＝20°，即∠AOB ＝∠COD ＝40°，∠AOD ＝140°，所以∠BOC ＝∠AOD －∠AOB －∠COD ＝140°－40°－40°＝60°17. 解：(1)因为∠AOC ＋∠AOD ＝∠AOD ＋∠BOD ＝180°，所以∠BOD ＝∠AOC ＝50°，由OM 平分∠BOD ，可得∠BOM ＝∠DOM ＝25°，又由∠MON ＝90°，所以∠AON ＝180°－(∠MON ＋∠BOM)＝180°－(90°＋25°)＝65°(2)由∠DON ＋∠DOM ＝∠MON ＝90°知∠DOM 为∠DON 的余角，故∠DON 的余角为25°18. (1) －4 6－6t(2) 解：设点P 运动x 秒时，在点C 处追上点R ，则AC ＝6x ，BC ＝4x ，因为AC －BC ＝AB ，所以6x －4x ＝10，解得：x ＝5，所以点P 运动5秒时追上点R19. 解：(1)(12m)° (2)OD ，OE 的位置发生变化 (3)∠EOD 的大小保持不变为(12m)°。
中考数学复习 专题练习余角、补角及其性质(含解析)
中考数学专题练习-余角、补角及其性质（含解析）一、单选题1.∠A的补角为125°12′，则它的余角为（）A. 54°18′B. 35°12′C. 35°48′D. 以上都不对2.若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=90°，则∠2与∠3的关系是（）A. 互余B. 互补C. 相等D. ∠2=90°+∠33.如果一个角的补角是139°，那么这个角的余角是（）A. 39°B. 49°C. 41°D. 51°4.将三角板与直尺按如图所示的方式叠放在一起．在图中标记的角中，与∠1互余的角共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.∠A=60°，则∠A的补角是( )A. 160°C. 60°D. 30°6.将一副三角板按如图方式摆放在一起，且∠1比∠2大30°，则∠1的度数等于（）A. 30°B. 60°C. 70°D. 80°7.如图所示，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合，且∠AOD=2∠BOC，则∠AOC的等于（）A. 45°B. 30°C. 25°D. 20°8.如果一个角等于60°，那么这个角的补角是（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°9.如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°-∠β；②∠α-90°；③(∠α+∠β)；④(∠α-∠β)，正确的有（）A. 4B. 3个C. 2个D. 1个10.下列说法中正确的是( )A. 一个角的补角只有一个B . 一个角的补角必大于这个角C. 若不相等的两个角互补，则这两个角一个是锐角，一个是钝角D. 互余的两个角一定相等11.一个角的余角比它本身小，这个角是( )A. 大于45°B. 小于45° C. 大于0°小于45° D. 大于45°小于90°二、填空题12.∠AOB的大小可由量角器测得（如图所示），则∠AOB的补角的大小为________°．13.一个角的补角是这个角余角的3倍，则这个角是________度．14.如图，已知∠AOC=90°，直线BD过点O，∠COD=115°15′，则∠AOB=________．15.若∠α比60°角的补角的大35°，则∠α的余角为________°．16.一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于________度．17.若∠α=40°，则它的补角是________°．三、计算题18.如图，∠AOB=∠COD=90°，∠1=23°，求∠2的度数．19.若一个角比它的补角大20°，求这个角的度数．20.一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．21.一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？22.一个角的余角比它的补角还多1°，求这个角．四、解答题23.在直角△ABC中，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，∠AEF=∠AFE．（1）求证：AD⊥BC（请用一对互逆命题进行证明）（2）写出你所用到的这对互逆命题．五、综合题24.若点O为直线AB上一点，OC为射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.（1）若∠BOC=50°，求∠EOF的度数；（2）若∠BOC是任意角（，（1）中的结论是否还成立，请说明理由，由此发现什么规律？25.根据所学知识完成题目：（1）一个角的余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，求这个角．（2）从两点三十分时开始算起，钟表上的时针与分针经过多久第一次重合？答案解析部分一、单选题1.∠A的补角为125°12′，则它的余角为（）A. 54°18′B. 35°12′C. 35°48′D. 以上都不对【答案】B【考点】余角和补角【解析】【解答】∵∠A=180°-125°12′，∴∠A的余角为90°-∠A=90°-（180°-125°12′)=125°12′-90°=35°12′．故选B．【分析】两角互补和为180°，互余和为90°，先求出∠A，再用90°-∠A即可解出本题．此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°．2.若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=90°，则∠2与∠3的关系是（）A. 互余B. 互补C. 相等D. ∠2=90°+∠3【答案】D【考点】余角和补角【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=90°，∴∠1=180°﹣∠2=90°﹣∠3，∴∠2=90°+∠3．故选：D．【分析】根据若两角的和为90°，则两角互余；若两角的和为180°，则两角互补，解答即可．3.如果一个角的补角是139°，那么这个角的余角是（）A. 39°B. 49°C. 41°D. 51°【答案】B【考点】余角和补角【解析】【分析】根据互补的两角之和为180°，互余的两角之和为90°即可解答．【解答】这个角=180°-139°=41°，这个角的余角=90°-41°=49°．故选B．【点评】本题考查了余角和补角的知识，关键是掌握互补的两角之和为180°，互余的两角之和为90°4.将三角板与直尺按如图所示的方式叠放在一起．在图中标记的角中，与∠1互余的角共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【考点】余角和补角【解析】【解答】∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∠4+∠3=90°，∠4=∠5，∠5=∠6，∴与∠1互余的角有：∠4、∠5、∠6，故选：C．【分析】根据对顶角相等、平行线的性质和互为余角的两个角的和为90°进行解得即可．5.∠A=60°，则∠A的补角是( )A. 160°B. 120°C. 60°D. 30°【答案】B【考点】余角和补角【解析】【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可得解。
2019届初三中考数学复习 角的比较与补(余)角 专题复习训练 含答案
2019届初三中考数学复习角的比较与补(余)角专题复习训练含答案2019届初三中考数学复习角的比较与补(余)角专题复习训练1．已知∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，∠A，∠B，∠C的大小关系是( )A．∠A＝∠B＜∠C B．∠A＝∠C＞∠BC．∠A＞∠C＞∠B D．∠B＞∠A＞∠C2．如图，若∠AOB＝∠COD，那么( )A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1与∠2的大小不能确定3. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为( )A．50° B．60° C．65° D．70°4. 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( )A．35° B．55° C．70° D．110°5. 如果α与β互为余角，则( )A．∠α＋∠β＝180° B．∠α－∠β＝180°C．∠α－∠β＝90° D．∠α＋∠β＝90°6. 下列说法中：①等角的补角相等；②锐角的补角是钝角；③两个互补的角中一定是一个锐角，一个钝角；④一个锐角的补角比它的余角大90°.其中正确的是( )A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④7. 如图，∠DOB是直角，∠COA也是直角，则( )17. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC ＝90°，∠1＝40°，求∠2与∠3的度数．18. 如图，点A ，O ，E 在同一条直线上，OB 平分∠AOC ，∠BOC ＋∠COD ＝90°，猜想∠COD 与∠DOE 之间有什么关系？试说明理由．19. 把一副三角尺的直角顶点O 重叠在一起．(1)如图(1)，当OB 平分∠COD 时，则∠AOD 和∠BOC 有何关系？(2)如图(2)，当OB 不平分∠COD 时，上述关系仍成立吗？请说明理由． 参考答案：1—9 BBDCB CCAD10. 15°11. 53°25′ 126°35′12. 370313. 110°14. ②④15. 解：∠BOD ＝12∠AOE ＝64° 16. 解：设这个角为x °，则180－x ＝2(90－x)＋40，解得x ＝40，故这个角为40°17. 解：因为∠1＋∠FOC ＋∠2＝180°，所以∠2＝180°－∠1－∠FOC ＝50°，所以∠AOD ＝180°－∠2＝180°－50°＝130°，因为OE 平分∠AOD ，所以∠3＝12∠AOD ＝12×130°＝65° 18. 解：∠COD ＝∠DOE.理由：因为∠AOE ＝180°，∠BOC ＋∠COD ＝90°，所以∠AOB＋∠DOE＝∠AOE－(∠BOC＋∠COD)＝90°，因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，所以∠COD＝∠DOE19．解：(1)因为OB平分∠COD，所以∠BOC＝∠BOD＝45°，所以∠AOD＋∠BOC ＝90°＋45°＋45°＝180°，即∠AOD与∠BOC互补(2)当OB不平分∠COD 时，设∠COB＝x，则∠BOD＝90°－x，所以∠AOD＋∠BOC＝90°＋(90°－x)＋x＝180°，即OB不平分∠COD时，∠AOD与∠BOC仍互补。
初三数学中考复习 角、相交线和平行线 专项复习练习 含答案
2019 初三数学中考复习角、相交线和平行线专项复习练习1．已知M，N，P，Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是( C ) A．∠NOQ＝42° B．∠NOP＝132°C．∠PON比∠MOQ大 D．∠MOQ与∠MOP互补2. 如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝60°，那么∠2的度数为( C ) A．120° B．90° C．60° D．30°3. 如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD.若∠COA＝36°，则∠DOB的大小为( B ) A．36° B．54° C．64° D．72°4. 如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交于A，B两点，AC⊥AB于点A，交直线b于点C.已知∠1＝42°，则∠2的度数是( C )A．38°B．42°C．48°D．58°5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为( B ) A．40° B．50° C．60° D．70°6．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C的度数为( C ) A．50° B．40° C．30° D．20°7．如图，直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝35°，则∠3＝( C )A．85° B．60° C．50° D．35°8．如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为( A )A．90° B．85° C．80° D．60°9．如图，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数为( B ) A．50° B．40° C．45° D．25°,第7题图) ,第8题图)10．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC 与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为( C )A．25° B．45° C．35° D．30°11．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度( B )A．先向左转130°，再向左转50°B．先向左转50°，再向右转50°C．先向左转50°，再向右转40°D．先向左转50°，再向左转40°12．如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是( D ) A．∠1＋∠6＞180° B．∠2＋∠5＜180°C．∠3＋∠4＜180° D．∠3＋∠7＞180°13．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝( A ) A．30° B．35° C．36° D．40°14．如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝50°，则∠A＝__50°__．15．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝54°，则∠2＝__72°__．16．如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE于点E，若∠A＝42°，则∠D＝__48°．,第14题图) ,第15题图)17．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是__15°__．18．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是__90__度．19．如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD.若∠ECA为α度，则∠GFB为__90－α2__度．(用关于α的代数式表示)20. 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，∠BOD＝__36__度．21．如图，∠1＝∠2，∠A＝60°，求∠ADC等于多少度．解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴∠A＋∠ADC＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ADC＝120°22．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，求∠2等于多少度？解：如图，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°。
2019—2020学年度最新沪科版七年级数学上册课后训练{角的比较与补(余)角}及解析(精品试卷).docx
课后训练基础巩固1．∠α和∠β的顶点和一边都重合，另一边都在公共边的同侧，且∠α＞∠β，那么∠α的另一边落在∠β的( )．A．另一边上B．内部C．外部D．以上结论都不对2．下列说法中正确的是( )．A．一个锐角的余角一定比这个锐角小B．一个锐角的余角一定比这个锐角大C．一个锐角的补角一定比这个锐角大D．一个钝角的补角一定比这个钝角大3．利用一副三角板上已知度数的角，不能画出的角是( )．A．15°B．135°C．165°D．100°4．如图，∠1＝15°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为( )．A．75°B．15°C．105°D．165°5．已知∠AOB＝60°，其角平分线为OM，∠BOC＝20°，其角平分线为ON，则∠MON 的大小为( )．A．20°B．40°C．20°或40°D．10°或30°6．如图，AB是直线，∠BOC＝∠COD，∠DOE＝∠AOE，∠BOF＝90°，则下列说法错误的是( )．A．OC是∠BOD的平分线B．OD是∠AOC的平分线C．OE是∠AOD的平分线D．OF是∠AOB的平分线7．如图所示，小明把一块含60°角的三角板绕60°角的顶点A逆时针旋转到DAE的位置．若已量出∠CAE＝100°，则∠DAB＝__________°.8．已知一个角的补角和这个角的余角互补，求这个角的度数．能力提升9．如图所示，已知∠AOB＝165°，∠AOC＝∠BOD＝90°，求∠COD.10．已知两个有公共顶点且有一条公共边的角的度数比是7∶3，并且它们的差是72°，那么这两个角的和是多少？有什么特殊关系？11．如图(1)所示，∠AOB，∠COD都是直角．(1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余还是互补的关系？你能用推理的方法说明你的猜想是否合理吗？(2)当∠COD绕着点O旋转到图(2)的位置时，你原来的猜想还成立吗？写出答案即可，不需说明理由．参考答案1答案：C2答案：C 点拨：若这个锐角是小于45°的，则它的余角大于45°，故A错；若这个锐角是大于45°的，则它的余角小于45°，故B错；锐角的补角一定大于90°，故C对．3答案：D 点拨：45°－30°＝15°，A正确；45°＋90°＝135°，B正确；180°－15°＝165°，C正确．4答案：C 点拨：∠1与∠BOC互余，因此∠BOC＝75°，∠COD与∠BOC互补，∴∠COD ＝105°，故选C.5答案：C 点拨：分OC在∠AOB内部和OC在∠AOB外部两种情况讨论．6答案：B7答案：20 点拨：∵∠CAE＝100°，∠EAD＝60°，∴∠CAD＝40°.而∠CAB＝60°，∴∠DAB＝20°.8解：设这个角为x°，则它的余角是(90－x)°，它的补角是(180－x)°，根据题意，可得(180－x)＋(90－x)＝180.解这个方程，得180－x＋90－x＝180,90－2x＝0，所以2x＝90，x＝45.所以这个角的度数为45°.9解：设∠COD＝x°，则∠BOC＝90°－x°，∠AOD＝90°－x°.∵∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝180°－x°，∴180－x＝165，∴x＝15，∴∠COD＝15°.10解：设较大的角为(7x)°，则较小的角为(3x)°，根据题意，可得7x－3x＝72,4x＝72，所以x＝18,7x＝7×18＝126,3x＝54.所以这两个角分别为126°和54°.因为126°＋54°＝180°，所以这两个角互为补角．11解：(1)互补，∵∠AOD＋∠COB＝∠AOC＋∠COB＋∠BOD＋∠COB＝(∠AOC＋∠COB)＋(∠BOD＋∠COB)＝180°，∴∠AOD与∠COB互补．(2)成立．。
角、余角、补角提高练习题(修改)
角、余角、补角角的平分线从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线（1） 如图所示,如果OC 是∠AOB 的平分线，则以下各式成立：∠BO Ｃ=∠ＡＯＣ∠AOB=2∠AOC ，∠AO Ｂ=２∠BOC∠AOC=21∠AO Ｂ,∠B ＯＣ=21∠ＡOB 这是角平分线的性质（2） 如果∠ＡOC=∠ＢO Ｃ，那么ＯC 是∠AOB 的平分线，这是角平分线的基本判定方法，可以概括为∠AOC=∠BO ＣＯC 是∠ＡOB 的平分线．（3） 类似的,还有角的三等分线，如图4-3.２-4所示,如果∠AOB=∠BOC ＝∠COD=31∠AOD ，那么OB ，OC 是∠ＡOD 的三等分线．如图所示,ＯＣ是∠AO Ｂ的平分线,OD 是∠ＡＯB 的外部的任意一条射线.求证：∠ＡOD+∠ＢOD ＝2∠ＣOD.如图所示，已知∠A ＯE ＝1０0°,∠DOF=80°.OE 平分∠D ＯC,OF 平分∠AOC.求∠EOF 的度数.如图所示，将一张长方形的纸斜折过去，使角顶点A 落在A ˊ处,BC 为折痕，然后把B Ｅ折过去,使之与A ′B 重合，折痕为B Ｄ,那么两折痕B Ｃ、BD 间的夹角是多少度？典型例题一 典型例题三典型例题二利用一副三角板上的角,能画出多少个小于1８0°的角,试一一画出来.１、如图所示，将一平行四边形纸片ABCD沿AＥ，ＥF折叠,使点Ｅ,,,在同一条直线上，则∠AEF＝＿＿_______＿.2、（福州中考)如图所示，已知直线AB,CD相交于点O,OＡ平分∠EOＣ ,∠EOC=１0０°，则∠BOD的度数是( ）.A.20°Ｂ.４５° C.５０° D.80°3、已知：如图所示,ＯC平分∠AOＤ，且∠２:∠３：∠4=1:2:４，求∠1的度数.4、如图所示,ＢO、CＯ分别平分∠ＡBC和∠ＡCB,(１）若∠A=6０°，求∠O.（2）若∠A＝10０°、1２0°,∠O又是多少?(３)由（1）、(2）你发现了什么规律?当∠Ａ的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？1.不大于180°的角分为锐角、直角、钝角、平角,其中等于90°的角是直角，等于１8０°的角是平角.特别提示典型例题四B中考真题实战2. 角的度量:用量角器度量角，度分秒是常用的角的度量单位：1°＝60′,1′＝60″.3. 角的画法：(１)用量角器画0°到1８0°之间的任意度数的角(2)用一副三角板可画出一些特殊的角4．角平分线：若射线O Ｃ是∠A ＯB 的平分线,则∠AOC=∠ＢOC=21∠AOB 或∠AOB ＝2∠ＡOC=2∠ＢOC ．在我们所用的一幅三角板中，每块都有一个角是90°,那么其他两个角的度数之间有什么特殊关系？如图4－3.３－1中∠１与∠2的度数之间有什么特殊关系?余角、补角的概念（1） 如果两个角的和等于直角,那么这两个角互为余角,简称互余,其中一个角叫做另一个角的余角.（2） 如果两个角的和等于平角，那么这两个角互为补角，简称互补,其中一个角叫做另一个角的补角（3）余角、补角的性质（1） 余角的性质:等角的余角相等（2） 补角的性质：等角的补角相等（3） 温馨提示:一个角的余角可以有多个,这多个余角的大小都相等；一个角的补角也可以有多个，这多个补角的大小也都相等，即同角的余角相等;同角的补角相等。
【提高练习】《角的比较与补(余)角》(数学沪科七上)
《4.5 角的比较与补（余）角》提高练习1. 如图①，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝()．图①A．120°B．180°C．150°D．135°2. 如图②，点O在直线AB上，射线OC平分∠BOD，若∠COB＝35°，则∠AOD等于()．图②A．35°B．70°C．110°D．145°3. 借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角()A．65°B．75°C．85°D．95°4.如图③，OC平分平角∠AOB，∠AOD＝∠BOE＝20°，图中互余的角共有(). A．1对B．2对C．3对D．4对图③5. 已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为(). A．28°B．112°C．28°或112°D．68°6. 如图④，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是( ).图④A．125°B．135°C．145°D．155°7.如图⑤，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD 的度数是( ).图⑤A．35°B．55°C．70°D．110°8. 如图⑥所示，已知AB为一条直线，O是AB上一点，OC平分∠AOD，OE在∠BOD内，∠DOE＝∠BOD，∠COE＝75°，求∠EOB的度数．图⑥9. 已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．10. 如图⑦，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1)求∠EOD的度数；(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．图⑦答案和解析【答案】1. B2. C3. B4. D5. C6. B7. C8. 9 ∠BCM或∠DCO9. 15°10. (1)60°；(2)15°.【解析】1. 解：由图可得∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.故选B.此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．2. 解：因为射线OC平分∠BOD，∠COB＝35°，所以∠BOD＝2∠COB＝70°，所以∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－70°＝110°，故选C.根据角平分线的性质可知，∠BOD＝2∠COB＝70°，由图可知，∠AOD与∠BOD互补，进而可以求出∠AOD的度数.本题主要考查了角的判定，可以根据图形依次数出角的个数.3. 解：一副三角尺的角有45°、45°、90°；30°、60°、90°.故借助一副三角尺，可以画出45°＋30°＝75°的角.故选B．本题考查了三角尺相关的知识，掌握三角尺的各个角的度数是解题关键.4. 解：因为OC平分平角∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，所以∠AOD与∠COD互余，∠BOE与∠COE互余，又因为∠AOD＝∠BOE＝20°，所以∠BOE与∠COD互余，∠AOD与∠COE互余，故图中互余的角共有4对.故选D.此题考查的是角平分线的性质和余角的性质，能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的性质和余角的性质是解题的关键．5. 解：如图⑧，当点C与点重合时，∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝70°－42°＝28°；当点C与点重合时，∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝70°＋42°＝112°.图⑧故选C.此题考查的是角的和差，本题要分两种情况进行讨论：(1) 当点C与点重合时；(2)当点C 与点重合时，进而根据图形正确找到角之间的和差关系进行解答即可.6. 解：因为OE⊥AB，所以∠AOE＝∠BOE＝90°，又因为∠BOD＝45°，所以∠EOD＝∠BOE－∠BOD＝90°－45°＝45°，所以∠COE＝180°－∠EOD＝180°－45°＝135°.故选B.此题考查的是余角、补角的定义，能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解余角、补角的定义是解题的关键．7. 解：因为OE平分∠COB，所以∠COE＝∠EOB，因为∠EOB＝55°，所以∠COE＝55°，所以∠BOD＝180°－∠COE－∠EOB＝180°－55°－55°＝70°.故选C.此题考查的是角平分线的性质和补角的定义，能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的性质和补角的定义是解题的关键．8.解：设∠AOD的度数为x°，则∠BOD＝(180－x)°.因为OC平分∠AOD，∠DOE＝∠BOD，所以∠COD＝∠AOD＝，∠DOE＝∠BOD＝(180－x)°.由于∠COE＝∠COD＋∠DOE＝75°，因此，＋(180－x)＝75，解得x＝90.所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－90°＝90°，∠EOB＝∠BOD＝60°.(1)几何题中包含多个已知量，条件包含多个数量关系，我们可选一个恰当的量为x，再用这个x来表示其他未知量；(2)利用方程思想进行计算，往往能达到意想不到的效果．本题中用到角的平分线及角的和、差、倍、分关系，涉及的角较多，应注意利用这些数量关系将未知角用已知角表示出来．9. 解：因为∠A与∠B互余，所以∠A＋∠B＝90°.又因为∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，所以∠A＝3∠B＋30°，所以3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度数为15°.根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠B的值．此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．10. 解：(1)因为∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝×120°＝60°；(2)因为∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，所以∠AOC＝120°－90°＝30°，因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.(1)根据OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，可知∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB，由此即可得出结论；(2)先根据∠BOC＝90°求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论．能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键．。
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2019届初三中考数学复习角的比较与补(余)角专题复习训练
1．已知∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，∠A，∠B，∠C的大小关系是( )
A．∠A＝∠B＜∠C B．∠A＝∠C＞∠B
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠B＞∠A＞∠C
2．如图，若∠AOB＝∠COD，那么( )
A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2
C．∠1＜∠2 D．∠1与∠2的大小不能确定
3. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为( )
A．50° B．60° C．65° D．70°
4. 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( )
A．35° B．55° C．70° D．110°
5. 如果α与β互为余角，则( )
A ．∠α＋∠β＝180°
B ．∠α－∠β＝180°
C ．∠α－∠β＝90°
D ．∠α＋∠β＝90°
6. 下列说法中：①等角的补角相等；②锐角的补角是钝角；③两个互补的角中一定是一个锐角，一个钝角；④一个锐角的补角比它的余角大90°.其中正确的是( )
A ．①②③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．①③④ 7. 如图，∠DOB 是直角，∠COA 也是直角，则( )
A ．∠1＝∠2
B ．∠3＝1
2(∠1＋∠2) C ．∠1＝∠3 D ．∠2＝∠3
8. 如图，如果在阳光下你的身影的方向为北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是( )
A ．南偏西60°
B ．南偏西30°
C ．北偏东60°
D ．北偏东30 9. ．如图，直线AB 和CD 交于点O ，∠AO
E ＝90°，O
F 平分∠AOE ，∠1＝15°30′，下列结论中不正确的是( )
A ．∠2＝45°
B ．∠1＝∠3
C ．∠AO
D 与∠1互为补角 D ．∠1的余角等于75°30′
10. 已知∠ABC ＝30°，BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝________．
度数是________________．
12. 如图，射线OC 的端点O 在直线AB 上，∠1的度数比∠2的度数的2倍多10°，则∠1＝___________度．
13. 如图，把长方形的一角折叠，得到折痕EF ，已知∠EFB ＝35°，则∠BFC 的度数为____________.
14．若∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示：①90°－1
2∠β；②∠α－90°；③12(∠α＋∠β)；④1
2(∠α－∠β)．其中表示∠β的余角的式子是_________．(填序号)
15. 如图所示，OB 是∠AOC 的平分线，DO 平分∠COE ，若∠AOE ＝128°，求∠BOD 的度数．
16. 一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．
17. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝40°，求∠2与∠3的度数．
18. 如图，点A，O，E在同一条直线上，OB平分∠AOC，∠BOC＋∠COD＝90°，猜想∠COD与∠DOE之间有什么关系？试说明理由．
19. 把一副三角尺的直角顶点O重叠在一起．
(1)如图(1)，当OB平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC有何关系？
(2)如图(2)，当OB不平分∠COD时，上述关系仍成立吗？请说明理由．
参考答案：
1—9 BBDCB CCAD 10. 15°
11. 53°25′ 126°35′ 12. 3703 13. 110° 14. ②④
15. 解：∠BOD ＝1
2
∠AOE ＝64°
16. 解：设这个角为x °，则180－x ＝2(90－x)＋40，解得x ＝40，故这个角为40°
17. 解：因为∠1＋∠FOC ＋∠2＝180°，所以∠2＝180°－∠1－∠FOC ＝50°，所以∠AOD ＝180°－∠2＝180°－50°＝130°，因为OE 平分∠AOD ，所以∠3＝12∠AOD ＝1
2×130°＝65°
18. 解：∠COD ＝∠DOE.理由：因为∠AOE ＝180°，∠BOC ＋∠COD ＝90°，所以∠AOB ＋∠DOE ＝∠AOE －(∠BOC ＋∠COD)＝90°，因为OB 平分∠AOC ，所以∠AOB ＝∠BOC ，所以∠COD ＝∠DOE
19．解：(1)因为OB 平分∠COD ，所以∠BOC ＝∠BOD ＝45°，所以∠AOD ＋∠BOC ＝90°＋45°＋45°＝180°，即∠AOD 与∠BOC 互补 (2)当OB 不平分∠COD 时，设∠COB ＝x ，则∠BOD ＝90°－x ，所以∠AOD ＋∠BOC ＝90°＋(90°－x)＋x ＝。