《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习 第十一篇 第2讲 变量间的相关关系与统计案例

高考数学 第2讲 变量间的相关关系与统

计案例

A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2012·新课标全国)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝1

2x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为

( )．

A ．－1

B ．0

C.12

D ．1

解析 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即y i ＝y ^i ，

代入相关系数公式r ＝

1－

∑i ＝1

n

(y i －y ^

i )2∑i ＝1n

(y i －y )2＝1.

答案 D

2．(2013·长春调研)已知x ，y 取值如下表：

从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( )． A ．1.30

B ．1.45

C ．1.65

D ．1.80

解析 依题意得，x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝1

6×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直线y ^＝0.95x ＋a 必过样本中心点(x ，y )，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ，由此解得a ＝1.45，选B.

3.(2011·陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x

和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小

二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的

是()．

A．直线l过点(x，y)

B．x和y的相关系数为直线l的斜率

C．x和y的相关系数在0到1之间

D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

解析由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．

答案 A

4．(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()．A．63.6万元B．65.5万元

C．67.7万元D．72.0万元

解析x＝4＋2＋3＋5

4＝3.5(万元)，

y＝49＋26＋39＋54

4＝42(万元)，

∴a^＝y－b^x＝42－9.4×3.5＝9.1，

∴回归方程为y

^＝9.4x＋9.1，

∴当x＝6(万元)时，y

^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知施化肥量x与水稻产量y的试验数据如下表，则变量x与变量y是________相关(填“正”或“负”).

解析

如图所示：

通过观察图象可知变量x与变量y是正相关．

答案正

6．(2013·唐山统一考试)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与

^＝1.197x－3.660，由此估计，当股骨长度为肱骨长度y(cm)的线性回归方程为y

50 cm时，肱骨长度的估计值为________ cm.

^＝1.197x－3.660，将x＝50代入得y＝56.19，则肱解析根据线性回归方程y

骨长度的估计值为56.19 cm.

答案56.19

三、解答题(共25分)

7．(12分)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：

(1)

(2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？

附：

K2＝

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

解(1)

(2)将表中的数据代入公式K2＝n(ad－bc)

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

得到K2的观测值k＝50×(18×15－8×9)2

26×24×27×23

≈5.059>5.024，

查表知P(K2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．

8．(13分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.

(1)

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x

＋a

^；

(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求

出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解 (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．

(2)由对照数据，计算得：∑i ＝1

4

x 2i ＝86，

x ＝3＋4＋5＋64＝4.5(吨)，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5(吨)．

已知∑i ＝1

4

x i y i ＝66.5， 所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：

b ^＝

∑i ＝14

x i y i －4x ·y

∑i ＝1

4

x 2i －4x

2

＝66.5－4×4.5×3.5

86－4×4.52

＝0.7，

a

^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.

(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：

90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．

B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：